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Créditos

Presentación

Ing. Jorge Luis Paredes Estacio

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTA DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Momento de una fuerzaFormulación Escalar Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá

una tendencia a que el cuerpo gire alrededor de un puntoque no esté en la línea de acción de la fuerza. Este giro se leconoce como par de torsión, momento de una fuerza osimplemente momento.

Momento de una fuerzaFormulación Escalar Ahora podemos generalizar el análisis anterior y considerar

la Fuerza F y el punto O que se encuentran en un planosombreado. El momento M0 con respecto al punto O, ocon respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular alplano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitudy dirección específicas.

Formulación Escalar

MAGNITUD: Su magnitud se expresa así:

DIRECCIÓN: La dirección de M0 esta definida por sueje de momento, el cual es perpendicular al plano quecontiene la fuerza F, y por su brazo de momento d.Para establecer el sentido y dirección de M0 se utilizala regla de la mano derecha. Su representación en dosdimensiones y tres dimensiones es distinta. El sentidoanti-horario generalmente es el positivo.

Formulación Escalar MOMENTO RESULTANTE:

Para fuerzas que se encuentranen el plano x-y el momentoresultante (MR)0 con respecto alpunto O (el eje z) puededeterminarse al encontrar lasuma algebraica de los momentoscausados por todas las fuerzas delsistema.

Por convención de signos seconsiderará a los momentospositivos como en sentido anti-horario. Los momentos negativosserán en sentido horario.

Problema aplicativo Para cada figura determinar el momento de la fuerza

con respecto al punto O.

Problema aplicativo Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas

que actúan sobre la barra con respecto al punto O.

Momento de una fuerzaFormulación Vectorial El momento de una fuerza F con respecto al punto O, o

realmente con respecto al eje del momento que pasapor O y es perpendicular al plano que contiene a O y aF, puede expresarse por el producto cruz vectorial

Aquí r representa un vectorposición trazado desde Ohasta cualquier punto que seencuentre sobre la línea deacción de F

Formulación Vectorial MAGNITUD: La magnitud del producto cruz se define con

la ecuación como M0=rFsenθ, donde el ángulo θ se mideentre las colas de r y F. Para establecer este ángulo, sedebe tratar a r como un vector deslizante, de manera que θse pueda construir correctamente. Como el brazo demomento d=rsenθ, entonces

Formulación Vectorial DIRECCIÓN: La dirección y el sentido de M0 estan

determinados mediante la regla de la mano derecha, talcomo se aplica ésta al producto cruz. Para ello, deslizamosel vector r, como se ve en la línea discontinua, y cerramoslos dedos de la mano derecha de r hacia F. Esto define ladirección y el sentido del momento M0.

Formulación Vectorial PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD: La operación del

Producto Cruz que se usa en tres dimensiones no requierela distancia perpendicular o el brazo de momento desde elpunto O hasta la línea de acción de la fuerza. Por lo tantopodemos usar cualquier vector posición r medido desde Ohasta cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerzaF.

Formulación Vectorial FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA: Si

establecemos ejes coordenados x, y, z, el vector posición r yla fuerza F pueden expresarse como vectores cartesianos:

Formulación Vectorial

FORMULACIÓNVECTORIAL CARTESIANA:

Donde,

rx, ry, rz: representa lascomponentes x, y, z del vector deposición trazado desde el puntoO hasta cualquier punto sobre lalínea de acción de la fuerza

Fx, Fy, Fz: representan lascomponentes x, y, z delvector fuerza.

Formulación Vectorial FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA: Si

desarrollamos el determinante tenemos

• MOMENTO RESULTANTE DEUN SISTEMA DE FUERZAS

Si un sistema de fuerzas actúa sobreun cuerpo, el momento resultanterespecto al punto O puede serdeterminado mediante la adicióndel momento de cada fuerza. Estaresultante sería:

Problema AplicativoDetermine el momento producido por la fuerza F respecto alpunto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

Problema AplicativoDos fuerzas actúan sobre la barra. Determine el momentoresultante con respecto al soporte en O. Exprese el resultadocomo un vector cartesiano.

Principio de Momentos Se le llama también Teorema de

Varignon, puesto que lo desarrolló unfrances Varignon (1654-1722).

Establece que el momento de unafuerza con respecto a un punto es iguala la suma de los momentos de lascomponentes de la fuerza con respectoal punto. Esta Teoría se compruebaaplicando el producto cruz. Porejemplo considerar los momentos de lafuerza F y dos de sus componentesrespecto al punto O. Como F=F1+F2,tenemos

Principio de Momentos Para problemas en dos dimensiones se puede descomponer

la fuerza en sus componentes rectangulares y despúesdeterminar el momento con un análisis escalar de lasiguiente manera.

Por lo general, estemétodo es mássencillo quedeterminar el mismomomento conM0=Fd

Problema AplicativoDetermine el momento de la fuerza que se muestra en lafigura respecto del punto O.

Problema AplicativoLa fuerza F actúa en el extremo de la ménsula. Determine elmomento de la fuerza con respecto del punto O.