“Sistemas de Referencia para la ubicación

de puntos en el plano y en el espacio”

»Esta propuesta está dirigida a los alumnos de 1er Año de la escuela secundaria.

Problema Nº 1:La familia Ortiz tiene parientes en cada una de las ciudades de esta tabla, en la que

figuran las temperaturas registradas a las 8 de la mañana de un día de junio. Los chicos de esta familia quieren ordenar las temperaturas desde el pariente que

tuvo más frío, hasta el que tuvo menos frío ese día, a esa misma hora.¿Cómo se ordenarán las temperaturas?

Docente:A esta situación:• ¿Cómo la representan en la recta numérica? • ¿Cómo podemos darnos cuenta en qué ciudad hace más frío?• ¿En cuál ciudad hace menos frío?Alumnos:Razonamiento esperado:• Si la temperatura es bajo cero, hace más frío cuanto más alejada del cero está.• Si la temperatura no es bajo cero, hace más frío cuanto más cerca del cero está.• S e puede representar en una recta numérica: Es decir, que: -8 < -2 < -1 < 0 < 3 < 7

Ciudad TemperaturaBariloche -1

Buenos Aires 7Neuquén 0

Santa Rosa 3Ushuaia -8Viedma -2

¿Qué repasamos con este problema?:

-Podemos representar en la recta numérica puntos, que están asociados a los números. -Un número es menor que otro, si el punto que lo representa al 1º en la recta numérica está a la izquierda del 2º punto en dicha recta.

Problema nº 2

En marzo de este año un equipo de buzos halló un tesoro en las profundidades del océano Pacífico. El equipo de buzos estaba formado por tres personas: Juan, Carla y Marcos los cuales se lanzaron al mar, todos al mismo tiempo, desde un barco.

• Juan llegó a 9 m de profundidad cuando Marcos encontró el tesoro.• Carla, en ese momento, se encontraba a 2,5m más de profundidad

de lo que estaba Juan.• Marcos, al hallar el tesoro, llegó al doble de profundidad que Carla.

a) ¿A cuántos metros de profundidad se encuentra cada uno de los buzos en el momento en que Marcos encontró el tesoro? b) ¿A cuántos metros de profundidad estaba el tesoro? c) Representa la situación mediante un gráfico, ubicando: el barco, los buzos y el tesoro en el momento en que fue hallado.

Actividades

Razonamiento esperado: a) Si Juan está a 9m de profundidad y Carla está a 2,5m más de

profundidad que Juan, entonces Carla se encuentra a 9m + 2,5m = 11,5m de profundidad. Análogamente Marcos está, en ese momento, al doble de profundidad que Carla, es decir: 2. 11,5m = 23m de profundidad.

b) Si Marcos encontró el tesoro y en ese instante estaba a 23m de profundidad entonces el tesoro está a 23m de profundidad.

Puedo tomar una escala de medida, por ejemplo: 0,5 cm (o un cuadradito de la hoja) equivalen a 1m. De esta manera, puedo ubicar los números sobre una recta vertical donde el cero de la misma represente el nivel del mar. Entonces los números de la recta que están ubicados del cero hacia arriba representan la altura por encima del mar y éstos son números positivos. Análogamente los números de la recta que se encuentran por debajo del cero, representan las profundidades del mar, éstos son entonces, números negativos.

Alumnos: Representaciones gráficas

¿Qué aprendimos hasta ahora?:

• Para representar con números una posición en particular requerimos de un sistema de referencia.

• En estas situaciones necesitamos una línea recta (horizontal o vertical).

• Fue necesario fijar un punto de origen (cero) sobre la recta. Luego consideramos direcciones (izquierda o derecha, arriba o abajo) para desplazarnos sobre tal línea recta.

• Requerimos también, de una unidad de medida.

• La recta numérica determina un sistema de referencias de una dimensión.

• Hay una relación biunívoca entre los elementos a representar y los valores asignados

Problema Nº 3: Para colocar un estante en una pared cubierta de cerámicos, Laura tiene que realizar cuatro perforaciones. Como estará ausente, por un viaje, dejará a su hermano, el siguiente esquema con los datos necesarios sobre dónde fijar los puntos de perforación del estante.

B C

A D

• La pared tiene cerámicos cuadrados, dispuestos en 6 filas y 7 columnas, como muestra el siguiente dibujo.

• En el mismo los puntos A, B, C y D representan las perforaciones.

¿De qué manera se podría indicar mediante números la ubicación de tales perforaciones?

Actividades:

Alumnos:

Cuento 3 cerámicos a la derecha del borde de la pared y 2 cerámicos hacia arriba para la perforación A.

Cuento 3 cerámicos a la derecha del borde de la pared y 4 cerámicos hacia arriba para la perforación B.

Cuento 5 cerámicos a la derecha del borde de la pared y 2 cerámicos hacia arriba para la perforación D.

Cuento 5 cerámicos a la derecha del borde de la pared y 4 cerámicos hacia arriba para la perforación C.

“Esta manera de ordenar los puntos, es decir, contar tantas unidades hacia la derecha y hacia arriba, convenimos en expresarla de la siguiente manera:

Para la perforación A ---- (3 ; 2),

Para la perforación B ---- ( 3 ; 4),

Para la perforación C---- ( 5 ;4),

Para la perforación D---- (5; 2), y se denominarán pares ordenados.

Los representaremos en un sistema de ejes coordenados.”

