Sistemas de ComunicacinUlises Pineda Rico; M.C. Correo electrnico: u_pineda@galia.fc.uaslp.mxWWW: http://galia.fc.uaslp.mx/~u_pineda/u_pineda.htmFacultad de Ciencias, edificio II, 3er. piso. Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Evaluacin del curso: 30% al Exmen Fin: 20% s y prcticain investigac de Proyecto: 25% Tareas: 25% arciales Exmenes Pfinal n Calificaci Nota: las clases sern de lunes a jueves, salvo ocasiones extraordinariasUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Bibliografa Communication Systems; Simon Haykin; John Wiley and sons; 4th Edition. Modern Digital and Analog Communication Systems; B.P. Lathi, Oxford University Press; 3rd Edition. Signals and Systems; Simon Haykin; JohnWiley and sons. Communication Systems de A. Bruce Carlson; McGraw-Hill Science/Engineering/Math; 3rd editionUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Contenido del curso1. Introduccin2. Procesos aleatorios3. Seales y sistemas4. Sistemas digitales de banda base5. Sistemas de comunicacin pasabanda6. Codificacin de fuente7. Codificacin de canalUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20041. Introduccin Elementos de un sistema de comunicacin Fuentes de informacin Canales de comunicacin Proceso de modulacin Comunicaciones digitales y analgicas Distorsin lineal y no linealUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20042. Procesos aleatorios Variables aleatorias, CDF y PDF Promedios estadsticos Ergodicidad y estacionaridad de procesos aleatorios Densidad espectral Filtros acoplados Ruido en sistemas de comunicacin (AM, FM)Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20043. Seales y sistemas Seales peridicas Series de Fourier Espectro de coeficientes de Fourier Funcin impulso TF tiles involucrando funcin impulso Espectro de seales peridicas y no peridicasUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20044. Sistemas digitales de banda base Muestreo y PAM PCM Cuantificacin Compresin-expansin Mltiplex por divisin de tiempo (TDM) Lneas de cdigo y codificacin multi-niveles Criterios de ISI y Nyquist Filtro de coseno elevadoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20045. Sistemas de comunicacin pasabanda Representacin de envoltura compleja Espectro de seales pasabanda Modulacin binaria (ASK/OOK, BPSK, BFSK) Modulacin digital de multi-niveles (QPSK, MPSK, QAM, MSK, MFSK) Sistema de espectro dispersoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20046. Codificacin de fuente Teora de la informacin Tcnicas de codificacin Mtodo de HuffmannUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 20047. Codificacin de Canal Tcnicas de codificacin Codificacin por bloque Codificacin cclica1. Introduccin.Material a leer sugerido:Seccin primera de Communication Systems de Simon Haykin, pags. 1-26Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004ComunicacinUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004El proceso de la comunicacinComunicacionesUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Modos bsicos de comunicacinBroadcasting: involucra un solo transmisor y una infinidad de receptoresPunto a punto: comunicacin entre un transmisor y un receptorUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Elementos de un sistema de comunicacinFuente deinformacinTransmisorCanalReceptorUsuario de informacinSeal delmensajeSeal transmitida Seal recibidaEstimacin de laseal del mensajeSistema de comunicacinUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Recursos primarios en comunicaciones Potencia transmitida Ancho de banda de canal) (t fUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Fuentes de informacin Una fuente de informacin se caracteriza en trminos de la seal portadora de la informacin. Una seal se define como una funcin definida en el tiempo, en cada instante la funcin tiene un valor nico. Dependiendo de la aplicacin, la seal puede tener ms de una dimensin, ej.O Unidimensional: voz, msica, datos de computadora.O Bidimensional: imgenes.O Tridimensional: datos de vdeo.O Tetradimensional: volmen de datos sobre el tiempoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Redes