Problemas de Elipse

Integrantes : Mariana Correa

Alejandra De León

Yeïdïs Gutiérrez

Rosibel Miranda

Grado : 11^1

Profesora : Miladis Becerra

Instituacion : I.E.D Madre Laura

Elipse

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia

1) Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.

2) Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal..

3) Centro: es el punto medio de los dos focos (O).

4) Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor: D1+D2=2.a

5) Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que: a²=b²+c²

6) Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L

Elementos de Elipse

Ecuación de la Elipse Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

Elipse de eje mayor horizontal en la que se reflejan sus focos y las distancias a cada uno de ellos desde cualquier punto.

• La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:

(x−x0)2 / a2 +(y−y0)2/b2

Donde:

x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse

a : Semieje de abcisas

b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.

Ejemplo:

• Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

Solución:

Dado que sabemos que el eje mayor (2·a) es 10:

2a = 10

a = 5

Y que la distancia focal (2·c) mide 6:

2c = 6

c= 3

Partiendo de estos datos, podemos calcular la longitud del semieje menor (b) por medio de la siguiente ecuación:

b²=a²−c²

b²=5² −3²

b=√25−9

b = ±4

Dado que no puede existir una longitud negativa nos quedaremos con que b = 4. Utilizando ahora la fórmula de la ecuación de una elipse de eje mayor horizontal situada en el punto P(0,0) o lo que es lo mismo x0 = 0 e y0 = 0.

(x−x0)2 / a2 + (y−y0)2 / b2 =1 ⇒(x−0)252+(y−0)242=1 ⇒x225+y216=1

Caso1: Elipse horizontal

• La ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje simetría el eje “X” es

x²/a²+y²/b²=1

La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c, es decir,

a²=b²+c²

• Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse determinar: centro, coordenadas de los vértices, eje mayor, eje menor, las coordenadas de los focos y hacer la gráfica.

Solución

• 1. Como los coeficientes de es uno, entonces la elipse está centrada en el origen de coordenadas.

C(0, 0)

Como a > b, entonces el eje mayor es el eje “X” por tanto

a²=25 a=±5

b²=9 b=±3

• El valor de c se determina con la relación Pitagórica

c²=a²-b² c²=16

c²=(5) ²-(3) ² c=±4

c²=25-9

• Nota: c es un número positivo, ya que la distancia siempre es positiva.

Caso2: Elipse vertical

• La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es vertical viene dada por:

(x−x0)²+(y−y0)²=1

b² a²

Donde:

• x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse

• a : Semieje de abcisas

• b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b > a.

Solución

• Dado que su eje mayor es vertical (2a) y teniendo en cuenta que mide 20 se cumple que:

2a = 20 ⇒a = 10

• Por otro lado sabiendo que el eje menor (2b) es 16:

2b = 16 ⇒b = 8

• Por último, sabiendo que a = 10 y b = 8 y que la elipse está centrada en el punto P(-1,2), obtenemos que su ecuación es:

(x−x0) ²+(y−y0) ²=1

b² a²

(x−(−1)) ² +(y−2) ² =1

8² 10²

(x+1)²+(y−2)²=1

64 100

Tarea

• 1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (−2, 2) sea igual a 8.

Webgrafía

• https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

• https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-elipse

• http://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/DemostracionDeLaEcuacionDeLaElipse(origen%20-%20horizontal).html