SISTEMA DE COORDENADAS

Y

X

Ic

(x,y)

IIc

(-x,y)

IIIc

(-x,-y)

IVc

(x,-y)

Es el eje horizontal (X)EJE DE LAS ABSCISAS

Es el eje vertical (Y)EJE DE LAS ORDENADAS

Todo punto ubicado en el Plano tiene coordenadas (x, y)

Todo punto ubicado en el Eje de las ABSCISAS tiene coordenadas (x, 0)

Todo punto ubicado en el Eje de las ORDENADAS tiene coordenadas (0, y)

0

(x,y)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PUNTO EN EL PLANOPUNTO EN EL PLANO

X

Y

1

2 P(1,2)

-3

-2Q(-3, -2)

0

M(2,0)

2B(0,-1)-1

FUNCIÓN

Sean A y B dos conjuntos no vacíos, una correspondencia o relación f que asocia cada elemento de A con uno y sólo un elemento de B, se llama FUNCIÓN.

aa bb

A B

f

Se denota:

A B o f: A B

y “b es la imagen de a” se escribe b = f(a)

f

Conjunto de

Partida

Conjunto de

Llegada

Cuando una función f está definida sobre un conjunto A, el cual es parte o todo el conjunto de los números Reales y cuando B coincide con R, a la función se le denomina: FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REALFUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

aa

A

X

bb

B

Y

ax

by P(x,y)

Para determinar si una relación es o no es

FUNCIÓN, se traza un recta paralela al eje Y que

contenga por lo menos dos puntos de la relación,

si la intercepta en dos (2) puntos entonces NO es

una función.

CRITERIO DE LA VERTICAL PARA FUNCIONES

No es FUNCIÓ

N

Si es FUNCIÓ

N

Y

X

X

Y

x

y1

y2

x

y1

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Y

X

ƒ(x)= 2x + 4

ƒ(0)= 2∙0 + 4

ƒ(-1)= 2(-1) + 4

x= 0 ƒ(0)= 4

x=-1 ƒ(-1)= -2 + 4

ƒ(-1)= 2 x y

ƒ(x)= y

4

-1

2

-2

0 4

-1 2

Tabla de

valores

Tabla de

valores

0

¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la recta intersecta al Eje X?

(-2, 0)

Variable Independiente

Variable Independiente

Variable Dependiente

Variable Dependiente

Ejemplo 2:

Y

X

x= 2 ƒ(2)= 0

x= 6 ƒ(6)= 2

x y

ƒ(x)= y

2

62

2 0

6 2

0

ƒ(x)= x - 2√

ƒ(6)= 4√

ƒ(2)= 2 - 2√ƒ(6)= 6 - 2√

11 3

3

11

x= 11 ƒ(11)= 11 - 2√ ƒ(11) = 9 √

ƒ(11)= 3

Df ó Dom fEs el conjunto de valores, para los cuales está bien definida la función.

DOMINIO O CAMPO DE

EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN

2

Y

X

¿A partir de que valor

empieza X?

Cdf ó Cdom f

CODOMINIO DE UNA

FUNCIÓN ¿Quién es el conjunto de

llegada?

RR

Rf ó Rgo fEs el conjunto

formado por todas las imágenes.

RANGO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

¿A partir de que valor

empieza Y?

0

Rf Cdf

0

2

ƒ(x)= x - 2√

•Si m = 0, decimos que la función es constante y su gráfica y = b es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por el punto (0, b).

•Si b = 0, la función se denomina función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráfica y = m x pasa por el origen de coordenadas. Estas funciones relacionan dos variables directamente proporcionales.

•Si m y b son distintos de 0, la función se llama función afín.

En la función f(x) = m x + b se presentan tres casos:

Función lineal

Función constante

Función afín

FUNCIÓN AFÍN

Y

X

ƒ(x)= 2x + 4

ƒ(x)= y

4

-20

El valor de la PENDIENTE es el coeficiente de x cuando y esta despejada.El valor de la PENDIENTE es el coeficiente de x cuando y esta despejada.

(-2, 0)

y = 2x + 4

2 ƒ: R R

representa la PENDIENTE de la recta y se denota con la letra m.

4

la ORDENADA en el origen (cuando x = 0) y se denota con la letra b.

Como dos puntos son suficientes para definir una recta, siempre elegiremos los puntos P(x, 0) y Q(0, y) para representarla, ya que son los PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE LA RECTA CON LOS EJES DE COORDENADAS. 

