SISTEMA INFORMATIKOEN ERRENDIMENDUAREN EBALUAZIOA · SISTEMA INFORMATIKOEN ERRENDIMENDUAREN...

SISTEMA INFORMATIKOENERRENDIMENDUAREN

EBALUAZIOA

F. Xabier Albizuri - 2018

[email protected]

go.ehu.eus/ii-siee

Gaiak:

1. Atarikoa: probabilitate teoriaren sarrera

2. Diseinu esperimentala eta datu analisia

3. Probabilitate ereduak eta berritze prozesuak

4. Markov kateak

5. Kola sareak eta sistema informatikoen ereduak

6. Simulazioa eta Petri sareak

7. Gehigarria: Komunikazio sareen optimizazioa

Ikasliburak:

1. J.Y. Le Boudec. Performance Evaluation of Computerand Communication Systems. EPFL Press, 2010. Web:perfeval.epfl.ch

2. R. Jain. The Art of Computer Systems PerformanceAnalysis. Wiley, 1991.

3. K. Kant. Introduction to Computer System PerformanceEvaluation. McGraw-Hill, 1992.

4. S.M. Ross. Introduction to Probability Models, 10th ed.Elsevier, 2009.

5. A. Kumar, D. Manjunath, J. Kuri. CommunicationNetworking: an Analytical Approach. Elsevier, 2004.

6. W.J. Stewart. Probability, Markov Chains, Queues, andSimulation. Princeton University Press, 2009.

7. P.J. Fortier, H.E. Michel. Computer Systems PerformanceEvaluation and Prediction. Elsevier, 2003.

Aldizkariak:

1. IEEE/ACM Transactions on Networking

2. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems

3. IEEE Transactions on Computers

4. IEEE Transactions on Multimedia

5. IEEE Journal on Selected Areas in Communications

6. IEEE Transactions on Communications

7. Computer Communications

8. Performance Evaluation

9. Computers & Mathematics with Applications

Probabilitate teoriaren sarrera

Experimento aleatorio: un experimento cuyo resultado esindeterminado. Espacio muestral: conjunto Ω = ω de todoslos posibles resultados del experimento.

Evento: un subconjunto A ⊆ Ω del espacio muestral. Se diceque en un experimento aleatorio ha ocurrido el evento A si elresultado ω ∈ A. Algebra de conjuntos: union de eventos,interseccion, eventos disjuntos, complemento de un evento.

Ejemplo

Definir un experimento aleatorio, dar su espacio muestral.Especificar un evento.


Interpretacion intuitiva de la probabilidad: frecuncia de unevento al repetir una y otra vez el experimento aleatorio.

Probabilidades en un espacio muestral, definicion axiomatica.

Todo evento A tiene una probabilidad P(A) ∈ R,cumpliendose:

i. 0 ≤ P(A) ≤ 1 y P(Ω) = 1,

ii. para eventos cualquiera A1, A2, . . . disjuntos entre sı,P (⋃∞

i=1 Ai) =∑∞

i=1 P (Ai)


De estos dos axiomas se derivan otras propiedades: P(∅) = 0,para eventos A, B disjuntos P(A ∪ B) = P(A) + P(B), paratodo evento tenemos P(A) + P(Ac) = 1, si A ⊆ B entoncesP(A) ≤ P(B), para eventos B1, B2, . . . disjuntos que cumplen⋃

i=1 Bi = Ω entonces dado un evento A cualquiera tenemosP(A) =

∑i=1 P(A ∩ Bi)

Espacios muestrales infinitos, Ω = R: probabilidad comomedida de Lebesgue. No todo subconjunto de R es medible.(Paradoja en Q.)


Variables aleatorias

Una variable aleatoria X asigna un valor X (ω) ∈ R a cadamuestra ω ∈ Ω.

Una variable aleatoria es discreta si X (ω) : ω ∈ Ω es unconjunto finito o infinito numerable.

Usualmente calculamos probabilidades de eventos relativos avariables aleatorias (en particular cuando Ω = R).

Ejemplo

Definir una variable aleatoria.


Dada una variable aleatoria X y b ∈ R, un evento:

X ≤ b = ω : X (ω) ≤ b

Funcion de distribucion F (x) de una variable aleatoria X :

F (x) = PX ≤ x

para x ∈ R. La funcion F (x) es no decreciente,lımx→∞ F (x) = F (∞) = 1 y lımx→−∞ F (x) = F (−∞) = 0

Conocida la funcion de distribucion, calculamos:

P a < X ≤ b = F (b)− F (a)


Si X es una variable aleatoria discreta, se define la funcion demasa de probabilidad:

p(x) = P X = x

para x ∈ R,∑

x p(x) = 1

Si la variable aleatoria X es no discreta y F (x) es una funcionderivable, se dice que X es una variable aleatoria continua,siendo f (x) = F ′(x) la funcion de densidad de probabilidad.Tenemos

∫f (x) dx = 1 (y PX = x = 0)

Ejemplo

Funciones de distribucion de variables discretas y continuas.


Se denomina distribucion de probabilidad de una variablealeatoria X a la especificacion de la funcion de masa deprobabilidad si X es discreta o de la densidad de probabilidadsi X es continua (en general especificacion de la medida deLebesgue dF (x) de la variable aleatoria).

A la funcion de distribucion F (x) tambien se le denominafuncion de distribucion acumulativa (CDF en ingles),diferenciandolo del concepto anterior.


Independencia entre variables aleatorias

Se dice que dos variables aleatorias X e Y definidas sobre elmismo espacio muestral son independientes si para todoA,B ⊆ R:

P X ∈ A,Y ∈ B = P X ∈ AP Y ∈ B

Se generaliza para mas de dos variables.

Formularemos el concepto de independencia medianteprobabilidades condicionadas.


Probabilidad condicional del evento A dado el evento B :

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

(Dado un evento B con P(B) > 0 las probabilidadescondicionales P(A|B) proporcionan nuevas probabilidades paralos eventos A sobre el espacio muestral Ω.)

Teorema de la probabilidad total: dados uno eventos B1,B2, . . .disjuntos y que verifican

⋃i Bi = Ω, para cualquier evento A,

P(A) =∑i

P(A|Bi)P(Bi)


Formulacion de la independencia de variables aleatorias:

P X ∈ A|Y ∈ B = P X ∈ A

Simetrıa de la definicion.

Ejemplo

Variables aleatorias independientes y no independientes.


Esperanza matematica

Esperanza de una variable aleataroia X discreta:

E [X ] =∑x

x PX = x

Variable continua con densidad de probabilidad f (x):

E [X ] =

∫ ∞−∞

x f (x) dx

En general, se escribe E [X ] =∫

x dF (x) integral de Lebesquerespecto de la distribucion F (x) de una variable aleatoria.


Ejemplo

Esperanza de la variable aleatoria geometrica.

Dada una variable aleatoria X y una funcion g , tenemos unanueva variable aleatoria g(X ), de forma que g(X )(ω) =g(X (ω)). Esperanzas para X discreta y continua:

E [g(X )] =∑x

g(x)PX = x

E [g(X )] =

∫ ∞−∞

g(x) f (x) dx

Ejemplo: momento de orden n de X , µn = E [X n]


Varias variables aleatorias sobre un espacio muestral: medidade probabilidad dF (x , y)

Linearidad de la esperanza: E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ]

Varianza de una variable aleatoria:

Var(X ) = E [(X − µ)2]

siendo µ = E [X ]. Tenemos: Var(X ) = E [X 2]− (E [X ])2

Propiedad. Si X e Y son independientes, entonces:

Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y )


Coeficiente de variacion de una variable aleatoria:

CV(X ) =

√Var(X )

E [X ]

donde E [X ] > 0.

Demostrar que representa la varianza (su raız cuadrada)normalizada: CV(aX ) = CV(X )


Propiedad. (a) Para variables aleatorias X e Y :

E [E [X |Y ]] = E [X ]

(b) Para un evento A y una variable aleatoria Y :

E [P(A|Y )] = P(A)

La probabilidad condicionada P(A|Y ) es una variable aleatoriaque es funcion de Y .

Ejemplo

Calcular E [Y ] en el ejemplo anterior.

SarreraDiseinu esperimentala eta datu analisia

Sistema informatikoen errendimendua ebaluatzeko teknikanagusiak hauek dira:

I Neurketa

I Simulazioa

I Modelaketa analitikoa

Neurketan eta simulazioan teknika estatistikoak behar diraesperimentuak diseinatzeko, datuak biltzeko eta datuakanalizatzeko.

Oro har, simulazioaren bidez aztertzen dira, analisimatematikoa onartzen ez duten sistema konplexuak.


Neurketa

Sistema errealarekin egiten da esperimentua. Errendimenduparametroak neurtzen dira hardware bidez, software bidez edometodo hibridoak erabiliz.

Esperimentazioan kontrolatu ezin diren faktoreak izaten dira,ondorioz:

I neurketen analisi estatistikoa egin behar da,

I aukeratu behar dira sarrera eta irteera egokiakesperimentua egiteko.


Simulazioa

Sistemaren funtzionamendua adierazten duen programa batlantzen da eta exekutatzen da. Hau egin behar da simulazioan:

I sistemaren funtzionamenduaren eredu formala eraiki,

I kargaren adierazpen (eredu) bat zehaztu, edo aztarna(traza) batez hornitu simulazioaren exekuzioa.

Simulazioa egiteko kontu hauek aztertu behar dira:

I modelatu nahi den sisteman begiratuko den xehetasunmaila,

I emaitzen analisi estatistikoaren antolaketa,

I esperimentuaren diseinua, egingarria izan dadin.


Simulazio teknikak

Gertaera diskretuzko simulazioa: gertaera bat jazotzen denbakoitzean sistemaren egoera eguneratzen da. Simulatzaileaketorkizuneko gertaeren zerrenda erabiltzen du eta zerrenda haueguneratzen da gertaerak sekuentzialki prozesatuz.

Gertaera diskretuen adibideak: bezero bat itxarote-lerrorairistea, baliabide baten jabe egitea, zerbitzu batekin amaitzea,eta abar.

Ez dira gertaera diskretuzko simulazioak, denbora-parametroauniformeki diskretizatuz (0, δ, 2δ, 3δ . . . ) egiten dirensimulazioak.


Gertaerak honela sailkatzen dira:

I barnekoak eta kanpokoak,

I deterministak eta ez-deterministak.

Simulazioan gertaera ez-deterministen sorkuntza egitekoaukerak:

I aztarna bati jarraituz, aurretik sistema erreala neurtubehar da (zerbitzari bat, router bat), xehetasun osoagordetzen da gertaeren sorkuntzan,

I probabilitate banaketa bati jarraituz (ausazko aldagaiaksimulatzen dituzten algoritmoen bidez), honela kargarenedo zerbitzuaren eredu trinkoa eta errepikagarria dugu,parametro aldagarriak izan ohi dituen eredua.


Simulazioaren gertaerak probabilitate banaketa bati jarraituzsortzeko, emandako banaketaren arabera ausazko zenbakiaksortzen dituzten algoritmoak erabili behar dira.

Algoritmo hauek berez deterministak dira, hasierako haziaz(zenbaki bat) hornitu behar dira. Baina itxura estatistikoausazkoa eskatzen zaio algoritmoari: simulazioan lortzen denhistograma begiratzen da, sortzen diren balioen artekokorrelazioa, eta abar.

Datu analisiaDiseinu esperimentala eta datu analisia

Sistema baten errendimendua ebaluatzeko esperimentazioakezaugarri hauek ditu:

I Sistemaren kargak eta zerbitzuak ez-deterministak izanohi dira, eta zehaztu ezinezkoak diren faktoreak egondaitezke. Ausazko emaitzak lortzen dira simulazioan.

I Errendimendu parametroak estimatzeko hainbat behaketabehar izaten dira.


Esperimentazioan egiten diren galderak:

1. Nola estimatu errendimendu parametroaren batez bestekobalioa behaketa batzuetatik?

2. Behaketa kopuru handiagoak estimazio fidagarriagoaematen du?

3. Nola karakterizatuko dugu estimazio errorea behaketakopuruaren funtzio bezala?

4. Nola egin behar dira esperimentuak errorearenkarakterizazioa fidagarria izateko?

5. Nola murriztu beharrezkoa den behaketa kopurua?


Sistemaren errendimendu parametroa X izango da.

Probabilitate eredu hau dugu oinarrian: X ausazko aldagaiada, F (x) banaketa funtzioa duena, batezbestekoa s da etabariantza σ2. Aldagaiaren banaketa ez dugu ezagutzen, berazs eta σ2 ere ez. Esperimentazioaren helburua, X aldagaiarenbatezbestekoa s eta bariantza σ2 estimatzea da.

X parametroaren behaketa esperimentalak dira X1,X2, . . . ,Xn,oro har elkarren artean ez-independenteak.

Sistemaren i -garren behaketa da Xi , ausazko aldagai bat: berebatezbestekoa s da eta bariantza σ2. Hau da, X aldagaiarenbanaketa bera du behaketa bakoitzak.


Hau da s parametroaren, X aldagaiaren batezbestekoaren,estimatzailea:

X =1

n

n∑i=1

Xi

X ere ausazko aldagaia da.

X estimatzailea alboragabea da:

E [X ] = s


X estimatzaile fidagarriagoa da behaketa kopurua handitzenden heinean:

Var(X ) = E[(

X − s)2]

=

= E

(1

n

n∑i=1

(Xi − s)

)2 =

=σ2

n+

2

n2

∑i

∑j>i

Cov(Xi ,Xj)

Frogatu formula


I Behaketak independenteak badira, hau da,Cov(Xi ,Xj) = 0 edozein behaketa bikoterekin, orduanbariantza txikiagotzen da behaketa kopurua handituz,Var(X )→ 0, n→∞.

I Baldintza ahulagoa da beste hau (behaketakindependenteak ez direnean begiratuko genuke): baldinCov(Xi ,Xj) = 0 behaketen tartea gutxienez m denean,j ≥ i + m, orduan bariantza txikiagotzen da behaketakopurua handituz, Var(X )→ 0, n→∞.

Frogatu


X estimatzailea ausazko aldagaia izanik, esperimentuantartezko estimazioa egiten da: X emaitzaren inguruko tarte batlortzen da, s barruan izango duena probabilitate zehatzbatekin. Tartezko estimazioa egiteko, X aldagaiaren bariantzaestimatu behar da.

Lehenik, hau da σ2 parametroaren, X aldagaiarenbariantzaren, estimatzailea:

δ2X =

1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

non X = 1/n∑

i Xi


Estimatzailearen itxaropena σ2 − 2n(n−1)

∑i

∑j>i Cov(Xi ,Xj)

da, beraz behaketa independenteak ditugunean δ2X estimatzaile

alboragabea da, E [δ2X ] = σ2.

X aldagaiaren bariantza σ2/n da behaketa independenteekin,ondorioz hau da X aldagaiaren bariantzaren estimatzaileabehaketa independenteak baditugu:

δ2X

=δ2X

n

X aldagaiaren bariantza txikiagoa egiten da n handituz.


Balio estimatuaren errore marjina, probabilitate zehatz batidagokiona, kalkulatzeko, X = 1/n

∑i Xi aldagaiaren

probabilitate banaketa jakin behar dugu. X ausazko aldagaianormalizatuko dugu: Y = (X − s)

√n/σ

Limite zentralaren teoremak hau dio: X1, . . . ,Xn ausazkoaldagai independenteak badira eta probabilitate banaketa berabadute (edozein banaketa), orduan Y aldagaia N (0, 1)banaketa normalerantz doa, n→∞ doanean.

