SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES

Tanques interconectadosDos grandes tanques, cada uno de los cuales contiene 24 litros de una solucion salina, estanconectados entre sı mediante unos tubos. El primer tanque recibe agua pura a razon de 6litros/minuto y el lıquido sale del segundo tanque con la misma razon; ademas, se bombean8 litro/minuto de lıquido del primer tanque al segundo y 2 litros/minuto del segundo tanqueal primero. Los lıquidos dentro de cada tanque se mantienen bien revueltos, de modo quecada mezcla es homogenea. Si inicialmente el primer tanque contiene 20 kilogramos de sal yel segundo 12 kilogramos de sal, determine expresion que permite hallar la cantidad de salen cada tanque en cualquier minuto.

Se definen los siguientes elementos para llegar a la solucion.

Variables

• Tiempo: t. Variable Independiente.

• Cantidad de sal en el primer tanque: x = x(t) Variable Dependiente.

• Cantidad de sal en el segundo tanque: y = y(t) Variable Dependiente.

Parametros

• Volumen de solucion salina en cada tanque: 24 litros.

• Flujo de entrada al primer tanque: 6 litros por minuto y 2 litros por minuto.

• Flujo de entrada al segundo tanque: 8 litros por minuto.

• Flujo de salida del primer tanque: 8 litros por minuto.

1

2

• Flujo de salida del segundo tanque: 6 litros por minuto y 2 litros por minuto.

• Concentracion de sal de entrada al primer tanque: 0kilogramoslitro

.

Ecuacion diferencial Como se estudio en el caso de un solo tanque en ecuacioneslineales, se utiliza la siguiente relacion:

Variacion de sal dentro de cada tanque=Razon de entrada de sal - Razon de salida desal

Ası que las ecuaciones diferenciales planteadas son:Primer tanque

dx

dt= 6

litros

minuto· 0kilogramos

litro+ 2

litros

minuto· y kilogramos

24 litros− 8

litros

minuto· x kilogramos

24 litros

dx

dt=

1

12ykg

min− 1

3xkg

min

dx

dt= −1

3x+

1

12y

Segundo Tanque

dy

dt= 8

litros

minuto· x kilogramos

24 litros− 2

litros

minuto· y kilogramos

24 litros− 6

litros

minuto· y kilogramos

24 litros

dy

dt=

1

3xkg

min− 1

12ykg

min− 1

3ykg

min

dy

dt=

1

3x− 1

3y

Sistema de ecuaciones

dx

dt= −1

3x+

1

12y

dy

dt=

1

3x− 1

3y

Condiciones iniciales

• Cantidad inicial de sal en el primer tanque: 20 kilogramos de sal, x(0) = 20.

• Cantidad inicial de sal en el segundo tanque: 10 kilogramos de sal, y(0) = 12.

Solucion para el ejemplo Al despejar y de la primera ecuaciondxdt

= −13x+ 1

12y y derivar con respecto al tiempo, resulta

y(t) = 12dx

dt+ 4x(t)

dy

dt= 12

d2x

dt2+ 4

dx

dt

3

Al reemplazar en la segunda ecuacion del sistema y despejar se obtiene una ecuacion desegundo orden homogenea como se muestra a continuacion

dy

dt=

1

3x− 1

3y

12d2x

dt2+ 4

dx

dt=

1

3x− 1

3(12

dx

dt+ 4x)

12x′′ + 8x′ + x = 0

Cuya solucion general es x(t) = C1e−t/6 + C2e

−t/2.Como y(t) = 12dx

dt+ 4x(t) se obtiene

y(t) = 12

(−1

6C1e

−t/6 − 1

2C2e

−t/2)

+ 4(C1e−t/6 + C2e

−t/2)

y(t) = 2C1e−t/6 − 2C2e

−t/2

Al utilizar las condiciones iniciales x(0) = 20 y y(0) = 12.

C1 + C2 = 20

2C1 − 2C2 = 12

Con la solucion C1 = 13 y C2 = 7 . De modo queLa cantidad de sal en el primer tanque x(t) = 13e−t/6 + 7e−t/2.La cantidad de sal en el segundo tanque y(t) = 26e−t/6 − 14e−t/2.Primer tanque

Segundo tanque

4

Ahora se muestra el comportamiento de la cantidad de sal en los dos tanques (hasta los 15minutos aproximadamente) sobre un mismo plano. El eje horizontal representa la cantidadde sal en el primer tanque y el eje vertical la cantidad de sal en el segundo tanque.

Se observa que la tendencia es que ambos tanques se queden sin sal despues de ciertotiempo.

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¿En que parejas la razon de cambio en el primer tanque es cero? La respuesta se muestraen la siguiente grafica y corresponden a la recta h ¿Y para el segundo tanque? La respuestacorresponde a la recta i ¿En que parejas las dos razones de cambio dan cero?Estas rectas dividen al primer cuadrante en tres sectores. Dado si la cantidad inicial de sal encada tanque se encuentra en uno de estos tres sectores, en la siguiente grafica se muestran lastendencias que presentarıan las cantidades de sal en cada tanque. Para mostrar estas tenden-cias NO es necesario resolver el sistemas de ecuaciones diferenciales ¿Este corportamientoes consistente con la grafica anterior?

Ejercicios

1. Repita el ejemplo resuelto suponiendo que la cantidad inicial de sal en el primer tanquees de 10 kilogramos y en el segundo tanque es de 40 kilogramos, manteniendo los demasvalores iguales. ¿Que diferencias se encuentran en las soluciones halladas?

