SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Hace más de ...

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

Hace más de veintiún siglos se publicó en China el libro de los

Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. En el capítu

lo octavo se resuelven problemas que conducen a sistemas de

ecuaciones lineales (incluso de cuatro ecuaciones con cinco incógni-

tas). En concreto, el sistema

x+ 2y+ 3z= 26} 2x + 3y + z = 34 lo resuelven mediante la matriz (

1 2 3 26) 2 3 1 34 3 2 1 39

3x + 2y+ z= 39

Dicha •matriz se transforma, mediante operaciones entre sus filas, en

esta otra:

(º~ O 36 99) 5 l 24 que significa

2 l 39

36z= 99} 5y+ z= 24

3x + 2y+ z = 39

de la que se obtienen inmediata y sucesivamente los valores de x, y, z.

Por tanto, lo que hoy llamamos método de Gauss quizá debería lla

marse método de Chui-Chang suan shu (que es como se transcribe del

chino el título del mencionado libro, de autor desconocido).

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Una ecuación es una re lación entre las incógnitas que

intervienen en ella. Es un dato .

Las incógnitas, como su nombre indica, son "desco

nocidas" que deseamos conocer.

Cuando escribimos 2x + y = 5, estamos diciendo:

"¿Cuánto valdrán x e y de modo que 2x + y sea

igual a 5?".

Como sabemos, hay muchas respuestas a esa pregunta:

x = O, y = 5 x = l , y = 3 X = 2, y = 1

son solo alg unas de las infinitas soluciones de esa

ecuación . (Compruébalo) .

Para averiguar el valor J e dos incógnitas, necesita mos

dos datos (dos re laciones entre la:, incógnit;.is).

El siguiente s is tema es un conjunto d e d os datos

(ecuaciones) con los que podemos averiguar, inequí

vocamente, los valores de x y de y:

{2x + y =5

. ➔ x =2 JJ=l x - y = 1 '

Vamos a comenzar reflexiona ndo sobre las ecuacio

nes Y los sistemas de ecuacio nes bajo este punto de vista:

incógnitas ➔ preguntas

ecuaciones ➔ datos

l. ¿Podemos dec ir que las dos ecuaciones siguientes

sun dos "datus distin tos"? ¿No es cierto que la se

p,ttnda dice lo m isnio que la primera?

{ 2x + y= 'i ' Í.'\: + 2y = 10

■ Represéntalas gráficamente y observa que se trata de la misma recta.

■ Pon otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que la segunda ecuación sea. en esencia, igual que la primera . Interprétalo g~áficamente.

2. Observa las ecuaciones siguientes:

{

2x+y=S X - y = l X+ 2y = 4

La tercera ecuación se ha obtenido restando. miem-bro a miembro, las dos primeras: ·

3~ = le - 2~

Por tanto, lo que díce la tercera ecuación se deduce de lo que dicen las otras dos: no apo11a nada

' nuevo.

■ Represéntalas y observa que las dos primeras rectas determinan un punto (con esos dos datos se responde a las dos preguntas: x = 2, y = l) y que la tercera recta también pasa por ese punto.

EN ESTA UNIDAD VERÁS

■ Hace ya tiempo que sabes resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, su gran importancia justifica que en este curso les dediquemos algunas unidades y aprendamos nuevas herramientas matemáticas para resolverlos con más eficacia.

Nos dedicaremos, fundamentalmente , a las ecuaciones lineales, como, por ejemplo:

3 ~ 2

• X-)=-3

• ..2_ X - 2y + 3z = 11 8

6 3 11 25 • Sx + ~ + - z - - t = -2 4 9

■• En esta unidad revisaremos lo que ya sabemos de sistemas de ecuaciones. Nuestro objetivo será que prestes especial atención a:

- La interpretación geométrica de los sistemas de dos y tres incógnitas. ¿Qué relación hay entre un sistema de ecuaciones, sus soluciones y su representación gráfica?

■ Da otra ecuación que también sea "consecuencia" de las dos primeras.

Por ejemplo:

2 · 1!! + 3 · 2:!

Represéntala y observa que también pasa por X = 2, Y = l.

3. Observa que lo que dice la segunda ecuación. es contradictorio con lo que dice la primera:

{2x + y =5 2x+y= 7

■ Represénralas y observa que se trata de dos rectas paralelas, es decir, no tienen solución común. pues las rectas no se cortan en ningún punto.

■ Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que inventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.

Observa que lo que dicen ambas ecuaciones es ahora contradictorio y que se representan mediante rectas paralelas.