Bestalde, n finiturako eta Y = (X − s)√

n/δX idatziz, baldinX1, . . . ,Xn aldagai independenteek N (s, σ) banaketanormalari jarraitzen badiote, orduan Y aldagaiak t-banaketaestandarrari, n − 1 askatasun gradukoari, jarraitzen dio.


t-banaketa estandarraren taula

df \ α 0.10 0.05 0.0251 3.077684 6.313752 12.706202 1.885618 2.919986 4.302653 1.637744 2.353363 3.182454 1.533206 2.131847 2.776455 1.475884 2.015048 2.570586 1.439756 1.943180 2.446917 1.414924 1.894579 2.364628 1.396815 1.859548 2.306009 1.383029 1.833113 2.26216

10 1.372184 1.812461 2.22814inf 1.281552 1.644854 1.95996


df \ α 0.01 0.0051 31.82052 63.656742 6.96456 9.924843 4.54070 5.840914 3.74695 4.604095 3.36493 4.032146 3.14267 3.707437 2.99795 3.499488 2.89646 3.355399 2.82144 3.24984

10 2.76377 3.16927inf 2.32635 2.57583

df askatasun gradua, α isats probabilitatea


Esperimentuetan tartezko estimazioa honela egiten da. Izanbedi x , esperimentuan X estimatzaileak eman duen balioa:

1. konfiantza tartea definitzen da, x ± e

2. konfiantza maila kalkulatuko da,

P = 1− 2α = Pr(|X − s| < e)

Alderantziz, tartezko estimazioa honela ere egiten dugu:konfiantza maila zehatz bat eskatuz, honi dagokion konfiantzatartea kalkulatuko da. Konfiantza mailaren ohiko balioak:P = 0,90, 0,95, 0,99 (α = 0,05, 0,025, 0,005)


X aldagaiaren ordez aldagai normalizatua erabiltzen dakalkuluetan:

Y =

√n

δX(X − s)

Horrela:

e ′ =

√n

δXe

P = 1− 2α = Pr(|Y | < e ′)

Isatsen probabilitateak dira hauek (banaketa simetrikoarekin):Pr(Y > e ′) = Pr(Y < −e ′) = α


Y aldagai normalizatuaren probabilitate banaketa emanik,konfiantza maila bati konfiantza tarte bat dagokio. Konfiantzamaila handiagoak eskatzen du konfiantza tartea zabaltzea, etaalderantziz, konfiantza tarte estuagoak konfiantza mailatxikiagoa ekartzen du.

Y aldagaiaren banaketa eta bereziki e ′ = e√

n/δX balioa izanikn kopuruaren menpekoak, n behaketa kopuru beharrezkoadeterminatuko dugu P = 1− 2α konfiantza mailarako eta ±ekonfiantza tarterako, banaketa hauetako baten bidez:

I t-banaketa n − 1 askatasun graduarekin,

I banaketa normal estandarra, n→∞ doanean (banaketahau ez dago n kopuruaren menpean, bai ordea e ′).


Urrats hauek egingo ditugu P konfiantza maila (gutxienez) eta±e konfiantza tartea (gehienez) lortzeko behar adina behaketaeginez:

1. Egin n behaketa (kopuru arbitrarioa hasieran), s eta σ2

estimatu X eta δ2X kalkulatuz. Konfiantza maila eta tartea

betetzen badira amaitu dugu, bestela jarraitu.

2. Determinatu n behaketa kopuru berria (handiagoa)konfiantza maila eta tartea betetzeko aurreko estimazioakerabiliz. Joan lehenengo urratsera, behaketa gehigarriakegin eta estimazio berriak kalkulatu.

Honela lortuko dugu X parametroaren batezbestekoaren xestimazioa, P konfiantza mailarekin ±e tartean.


Adibidea

Errendimendu parametro bat estimatzeko bost behaketaesperimental egin dira, balio hauek bilduz: 3,07, 3,24, 3,14,3,11, 3,07

1. Kalkulatu konfiantza maila ±0,1 tarterako.

2. Konfiantza tarte horrekin, determinatu behaketa kopurubeharrezkoa konfiantza maila 99 % baino handiagoaizateko.


Parametro bat (X aldagaiaren batezbestekoa) estimatzekogogoratu:

I Xi behaketak independenteak izan behar dira, baldintzahonek garrantzia du,

I behaketa kopurua oso handia denean, estimatzailearidagokion Y aldagai normalizatuarekin banaketa normalaerabiliko genuke (limite zentralaren teorema), baina orohar t-banaketa erabiliko dugu (Xi behaketek banaketanormala dutela suposatuz).

Puntu gehigarria litzateke X aldagaiaren bariantzarenestimazioan dugun konfiantza tartea eta maila aztertzea.


Bariantza gutxitzeko teknikak bariantza gutxitzeko erabiltzendira behaketa kopurua finkaturik. Teknika hauekin estimaziohobea lortzen da, edo bestela kostu txikiagoa duenesperimentua egin daiteke. Kontrol aldagaiaren metodoaaztertuko dugu. Izan bitez X eta Y sistema batenesperimentazioan behatzen diren ausazko aldagaiak, estimatubehar den parametroa s = E [X ] da. Kontrol aldagaia hau da,non ν = E [Y ]:

Xc = X − a (Y − ν)

Frogatu E [Xc ] = E [X ] = s dela.

Xc adagaiaren behaketak erabiliko ditugu s parametroaestimatzeko baldin Var(Xc) < Var(X ) betetzen bada akoefiziente jakin batekin.


Propietatea. Xc aldagaiaren bariantza a = Cov(X ,Y )/Var(Y )koefizienteak minimizatzen du eta bariantzaren minimoaVar(Xc) = (1− ρ2

XY ) Var(X ) da, non X eta Y aldagaienkorrelazio koefizientea den ρXY . Beraz X eta Yindependenteak ez badira (0 < |ρ| ≤ 1), Var(Xc) < Var(X ).

Frogatu

Normalean Cov(X ,Y ) esperimentalki estimatuko dugu, X etaY aldagaien behaketak erabiliz. Ondoren Xc kontrolaldagaiaren balioak lortuko ditugu, s batezbestekoaren etabariantzaren estimazioak kalkulatuz, hortik tartezko estimazioadugu. Arazoa Cov(X ,Y ) parametroaren estimazioarekin:E [Xc,i ] = s da? Xc,i behaketak independenteak dira?

Azkenik, ν = E [Y ] eta Var(Y ) ezezagunak izanez gero, besteesperimentu batekin estimatuko genituzke.

Esperimentu edo simulazioen antolaketaDiseinu esperimentala eta datu analisia

Errendimendu parametroetan mota hauek bereiziko ditugu:

I (A) Simulazio edo esperimentu batek, ausazko osagaiaizan dezakeen X parametroaren balio bakarra ematen du,ondo definitua. Adibideak: programa baten exekuziodenbora konputagailu batean, web leku baten atzipendenbora.

I (B) Balio batzuen sekuentzia ematen duen simulazioa edoesperimentua egin behar da, oro har elkarren arteanindependenteak izango ez diren behaketa batzuk, hauenbatezbestekoarekin estimatuko da X . Adibidea: switchbaten buffer-eko pakete kopurua. Nola antolatusimulazioa edo esperimentua, lortzen diren X1, . . . ,Xn

behaketak elkarren artean independenteak izateko?


Errepika independenteen metodoa

Hemen n simulazio edo esperimentu independente egiten dira.

(A) motako parametroekin erabiltzeko metodoa da.

Simulazio bakoitzean hazia aldatu behar da era egoki batean(adibidez erloju batekin) ausazko zenbakiak sortzeko, edobeste aukera da simulazioetako ausazko zenbaki guztiakelkarren segidan sortzea.


Exekuzio bakarraren metodoa

(B) motako parametroekin erabiltzen da.

Simulazio (edo esperimentu) bakarra exekutatzen da, m × nluzerakoa, n sorta edo tartez osatutakoa, bakoitza mtamainakoa. Simulazioan egiten diren behaketak honelaantolatzen dira:

X11, . . . ,X1m, . . . ,Xi1, . . . ,Xim, . . . ,Xn1, . . . ,Xnm

Xi = 1/m∑m

j=1 Xij definitzen da, i . sortako m behaketenbatezbestekoa, i = 1, . . . , n sortetan.

Elkarren artean independenteak dira X1, . . . ,Xn?


X aldagaiaren Xt , t = 1, . . . , u, behaketa sekuentzia emanik, kperiodoko autokobariantza honela definitzen da:

R(k) =1

u − k

u−k∑t=1

(Xt − X )(Xt+k − X )

Eta autokorrelazio koefizientea da R(k)/R(0) zatidura.(R(0), X aldagaiaren bariantzaren estimatzaile alboratua da)

Baldintza hau betetzen bada:

|R(k)/R(0)| 1

Xt eta Xs behaketa independentetzat hartzen dira |t − s| ≥ kdenean.


X aldagaiaren simulazioan Xij behaketak antolatuz mtamainako n sorta edo tartetan, guztira m × n behaketa, etai = 1, . . . , n sorta bakoitzean Xi = 1/m

∑mj=1 Xij

batezbestekoa hartuz, Xi sekuentzia berri honenautokobariantza hau da:

R(1) =1

n − 1

n−1∑i=1

(Xi − X )(Xi+1 − X )

non X = 1/n∑n

i=1 Xi

Eta autokorrelazio koefizientea:

R(1)/R(0)


Behaketa independenteen hipotesia egingo dugu baldintza haubetetzen denean:

|R(1)/R(0)| 1

Adibidez |R(1)/R(0)| < 0,02 bada. Behaketa independenteaklortzeko m handia aukeratuko dugu. Balio ohikoak dira hauek:n ∝ 10, m ∝ 100.

Metodo honek bi aldaera ditu:

I NB (nonoverlapping batch), teilakatu gabeko sortak,goian azaldu den bezala.

I OB (overlapping batch), sorta teilakatuak. Behaketaksorta teilakatutan antolatzeko aukera desberdinak daude.Metodo eraginkorragoa izan daiteke.


Metodo birsortzaileak

Prozesu estokastiko bat dugu: X (t); t ≥ 0 sekuentzia nonX (t) sistema jakin baten egoera den, denbora-parametroarenfuntzioa den ausazko aldagaia (denbora jarraitua da, bestaldeX aldagaiak ez dauka sistema osoa deskribatu beharrik).

Prozesua birsortzailea da baldin existitzen bada berritze egoerabat non sistema probabilistikoki berritzen den behin eta berriz.

Zikloa deitzen zaio prozesuaren gauzatzeari ondoz ondoko biberritzeren artean. Zikloaren iraupenak itxaropen finituaizango du eta berritzeak amaiera gabe gertatuko dira.


Errendimendu parametroaren balioa, ziklo batean X (t)aldagaiaren batezbestekoak duen itxaropena da. Zikloguztietan itxaropen bera dugu, berritze prozesua denez.

Errendimendu parametroa esperimentalki estimatzen denean,zikloetan Xij behaketak biltzen dira (tamaina desberdinekosortak oro har), ziklo bakoitzean Xi batezbestekoa kalkulatuz,i = 1, . . . , n. Prozesu birsortzaile baten esperimentazioan Xi

aldagaiak independenteak dira.

Sistema konplexuetan oro har ziklo luzeak ditugu, egoeraksistema osoa deskribatzen badu, eta metodo birsortzaileaezinezkoa izan daiteke.

Seleccion de entradas: disenos factorialesDiseinu esperimentala eta datu analisia

Estudio del efecto conjunto en el rendimiento de un sistema delos distintos parametros o factores de entrada (inputs)multivaluados: k entradas controlables, cada uno con n valoresdiferentes.

Se disena un experimento factorial: realizar las nk

combinaciones posibles del experimento. Puede serimpracticable.

Modos de simplificar la experimentacion:

I mantener constantes los factores menos importantes,

I considerar independientes factores que interaccionandebilmente.


Seleccion de factores importantes

Asignar dos valores a cada factor: 0 bajo (mınimo), 1 alto(maximo). Vector de factores:

c = (c1, . . . , ck)

donde cada ci ∈ 0, 1

X (c) valor del parametro de rendimiento para un vector deentrada c .

Diseno factorial de 2k combinaciones.


Efecto principal o de primer orden del factor i -esimo:

ei =1

2k−1

[ ∑c : ci=1

X (c)−∑

c : ci=0

X (c)

]

Hipotesis de monotonicidad, del mismo signo, de X (c) funcionde ci , para todo c .

Valor promedio del rendimiento:

X =1

2k

∑c

X (c)


Si |ei | X el factor i -esimo no es importante. Se fija para laentrada i -esima un valor intermedio entre el mınimo y elmaximo establecidos para el diseno factorial 2k .

Si ei es significativo frente a X la entrada i -esima es un factorimportante.

Se definira un diseno factorial seleccionando los factoresimportantes.


Interaccion entre factores importantes

Efecto de primer orden del factor i -esimo fijando el factor jcon un valor x ∈ 0, 1:

e ji (x) =

1

2k−2

∑c : ci=1,cj=x

X (c)−∑

c : ci=0,cj=x

X (c)

Efecto de orden superior, interaccion entre los factores i y j :

eij =e ji (1)− e j

i (0)

2= eji


Si |eij | X : interaccion debil entre factores i y j , factoresindependientes.Si eij significativo frente a X : factores dependientes.

Criterios en el diseno experimental

I Para cada factor importante que no interacciona con otrosfactores importantes: estudiar el rendimiento para sus nvalores, fijando valores intermedios para los otros factores.

I Para p factores importantes que interaccionan entre si:experimentar con np combinaciones siendo n los valoresde cada factor.


Diseno factorial fraccional

Se eliminan algunas de las 2k combinaciones iniciales defactores. Se sigue con el estudio de factores principales y susinteracciones.

Otras variantes

Seleccion del sistema optimoDiseinu esperimentala eta datu analisia

Problema de optimizacion: de un conjunto de sistemas,seleccionar un sistema de acuerdo con un criterio derendimiento, usualmente minimizando o maximizando unparametro de rendimiento (o una funcion de varios).

Solucion trivial con estimaciones no aleatorias de losparametros de rendimiento.

Formulacion estadıstica del problema de optimizacion paraestimaciones estadısticas de los parametros.

Erregresio analisiaDiseinu esperimentala eta datu analisia

Sistemaren errendimendua aztertzen denean, sarreraparametro kontrolagarriak bi motakoak izaten dira:

I kualitatiboak,

I kuantitatboak.

Sarrera kuantitatiboekin interesgarria da interpolazio etaestrapolazio teknikak erabiltzea errendimendu parametroenestimazioan.


Formulazio orokorra

Izan bedi Y errendimendu parametroa, sistema baten irteera,ausazko aldagaia (jarraitua) izango da eta x sarreraren (aldagaierrealaren) funtzioa, bere batezbestekoa izanik y = f (x).

Hipotesia: f funtzioa ezaguna da baina ez bere α1, . . . , αk

parametroen balioak,

y = f (x ;α1, . . . , αk)

Sarreraren balio batzuk x1, . . . , xn emanik, irteerarenY1, . . . ,Yn behaketak egingo ditugu: x-en gaineko y -renerregresioa kalkulatzeko problema, esperimentuarenemaitzetatik α1, . . . , αk parametroak estimatzea da.


Behaketek ausazko errorea dute (ezezaguna), εi = Yi − f (xi).Ondorengo metodoan begiratuko dugu behaketaren etaestimazioaren arteko errorea, Yi − f (xi).

Karratu txikienen metodoa: minimizatu errore koadratikoenbatura f funtzioko parametroen α1, . . . , αk estimazioekin,

QE =n∑

i=1

[Yi − f (xi)

]2

Y1, . . . ,Yn behatu diren irteera balioak dira, etaf (x1), . . . , f (xn) balioak, f (x ; α1, . . . , αk) funtzioarekinestimatu diren irteera balioak, x1, . . . , xn sarrera balioetarako.QE minimizatzen duten α1, . . . , αk estimazioekin dugu x-engaineko y -ren erregresioa kalkulatzeko problemaren soluzioa.


Gauss-Markov-en teorema

Karratu txikienen metodoak ematen dituen α1, . . . , αk

estimatzaileak alboragabeak dira eta bariantza minimoa dutebaldintza hauek betetzen badira:

1. f (x) linela da α1, . . . , αk parametroetan,

f (x) = α1 g1(x) + . . . + αk gk(x)

2. Behatu diren Yi balioen erroreek ez dute alborapenik, hauda, E [εi ] = 0

3. Behatutako balioen artean ez dago korrelaziorik.


Beraz, teoremaren baldintzak betetzen badira, karratutxikienen metodoa erabiliz:

I Estimatzaileak alboragabeak dira, hau da, E [αi ] = αi .

