Marco terico Antes de ver que es un sistema de ecuaciones lineales, debemos recordar, Qu es una ecuacin lineal? Ecuacin lineal: Es aquella ecuacin algebraica cuyo mximo exponente de la(s) variable(s) es uno. Por ejemplo: a) 2x + 5 = 17 (Ecuacin lineal con una variable) b) 2x + y = 6 (Ecuacin lineal con dos variables) Un sistema de ecuaciones lineales: Son varias ecuaciones lineales que se resuelven simultneamente, y comparten la o las soluciones (Si es que hay solucin). Por ejemplo: a) x + 1 = 7 x=6 b) x + y = 4 2x = y 6

(Sistema 2 ecuac. X 1 incogn.)

(Sistema 2 x 2)

c) w + y + 7 = w 8 w = 9 + x 3y w+x=y

(Sistema 3 x 3)

Todos los anteriores son sistemas de ecuaciones lineales. Para este periodo, resolveremos: sistemas 2 x 2, y algunos sistemas 3 x 3. Mtodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales 2x2 1.1 El mtodo grafico Se obtiene una solucin grafica de dos ecuaciones al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje correspondiente a x1 y el otro a x2. Debido a que se trabaja con sistemas de ecuaciones lineales, cada ecuacin es una lnea recta. Esto puede ilustrarse fcilmente con las ecuaciones generales a11x11+ a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 Ambas ecuaciones se pueden resolver para x2: x2 = -(a11/a12) x1+b1/a12 x2 = -( a21/a22 ) x1+ b2/a22Sistema de ecuacin lineal Pgina 1

De esta manera las ecuaciones tienen la forma de lneas rectas; esto es x 2= (pendiente) x1+ interseccin. Estas lneas se pueden graficar en coordenadas cartesianas con x2 como la ordenada y x1 como la abscisa. Los valores de x1 y x2 en la interaccin de las lneas representan la solucin. Este mtodo tiene las caractersticas de ser inexacto y prolongado. Situacin problemtica: Un muchacho y su novia fueron al cine ayer. En el cine el compro 2 chocolates y un dulce; y su novia compro 3 chocolate y 2 dulces.Si el gasto $21 pesos y ella $34 pesos Cunto cuesta cada dulce y cada chocolate? Paso1: Despejar una de las variables (la misma) en ambas ecuaciones.( Cuando aparezca y, esta se despeja) Mi sistema es : 2c + d = 21 3c + 2d = 34 Despejes: Ecua.1 c

d = 21 2c

Ecua. 2

2d = 34 3 d = 34 3c

/2 Paso 2: Le damos valores a la otra variable para hallar las parejas ordenadas: d= 21 2c d= 34 3c / 2

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Paso 3: Graficamos ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

Pas 4: Observamos la grfica, considerando lo siguiente: a) Si las 2 rectas se unen en un punto, ese punto es la solucin del sistema. b) Si las rectas no se unen (paralelas), el sistema no tiene solucin c) Si al graficar resultan ser la misma recta, el sistema tiene infinidad de soluciones Conclusin: Las rectas se cruzan el punto (8,5), la solucin es: c = 8 y d = 5 La solucin del sistema es el punto (8,5) (Cada chocolate vale $8 pesos y $5 pesos cada dulce) 1.2 Mtodo de eliminacin Consiste en que mediante sumas y restas se elimine una de las variables en ambas ecuaciones. Una vez eliminada una variable se obtiene el valor de la otra variable, luego, mediante la sustitucin se obtiene el valor de la primera variable. Si se realizan los procedimientos adecuados, este mtodo es un mtodo exacto. Situacin problemtica El valor de una pluma ms el valor de un borrador, son $9 pesos. El valor de una pluma menos el valor de un borrador, son $3 pesos Cunto cuesta cada pluma y cada borrador? Paso 1 : Pasar los trminos independientes al segundo miembro, as como ordenar en orden alfabtico el primer miembro. p+b=9 pb=3Sistema de ecuacin lineal Pgina 3