Las ecuaciones con dos incógnitas son rectas. ¿Y las de tres?

¿Qué significa que se corten?

¿Y que sean paralelas?

- Qué tipo de transformaciones sirven para simplificar un sistema de ecuaciones , aproximándonos a la solución, de modo que ni se pierdan ni se añadan soluciones.

■ Aprenderemos un nuevo método, llamado ·'de Gauss", por el cual resolver sistemas de muchas ecuaciones con muchas incógnitas será algo sencillo y mecánico (si lo de "muchas'' pasa de 6 ó 7_

serán los ordenadores los que se encarguen de resolverlos) . .

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ecuación lineal

ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS

ECUACIÓN LINEAL CON TRES INCÓGNITAS

SISTEMA

Los sistemas de ecuaciones lineales son

especialmente interesantes, y a ellos nos

dedicaremos en esta unidad y en las

siguientes. Por eso, en adel~nte, la expresión sistema de ecuaciones, o, simplemente, sistema, la utiliz~remos como

sinónimo de sistema de ecuaciones lineales.

Las ecuaciones siguientes son lineales:

2x - 3 = O; Sx + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; Sx - 3y + z - St = O

pues tienen la peculiaridad ele que son polinómicas de grado 1. Es decir,

las incógni tas no están elevadas a ninguna potencia, ni multiplicadas

entre sí, ni bajo radica les, ni en el denominador ...

No son lineales: 2x - 3y + '✓z = 5; 3xy - 2z = O; x + 2y - sen z = l

Ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas .

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el p lano. Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

~

Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espa-cio. Los puntos del plano son las soluciones de la ecuación.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o las mismas soluciones).

Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

Por ejemplo:

x y l · 1 5 4 4 + 5 = es equ1va ente a x + y = 20 (representan la misma recta).

30x + 20y + 6oz = 60 es equivalente a 3x + 2y + 6z = 6 (representan el mismo plano).

Sistemas de ecuaciones lineales

Varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o las soluciones comunes a todas ellas forman un sistema de ecuaciones.

lJn sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto de rectas. Su resolución consiste en averiguar si todas ellas tienen algún punto en común y localizarlo .

Si las ecuaciones del sistema tienen tres incógnitas, representan planos. Resolver el sistema es encontrar el punto o los puntos que tienen en común todos los planos.

• EJERCICIOS PROPUESTOS

Sistemas equiva lentes

Dos sistemas de ecuacio nes son equivalentes si ri e ne n l::ts m1:,ma.<,

soluciones . Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo seJ.n las ecu acioné"s

que los forman.

P 1 2x - 5y = 16 l \. 5JY + J' = 1-_i, } son equivale ntes . pues

o r ejemp o : J X + 3y = - 3 . X + )' = l

ambos üenen la única soluc ión x = .'.). y = -2.

Transformaciones válidas en un sistema de ecuaciones

Con:-,ideraremo1- v:\lida ruda Lr.:in ..., fl 1nn~1Ció n q ue pase d e un siste ma a otro

equ ív:i lente Por ejemplo :

CD Multipl icar o d i\ ·idir lo -.. do ..., m1<..·m h 10 '- de una de las en taL io nes por

un número distinto d t> cew .

. 1ix + =iy - ::- = 5 l X - 2_1' + Z "" .:; j

@ :\ 11:1.dir unJ l'n ul·11 >n q ui.." :--ea cnrnhrnau< ,n l1nL'.tl ck L,.., dem:i~ o , a l con-1r.irio, , \Jprimir ur1...1 1.:n J.1t ión (]LIL' -.c.1 1.. o rnhm.1uon lineal cJe las o tras.

)X .., ) l' - :: = 3 l ' - J 1] -~ (' ' X - L 1 + Z = ~ •------

_). \º -

X -

1 1_)

z = 3 } .2 \ + z = 5

- 4 Z = - 12

~ Susli tuir una t:'CUaLión pc,r el r<:-:-uhad n d~ -., u ma rk o trn mu ltip l icada

por un número .

3.\' + 5J · - .:: "' 3 1

X - 2_1 · + :: = .::; j , l t 1 _ 1 1 ; ~ l ly- L1z = - L2 }

X - 2_r + Z = )

Se llaman transformaciones válidas a las que ma ntie ne n las so lucio nes del ~istema.

En 13 resolución de sistemas de ecuac1·ones debemo ¡· - _ s rea izar trans-fo rmaciones que , además de vá lidas, sean convenientes, es decir. que nos aproximen a la solución. Para e llo utiliza rem o s . fundame nta l-mente . las transformaciones CD v@ descritas 'b . arn a .