de comunicacinRouterRouterRouterLaptopComputerWorkstationComputerMinicomputerLmites de lasubredModelo OSIFsicoControlRedTransporteSesinPresentacinAplicacin7654321NivelUsuario X Usuario YFsicoControlRedTransporteSesinPresentacinAplicacinRedControl ControlFsico FsicoNodo de subredEnlace fsico Enlace fsicoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Canal de comunicacin Un canal de comunicacin es el medio fsico por el cual la transmisin de la informacin se lleva a cabo, y se clasifica de tipo:OrdenadorPBXTelfono Telfono TelfonoMdemO Propagacin guiada: canales telefnicos, cables, fibras pticas.O Propagacin libre: sistemas inalmbricos, radio mvil, satlites.Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Proceso de modulacin Modulacin es el proceso por el cual el transmisor modifica la seal del mensaje en una manera ms manejable, y con esto facilitar la transmisin por el canal. Podemos clasificarla como modulacin de onda continua o por pulsos.O Onda continua: AM (Amplitud Modulada), FM (Frecuencia Modulada), PM (Modulacin por fase).O Pulsos: dos casos;O Caso analgico: PAM (Modulacin por amplitud de Fase), PDM (Modulacin por Duracin de Pulso), PPM (Modulacin por Posicin de Pulso).O Caso digital: PCM (Modulacin por Codificacin de Pulsos).Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Proceso de modulacin (cont) Mltiplex, es el proceso de combinar distintas seales de mensajes para su transmisin simultnea sobre un mismo canal.O FDM (Mltiplex por Divisin de Frecuencia), se asigna un espacio de frecuencia dentro del ancho de banda, con una portadora distinta para as diferenciar los mensajes entre s.O TDM (Mltiplex por Divisin de Tiempo), la modulacin por pulsos es utilizada para posicionar muestras de diferentes seales de mensajes en espacios de tiempo que no se traslapan.O CDM (Mltiplex por Divisin de Cdigos), cada seal de mensaje es identificado por un cdigo distintivo.Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conversin A/Dm(t)muestras cuantificadas de m(t)Niveles de cuantificacin permitidostUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Proceso A/DftSeal continuaPAMPCM111 7110 6101 5100 4011 3010 2001 1000 0Forma de ondade pulsocodificadoEquivalentebinario DgitoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Tipos de comunicacin analgicos y digitalesFuente de informacinCodificador de fuenteCodificadorde canalModuladorCanalDecodificador de fuenteDecodificadorde canalDemoduladorUsuario de informacinTransmisor ReceptorForma de onda Seal recibidaPalabra cdigo origenPalabra cdigo de canal Estimacin de palabra cdigo de canalPalabra cdigo origen estimadaSeal de mensajeSeal de estimacin de mensajeDiagrama a bloques de un sistema digital de comunicacinUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004ModulacinSeal portadoraSeal senoidal moduladora Seal FMSeal AMUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Distintos tipos de modulacinSeal FMSeal AM1 0 1 0Seal PM270 11180 1090 010 00Cambios de fase PMUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Espectro electromagnticoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Distorsin lineal y no lineal Distorsin lineal: aparece debido a las desviaciones en la respuesta en frecuencia del sistema con respecto a las condiciones ideales.O Distorsin en amplitud: cuando la respuesta en magnitud del sistema no es constante dentro de la banda de inters, sus componentes se transmiten a travs del sistema con diferentes cantidades de ganancia o atenuacin.O Distorsin en fase: surge cuando la respuesta en fase del sistema no es lineal con la frecuencia dentro de la banda de frecuencia de inters. Distorsin no lineal: se presenta en dispositivos con elementos no lineales, por lo tanto no se puede tener una funcin de transferencia. Sin embargo se toman valores instantneos tanto a la entrada como a la salida, de aqusurge una funcin llamada caracterstica de tranferencia. Aplica solo a seales pequeas.Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Ejemplos y aplicaciones Ver pgina en lnea para bajar ejercicios y/o actividades pendientes.2.Procesos aleatoriosMaterial a leer sugerido:Captulos 10 y 11 de Modern Digital and Analog Communication Systems de B.P. Lathi, pags. 434-532Captulo 1 de Communication Systems de Simon Haykin, pags. 31-87Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidadSe considera que un experimento es aleatorio, cuando las condiciones bajo las cuales es desempeado no pueden ser predeterminadas.Ejemplos, lanzamiento de una moneda, dado, cartas, etc... Para el caso de un dado, ste tiene 6 posibles resultados {1,2,3,4,5,6}. Cada resultado es un elemento o muestra. Un evento es un conjunto de resultados, subconjunto de un espacio muestral. El espacio muestral es una coleccin de muestras.Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Ejemplo simple; lanzamiento de dado.{ }5 , 3 , 1, =oA Evento de que un nmero impar sea lanzado{ }6 , 4 , 2, =oA Evento de que un nmero par sea lanzadoUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Ejemplo simple; lanzamiento de dado, (cont)12345oA6eASBoCeeCoeoA AA AA B B AB AB A== = = = 3 1 6 4 24 2 5 3 1, , , ,, , , , Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Frecuencia relativa y probabilidad Sea uno de los eventos de un experimento aleatorio. Si hacemos una secuencia de intentos independientes y si el evento ocurre W , entonces:( )( )intentos de Nmeroocurre que veces de NmerolimANA NA fn== Ejemplo; moneda al aireUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Probabilidad condicional, se da cuando un evento depende de uno anterior.( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 0 |, 0 ||22 11 = ==B PB PAB PB A PA PA PAB PA B PyA B P A P AB PAB nn B nn A N

similar; manera de : es Estoocurre. conjunto evento el que ocasionesde nmero el esque verclaro Esocasiones. en ocurre evento el intentos, esosDe veces.ocurre evento el cual el en veces, realizado o experiment un SeaUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont)( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) A PB A P B PA B PB PA B P A PB A P||,||==: anteriores ecuaciones lasde Entonces Regla de BayesUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Ejemplo simple Un experimento aleatorio consiste de repartir dos cartas de un mazo sin reemplazo. Asigne un valor a la probabilidad de obtener dos ases rojos en dos reparticiones.Sea A y B los eventos de sacar as rojo en primera reparticin y sacar as rojo en segunda reparticin respectivamente. Deseamos determinar P(AB),y la frecuencia relativa de A es 2/52=1/26, as,tambin, P(B|A) es la probabilidad de repartir un as rojo en la segunda reparticin dado que la primera fue un as rojo. La frecuencia relativa de este evento es 1/51, entonces Finalmente:( ) ( ) ( ) A B P A P AB P | =( )261= A P( )511| = A B P( )13261511261== AB PUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Eventos independientes Sea el ejemplo anterior de la reparticin de ases. As la probabilidad P(B),es independiente de si o no el evento P(A) ocurre. As los eventos A y B son independientes. La probabilidad condicional P(B|A) est dada por P(B).( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) B P A P AB PB AA P B A PBA ABB P A B PA B===

ntes, independie son y eventoslossi que Ntese

es, esto , de nte independietambin esevento el entonces, de nte independieesevento el si que Bayesde regla la de ver puede Se

si evento del nte independie esque dice se evento El||Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Intentos BernoulliSi un evento A ocurre, se le llama xito. Si P(A)=p, entonces la probabilidad de xito es p. Si q es la probabilidad de fracaso, entonces q=1-p.El resultado de cada intento es independiente del resto en otrosintentos. Es claro que en n intentos, si el xito ocurre en k intentos, el fracasoocurre en n-k intentos. A partir de que los resultados de los intentos son independientes, la probabilidad de este evento es claramente, esto es, ( )k n np p entos) int ico en nen especf en un ord P(k xitos = 1( )k nnp p 1Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Conceptos bsicos de probabilidad (cont) Ejemplo simpleConsiderese una urna que contiene n bolas enumeradas 1,2,3n. Suponga se reparten k bolas sin reemplazo. Entonces el nmero de maneras en que las k bolas pueden ser repartidas esahora, considrese que esas bolas pueden ser acomodadas de diferentes maneras; k(k-1)(k-2)...1=k!, entonces la probabilidad de kxitos en n intentos es( )( )!!1 )... 