I Var(αi) bariantza minimoa da, parametroak estimatzekoerabil litezkeen metodo guztien artean.

Esango dugu karratu txikienen metodoa hoberena dela f (x)funtzioaren parametroak estimatzeko, funtzioa α1, . . . , αk

parametroetan lineala denean.


QE funtzioa, αj estimatzaileen funtzio ganbila da. Bereminimo globala kalkulatuko dugu, αj , j = 1, . . . , k ,aldagaietarako deribatu eta zeroarekin berdinduz:

n∑i=1

gj(xi) [Yi − α1 g1(xi)− . . .− αk gk(xi)] = 0

Ekuazio sistemaren adierazpen matriziala:

Πα = θ

Π matrizeak k × k tamaina du, θ bektorea da (zutabebektorea), eta α ekuazio sistemako ezezagunen bektorea.


Adibidea

Funtzio honekin, x-en gaineko y -ren erregresioa kalkulatu:

f (x) = α1 + α2 x + α3x2

Sarrera jakin batzuk emanik, xi , i = 1, . . . , n, hauei dagozkienYi behaketak bildurik, deduzitu α1, α2, α3 estimatzaileenformulak.


Erregresio lineala

Orain Y irteera aldagaiaren y batezbestekoa x sarrerarenfuntzio lineala da:

y = α + β x

QE errore koadratikoa, α eta β parametroen estimatzaileenfuntzio ganbila, minimizatuz:

β =n∑

i=1

(xi − x) Yi /n∑

i=1

(xi − x)2

α = Y − β x

non x =∑n

i=1 xi/n, Y =∑n

i=1 Yi/n


Y aldagaiaren y = α + βx batezbestekoaren estimatzailea hauda:

Y = α + β x = Y + β (x − x)

Y estimatzailearen bariantza aztertuko dugu. Y eta β ausazkoaldagai independenteak dira, beraz:

Var(Y ) = Var(Y ) + (x − x)2 Var(β)

Y1, . . . ,Yn behaketak independenteak izanik, hau deduzitzenda:

Var(Y ) = σ2

[1

n+

(x − x)2∑ni=1(xi − x)2

]non Y -ren eta behaketen bariantza den σ2.


Var(Y ) bariantza x-en funtzioa da, honelakoa: bere baliominimoa σ2/n da, sarrera x = x denean, n-rekin txikiagotuzdoa, gehikuntza koadratikoa du |x − x | > 0 denean.

Y aldagaiaren eta honen behaketen σ2 bariantzarenestimatzaile alboragabea hau da:

δ2 =1

n − 2

n∑i=1

(Yi − Yi)2 =

QE

n − 2

non Yi = f (xi) = α + βxi . Eta Var(Y ) estimatzeko:

ν2 = δ2

[1

n+

(x − x)2∑ni=1(xi − x)2

]


Behaketa esperimentalak egin ondoren, sarrera konkretu bat xemanik (ez du izan behar behaketetako xi bat), irteeraren(batezbestekoaren) estimazioa Y = α + βx da eta honenkonfiantza tartea eta maila lortu nahi ditugu.

Konfiantza tartea eta maila kalkulatzeko orain (Y − y)/νaldagai normalizatua hartuko dugu, non x finkatuta dagoen.Hemen y = f (x) = α + βx dugu eta Y -ren desbiderapenestandarraren estimazioa da ν, emandako x-erako.

Aldagai normalizatu honek t-banaketa du, n − 2 askatasungradukoa. (Hipotesia: Yi − f (xi) behaketa erroreek banaketanormala dute.)

Konfiantza tartea normalizatzeko e ′ = e/ν erlazioa dugu.


Eredu orokorraren egokitasuna

Irizpide erraz bat dugu, x-en gaineko y -ren erregresioan,y = f (x ;α1, . . . , αk) ereduaren egokitasuna kuantifikatzeko.Lehenik, batezbestekoaren inguruko aldakuntza totala:

QT =n∑

i=1

(Yi − Y )2

Errore koadratikoaren minimoa:

QE =n∑

i=1

(Yi − Yi)2


Hau da irizpidea:QE /QT → 0

Errorearen jatorriak hauek izaten dira:

I neurketan akats handiak egitea, neurketa kopuru txikiegiahartzea,

I eredu desegokia erabiltzea, gehiegizko sinplifikazioakegitea eredua definitzeko hipotesietan.

Bestalde, irizpide honekin kontuan izan behar da gehiegizkodoikuntzaren arazoa (overfitting).


Zenbait kontu

Erregresio funtzioren linealizazioa aztertuko dugu, erregresiofuntzioa parametroetan lineala ez denean.

Adibidea: f (x) = aebx funtzioa linealizatu logaritmoa hartuz.

Karratu txikienen metodoarekin, Gauss-Markov-en teoremarenhipotesian, behatutako g(Yi) balio berrien ausazko errorean ezdago alborapenik?

Edonola ere, egiaztatu QE /QT → 0 baldintza.


Adibidea

Aztertuko dugu zerbitzari baten erantzun-denbora, bezeroaktiboen kopuruaren funtzio bezala. Taulako datuesperimentalekin y = axb ereduaren parametroak estimatu.Lortu bezero kopuruaren maximoa, erantzun-denbora izandadin 3 segundo baino txikiagoa ehuneko 95aren konfiantzamailarekin.

x 2 4 6 8 10 12y 0,09 0,25 0,45 0,60 0,85 1,45

x 14 16 18 20 22y 1,80 2,15 2,55 3,00 3,40


Erregresio anizkoitza

y = f (u, v ,w , . . . ;α1, α2, . . .)

Karratu txikienak, Gauss-Markov teorema.

Eredua konplexuagoa egiten da. Behar den behaketa kopuruaoso handia da.

Bariantza gutxitzeko teknikak

SarreraProbabilitate ereduak eta berritze prozesuak

Konputagailu sistema eta komunikazio sareetarako ereduprobabilistikoek bi oinarri hauek dituzte:

I Berritze teoria: prozesu birsortzaileak.

I Markov kateak.

Sistemak analizatu eta errendimendua ebaluatzeko bideaeskaintzen dute eredu hauek.

Eredu esponentzialek, hauen oroimengabetasunak, analisimatematikoa errazten du.

Eredu funtsezkoa da kola sarea.


Adibidea. IQ pakete-kommutagailurako (Input-QueueingPacket Switch) eredu probabilistikoa:

Input Output

i2j3

g2h2

d1e1f1

a1b3c4

×××××c

×××jb×

ghi×××deaf××

4

3

2

1

4

3

2

1

4 × 4Switch

T = 0 Time6 5 4 3 2 1


Eredu hau Markov kate bat da eta egoeren limitekoprobabilitateak kalkulatzen dira. Kommutagailuaren erabilera,sarrera/irteera kopuruaren arabera:

N Erabilera1 1,002 0,753 0,684 0,65

Analisi asintotikoa eginez frogatzen da erabilera2−√

2 = 0,59 limiterantz doala N →∞ badoa.

Eredu esponentzialakProbabilitate ereduak eta berritze prozesuak

Izan bedi X ausazko aldagaia, balioak [0,∞) tartean hartuzbanaketa funtzio hau duena:

F (x) = 1− e−λx

Banaketa esponentziala deitzen zaio, λ > 0 parametroduna.X ausazko aldagai jarraitua da, deribatuz probabilitatedentsitatea dugu: f (x) = λe−λx

Frogatu ondorengoa:

E [X ] =1

λ

Var(X ) =1

λ2

CV(X ) = 1


Esango dugu X ausazko aldagaia oroimengabea dela baldinedozein s, t ≥ 0 baliorako:

PX > s + t |X > s = PX > t

Oroimengabetasunaren interpretazioa.

Frogatu formulazio baliokidea dela hau:

PX > s + t = PX > s · PX > t

Propietatea. Banaketa esponetziala duen ausazko aldagaiaoroimengabea da.

Frogatu


Ausazko aldagai oroimengabeak:

I banaketa esponentziala (aldagai jarraitua)

I banaketa geometrikoa (aldagai diskretua)

Adibidea

Aldagai oroimengabe bati dagozkion probabilitate batzukkalkulatu.


X1 eta X2 ausazko aldagaien minimoa definituko dugu:

X = min(X1,X2)

X (ω) = minX1(ω),X2(ω) izango da edozein ω laginerako.

Propietatea. X1 eta X2 ausazko aldagai esponentzialak badira,λ1 eta λ2 parametrodunak hurrenez hurren, eta aldagaiindependenteak badira, orduan X = min(X1,X2) ausazkoaldagaia esponentziala da eta λ1 + λ2 parametroa du.

Frogatu


Beraz, X1 eta X2 esponentzialak eta independenteak badira,minimoaren itxaropena, X = min(X1,X2) ausazko aldagaiarenitxaropena, hau da:

E [X ] =1

λ1 + λ2

Eta bariantza: Var(X ) = 1/(λ1 + λ2)2


Propietatea. X1 eta X2 ausazko aldagai esponentzialak badira,λ1 eta λ2 parametrodunak, eta aldagai independenteak badira,orduan:

PX1 < X2 =λ1

λ1 + λ2

Antzera, PX2 < X1 = λ2/(λ1 + λ2)

Frogatu

Adibidea

Aldagai esponentzial independenteak


Erlang-en n etapako banaketa adarkatua

Izan bitez X1, X2,. . . ,Xn ausazko aldagai esponentzialak etaindependenteak. X ausazko aldagaia definituko dugu:

X =

X1 p = q1 probabilitatearekinX1 + X2 p = (1− q1)q2 probabilitatearekin· · · · · ·X1 + . . . + Xn p = (1− q1) . . . (1− qn−1)

Adierazi banaketa honen definizioa grafiko baten bidez.Banaketa esponentziala orokortzen du, CV(X ) 6= 1 dutenausazko aldagaietarako. Ez da banaketa esponentziala bainaeredu markovtarrak definitzeko aukera ematen du etapakkontsideratuz.


Propietatea. Edozein aldakuntza koefiziente emanik,CV ≥ 1/

√n, non n osokoren bat den, orduan existitzen da

Erlang-en n etapako banaketa adarkatua CV(X ) = CV izanik.

Bereziki, λ1 = . . . = λn = λ eta q1 = . . . = qn−1 = 0 hartuz,orduan CV(X ) = 1/

√n dugu.

Frogatu

Adibidea

Aztertu ausazko aldagai hipo-esponentzialak, CV(X ) < 1, etahiper-esponentzialak, CV(X ) > 1.

Berritze prozesuakProbabilitate ereduak eta berritze prozesuak

Berritze prozesua deitzen zaio X1,X2, . . . ausazko aldagaiez-negatiboen sekuentziari, baldin independenteak badira etaprobabilitate banaketa bera badute. Aldagai hauen itxaropenkomuna adieraziko dugu m = E [Xn] idatziz, n = 1, 2, . . ., eta0 < m <∞ izango da. Berritze arteko denborak bezalainterpretatuko ditugu: Xn ausazko aldagaia, (n − 1)-garrenberritzetik n-garren berritzea arte igaro den denbora da.Berritze denborak ere definituko ditugu:

Tn =n∑

i=1

Xi , n = 1, 2, . . .

Adibidea

Gailu baten ondoz ondoko konponketak edo ordezkapenak


N(t) ausazko aldagaia definituko dugu t ≥ 0 bakoitzerako, tdenbora arte izandako berritzeen kopurua bezala: N(t) = nbaldin Tn ≤ t < Tn+1 (hasieran N(t) = 0 da, t < T1).

Propietatea. Berritze prozesuan (limite hau existitzen da):

limt→∞N(t)

t=

1

m

Definizioz, berritze tasa da 1/m, denbora unitateko berritzekopurua, m = E [Xn] izanik.

Adibidea


Prozesu estokastikoa, ausazko gertaera diskretuen denborazkosekuentzia litzateke.

Formalki, prozesu estokastikoa definitzen da lagin espaziobaten gaineko ausazko aldagaien bilduma bezala:

I X (t), t ≥ 0 denbora jarraituko prozesu estokastikoarendenbora parametroak balio errealak hartzen ditu,t ∈ R, ∀t ≥ 0

I Xn, n = 0, 1, . . . denbora diskretuko prozesuestokastikoaren denbora indizeak osoko balioak hartzenditu, n ∈ Z,∀n ≥ 0

Esango dugu, hurrenez hurren, prozesu estokastikoa X (t)egoeran dela t denboran edo Xn egoeran dela n denboran.


Denbora jarraituko prozesu estokastiko mota bat kontaketaprozesua da, N(t), t ≥ 0, non N(t) aldagaia, t denbora arteizan diren gertaeren kopurua den.

Kontaketa prozesuan, gertaeren arteko denborek berritzeprozesua definitzen dute baldin independenteak badira etaprobabilitate banaketa bera badute (berritzeak liratekegertaerak).

Adibidea

Kontaketa prozesuak eta adierazpen grafikoa

Poisson prozesuakProbabilitate ereduak eta berritze prozesuak

Poisson prozesua deitzen zaio N(t), t ≥ 0 kontaketaprozesuari baldin etorrera (gertaera) arteko denborakesponetzialak badira eta berritze prozesua definitzen badute.

X1,X2, . . . aldagaien itxaropen komuna m = 1/λ bezalaidazten da, non λ etorrera tasa (berritze tasa) den, hori daetorrera arteko denbora esponetzialen parametroa.

Esango dugu Poisson prozesua oroimengabea dela: s uneaemanik, hurrengo etorrera arte igaroko den X denbora(banaketa esponetziala du λ parametrokoa) independentea daN(t), 0 ≤ t ≤ s aldagai bildumatik, s unearen aurrekohistoriatik.


Poisson prozesuaren oroimengabetasunaren ondorioak dira bipropietate hauek.

I Gehikuntza independenteak: bi tarte disjuntu hartuz,t1 < t2 ≤ t3 < t4, orduan N(t2)− N(t1) etaN(t4)− N(t3) etorrera kopuruak ausazko aldagaiindependenteak dira.

I Gehikuntza geldikorrak: N(s + t)− N(s) etorrerakopuruaren probabilitate banaketa ez dago s denborarenmenpean, inbariantea da denbora tartea desplazatuz,banaketa soilik tartearen iraupenaren (t) funtzioa da.

Adibidea

Kontaketa prozesuetan aztertu gehikuntzak independenteaketa geldikorrak diren.


Propietatea. Izan bedi N(t), t ≥ 0 Poisson prozesua, λetorrera tasa duena. Hau da t iraupeneko denbora tarteanetorrera kopurua k = 0, 1, 2, . . . izateko probabilitatea:

PN(s + t)− N(s) = k = PN(t) = k =e−λt(λt)k

k!

N(s + t)− N(s) ausazko aldagaiaren itxaropena eta bariantza(gehikuntza geldikorrak ditugu) hauek dira:

E [N(t)] = λt

(bagenekien limt→∞N(t)/t = λ dela)

Var(N(t)) = λt


Adibidea

Poisson prozesu batean probabilitateak kalkulatu.

Poisson prozesuan X1,X2, . . . etorrera arteko denborak ausazkoaldagai independenteak dira eta λ (etorrera tasa) parametrokobanaketa esponentziala dute. Bestalde, hau da n-garrenetorrera denbora:

Tn = X1 + X2 + . . . + Xn

Lehenik, T1,T2, . . . etorrera denborak ez dira ausazko aldagaiindependenteak. Esponentzialak ere ez dira.


Tn etorrera denborak Erlang-en n etapako banaketa du:Erlang-en banaketa adarkatu gabea, etapa guztiak parametroberdinarekin. Hauek dira beraz batezbestekoa eta bariantza:

E [Tn] =n

λ

Var(Tn) =n

λ2

Adibidea

Etorrera arteko denborak eta etorrera denborak

Prozesu birsortzaileakProbabilitate ereduak eta berritze prozesuak

X (t), t ≥ 0 denbora jarraituko prozesu estokastikoa,prozesu birsortzailea dela esaten da baldin berritze prozesu batbadu elkartuta non berritze bakoitzarekin prozesuestokastikoak aurrera jarraitzen duen hasieratik abiatuko balitzbezala, hau da, hasieran eta berritze bakoitzean, T0,T1,T2 . . .denboretan, X (t), t ≥ s | Tn = s ondorengo prozesuakprobabilitate egitura bera du, aurreko historiatikindependentea dena. Ondoz ondoko bi berritzek prozesubirsortzailearen zikloa mugatzen dute.