1. Sin resolverlos. ¿son equi\·alentes estos sistemas?

a) { X + )' = ~ bJ { .Y+ J º - Z = 5 2x - _V = .Y + y

{ x + v = 5 3x = 12 {x+y :z = 2 r

l X + V

z = 2

el) { X + y - Z = 1 1 X + 2y - Z =

1.2 SISTEMAS DE ECUACtONES CON SOLUCIÓN Y SIN SOLU(IÓN

REC UERDA

SlSrt.MAS a:lf,vAJiBl "S:

• Determinados: solución único

• lndeierminodos: iofini1os soluciones SiST5MAS LNCQl.%-e.'!fS: Sin solución

Ca sistema de ecuaciones puede :ener so!uoón 100-mpatiblel O no

~ solución (incompatible ). Los sistemas compaúbl~ pueden 1ener una solución (determinados)

o mfmil.a.s soluciones findetenninados 1-

Interpretación geométrica de sistemas .de ecuaciones

con dos incógnitas

, ~1.-+3y = 9 ■. z_.-..,. 3_.r = 9 l r 3x - 5y = ➔ ~

3:r- )r = ➔ , -· , 5x - 2_r = l3

bt.OS dos sistemas de ecuaciones tienen fX)f solución x = 3. _r = l .

Son, por tanto. compatibles determinados .

Esto significa que las lfes rec1as p:is3n por el punto l3. 1 ).

El segundo sisrema es prácticamente igual que e l primero. pues las dos primeras ecuaciones son las mismas y la tercera se obtiene sumando. miembro a miembro. las ameriorcs .

Esta tercera ecuación no dice nada nueco. pues lo que dice se sabía ya por las otras dos: si sabemos que -2'-· • 3_r es igual a 9- y que -.3x - 5y es igual a ➔- . entonces. sin necesidad de que se nos dig:i.. sabemos que -sx - 2_r es igual a 13-_

■ 2'\" + 3y = 9} 4X + 6y = 12

h, 3r = 9 1

3x - s·,· = -1 j -' 5x - 2_r = -6

Estos dos sistemas carecen de solución. Si imenramos resoh·erlos. llegaremos a expresiones disparatadas.

En el primero de ellos. si -2.x + 3_r es igual a 9-_ entonces -1.x + 6r tendría que ser 18. Como se nos dice que -4.x + 6y es igual a 12:. _ las dos afirmaciones son contradicrorias.

Las ecuaciones son incompatibles y el sistema no tiene solución.

En : 1 Segundo sistema. si ?-i: + 3_r es igual a 9- y ·· 3--x- _ 5y es igual a -i . entonces. sumando. )X - 2y debería ser igual a 13. Pero. como se nos dice que ·· sx - 2y es igual a - 6-. esta te rcera afirmación es contradictoria con lo que dicen conruntameme las do, · -,. ~ pnmera:, .

Las ecuaciones son incompatibles . Por eso no hay ningún punto que pertenezca a las tres rectas.

3x- 3z = O

2x + 3y + 7z = 7

Interpretación geométrica ele sistemas de ecuaciones con tres incógnitas

Observemos los siguientes sistemas con sus correspondientes interpretaciones geométricas:

{

2.x + y- z= 11 X- 3y = -20

4.x + 2y + 5z = 8

2x+ y- z= 11 X- 3y = -20

4x + 2y + 5z = 8 7x + 4z = -1

\

2x+ y- z= 11 X- 3y = -20

4x + 2y + 5z = 8 7x + 4z = 3

{

2x + 3y + 7 z = 7 x - 3y - 1 0z = -1

3x - 3z = 6

{

2x + 3y + 7 z = 7 x - 3y - 1 0z = -1

3x - 3z = O

Solución: x = l, y = 7, z = -2

Los tres planos se cortan en un punto.

Solución: x = l, y = 7, z = -2 La cuarta ecuación es suma de las otras tres . El plano correspondiente pasa por el punto común.

Sin solución. La cuarta ecuación contradice la suma de las otras tres . El plano no pasa por el punto de corte de los otros tres.

Solución: Todos los puntos de la recta donde se cortan los planos son solución del sistema.

