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Tratamiento Digital de Senales

Tema 5: Tipos de Sistemas

F. Cruz Roldan

Dept. Teorıa de la Senal y ComunicacionesUniversidad de Alcala

Tratamiento Digital de SenalesIngenierıa de Telecomunicacion

8 de febrero de 2013

F. Cruz Roldan (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 2013 1 / 70

Sumario

1 Caracterizacion de un sistema LTIRespuesta al ImpulsoFuncion del SistemaRespuesta en FrecuenciaSistemas Descritos por EDLCC

2 Sistema Inverso

3 Sistemas Paso-Todo

4 Sistemas de Fase Mınima

5 Descomposicion de Sistemas

6 Sistemas de Fase Lineal


Caracterizacion de un sistema LTI

Caracterizacion de Sistemas LTI -I

Los sistemas se pueden definir de una forma general como todo proceso otransformacion de una o varias senales de entrada en otra u otras de salida.

Notacion

Cuando la variable independiente es continua, se indica entre parentesis.En caso de ser discreta, se denota entre corchetes.Las senales en el dominio del tiempo se representan con letras minusculas.Las correspondientes a un dominio transformado con letras mayusculas.La variable independiente correspondiente a la transformada de Fourier desenales de tiempo continuo sera ω, mientras que para tiempo discreto seempleara Ω.

Ej.: Una secuencia de tiempo discreto x [n], y su correspondiente transformada z (devariable continua) X (z).


Caracterizacion de un sistema LTI

Caracterizacion de Sistemas LTI -II

La figura muestra un esquema de sistema que podrıa venir definido por la relacionentrada-salida

y [n] = T x [n] ,

donde T es el operador transformacion.

Atendiendo al tipo de transformacion de la senal de entrada, los sistemas pueden

tener diferentes propiedades:Linealidad: a una combinacion lineal de entradas (a · x1[n] + b · x2[n]), el sistemaresponde con la misma combinacion lineal de salidas (a · y1[n] + b · y2[n]).Invarianza temporal: un desplazamiento temporal en la entrada genera el mismodesplazamiento temporal en la salida.Causalidad: la salida en un instante depende de la entrada en el mismo instanteo en anteriores.Memoria: la salida depende de la entrada en instantes anteriores o posteriores alactual.Estabilidad BIBO (Bound-Input Bound-Output): a cualquier senal de entradaacotada en amplitud responde con una salida acotada tambien en amplitud.Invertibilidad:existe un sistema (inverso) que conectado en cascada con elsistema original, recupera la senal de entrada a este ultimo.


Caracterizacion de un sistema LTI Respuesta al Impulso

Respuesta al Impulso -I

Las propiedades de linealidad e invarianza temporal permiten utilizar diferentesherramientas para estudiar el funcionamiento y las caracterısticas de este tipo desistemas.

En el dominio del tiempo, se puede utilizar la respuesta al impulso h [n].

Permite obtener la respuesta del sistema frente a cualquier entrada a traves de lasuma de convolucion:

y [n] = x [n] ∗ h [n] =∞X

k=−∞

x [k] · h [n − k] .

La convolucion cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.


Caracterizacion de un sistema LTI Respuesta al Impulso

Respuesta al Impulso -II

Un sistema LTI queda completamente caracterizado mediante su respuesta al impulso, yaque las propiedades del sistema pueden ser deducidas a partir de la misma. En particular,un sistema es:

i) Causal, si su respuesta al impulso cumple que h [n] = 0, ∀n < 0.

ii) Estable, si la respuesta al impulso es sumable en valor absoluto:∞P

n=−∞

|h [n]| < ∞.

iii) Tiene memoria, si h [n] 6= c · δ [n], siendo c una constante compleja.

iv) Invertible, si existe otro sistema, denominado inverso, cuya respuesta al impulso hi [n]satisface que h [n] ∗ hi [n] = δ [n]. Es sencillo demostrar que el sistema inverso a unsistema LTI es tambien LTI.

En ocasiones, operar en el dominio del tiempo puede entranar una dificultad excesiva → sepuede encontrar una solucion mas sencilla cuando usamos los dominios transformados.


Caracterizacion de un sistema LTI Funcion del Sistema

Funcion del Sistema -I

Un sistema LTI tambien se puede caracterizar mediante la funcion del sistema, la cualse define como

H (z) =∞X

n=−∞

h [n] · z−n,

Esta es una funcion compleja continua de variable continua compleja, con lo que esnecesario para su representacion emplear dos graficos tridimensionales.

Importancia de la R.C. (regiones anulares (con simetrıa angular) limitadas por lospolos del sistema), y de las propiedades del sistema en la R.C..

Ejemplo:

H (z) =1

1 − 12· z−1

,

i) |z| > 1/2 → Sistema causal y estable,con h [n] = (1/2)n · u [n].ii) |z| < 1/2 → Sistema es no causal e inestable, con una respuesta al impulso dada

por la expresion h [n] = − (1/2)n · u [−n − 1].



Funcion del Sistema -II

La funcion del sistema es la relacion entre la salida y la entrada de un sistema en eldominio z :

H (z) =Y (z)

X (z).

En el caso de ser una funcion racional, es posible determinar las propiedades del

sistema a partir de la R.C.:

a) Causal, cuando el grado del numerador es menor o igual que el grado deldenominador, si la region de convergencia se extiende desde el polo que presenteel mayor modulo hasta infinito (inclusive).

b) Estable, si la region de convergencia incluye la circunferencia de radio unidad.c) Sin memoria, si su region de convergencia es todo el plano z.