Adibidea

Itxarote-lerroa prozesu birsortzaile bezala, adierazpen grafikoa


Denbora jarraituko prozesu estokastikoan, j egoerabakoitzerako, proportzio hauek definituko ditugu:

I prozesua j egoeran dagoen denbora proportzioa, Tdenbora batean, hau da, T (j)/T zatikia, non T (j),prozesua hasieratik T arte j egoeran egon den denboratotala den,

I prozesua j egoeran izateko probabilitatea, t une jakinbatean, PX (t) = j bezala adieraziko duguna.

Propietatea. Baldin X (t), t ≥ 0 prozesu birsortzailea badaeta berritze arteko denborak ausazko aldagai jarraituak badira,orduan, edozein j egoerarako, existitzen dira eta berdinak dira,egoeraren denbora proportzioa eta probabilitatea, denborarenlimitean:


Pj = limt→∞PX (t) = j = limT→∞T (j)/T

Egoeren limiteko probabilitateak balantza ekuazioen bidezkalkulatzen dira.

Esango dugu s unean i egoeratik j egoerarako trantsizioagertatu dela baldin X (s − ε) = i bada, ε→ 0, eta X (s) = j ;esango dugu gainera j egoerarako bisita gertatu dela.

T denbora baterako, kalkulatuko ditugu ni→j/T trantsiziotasa eta ni/T bisita tasa. Prozesu birsortzailean existitzen diralimiteko tasak, T →∞ doanean.


Hauek dira prozesu birsortzailearen balantza ekuazioak:

j egoerarako bisita tasa ==∑

i i egoeratik j egoerarako trantsizio tasa

j egoera bakoitzerako.

Ekuazio hauetatik lortuko ditugu egoeren Pj probabilitateak(edo proportzioak).

Etorrerak dituen sistema birsortzaileaProbabilitate ereduak eta berritze prozesuak

Izan bedi N(t), t ≥ 0 kontaketa prozesua, R1,R2, . . . sari

sekuentziari elkartutakoa: R(t) =∑N(t)

i=1 Ri da t denborako sarimetatua. Sariak ausazko aldagaiak dira, probabilitate banaketabera dutenak (eta E [Ri ] <∞).

Gainera, izan bedi X (t), t ≥ 0 prozesu birsortzailea nonX (t) sistemako bezero kopurua den: bezeroak sistemara λtasaren arabera etortzen dira, bezero bakoitza sistemanausazko denbora bat egoten da, i -garren bezeroak Ri sariaematen dio sistemari eta gero sistematik irteten da. Prozesubirsortzailearen ziklo batean emandako sariak independenteakdira aurreko zikloetako sarietatik.


Etorrerak dituen sistema birsortzailea deskribatu ondoren,honelako sistema batean erabilgarria den irabazi tasadefinituko dugu: G = limT→∞R(T )/T

Kostu ekuazioa dugu irabazi tasarako:

G = λE [Ri ]

Frogatu

Ekuazio honetan kostuaren egitura zehaztuz hainbat legeondorioztatzen dira.


Little-ren legea

L = λW

I W da bezeroak sisteman egoten diren denborarenbatezbestekoa

I L da sisteman dauden bezeroen kopuruaren batezbestekoa

Frogatu


Orain, etorrerak dituen sistema birsortzaile bereziagoakontsideratuko dugu, zerbitzua duena: bezeroa sistemandagoen bitartean, denboraren zati bat zerbitzuaren zain dago,eta denboraren beste zatia zerbitzua jasotzen.

Sistemak zerbitzari bat edo gehiago izango ditu. Denborakoune bakoitzean zerbitzaria geldirik egondo da edo bestelabezero bat zerbitzatzen.


Erabilera legea. Zerbitzari bakarra duen sisteman:

U = λ S

I S da bezeroen zerbitzu denboraren batezbestekoa

I U da sistema bezeroei zerbitzua ematen ari den denborazatikia

Frogatu

Sistemaren erabilera deitzen zaio U balioari; U = 1− P0 da,non P0 = limt→∞PX (t) = 0 (baldin sistema bezeroakzerbitzatzen ari bada hutsik ez dagoen bitartean).


Geroago erabiliko den emaitza tekniko bat aipatuko dugu.Orain X (t) sistema baten egoera izango da (ez da nahitaezbezero kopurua).

Etorrera teorema (PASTA)

Bezeroak sistemara Poisson prozesuaren arabera iristen badiraeta X (t), t ≥ 0 prozesu birsotzailea bada, berritze artekodenbora jarraituak dituena, orduan Aj = Pj dugu edozein jegoerarako, definizio hauekin:

I Aj da sistema j egoeran izateko probabilitatea bezero batsisteman sartu aurreko une zehatzean,

I Pj = limt→∞PX (t) = j lehen bezala.


M/M/1 itxarote-lerroa

Hau da itxarote-lerroaren eredu errazena:

I Poisson prozesuaren araberako etorrerak (M)

I zerbitzu denbora esponentziala (M)

I zerbitzari bakarra (1)

X (t) ausazko aldagaiak adieraziko du itxarote-lerroan t uneandauden bezeroen kopurua: lehenengo iritsi dena zerbitzuajasotzen izango da eta besteak itxaroten. Izan bedi λ etorreratasa eta µ zerbitzu esponentzialen parametroa: baldin λ < µbada, orduan X (t), t ≥ 0 prozesu birsortzailea da.Kontsidera dezakegu prozesua berritzen dela itxarote-lerroahutsik geratzen den bakoitzean.


Batez besteko balioaren analisiak (MVA) formula hauekematen dizkigu:

W =1

µ− λ

L =λ

µ− λ

U =λ

µ

Frogatu

Prozesu estokastiko honetan egoerek dituzten probabilitateaklortzeko, balantza ekuazioak idatzi behar dira, ez da nahikoaMVA analisia.


Adibidea

M/M/1 itxarote-lerroan W , L,U parametroen balioak aztertu.

Denbora diskretuko Markov kateakMarkov kateak

Prozesu estokastikoaren probabilitate egitura zehaztuko dugu,ereduaren analisia egin eta egoeren probabilitateak kalkulatuahal izateko.

Oroimengabetasun propietate bat, Markov propietatea,betetzen duten probabilitate eredu errazak definituko ditugu.Propietate honek prozesu estokastikoaren analisia egitekoaukera ematen du (antzekoa gertatzen da Poisson prozesuakedo banaketa esponetzialak aztertzen direnean).


Izan bedi Xn, n = 0, 1, . . . denbora diskretuko prozesuestokastikoa. Prozesua n denboran j egoeran badago, Xn = jidatziko dugu. Egoera multzoa zenbakigarria da, finitua alainfinitua: 0, 1, 2 . . . egoerak ditugu.

Prozesu estokastiko hori Markov katea da baldin, edozein ndenbora eta j egoerarako, hau betetzen bada:

PXn+1 = j |X0, . . . ,Xn−1,Xn = PXn+1 = j |Xn

Honela interpretatuko genuke definizioa: Xn egoera emanik,Xn+1 egoera independentea da X0,. . . , Xn−1 egoeretatik, hauda, egungo egoera jakinik, hurrengo egoera independentea dairaganeko egoeretatik.


Prozesu estokastikoa i egoeran izanik, pauso batean j egoeraratrantsizioa egiteko probabilitateari, trantsizio probabilitateadeitzen zaio:

PXn+1 = j |Xn = i = Pij

Probabilitate baldintzatu hau ez da izango n denborarenmenpekoa. Trantsizio matrizea dugu, probabilitateak lerro etazutabeetan i eta j egoeren arabera idatziz:

P =

P00 P01 P02 · · ·P10 P11 P12 · · ·P20 P21 P22 · · ·

......

.... . .


P matrizearen sarrerak ez-negatiboak dira eta lerro bakoitzean∑j Pij = 1 betetzen da: i egoera bakoitzerako, j egoera

desberdinetarako trantsizio probabilitateen batura 1 da.

Matrizearen diagonaleko Pii sarrerak, egoera batetik egoerabererako trantsizio probabilitateak dira.

Adibidea

Definitu Markov kate batzuk.


Pauso bateko Pij trantsizio probabilitateek Markov katearenprobabilitate egitura guztiz zehazten dute (hasierako egoeraemanik). Orain, n pausoko trantsizio probabilitateak lortzeanahi dugu.

Propietatea. Pauso bateko trantsizio probabilitateak jakinik:

PXm+n = j |Xm = i = (Pn)ij

Frogatu

Pnij idatziko dugu probabilitate baldintzatu hau adierazteko:

prozesu estokastikoa i egoeran izanik, n pausotan j egoeraratrantsizioa egiteko probabilitatea; Pn matrizeko (i , j) sarrerandugu probabilitate hori.


Hasierako egoera finkatu ordez, n = 0 denboran i egoeradesberdinentarako probabilitateak ezagutzen baditugu,

αi = PX0 = i

orduan n denboran edozein j egoerarako ondorengoprobabilitate ez-baldintzatua kalkulatuko dugu.

Propietatea

PXn = j =∑i

αiPnij

Frogatu

Adibidea

Egoerak sailkatzeaMarkov kateak

Egoerak sailkatuko ditugu, prozesu estokastikoak denboranzehar izango duen bilakaera aztertzeko.

Prozesua i egoeratik abiatu bada, Ti ausazko aldagaiakadieraziko du prozesua i egoerara noiz itzuliko den; Ti =∞idatziko dugu inoiz ez bada itzultzen.

Prozesua hasierako i egoerara noizbait itzultzekoprobabilitatea definituko dugu:

fi = PTi <∞|X0 = i


Esango dugu i egoera:

I errepikaria dela baldin fi = 1, hau da, i egoeratik abiatuzprozesua beti itzultzen da (1 probabilitatearekin)hasierako egoerara,

I iragankorra dela baldin fi < 1, hau da, i egoeratik abiatuzbadugu probabilitate positibo bat (1− fi) prozesuahasierako egoerara inoiz ez itzultzeko.

Bereizketa hau egiten da i egoera errepikaria denean: errepikaripositiboa da baldin E [Ti |X0 = i ] <∞ eta errepikari nulua dabaldin E [Ti |X0 = i ] =∞


Izan bedi Ni prozesu estokastikoak i hasierako egoerara egingodituen bisiten kopurua. Baldin:

I hasierako egoera errepikaria bada Ni =∞ izango da,

I hasierako egoera iragankorra bada Ni <∞ izango da,banaketa geometrikoa du Ni ausazko aldagaiak kasuhonetan.


Egoerak periodikotasunaren arabera ere sailkatuko ditugu:

I Esango dugu i egoera errepikariak d ≥ 2 periodoa duela,baldin Pn

ii = 0 bada periodoaren multiploa ez den edozeinn osokorako, d izanik propietate hori betezen duen osokohandiena.

I Propietate hori betetzen duen d ≥ 2 osokorik ez badaexistitzen, edo egoera iragankorra bada, esango dugu iegoera aperiodikoa dela.

Beraz i egoera periodikoa bada, d periododuna, prozesuestokastikoa i egoeratik abiatuz, i egoerara itzuliko da soilikd , 2d , 3d , . . . denboretan, ez derrigor denbora guzti horietan.

Azkenik, egoera bat ergodikoa dela esaten da errepikaripositiboa eta aperiodikoa bada.


Egoera posible guztien multzoaren partiketa definituko dugubaliokidetasun erlazio baten bidez.

Esango dugu i egoeratik j egoerara hel gaitezkeela, i → jidatziz, existitzen bada n osokoren bat Pn

ij > 0 izanik. Esangodugu i eta j egoerak komunikatzen direla, i ↔ j idatziz, baldini → j eta j → i betetzen bada.

Propietatea. Egoeren arteko → erlazioa iragankorra da eta ↔komunikazio erlazioa baliokidetasun erlazio bat da.

Frogatu

Komunikazio erlazioak induzitutako baliokidetasun klaseak,komunikazio klaseak, egoera multzoaren partiketa bat dira.


Markov kate bat laburtezina dela esaten da baldin egoeramultzoak komunikazio klase bakarra badu, egoera guztiakelkarren artean komunikatzen badira.

Komunikazio klase bat itxia da baldin ezinezkoa bada klasekoaez den egoera batera heltzea bertako egoeretatik: klase itxikoegoera batera iristen denean prozesu estokastikoa, klasetik ezda irtengo inoiz.

Klase itxiak egoera bakarra badu, honi egoera xurgatzaileadeitzen zaio. Bestalde, Markov kate laburtezinean, egoeramultzoaren klase bakarra itxia da.

Adibidea


Propietatea

I Komunikazio klase ez-itxi bateko egoera guztiakiragankorrak dira.

I Egoera kopurua finitua bada, komunikazio klase itxibateko egoera guztiak errepikariak (positiboak) dira.

I Egoera kopurua infinitua bada, klase itxi bateko egoeraguztiak iragankorrak dira edo bestela egoera guztiakerrepikariak dira (denak positiboak edo denak nuluak).

I Klase batean, egoera guztiak aperiodikoak dira edobestela egoera guztiak periodikoak dira, denak periodoberdinekoak.


Irizpide hau dugu periodikotasuna aztertzeko (baldintzanahikoa da baina ez derrigorrezkoa): baldin Pii > 0 badaorduan i egoera aperiodikoa da. Bestalde, kontuan izango duguklase bateko egoera guztiek periodikotasun berdina dutela.

Adibidea

Sailkatu egoerak bi Markov kate hauetan.

Esango dugu Markov kate laburtezin bat aperiodikoa delaegoerak aperiodikoak badira, eta ergodikoa dela egoerakergodikoak badira.

Limiteko probabilitateakMarkov kateak

Markov katearen Pij trantsizio probabilitateak jakinik, denboradiskretuko prozesu estokastiko honetan, egoera bakoitzarenlimiteko probabilitatea kalkulatu nahi dugu:

πj = limn→∞PXn = j

Markov kate laburtezinak kontsideratuko ditugu: egoerakopurua finitua bada, egoerak errepikariak (positiboak) dira;infinitua bada, egoerak errepikariak (positiboak edo nuluak)dira edo bestela iragankorrak.


Hauek dira Markov kate laburtezinerako balantza ekuazioak,normalizazio ekuazioa ere gehituz:

πj =∑i

πiPij , j = 0, 1, . . .∑j

πj = 1

Egoera kopurua finitua bada, egoerak errepikariak (positiboak)dira eta balantza ekuazioek soluzioa dute, π = (π0, π1, . . .),soluzio bakarra eta positiboa.

Adibidea


Egoerak aperiodikoak badira, egoeren limiteko probabilitateakditugu, prozesuaren hasierako egoeraren menpean ezdaudenak: πj = limn→∞Pn

ij . Egoerak periodikoak badira,denbora proportzioak dira πj hauek.

Egoera kopurua infinitua bada, balantza ekuazioek(normalizazio ekuazioarekin batera) soluzioa dute baldin etasoilik baldin egoerak errepikari positiboak badira (horrela bada,soluzioa bakarra eta positiboa da).

Egoera kopurua infinitua izanik, baldin egoerak iragankorrakedo errepikari nuluak badira, orduan limiteko probabilitateaknuluak dira.


Ekuazioen adierazpen matriziala hau da:

π = πP

π1 = 1

non π =[π0 π1 . . .

], 1 =

[1 1 . . .

]Teta P trantsizio

matrizea den.

Adibidea

Baldin π = πP , π1 = 1 ekuazioen soluzioa bada π, banaketageldikorra deitzen zaio, πsd idazkera erabiliz.


Propietatea. Hasierako egoera desberdinetarako probabilitateekπsd banaketa geldikorra badute, orduan edozein n denborakoegoera posibleen probabilitateek ere πsd banaketa dute.

