PRESENTATION LOADING . . .

KELOMPOK VIAsma Qonita Nisaul Ula Didah Sahidah Eva Dianita Imam Burhanudin Melawati Wilda Wulandari

PENGERTIAN

MATERI

PENGERTIAN

MATERI INVERS GAUSS GAUSS-JORDAN CRAMER TRIVIAL NON TRIVIAL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR adalahhimpunan berhingga dari persamaanpersamaan linear.bentuk:

a11x 1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x 1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

am1x 1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

. . .

Atau dalam bentuka11 a1n . . .

x1 xn

am1 amn

=

b1

bn

Atau AX=B Dimana : A disebut matriks koefisien X disebut matriks peubah B disebut matriks konstansta

Contoh :2x1 x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4Matriks augmented : matriks koefisien A ditambah matriks konstanta G. 2 1 2 7 3 5 0 (A | G) = 1 1 0 1 4

Dengan notasi matriks 2 1 2 x1 1 3 5 x2 1 0 1 x 3

=

7 0 4

A

X

G

Dimana :

A = matriks koefisien X = matriks variabel /peubah G = matriks konstanta

SOLUSI SPL

1 0 0

INVERS (Balikan) MatriksJika Anxn, maka IA=AI=A dan jika dapat ditemukan matriks B sehingga AB=BA=I, maka dikatakan A dapat dibalik (invertable) dan B dinamakan balikan/invers dari A.

Contoh:Carilah invers dari persamaan berikut :2 4 4

1

3

2

-1 -2 -3

Untuk mendapatkan A-1,dapat dilakukan dengan cara : 1. Cara adjoint 2. Cara OBE dan/atau OKE

Solusi :C11 = M11 = - 5 C12 = -M12 = 1 C13 = M13 = 1 C21 = -M21 = 4 C22 = M22 = -2 C23 = -M23 = 0 -5 4 -2 C31 = M31 = -4 C32 = -M32 = 0 C33 = M33 = 2 -4 0

C11 C21 C31 Adj (A) =C12 C22 C32 C13 C23 C33

=

1

1

0

2

|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2A-1 = Adj (A)

-5

4 -2

-4 0

-5/2

-2 1

2 0

|A|

= -1/2

1

= -1/2-1/2

1

0

2

0

-1

Solusi SPL GAUSSMetoda eliminasi GAUSS adalah mengubah matriks lengkap yang bersesuaian dengan sistem persamaan linier tersebut ke bentuk eselon baris.

Sistem Persamaan Linear ini juga biasanya didapat dengan menggunakan sederajat langkah untuk mengeliminasi variabel secara sistematis.

Langkah-langkah nya dapat dinyatakan sebagai berikut : 1. kalikanlah sebuah persamaan dengan konstanta tidak nol. 2. Pertukarkan dua persamaan. 3. Tambahkan kelipatan dari satu baris kepada baris lainnya. 4. Lakukan subtitusi balik ( oack subtitution ),dan kemudian didapatlah pemecahan dan / atau hasil akhir

Contoh Cari penyelesaian dari sistem : x1 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2

Solusi :1 -2 1 -2 1 1 -5 -2 -32,23 1 -2 1 -5-1/3

1 -2 1

-5 26 4

3 1 -2 11

~-73

0 7 -5 260 -3 3 -12

~

0 7 -5 0 1 -1

~

1 -2 1 0 1 -1

-5 4

1 -2 1

-5 4 -2

0 7 -5 26

~

0 1 -1 0 0 2

Substitusikan:X -2x2 + x3 = -5 x2 - x3 = 4 2 x3 = -2 x3 = -1 X 2 - x3 = 4 X2 - (-1) = 4 x2 = 3

X1 - 2 x2 + x3 = -5 X1 - 2(3) +(-1)= -5 x1 = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya {-1,2,3}

SOLUSI SPL GAUSS - JORDAN

Metoda eliminasi Gauss-Jordan adalah mengubah matriks lengkap ke bentuk eselon baris tereduksi.

Sistem persamaan linear ini hampir sama dengan sistem persamaan linear sebelumnya (Gauss),namun pada SPL ini pada bagian akhirnya harus di ubah menjadi bentuk eselon tereduksi.

Contoh

Pecahkan SPL berikut : 2x1 + x2 + x3 = 7 3x1 + 2x2 + x3 = -3 x 2 + x3 = 5

Solusi :2 1 1 3 2 1 0 1 1 7 -3 5-11

-1 -1 0

10 5

32

-1 -1 0 0 1 1

10 511

~

3 2 1 -3 0 1 1

~~-1

0 -1 1 27

~~

-1 0 1 0 1 1

1513

-1 0 1

1527 321/2

-1 0 10 -1 1

1527-11,-12

0 -1 1 27 5

~

0 -1 1 0 0 2

0 0 1 16

-1 0 0

1-1

0 -1 0 110 0 1 16

~

-1 0 0

1

1 0 0

1

0 1 0 -110 0 1 16

~

0 1 00 0 1

-1116

Persamaan terakhirnya menjadi :X1 = 1 X2 = -11 X3 = 16

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1, -11, 16 }

Aturan ini berguna untuk menelaah sifat-sifat matematis dari suatu penyelesaian tanpa perlu menyelesaikan sistemnya.