La tercera ecuación, al ser suma de las otras dos, no aporta información al sistema:

Sin solución. La tercera ecuación contradice lo que se obtiene sumando las otras dos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:

{

2x+ y=l a) 3x + 2y = 4

x+ y= 3

{

x+y+z=6 é) X+ y+ Z = 0

x -z=O

{

x+ y+z=6 b) y - z = l

X+ 2y = 7

{

x+y+z=6 d) y- z = l

z=l

2. a) Resuelve el sistema: { X+ 2y = 3 X- y= 4

b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible .

c) Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.

d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

1.2 SISTEMAS DE ECUACIONES CON SOLUCIÓN Y SIN SOLUCIÓN

, RECUERDA

SISTEMAS COMPATIBLES:

• Determinados: solución única

• Indeterminados: infinitas soluciones

SISTEMAS INCOMPATIBLES: Sin solución

Un sistema de ecuaciones puede tener solución (compatible) 0 no tener solución (incompatible). Los sistemas compatibles pueden tener una solución (determinados) o infinitas soluciones (indeterminados).

Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

■ 2x + 3y = 9} 3x- Sy = 4

2x + 3y = 9 } 3x- Sy = 4 Sx- 2y = 13

Estos dos sistemas de ecuaciones tienen por solución X = 3, Y = l.

Son., por tanto, compatibles determinados.

Esto significa que las tres rectas pasan por el punto (3, 1).

El segundo sistema es prácticamente igual que el primero, pues las dos primeras ecuaciones son las mismas y la tercera se obtiene sumando, miembro a miembro, las anteriores.

Esta tercera ecuación no dice nada nuevo, pues lo que dice se sabía ya por las otras dos; si sabemos que "2x + 3y es igual a 9" y que "3x - 5y es igual a 4", entonces, sin necesidad de que se nos diga, sabemos que "Sx - 2y es igual a 13".

■ 2x + 3y = 9} 4x + 6y = 12

2x + 3y = 9} 3x - Sy = 4 5x- 2y = - 6

Estos dos sistemas carecen de solución. Si intentamos resolverlos lle-' garemos a expresiones disparatadas.

En el primero de ellos, si "2x + 3y es igual a 9", entonces 4x + 6y tendría que ser 18. Como se nos dice que "4x + 6y es igual a 12", las dos afirmaciones son contradictorias.

Las ecuaciones son incompatibles y el sistema no tiene solución.

En el segundo sistema si "2x + 3y es igual a 9" y "3 5 · 1 4

,, , x - y es 1gua a , entonces, sumando, Sx- 2y debería ser igual a 13 p se nos dice qu "5 2 . l . ero, como

. . e x - y es igua a -6"' esta tercera afirmación es contrad1ctona con lo que dicen con1·untament 1 d • e as os primeras.

Las ecuaciones son incompatibles. p or eso no hay ningún punto que pertenezca a las tres rectas.

Á1J7 L[IJ

3x-3z-0

2x + 3y + 7z = 7

Interpretación geométrica de sistemas de ecuac iones

con tres incógnitas

Observemos los s íguíent·es sistemas con sus correspondientes interpreta

ciones geométrkas:

{

2x + y - z= ll X - 3y = -20

4x + 2y + 5z = 8

¡2x+ y - z= 11 x-3y =-20

4x + 2y + Sz = 8

7x + 4z = -1

¡2x+ y - z= 11 X- 3y = -20

4x + 2y + Sz = 8

7x + 4z = 3

{

2x + 3y + 7 z = 7 x - 3y - l Oz = -1

3x - 3z = 6

{

2x + 3y + 7z = 7 x - 3y - 1 Oz = -1

3x - 3z = O

Solución: x = J , y = 7, z = -2


Solución: x = 1, y= 7, z = -2 La cuarta ecuación es suma de las o tras tres. El plano correspondiente pasa por e l punto

común.

Sin solución. La cuarta ecuación contradice la suma de las otras tres. El plano no pasa por e l punto de corte de los otros tres.

Solución: Todos los puntos de la recta do nde se cortan los planos son solución del sistema.


Sin solución. La tercera ecuación contradice lo que se obtiene sumando las otras dos.