Frogatu

Adibidea

Denbora jarraituko Markov kateakMarkov kateak

Markov propietatea betetzen duten denbora jarraituko prozesuestokastikoak aztertuko ditugu.

Izan bedi X (t), t ≥ 0 denbora jarraituko prozesuestokastikoa, egoera multzo zenbakigarria duena, finitua alainfinitua. Esango dugu denbora jarraituko Markov katea(DJMK) dela baldin edozein s, t denboretarako eta jegoerarako hau betetzen bada:

PX (s + t) = j |X (u), u ≤ s = PX (s + t) = j |X (s)

Probabilitate baldintzatu hau ez da s denboraren menpekoaizango, baina oro har t denboraren menpean dago.


DJMKaren definizioa honela ulertuko dugu: X (s) egoerajakinik, X (s + t) egoera independentea da u < s denboretakoX (u) egoeretatik; hau da, “oraingo egoera” jakinik, edozein“etorkizuneko egoera” independentea da “iraganekoegoeretatik”.

DJMKaren analisia zailagoa da denbora diskretuko Markovkatearen (DDMK) analisia baino, DJMK batean trantsizioprobabilitatea t denboraren funtzioa baita (i eta j egoerenmenpekoa izateaz gain):

PX (s + t) = j |X (s) = i


DJMK bat honelako prozesu estokastikoa da:

I Prozesuak i egoeran jarraitzen du ausazko egonaldidenbora batean, νi parametroko banaketa esponetzialaduen denboran. Parametro hau soilik i egoerarenmenpekoa da.

I Trantsizioa egingo du i egoeratik j egoerara Pij

probabilitateen arabera. Trantsizio probabilitate hauekdenbora diskretuko Markov kate elkartua zehazten dute.Hemen trantsizioak egoera desberdinen artekoak dira,beraz Pii = 0.

Egonaldi denboren νi parametroek eta DDMK elkartuaren Pij

trantsizio probabilitateek erabat zehazten dute DJMKarenprobabilitate egitura.


DJMK bat prozesu birsortzailea denean, existitzen diraegoeren limiteko probabilitateak Pj = limt→∞PX (t) = j(denbora proportzioen berdinak), eta balantza ekuazioetatik(gehi normalizaziokoa) lortzen dira:

νjPj =∑i

νiPijPi , j = 0, 1, . . .∑j

Pj = 1

DJMK bat prozesu birsotzailea izateko baldintzak:

I DDMK elkartua laburtezina izan behar da eta bereegoerak errepikariak (positiboak) izan behar dira,

I νi parametroen eta 1/νi alderantzizkoen multzoabornatua izan behar da.


Limiteko probabilitateak kalkulatzeko aukera bat, lehenikDDMK elkartuaren banaketa geldikorra lortzea da, Pij

trantsizio probabilitateekin, ondoren Pj = mj πj/∑

i mi πiprobabiliateak kalkulatuz, j = 0, 1, . . .; egonaldi denborarenitxaropena da mj = 1/νj .

Baina oro har, DJMKaren Pj limiteko probabilitateak zuzeneankalkulatzen dira balantza ekuazioetatik. Hasteko, matrizialkiadieraziko dugu DJMKaren balantza ekuazioen sistema.


Q = [qij ] matrizea honela definituko dugu:

qij =

νiPij baldin i 6= j−νj baldin i = j

Matrizearen lerro bakoitzean∑

j qij = 0 betetzen da,∑j 6=i νiPij = νi eta qii = −νi dugunez i bakoitzerako. Q

matrizearen diagonaleko sarrerak negatiboak dira, gainerakosarrerak positiboak edo nuluak. Balantza ekuazioak (etanormalizaziokoa) matrizialki idatziz:

ρQ = 0

ρ 1 = 1

Hemendik ρ =[

P0 P1 . . .]

dugu, DJMKaren limitekoprobabilitateak, prozesu birsortzailea bada.


Q matrizearen sarrerak trantsizio tasa bezala ulertuko ditugu:

I Balantza ekuazioetan νiPijPi trantsizio tasa da, iegoeratik j egoerarakoa, eta νjPj bisita tasa da, jegoerararakoa.

I Q matrizearen qij = νiPij sarrera, prozesua i egoerandagoen denborarekiko trantsizio tasa da, i egoeratik jegoerarakoa, eta antzera −qjj = νj sarrera, prozesua jegoeran dagoen denborarekiko bisita tasa da.

Azkenik, DJMKaren egoera multzoa finitua 0, 1 . . .N edoinfinitua 0, 1, 2 . . .∞ denean, Q matrizea ere horrelakoaizango da.

Jaiotza eta heriotza prozesuakMarkov kateak

Jaiotza eta heriotza prozesua DJMK bat da non, n egoerabatetik, trantsizio posible bakarra n + 1 egoerara den, “jaiotza”gertatuz, edo bestela n − 1 egoerara, “heriotza” gertatuz.Populazio batean dugun banako kopurua izango litzateke n.

Baldin s unean prozesua n egoeran bada, ausazko aldagaihauek ditugu:

I X b hurrengo jaiotza arte igaroko den denbora,

I X d hurrengo heriotza arte igaroko den denbora.

X b eta X d denborak ausazko aldagai esponentzialak dira, λneta µn parametrokoak, jaiotza tasa eta heriotza tasa hurrenezhurren. Jaiotza eta heriotza tasa, oro har, jaiotza edo heriotzagertatu aurretik populazioak duen banako kopuruarenmenpekoak dira.


Jaiotza eta heriotza tasen arabera idatziko ditugu DJMK batzehazteko erabili genituen νi eta Pij parametroak.

X b eta X d ausazko aldagaien bidez, hurrengo trantsizioa arteigaroko den denbora esponentziala min(X b,X d) bezala idatzidezakegu, beraz egonaldi denboraren parametroa hau da:

νi = λi + µi

Eta DDMK elkartuaren trantsizio probabilitateak hauek dira:

Pi ,i+1 = PX b < X d =λi

λi + µi

Pi ,i−1 = PX d < X b =µi

λi + µi


Balantza ekuazioetako νiPij koefizienteak honela sinplifikatzendira n egoeraren ekuazioan: νn−1Pn−1,n = λn−1 jaiotzan etaνn+1Pn+1,n = µn+1 heriotzan. Hauek dira beraz jaiotza etaheriotza prozesuaren balantza ekuazioak:

(λn + µn)Pn = λn−1Pn−1 + µn+1Pn+1 , n = 1, 2, . . .

Gainera n = 0 egoeran λ0P0 = µ1P1 ekuazioa dugu. Bestalde,n ≤ K mugatuta badago, n = K egoeran µKPK = λK−1PK−1

ekuazioa dugu. Azkenik, normalizazio ekuazioa:∑

n Pn = 1

Itxarote-lerroen ereduakMarkov kateak

M/M/1 itxarote-lerroa

Itxarote-lerro honi dagokion X (t), t ≥ 0 prozesua DJMKbat da: etorrera arteko denbora esponentzialak (Poissonprozesua) eta zerbitzu denbora esponentzialak, denboraoroimengabeak eta independenteak ditugu.

Gainera, DJMK hau jaiotza eta heriotza prozesua da:sistemara bezero bat iristen denean jaiotza dugu eta sistematikbezero bat irteten denean heriotza. Prozesuaren X (t) = negoerak adierazten du sisteman dauden bezeroen kopurua.


M/M/1 itxarote-lerroa zehazten da λ etorrera tasarekin eta µzerbitzu esponentzialaren parametroarekin. Itxarote-lerroahutsik ez dagoeneko zerbitzu tasa da µ.

M/M/1 itxarote-lerroko λ etorrera tasa, jaiotza tasa da, eta µzerbitzu tasa, heriotza tasa (itxarote-lerro ez hutsean). Jaiotzaeta heriotza prozesu honen parametroak hauek dira:

λn = λ , n = 0, 1, . . .

µn = µ , n = 1, 2, . . .


Propietatea. M/M/1 itxarote-lerroa prozesu birsortzailea daλ < µ betetzen denean, egoeren limiteko probabilitateakizanik, n bakoitzerako:

Pn =

(λ

µ

)n(1− λ

µ

)Frogatu

Beraz probabilitateak beherantz doaz esponentzialkiitxarote-lerroaren n luzerarekin. Bestalde, ikusten duguP0 = 1− U dela, U = λ/µ izanik, jakina zen bezala.


M/M/C itxarote-lerroa

Eredu honek M/M/1 itxarote-lerroa orokortzen dumulti-zerbitzuko sistema batera, C zerbitzari dituen sistemara.Itxarote-lerroan n ≤ C bezero daudenean, guztiak ari dirazerbitzua jasotzen, bezero bakoitza zerbitzari batekin, denboraindependenteetan. Aldiz, itxarote-lerroan n > C bezerodaudenean, soilik C bezero ari dira zerbitzua jasotzen.

Ariketa

Deduzitu M/M/C itxarote-lerroa prozesu birsortzailea izatekobete behar den baldintza eta balantza ekuazioen bidez lortulimiteko probabilitateak.


M/M/1/K itxarote-lerroa

Eredu honek M/M/1 itxarote-lerroa orokortzen du,bezeroentzako edukiera edo buffer finitua duen sistemara:itxarote-lerroan K bezero daudela bezero berri bat iristen bada,bezero berri hau ez da sisteman sartzen eta galdu egiten da.

Ariketa

Erakutsi M/M/1/K itxarote-lerroa prozesu birsortzailea delabeti eta balantza ekuazioen bidez lortu limitekoprobabilitateak.

Procesos semi-markovianosMarkov kateak

Un proceso semi-markoviano es un proceso estocastico entiempo continuo X (t), t ≥ 0 donde en cada transicion a unestado i en un tiempo s, se cumple que X (s + t) esindependiente de X (u), u < s, para todo t, u y para cualquiertransicion.

El proceso estocastico permanece en un estado i un tiempo deestancia aleatorio con una esperanza mi que en general esfuncion del estado. El tiempo de estancia no tienenecesariamente una distribucion exponencial. De un estado irealiza una transicion a un estado j de acuerdo con unasprobabilidades Pij que especifican la CMTD asociada.


Si el proceso es regenerativo y calculamos las probabilidadesde los estados de la CMTD asociada, entonces para cadaestado j tenemos que:

Pj =mj πj∑i miπi

La cola M/G/1

Es una generalizacion de la cola M/M/1 a un sistema dondelos tiempos de servicio no tienen necesariamente unadistribucion exponencial.


La cola M/G/1 es un proceso semi-markoviano porque losclientes llegadan a la cola siguiendo un proceso de Poisson, yel tiempo de servicio es independiente de servicios y llegadasanteriores.

El estado X (t) del proceso semi-markoviano viene dado por elnumero de clientes en la cola tras finalizar el ultimo servicio.Ocurre una transicion al finalizar el siguiente servicio. (En lacola vacıa cuando llega un cliente.)


Formulas de Pollaczek-Khinchine para una cola M/G/1

W =λ(σ2 + m2)

2(1− λm)+ m

L = λW =λ2(σ2 + m2)

2(1− λm)+ λm

En estas formulas m y σ2 son la esperanza y varianza deltiempo de servicio, y λ la tasa de llegadas.

Se pueden derivar mediante un analisis del valor medio (sincalcular probabilidades lımite).


La cola M/G/1/K

Es una variacion de la cola M/G/1 a un sistema con unacapacidad K finita para los clientes.

Se obtienen las probabilidades lımite calculando los tiempos deestancia y resolviendo las ecuaciones de balanza de la CMTDasociada.

Ejemplo

Algoritmo leaky bucket en transmision de datos

Eredu markovtarrakKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

Aztertuko dugu sistema bat, 1, 2 . . .M estazioen multzoakosatutakoa, non bezeroak ausazko era batean estaziotikestaziora dabiltzan zerbitzatuak izateko.

I Sistema irekiak: bezero bakoitza sistemara sartzen da etaestazioetatik ibili ondoren sistematik irteten da.

I Sistema itxiak: bezerorik ez da sartzen sistemara eztairteten ere handik, N bezero dabiltza beti sistemakoestazioen artean.

Estazio bakoitzean, bezero kopuruak Xi(t), t ≥ 0 denborajarraituko prozesu estokastikoa definitzen du, i = 1, 2 . . .M .Sistemaren denborazko bilakaera X(t), t ≥ 0 prozesuestokastikoak ematen du, non X(t) = (X1,X2 . . .XM)sitemaren egoera den.


Izan bedi Xi(t), t ≥ 0 bakoitza, i = 1, 2 . . .M :

I denbora jarraituko Markov katea,

I prozesu birsortzailea.

Zerbitzu denbora esponentzialak estazioetan, kanpokoetorrerak (sistema irekian) Poisson prozesua jarraituz,bezeroek ausazko ibilbideak sistema barruan, zerbitzu tasanahikoa estazioetan.

Prozesu birsortzaile hauetan existitzen diralimt→∞PXi(t) = n probabilitateak:

I Pi ,n = limt→∞PXi(t) = n sistema irekian,

I Pi ,n(N) = limt→∞PXi(t) = n sistema itxian, N bezerobadabiltza.


Honela definituko dugu bezeroaren etorrerako probabilitatea:bezero bat estaziora etortzen denean, han n bezero aurkitzekoprobabilitatea. Sistema irekian Ai ,n idatziko dugu eta sistemaitxian Ai ,n(N).

Etorrera teorema. Estazio bakoitzean izan bedi Xi(t), t ≥ 0DJMKa eta prozesu birsortzailea, orduan:

I Ai ,n = Pi ,n sistema irekian.

I Ai ,n(N) = Pi ,n(N − 1) sistema itxian, non N sistemakobezero kopurua den. Pi ,n(N − 1) probabilitatea, N − 1bezero lituzkeen sisteman definituko litzateke.

Emaitza tekniko honek, kola sareen eredu markovtarretanbatezbesteko balioaren analisia egiteko aukera ematen du.

Errendimendu parametroakKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

Kola sarearen eredu orokorra. Zerbitzua ematen duten estaziobatzuk ditugu eta hauetatik zehar bezeroak dabiltza. Sistemairekia edo itxia izango da. Denbora jarraituko prozesuestokastikoa dugu, X(t), t ≥ 0, non X(t) = (X1,X2 . . .XM)sistemaren egoera den, Xi izanik i estazioko bezero kopurua.

Eredu orokorra ez da ezinbestez markovtarra.

Estazio bakoitzaren egoera posibleak 0, 1, 2 . . . dira edohauen azpimultzoa. Beraz sistemaren egoera posibleenmultzoa honelakoa da:

E ⊆ 0, 1, 2 . . .M


Baldin X(t), t ≥ 0 prozesu birsortzailea bada, balantzaekuazioetatik limiteko probabilitateak lortuko genituzkesistemaren egoeretarako:

Pn1,n2...nM = limt→∞PX(t) = (n1, n2 . . . nM)

eta estazio bakoitzean Pi ,n =∑

nj | j 6=i Pn1,n2...nM

Oro har probabilitate hauek ez dira kalkulatzen konputazioarenkonplexutasunagatik, soilik batez besteko balioaren analisia(MVA) egiten da, ahal denean, errendimendu parametroenbalioak lortzeko, eta bestela beti dugu simulazioa egitekoaukera.


Kola sareko errendimendu parametroak hauek dira, sareko iestazio bakoitzean:

I λi estaziorako etorrera tasa, irteera tasaren berdina,Xi = λi idazten da, estazioaren produktibitatea edothroughput parametroa,

I Si bezeroaren zerbitzu denboraren batezbestekoaestazioan,

I Qi = Li estazioko bezeroen itxarote-lerroaren luzerarenbatezbestekoa (zerbitzuan dagoen bezeroa ere zenbatuz),

I Ri = Wi erantzun denbora, bezeroa estazioan dagoendenboraren batezbestekoa (zerbitzua ere sartuz),

I Ui estazioaren erabilera (zerbitzaria badu), estazioakzerbitzua eskaintzen duen denbora zatikia.


