sISTEMAS DE COORDENADAS

Sistema de coordenadaso Plano Cartesiano

Sr. Víctor Payano

Matemática

Universidad Central de Bayamón

Profesora Nancy Rodríguez

TEDU 225

Tecnología Educativa

4 de marzo 2005

Índice: Introducción Definición de Sistema de Coordenadas Definición de Par Ordenado Signos de los puntos en los cuadrantes Ejemplo de Par Ordenado Ejercicios resueltos Localizar pares ordenados en el plano Resuelve las ecuaciones Ejercicios resueltos con dos variables Un poco de historia no hace mal Ejercicios para practicar Presentación del maestro Fotos del maestro

Introducción Estas paginas han sido creadas con el objetivo

de ayudar al estudiante a entender mejor el funcionamiento y la utilidad del Sistema de Coordenadas o Plano Cartesiano. En la mismas encontrarás varios ejercicios de practica, su explicación y procedimiento.

Además podrá conectar a otras Páginas de Internet relacionadas al tema.

Definición de Sistema de Coordenadas

Es un sistema de ejes coordenados, en que a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, al número del eje x se conoce como abscisa, al eje Y ordenada.

Definición de abscisa Abscisa: los números tomados

sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.

Definición de ordenada

Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

Coordenadas (x,y)

Sabemos como se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.

Definición de Par Ordenado

Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

Signos de los puntos ( pares ordenados) en los cuadrantes

( x, y )

X

Y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

( + , + )( - , + )

( - , - ) ( + , - )

Origen

Ejemplo de Par Ordenado

Ejemplo:

En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

Par Ordenado ( 3 , 5)

X

Y

Origen

0

1 2 3 4

12345

( 3 , 5 )

Ejercicios resueltos:

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano:

A ( 2 , 3)

B (-3 , 4)

C (-3 , -2)

D ( 3 , 0)0 X

Y

1 2 3 4 - 4 - 3 -2 -1-1

-2

-3

-4

1

2

3

4( 2 , 3 )

( 3 , 0 )

( -3 , 4 )

( -3 , -2 )

A

D

B

C

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas

Ejemplo # 1

y = - 3x + 5

Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5

( x, y )

( 0 , 5 )

Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 )

Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 )Si x = -1 y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )

X Y

0 5

1 2

5 -10

-1 8 X

Y

2 4 6 8 10-10 -8 -6 -4 -2 0

2

4

6 8

10

-2

-4

-6

-8

-10

(0, 5)

(1, 2)

(5, 10)

(-1, 8)

Continuación I

Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se

formaron.

Ejercicio # 2 y = 4x + 2

Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 )

( x, y )

Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 )

Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 )

X Y

0 2

1 6

-1 -2

Variable independiente

Variable dependiente

Continuación II

X Y

0 2

1 6

-1 -2X

Y

0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

1

23456

-1-2

-3-4-5-6

Continuación III

(1,6)

(0,2)

(-1,-2)Los pares ordenados

formados son estos.

Ejercicios resueltos con dos variables

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

Si x = 0

2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10

5y / 5 = 10/ 5 y = 2Continuación…

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

X Y

0 2

5 0Si x = 5

2( 5 ) + 5y = 1010 + 5y = 10 5y = 10 - 10

5y = 0

Continuación…

* Despejar para y *

2x + 5y = 10

Si x = -5

2( -5 ) + 5y = 10

-10 + 5y = 10 5y = 10 + 10

5y = 20

5y/5 = 20/5 y = 4

X Y

0 2

5 0

-5 4

Continuación, ejercicio anterior

Continuación…

X

Y

X Y

0 2

5 0

-5 4

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1-1-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

Continuación B

Estos son los pares ordenados que se

formaron.

(0,2)

(5,0)

(-5,4)

Un poco de historia no hace mal Las Coordenadas son grupos de números

que describen una posición: a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.

Continuación

Continuación historia El sistema de coordenadas cartesianas

fue conocido con el nombre de René Descartes ("De-kart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números.

El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes ("De-kart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números.

Continuación

Continuación de historia El sistema se basa en dos líneas rectas

("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"). (vea el dibujo en la próxima pagina).

Continuación

Dibujo cartesiano

Fig. 1

Continuación

Continuación histórica La distancia en un eje se llama "x"

y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, (figura 2) se conoce como sistema cartesiano.

Figura 2

René Descartes

Practicar para no olvidar

Fig. 4

Ejercicio 1

¿Cuales signos corresponden al primer cuadrante en el plano cartesiano? Recuerda que se gira contrario a la manecilla del reloj:

A: ( + , - )

B: ( + , + )

Ejercicio 2

¿Cuales signos corresponden al tercer cuadrante en el plano cartesiano?:

A: ( - , - )

B: ( + , + )

Ejercicio 3 Localiza el siguiente punto en el plano

cartesiano: P = (3, 5). Seleccione su respuesta

A:

B:

1 2 3 -1-2-3-4-5

1234 5

P

1 2 3 4 5 -4 -3 –2 -1-1

-3-4-5

-2

P

Ejercicio 4

Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: Q = (-4, 2). Seleccione la respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1234 5

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3 B:A:

Ejercicio 5 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano:

R = (-1, -3). . Seleccione la respuesta correcta.