Aprendimos que:

• Cuando trabajamos con un Sistema de referencias, para ubicar puntos en el plano, necesitamos:

• Un Sistema de coordenadas cartesianas (par de rectas numéricas perpendiculares).

• El eje horizontal se denomina eje de abscisas, y se suele identificar con la letra “x”

• El eje vertical se denomina eje de ordenadas, y se suele identificar con la letra “y”.

• El punto que determinamos está asociado al par ordenado de números (a; b), y se denominan coordenadas del punto.

• La primera coordenada es la abscisa del punto.

• La segunda coordenada es la ordenada del punto.

Problema Nº 4: -Ubiquen en un par de ejes cartesianos los puntos: A = (2; 3),

B = (2; 5), C = (6; 3), D = (4; 4)

-Ubiquen un punto M de modo tal que el cuadrilátero ABMC sea un rectángulo. ¿Es única la solución?

-Ubiquen un punto N de modo tal que el cuadrilátero ADBN sea un rombo. ¿Es única la respuesta?

Problema Nº 5:

Los puntos A = (1; 1), B = (-3; 5) y C = (0 ; 8) son tres vértices de un rectángulo. Encuentren el cuarto vértice.

Problema Nº 6

Indiquen las coordenadas de cada uno de los siguientes puntos:

A =

B =

C =

D =

E =

F =

G =

Problema Nº 7:

Determina las coordenadas del punto en el cual se encuentra el “tesoro”:

Problema Nº8:• La batalla naval es un juego de estrategia en el que participan dos

jugadores. Se juega con lápiz y papel. • La flota:

Cada jugador dispone en su tablero, una flota completa sin que el contrincante vea su posición.

Los barcos no pueden tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota esta formada por:

• 1 portaaviones (un segmento de 4 unidades de longitud) • 2 acorazados (dos segmentos de 3 unidades de longitud) • 3 buques (tres segmentos de 2 unidades de longitud) • 4 submarinos (cuatro segmentos de 1 unidades de longitud) • Mecánica del juego:

El turno pasa alternativamente de un jugador a otro. En un turno el jugador hace el disparo a una posición del mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente. Si no hay barcos en tales coordenadas, el otro jugador dice: ¡agua!, si el disparo ha dado en algún barco dice: ¡tocado!; si con dicho disparo el rival logra completar todas las posiciones del barco, debe decir ¡hundido!

• Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival.

Pizarrón: Flota propia Sistema de referencia de dos dimensiones

Problema N°9:Natalia realizó la siguiente maqueta que representa la esquina de su baño. Datos de la maqueta:

• Una pared está cubierta de cerámicos cuadrados de color blanco. La otra pared contiene cerámicos cuadrados de color celeste. Ambas paredes forman un ángulo recto (90°).

• El piso también está cubierto de cerámicos cuadrados. Todos los cerámicos, tanto los del piso como los de las paredes son del mismo tamaño.

• En la esquina de la pared, paralelo al piso, esta ubicado un estante que tiene forma de triángulo rectángulo.

• La altura de la lámpara de pie tiene una medida que equivale al lado de cinco cerámicos.

• La altura del perchero tiene una medida que equivale al lado de seis cerámicos.

1) Observa el esquema y realiza las siguientes anotaciones en el mismo:a) Marca el punto que esté ubicado justo donde concurren las paredes y el

piso. Determina a ese punto con la letra O.

b) Marca los puntos A, B y C que corresponden a los vértices del estante que tiene forma de triángulo rectángulo.

c) Marca el punto L ubicado en el extremo superior de la lámpara de pie.

d) Marca el punto P ubicado en el extremo superior del perchero.

e) Desde el punto O marca con un lápiz de color la línea recta donde se encuentran la pared de cerámicos blancos y el piso. ¿En que dirección desplazaste el lápiz para trazar es línea?

f) Desde el punto O marca con un lápiz de otro color la línea recta donde se encuentran la pared de cerámicos celeste y el piso. ¿En que dirección desplazaste el lápiz para trazar es línea?

g) Desde el punto O marca con un lápiz de otro color la línea recta donde se encuentran las dos paredes. ¿En que dirección desplazaste el lápiz para trazar es línea?

2) Mediante la exploración, teniendo en cuenta las tres direcciones recientemente marcadas, analiza las siguientes situaciones:a) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes

desplazar tu lápiz hasta llegar al punto L?

b) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes desplazar tu lápiz hasta llegar al punto P?

c) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes desplazar tu lápiz hasta llegar al punto A?

d) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes desplazar tu lápiz hasta llegar al punto B?

e) Partiendo del punto O: ¿En qué direcciones y cuántos cerámicos debes desplazar tu lápiz hasta llegar al punto C?

3) Registra los datos que se obtuviste anteriormente en la siguiente tabla:

DIRECCIONES

Puntos Adelante Derecha Arriba Adelante

L

P

A

B

C

L

¿Que aprendimos hasta ahora ?• Para representar con números (pares o ternas ordenadas) una posición en

particular requerimos de un sistema de referencia.

• En situaciones como la anterior necesitamos una terna de rectas ortogonales y concurrentes. (eje x, eje y, eje z).

• Fue necesario fijar un punto de origen (0, 0, 0) que resulta de la intersección de las tres rectas.

• Requerimos también, de una unidad de medida sobre cada recta (que no necesariamente deben tener la mima unidad).

• La terna de recta determina un sistema de referencias en tres dimensiones.

• Hay una relación biunívoca entre los elementos a representar y los valores asignados