Estazio motak:

I Ahalmen finkodun zerbitzu zentroa. Zerbitzari bakarraduen ohiko itxarote-lerroa da mota honetako estazioa.

I Atzerapen zentroa (IS, infinitu zerbitzari). Estazio motahonetan Ri = Si dugu.

I Kargaren menpeko zerbitzua duen zentroa. Adibidez,zerbitzari anitzeko estazio bat.


Oinarrizko erlazioak estazio bakoitzean

Little-ren legea:Qi = Xi Ri

Erabilera legea, ahalmen finkodun zerbitzu zentroan:

Ui = Xi Si


Bezeroaren zikloa

Kola sarean bezero bakoitzak zikloa egiten du, i0, i1 . . . iC ,estazio sekuentzia finitu bat. Oro har, zeharkatutako estazioak,eta hauen kopurua, ausazkoak dira.

I Sistema irekian, zikloaren hasiera da, sistemara kanpotikdatorren bezeroa lehenik sartzen den estazioa, etazikloaren amaiera da, sistematik irten aurretik bezeroadagoen azken estazioa.

I Sistema itxian, i0 = iC estazio berezi bat da, bezeroarenzikloa hasiko duena, eta ziklo baten amaiera da hurrengozikloaren hasiera.

Vi parametroa, kopuru honen itxaropena da definizioz: ziklobatean bezeroak i estaziora egingo dituen bisitak.


Sistemaren produktibitatea

Kola sarean, sistemaren X produktibitatea edo throughput,bezeroek osatzen dituzten zikloen tasa da. Sistema irekiabada, berdinak dira X produktibitatea eta sistemara kanpotikdatozen bezeroen etorrera tasa (eta bezeroen irteera tasa ere).

Fluxu behartuaren legea hau da: estazio bakoitzean,

Xi = X Vi

Lege honek sistemaren X parametroa eta estazioenproduktibitateak erlazionatzen ditu, Vi parametroen bidez.


Sistemaren beste parametro batzuk

Kola sareko bezero kopuru totalaren batezbestekoa:

Q =M∑i=1

Qi

Sistema itxia denean, bezero kopurua konstantea da, Q = N .

Erantzun denbora totala (ziklo bati dagokiona):

R =M∑i=1

ViRi


IS estazioa duen kola sarea

Sistema informatiko baten ereduan, IS estazioaren zerbitzudenborak, bezeroen erreakzio denbora adierazten du. Berebatezbestekoa Z izango da. Sistemaren erantzun denbora haudefini genezake:

R0 = R − Z

Adibidea

Bezero-zerbitzariaren eta memoria partekatuaren ereduak

Kola sare irekiaKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

Kola sare irekiaren analisia (MVA)

Izan bedi kola sare ireki bat, prozesu birsortzailea dena etaeredu markovtarra (oroimengabea) duena.

Propietatea. Sareko estazio bakoitzean, ahalmen finkodunzerbitzu zentroa bada:

Ri = Si (1 + Qi)

Frogatu

Atzerapen zentroan (IS), Ri = Si dugu. Kargaren menpekozerbitzua duen zentroaren analisia zailagoa da.


Aurreko erlaziotik, Little-ren legearekin eta erabilera legearekinbatera, Ri = Si/(1− Ui) erlazioa deduzitzen da ahalmenfinkodun zerbitzu zentrorako. Fluxu behartuaren legea ereeskura dugu.

Ezagunak badira sistemaren X produktibitatea, eta estaziobakoitzean Vi eta Si parametroak, orduan errendimenduparametro guztiak zehaztuta daude baldin eredumarkovtarraren hipotesia badugu. Hipotesi hau onargarria ezdenean, estazio bakoitzean beste erlazio bat behar da Ri etaQi parametroen artean, aurrekoaren ordez.


Oinarrizko erlazioak kola sareko estazio bakoitzean:

Xi = X Vi

Ui = Xi Si

Ri =

Si

1− Uiahalmen finkodun zerbitzu zentroa

Si atzerapen zentroa (IS)

Qi = Xi Ri

Egonkortasun baldintza (prozesu birsortzailea izateko): Ui < 1ahalmen finkodun zerbitzu zentroetan.

Kola sare itxiaKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

Kola sare itxiaren analisia (MVA)

Izan bedi kola sare itxi bat, prozesu birsortzailea dena etaeredu markovtarra duena. Sisteman N bezero daude.

Propietatea. Sareko estazio bakoitzean, ahalmen finkodunzerbitzu zentroa bada:

Ri(N) = Si (1 + Qi(N − 1))

Frogatu

Erlazio honetan Qi parametroa N − 1 bezero dituensistemarako definitu behar da.

Atzerapen zentroetan (IS), Ri = Si dugu.


Erlazio errekurtsibo honek, Little-ren legearekin eta erabileralegearekin batera, algoritmo iteratibo bat ematen du,sistemako bezero kopuruaren gainean egingo dugu iterazioa.Sistema markovtarra ez denean, erlazio horren ordez beste batbeharko da.

Bestalde, algoritmoan erlazio hau ere erabiliko dugu:

X (N) = N/R(N)

Hau deduzitzen da kontuan izanik kola sare itxianN =

∑Mi=1 Qi(N) betetzen dela, jarraian Little-ren legea eta

fluxu behartuaren legea hartuz estazio bakoitzean.


Estazioetako Si eta Vi parametroak ezagunak badira,i = 1, 2 . . .M , sistemaren eta estazio bakoitzarenerrendimendu parametro guztiak lortuko ditugu sistemakobezero kopuruaren gainean iterazioa eginez.

Bestalde, gogoratu kola sare itxia beti dela egonkorra (prozesubirsortzailea).


FOR i = 1 TO M DO Qi(0) = 0FOR k = 1 TO N DO

BEGIN

FOR i = 1 TO M DO

Ri(k) =

Si (1 + Qi(k − 1)) ahalmen finko. zerb. zent.Si atzerapen zentroa

R(k) =M∑i=1

Ri(k) Vi

X (k) = k/R(k)FOR i = 1 TO M DO Xi(k) = X (k) Vi

FOR i = 1 TO M DO Qi(k) = Xi(k) Ri(k)FOR i = 1 TO M DO Ui(k) = Xi(k) Si

END

Analisis del cuello de botellaKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

El cuello de botella de una red de colas es una estacion quelimita los parametros de rendimiento del sistema. Para mejorarel rendimiento del sistema hay que aumentar la capacidad dela estacion cuello de botella.

Analizamos redes de colas formadas por centros de retraso (IS)y centros de servicio con capacidad fija (colas usuales con unservidor) pero sin centros con servicio dependiente de la carga.

Definimos la demanda para un centro de servicio concapacidad fija como:

Di = Vi Si


De las leyes de utilizacion y flujo forzado tenemos:

Ui = X Di

El cuello de botella de una red de colas se define como elcentro de servicio con mayor demanda, por tanto es la estacioncon mayor utilizacion. La estacion i0 es el cuello de botella si:

Di0 = max Di = Dmax

Dados los parametros Vi , Si de los centros de servicio, larelacion anterior para la demanda en cada centro (dondeUi < 1) determina un lımite de la productividad del sistema:

X < 1/Dmax


Red de colas abierta

La productividad X del sistema es un parametro externo de lared de colas, de forma que:

I Si X < 1/Dmax el sistema es estable, tenemos un procesoregenerativo.

I Si X > 1/Dmax el sistema es inestable: las colas en loscentros de servicio crecen indefinidamente.


Red de colas cerrada

En la red de colas hay un numero constante de clientes (N) yel sistema siempre es estable (proceso regenerativo). Laproductividad X del sistema es funcion de N pero lasdemandas de los centros de servico no dependen de N , laproductividad X (N) tiene un lımite asintotico:

X (N) < 1/Dmax

Asimismo como X (N) = N/R(N), el tiempo de respuestatotal R(N) tiene un lımite asintotico:

R(N) > Dmax N

Modelos de sistemas informaticosKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

Ejemplo

Servidor de archivos


Ejemplo

Procesos con memoria compartida


Ejemplo

Red de conmutacion de paquetes


Ejemplo

Servidor central multitarea


Ejemplo

Multicomputadora con red de interconexion

Redes de colas generalesKola sareak eta sistema informatikoen ereduak

En el modelo de red de colas (abierto o cerrado) que hemosanalizado los clientes son estadısticamente identicos:

I todos siguen la misma ruta aleatoria en la red, los clientesse encaminan con iguales probabilidades,

I el tiempo de servicio en las estaciones tiene la mismadistribucion de probabilidad para todos los clientes.

Se pueden definir modelos con multiples clases o cadenas paracaracterizar sistemas informaticos si el modelo con hipotesis declientes identicos proporciona una caracterizacion erronea odemasiado simple.


Multiples cadenas y clases:

I En un modelo de red de colas con multiples cadenas losclientes se reparten de manera permanente en dos o mascadenas de forma que los clientes de una cadena sonestadısticamente identicos pero no ası clientes de cadenasdistintas.

I En un modelo de red de colas con multiples clases losclientes se reparten en dos o mas clases, los clientes deuna fase son estadısticamente identicos pero no los declases distintas. Los clientes no estan en las clases demanera permanente: cuando un cliente completa el cicloque corresponde a la clase donde esta pasa a otra clase.


La mayorıa de resultados obtenidos para las redes de colas seextienden para modelos con multiples cadenas o clases,aunque aumenta la complejidad del analisis.

Otras variantes:

I Servicios hipo- e hiper-exponenciales

I Centros con servicio dependiente de la carga

I Modelos no markovianos

Simulacion de variables aleatoriasSimulazioa eta Petri sareak

Partimos de un algoritmo (software) generador de unasecuencia de numeros aleatorios distribuidos uniformementeentre 0 y 1: unif(0, 1).

Algoritmo determinista, una semilla (un numero entero) inicialdetermina la secuencia generada. Para fijar la semilla:

I se proporciona la semilla al algoritmo,

I el software recurre al reloj del computador,

I como resultado de una simulacion previa, etc.

Un software: librerıa Random de C++

Metodos basicos para generar variables aleatorias continuas:metodo de transformacion inversa, metodo de rechazo.


Metodo de transformacion inversa

U variable aleatoria uniforme en (0, 1)

X variable aleatoria con una funcion de distribucion F (x):

X = F−1(U)

(Interpretar discretizando x)

Generar el valor aleatorio u con unif(0, 1) y asignar x = F−1(u)


Ejemplo: variable aleatoria exponencial,

F (x) = 1− e−λx

X = −1

λlog(1− U)


Metodo de rechazo

No existe una expresion explıcita de F−1

Planteamiento:

I queremos generar X , con densidad f (x),

I podemos generar Y , con densidad g(y).

Requisito: para cierta constante c ,

f (x) ≤ c g(x) , ∀x

(mejor c mınima)


Iterar:

1. Generar un valor Y = y ,

2. Generar un valor U=u, unif(0, 1), y proporcionar X = y si:

u ≤ f (y)

c g(y)

(aceptar con probabilidad f (y)/cg(y))


Metodo de rechazo, ejemplo: variable aleatoria normal a partirde una variable exponencial (asignar +/− aleatoriamente).

Distribuciones de variables discretas

Version discretizada del metodo de transformacion inversa.

Demostrar

Petri sareetarako sarreraSimulazioa eta Petri sareak

Sistema informatikoen ereduak eraikitzeko bi arazo nagusihartu behar dira aintzakotzat:

I baliabideen lehia,

I ataza konkurrenteen sinkronizazioa.

Kola sareak erabiltzen dira baliabide lehiaren ereduak egitekobaina atazen sinkronizazioa ezin da adierazi kola sareekin.Petri sareak erabiltzen dira sistema konkurrenteensinkronizazioa adieraziko duten ereduak garatzeko.

Petri sare klasikoetaz gain, denborazko Petri sareak aztertukoditugu, hauekin eredu markovtarrak defini ditzakegusistemaren analisian sakonduz.

Petri sare klasikoakSimulazioa eta Petri sareak

Petri sare (PN) bat formalki (P , T , I,O) laukotearekindefinitzen da:

I P lekuen multzoa,

I T trantsizioen multzoa,

I I ⊆ P × T trantsizio bakoitzak sarreratzat dituen lekuak,

I O ⊆ T ×P trantsizio bakoitzak irteeratzat dituen lekuak.

PNaren n = (n1, . . . , nm) markaketa definitzen da m = |P|lekuetako bakoitzean ditugun marka edo token kopurua, ni

zenbaki ez-negatiboa, zehaztuz.

PNak grafikoekin adierazten dira: zirkuluak, arkuak, marrak,puntuak.


PNaren dinamika

Izan bedi t trantsizioa, sarreran i1, . . . , iK lekuak eta irteerano1, . . . , oL lekuak dituena: trantsizoaren tiro baldintza dasarrerako leku bakoitzak gutxienez marka bat izatea; eta tiroegitearen ondorioa da sarrerako leku bakoitzak marka batgaltzen duela, guztira K marka galdu, eta irteerako lekubakoitzak marka bat irabazten duela, guztira L marka irabazi.

Adibidea

PNaren trantsizio batek tiro egitea.


Trantsizioa gaituta dago baldin tiro baldintza betetzen badu.Trantsizio bat baino gehiago badaude gaituta aldi berean,PNaren dinamika ez-determinista da, bilakaera posibledesberdinak ditugu. Bi trantsizioren artean gatazka dagobaldin batek tiro egiten duenean bestea desgaitu egiten bada.

PNaren hasierako markaketa n(0) emanik, trantsizio tiroensegidak n(i) | i = 0, 1 . . . markaketa sekuentzia sortzen du,sistema baten denborazko bilakaera bezala interpretatukodena, oro har bilakaera ez-determinista: hasierako markaketabaterako, hainbat markaketa sekuentzia posible izango ditugu,trantsizio tiroen segidaren arabera sortzen direnak.


Petri sarearen hedadura batzuk:

I trantsizioak tiro egitean, sarrerako leku batek marka batbaino gehiago galtzea, edo irteerako leku batek marka batbaino gehiago irabaztea (arku anizkoitza),

I trantsizioaren inhibitzaile den lekua (arku inhibitzailea).

Ez ditugu erabiliko arku inhibitzaileak, bai ordea anizkoitzak.


Adibideak

Sistema konkurrenteen hiru eredu aztertuko ditugu:

I Prozesuen arteko aukeratze ez-determinista eta elkarbaztertzea baliabide partekatua atzitzeko

I Ekoizle-kontsumitzaile eredua: bounded-buffer problema

I Komunikazio protokoloa non igorlearen leiho-tamainafinitua den

Petri sareen analisiaSimulazioa eta Petri sareak

Sistema konkurrentearen PN bidezko ereduak zenbaitpropietate betetzen dituen aztertuko dugu.

PNaren hasierako markaketa n(0) emanik, irisgarritasun grafoahonela definitzen da:

I grafoaren nodoak, hasierako markaketatik abiatuztrantsizio tiroen segida posibleek sortzen dituzten nmarkaketa guztiak dira,

I nodo horien arteko arkuak, (n,n′) bikoteak, trantsiziotiroei dagozkie.

PNaren R(n(0)) irisgarritasuna, grafoaren nodo multzoa da.

Adibidea

Irisgarritasun grafoa eraiki


Irisgarritasunaren problema hau da: PNaren hasierakomarkaketa n(0) eta beste markaketa bat n emanik,

n ∈ R(n(0)) ?

(Problema hau ez da konputagarria denbora polinomikoanbaina kalkulua egingarria izan liteke PN jakin batekin.)

Interesatzen zaigu lekuen marka kopurua trantsizio tiroensegidak sortzen duen markaketa sekuentzian. Adibidez, PNak-bornatua da n(0) emanik baldin R(n(0)) multzoko markaketaguztietan leku bakoitzak gehienez k marka baditu.

Adibidea

Bi baliabide partekatu hiru prozesuren artean


Una PN esta estructuralmente acotada si para todo marcadoinicial n(0) existe alguna k tal que la PN es k-acotada.

Usualmente los tokens o marcas representan recursos oclientes: en una PN acotada la cantidad de estas entidades nocrece indefinidamente con el tiempo.