Funcion del Sistema -III

La funcion del sistema simplifica el calculo de determinados problemas en los queaparece involucrada la suma de convolucion.

Presenta como inconvenientes:

a) La variable z no tiene un sentido fısico claro.b) Es difıcil la representacion tridimensional de las dos funciones asociadas

(modulo y fase, o parte real y parte imaginaria).c) Hay que determinar la region de convergencia de la transformada z.



Funcion del Sistema -IV

Ejemplo. Dada la siguiente convolucion y suma de senales en el dominio del tiempo, lastransformadas z son:

x [n] ∗ h [n] = y [n]z→ X (z) · H (z) = Y (z) , ROCY (z).

x1 [n] + x2 [n] = x [n]z→ X1 (z) + X2 (z) = X (z) , ROCX(z).

Para resolver el problema anterior en el dominio z, ademas de obtener el producto o la sumade ambas senales transformadas, hay que calcular la nueva region de convergencia de lasenal resultante.

a) Debe existir una region de convergencia comun de las funciones implicadas.

b) En caso de que exista la region comun, esta puede ampliarse segun cambie laestructura de los polos en la operacion (hay que tener en cuenta posiblescancelaciones de polos).


Caracterizacion de un sistema LTI Respuesta en Frecuencia

Respuesta en Frecuencia -I

Se define como la transformada de Fourier de la respuesta al impulso h [n]:

H (Ω) =∞X

n=−∞

h [n] · e−jΩn.

Es una funcion de transferencia:

H (Ω) =Y (Ω)

X (Ω).

Cuando la funcion del sistema H (z) incluye la circunferencia de radio unidad en laregion de convergencia:

H (Ω) = H (z) |z=ejΩ .



Respuesta en Frecuencia -II

Se utilizan dos tipos de descripciones:

i) Modulo y fase de la respuesta en frecuencia:

H (Ω) = |H (Ω) | · ejϕH (Ω),

donde

|H (Ω) | =q

H2R

(Ω) + H2I

(Ω),

ϕH (Ω) = arctan (HI (Ω)/HR (Ω)) .

ii) La funcion de amplitud A (Ω) y la funcion de fase θH (Ω):

H (Ω) = A (Ω) · ejθH (Ω).



Respuesta en Frecuencia -III

Ejemplo. Consideremos el sistema cuya respuesta al impulso viene definida porh [n] = δ [n] − δ [n − 1].

Descripcion modulo y fase:

H (Ω) =p

2 − 2 cos (Ω) · ejarctg

“

sen(Ω)1−cos(Ω)

”

Funciones de amplitud y de fase:

H (Ω) = 2sen

„

Ω

2

«

· ej( π2−

Ω2 )



Respuesta en Frecuencia -IV

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ω (rad)

(a)

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ω (rad)

(b)

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

Ω (rad)

(c)

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

Ω (rad)

(d)

Figura: Funciones obtenidas de la respuesta en frecuencia (a) Modulo. (b)Funcion de amplitud. (c) Fase. (d) Funcion de fase.



Respuesta en Frecuencia -V

En el dominio de la frecuencia, un sistema puede modificar el modulo o la fase de lasenal de entrada.

Los sistemas que no introducen ninguna distorsion en la fase de la senal tienen fasecero o fase lineal.

La desviacion de la linealidad de la fase de un sistema suele dar idea de la distorsionde fase que introduce el sistema.

Una medida de esta desviacion es el retardo de grupo (tambien conocido comovelocidad de grupo):

τ (Ω) = −dθ (Ω)

d (Ω).

Se puede interpretar como el retraso temporal promedio que introduce el sistema paracada una de las frecuencias que contiene la senal → si este valor no es constante,habra una distorsion de la senal.

El calculo del retardo de grupo justifica la conveniencia de tener una funcion de fasecontinua.


Caracterizacion de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC

Sistemas Descritos por EDLCC -I

Hay sistemas discretos LTI que pueden ser descritos mediante una ecuacion en diferenciaslineal de coeficientes constantes (EDLCC):

y [n] =1

a0

MX

k=0

bk · x [n − k] −NX

k=1

ak · y [n − k]

!

.

Definicion completa del sistema

Este tipo de ecuaciones necesitan unas condiciones auxiliares para definircompletamente el sistema.

Estas condiciones suelen venir dadas por el conocimiento de alguna propiedad delsistema.

En general, una ecuacion en diferencias no tiene por que describir a un sistema LTI.

Una de las condiciones mas tıpicas consiste en asumir la condicion de reposo inicial →convierte el sistema automaticamente en LTI y causal.



Sistemas Descritos por EDLCC -II

Atendiendo a la duracion en el tiempo de la respuesta al impulso del sistema descrito por laecuacion en diferencias:

Sistemas de respuesta al impulso de duracion finita (FIR)

Sistemas de respuesta al impulso de duracion infinita (IIR).

Observese que si el sistema es IIR, es necesario que algun coeficiente ak 6= 0. Sin embargo,esta no es una condicion suficiente.

Ejemplo

Consideremos un sistema cuya h [n] = (1/2)n · (u [n] − u [n − 8]).

