VectoresVectores

Sistema de coordenadas cartesiano o Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas rectangularescoordenadas rectangulares

y + ( unidades) eje vertical

(variable dependiente)

x + (unidades)eje horizontal

(variable independiente)

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

abscisas

ordenadas

Localización de un punto en el plano cartesianoLocalización de un punto en el plano cartesiano

• Se hace a partir del origen del sistema, ya sea:Se hace a partir del origen del sistema, ya sea:– Mediante la pareja de puntos coordenadosMediante la pareja de puntos coordenados (x,y)(x,y)

– Especificando laEspecificando la distanciadistancia, , el el ánguloángulo y a partir de y a partir de quéqué ejeeje yy hacia dóndehacia dónde se mide el ángulo.se mide el ángulo.

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3 (4,3)

d

I cuadranteII cuadrante

III cuadrante IV cuadrante- 2

l l l l l l l l l l l

Como medirComo medir DISTANCIAS EN EL PLANO DISTANCIAS EN EL PLANO(Teorema de Pitágoras)(Teorema de Pitágoras)

212

212 yyxxd

mmmmmmmmd 5259160304 22222

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3

( 4 , 3 )

d

- 2

l l l l l l l l l l l

(x 2 , y 2)

(x 1 , y 1)( 0 , 0 )

x 2 - x 1

y 2 - y 1

Como medir el ÁNGULOComo medir el ÁNGULO

• Se forma un Se forma un triángulo rectángulotriángulo rectángulo, donde el lado más largo se , donde el lado más largo se denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos.denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos.– El lado que está junto al ángulo se denomina El lado que está junto al ángulo se denomina cateto adyacentecateto adyacente – El El cateto opuesto cateto opuesto es el que se encuentra en el lado contrario al es el que se encuentra en el lado contrario al

ángulo.ángulo.

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1

-1-2-3-4

3(4,3)

Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente

- 2

•Se requiere conocer las funciones trigonométricas

Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas

d

yy

hipotenusa

opuestocatetosen 12

d

xx

hipotenusa

adyacentecateto 12cos

12

12tanxx

yy

adyacentecateto

opuestocateto

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1

-1-2-3-4

3(4,3)

Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente

- 2

• El ángulo se encuentra sacando el inverso de la El ángulo se encuentra sacando el inverso de la función seleccionadafunción seleccionada

• El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa en función de cardinales. El ángulo anterior se expresa en función de dichos puntos como:dichos puntos como:

• (el ángulo se está midiendo (el ángulo se está midiendo hacia el Norte a partir del hacia el Norte a partir del Este)Este)

EdelNal087.36

0111121 87.36)6.0(53

503

sen

mm

senm

mmsen

dyy

sen

E s c a l a r e sE s c a l a r e s• Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse

completamente basta con dar un número y su unidad correspondiente.

• Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la aritmética: suma, resta, multiplicación y división.

Cantidad físicaCantidad física UnidadesUnidades Cantidad Cantidad físicafísica

UnidadeUnidadess

TiempoTiempo 30 s30 s VolumenVolumen 10 cm10 cm33

MasaMasa 20 kg20 kg GravedadGravedad 9.81 9.81 m/sm/s22

Distancia, longitud, Distancia, longitud, profundidad, altura.profundidad, altura.

50 m50 m PresiónPresión 760 760 mmHgmmHg

TemperaturaTemperatura 303000 C C DensidadDensidad 1 Kg/m1 Kg/m33

RapidezRapidez m/sm/s CargaCarga 5x105x10-6 -6

CoulombCoulomb

V E C T O R E SV E C T O R E S• Son todas aquellas Son todas aquellas cantidades físicascantidades físicas que para especificarse que para especificarse

completamente hay que proporcionar:completamente hay que proporcionar:

– un un númeronúmero (4); (4);

– una una unidadunidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb); (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb);

– una una direccióndirección (horizontal, vertical, inclinada); (horizontal, vertical, inclinada);

– un un sentidosentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x negativo) negativo)

Se representan gráficamente mediante flechas. Se representan gráficamente mediante flechas.