2 )( 1 (k nnk n n n n= + ( ) ( )( )( )k nkk nkp pk n knp pknentos int n en xitos k P==1! !!11 2 3 ..*Ejemplo:Probabilidad de obtener kcaras en n intentosUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Procesos aleatorios Un espacio de probabilidad es el tro (,,) donde es el espacio muestral, es el lgebra de conjuntos del espacio muestral y es la medida de probabilidad. Una variable aleatoria es una funcin que mapea el espacio muestral en otro que puede ser medido. Una variable aleatoria tiene cdf y pdf Se define como variable aleatoria al valor numrico asignado a un resultado procedente de un experimento aleatorio. Un proceso aleatorio es una coleccin de variables aleatorias indexadas. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. El conjunto de ndices pueden ser discretos o continuos. En general, el tiempo (discreto o continuo) es considerado el conjunto de ndices.( ) x X P FX =( ) x fXUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Variables aleatorias discretas{ }[ ] [ ] ( )otro. cualquier para 0 y ocurre A si A; evento un para I indicador de funcinla de valor el es Bernoulli aleatoria variable la : Notap p X VARp X Epp pp q pSBernoulliAX = = = = ==11 0 11 , 01 0{ }( )[ ] [ ]{ }( )[ ] [ ]. pendientes- inde Bernoulli intentos de secuencia una en xito mer- pri el hasta intentos de nmero el es , X X' : NotappX VAR ppX Ek p pknpS : versin Segundamemoria" sin " de propiedad la con discreta aleatoriavariable nica la es geomtrica aleatoria variable Lantes. independie Bernoulli intentos de secuencia una enxito primer del antes fallos de nmero el es X : NotappX VAR ppX Ek p pknpS : versin PrimeraGeomtricakkkXkkkX11'1',... 1 , 0 1,... 2 , 1 , 01 1,... 1 , 0 1,... 2 , 1 , 02'2+ ==== ===== =={ }( )[ ] [ ] ( )Bernoulli. tipo del as distribuid nte idnticame e dientes- indepen aleatorias variables n de suma la tanto lo por y Bernoulli intentos n en xitos de nmero el es X : Notap np X VARnp X E,...,n , kp - 1 pknpn SBernoullik - nkkX = ====11 0,..., 1 , 0Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Variables aleatorias discretas (cont){ }( )[ ] [ ]( )dientes.- indepen Bernoulli intentos de secuencia una en xitosimo - r el hasta intentos de nmero el es X : Notapp rX VAR prX E,... r r, kp prkppositivo entero un es r donder r Snegativa Binomialr krkX211 111,... 1 ,= =+ = =+ ={ }[ ] [ ] 1/ media con o distribuid cialmente- exponen es eventos entre tiempo el cuando tiempo de dad- uni una en ocurren que eventos de nmero el es X : NotaX VARX Ey ,... , kekpSPoisson-kkX= => = ==0 1 0!,... 2 , 1 , 0Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Variables aleatorias continuas (cont)( )( )( )[ ] [ ]dientes.- indepen aleatorias variables de nmero gran un desuma la aproximar para utilizado ser ser puedeX s, condicione de intervalo amplio un bajo : NotaX VARm X Eyx ex fSNormal Gaussianam xXX22 /02,) (2 2= => + < < =+ = [ ]( )[ ] [ ]( )12 21,2a bX VAR b aX Eb x a a bx fb a SUniformeXX=+= ==[ )( )[ ] [ ]memoria". sin " propiedadcon nica la es l exponencia aleatoria variable la : NotaX VARX Ey xe x fSl Exponenciax -XX21 10 0, 0 = => = =[ )( )[ ] [ ] ( )222 / 2 2 /0 0, 0 = => = =X VARX Exexx fSRayleigh2 2/2 x -XXUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Variables aleatorias continuas (cont)( )( )( )( )( )[ ] [ ]21/ /0 , 0 0, 0 = => > >=+ =X VARX Egamma. funcin la es z dondeyx e xx fSGammaxXX( )( )varianza la y media la existen No Notax xx fSCauchyXX:0/,2 2> < < +=+ = ( )( )[ ] [ ]2/ 2 002,= => + < < =+ =X VARX Ex -e x fSLaplacianax -XXUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Promedios estadsticos El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria X estdefinida como Si X es una variable aleatoria discreta, La varianza de una variable aleatoria X est definida como la variacin media al cuadrado:[ ] ( )+ = dt t tf X EX[ ] ( )=kk X kx p x X E[ ] [ ] ( ) [ ]2X E X E X VAR =[ ]2D EUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Promedios estadsticos (cont) Tomando la raz cuadrada de la varianza obtenemos una cantidad con las mismas unidades de X. La desviacin estndar de una variable aleatoria X est definida como La STD[X] es utilizada como medida de ancho o dispersin de una distribucin, la ecuacin de la varianza la podemos simplificar como sigue:[ ] [ ]2 / 1X VAR X STD =[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] .22222 222X E X EX E X E X E X EX E X X E X E X VAR =+ =+ =Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Ergodicidad y estacionaridad Proceso estacionarioO Encontramos quela caracterizacin estadstica de un proceso es independiente del tiempo al cual la observacin del proceso es iniciado. Esto es, si un proceso es dividido en intervalos de tiempo, las secciones del proceso exhiben en esencia las mismas propiedades estadsticas. Tal que se dice que es estacionario. De lo contrario es no estacionario Funciones de media, correlacin y covarianzaO Definimos la media de un proceso X(t) como el valor esperado de una variable aleatoria obtenida observando el proceso a algn tiempo t, ( ) ( ) [ ]( )( ) ==dx x xft X E tt XXUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Ergodicidad y estacionaridad(cont) Definimos la funcin de autocorrelacin de un proceso X(t), como el valor esperado del producto de dos variables aleatorias, X(t1) y X(t2), obtenidas observando el proceso X(t) a los tiempos t1 y t2, respectivamente, especficamente escribimos:( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) ==2 1 2 1 2 12 1 2 1,,2 1dx dx x x f x xt X t X E t t Rt X t XXUlises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Ergodicidad y estacionaridad(cont) Propiedades de la funcin de autocorrelacin( )( ) ( ) ( ) [ ]( )( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) ( ) ...Ec.40 es, esto 0, enmxima magnitud sutiene RX acinautocorrel de funcinLa 3....Ec.3 es, esto de, parfuncinuna es acinautocorrel de funcinLa 2....Ec.2 0 , 1 Ecuacinen0 poniento plemente- sim de obtenido serpuede proceso del cuadrado al medio valor.El 1: sigue como sons propiedade las Entonces,1 Ec. ... t todo paracomo io estacionarproceso und acinautocorrel de funcinla s redefinimo notacin, Por 2X XX XXXXXR RR RRt X E R Rt X t X E Rt Xe= ===+ = Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Ergodicidad Un proceso aleatorio X(t) se dice que es ergdico en la forma ms general si sus propiedades estadsticas pueden ser determinadas a partir de una funcin muestra representando una posible realizacin del proceso. Ergodicidad en la media. Se dice que un proceso aleatorio X(t) es ergdico en la media si( )( )propias. y varianza media con 21

es promedio tiempo cuyo aleatoria variable una para,21limdt, t xTm dt t xTTTXTT T =Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Ergodicidad (cont) Ergodicidad en la funcin de auto correlacin. Un proceso aleatorio X(t) es ergdico en la funcin de auto correlacin si( ) ( ) ( )( ) ( )

21

promedio un tiempo es que aleatoria variable siguiente la do consideran,21limdt, t x t xTR dt t x t xTTTXTT T = Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Densidad espectral( )( )( )( ) ( )( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) f G f H f Gt h f HR df f Gf Gf Gtx y2-

por as relacionad estnsalida yentrada de s espectrale funciones las ces- enton , conLTI sistema unde entrada la es xtsi Segunda,0 tonces- en total, energa o promedio potencia la iguala bajo rea el ra,- prime La . esenciales s propiedade dos y tiene frecuencia la de dominioel enenerga o potencia de ndistribuci la representa espectraldensidad de funcinsu, energa o potencia de funcinuna Dada= == Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Densidad espectral (cont)( )( ) ( ) ( )( )entrada. la a espectral densidadla de s en trmino 0 salida de energa o potencia la expresa cual la0en combinadas sons propiedade dosEsas . cualquiera energa de ganancia o potencia la es que desde22yx yRdf f G f H Rf f H =Ulises Pineda Rico, M.C.; Facultad de Ciencias, UASLP; Enero 2004Densidad espectral (cont)( )( )2otro2 0ff ff- ff Gf Gc cxy+