Este sistema es de duracion 8 (FIR). Se puede caracterizar por dos ecuaciones endiferencias equivalentes:

y [n] =7X

k=0

„

1

2

«k

· x [n − k],

y [n] = x [n] −

„

1

2

«8

x [n − 8] +

„

1

2

«

y [n − 1] .



Sistemas Descritos por EDLCC -III

La funcion del sistema se puede calcular aplicando la transformada z a la ecuacion endiferencias y calculando la funcion de transferencia:

H (z) =Y (z)

X (z)=

MP

k=0bk · z−k

NP

k=0

ak · z−k

=b0

a0·

MQ

i=1

`

1 − ci · z−1´

NQ

i=1(1 − di · z−1)

La ecuacion en diferencias siempre da lugar a una funcion del sistema racional.

Los ceros se definen como aquellos puntos del plano z en los que se anula la funciondel sistema.

Los polos como aquellos puntos del plano z en los que dicha funcion tiende a infinito.

Obteniendo las raıces de los polinomios del numerador y denominador encontramos,respectivamente, los ceros ci y polos pi que se encuentran en puntos finitos del plano z.

Cada factor del numerador con la forma`

1 − ci · z−1´

aporta un cero en ci y un poloen z = 0.

Por el contrario, un factor en el denominador`

1 − di · z−1´

aporta un polo en di y uncero en z = 0.



Sistemas Descritos por EDLCC -IV

H (z) =b0

a0·

MQ

i=1

`

1 − ci · z−1´

NQ

i=1(1 − di · z−1)

Cuando los coeficientes ak y bk de la ecuacion en diferencias son numeros reales, lospolos y ceros complejos aparecen por parejas conjugadas → En el diagrama de polos yceros existe simetrıa con respecto al eje real.

En el diagrama de polos y ceros tenemos toda la informacion de la funcion delsistema, salvo una constante de ganancia.

La respuesta en frecuencia del sistema estable:

H (Ω) =Y (Ω)

X (Ω)=

MP

k=0bk · e−jΩk

NP

k=0ak · e−jΩk

=b0

a0·

MQ

i=1

`

1 − ci · e−jΩ

´

NQ

i=1(1 − di · e−jΩ)



Sistemas Descritos por EDLCC -V

Ejemplo. Dado el sistema LTI causal caracterizado por la ecuacion en diferencias

y [n] = 20 · (x [n] − 1,7321 · x [n − 1] + x [n − 2]) + 0,9 · y [n − 1] − 0,81 · y [n − 2] .

El diagrama de polos y ceros, la funcion20 log10 (|H (z)|), y la funcion modulo dela respuesta en frecuencia:

Las funciones modulo y fase de larespuesta en frecuencia:

−1 −0.5 0 0.5 1−200

−100

0

100

200

−1 −0.5 0 0.5 1−40

−20

0

20

40

Mód

ulo

(dB

)F

ase

(gra

dos)

Pulsación Normalizada (×π rad/muestra)




Sistemas Descritos por EDLCC -VI


y [n] = 20 · (x [n] − 1,7321 · x [n − 1] + x [n − 2]) − 0,9 · y [n − 1] − 0,81 · y [n − 2]



−1 −0.5 0 0.5 1−200

−100

0

100

200

−1 −0.5 0 0.5 1−50

0

50

100



Mód

ulo

(dB

)F

ase

(gra

dos)



Sistemas Descritos por EDLCC -VI


y [n] = 20 · (x [n] − x [n − 1] + x [n − 2]) + 0,9 · y [n − 1] − 0,81 · y [n − 2]



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−100

−50

0

50

100


Fas

e (g

rado

s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−10

0

10

20

30


Mód

ulo

(dB

)



Sistemas Descritos por EDLCC -VII

Ejemplo.

10

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1−0.50

0.51

−10

−5

0

5

10

15

20

−1−0.5

00.5

1 −1−0.5

00.5

10

2

4

6

8

10

log|H(z)|

Realz

Imz

Realz Imz

log|H(z)||z = e jΩ

|H(Ω)|

−π π Ω


Sistema Inverso

Sistema Inverso -I

Dado un sistema LTI, el sistema inverso es aquel que conectado en cascada con elinicial proporciona como senal de salida la senal de entrada al primero:

El sistema inverso a uno dado compensa los efectos que haya provocado el sistemainicial en la senal de entrada.

El calculo del sistema inverso en el dominio del tiempo suele presentar seriasdificultades.

h [n] ∗ hi [n] = δ [n] .

Sin embargo, la obtencion del mismo en los dominios transformados en ocasiones esdirecto:

H (z) · Hi (z) = 1, ROC H ∩ ROC Hi = ∀z.


Sistema Inverso

Sistema Inverso -II

La funcion del sistema inverso a uno dado es la inversa de la funcion del sistemaoriginal.

Hi (z) =1

H (z).

En el caso de funciones racionales, la funcion del sistema inverso se obtieneintercambiando los polos y los ceros entre sı:

H (z) =b0

a0·

MQ

i=1

`

1 − ci · z−1´

NQ

i=1(1 − di · z−1)

, Hi (z) =a0

b0·

NQ

i=1

`

1 − di · z−1´

MQ

i=1(1 − ci · z−1)

.

Es necesario asignar una region de convergencia:

i) Debe existir una region de solapamiento entre las regiones de convergencia delsistema original e inverso.

ii) Entre las diferentes regiones de convergencia que cumplan este requisito, sepodra elegir la que satisfaga las propiedades del sistema.