• Se manejan mediante operaciones especiales:Se manejan mediante operaciones especiales:

– Suma y resta vectorialSuma y resta vectorial

– Producto punto o producto escalarProducto punto o producto escalar

– Producto cruz o producto vectorialProducto cruz o producto vectorial

Cantidades VectorialesCantidades VectorialesCantidadCantidad MagnituMagnitu

d d UnidadUnidad DirecciónDirección SentidoSentido

DesplazamientDesplazamientoo

55 mm HorizontHorizontalal

Hacia la Hacia la izquierdaizquierda

FuerzaFuerza 1010 NewtonNewton 303000 al N del Eal N del E

PesoPeso1515 NewtonNewton VerticalVertical Hacia el centro Hacia el centro

de la Tierrade la Tierra

AceleraciónAceleración9.819.81 m/sm/s22 Vertical Vertical Hacia el centro Hacia el centro

de la Tierrade la Tierra

Campo Campo EléctricoEléctrico

1212 N/CN/C RadialRadial SaliendoSaliendo

VelocidadVelocidad

1111 Km/hrKm/hr 606000 A partir del eje xA partir del eje x+ +

en sentido de las en sentido de las manecillas del manecillas del relojreloj

Graficar los vectores anteriores en el plano cartesianoGraficar los vectores anteriores en el plano cartesiano

Notación de VectoresNotación de Vectores• Se representan mediante flechas. Se representan mediante flechas.

A bF c

Su magnitud es proporcional a la longitud de la Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha flecha

A Magnitud del vector A = valor absoluto del vector AA = |A| = |A|

Dos o más vectores son iguales si tienen la Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, no misma magnitud, dirección y sentido, no importa si sus orígenes no coincidan.importa si sus orígenes no coincidan.

A

BF c

A = B = c ≠ F ≠ M

M

Para sumar dos o más vectores, existen dos Para sumar dos o más vectores, existen dos métodos:métodos:

• Métodos Gráficos Métodos Gráficos – Método del paralelogramo (dos vectores)Método del paralelogramo (dos vectores)– Método del polígono ( Para sumar más de dos Método del polígono ( Para sumar más de dos

vectores)vectores)

• Método AnalíticoMétodo Analítico

Suma deSuma de V e c t o r e sV e c t o r e s

Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente manera:de la siguiente manera:

• Se unen los orígenes de los dos vectores. Se unen los orígenes de los dos vectores. • A partir de sus puntas o terminaciones se trazan A partir de sus puntas o terminaciones se trazan

paralelas a cada uno de ellos formando una paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo. paralelogramo.

• La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:

Método del ParalelogramoMétodo del Paralelogramo

A

B

A

B

Resultante

Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son más de dos vectores, unir el origen del primero. Si son más de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último. origen del primero hasta la punta del último.

A

B

B

Res

ulta

nte

CA

C

DD

Método del PolígonoMétodo del Polígono

Ley conmutativa de la suma:Ley conmutativa de la suma: • Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo

resultado, no importa el orden en que se sumen. Del resultado, no importa el orden en que se sumen. Del ejemplo anterior: ejemplo anterior:

A

B

C

D

BA

C

D

Res

ulta

nte

Res

ulta

nte

C

D

A

B

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

Ley asociativa de la suma:Ley asociativa de la suma: • Al sumar dos o más vectores, algunos o todos se Al sumar dos o más vectores, algunos o todos se

pueden asociar para obtener semi-resultantes, las pueden asociar para obtener semi-resultantes, las cuales se suman a su vez para obtener el vector cuales se suman a su vez para obtener el vector resultante. Del ejemplo anterior:resultante. Del ejemplo anterior:

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

A

B

B

Res

ulta

nteC

A

C

D

D

A + D

C + B

Multiplicación de un vector por un escalarMultiplicación de un vector por un escalar • Al Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un

nuevo vectornuevo vector ( B ) que ( B ) que es k veces mayores k veces mayor, , k veces k veces menormenor o bien igual que el vector que le dio origen, o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo:todo depende del escalar. Ejemplo:

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

FB = 2 F

k = 2

k = 1/2W = 1/2 F = F/ 2

Negativo de un vectorNegativo de un vector • El negativo de un vector SEl negativo de un vector S es aquél que es aquél que tiene la misma tiene la misma

magnitudmagnitud y y direccióndirección que que SS pero pero sentido contrariosentido contrario. . • El negativo de un vector El negativo de un vector SS es aquél que hay que es aquél que hay que

sumarle a sumarle a SS para obtener el vector nulo. para obtener el vector nulo. • O bien el vector multiplicado por un escalar unitario O bien el vector multiplicado por un escalar unitario

negativo. Ejemplo:negativo. Ejemplo:

Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial

S

- SB = - S

k = - 1

S + ( - S ) = 0

Se define la resta de vectores como:Se define la resta de vectores como:

AA - - BB = = AA + ( - + ( - B B ) = ) = RR

Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de que se toma el la suma con la única salvedad de que se toma el

negativo del vector B. Ejemplonegativo del vector B. Ejemplo

Resta de Vectores …Resta de Vectores …

A

B A – B = A + ( - B ) =

R

A

- B

B – A = - (A - B

) = - R

- A

B

• Los vectores son referidos a un plano cartesiano, se definen las componentes Los vectores son referidos a un plano cartesiano, se definen las componentes AxAx y y Ay Ay de de un vector como las un vector como las proyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenadosproyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenados, éstas , éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación del vector.se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación del vector.