Los trminos independientes ya estn en el segundo miembro, slo falta acomodar el primer miembro en orden alfabtico b+p=9 -b + p = 3 Paso 2: Eliminar una de las variables realizando los procedimientos adecuados. (Se observa que es fcil eliminar b) Sumamos: b+p=9 -b + p = 3 2p = 12 Paso 3: Despejar (la ecuacin que qued en el paso 2) para obtener el valor de la variable. La ecuacin que qued es: 2p = 12 Despejando: p = 12 / 2 p=6 Paso 4: Sustituir el valor de la variable en cualquiera de las ecuaciones originales (La ms fcil) El valor que obtuve es: p = 6 Las ecuaciones originales son: b+p=9 -b + p = 3 (Me conviene ms sustituir en la primera ecuacin. Sustituyendo queda: b + 6 = 9 Paso 5: Despejar para obtener el valor de la otra variable, y as obtener la solucin del sistema. Tenemos: b + 6 = 9 Despejando: b = 9 6 Resolviendo: b = 3 Por lo tanto: La solucin es: b = 3 y p = 6 Conclusin: El valor de un borrador es $3 pesos y el de una pluma $ 6 pesos

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1.3 Mtodo de igualacin Consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones para despus igualarlas. Este mtodo es un mtodo exacto. Situacin problemtica a) x - 5y = -14 (1) x + 2y = 7 (2) Solucin: Se despeja la misma incgnita en (1) y (2), as: Despejando x en (1), se obtiene: Se despeja x en (2) y queda: x = -14 + 5y (3) x = 7 - 2y (4)

Igualando (3) y (4) queda lo siguiente: -14 + 5y = 7 - 2y Al hacer transposicin de trminos: 5y + 2y = 7 + 14 Resolviendo trminos semejantes: 7y = 21 Aplicando propiedad de las igualdades: y = 21/7 Por ltimo, se simplifica y se tiene: y=3 Para terminar, se remplaza el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, y obteniendo lo siguiente: En este caso se tomar la ecuacin (1): x - 5y = -14 x - 5(3) = -14 x - 15 = -14 x = 15 - 14 x = 1 (1) Remplazando el valor de y. Se resuelve la operacin indicada Haciendo la transposicin de trminos Por ltimo se resuelve la diferencia y queda:

1.4 Mtodo de sustitucin Es un mtodo analtico que consiste en despejar una incgnita(x o y) de una ecuacin( la primera o la segunda) y reemplazarla en la otra ecuacin. Con ello se obtiene una ecuacin de primer grado con una sola incgnita y o x. Se resuelve la misma y una vez hallada dicha incgnita se remplaza en la expresin despejada al comienzo a fin de hallar la otra incgnita, obtenindose as la solucin del sistema de ecuaciones.

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1.5 Mtodo de reduccin por sumas y restas Este mtodo se trata de multiplicar los dos miembros de cada ecuacin por un mismo nmero. Este nmero se elige de tal forma que al sumar o restar miembro a miembro las dos ecuaciones se cancelen los trminos de una de las incgnitas, quedando una expresin sencilla con la otra incgnita solamente. La restante incgnita puede obtenerse reemplazando la incgnita hallada en alguna de las ecuaciones y despejndola. O tambin puede volverse a aplicar una reduccin por suma y resta para hallar la misma. Situacin problemtica

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1.6 Mtodo de determinantes Es un arreglo de nmeros distribuidos en n filas y n columnas, que arroja un resultado numrico. Situacin problemtica

1.7 Regla de cramer Sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

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Situacion Problemtica

1.8

Tipo de soluciones de sistemas de ecuaciones

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1.9

Sistema compatible indeterminado

Es un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

desconocidos

de

las

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico.

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1.10 Sistema compatible Es compatible cuando no tiene solucin. Grficamente Las dos rectas que representan al sistema son paralelas y disjuntas y no tienen puntos de contacto. Para ello las rectas deben tener igual pendiente y distinta ordenada al origen.

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