Sistema Inverso

Sistema Inverso: Ejemplo -I

Encontrar el sistema inverso alsistema LTI causal

H (z) =

`

1 − 2z−1´

·`

1 − 14z−1

´

`

1 + 12z−1

´

·`

1 + 14z−1

´

Solucion

Hi1 (z) =

`

1 + 12z−1

´

·`

1 + 14z−1

´

(1 − 2z−1) ·`

1 − 14z−1

´ , R.C.?

Solucion 1: Sistema Inverso Causal

Sistema Original

Region de Convergencia |z| > 12:

−1/2 −1/4 1/4 1 2

R.C. |z|>0.5Parte Imaginaria

Parte Real

Sistema Inverso Causal


−1/2 2 1/4 −1/4 1

Parte Imaginaria

R.C. |z|>2

Parte Real


Sistema Inverso

Sistema Inverso: Ejemplo -II

Solucion

Hi1 (z) =

`

1 + 12z−1

´

·`

1 + 14z−1

´

(1 − 2z−1) ·`

1 − 14z−1

´ , R.C.?

Solucion 2: Sistema Inverso Estable

Sistema Original


−1/2 −1/4 1/4 1 2


Parte Real

Sistema Inverso Estable

Region de Convergencia1

4< |z| < 2

−1/2 2 1/4 −1/4 1

Parte Imaginaria

R.C. 0.25 < |z| < 2

Parte Real


Sistema Inverso

Sistema Inverso: Ejemplo -III

Solucion

Hi1 (z) =

`

1 + 12z−1

´

·`

1 + 14z−1

´

(1 − 2z−1) ·`

1 − 14z−1

´ , R.C.?

Solucion 3?: Sistema Inverso no Causal, Inestable

Sistema Original


−1/2 −1/4 1/4 1 2


Parte Real

No es una solucion al sistema inverso

Region de Convergencia |z| <1

4

−1/2 2 1/4 −1/4 1

Parte Imaginaria

R.C. |z| < 0.25

Parte Real


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo -I

Definicion

Un sistema paso-todo tiene un modulo de la respuesta en frecuencia constante (y con elmismo valor) para todo Ω.

Sistema paso-todo de orden uno

Hap (z) =

`

z−1 − a∗

´

(1 − a · z−1)= z−1 (1 − a∗ · z)

(1 − a · z−1).

Este sistema tiene un polo en p0 = a = r0 · ejΩ0 y un cero enc0 = (1/a∗) = (1/r0) · ejΩ0 .

Es decir, cada polo va acompanado por un cero en una posicion inversa conjugada,ambos con la misma fase, pero de modulo inverso.

Si el sistema es estable, su respuesta en frecuencia es:

Hap (Ω) = e−jΩ ·

`

1 − a∗ · ejΩ´

(1 − a · e−jΩ)= e−jΩ ·

F ∗ (Ω)

F (Ω),

donde se ha asumido modulo igual a uno, siendo F (Ω) = 1 − a · e−jΩ.

Se puede comprobar que |Hap (Ω)| = 1.


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo -II

La funcion de fase y el retardo de grupo de la respuesta en frecuencia del sistema deorden uno:

θHap(Ω) = −Ω − 2 arctan

»

r0sen (Ω − Ω0)

1 − r0 cos (Ω − Ω0)

–

,

τ (Ω) =1 − r2

0

|1 − r0ejΩ0e−jΩ|2.

Si la funcion del sistema es racional, causal y estable, todos los polos se encuentrandentro de la circunferencia de radio unidad (r < 1).

En este caso, el retardo de grupo sera siempre positivo y por tanto la fasesera monotona decreciente.


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo -III

Sistema paso-todo de orden N

Su funcion del sistema se puede representar:

Hap (z) =z−N · A (z)

A (z),

donde A (z) =NP

k=0ak · z−k y A (z) = A∗ (1/z∗) =

NP

k=0a∗

k· zk.

A (z) se denomina el paraconjugado de A (z), y tiene el mismo modulo de la respuestaen frecuencia que A (z).Se puede obtener un sistema paso-todo de orden N multiplicando N sistemas deorden 1:

Hap (z) = K ·

MrY

k=1

`

z−1 − dk

´

(1 − dk · z−1)·

Mc/2Y

k=1

`

z−1 − e∗k

´

(1 − ek · z−1)·

`

z−1 − ek

´

`

1 − e∗k· z−1

´ ,

donde se ha supuesto que los coeficientes de la respuesta al impulso son reales y portanto los polos y ceros son reales o aparecen en pares complejos conjugados (K ∈ C,dk ∈ R, ek ∈ C).En este caso, el sistema presenta Mr polos reales y Mc polos complejos.


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo -IV

Si el filtro paso-todo causal es de coeficientes reales, es decir, ak ∈ R, se satisface queA (z) = A

`

z−1´

.

En este caso:

Hap (z) =z−N · A

`

z−1´

A (z)=

`

aN + aN−1 · z−1 + · · · + a0 · z−N´

(a0 + a1 · z−1 + · · · + aN · z−N ).

La fase de la respuesta en frecuencia del sistema paso-todo se puede expresar como

θHap(Ω) = −NΩ + 2arctan

0

B

B

B

@

NP

k=0ak · sen (kΩ)

NP

k=0

ak · cos (kΩ)

1

C

C

C

A

.