Método analítico: Método analítico: componentes componentes rectangularesrectangulares

A

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

x +

y +

A x

A y

• Cuando se proporciona la Cuando se proporciona la magnitud del vectormagnitud del vector y su orientación mediante el y su orientación mediante el ánguloángulo, las , las componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonométricas. componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonométricas.

• Se forma un triángulo rectángulo, en donde Se forma un triángulo rectángulo, en donde laslas componentescomponentes vienen siendo vienen siendo loslos catetoscatetos y y la la hipotenusahipotenusa la la magnitud del vectormagnitud del vector. Aplicando las funciones trigonométricas:. Aplicando las funciones trigonométricas:

Método analítico: Método analítico: cálculo de las componentes cálculo de las componentes rectangularesrectangulares

hipotenusa

cateto opuestosen θ =

= A y

|A|

despejando la componente vertical:despejando la componente vertical:

despejando la componente horizontal:despejando la componente horizontal: A x= |A| cos θ

cos θ =hipotenusa

cateto Adyacente=

A x

|A|

A y = |A| sen θ A y

A

0 4

-1

-1

l l

l l

3

x +

y +

A x

θ

cateto adyacente

cateto opuestohipotenusa

• Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A A xx , , A A yy ) de ) de un vector, se puede conocer:un vector, se puede conocer:

– Su Su magnitudmagnitud aplicando el teorema de Pitágoras aplicando el teorema de Pitágoras– Su Su orientaciónorientación mediante el inverso de la función tangente del ángulo. mediante el inverso de la función tangente del ángulo.

|A| = √ (A x )2 + ( A y )

2

θ = tan -1

A y

A x

tan θ = cateto opuesto

cateto adyacente

A y

A x

=

Método analítico:Método analítico: cálculo de la magnitud y ángulo de un cálculo de la magnitud y ángulo de un vectorvector

A y

A

0 4

-1

-1

l l

l l

3

x +

y +

A x

θ

cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusa

A

0 4-1

-1

l

l l

2

x +

y +

θ

Método analítico:Método analítico: problema del ángulo y problema del ángulo y los ejeslos ejes

• El ángulo puede ser dado respecto al eje El ángulo puede ser dado respecto al eje x o con respecto al eje o con respecto al eje y. Hay que . Hay que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las componentes, ya que para la misma función, componentes, ya que para la misma función, las componentes CAMBIAN.las componentes CAMBIAN.

A

0 4-1

-1

l l l

2

x +

y +

θ

hip.

cat. op.sen θ =

= A y

|A|

A y = |A| sen θ

A x = |A| cos θ

hip.

cat. op.sen θ =

= A x

|A|

A y = |A| cos θ

A x = |A| sen θ

Suma de vectores: Suma de vectores: método analíticométodo analítico

A

B

R

θR

θB

θA

A x B x

R x

A y

B y

R y

x +

y +| R |= √ ( Rx)2 + (Ry)2

Donde:

Rx= Ax + Bx

Ry= Ay + By

Además: Ax = | A | cos θA

Ay = | A | sen θA

Bx = | B | cos θB

By = | B | sen θB

θR= tan -1

Ry

Rx

EjercicioEjercicio: suma de vectores: suma de vectores

La La magnitudmagnitud del vector del vector AA es de es de 200 unidades200 unidades y forma una y forma una ángulo de ángulo de 303000 con respecto a la horizontal; la con respecto a la horizontal; la magnitudmagnitud del del vector vector BB es de es de 300300 unidades y forma un ángulo de unidades y forma un ángulo de 13513500 con con respecto a la horizontal; la respecto a la horizontal; la magnitudmagnitud del vector del vector CC es de es de 150150 unidades y forma un ángulo de unidades y forma un ángulo de 23523500 con respecto a la horizontal. con respecto a la horizontal. Todos los ángulos son medidos en sentido contrario a las Todos los ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.manecillas del reloj.

a) Utilizando el método gráfico, encuentre:a) Utilizando el método gráfico, encuentre:i ) i ) AA + + BB + + CCii )ii ) BB + + AA + + CCiii )iii ) AA - - BB + + CCiv )iv ) CC -- BB – – AA

b) Encuentre los puntos del b) Encuentre los puntos del i ) i ) al al iv )iv ) del inciso anterior del inciso anterior utilizando el método analítico.utilizando el método analítico.