Una PN es segura si es 1-acotada. Son sistemas donde lasactividades no quedan pendientes.

Una PN es estrictamente conservativa si el numero total demarcas en el conjunto de lugares se conserva en cada disparode transicion.


Una PN es persistente si una transicion habilitada solo sedeshabilita cuando dicha transicion se dispara (y no pordispararse otra transicion).

Una PN es irreducible cuando el grafo de alcanzabilidad esfuertemente conectado: si n′ ∈ R(n) entonces n ∈ R(n′).

Una PN es recurrente si dado un marcado inicial n(0)

cualquiera siempre existe alguna posible evolucion temporalque lleve de nuevo a n(0).


PNaren hasierako markaketa n(0) emanik, esango dugu ttrantsizioa biziduna dela baldin, edozein n ∈ R(n(0))markaketarako, existitzen bada n′ ∈ R(n) markaketaren batnon t gaituta dagoen. PNa biziduna da trantsizio guztiakbizidunak badira.

Bestalde, PNaren n ∈ R(n(0)) markaketan gaitutakotrantsiziorik ez badago orduan sistemaren denborazko bilakaeraamaitu edo blokeatu egingo da.

Adibideak

(a) Bilakaera blokeatzen den sistemaren PNa(b) Trantsizio bizidunak eta ez-bizidunak dituen PNa


Una PN es de libre eleccion si para toda transicion t que tieneun lugar entrante i que tambien es entrante para otrastransiciones se cumple que t no tiene mas lugares entrantes.En este modelo se desacoplan las transiciones en conflicto ylas sincronizaciones join.


Expresion algebraica de la dinamica de una PN

Para cada transicion t y lugar p definimos:

atp = a+tp − a−tp

donde a+tp es el numero de arcos de t a p y a−tp el numero de

arcos de p a t. Por tanto atp representa el incremento demarcas de p cuando se dispara t. (Si no hay arcos multiplesentonces −1 ≤ atp ≤ 1.)

Tenemos la matriz de incidencia A = [atp] de tamano T × P .


Tomamos los marcados n como vectores columna. Definimosu(k) como el vector columna que tiene un 1 (y resto 0s) en laposicion que corresponde a la transicion t cuyo disparoconduce del marcado n(k−1) a n(k).

Ecuacion recursiva de la secuencia de marcados:

n(k) = n(k−1) + A′ u(k)

Si escribimos ∆n = n(k) − n(0) y s =∑k

i=0 n(i) tenemos:

∆n = A′ s


Se denomina T-invariante de una matriz de incidencia a todovector columna x con entradas enteras no negativas quesatisface la ecuacion A′ x = 0. Un T-invariante x es positivo sitodas sus entradas lo son.

Propiedad. Si una PN es vivente y acotada entonces existe unT-invariante positivo de su matriz de incidencia. (Pero no secumple la implicacion recıproca.)Demostrar

Propiedad. Una condicion necesaria (pero no suficiente) paraque exista un T-invariante positivo es que rk(A) < T .Demostrar


Propiedad. Una PN es estrictamente conservativa si y solo siA y = 0 para y = [1 1 · · · 1]′ (las columnas de la matriz deincidencia suman 0).Demostrar

Por tanto una condicion necesaria (pero no suficiente) paraque una PN sea estrictamente conservativa es que rk(A) < P .

Ejemplo

Modelo de productor-consumidor (bounded-buffer) con unconsumidor. Escribir la matriz de incidencia y analizar la PN.

Denborazko Petri sareakSimulazioa eta Petri sareak

PN klasikoan, n(i) | i = 0, 1 . . . markaketa sekuentzia,gertaera diskretu (trantsizio tiro) batzuen segida da, denboranzeharreko segida, baina ez dira zehazten gertaera horiendenborak.

Denborazko PNan denbora batzuk esleitzen dira, normaleantrantsizioei (eta ez lekuei). Trantsizio bati elkartutakodenbora, bere tiro denbora, konstantea izan daiteke, edoindeterminatua, ausazko aldagai bat.

Denborazko PNan denboraren semantika hauek bereizten dira:

I tiro atomikoaren semantika (AF), hau erabiliko dugu,

I tiro ez-atomikoaren semantika (NF).


AF semantika

Trantsizio bat t gaitzen denean, bere tiro denbora igaroondoren egingo du tiro trantsizioak, baldin une horretan ttrantsizioa oraindik gaituta badago. Horrela bada, ttrantsizioak tiro egiten duen unean, sarrerako lekuek dagozkienmarkak galduko dituzte eta irteerako lekuek dagozkien markakirabazi.

Bestalde, denborazko PNan berehalako trantsizioak eredefinitzen dira, tiro denbora nuluak dituzten trantsizioak(grafikoan marra mehe batekin adieraziz). Berehalakotrantsizioen arteko gatazka ebazteko lehentasun edoprobabilitate irizpidea erabiltzen da.


NF semantika

Trantsizio bat t gaitzen den unean, sarrerako lekuek dagozkienmarkak galtzen dituzte. Tiro denbora igaro ondoren, ttrantsizioak tiro egingo du eta irteerako lekuek dagozkienmarkak irabazi.

PN bat NF semantikarako definitu bada, beti defini dezakeguPN berri bat AF semantikarako, hasierakoari leku etaberehalako trantsizio batzuk gehituz, bi PNak baliokideakizanik. NF semantika duen hasierako PNa, AF semantika duenPN baliokidea baino sinpleagoa da. Baina NF semantikarekinezin dira adierazi AF semantikarekin adierazten diren ereduguztiak, lasterketa baldintza adibidez.


Adibideak

AF eta NF semantikarekin PNak: trantsizioen arteko gatazka,lasterketa baldintza; gaitze anizkoitza duten trantsizioak


PNaren markaketa batean, t trantsizioaren sarrerako lekubakoitzak bi marka edo gehiago baditu, orduan t trantsizioarengaitze anizkoitza eragiten du markaketa horrek. Trantsizioarengaitze bakoitzak jarduera bat adierazten duela ulertuko dugu.Gaitze anizkoitzarekin bi semantika hauetako bat erabiliko da(itxarote-lerroen teorian bezala):

I Zerbitzari bakarraren semantika (SS). Zerbitzari batenitxarote-lerrora etorri diren bezeroak lirateke aipatutakojarduerak.

I Atzerapen zerbitzariaren semantika (DS). Atzerapenzerbitzari edo zentro (infinitu zerbitzari) batera etorridiren bezeroak lirateke jarduerak.

(SS/DS eta AF/NF semantikek ez dute elkarren arteanloturarik.)

GSPNSimulazioa eta Petri sareak

Petri sare estokastiko orokortua (GSPN) honela definitukodugu: denborazko Petri sare bat, dagokion denbora jarraitukoprozesu estokastikoa eredu markovtarra izanik. Beraz GSPNprozesu estokastikoak DJMK bat du elkartuta.

GSPN prozesu estokastikoaren egoerak PNaren markaketenbidez emango ditugu. Egoerak zenbatuko genikuzte0,1,. . . bezala.

PNaren trantsizioen tiro denborak ausazko aldagaiesponentzialak izango dira (independenteak). PNkodenboraren semantika AF semantika izango da.

Prozesu estokastikoa birsortzailea bada, egoerenprobabilitateak definitu eta kalkulatuko ditugu.


GSPNan berehalako trantsizioak ere erabil daitezke, arrazoihauek izan ditzakegu:

I Sinkronizazioan ez dago denbora fisikorik, bakarriksinkronizazioaren logika edo araua.

I Berez berehalakoak ez diren trantsizioetan, tiro denboratxikia bada beste trantsizioen ondoan, berehalakotrantsizioak hartuz eredu sinpleagoa lortzen da.

Prozesu estokastikoa iristen bada egoera batera nonberehalako trantsizio batzuk gaituta dauden, ausaz hauetakobatek tiro egingo du berehala probabilitate batzuen arabera(random switch).

Berehalako trantsizioak badaude, elkartutako DJMKren egoeramultzoa ez da R(n(0)) irisgarritasuna, honen azpimultzopropio bat baizik, jarraian ikusiko dugunez.


GSPNaren egoera multzoa bitan zatitzen da, alde batetikegoera ukigarrien ST multzoa eta bestetik egoera iheskorrenSV multzoa.

I Egoera bat ukigarria da baldin berehalako trantsiziorik ezbadago gaituta. Egoera hauek daude elkartutako DJMKn.

I Egoera bat iheskorra da baldin berehalako trantsizio batgutxienez gaituta badago.

GSPN prozesu estokastikoaren eredua honela zehaztuko da:

I Elkartutako DDMK dugu, ST ∪ SV multzoko egoerenarteko Pij trantsizio probabilitateak dituena. Markov katelaburtezina izan behar da.

I Egoera ukigarrien egonaldi denborak ditugu, νiparametrodun aldagai esponentzialak izango dira.


GSPN prozesu estokastikoaren egoera ukigarrien, hau da,elkartutako DJMKren egoeren probabilitateak lortzeko, lehenikelkartutako DDMKren banaketa geldikorra kalkulatuko dugu,πi probabilitateak i ∈ ST ∪SV guztietarako, Pij probabilitateakjakinik. Ondoren, j ∈ ST bakoitzaren probabilitatea dugu:

Pj =mj πj∑

i∈ST mi πi

mi = 1/νi izanik i egoerako egonaldi denborarenbatezbestekoa. Egonaldi denborak adierazten du gaitutakotrantsizioen artean noiz egiten den lehenengo tiroa.

GSPN markovtarra ez bada baina bai erdi-markovtarra,egindako analisia baliozkoa da.


GSPNaren parametroak jakinik, Pij probabilitateak eta νiparametroak zehaztuko ditugu, deskribatu diren kalkuluakegiteko.

Baldin i egoera iheskorra bada:

Pij =∑

t∈T ∗(i ,j)

Pi(t)

T ∗(i , j) multzoan PNko trantsizio bat dago baldin berehalakoabada, i egoeran gaituta badago eta tiro eginez gero i egoeratikj egoerara bagoaz. Multzoan trantsiziorik ez badago Pij = 0da. Pi(t) da trantsizioari esleitutako tiro probabilitatea,∑

t∈T ∗(i) Pi(t) = 1 beteko da, orain T ∗(i) multzoan daudePNko berehalako trantsizioak i egoeran gaituta daudenak.


Baldin i egoera ukigarria bada:

Pij =∑

t∈T (i ,j)

r(t)∑u∈T (i) r(u)

T (i , j) eta T (i) multzoak lehen bezala definitzen dira bainaorain multzoetako trantsizioak ez dira berehalakoak.Trantsizioaren tiro denbora esponentzialaren parametroa dar(t). Bestalde, i egoera ukigarriko egonaldi denbora (gaitutakotrantsizioen artean noiz lehenengo tiroa) esponentzialarenparametroa hau da:

νi =∑

u∈T (i)

r(u)


Adibidea

Bi baliabide hiru (A,B,C) prozesuren artean partekatuta.Berehalako trantsizioak t1, t2, t3 eta berehalakoak ez direnakt4, t5, t6. Taulan: PNaren markaketa, GSPNaren egoera etamota (iheskorra edo ukigarria).

1110002 X i hiru prozesuak geldirik0111001 0 i A baliabide batekin1010101 1 i B baliabide batekin1100011 2 i C baliabide batekin0011100 3 u A eta B bi baliabideekin0101010 4 u A eta C bi baliabideekin1000110 5 u B eta C bi baliabideekin


Kalkulatu egoera ukigarrien probabilitateak, ondorengoparametroen arabera.

Egoera iheskorretan gaitutako berehalako trantsizioen Pi(t)tiro probabilitateak (random switch):

t1 t2 t3

0 0 0,5 0,51 0,8 0 0,22 0,8 0,2 0

Egoera ukigarrietan gaitutako trantsizioen tiro denboraesponentzialaren parametroa edo tasa:

r(t4) = 30, r(t5) = 20, r(t6) = 10

Redes de Petri en tiempo discretoSimulazioa eta Petri sareak

Algunos sistemas requieren un modelo estocastico con tiempodiscreto. Clasificacion de las PN en tiempo discreto:

I Tiempos de disparo geometricos. Equivale a una GSPNcon tiempos de disparo exponenciales. Se analiza laCMTD definida por esta PN en tiempo discreto.

I Tiempos de disparo deterministas. El analisis es difıcilpues el sistema no es markoviano.

Redes de Petri en tiempo discretoSimulazioa eta Petri sareak

Ejemplo

Recursos compartidos por procesos. Parametros de los tiemposde disparo geometricos:

ρ(t4) = 0,04, ρ(t5) = 0,025, ρ(t6) = 0,02

Encaminamiento en redesOptimizacion: redes de comunicaciones

Ingenierıa del encaminamiento

En una red de comunicaciones hay que encaminar el trafico dedatos optimizando el rendimiento de la red y la utilizacion desus recursos.

Tipos de trafico que encamina una red troncal:

I Trafico elastico: agregado de sesiones TCP individuales.

I Trafico de la red privada virtual de una corporacion.

I Trafico de flujo (stream): sesiones de voz o vıdeo conparametros QoS garantizados.


Esquema de una red troncal: routers y conexiones.Routers de agregacion conectados a la red troncal paraingreso/egreso de trafico de datos.

aggregation router backbone router

backbone network


Definimos la demanda a una red: un requerimiento detransferencia de datos para trafico elastico o de flujo (origen,destino, carga, QoS).

Se distinguen dos entornos de trabajo:

I Entorno de diseno (offline): se conoce la demandaesperada para distintos pares de nodos. Se determinan lascapacidades de las conexiones de la red o bien, dada unared (y las capacidades), se determina el encaminamientodel trafico.

I Entorno operacional (online): no se conocen las demandasesperadas. Al llegar una demanda, partiendo del estado dela red, se encamina el trafico.

Se plantean problemas de optimizacion.

Encaminamiento de trafico elasticoOptimizacion: redes de comunicaciones

Problema de optimizacion: dada una red y las capacidades delas conexiones, y conocidas las demandas de trafico, encaminarlas demandas maximizando algun parametro de rendimiento.

Consideramos trafico elastico: multiples usuarios queestablecen conexiones TCP (navegando en la Web etc). Nohay requerimientos intrınsecos en el retraso de la transmision oen la tasa de transferencia.

Una demanda viene caracterizada por:

I s - t los routers origen y destino de los datos,

I d la carga promedio de su trafico en (G/M/K)bps.


Encaminamiento de multiples demandas en una red:

I El trafico de una demanda s - t se puede repartir entrevarios caminos de s a r . Es posible definir caminosvirtuales para las demandas con tecnologıa MPLS.(IP encamina localmente los paquetes en cada router.)

I La suma de cargas de las demandas encaminanadas poruna conexion ha de ser menor que su capacidad. Cargaexcesiva: acumulacion de paquetes en buffer, retrasos,perdida de paquetes. Buen rendimiento de sesiones TCPcon carga maxima del 90 % de su capacidad (de-rating).

I El objetivo sera maximizar la menor de las capacidades deconexion no usadas.

I Recalcular encaminamientos para nuevas demandas.


Encaminamiento optimo

Definimos un grafo dirigido G(N ,L): conjunto numerado denodos (routers) N y conjunto numerado de conexiones L,siendo |N | = N y |L| = L. Una conexion l entre dos nodos:h(l)→ w(l). Tambien definimos el conjunto numerado dedemandas K, con |K| = K .

En el encaminamiento optimo el trafico de una demandapodra ser arbitrariamente repartido entre distintos caminos.(El actual protocolo OSPF solo permite reparto uniforme entrecaminos de coste mınimo.)


Para cada demanda k definimos su vector de flujo x(k) siendox(k)l la carga correspondiente a esta demanda que transportala conexion l .

La topologıa de la red viene dada por la matriz A de incidencianodo-conexion: en la columna de la conexion l se fijaAh(l),l = +1, Aw(l),l = −1 y resto ceros.

La carga de la demanda k es d(k). Definimos el vectororigen-destino v(k), siendo v(k)s(k) = +d(k),v(k)t(k) = −d(k) y resto ceros.