Si la funcion racional Hap (z) tiene todos los polos dentro de la circunferencia de radiounidad, como le ocurre a los sistemas paso-todo estables y causales, se satisface queθHap

(Ω) es monotona decreciente, lo que implica que el retardo de grupo es siemprepositivo.


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo. Ejemplo -I

Problema

La funcion del sistema de un sistema paso-todo, de coeficientes reales, causal y estable

presenta un polo en el punto p1 = 0,8 · ej 3π4 . Encontrar la funcion del sistema de menor

orden que cumple las condiciones anteriores.

Solucion

Es necesario anadir otro polo conjugado p2 = 0,8 · e−j 3π4 y los correspondientes ceros en

posiciones inversas conjugadas: c1 = 1,25 · ej 3π4 y c2 = 1,25 · e−j 3π

4 .La funcion del sistema resultante es

Hap (z) =

`

1 + 1,767767 · z−1 + 1,5625 · z−2´

(1 + 1,13137085 · z−1 + 0,64 · z−2)

=1

0,64·

`

1 + 1,767767 · z−1 + 1,5625 · z−2´

(1,5625 + 1,767767 · z−1 + z−2)

= 1,5625 ·

`

0,64 + 1,13137085 · z−1 + z−2´

(1 + 1,13137085 · z−1 + 0,64 · z−2),

con region de convergencia |z| > 0,8.


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo. Ejemplo -II

Sistema Paso-Todo

El diagrama de polos y ceros:

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

R.C. |z|>0.8

0.8 1

Sistema Paso-Todo

Las funciones 20 log10 (|H (z)|) ymodulo de la respuesta en frecuencia

El filtro paso-todo causal cumple el teorema del modulo maximo → Si |Hap (Ω)| = c,entonces

|Hap (z)|

8

<

:

> c,= c,< c,

para |z| < 1,para |z| = 1,para |z| > 1.


Sistemas Paso-Todo

Sistemas Paso-Todo. Ejemplo -III

Sistema Paso-Todo

El modulo y la fase de la respuesta enfrecuencia:

−1 −0.5 0 0.5 1−800

−600

−400

−200

0

−1 −0.5 0 0.5 12

3

4

5

Mód

ulo

(dB

)F

ase

(gra

dos)



Sistema Paso-Todo

El retardo de grupo:

−1 −0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)



Sistemas de Fase Mınima

Sistemas de Fase Mınima -I

En general, un sistema LTI no puede ser descrito unicamente a partir del modulo dela respuesta en frecuencia, ya que dicha funcion no contiene informacion de la fase ypuede provenir de distintas funciones del sistema que tengan diferentes fases.

El modulo de la respuesta en frecuencia puede obtenerse a partir de una funcionC(z) = H (z) · H (z) evaluada en la circunferencia de radio unidad:

C“

ejΩ”

= H“

ejΩ”

· H∗

“

1.

e−jΩ”

=˛

˛

˛H“

ejΩ”˛

˛

˛

2.

A continuacion se procede a extraer la maxima informacion posible de H(z) a partirde la funcion modulo, es decir, de C (z)|z=ejΩ .



Sistemas de Fase Mınima -II

Supongamos una funcion del sistema racional y su paraconjugado:

H (z) = k ·

MQ

i=1

`

1 − ci · z−1´

NQ

i=1(1 − di · z−1)

, H (z) = k ·

MQ

i=1

`

1 − c∗i · z´

NQ

i=1

`

1 − d∗i · z´

.

Si H(z) presenta un cero (o un polo) en z0 → la funcion H (z) presenta un cero (o unpolo) en 1

‹

z∗0 .

Ası, al representar el diagrama de polos y ceros de la funcion C(z), que es productode ambas, nos encontramos con polos o ceros en parejas recıprocas conjugadas.

Ademas, si los coeficientes de la respuesta al impulso son reales, los polos y cerosestaran en parejas conjugadas → Por cada polo o cero existiran otros tres, el recıprococonjugado y los conjugados de ambos.



Sistemas de Fase Mınima -III

El procedimiento para encontrar la funcion H(z) a partir del diagrama de polos yceros de C(z) consiste en asignar la mitad de los polos y ceros para H(z) y la otramitad para H(z), de manera que cada sistema tenga los polos y ceros recıprocosconjugados del otro.

Las diferentes posibilidades de asignacion de los polos y ceros corresponden a lasdiferentes funciones de fase para un mismo modulo de la respuesta en frecuencia.

Ası, dado el modulo de la respuesta en frecuencia de un sistema, existe un numerofinito de posibilidades para la fase de la respuesta en frecuencia del sistema conmınimo numero de ceros y polos.

Es interesante observar que a partir de dicho modulo, siempre se pueden encontrarinfinitas posibilidades para la fase sin mas que multiplicar la funcion H(z) por unsistema paso-todo, pero todos estos sistemas no tendran un numero mınimo de polosy ceros.



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo -I

Problema

De una funcion C (z) = H (z) · H (z) racional de coeficientes reales, se conoce:

Cero: c1 = −0,25 − 0,25j.Polo: p1 = 0,25 + 0,25j.

Encontrar la funcion C (z) y los sistemas que presentan el mismo modulo de la respuesta enfrecuencia.

Solucion

Se pueden obtener los polos y ceros restantes de la funcion C(z) de orden mınimo quecumple los requisitos anteriores:

Ceros: c1 = −0,25 − 0,25j, c2 = −0,25 + 0,25j, c3 = −2 − 2j, c4 = −2 + 2j.Polos: p1 = 0,25 + 0,25j, p2 = 0,25 − 0,25j, p3 = 2 + 2j, p4 = 2 − 2j.