{

2x+ y =l a) 3x + 2y = 4

x+ y = 3

{

x+y+z=6 c) X+ y+ Z = 0

x -z=O

{

x+ y+z=6 b) y - z = 1

X + 2y = 7

{

x+y+z=6 d) y- z = 1

z = l

2. a) Resuelve el sistema: { X + 2y = 3 X - y= 4

b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.

c) Ai-\ade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.

d) fnterpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

3x -3z = O

2x + 3y + 7z = 7

Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones


Observemos los s iguientes sistemas con sus correspondientes interpreta

ciones geométricas:

{

2x + y - z= 11

.x- 3y =-20 4x + 2y + Sz = 8

¡2x+ y- z= 11 X- 3y = -20

4x + 2y + 5z = 8 7x + 4z = -1

¡2x+ y- z= 11 x-3y =-20

4x + 2y + 5z = 8 7x + 4z = 3

{

2x + 3y + 7z = 7 x - 3y - 1 0z = -1

3x - 3z = 6

{

2x + 3y + 7 z = 7 x- 3y - l0z = -1

3x - 3z = O

Solución: x = l , y = 7, z = - 2


Solución: x = l , y = 7, z = -2 La cuarta ecuación es suma de las otras tres. El plano correspondiente pasa por el punto

común.

Sin solución. La cuarta ecuación contradice la suma de las otras tres. El plano no pasa por el punto de corte de los otros tres.

Solución: Todos los puntos de la recta donde se cortan los planos son solución del sistema .

La tercera ecuación, al ser suma de las otras dos, no aporta información al sistema .

Sin solución . La tercera ecuación contradice lo que se obtiene sumando las otras dos.



{

2x+ y=l a) 3x + 2y = 4

x+ y= 3

{

x+y+z=6 C) X+ y+ Z = 0

x -z=O

{

x+ y+z=6 b) y- z = 1

X+ 2y = 7

{

x+y+z=6 d) y- z = 1

z=l

2. a) Resuelve el sistema: { X+ 2y = 3 X- y = 4

b) ~ acle una tercera ecuación de modo que siga s1enclo rnmpatible.

c) Aú.ade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.

d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso .

3x- 3z= O

2x + 3y + 7z = 7

Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones


Observemos los siguientes sistemas con sus correspondientes interpreta

ciones geométricas:

{

2x+ y - z = 11 X - 3_y = -20

4x+ 2y + 5z = 8

¡2x+ y - z= 11 X- 3y = -20

4x + 2y + 5z = 8 7x + 4z = -1

¡2x+ y - z= 11 X- 3_y = -20

4x + 2y + 5z = 8 7x + 4z = 3

{

2x + 3y + 7 z = 7 x- 3y - lOz = -1

3x - 3z = 6

{

2x + 3y + 7 z = 7 X- 3y - l0z = -1

3x - 3z = O

Solución: x = 1, y = 7, z = -2


Solución: x = 1, y = 7, z = -2 La cuarta ecuación es suma de las otras tres. El plano correspondiente pasa po r el punto

común.

Sin solución . La cuarta ecuación contradice la suma de las otras tres. El plano no pasa por el punto de corte de los otros tres.

Solución: Todos los puntos de la recta donde se cortan los planos son solución del sistema.


Sin solución.

La tercera ecuación contradice lo que se obtiene sumando las otras dos.



{

2x+ y =l a) 3x + 2y = 4

x+ y= 3

{

x+y+z=6 C) X+ _y + Z = 0

x -z=0

{

x+ y +z=6 b) y - z = 1

x+2y = 7

{

x+y+z=6 d) y- z = 1

z=l

2. a) Resuelve el sistema: { x+ 2y = 3 X- y = 4

b) ~ñade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.

c) Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.

d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

l .3 SISTEMAS ESCALONADOS

PROPUESTA

Resuelve paso a paso cada uno de estos tres sistemas.

NOTACIÓN

'), (lambda), µ (mu), ,, (nu), son letras griegas que suelen utilizarse como parámetros .

~ EJERCICIOS PROPUESTOS

. · t ., f,-'tc ilc~ de rc-,o h t:1 . . ·dinan arnen e < ■ Los siauie ntes sistemas son extracH o - ¡ x+2_y -l: ~

{

X - 3y + 2z = / y + Z = {

2x + 3y = 14 Sy _ z = 6 z + 31 - 11 5y = 10 . 3Z = 12 2L = 6

. l . de cad a incógnita que. . . - b . ndo el va o r De abaJO amba, vamo:, o teme . •ce seguir e l proceso. sustituida en las anterio res ecuaciones. pet mi Estos sistemas se llaman escalonados .

