SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

Marco teórico

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar)

y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

 El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico delas matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y de terminantes

Tipos de sistemas lineales

En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.

Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible. Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.

Método de igualación

Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.

Sea, por ejemplo el sistema:

Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:

Entonces,

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2.

Método de sustitución

La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.

Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja , y se

sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

-17 y = -17, y = 1. Como , entonces x = 2.

Método de reducción

La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de los siguientes pasos:

Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:

Conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones:

Planteamiento

Para resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se deben seguir varios pasos:

Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtiéndolo en ecuaciones con coeficientes, constantes y variables o incógnitas.

Analizar el tipo de sistema que se obtiene.

Elegir un método de resolución (algebraico o gráfico) y aplicarlo.

Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema.

Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas.

 

Sistemas cuadrados de múltiples ecuaciones

Un procedimiento sencillo para resolver sistemas cuadrados con más de dos ecuaciones es el denominado método de Gauss. Este método consiste en tomar las ecuaciones dos a dos y aplicarles el método de reducción para ir rebajando sucesivamente el número de incógnitas y de ecuaciones manejadas. Una vez obtenida la solución de una de las incógnitas, se va sustituyendo en orden inverso en las ecuaciones anteriores hasta obtener la relación completa de raíces para todas las incógnitas.

 

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos gráficos

Sistema compatible determinado.

Sistema compatible indeterminado.

Sistema incompatible.

El problema a resolver es encontrar el valor de las incógnitas x, y tales que las dos ecuaciones sean verdaderas.En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:

1. El sistema tiene una única solución.2. El sistema no tiene solución.3. El sistema tiene más de una solución (infinidad de soluciones).

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se verán a continuación, sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma solución.

Ejemplos:

Ejemplo 1Consideremos el sistema

2x + 3y = 13x − y = −1

Como (2)(−1)−(3)(3) = −2−9 = −11 6= 0, entonces el sistema tiene una única solución.

Ejemplo 2Consideremos el sistema

3x + 4y = 46x − 2y = 2

Como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 6= 0, entonces el sistema tiene una única solución.

Aplicaciones

Fracciones parciales

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas maten áticas es aquella conocida como fracciones parciales. ´Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo

Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

Solución

Se debe cumplir:

Esto se cumple si:

1 + 0 _ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x

Es decir, si:

3 a − 2 b = 1a + b = 0

El cual tiene como solución:

Ejemplo 4.2

(Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

Solución

Se debe cumplir:

Esto se cumple si:

Es decir, si:

a + b = 2 + b = 2a = 2

El cual no tiene solución.

Determinación de curvas

Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, par ‘abola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos.

Ejemplo

Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P(1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).

Solución

La forma más general de una cuadrática es:

Donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. Para que la función pase por el punto P(1, 4) se debe cumplir que

f(x = 1) = 4

es decir, se debe cumplir:

es decir, se debe cumplir:a + b + c = 4

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación:

a − b + c = 2y para R(2, 3):

4a + 2b + c = 3

Resumiendo para que la función pase por los puntos P, Q, y R deben cumplirse las ecuaciones:

a + b + c = 4a − b + c = 2

4ª + 2b + c = 3La solución a este sistema es:

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de

funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una función con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

Balanceo de Reacciones Químicas

Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. La problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química cuidando siempre que el número de ´átomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo

Balancee la reacción química

SoluciónPara determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el número de moléculas de las sustancias en la 4 reacción debemos igualar el número de átomos en cada miembro:

Por los átomos de carbono

a = c

Por los ´átomos de oxígeno

2 b = 2 c + d

Por los ´átomos de hidrogeno

4 a = 2 d

Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La formula general para las soluciones queda:

El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros positivos es d = 2:

a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2Aplicaciones a Manufactura

Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir:

x = número de computadoras cañóny = número de computadoras clonz = número de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.Ensamblado

556(total) = 12 x(cañón) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)

Pruebas

120(total) = 2.5 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalación de programas

103(total) = 2 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Al resolver este sistema obtenemos:

x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el ´área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:

En la ´ultima columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.

En las primeras columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

Aplicaciones Diversas

Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces. La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dólar. La segunda vez, cambió un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dólar. La tercera vez cambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dólar. ¿Qué cantidades de yenes, francos y marcos compró cada vez?En nuestro caso las incógnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los tres viajes:

x = cantidad de yenesy = cantidad de francosz = cantidad de marcos

Primera vez:

Segunda vez:

Tercera vez:

Resolviendo el sistema anterior obtenemos:

x = 10500, y = 126, z = 294