Por tanto:

C (z) = k0 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c2 · z−1´ `

1 − c3 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p2 · z−1) (1 − p3 · z−1) (1 − p4 · z−1).



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo -II

El diagrama de polos y ceros de C (z):

−2 −1 0 1 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

c3

c4

c2

c1

p3

p1

p2

p4

Los polos y ceros deben estar situados en pares recıprocos conjugados en H(z) y en H(z) →Cada una de las parejas (c1, c3), (c2, c4), (p1, p3), (p2, p4) no puede estar en el mismosistema.Existen 16 funciones H(z) diferentes con el mismo modulo y diferente fase:

H1 (z) = k1 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p4 · z−1), H2 (z) = k2 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p2 · z−1) (1 − p3 · z−1),

H3 (z) = k3 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p2 · z−1), H4 (z) = k4 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p3 · z−1) (1 − p4 · z−1).



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo -III

Las 12 funciones restantes:

H5 (z) = k5 ·

`

1 − c2 · z−1´ `

1 − c3 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p4 · z−1), H6 (z) = k6 ·

`

1 − c2 · z−1´ `

1 − c3 · z−1´

(1 − p2 · z−1) (1 − p3 · z−1),

H7 (z) = k7 ·

`

1 − c2 · z−1´ `

1 − c3 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p2 · z−1), H8 (z) = k8 ·

`

1 − c2 · z−1´ `

1 − c3 · z−1´

(1 − p3 · z−1) (1 − p4 · z−1),

H9 (z) = k9 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c2 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p4 · z−1), H10 (z) = k10 ·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c2 · z−1´

(1 − p2 · z−1) (1 − p3 · z−1),

H11 (z) = k11·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c2 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p2 · z−1), H12 (z) = k12·

`

1 − c1 · z−1´ `

1 − c2 · z−1´

(1 − p3 · z−1) (1 − p4 · z−1),

H13 (z) = k13·

`

1 − c3 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p4 · z−1), H14 (z) = k14·

`

1 − c3 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p2 · z−1) (1 − p3 · z−1),

H15 (z) = k15·

`

1 − c3 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p1 · z−1) (1 − p2 · z−1), H16 (z) = k16·

`

1 − c3 · z−1´ `

1 − c4 · z−1´

(1 − p3 · z−1) (1 − p4 · z−1).



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo -IV

El diagrama de polos y ceros de C (z):

−2 −1 0 1 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

c3

c4

c2

c1

p3

p1

p2

p4

Eligiendo adecuadamente la constante de ganancia kℓ, 1 ≤ ℓ ≤ 16, la diferencia entrelas funciones Hℓ (Ω) se encuentra unicamente en la fase de la respuesta en frecuencia.

Si el sistema H(z) fuese causal y estable, solo existirıan cuatro posibilidades:(p1, p2, c2, c3), (p1, p2, c2, c1), (p1, p2, c4, c3), (p1, p2, c4, c1).

Si, ademas, la respuesta al impulso es real, las posibles soluciones se reducen a dos:(p1, p2, c2, c1) y (p1, p2, c4, c3).

Si, ademas, imponemos que el sistema H(z) sea causal y estable y su inverso seacausal y estable, solo existe una posibilidad, (p1, p2, c2, c1).



Sistemas de Fase Mınima. Definicion y Propiedades -I

Definicion

De todos los sistemas que tienen el mismo modulo de la respuesta en frecuencia, el sistemacausal de fase mınima Hmin(z) se puede definir como aquel que presenta un retardo de faseo de grupo mınimo. Si Hmin(z) no presenta ningun cero situado en la circunferencia deradio unidad, su sistema inverso Hinv(z) = 1/Hmin(z) tambien es causal y estable.

Diferentes definiciones

H(z) es estrictamente de fase mınima si todos los ceros estan dentro de lacircunferencia unidad.

H(z) es estrictamente de fase maxima si todos los ceros estan fuera de lacircunferencia unidad.

H(z) es de fase mınima si todos los ceros cumplen |zk| ≤ 1, es decir, los ceros estandentro de la circunferencia unidad o en esta.

H(z) es de fase maxima si todos los ceros cumplen |zk| ≥ 1.

H(z) es de fase mixta si no se cumple nada de lo anterior.

En cualquier caso, en todos los sistemas de fase mınima (estricta o no) el modulo desu respuesta en frecuencia nos fija una unica posibilidad para obtener la funcion delsistema y por lo tanto la fase de la respuesta en frecuencia.



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo -V

Considerando de nuevo las funciones del sistema Hi (z) obtenidas de C (z):

Si se corresponde con un sistema causal, estable, de coeficientes reales, las solucionesse restringen a H11 (z) (sistema de fase mınima) y H15 (z).