. \\ te ner más incógnitas 1 d 1 - ·auie nte sistema . · . ■ También es esca o na o e ::.10 . . , b te " a l segundo rrnem-

1 . cóan1ta so ra n que ecuacio nes. pasamos ª li1 ° · c. · , d ~ e lla : , 1 \an en i Ltncion e bro. con lo que las demas se ca cu

..,8~+ tl l' + z =

z = 11 - _:i..,

x+ 2y - 1 = y +z

z + 31 =

5 } 8 ➔

]1

.\" + 2_1 ·

<Y) z = 11 - 31 (2-~) J' = 8 - z = 8 - (1 J - ?,t) = -.1, +

31

( 1 E') X = 5 + 1 - 2_1' = "l + f - 2 (-!, + _-i,f) = 11 - ::,,

. , . . , l : 11 puesta '- en funci ó n de t. le Puesto que tocb , b:- 1ncogn1t::i .., 1..:.., .t • .

1 · ¡ ¡ , 11 3 c·i"ndo t = 1 no.-. queda . cJ:.1 1110~ :J ~:,t;_l un , 3 nr, :lí13 ., l -. -. · ·

r • - ~ + _.~,i, z ... 11 - ji. t = A. X • 11 - ::;;,

P:u :1

c H.b , :th)l nl1t11l'rir.o quL' dL'mo, .1 i . ohlcn<lremo:, lo~ correspnndient1.·, , .1!01'!''- c.h.· x . 1. z. t

Por l'jL'111plo par:.i 11. • O -,e ohtil."'111..: x • l l . J • - 3. :: == 11 , I = O. par3 i. • 1 ..,l' ohl1L·n<.: .,· • h, 1· .. ll. :: = R t = 1.

■ Aunque l':-, meno~ e\'llk-ntc . lJmbkn 1.: -. e-.'- ., lonado e'>lC ..,¡:,tema :

3:Y - :;y 21·

x+ 1 + .: =

11 ..¡

} ..¡

1 E:,, d:.tru qu1.4 potl(.'.'mo, dc:,pejar. ::.ucesiva me nte . 13 l ' l"" f1 IJ 21 • IJ .\· en b !l , ·. fina lmente , la z e n b !,~

Tambi12n lbm::iremos t·~L1tlorudo"' ., esto::. ::.t~tema~. aunque ~u fisonomfa no lo sugier:-1.

1. Reconoce como esc31onados los siguientes siste 2. ¿Son escalo nados estos sistemas~ Resuélvelos:

z + { = 3 mas y resuéh·elos:

( -,

1 3x = ~ a) < -

l x- 2_v =) {

2.-x- = 6 b) _x + )' + 3z = ~

)X - Z = .:¡.

J + 3z - 2t = --±

2z = 2 - z + 2t = 5

a )

X

b ) r x + y + z = -L2x - z = 4

( 2x - 21 = 6 C ) ~ X + .1' + jz {

r 2x + 3z = O d ) x + 3y - z = -:

--LX = --±

e ) {X+ _V + Z + t = 3 X - _)' = 2

l r + :::- c.

21 .., l X+ 2y • 2z..,

\ \ . -. 'r ' ' (:

?,·(, .

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Transformar en escalonados estos sistemas:

a) { X - 3_y = 4 3x- 7} = 7

{

X+ 5y- 3z = 7 b) 2x- y + z = 11

4x + 3y - 4z = 3

e)

3.x- y +2z-3t= 19 X - 2y + 3z + 4t = - 16

2x- y + z- t = 9 X - y + 3z + 2t = - 7


Cómo transformar un sistema en otro escalonado

Veamos cómo se pasa de un sistema cualquiera a otro escalonado,

{

X - 3y = 4 a) · 3x - 7y = 7

( P)

(2-') - 3 · (l i)

X - 3_y = 4} 2y = -5

Fíjate en cómo los coeficientes que son 1 ayudan enormemente a ha

cer transformaciones fáciles,

{

x + 5y- 3z = 7 b) 2x - y + z = ll

4x + 3y - 4z = 3

( P )

(2!) - 2 · (P !

CYJ - 4 · CP)

x + Sy - 3z = 7 } -lly + 7z = - 3 -17y + 8z = - 25

( P) x + 5y - 3z = 7 } -17 · ( 2.é ) <·1 187y - ll9z = 51 11 - (Y) <•l -187y + 88z = - 275

( P )

( 21)/17

-(31 ) - cm

x + Ya tenemos el sistema en forma escalonada.

5y - 3z : 7 } La transformación (·') se_ ~a hecho, obviame~-11 Y - 7 z - 3 te para i aualar los coef1c1entes de la y , y as 1, 4 , e,

31z = 22 poder eliminarla sin recurrir a las fracciones.