A: B:

1 2 3 4 -1-2-3-4

1

-4 -3 -2 -1

2

3

-1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3R

R

Ejercicio 6

Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1. Selecciona la alternativa correcta:

B:A:

( 1 , 7 ) ( 3 , 5 )

Ejercicio 7

Resuelve la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2.

Selecciona la alternativa correcta:

B ( 2 , 13 )

A ( 3 , 10 )

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando

x = 4

A: ( 5 , 10 )

B: ( 4 , 13 )

C: ( 13 , 4 )

Ejercicio 9 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5

A: ( 2 , 5 )

B: ( 5 , 15)

C: ( 4 , 10 )

Ejercicio 10

Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0

A: ( 0 , 5 )

B: ( 5 , 2 )

C: ( 1 , 4)

Fotos del maestro

Presentación del maestro

Hola soy Víctor Payano, maestro de matemática. Actualmente imparto tutorías de matemáticas en el Proyecto Niños de Nueva Esperanza Inc. Sabana Seca, Puerto Rico. Es un placer poder compartir contigo este proyecto de aprender.

Presentación del maestro II

Estas paginas están creadas con el propósito de ayudarte entender mejor el funcionamiento del sistema de coordenada o Plano Cartesiano. En el mismo hay gráficas y ejercicios y enlace Internet.

Presentación del maestro III

Soy maestro en la Escuela intermedia Juan Ramón Jiménez.

Quiero indicarle a quien haga uso de este material educativo, que si quiere mayor información sobre el mismo u otro, favor escribirme a la siguiente dirección electrónica: [email protected]

Selección incorrecta

Recuerda que en el primer cuadrante la coordenada de x y la de y son positivas.

Ejemplo 3 a la derecha y 5 hacia arriba.

Intente otra alternativa

Felicidades Usted ha seleccionado correctamente:

X

Y



( + , + )

Origen

Siguiente ejercicioSiguiente ejercicio

Selección incorrecta

Recuerda que en el tercer cuadrante la coordenada de x y la de y son negativas.

Ejemplo -4 a la izquierda y -5 hacia abajo.

Intente otra alternativa

Felicidades

Usted ha seleccionado correctamente:

X

Y



( - , - )

Origen


Felicidades

Recuerda que al recorrer 3 a la derecha (coordenada x) y 5 hacia arriba (ordenada y) los dos números son positivos, por tanto el par ordenado estará en el primer cuadrante.

Usted ha seleccionado correctamente:

1 2 3 -1-2-3-4-5

1234 5

P

Resp. B, Ejercicio 3


Error intente otra alternativa

Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 3 espacios a la izquierda y luego 5 hacia abajo, el par ordenado será (-3,-5) por tanto negativos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (3,5).

1 2 3 4 5 -4 -3 –2 -1-1

-3-4-5

-2

Respuesta A, ejercicio 3

Felicidades Selección de respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3

Es correcta porque si recorre -4 a la izquierda y luego 2 hacia arriba se formará el par ordenado (-4,2) que es el que pertenece al punto Q que nos señala el ejercicio propuesto.

Q


Error intente otra alternativa Su selección es incorrecta.

1 2 3 4 -1-2-3-4

1234 5

Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 2 espacios a la derecha y luego 4 hacia abajo, el par ordenado será (2,-4) por tanto, el primer número es positivo y pertenece a la coordenada x, el segundo es negativo y pertenece a la ordenada y. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-4,2).

Felicidades Selección de respuesta correcta.

1 2 3 4 -1-2-3-4

1

-4 -3 -2 -1

2

3

Es correcta porque si recorre -1 a la izquierda y luego -3 hacia abajo se formará el par ordenado (-1,-3) que es el que pertenece al punto R que nos presenta el ejercicio propuesto.


Error intente otra alternativa Selección incorrecta.

1 2 3 4 -1-2-3-4-5

1

-4 -3 -2 -1

2

3

Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 1 espacio a la derecha y luego 3 hacia arriba, el par ordenado que se forma es (1,3) por tanto, los números son positivos y pertenecen al primer cuadrante, donde todos los pares ordenados son positivos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-1,-3).

Selección correcta: Felicidades

Solución de la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1

y = 2x + 5 y = 2(1) +5 y = 2 + 5 y = 7

El par ordenado que se forma es: (1 , 7)


Error, su elección es incorrecta

Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a uno (x = 1) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, su elección es incorrecta

Al resolver la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a dos (x = 2) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: Felicidades

Solución de la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2

y = 3x + 7 y = 3(2) +7 y = 6 + 7 y = 13

El par ordenado que se forma es: (2 , 13)


Solución correcta:

Solución de y = 2x + 5 cuando x = 4

y = 2x + 5 y = 2(4) +5 y = 8 + 5 y = 13

Par ordenado ( 4 , 13 )


Error, selecciones otra respuesta

Al resolver la ecuación 2x + 5

cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta

Al resolver la ecuación 2x + 5

cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta:

y = 2x + 5 y = 2(5) +5 y = 10 + 5 y = 15




Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5

cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta:


y = 2x + 5 y = 2(0) +5 y = 0 + 5 y = 5



Error, selección icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5

cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.

Direcciones en Internet relacionadas al tema http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml

http://jahumada.metro.inter.edu/mrsg1010/unidad3/u3s1t1.htm

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/prope/htmlb/sec_39.html

http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/

http://www.kn.pacbell.com/wired/bluewebn/index.cfm

http://www.shodor.org/interactivate/activities/graphit/

http://www.salonhogar.com/

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