Sistemas de ecuaciones lineales

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano

bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por

una recta.

Sin resolver el sistema directamente, determina si tiene:

Única solución: La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas

las rectas que representan a las ecuaciones.

Infinitas soluciones: (tres ecuaciones o más). Si, por el contrario, la

intersección de todos los planos es una recta o incluso un plano, el sistema

tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que

forman dicha línea o superficie.

No tiene solución: Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo

tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no

tiene solución.

Método gráfico:

1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos

valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".

2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son

las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que

coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».

3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en el campo de los

números reales pero si en el campo de los números complejos.

Para ello:

1. Encuentra la pendiente de cada recta.

2. Los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados.

3. Luego, comprueba por el método de reducción.

Problemas:

Primer sistema lineal:

1. 3x+5y=15

2. 6x+10y=6

Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,

ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.

3𝑥 + 5𝑦 = 15

Restamos (3x) en ambos lados de la ecuación.

−3𝑥 + 3𝑥 + 5𝑦 = 15 − 3𝑥

Eliminamos y ordenamos:

5𝑦 = −3𝑥 + 15

Dividimos entre (5) en ambos lados de la ecuación:

5𝑦

5= −

3𝑥

5+

15

5

Reducimos y obtenemos la forma canónica:𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = −3𝑥

5+ 3

De aquí encontramos:

𝑚 = −3

5 ; 𝑏 = 3

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos.

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = −3(0)

5+ 3

Reducimos y obtenemos:

𝑦 = 3

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = −3𝑥

5+ 3

Ahora restamos (3) en ambos lados de la ecuación:

−3 + 0 = −3𝑥

5+ 3 − 3

Reducimos:

−3 = −3𝑥

5

Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:

5(−3 = −3𝑥

5)

−15 = −3𝑥

Dividimos entre (3) en ambos lados de la ecuación.

−15

3= −

3𝑥

3

Reducimos:

−5 = −𝑥

Eliminamos el signo menos:

5 = 𝑥

Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).

Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:

6𝑥 + 10𝑦 = 6

Restamos (-6x) en ambos lados de la ecuación y ordenamos:

−6𝑥 + 6𝑥 + 10𝑦 = −6𝑥 + 6

Reducimos y ordenamos:

10𝑦 = −6𝑥 + 6

Dividimos entre (10) ambos lados de la ecuación:

10𝑦

10= −

6𝑥

10+

6

10

Reducimos y Simplificamos:

𝑦 = −6𝑥

10+

6

10

Simplificamos:

𝑦 = −3𝑥

5+

3

5

Una vez mostrada en su forma canónica 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏;

Encontramos:

𝑚 = − 3

5 ; 𝑏 =

3

5

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos.

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = −3(0)

5+

3

5

𝑦 =3

5

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0, 3

5 ). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = −3𝑥

5+

3

5

Restamos (3/5) en ambos lados de la ecuación:

−3

5+ 0 = −

3𝑥

5+

3

5−

3

5

Reducimos:

−3

5= −

3𝑥

5

Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:

5(−3

5= −

3𝑥

5)

Reducimos:

−3 = −3𝑥

Eliminamos el signo menos y dividimos entre (3):

3

3=

3𝑥

3

Reducimos:

1 = 𝑥

Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (1,0). Con todo esto estamos

listos para graficar.

La grafica

Conclusión:

Ambas rectas no se cortan, las coordenadas del punto de corte son diferentes

en las rectas, sus pendientes son iguales.

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en el campo de los

números reales.

Resolución mediante el método de reducción.

Primer sistema lineal:

1. 3x+5y=15

2. 6x+10y=6

F1(x)= 35

3xy

F2(x)= 3 35 5

xy

Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación y se la sumamos a la segunda:

−2(3𝑥 + 5𝑦 = 5)

Tenemos:

−6𝑥 − 10𝑦 = −10

6𝑥 + 10𝑦 = 6

0 + 0 = 4

Por tanto, el sistema no tiene solución.

Segundo sistema lineal

1. 3x+5y=15

2. x+5/3y=5

Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,

ordenemos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b:

3𝑥 + 5𝑦 = 15

Restamos (3x) en ambos lados de la ecuación.

−3𝑥 + 3𝑥 + 5𝑦 = 15 − 3𝑥

Eliminamos y ordenamos:

5𝑦 = −3𝑥 + 15

Dividimos entre (5) en ambos lados de la ecuación:

5𝑦

5= −

3𝑥

5+

15

5

Reducimos y obtenemos la forma canónica:𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = −3𝑥

5+ 3

De aquí encontramos:

𝑚 = −3

5 ; 𝑏 = 3

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos.