Con las constantes de ganancia k11 = 20.8 y k15 = 2.6, ambas tienen el mismomodulo:

−3 −2 −1 0 1 2 318

20

22

24

26

28

30

32

34

Mód

ulo

(dB

)

Ω (rad)

El retardo de grupo:

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)

−1 −0.5 0 0.5 11.9

1.95

2

2.05

2.1



Sistema H11

(z)

Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)

Sistema H15

(z)



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo -VI

El diagrama de polos y ceros, la funcion20 log10 (|H11 (z)|), y la funcion modulode la respuesta en frecuencia:

El diagrama de polos y ceros, la funcion20 log10 (|H15 (z)|), y la funcion modulode la respuesta en frecuencia:


Descomposicion de Sistemas

Descomposicion de Sistemas -I

Cualquier sistema racional puede descomponerse en dos subsistemas en cascada:

H (z) = Hap (z) · Hmın (z) ,

donde Hap (z) es un sistema paso-todo y Hmın (z) es un sistema de fase mınima.

A partir de esta descomposicion, se pueden demostrar algunas propiedadesinteresantes de los sistemas de fase mınima.

Por ejemplo, dado un sistema: H (z) = Hap (z) · Hmın (z). Su retardo de grupo sera

τ H (Ω) = τ Hap (Ω) + τ Hmın (Ω) .

Debido a que el retardo de grupo de un sistema paso-todo siempre es positivo, elretardo de grupo de un sistema de fase mınima sera el menor posible de todos lossistemas que presentan el mismo modulo de la respuesta en frecuencia.



Descomposicion de Sistemas -II

Ejemplo

Supongamos el sistema estable caracterizado por la funcion

H (z) =`

1 − (1 + j) · z−1´ `

1 − (1 − j) · z−1´

.

Este sistema tiene dos polos en el origen y dos ceros fuera del cırculo unidad, luego noes un sistema de fase mınima.

Tampoco es paso-todo porque los polos y ceros no son recıprocos conjugados.

Sin embargo, el sistema dado se puede expresar como la interconexion en cascada deun sistema paso-todo y un sistema de fase mınima.



Descomposicion de Sistemas -III

Ejemplo

Supongamos el sistema estable caracterizado por la funcion

H (z) =`

1 − (1 + j) · z−1´ `

1 − (1 − j) · z−1´

.

El procedimiento consiste en generar un sistema paso-todo con los dos ceros delsistema original y dos nuevos polos recıprocos conjugados.

Para obtener el sistema original debemos cancelar los polos recıprocos conjugados condos ceros dentro de la circunferencia unidad, ocasionando otro sistema (con estos dosceros) que sera de fase mınima.

La descomposicion viene dada por:

H (z) = Hap (z) · Hmın (z) ,

donde

Hap (z) =

`

1 − (1 + j) z−1´ `

1 − (1 − j) z−1´

(1 − (0,5 + 0,5j) z−1) (1 − (0,5 − 0,5j) z−1)

yHmın (z) =

`

1 − (0,5 + 0,5j) z−1´ `

1 − (0,5 − 0,5j) z−1´

.



Descomposicion de Sistemas -IV

Sistema Original

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

Sistema Paso-Todo

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

Sistema de Fase Mınima

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria



Descomposicion de Sistemas -V

Sistema Original

−1 −0.5 0 0.5 1−800

−600

−400

−200

0

−1 −0.5 0 0.5 1−5

0

5

10

15

Mód

ulo

(dB

)


Fas

e (g

rado

s)


Sistema Paso-Todo

−1 −0.5 0 0.5 1−800

−600

−400

−200

0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

5.5

6

6.5

7

7.5

Mód

ulo

(dB

)


Fas

e (g

rado

s)



−1 −0.5 0 0.5 1−100

−50

0

50

100

−1 −0.5 0 0.5 1−10

−5

0

5

10

Mód

ulo

(dB

)


Fas

e (g

rado

s)




Descomposicion de Sistemas -VI

Sistema Original: Retardo de Grupo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5


Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)

Sistema Paso-Todo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7


Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)


Sistemas de Fase Lineal

Efectos de la Distorsion de Fase

Cuando una senal pasa a traves de un sistema, se modifica el modulo y la fase. El retardo de fase y de

grupo de dicho sistema proporcionan una medida de la modificacion –o distorsion– de la fase.

Senal de Entrada: Diagrama de polos y ceros del sistema:

Respuesta en Frecuencia del Sistema: Senal de Salida:



Sistemas de Fase Lineal -I

Definicion

Un sistema de fase lineal tiene como respuesta en frecuencia la siguiente:

H (Ω) = A (Ω) e−jΩα.

Otro tipo de sistemas que, sin tener fase estrictamente lineal, tienen la velocidad de grupoconstante:

H (Ω) = A (Ω) e−jΩα+jβ ,

donde α y β son constantes. Estos ultimos sistemas se denominan sistemas de fase linealgeneralizada.

Condiciones de Simetrıa

El sistema tiene fase lineal si la respuesta al impulso presenta: simetrıa HS (Half-sample

Symmetry), antisimetrıa HA (Half-sample Antisymmetry), simetrıa WS (Whole-sample

Symmetry) y antisimetrıa WA (Whole-sample Antisymmetry) ( h[n] = ±h[L − 1 − n]):

WSHAHS WA



Sistemas de Fase Lineal -II

En funcion de su longitud L, se pueden distinguir cuatro tipos distintos de sistemas de faselineal:

Respuesta al Impulso Numero de Simetrıa Tipo A(Ω) θH (Ω) = β − αΩCoeficientes L de Filtro

Simetrica Impar WS I AI (Ω) β = 0h [n] = h [L − n − 1] Par HS II AII(Ω) α = (L − 1)/2

