Sistem as Dee Cuac i Ones

ASIGNATURA: MATEMTICAS III

UNIDAD: I

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS

PROFESOR: IGNACIO MENESES GALICIA

12 DE SEPTIEMBRE DE 2009

BACHILLERATOSISTEMAS DE ECUACIONES

INTRODUCCIONSISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos oms ecuaciones lineales.

Un sistema se caracteriza por su dimensin. La dimensinde un sistema se determina segn el nmero deecuaciones y de variables involucradas en el sistema.

Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se diceque es de dimensin 2x2. Un sistema de dos ecuacionesen tres variables se dice que es de dimensin 2x3. Unsistema de tres ecuaciones en tres variables se dice quees uno 3x3.


Un sistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solucin.

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado cuando tiene solucin nica.

Es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene solucin.

Un sistema de ecuaciones es homogneo cuando todos sus trminos independientes son cero.

BACHILLERATO

SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

METODOS DE SOLUCIN DE SISTEMA DE ECUACIONESPara resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas

existen CINCO mtodos:

1. Mtodo de sustitucin. Consiste en despejar en una de las ecuaciones una incgnita. Posteriormente se sustituye su valor en la otra y se calcula. Finalmente se vuelve a la ecuacin despajada para hallar el valor de la incgnita que queda. 2.Mtodo de igualacin. Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones. Se igualan sus valores y se obtiene el valor de una variable, luego se sustituye en una de las ecuaciones despejadas y se halla el valor de la otra.3.Mtodo de reduccin. Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones por nmeros convenientes de tal forma que al "sumar" luego las ecuaciones se vaya una de las variables. As se puede obtener el valor de la otra. Una vez obtenido, volvemos a una de las ecuaciones originales y en ella calculamos la variable que nos queda.4.Mtodo grafico 5.-Mtodo de determinantes


1) Resolucin por sustitucinDespejamos una de las variables en una de las ecuaciones (eneste caso elegimos y en la primera ecuacin) reemplazadola enla otra, operamos para despejar la nica variable existente ahora:


Reemplazamos el valor de x obtenido, en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

Hallamos la solucin: x=4, y = 2


2) Resolucin por igualacinTenemos que resolver el sistema esto significa, encontrar el punto deinterseccin entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuacin.Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cualtenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros soniguales los segundos tambin lo son, por lo tanto:


Sustituyendo el valor de x obtenido,en alguna de las ecuaciones (elegimosla segunda):

Ahora s, podemos asegurar que: x = 4 e y = 2


3) ReduccinMultiplicamos la 1 ec. por el coeficiente de la 2. ec. de la mismaincgnita (2) y la 2 por el coeficiente de la 1. (3), de esta forma elcoeficiente de y en las dos ecuaciones es el mismo y por lo tanto elsistema se reduce a una sola incgnita.

Sumando 13 x = 2

x = 2/13


Sustituyendo el valor encontrado de x:

2x + 3y = 1

2(2/13) + 3y = 1

4/13 + 3y = 13/13

3y = 9/13

y = 3/13Solucin:

x=2/13 y=3/13


4.-Mtodo Grfico Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solucin nica. Decimos que es compatible determinado.

Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.

Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solucin.


METODO GRAFICO DE SISTEMA DE ECUACIONES

BACHILLERATO

ACOMPATIBLE DETERMINADO

B COMPATIBLE INDETERMINADO

CINCOMPATIBLE

SISTEMAS DE ECUACIONES

5) Resolucin por determinanteSabemos que un determinante se representa como:

Este se calcula de la siguiente manera: D = ad bc

Sea el sistema: a1x + b1y = c1a2x + b2 y = c2

Los valores de x y y estn dados por:

dcba

22

11

22

11

bababcbc

x =

22

11

22

11

babaca

ca

y =


41456

62054110

5234518322

22

11

22

11

==

===

bababcbc

x 21428

144472

14182224

22

11

22

11

==

===

babaca

ca

y

El punto de interseccin de las rectas dadas es {(4, 2)}

Resolvamos el sistema::


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