Ecuaciones de conservacion de flujo para la demanda k :

A x(k) = v(k)

Representacion de la conservacion de flujo para el conjunto dedemandas:

∆ x = v

donde ∆ = diag [A,A, . . . ,A] es una matriz diagonal porbloques de dimension KN × KL y

xT =[x(1)T , . . . , x(K )T

]vT =

[v(1)T , . . . , v(K )T

]


La condicion para un encaminamiento factible esx(1) + . . .+ x(K ) ≤ c siendo c el vector de capacidades de lasconexiones.

Definimos z para que represente el mınimo de las capacidadesno usadas en las conexiones, por tanto:

x(1) + . . . + x(K ) ≤ c − z1

El problema de optimizacion consiste en maximizar z . Enforma compacta escribimos:

Υ x ≤ c − z1

donde Υ = [I , . . . , I ] e I es la matriz identidad.


Encaminamiento optimo para unas capacidades de red c yunas demandas v dadas: maximizar z , la menor capacidad nousada en las conexiones.

Problema de optimizacion:

max z

sujeto a∆ x = v

Υ x ≤ c − z1

x(k)l ≥ 0 ∀k , l

Programa Lineal: se calcula el encaminamiento x∗, y z∗.


Consideramos la dualidad de la programacion lineal.

I Un problema primal:maximizar cTx sujeto a A x ≤ b, x ≥ 0

I Su problema dual:

minimizar bT

y sujeto a AT y ≥ c , y ≥ 0

Teorema debil de dualidad: si x es una solucion factible delproblema primal e y es una solucion factible del problema dual

entonces cTx ≤ bT

yTeorema fuerte de dualidad: el problema primal tiene solucionoptima si y solo si el problema dual lo tiene, cumpliendose que

cTx∗ = bT

y ∗


Relacionaremos el programa lineal con los algoritmos decamino mas corto (como el protocolo OSPF).

Programa lineal para encaminamiento optimo:

I Problema primal: KL + 1 variables x(k)l , z con KN + Lrestricciones.

I Problema dual: KN + L variables u(k)n, yl con KL + 1restricciones.

Propiedad. Dada la solucion optima, con una fraccion del flujox(k)∗ entre s(k) y t(k) positiva por el camino l1, . . . , lm, paracualquier camino entre s(k) y t(k) se verifica:

y ∗l ′1 + . . . + y ∗l ′n ≥ y ∗l1 + . . . + y ∗lm


Por tanto, el camino optimo entre s(k) y t(k), uno o varioscaminos, es el camino mas corto para los pesos y ∗l de lasconexiones dados por la solucion optima del problema dual.Observamos que:

I El programa lineal proporciona encaminamientos optimosy no hace falta calcular caminos mas cortos.

I Los pesos y ∗l corresponden a la solucion offline delproblema de encaminamiento.

Sin embargo se justifica el uso de algoritmos de camino mascorto cuando no es posible recurrir a la programacion linealpara optimizar el encaminamiento: entorno online, el protocolono conduce a un programa lineal, encaminamiento local, etc.


El analisis de sensibilidad permite caracterizar los pesos y ∗l delas conexiones dados por el programa lineal.

Propiedad. La variacion del valor optimo de la funcion objetivorespecto de la capacidad de una conexion es:

∂z∗

∂Cl= y ∗l

En consecuencia, los pesos y ∗l ≥ 0 son positivos solo para lasconexiones con capacidad no usada mınima (que vale z∗).

Por otra parte, observamos que la variacion respecto de lademanda ∂z∗/∂d(k) ≤ 0 es no nula solo para demandasencaminadas por conexiones con capacidad no usada mınima.


Uno de los protocolos de encaminamiento mas utilizados enredes IP es Open Shortest Path First (OSPF): calcula caminosmas cortos entre routers para pesos de conexiones asignadospor el operador de red.

En las implementaciones usuales de OSPF, para multiplescaminos mas cortos la demanada se reparte uniformemente. Elproblema de optimizacion resultante no es un programa lineal.

Se usan algoritmos heurısticos para determinar los pesos de lasconexiones, calculando un encaminamiento sub-optimo.


Algoritmo de Dijkstra para el camino mas corto

Camino mas corto entre el nodo i y cualquier otro nodo j ∈ NPesos de conexiones wn,m ≤ ∞

A = i, δj = wi ,j , ∀j ∈ N \ Awhile A 6= N

k = arg mınj∈N \AδjA = A ∪ kδj = mınδj , δk + wk,j, ∀j ∈ N \ A

Camino mas corto de i a cualquier otro nodo: incialmente ∅(directos); en cada iteracion, para un δj menor se escoge elcamino a k y de aquı al nodo j .


Algoritmo de Bellman-Ford

Camino mas corto.

δ0j =∞, ∀j ∈ N , δ0

i = 0repeat

δh+1j = mınk∈Nδhj , δhk + wk,j, ∀j ∈ N

until δh+1j = δhj , ∀j ∈ N

Calculo de caminos con un salto como maximo, dos saltos, etc(h = 1, 2, . . .)

La complejidad de los algoritmos de Dijkstra y Bellman-Fordes equivalente.


Algoritmo de Dijkstra Generalizado

Existen otros criterios de encaminamiento donde la longitud deun camino no es la suma de pesos de las conexiones queatraviesa. Por ejemplo:

I (Inverso del) ancho de un camino: el ancho de bandamenor de las conexiones que recorre.

I Numero de saltos (nodos) del camino y, con igualnumero, (inverso del) ancho del camino.

Definiremos el concepto de isotonicidad.


Consideramos una longitud general δ definida para los caminosx de un grafo dirigido. Sea una relacion de orden sobreδ(x). Designamos con ⊕ el operador de concatenacion decaminos.

Se dice que una longitud δ es isotonica si δ(x) δ(y) implicaδ(x ⊕ z) δ(y ⊕ z) y δ(z ⊕ x) δ(z ⊕ y) para caminosx , y , z cualquiera.

Propiedad. El algoritmo de Dijkstra generalizado proporcionael camino mas corto para una longitud isotonica.

Ejemplo de una longitud no isotonica: (inverso del) ancho delcamino y, con igualdad, numero de saltos.


Protocolos de encaminamiento

En una red IP no hay caminos virtuales: cada router encaminasegun la direccion IP por el camino mas corto.

Protocolos de vector de distancias. En cada router se calculaun vector de distancias, normalmente numero de saltos hhasta la red n, y la tabla de encaminamiento, siguiente routerpara la red n, para todo n. Periodicamente cada router:

1. anuncia el vector de distancias a los routers vecinos,

2. recibe anuncios de routers vecinos, recalcula vector dedistancias y tabla de encaminamiento.

Ejemplo: routing information protocol (RIP). Tiempos deconvergencia largos y ciclos de encaminamiento transitorios.


Protocolos de estado de conexion (LSP). El administrador dela red hace un anuncio de estado de conexiones (LSA):conexiones y redes asociadas a cada router, y metrica de la red(pesos de conexiones). Se distribuye a todos los routers de unarea determinada. Se tiene una base de datos completa,distribuida y repetida. La metrica de la red esta definida por eladministrador. En cada router se calcularan caminos mascortos. Ejemplo: protocolo OSPF

Se denomina sistema autonomo (AS) al conjunto de routersbajo un administrador (puede ser un ISP). Si el sistemaencamina segun IP usara protocolos RIP, OSPF.


Para el encaminamiento entre sistemas autonomos se utiliza elBorder Gateway Protocol (BGP).

El intercambio de informacion entre los routers de frontera sehace entre pares. Se mantienen bases de datos de informacionde encaminamiento (RIB). Para encaminar paquetes cadarouter de frontera efectua un proceso de decision: seleccionaruna secuencia de sistemas autonomos segun su destino.


Un sistema autonomo: RedIRIS (red academica y deinvestigacion espanola)


Conectividad externa de la RedIRIS

Caminos virtualesOptimizacion: redes de comunicaciones

Estudiamos la reserva de caminos virtuales en una red decomunicaciones.

Una demanda es el requerimiento de establecer sobre una redun camino virtual entre un origen y un destino, reservando unadeterminada capacidad.

Ejemplo de demanda: reservar una red privada para unaentidad corporativa.

Se dispone de la tecnologıa MPLS para definir caminosvirtuales sobre una red.


Planteamiento del problema:

I entorno online, se encamina cada demanda cuando sepresenta esta,

I a cada demanda se asigna un unico camino virtual (seofrece mejor QoS),

I se establece el camino virtual de una demanda sin conocerlas futuras demandas (su carga, origen y destino).

Un criterio simple para encaminar una demanda: asignarcamino con menor numero de saltos, con suficiente capacidad.Limitacion: no considera futuras demandas, pueden quedarbloqueadas por falta de capacidad.


Formulacion del problema

Tenemos una red de comunicaciones residual: capacidades deconexiones disponibles tras encaminar demandas anteriores.

Se presenta una demanda κ de camino virtual con origen a ydestino b de carga d(κ).

Dado un posible camino virtual para κ se define el maxflow delpar (s, t) como la capacidad disponible para una futurademanda de s a t.

El objetivo es maximizar el menor de los maxflow en el vectorde interferencias para futuras demandas.


La matriz de incidencia nodo-conexion A se define como antes.El vector con las capacidades residuales de conexiones es c .

Designamos con K el conjunto de demandas potenciales: paresfuente-destino. El vector e(k) especifica la fuente y el destinode una demanda futura k ; su vector de flujo sera x(k).

Para una demanda k , representamos con θ(k) el maxflowentre el nodo fuente s(k) y destino t(k) para la red residual.Se puede asociar un peso α(k) a k .

Ante la llegada de una demanda κ, de tamano d(κ), queremosdefinir un algoritmo MIRA (minimum interference routingalgorithm).


Problema de optimizacion

maximizar z

sujeto a:Ax(k) = θ(k)e(k) ∀k ∈ K \ κ

Ax(κ) = d(κ)e(κ)

x(k) + x(κ) ≤ c ∀k ∈ K \ κ

z ≤ α(k)θ(k) ∀k ∈ K \ κ

x(k) ≥ 0 ∀k ∈ K \ κ

x(κ) ∈ 0, d(κ)L


La determinacion del camino virtual optimo es un problema deprogramacion entera sobre x(κ) ∈ 0, d(κ)L

Variante del problema de optimizacion

En lugar de x(k) + x(κ) ≤ c , ∀k ∈ K \ κ, considerarconjuntamente las interferencias con futuras demandas:∑

∀k∈K

x(k) ≤ c

Ejemplo

Analizar una red simple.


Este problema de optimizacion no es computable en tiempopolinomico: se recurre a heurısticos MIRA para la busqueda deun encaminamiento.

Alternativamente, segun la complejidad de la red, puede serfactible computar zmax para cada x(κ) ∈ 0, d(κ)L: dado unx(κ) particular tenemos un programa lineal en θ(k) y x(k),∀k ∈ K \ κ. Obtenemos:

z∗ = maxzmax(x(κ)) | x(κ) ∈ 0, d(κ)L

y el encaminamiento optimo x∗(κ).


Experimentos con heurısticos MIRA


Caminos virtuales con tecnologıa MPLS: Multiprotocol LabelSwitching

En una red IP no se reservan caminos virtuales: cada routerencamina un paquete segun su direccion IP.

En una red MPLS a cada paquete se asigna en la entrada unFEC (forwarding equivalence class), que permite reservar uncamino virtual para un determinado conjunto de paquetes. LaFEC se codifica en una etiqueta que se anade al paquete. Laetiqueta MPLS en cada router indexa a una tabla: siguienterouter y nueva etiqueta. No se analiza el encabezamiento IP,permite una conmutacion de paquetes a alta velocidad. Losrouters intercambian informacion: asociacion etiqueta-FEC.

Encaminamiento de sesiones streamingOptimizacion: redes de comunicaciones

Requerimiento de QoS para una sesion streaming. Parametros:

I ancho de banda,

I maximo retraso en la transmision de datos.

El operador de la red encamina multiples sesionesgarantizando los parametros QoS negociados con cada sesion.

El flujo de datos de una sesion streaming tiene en general uncaracter estadıstico por lo que los routers deben utilizarpolıticas de encaminamiento de paquetes que garanticen losparametros QoS (un ancho de banda): routers con disciplina demultiplexado WFQ (weighted fair queueing) u otras disciplinas.


Para garantizar los parametros de QoS, el flujo de datos deuna sesion streaming que entra y atraviesa una red ha deajustarse a un modelo estocastico: el modelo mas simple esfijar un maximo para la tasa de bits instantanea.

Las sesiones que se multiplexan en una red tienen un flujo dedatos de caracter estadıstico y es posible obtener un mayorrendimiento con un modelo estocastico mas complejo:conformar el flujo de datos con el algoritmo leaky bucket. Elflujo de datos de una sesion k se ajusta a estos parametros:

I σk tamano maximo de una explosion (burst) del flujo,

I ρk tasa (bit rate) promedio del flujo de datos,

I ck tamano maximo de los paquetes de la sesion.


Sesion conformada por leaky bucket y routers WFQ


Para una sesion k conforme a los parametros (σk , ρk , ck) la redreserva en cada router WFQ del camino entre la fuente s(k) yel destino t(k) una tasa de transmision rk ≥ ρk

Problema general

Encaminar un conjunto K de sesiones donde cada sesion k esconforme a (σk , ρk , ck) y tiene garantizado un requerimientode retraso total maximo D requ

k


Retraso maximo observado por un paquete de la sesion k :

σk + H(Pk) ckrk

+∑l∈Pk

ξl

I Pk ruta asignada a la sesion, H(Pk) numero de saltos(entre routers) en el camino,

I rk tasa asignada a la sesion en los routers del camino,ck/rk retraso maximo en un router WFQ,

I ξl tiempo de transmision de un paquete, sin interrupcion,en la conexion l .

Por otra parte, cada conexion tiene una capacidad disponibleCl para el conjunto de sesiones que multiplexa.


Problema RRA: routing and rate allocation

Dado un conjunto de sesiones conformadas por leaky bucket ycon requerimientos de retraso maximo, encontrar caminos Pk

y tasas rk tales que:

σk + H(Pk) ckrk

+∑l∈Pk

ξl ≤ D requk ∀k ∈ K

∑k : l∈Pk

rk ≤ Cl ∀l ∈ L

rk ≥ ρk ∀k ∈ K


Problema RRA:

I No hay funcion objetivo, se buscan soluciones factibles.

I En general no es computable en tiempo polinomico, hayque simplificar el problema.

Una variante consiste en operar en un entorno online: seencamina cada sesion cuando se presenta su demanda a la red.El problema RRA se reduce a encaminar una unica sesion,|K| = 1, y las capacidades Cl de las conexiones son lasdisponibles para la nueva sesion, actualizandose estas para lasiguiente sesion.


Algoritmo de encaminamiento de una sesion

Sean C 1 < . . . < CM los valores distintos de las capacidadesde las conexiones, M ≤ |L|

for m = 1 to m = M dosubgrafo de conexiones l con Cl ≥ Cm y peso ξlalgoritmo de Bellman-Ford: calcular camino mas

corto Pmh para h = 1, 2, . . . saltos

Verificar si los caminos Pmh son factibles, determinando

r > ρ: requerimiento D requk , reserva de capacidad.


Propiedad. Si el algoritmo no conduce a ningun caminofactible, no existe ninguno. Sea Pm el camino factible mascorto en el subgrafo m. Si m1 < m2, y existen Pm1 y Pm2 :

I Pm1 es mas corto (tiempo∑ξl menor) que Pm2

I Pm2 transcurre por conexiones de mayor capacidad quelas de Pm1

Hay que seleccionar entre los caminos factibles: criteriodefinido por el operador de la red.

Ejemplo

Encaminar una sesion en una red simple.

SISTEMA INFORMATIKOEN ERRENDIMENDUAREN EBALUAZIOA · SISTEMA INFORMATIKOEN ERRENDIMENDUAREN...

Documents

Transcript of SISTEMA INFORMATIKOEN ERRENDIMENDUAREN EBALUAZIOA · SISTEMA INFORMATIKOEN ERRENDIMENDUAREN...