Representación de vectores: Representación de vectores: vectores vectores unitariosunitarios

Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los siguientes ejemplos: siguientes ejemplos:

A A = |= |AA| |

Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la , ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la magnitud de un vector.magnitud de un vector.

A A = A = A xx + A + A yy

Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos , ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.

||AA| = A | = A xx + A + A yy

Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina mediante el , ya que la magnitud de un vector se determina mediante el teorema de Pitágoras.teorema de Pitágoras.

Como se puede apreciar, hasta este momento aún no contamos con una terminología Como se puede apreciar, hasta este momento aún no contamos con una terminología para describir a un vector en notación vectorial. para describir a un vector en notación vectorial.

Para suplir esta falta de información, se definen los Para suplir esta falta de información, se definen los vectores unitariosvectores unitarios î , ĵ cuya cuya magnitudmagnitud, como su propio nombre lo indica, , como su propio nombre lo indica, es la unidades la unidad y su y su direccióndirección es a lo es a lo largo de los ejeslargo de los ejes coordenados, su coordenados, su sentidosentido saliendosaliendo del origendel origen..

Veámoslos en el plano...Veámoslos en el plano...

Vectores unitariosVectores unitariosSe definen los Se definen los vectores unitariosvectores unitarios î , ĵ cuya cuya magnitudmagnitud como su propio como su propio nombre lo indica nombre lo indica es la unidades la unidad y su y su direccióndirección es a lo es a lo largo de los ejeslargo de los ejes coordenados, su coordenados, su sentidosentido saliendosaliendo del origendel origen..

La letra La letra î se reserva para el vector unitario en la dirección del eje de las x se reserva para el vector unitario en la dirección del eje de las x positivopositivo

La letra La letra ĵ para el vector unitario en la dirección del eje de las y positivo.para el vector unitario en la dirección del eje de las y positivo.

Se le conocen también como vectores direccionalesSe le conocen también como vectores direccionales

î = iĵ = j

| î | = | ĵ | = 1

1 2

1

2

î

ĵ

x +

y +

Un vector se representa como:

A = Ax i + Ay j

Suma de Vectores: método de vectores unitariosSuma de Vectores: método de vectores unitariosSumar los siguientes vectores:Sumar los siguientes vectores:

A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 jj

B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj

SoluciónSolución

C C = = A A + + B B = (4 = (4 ii + 5 + 5 j j ) + (6 ) + (6 i i + 2 + 2 j j ) )

= 4 = 4 i i + 6 + 6 i i + 5 + 5 j j + 2 + 2 jj

= (4 + 6)= (4 + 6) i i + (5 + 2) + (5 + 2) j j

=10 =10 ii + 7 + 7 jj

ó más sencilloó más sencillo

A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 j +j +

B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj

R = 10 i + 7 jR = 10 i + 7 j

RR = = |R| = |R| = √√100+49 = 100+49 = √√149 = 12.2 u149 = 12.2 u

θθ = tan = tan-1-1 (7/10) = 35 (7/10) = 3500

Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry, más cargado Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry, más cargado

hacia el eje x. Es decir, al N del Ehacia el eje x. Es decir, al N del E

5 10

5

10

x +

y +Dibujar los vectores y sumarlos

ANEXO

• PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALARPRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR

• PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZPRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Producto punto o producto escalarProducto punto o producto escalar

El producto punto o producto escalar se define como:El producto punto o producto escalar se define como:

AA ● ● B B = = ||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A B cos θ

En función de los vectores unitariosEn función de los vectores unitarios

AA ● ● B B = (= (A x i + A y j) ● (● (B x i + B y j)

Desarrollando:

AA ● ● B B = A x B x (i ●● i) + A x B y (i ●● j) + A y B x (j ●● i) + A y B y (j ●● j)

Aplicando la definición

i ●● i = (1) (1) cos 00 = 1

i ●● j = (1) (1) cos 900 = 0

j ●● j = (1) (1) cos 00 = 1

j ●● i = (1) (1) cos 900 = 0

Producto punto …Producto punto …

Sustituyendo los productos puntoSustituyendo los productos punto

AA ● ● B B = A x B x + A y B y

Igualando ambas definiciones

||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A x B x + A y B y

Despejando el ángulo

θθ = cos = cos-1-1

A x B x + A y B y

||AA| || |BB||

Ejemplo: producto puntoEjemplo: producto punto

Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:

