Sistema Cuerpo-resorte-Amortigüador. Movimiento Libre.

7/25/2019 Sistema Cuerpo-resorte-Amortigüador. Movimiento Libre.

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MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DEORDEN SUPERIOR

considerar sistemas dinámicos lineales en los que cada modelo

matemático es una Ecuación Diferencial de Segundo Orden con

Coeficientes Constantes junto con condiciones iniciales especificadas

en un tiempo que tomaremos como t=0

f : Es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema.

Una solución x(t) de la EDO en un intervalo I que contiene a t=0 quesatisface las condiciones iniciales se llama Salida o Respuesta del

Sistema.

10 0 0 x)( x , x) x( f(t);cx(t)(t) xb(t) xa

31/05/2016 NOLAN JARA JARA 1




SISTEMA RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

x(0): cantidad de desplazamiento inicial

x´(0): rapidez inicial de la masa

x(0)>0: la masa parte de un punto debajo de la posición de equilibrio

x(0)<0: la masa parte de un punto arriba de la posición de equilibrio

x´(0)>0: rapidez inicial de la masa hacia abajo

x´(0)<0: rapidez inicial de la masa hacia arriba

x´(0)=0: la masa se suelta partiendo del reposo

X=0



SISTEMA RESORTE-MASA: MOVIMIENTOLIBRE NO AMORTIGUADO

LEY DE HOOKE (LH): A un resorte suspendido verticalmente de uncuerpo rígido se le fija una masa m en su extremo libre. El

alargamiento del resorte depende de la masa m. Por la LH el resorte

ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección del

alargamiento y proporcional a la cantidad alargada S.

F = kS; K constante de proporcionalidad ( Constante de Resorte )




Movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke:

F=ks

F: fuerza restauradora

k= Constante de resorte

2da

ley de Newton:

kxmg xsk

dt

xd m )(

2

2

PVI del movimiento:

10 )0(,)0( ;0)( x x x xkxt x



SISTEMA RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBREAMORTIGUADOEl concepto de movimiento armónico libre no es realista por que el

movimiento que describe la ecuación (I) supone que no hay fuerzasretardadoras actuando sobre la masa m en movimiento. A menos que

la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos una

fuerza de resistencia debida al medio circundante. La masa podría estar

suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo

amortiguador.




SISTEMA RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBREAMORTIGUADOECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

En mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un

cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad

instantánea. En particular, en el análisis posterior se supone que esta

fuerza está expresada por un múltiplo constante de x’(t).

Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue porla segunda ley de Newton:

)(t xkx(t) xm donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo

negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora

actúa en dirección opuesta a la del movimiento.




Movimiento libre amortiguado

•En un resorte, se observa que la amplitud de la vibracióndisminuye con el tiempo, ya que hay una pérdida de energía.Se dice que la osci lación está amort iguada.

•Para el análisis del oscilador dinámico, se puede suponerque además de la fuerza elástica, también actúa una

fuerza disipativa que se opone a la velocidad, de la forma

vF d

2da Ley de Newton:

2

2

entonces ,dt xd m

dt dxkxmavkx

PVI deI mov. libre amortiguado:

;0)( kxt x(t) xm 10 )0(,)0( x x x x



El sistema está sobre amortiguado042 mk

042

mk El sistema está críticamente amortiguado

El sistema está subamortiguado


0)( kxt x(t) xm

SISTEMA RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

042

mk



EJEMPLO 1

Un objeto de 5 kg de masa estira unresorte 0,2 m sobre su longitud natural.

Si el resorte se estira hasta medir 0,6 mmás que su longitud en el equilibrio yluego el objeto se suelta con velocidadinicial de 0,7 m/s hacia arriba, encuentre

la posición del objeto en el tiempo t.Considere que no hay fuerzas amortigüadoras.



)7(10

1)7cos(

10

6)( :

1.07)0(7.0);7cos(7)7(7)(

6.0)0(6.0);()7()7cos()(

7049

7.0)0(,6.0)0(;049

24505

245)2.0()8.9(5

2

t sent t xien

B B xt Bt Asent x

A A xit Bsent At x

imm

x x x x

x x xkx x xm

k k ksmg

Solución.



EJEMPLO 2

Suponga que el sistema del Ejemplo 1se sumerge en un fluido con constante

de amortiguamiento = 70. Halle laposición del objeto en el instante t, sieste parte de la posición de equilibrio y

recibe un empujón hacia abajo que leimparte una velocidad inicial de 0,6 m/s.



t

t t t

t t

tet xien

B B x

Bte Be Aet x

A A xi Bte Aet x

mmmm

x x x x x x x xkx x xm

k k ksmg

7

777

77

2

22

10

6)( :

6.0)0(6.0

77)(

0)0(0);()(

70)7(04914

6.0)0(,0)0(;04914245705

245)2.0()8.9(5

Solución.



EJEMPLO 3

Un objeto de 10 kg de masa se une a un

resorte de 1,50 m de longitud natural, que en

el equilibrio mide 1,99 m. Si el resorte se

comprime hasta medir 1,70 m y luego elobjeto se suelta a una velocidad de 1 m/s

hacia abajo, encuentre la posición del objeto

en cualquier tiempo t. Considere que elresorte se encuentra en un medio que ofrece

una resistencia numéricamente igual a 80

veces su velocidad instantánea en m/s.

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