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = −3(0)

5+ 3

Reducimos y obtenemos:

𝑦 = 3

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = −3𝑥

5+ 3

Ahora restamos (3) en ambos lados de la ecuación:

−3 + 0 = −3𝑥

5+ 3 − 3

Reducimos:

−3 = −3𝑥

5

Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:

5(−3 = −3𝑥

5)

−15 = −3𝑥

Dividimos entre (3) en ambos lados de la ecuación.

−15

3= −

3𝑥

3

Reducimos:

−5 = −𝑥

Eliminamos el signo menos:

5 = 𝑥

Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).

Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:

𝑥 + 5𝑦

3= 5

Restamos (x) en ambos lados de la ecuación:

−𝑥 + 𝑥 +5𝑦

3= −𝑥 + 5

Reducimos y ordenamos:

5𝑦

3= −𝑥 + 5

Multiplicamos por (3) ambos lados de la ecuación:

3(5𝑦

3= −𝑥 + 5)

Reducimos y Simplificamos:

5𝑦 = −3𝑥 + 15

Dividimos entre (5) ambos lados de la ecuación:

5𝑦

5= −

3𝑥

5+

15

5

Reducimos y simplificamos:

𝑦 = −3𝑥

5+ 3

Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:

𝑚 = −3

5 ; 𝑏 = +3

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos te dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos.

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = −3(0)

5+ 3

𝑦 = 3

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = −3𝑥

5+ 3

Restamos (3) en ambos lados de la ecuación:

−3 + 0 = −3𝑥

5− 3 + 3

Reducimos:

−3 = −3𝑥

5

Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:

5(−3 = −3𝑥

5)

Reducimos:

−15 = −3𝑥

Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:

−15

3= −

3𝑥

3

Eliminamos el signo menos y reducimos:

5 = 𝑥

Así, encontramos el segundo punto de corte C2 ( 5,0 ). Con todo esto estamos

listos para graficar.

La grafica

𝒇𝟏(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟓 + 3

𝒇𝟐(𝒙) = −𝟑𝒙

𝟓 + 3

Conclusión:

Ambas rectas son iguales, las coordenadas del punto de corte son

iguales, sus pendientes son iguales.

El sistema no tiene solución. Hay una ecuación.

Resolución mediante el método de reducción.

El segundo sistema lineal:

1. 3x+5y=15

2. 𝑥 +5𝑦

3= 5

Multiplicamos por (-3) a la segunda ecuación y se la sumamos a la primera:

−3 (𝑥 +5𝑦

3= 5)

−3𝑥 − 5𝑦 = −15

+3𝑥 + 5𝑦 = + 15

0 + 0 = 0

Por tanto, el sistema no tiene solución.

Tercer sistema lineal

1. 3x+5y=15

2. 5x-3y=-1

Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,

ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.

3𝑥 + 5𝑦 = 15

Restamos (-3x) en ambos lados de la ecuación:

−3𝑥 + 3𝑥 + 5𝑦 = 15 − 3𝑥

Eliminamos y ordenamos:

5𝑦 = −3𝑥 + 15

Dividimos entre (5) ambos lados de la ecuación:

5𝑦

5= −

3𝑥

5+

15

5

Reducimos:

𝑦 = −3𝑥

5+ 3

Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:

𝑚 = −3

5 ; 𝑏 = +3

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos.

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = −3(0)

5+ 3

𝑦 = 3

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = −3𝑥

5+ 3

Restamos (3) en ambos lados de la ecuación:

−3 + 0 = −3𝑥

5+ 3 − 3

Reducimos:

−3 = −3𝑥

5

Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:

5(−3 = −3𝑥

5)

Reducimos:

−15 = −3𝑥

Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:

−15

3= −

3𝑥

3

Reducimos:

−5 = −𝑥

Eliminando el signo menos:

5 = 𝑥

Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).

Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:

5𝑥 − 3𝑦 = −1

Restamos (5x) en ambos lados de la ecuación:

−5𝑥 + 5𝑥 − 3𝑦 = −1 − 5𝑥

Reducimos y ordenamos:

−3𝑦 = −5𝑥 − 1

Dividimos entre (-3) ambos lados de la ecuación:

−3𝑦

−3= −

5𝑥

−3−

1

−3

Reducimos y Simplificamos:

𝑦 =5𝑥

3+

1

3

Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:

𝑚 = +3

5 ; 𝑏 =

1

3

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos.

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 =5(0)

3+

1

3

𝑦 =1

3

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0, 1

3 ). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 =5𝑥

3+

1

3

Restamos ( 1

3 ) en ambos lados de la ecuación:

−1

3+ 0 =

3𝑥

5+

1

3−

1

3

Reducimos:

−1

3=

3𝑥

5

Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:

5(−1

3=

3𝑥

5)

Reducimos:

−5

3= 3𝑥

Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:

−5

9=

3𝑥

3

Reducimos:

−5

9= 𝑥

Así, encontramos el segundo punto de corte C2 ( −5

9, 0)

Con todo esto estamos listos para graficar.