¡ 3x - y + 2z - 3t = 19 X - 2_y + 3z + 4t = -16

c) 2x - - y + z - t = 9 X - _y + 3z + 2t = - 7

(11) - 3 . (41)

(21) - (41)

CY) - 2 · W) W)

(1.e) + 2 · ( 2])

(2-')

- 7z - 5t = 22 - y + 2t = -9

- Sz - 3t = 14 CY) + (21)

W) X - _y + 3z + 2t = - 7

- 2lz -15t = 66 - y + 2t = -9

. 25z + 15t = - 70 X - )' + 3z + 2t = - 7

Ya está en forma escalonada.

(11) + (31)

(21)

CY)/5 W)

2y - 7z - 9t = 40 - y + 2t = -9

y - 5z - 5t = 23 X - )' + 3z + 2t = - 7

3 · (11)

(21)

-5 . (31 )

W)

4z = - 4 - y + 2t = - 9

Sz + 3t = -14 X - )' + 3z + 2t = - 7

Resolución: (P) ➔ z = -1 ; (3!1) ➔ t = - 3; (2!1) ➔ y = 3; (41) ➔ x = 5

· .· 3. Transforma en escalonados y resuelve: 4. Transforma en escalonado y resuelve :

' { X - y + 3z = - 4 a) X+ y + z = 2

X+ 2y- z = 6 {

x + y + z= 6 b) x - y - z = - 4

3x + y+ z = 8

X- y + 3z = 0 3x - 2y - Sz + 7w = - 32

X + 2y - Z + 3W = 18 X - 3_y + Z + 2W = -26

··· - -....,...._

1. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones

Resuelve los sistemas:

{ X+ 3y- Z = J

a) 2x + y -2z = 3

{ x+y- z+w=l

b) 2x + y + 2z -w • 2

Para convertir cada sistema en otro con el mismo número de ecuaciones

que de incógnitas , pasaremos al segundo miembro tantas incógnitas como sea necesario.

Cada sistema se resuelve en función de esas incógnitas, a las que llama

mos parámetros (variable que puede tomar cualquier valor real). Para

cada valor que demos a los parámetros obtendremos una solución.

Estos sistemas nunca tienen solución única. Pueden tener infinitas solu

ciones o no tener ninguna.

a) Pasamos la z al segundo miembro para que el sistema tenga tantas

ecuaciones como incógnitas y llamamos z = A:

{ X + 3y = 1 + Z

' 2x+ y =3+2z {-2x - 6y = -2 - 2A } 2x + y= 3 + 2A

1 Sumando ambas ecuaciones, obtenemos: y = - 5 Sustituimos z e y en la primera ecuación para obtener x:

( 1) 3 8 x + 3 -- = 1 + ,,,., ➔ x = 1 + - +A= - + A . 5 5 5

Las soluciones del sistema son ( ~ + A, - l.. , A). Para cada valor de A obtenemos una solución . ) 5

Comprobación: ~ +A+3(-~)-A= ~ - ; =1

z ( : + + (- ! )- 2A - 156 _ ! -3

b) Para resolver el sistema, es necesario pasar dos incógnitas al segundo miembro:

{ x+y=1+ z-w

2x+ y = 2-2z+ w

Hacemos z = A, w = µ ➔ {-x -Y = -1 - Á + µ 2x + y = 2 - 2A + µ

Sumando, obtenemos:

x = 1 - 3A + 2µ ➔ y = 1 + A - µ - 1 + 3A - 2µ = 4A - 3µ

Soluciones: (1 - 3A + 2µ, 4).., - 3µ, A, ~t)

Dando valores a A y µ obt I l · . . , enemos as so uc1ones del sistema. Por

e¡emplo, s1 A = 1 y µ = O, la solución es (-2, 4, 1, O) .

Comprobación: { 1 - 3A + 2µ + 4A - 3µ - A + µ = 1

2 (1 - 3A + 2µ) + 4A - 3µ + 2A - µ = 2

2. Método de Gauss

Res uelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

¡ x- y+z= O 2x- y-z = 5

a) X+ 2)1 + Z = -3 2x -4y- z = 8

{

2x + 3z = -1 b) 3x -2y - 2z = 5

5x + 2y + 14z = -9

{

3x + 2y = 6 c) X+ y= J

3x + 2y = O

a) Aplicamos el método de Gauss:

( ~ =} ~¡ 13) 2 - 4 -1 8

(~ I 1 O ) -3 5 9 -18

-9 18

(1!)

(V) - 2 · (1!)

(3!) - (1!)

(4!) - 2. (1!)

(1!)

(2!)

(3!)

