Sistemas de segundo Orden

En ingeniería de control un sistema de segundo orden se caracteriza porque tiene 2 polos. Un sistema de segundo orden tiene como función de transferencia a la siguiente ecuación:

Donde:   frecuencia natural de oscilación , coeficiente de amortiguamiento y   la ganancia de estado estacionario.

La ganancia de estado estacionario corresponde al valor constante que toma el sistema para un tiempo muy grande. Puede ser calculada a través del teorema final del límite de

la función de transferencia  .

La respuesta del sistema depende de las raíces del denominador (polos del sistema). Para un sistema de segundo orden los polos se expresan como:

El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se describe en términos de z y wn, los cuales estarán en función de los parámetros físicos del sistema. Así mismo, la respuesta permanente dependerá del valor de la ganancia tal como en el caso de los sistemas de primer orden. Según el valor del coeficiente de amortiguamiento los sistemas de segundo orden se clasifican como sigue.

Sistemas Subamortiguados para (0 < z < 1)

Sistemas Críticamente Amortiguados para (z = 1)

Sistemas Sobreamortiguados para (z > 1)

Régimen permanente

La respuesta permanente es aquella que se alcanza cuando el sistema se establece y es muy importante su estudio pues informa lo que sucede con la salida permanente una vez que el sistema es perturbado.

Se pueden tener casos en los cuales, ante una entrada acotada, no se logra un valor de establecimiento constante, siendo éstas situaciones no deseadas, tal como sucede para la respuesta ante el escalón de los sistemas de primer orden.

Régimen temporal

En general los sistemas físicos reales que forman parte del sistema de control poseen inercias que le impiden seguir la señal de entrada de manera instantánea, esto implica la existencia de un período transitorio que es necesario conocer, así como el tiempo requerido parallegar al estado estacionario.

El estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para el posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. En este capítulo se realizará el estudiodetallado de la respuesta temporal de un sistema, el cual se fundamentará en el conocimiento previo que se tiene del mismo, o lo que es lo mismo en el modelo del sistema.

En principio, se define la respuesta temporal de un sistema como el comportamiento en el tiempo que tiene el mismo ante alguna variación en sus entradas. En la Fig. se puede apreciar la respuesta temporal de un sistema, compuesta por una respuesta transitoria y una permanente, la cual también puede ser expresada según la Ec. , donde yt(t) y yss(t) son la respuesta transitoria y la permanente, respectivamente.

y (t) = yt (t) + yss (t)

Especificaciones en el dominio temporal de los sistemas de segundo orden

En la teoría de control, la caracterización de la respuesta temporal de un sistema se suele hacer mediante lo que se conoce como especificaciones del sistema. Las especificaciones más empleadas son:

Tiempo de retraso (delay time). Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance el 50% del valor final.

Tiempo de subida (rise time). Es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90% del valor final. También puede definirse como el tiempo de paso del 5% al 95% o del 0% al 100%.

Tiempo de pico: Es el tiempo que pasa hasta alcanzarse el primer pico de sobrepasamiento.

Máximo sobrepasamiento: Es el valor de pico máximo por unidad. Se suele expresar en porcentaje.

Tiempo de establecimiento: Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema esté dentro de un porcentaje (sobre el 5%, aunque es variable según el autor) del valor final.

Respuesta del sistema a una entrada del tipo impulsional

La respuesta del sistema a una entrada del tipo impulso unitario permite tener una idea acerca del comportamiento intrínseco del sistema. La representación matemática de la

función impulso unitario es: 

Un sistema se representa matemáticamente a través de su función de transferencia. En el

plano de laplace la expresión matemática que lo representa es:  ;

donde   salida del sistema y   entrada del sistema La función de

transferencia del impulso unitario es la unidad; es decir,   Por tanto, la señal de salida tiene como transformada de Laplace a la función de transferencia del

proceso   De ello, se deduce que la respuesta impulsional y la función de transferencia contienen la misma información.

Respuesta del sistema a una entrada del tipo escalón

Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. Así mismo, nos da una idea del tiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario. Otra de las características de esta señal es que producto de la discontinuidad del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo cual hace que sea equivalente a aplicar al sistema una gran cantidad de señales senoidales con un intervalo de frecuencias grande.

Matemáticamente, esta señal se expresa como:  . Donde  :escalón unitario;  : constante

En la figura que se muestra a continuación (en la figura, el escalon comienza en 1, no en 0

en el eje x)   y 

Respuesta del sistema a una entrada del tipo rampa

Esta señal permite conocer cual es la respuesta del sistema a señales de entrada que cambian linealmente con el tiempo. Matemáticamente se representa

como:  . Donde  :tiempo;  : constante

Respuesta del sistema a una entrada parabólica:

La función parabólica representa una señal que tiene una variación más rápida que la función rampa. Matemáticamente se representa por:

r ( t )=A .t 2

2. u(t)

r(t)

t

(el factor ½ se añade por conveniencia matemática, para que la transformada de Laplace de la señal sea simplemente A/s3)

Estas señales tiene la característica común de que son simples de describir en forma matemática. De la función escalón a la parabólica, las señales se vuelven progresivamente más rápidas con respecto al tiempo. En teoría se pueden definir señales con velocidades aún mas rápidas, como t3 (que se denomina función tirón) y así sucesivamente. Sin embargo, en realidad, rara vez es necesario o factible emplear señales de prueba más rápidas que una función parabólica. Esto se debe a que para seguir una entrada de orden superior en forma exacta, el sistema debe tener integraciones de orden superior en el lazo, lo que normalmente conlleva a serios problemas de estabilidad.