2. 19. Dos grandes tanques, cada uno con 100 litros de lıquido, estan conectados entre sımediante tubos, de modo que el lıquido fluye del tanque A al tanque B a razon de 3litros/minuto y de B al A a razon de 1 litro/minuto. El lıquido dentro de cada tanquese mantiene bien revuelto. Una solucion salina con una concentracion de 0.2 kilogra-mos/litro de sal fluye hacia el tanque A a razon de 6 litros/minuto. La solucion (diluida)sale del sistema del tanque A a 4 litros/minuto y del tanque B a 2 litros/minuto. Si enun principio, el tanque A contiene agua pura y el tanque B contiene 20 kilogramos desal, determine la cantidad de sal en cada tanque en cualquier instante de tiempo.

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Diagramas de Fase

En el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales, tambien se puede realizar unanalisis cualitativo para sistemas de ecuaciones autonomos (aquellos en los que en las funcio-nes del lado derecho no aparece la variable independiente) parecido al de campo de direccionesrealizado anteriormente.

dx

dt= f(x, y)

dy

dt= g(x, y)

Una solucion de este problema es un par de funciones x(t) y y(t) que satisfacen el sistemapara todo t dentro de algun intervalo I. Estas soluciones como dependen del parametro t, sepueden visualizar en el plano xy obteniendo una trayectoria solucion.Para el sistema anterior, los puntos crıticos son aquellos (a, b) donde ambas derivadas soniguales a cero

dx

dt(a, b) = f(a, b) = 0

dy

dt(a, b) = g(a, b) = 0

Notese que si (a, b) es un punto crıtico, entonces x(t) = a y y(t) = b es una solucion delsistema.Para cada pareja en el plano xy se puede calcular las derivadas dx

dt= f(x, y) y dy

dt= g(x, y)

determinar si x o y crecen o decrecen en ese punto.Segun el comportamiento presentado en las trayectorias cercanas a un punto de equilibrio,estos se clasifican en:

1. Nodo Estable

7

2. Nodo Inestable

3. Punto de Silla

4. Centro

8

5. Espiral Estable

6. Espiral Inestable

CRITERIO PARA CLASIFICAR PUNTOS CRITICOS

Dado un sistema

dx

dt= f(x, y)

dy

dt= g(x, y)

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al calcular los valores propios λ1, λ2 de la matriz Jacobiana

J =

(f ′x f ′yg′x g′y

)se puede determinar la naturaleza del punto de equilibrio segun:

1. Nodo Estable. λ1 < 0 y λ2 < 0.

2. Nodo Inestable. λ1 > 0 y λ2 > 0.

3. Punto de Silla. λ1 < 0 y λ2 > 0.

4. Centro. λ1,2 = ±βi

5. Espiral Estable. λ1,2 = α± βi,con α < 0.

6. Espiral Inestable. λ1,2 = α± βi,con α > 0.

EjemploModelo Depredador-PresaUna de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales es el concerniente a losmodelos depredador-presa. Estos modelos suponen la interaccion de dos especies: depreda-dores x(t) y y(t) presas .A continuacion se presenta un ejemplo de un modelo de Lotka-Volterra.

dx

dt= −0,1x+ 0,02xy

dy

dt= 0,2y − 0,025xy

Donde las poblaciones x(t) y y(t) , se miden en miles.Los puntos crıticos son (0, 0) y (8, 5) . (El de mayor importancia para el analisis es (8, 5) yaque x(t) ≥ 0 , y(t) ≥ 0)

La matriz Jacobiana es J =

(−0,1 + 0,02y 0,02x−0,025y 0,2 − 0,025x

)Evaluada en (0, 0) , J(0, 0) =

(−0,1 0

0 0,2

)cuyos valores propios son -0.1 y 0.2, por lo

tanto este punto crıtico se clasifica como un punto de silla. Evaluada en (8, 5) , J(8, 5) =(0 0,16

−0,125 0

)cuyos valores propios son±0,14i , ası que este punto crıtico corresponde a

un centro.Se muestra las direcciones alrededor del punto (8, 5). En el siguiente grafico, las flechashorizontales indican el crecimiento(hacia la derecha) o decrecimiento(hacia la izquierda) dela poblacion de depredadores. Y las verticales aumento (hacia arriba) o disminucion (haciaabajo) de la poblacion de presas.

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Estas direcciones se indican sobre el campo de direcciones de la funcion fg

a continuacion.

11

Se muestran las direcciones alrededor de (0, 0). Teniendo en cuenta que los cuadrantes IIIy IV, no tienen sentido en el crecimiento de las poblaciones. Se muestran para ilustrar el porque del punto de silla.

Ejercicios

1. Determine que sucede con la poblacion de depredadores y presas en el ejemplo, si lapoblacion inicial de depredadores es de 9 y la de presas es de 4.Determine los puntos crıticos, clasifıquelos, haga un bosquejo del diagrama de fase.

2.

dx

dt= 5x− 3y − 2

dy

dt= 4x− 3y − 1

12

3.

dx

dt= −y(y − 2)

dy

dt= (x− 2)(y − 2)

4.

dx

dt= x2 − 1

dy

dt= xy

5.

dx

dt= y2 − 3y + 2

dy

dt= (x− 1)(y − 2)

6. Considere el modelo de competencia

dx

dt= 2x− 0,4x2 − 0,3xy

dy

dt= y − 0,1y2 − 0,3xy

donde las poblaciones x(t) , y(t) se miden en miles y el tiempo en anos. Determinelos puntos crıticos, clasifıquelos y haga un bosquejo del diagrama de fase. Ademas,determine que sucede con las poblaciones si se tienen las condiciones

A. x(0) = 1,5, y(0) = 3,5.

B. x(0) = 4,5, y(0) = 0,5.