A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 jj análisis: I cuadrante a 51.34análisis: I cuadrante a 51.340 0 al N del E; magnitud 6.4al N del E; magnitud 6.4

B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj análisis: I cuadrante a 17.43análisis: I cuadrante a 17.430 0 al N del E; magnitud 6.3al N del E; magnitud 6.3

AA ● ● B B = A x B x + A y B y

= 24 + 10

= 34

El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es:

θθ = cos = cos-1-1

θθ = cos = cos-1 -1

θθ = 32.9 = 32.900

A x B x + A y B y

||AA| || |BB||

34

√16+25 √36+4

Operaciones con Vectores …Operaciones con Vectores …

• PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZPRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Sean Sean A A y y BB dos vectores, se define el producto vectorial como: dos vectores, se define el producto vectorial como:

donde donde CC es un nuevo vector es un nuevo vector La La MAGNITUDMAGNITUD del vector del vector CC viene dada por: viene dada por:

A x B = C

|C| = C = | A x B | = | A | | B | sen θ = AB sen θAB

Donde θAB es el menor ángulo que se forma entre los vectores

La La DIRECCIÓNDIRECCIÓN del vector del vector CC es perpendicular tanto al vector es perpendicular tanto al vector AA como al como al BB

Su Su SENTIDOSENTIDO viene dado por la viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHAREGLA DE LA MANO DERECHA

Regla de la mano derechaRegla de la mano derecha

• Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores vector C o producto vectorial entre los dos vectores

A

B

C = A x B

A

B

C' = B x AA x B = - B x A

Si el ángulo entre los dos vectores es de 90Si el ángulo entre los dos vectores es de 9000, entonces el producto vectorial , entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 90entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 9000 = 0 = 0

NotaNota: Los vectores : Los vectores A A y y B B forman o están en un plano, siendo el vector forman o están en un plano, siendo el vector C C perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores A A y y B B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C C estaría saliendo o estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso. entrando perpendicularmente al piso.

Producto cruz o producto vectorialProducto cruz o producto vectorial

El producto cruz o producto vectorial se definió como:El producto cruz o producto vectorial se definió como:

AA x x B B = = ||AA| || |BB| sen | sen θθ = = A B sen θ

En función de los vectores unitariosEn función de los vectores unitarios

AA x x B B = (= (A x i + A y j) x (x (B x i + B y j)

Desarrollando:

AA x x B B = A x B x (i xx i) + A x B y (i xx j) + A y B x (j xx i) + A y B y (j xx j)

Aplicando la definición

i xx i = (1) (1) sen 00 = 0

i xx j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha)

j xx j = (1) (1) sen 00 = 0

j xx i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)

Producto cruz …Producto cruz …

Sustituyendo los productos cruz de vectores unitariosSustituyendo los productos cruz de vectores unitarios

AA x x B B = A x B y (k) + A y B x (-k)

AA x x B B = (A x B y - A y B x ) k

Un nuevo vector cuya:

Magnitud es: A x B y - A y B x

Dirección: perpendicular al plano formado por A y B.

Sentido:

Sale del plano si A x B y - A y B x > 0

Entra al plano si A x B y - A y B x > 0

Producto cruz en tres dimensionesProducto cruz en tres dimensionesEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitariosEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios

AA x x B B = (= (A x i + A y j + A z k) x (x (B x i + B y j + B z k)Desarrollando:

AA x x B B = A x B x (i xx i) + A x B y (i xx j) + A x B z (i xx k) +A y B x (j xx i) + A y B y (j xx j) +

A y B z (j xx k) + A z B x (k xx i) + A z B y (k xx j) + A z B z (k xx k)

Aplicando la definición

i xx i = (1) (1) sen 00 = 0

i xx j = (1) (1) sen 900 = k

i xx k = (1) (1) sen 900 = - j

j xx i = (1) (1) sen 900 = - k

j xx j = (1) (1) sen 00 = 0

j xx k = (1) (1) sen 900 = i

k xx i = (1) (1) sen 900 = j

k xx j = (1) (1) sen 900 = - i

k xx k = (1) (1) sen 00 = 0

Producto cruz: determinantesProducto cruz: determinantes

A x B = i j kAx Ay Az

Bx By Bz

= +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az ) j + (Ax By – Bx Ay )k