Antisimetrica Impar WA III AIII (Ω) β = π2

h [n] = −h [L − n − 1] Par HA IV AIV (Ω) α = (L − 1)/2

AI (Ω) = h [(L − 1)/2] +

(L−1)/2X

k=1

2 · h [(L − 1)/2 − k] · cos (k · Ω)

AII (Ω) =

L/2X

k=1

2 · h [L/2 − k] · cos ((k − 0,5) · Ω)

AIII (Ω) =

(L−1)/2X

k=1

2 · h [(L − 1)/2 − k] · sen (k · Ω)

AIV (Ω) =

L/2X

k=1

2 · h [L/2 − k] · sen ((k − 0,5) · Ω)



Condiciones y Restricciones -I

Los sistemas de fase lineal simetricos o antisimetricos cumplen la siguiente condicion:

H (z) =

L−1X

n=0

h[n] · z−n = ±

L−1X

n=0

h[L − 1 − n] · z−n

= ±

L−1X

p=0

h[p] · z−(L−1−p) = ±z−(L−1) · H`

z−1´

.

Consecuencias respecto de la localizacion de los ceros:

Si aparece un cero en cualquier punto finito z0 del plano z, debe aparecer otro

cero en una posicion recıproca, es decir, en 1/z0, ya que z−(L−1)0 6= 0.

Si ademas la respuesta al impulso es real, la funcion del sistema H(z) sera unafuncion racional con coeficientes reales, y cada cero debe ir acompanado por suconjugado → En este tipo de sistemas los ceros aparecen por cuartetosrecıprocos conjugados.

Excepciones:

Los ceros sobre la circunferencia unidad (salvo en z = ±1 ) aparecen por parejas.Los ceros reales no situados en la circunferencia unidad aparecen por parejas.Los ceros en z = ±1 coinciden con su recıproco y su conjugado, pudiendoaparecer solos.



Condiciones y Restricciones -II

Ademas

Que los sistemas tipo II deben contener al menos un cero en z = −1 → no puedenutilizarse como filtros paso alto.

Que en los sistemas tipo III debe aparecer al menos un cero en z = 1 y otro en z = −1→ no sirven para sistemas que permitan el paso de las bajas y altas frecuencias.

Que para los tipo IV existe al menos un cero obligatorio situado en z = 1→ no sepueden emplear como sistemas paso bajo.

Que los sistemas de fase lineal tipo I no presentan ninguna restriccion.

Todos ellos, si son causales y cumplen la condicion de fase lineal h[n] = ±h[L− 1− n], seransistemas FIR y los polos estan situados en el origen.



Condiciones y Restricciones -III

El numero de ceros en z = ±1 esta relacionado con la simetrıa y orden del sistema.Supongamos un sistema de fase lineal que tiene un grupo de 4 ceros:c1 = a, c2 = 1/a, c3 = a∗, c4 = 1/a∗.

La funcion del sistema sera un producto de los siguientes factores:

(a, 1/a) → (z − a)

„

z −1

a

«

= z2 − z

„

a +1

a

«

+ 1

(a∗, 1/a∗) → z2 − z

„

a∗ +1

a∗

«

+ 1

El producto de estos dos factores es claramente de coeficientes simetricos → tipo I.

Si se anade un cero en z = −1, la expresion anterior queda multiplicada por (z + 1) →se mantiene la simetrıa → tipo II.

Si, ademas, anadimos un cero en z = 1, el factor que debemos anadir es (z − 1) → elfiltro pasa a ser antisimetrico con numero coeficientes impar → tipo III.

Si solo tenemos un cero aislado en z = 1, el sistema sera antisimetrico y con unnumero de coeficientes par → tipo IV.

Por consiguiente, la restricciones impuestas para cada filtro en z = 1 y/o z = −1 implicanque la multiplicidad de los ceros en dichos puntos debe ser impar. Si no existe restricccion,si apareciese algun cero en z = 1 y/o z = −1, este debe tener multiplicidad par.



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo 1 -I

Problema

Un sistema de fase lineal tipo I, causal, y de respuesta al impulso real, presenta lossiguientes ceros en puntos del plano z :Ceros: c1 = −1, c2 = −0,25 − 0,25j.Encontrar la funcion del sistema de menor orden que cumple las condiciones anteriores.

Solucion

El sistema de orden mınimo que cumple los requisitos anteriores tiene ademas los siguientesceros y polos:Ceros: c3 = −0,25 + 0,25j, c4 = −2 − 2j, c5 = −2 + 2j, c6 = −1.Polos: p1,6 = 0 (de orden 6).La condicion de fase lineal impone que, acompanando a c2 aparezca el cero c5. Los ceros c3y c4 son consecuencia de que la respuesta al impulso sea real, lo que obliga a que cada cerovaya acompanado de su conjugado. Por ultimo, el cero c6 permite que el sistema sea tipo I(WS).



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo 1 -II

Respuesta al Impulso

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

n

Am

plitu

d

Diagrama de Polos y Ceros

−2 −1 0 1 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

2 6

Modulo y Fase de la Respuesta enFrecuencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−600

−400

−200

0


Fas

e (g

rado

s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100

−50

0

50

Mód

ulo

(dB

)


Retardo de Grupo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

2.5

3

3.5

4


Ret

ardo

de

Gru

po (

mue

stra

s)



Sistemas de Fase Mınima. Ejemplo 2 -I

Respuesta al Impulso

10 20 30 40 50 60−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Am

plitu

d

n

Diagrama de Polos y Ceros

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

63


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