(0, 4)

ƒ(x) = m x + b para todo m y b R.

y =

2x

+ 4

y = 2x + 4 Igualemos a cero la ecuación

Igualemos a cero la ecuación

0 = 2x – y + 4 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

2 coeficiente de x, se denota con la letra A

-1 coeficiente de y, se denota con la letra B

4 término independiente con la letra C

Viene dada por la expresión:A x + B y + C = 0 para todo A, B y C R, donde:

A es el coeficiente de xB es el coeficiente de y

C es el término independiente

Todo punto del plano (x, y) PERTENECE a la recta, si los valores de sus coordenadas satisfacen la igualdad.

P (-1, 2)Veamos si el punto P pertenece a la recta

Veamos si el punto P pertenece a la recta

Sustituimos las coordenadas de P en

la ecuación

Sustituimos las coordenadas de P en

la ecuación2x – y + 4 = 0

2(-1) – 2 + 4 = 0 – 2 – 2 + 4 = 0 0 = 0

PENDIENTE DE UNA RECTAEs la inclinación (ángulo α) que tiene una recta r con respecto al eje horizontal 0X.

Si el ángulo α que forma la recta con

la parte positiva del eje 0X es agudo, la

pendiente es positiva.

Si el ángulo β que forma la recta con

la parte positiva del eje 0X es obtuso, la pendiente es

negativa.

Si la recta es paralela al eje X, la pendiente es nula.

r

CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTADados dos puntos distintos del plano:

A (x1, y1) y B (x2, y2)entonces la PENDIENTE de la recta l que pasa por los puntos A y B, denotada por m, viene dada por la expresión:

y1 – y2

x1 – x2   siempre que x1 ≠ x2 m =

Dado un punto del plano P(x1, y1), entonces la ECUACIÓN DE LA RECTA de pendiente m que pasa por el punto P viene expresada por la fórmula:

y – y1 = m (x – x1)

ECUACIÓN DE LA RECTA

Ejemplo :Calculemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos del plano A(2, -1) y B(5, 5)

m =

– 1 – 5 2 – 5

– 6 – 3

m =

m = 2Hallemos la

ecuación de la recta que tiene esta

pendiente y que pasa por el punto A

Hallemos la ecuación de la recta

que tiene esta pendiente y que

pasa por el punto A

A(2, –1) y – (– 1) = 2(x – 2) y + 1 = 2x – 4

2x – 4 – y – 1 = 0 2x – y – 5 = 0

Si se conocen TRES puntos entonces se puede determinar la recta que pasa por ellos. ¿Cómo lo harías?Si se conocen TRES puntos entonces se puede determinar la recta que pasa por ellos. ¿Cómo lo harías?

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Existen sólo dos posiciones relativas de dos rectas en el plano:Las que se INTERSECTAN en un punto son RECTAS SECANTES.

Las que se INTERSECTAN en un punto son RECTAS SECANTES.

Las que NO SE INTERSECTAN son RECTAS PARALELAS.

Las que NO SE INTERSECTAN son RECTAS PARALELAS.

Rectas Perpendiculares: Su intersección forma cuatro ángulos rectos (90º). Rectas Perpendiculares: Su intersección forma cuatro ángulos rectos (90º).

Rectas NO Perpendiculares: Su intersección no forma cuatro ángulos rectos. Rectas NO Perpendiculares: Su intersección no forma cuatro ángulos rectos.

¿Cómo serán las PENDIENTES de éstas rectas?

Y

X

y =

2x

+ 4

2x – y + 4 = 0

x + 2y – 4 = 0

4

-20

x y

0 2

2 1

2

2

1

y = -x/2 + 4 y = -x/2 +

4

y = 2x + 4

m1 = 2

m2 = -1/2

Rectas Perpendiculares (

┴ )El producto de sus pendientes es igual a -1,

l1 ┴ l2 m1 · m2 = -1

El producto de sus pendientes es igual a -1,

l1 ┴ l2 m1 · m2 = -1

m1 ∙ m2 = 2 ∙ (-1/2)

m1 ∙ m2 = 2 ∙ (-1/2)

m1 ∙ m2 = -1m1 ∙ m2 = -1

Sus pendientes son distintas, m1 ≠ m2.

Sus pendientes son distintas, m1 ≠ m2.

Rectas No Perpendiculares

Sus pendientes son iguales,

l1 // l2 m1 = m2

Sus pendientes son iguales,

l1 // l2 m1 = m2

Rectas Paralelas (// )