La grafica

Conclusión:

Ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los

únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".

Resolución mediante el método de reducción. 1.3𝑥 + 5𝑦 = 15

2.5𝑥 − 3𝑦 = −1

Multiplicamos a la primera ecuación por (5):

5(3𝑥 + 5𝑦 = 15)

15𝑥 + 25𝑦 = 75

Multiplicamos a la segunda ecuación por (-3):

𝒇𝟏(𝒙) = 𝒚 = −𝟑𝒙

𝟓+ 𝟑

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒚 =𝟓𝒙

𝟑+

𝟏

𝟑

(𝟏. 𝟏𝟕𝟔𝟓, 𝟐. 𝟐𝟗𝟒𝟏)

−3(5𝑥 − 3𝑦 = −1)

−15𝑥 + 9𝑦 = 3

Sumamos ambos resultados:

15𝑥 + 25𝑦 = 75

−15𝑥 + 9𝑦 = 3

0 + 34𝑦 = 78

𝑦 =78

34

𝑦 = 2.2941

Este valor lo remplazamos en la segunda ecuación:

5𝑥 − 3(2.2941) = −1

5𝑥 = 6.88 − 1

5𝑥 = 5.88

𝑥 =5.88

5

𝑥 = 1.1765

La solución del sistema es:

𝑥 = 1.1765

𝑦 = 2.2941

Que son los puntos de intersección de las dos rectas.

Cuarto sistema lineal

1.4x+y=2

2.8x-y=4

Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello,

ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.

4𝑥 + 𝑦 = 2

Restamos (4x) en ambos miembros de la ecuación y ordenamos:

−4𝑥 + 4𝑥 + 𝑦 = −4𝑥 + 2

Reducimos:

𝑦 = −4𝑥 + 2

Como hemos llegado a su forma canónica f(x)=y=mx+b, obtenemos:

𝑚 = −4 ; 𝑏 = 2

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos:

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = −4(0) + 2

𝑦 = 2

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,2) Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = −4𝑥 + 2

Restamos (2) en ambos miembros de la ecuación:

−2 + 0 = −4𝑥 + 2 − 2

Reducimos:

−2 = −4𝑥

Eliminamos el signo y dividimos entre (4) ambos miembros de la ecuación:

2

4=

4𝑥

4

Simplificamos:

1

2= 𝑥

Entonces encontramos el segundo punto de corte C2 (0,1

2 ).

Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:

8𝑥 − 𝑦 = 4

Restamos (8x) en ambos lados de la ecuación:

−8𝑥 + 8𝑥 − 𝑦 = 4 − 8𝑥

Reducimos y ordenamos:

−𝑦 = −8𝑥 + 4

Multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuación:

−1(−𝑦 = −8𝑥 + 4)

Obtenemos:

𝑦 = 8𝑥 − 4

Como hemos llegado a su forma canónica f(x) = y = mx + b, obtenemos:

𝑦 = 8𝑥 − 4

𝑚 = 8 ; 𝑏 = −4

Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el

punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x).

Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos

preguntamos:

¿Qué ocurre si x=0?

𝑦 = 8(0) − 4

𝑦 = −4

Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,-4). Para encontrar el

segundo nos preguntamos:

¿Qué ocurre si y=0?

0 = 8𝑥 − 4

Sumamos (4) en ambos miembro de la ecuación:

4 + 0 = 8𝑥 + 4 − 4

Reducimos:

4 = 8𝑥

Dividimos entre (8):

4

8=

8𝑥

8

Reducimos:

1

2= 𝑥

Entonces encontramos el segundo punto de corte C2 (1

2 ,0).

Con todo esto estamos listos para graficar.

La grafica

Conclusión:

Ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los

únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".

Resolución mediante el método de reducción. 1.4𝑥 + 𝑦 = 2

2.8𝑥 − 𝑦 = 4

Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación y se la sumamos a la segunda

ecuación:

𝒇𝟏(𝒙) = 𝒚 = −4𝑥 + 2

𝒇𝟐(𝒙) = 𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝟒

( 𝟏

𝟐 , 𝟎 )

−2(4𝑥 + 𝑦 = 2)

Obtenemos:

−8𝑥 − 2𝑦 = −4

8𝑥 − 𝑦 = 4

0 − 3𝑦 = 0

De aquí:

𝑦 = 0

Obtenido este valor de y, lo reemplazamos en la primera ecuación:

4𝑥 + (0) = 2

Dividimos entre (4) ambos miembro de la ecuación:

4𝑥 = 2

4𝑥

4=

2

4

𝑥 =1

2

La solución del sistema es:

𝑥 =1

2

𝑦 = 0

Que son los puntos de intersección de las dos rectas.

Con estos ejemplos de manejo de gráfica y método de reducción de solución de

sistemas de ecuaciones lineales, damos nuestro segundo aporte al

conocimiento.