Pencipta aturan ini adalah Gabriel Cramer (1704-1752),seorang matematikawan Swiss. Meskipun Cramer tidak dianggap sebagai matematikawan besar pada zamannya, namun kontribusinya sebagai seorang penyebar gagasan matematis telah menempatkan dia dalam posisi terhormat dalam sejarah matematika.

Rumus :X1 =det (A1) det (A) det (A2)

,

X2 =

,,

det (A)det (An)

Xn =det (A)

Cara untuk menyelesaikan SPL dengan aturan ini adalah :1.Membentuk persamaan A1 , A2 , A3 ,..An . 2. Cari determinan dari masing-masing persamaan tersebut. 3. Hasil determinan dari persamaan tersebut masukkan kedalam rumus aturan Cramer, kemudian didapatlah hasilnya.

Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan.

Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.

3 4 A= 2 5 1 B = 2 3 2 1 1

Det(A) = -7.

2 1 4

|B| = 25

2 1 C= 0 1

1 1 1 0

1 2 1 3

3 2 2 1

Det(C) = 0

BAGAIMANA CARA MENGHITUNGNYA ? ? ?

Cara menghitung determinan : 1. Definisi determinan 2. Sifat sifat determinan 3. Ekspensi minor dan kofaktor 4. Kombinasi cara 2 dan 3

DEFINISI DETERMINANA= a11 a12

a21a11

a22a12 a22 a13 a23 a33

Det (A) = a11 a22 a12 a21

A=

a21

a31 a32

|A| =

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a22 a13 a22 a21 a11 a23 a32 a12 a21 a33

CONTOHSelesaikan persamaan berikut dengan aturan cramer :X1 + + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 2x2 + 3x3 = 8

Solusi :1 0 4 2 6 3 1 6 30 2 6 |A2| = 72

A=

-3

|A| = 44 ,

A2 =

-3

-1 -2

-1

8

3

6 A1 = 30

0 4

2 6 3 |A1| = -40 , A3 =

6 30

0 4

2 6 3 |A3| = 152

8 -2

8 -2

Dengan demikian : det (A1) -40 -10 = = X1 = 11 det (A) 44 det (A2) det (A) det (A3)72

X2 =

=

44

=

18 11

38 = = X3 = 11 det (A) 44

152

TRIVIALSistem persamaan yang hanya mempunyai satu penyelesaian.Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

ContohSelesaikan spl homagen berikut :x1 2x2 + x3 = 0 -x1 + 3x2 2x3 = 0 2x1 + x2 4x3 = 0

solusi1 2 1 0-12,-1

1 2 1

0

1 0 -121,-23

0 0 0

1 3 21 0 1

00

~

0 1 10 -2 0

00

~

0 1 1 0 0 2

~ 1/2

1 0 -10 1 1 0 0 1

00 0

Menjadi persamaan baru : X1 + + -x3 = 0 X2 + x3 = 0 X3 = 0

Dengan subtitusi hasilnya : X1 = 0 X2 = 0 X3 = 0

Nontrivial adalah sistem persamaan yang memiliki banyak penyelesaian.

Contoh :Selesaikan SPL homogen berikut sehingga memiliki pemecahan nontrivial

X1 + X2 + 3X3+ X4 = 0 2X1+ X2 + 5X3 + 4X4 = 0 X1 + 2X2+ 4X3 + X4 = 0

solusi1 1 3 2 1 5 1 4 0 0 0 -22 ,- 13 1 1 3 0 -1 -1 1 2 0 0 0

1 2 4 -1

~-11

0 1 1 -2

~13

1 1 30 1 1

12

00 0

1 0 2

3

00 0

0 -1 -1 2

~1

0

1 1 2

0 -1 -1 -2

~

1 1 3

0 0

0 1 1 -2

0 0 0

0

0

Dari hasil di atas di peroleh persamaan baru :X1 + x2 + 3x3 + x4 = 0 x2 + x3 + -2x4 = 0

Jadi :X1 + 2X3 + 3X4= 0 X1=-2X3-3X4 X2 + X3 + -2X4 =0 X2=-X3+2X4 MISAL: X 3= S X4=T X1= -2S -3T X2= -S + 2T

Himpunan Penyelesainnya adalah : {-2S - 3T, -S + 2T, S, T}

Matriks 2011

THE END