(4!) + ( Y )

(~ I i ~) ( ~ I t -Is)

{ X - y+ z = 0 {X= y - Z = -1 + 2 = 1

y-3z= 5 ➔ y=5+3 (-2) =-1

i 9z = -18 z = -2

Solución: (1 , -1 , -2)

El sistema representa cuatro planos que tienen un punto en común.

(1!)

(2!)

(Y) - 3 · (2!)

(4!) + 2 · (2!)

b) Como ninguno de los coeficientes de las incógnitas es igual a 1, to

mamos la primera ecuación como referencia:

(2 O 3 ~1) ( P ) ( 2 O 3 -1 ) (V)

3 -2 -2 2 · ( 2P) - 3 · (12) O -4 -13 13 (21)

5 2 14 -9 2 · (31) - 5 · (1!) O 4 13 -13 CY) + (21)

( 2 O 3 -1) { O -4 -13 2x + 3z = -1

13 ➔

o o o 0 - 4y - 13z = 13

El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones . Resolvemos pasando la tercera columna (z) al segundo miembro.

1 3 x=----z 2 2

13 13 y=----z 4 4

El sistema representa tres planos que tienen una recta en común.

c) La primera y la tercera ecuación son contradictorias. El sistema es in

compatible. Lo comprobamos aplicando el método de Gauss:

( i ~ ~ ) t )c2i) _ v ( ~ ~ !3 ) ➔ { 3x +

2~ : -~

3 2 O 3! - l! O O -6 Ox + Oy = -6

La tercera ecuación no se puede cumplir nunca . El sistema no tiene solución; representa dos rectas paralelas y otra que las corta.

2

3

4

5 s

6

j PARA PRACTICAR 1

l Halla, si existe, la solución de los siguientes sisl temas e interprétalos gráficamente:

3x + y=2 { X+ 2y - 1 X- y= l

a) 5x- y=4 b) 2x - y= 3

2x + 2y = l 5x + y= 8

Comprueba que este sistema es incompatible y razona cuál es la posición relativa de las tres rec

¡ tas que representa: 1 ¡ ¡ 1 l j !

{

X+ 2y = 5 3x- y= l 2x + 4y = O

Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:

{

-X+ 2y = Ü

2x + y= -l (3/ 2)x - 3y = O

Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalonados:

{ 2x- y= 7 a)

lly = -69 {

-y+z=l b) 9z = 2

3x- y+ z = 3

{

x+y-t =2 c) y + z = 4

y+t-z=l {

2x- 3y + z = O d) 3x - y = O

2y = l

Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales:

{

2x + Sy = 16 { 3x + 2y + z = l a) x + 3y - 2z = -2 b) 5x + 3y + 3z: 3

x + z= 4 x+ y+ z-0

Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas:

{2x- y= 7

, a) 5x + 3y = -17 ¡

{

- y+z=l b) x - 2y - z = 2

3x- y+ z = 3

7 1 Resuelve:

S { x+ y- z= l

{

3x + 4y- z = 3 b) 6x - 6y + 2z = -16

X- y+ 2z = -6

8

9 s

10

s

11

12

s

a) 3x + 2y + z = l 5x + 3y + 3z = 1

Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:

{ x + 2y - z = 3 b) { -x + 3y + 6z = 3

a) 2x + 4y - 2z = l (2/ 3)x - 2y - 4z = 2

Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

{

X + 2y + Z = 9 { X + 2y + z = 3 a) x - y - z = - l O b) 2x - y + z = - l

2x- y+z= 5

{

-X+ 2y - z = l e) 2x - 4y + 2z = 3

x+ y+ z=2 {

2x- 3y + z = O d) 3x - y = O

4x+ y-z=O

Resuelve por el método de Gauss:

¡ X + 2z = 11

) x+y = 3 ª y+ z = 13

X+ y+ Z = 10

{

2x + y+ 3z = O c) 4x + 2y - z = O

6x + 3y + 2z = O

x-y+z-t= O ¡x+y+z+t= l

b) x + y - z - t = -1

d)

x+y+z-t= 2

X - 3y - Z = -1 X+ 5y + 3z = 3 x+ y+ z= l

3x + 7y + Sz = 5

Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:

{

x+y+z=3 a) X+ y - Z = 3

z=O

PARA RESOLVER

{

x+y+z=3 b) 2x - y+ z = 2

x-y+z=l

Estudia los siguientes sistemas y resuélvelos por el método de Gauss:

{

X + Y + Z = 2 { 2x - 3y + z = 0 a) 2x + ;Y + Sz = 11 b) x + 2y - z = O

. x - )Y + 6z = 29 4x + y - z = O

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