OCW-CCE S13 Transistor BJT Polarizacion y Equivalentes de Pequena Senal
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Sinusoides y Espectros Digitales
Juan-Pablo CaceresCCRMA
Stanford University
Agosto, 2007
Contenidos
Senales Digitales y Muestreo (Sampleo)
Numeros Complejos
Fasores y Sinusoides
Espectros Digitales
Que es una Senal Digital?
Medicion de la Marea
Dos Formas de Medir:
1. En forma continua.
2. En forma discreta (digital)
Medicion de la Marea
Medicion ContinuaMedicion Discreta
Informacion de Frecuencias
Periodo de muestreo: TFrecuencia de Muestreo: fs = 1
T
Captura de la informacion de frecuencias:
◮ fs tiene directa influencia en cuanta informacion de frecuenciapodemos obtener
◮ Mientras mayor es fs, mas altas frecuencias pueden sertabuladas.
Conversion Analoga-Digital (ADC)
1. Filtrado Pasa Bajos: Remover frecuencias altas innecesarias
2. Muestreo (Sampleo): Tomar muestras periodicas de laamplitud de onda
3. Retencion (Hold): Estabilizar para facilitar medicion
4. Cuantificacion (Quantization): Redondear al valor discretomas cercano
5. Codificacion: Grabar en codigo binario las muestrasobtenidas
Conversion Analoga-Digital (ADC)
El fenomeno del Aliasing
El fenomeno del Aliasing
alias1.mov (30 fmp)
Teorema de Nyquist
Theorem
Para una Frecuencia de Muestreo fs Hz:
◮ Frecuencias f en en rango −fs/2 < f < fs/2 Hz no estan”aliased”
◮ Las frecuencias fuera de ese rango estan ”aliased”
Senal Sinusoidal Submuestreada (Undersampled)
◮ Una senal sinusoidal de frecuencia mas baja (azul) es un aliasde la senal original (rojo)
◮ No hay forma de reconstruir la senal original cuando estasubmuestreada
Consecuencias del Aliasing en Audio
Numeros Complejos
Numeros complejos nacen de la necesidad de resolver ecuacionescomo la siguiente:x2 + 2 = 0x =?
Solucion: Nombrar j =√−1 como el numero imaginario
Coordenadas
◮ Numeros Complejos
x + yj con x : parte Realy : parte Imaginariaj :
√−1
◮ Plano Complejo◮ eje-x (parte real)◮ eje-y (parte imaginaria)
x
y
Coordenadas Rectangulares y Polares
Coordenadas Rectangulares
Eje Reales
Eje Imaginarios
z = a + bj
b
a
z = a + bj
Coordenadas Polares
z = r(cos θ + j sin θ)
r = |z| =√
a2 + b2
θ = tan−1(b/a)
Series de Taylor y Euler
Por las series de Taylor, sin y cos pueden escribirse:
sin x = x − x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · ·
cos x = 1 − x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ · · ·
Series desarrolladas para obtener valores aproximados de relacionestrigonometricas.La serie de Taylor de e (numero de Euler) es:
e =
∞∑
n=0
1
n!=
1
0!+
1
1!+
1
2!+ · · ·
ex = 1 +∞∑
n=1
xn
n!= 1 +
x
1!+
x2
2!+
x3
3!+
x4
4!· · ·
Los paterns de ambas series tienen muchas similitudes...
Series de Taylor y Euler
Reescribamos las ecuaciones ocupando nuestro numero complejo zcomo argumento:
sin z = z − z3
3!+
z5
5!− z7
7!+ · · ·
cos z = 1 − z2
2!+
z4
4!− z6
6!+ · · ·
Y usamos como argunmento para e iz:
ejz = 1 +jz
1!+
j2z2
2!+
j3z3
3!+
j4z4
4!+
j5z5
5!· · ·
ejz = 1 − z2
2!+
z4
4!− z6
6!+ · · · + j
(
z
1!− z3
3!+
z5
5!− z7
7!
)
+ · · ·
ejz = cos z + j sin z Ecuacion de Euler
El Numero π
Usando la Ecuacion de Euler, podemos concluir:
ej(z+n2π) = ejz
La mas Bella Formula de las Matematicas:
ejπ = cos π + j sin π
ejπ = −1 Identidad de Euler
Fasores
z = cos θ + j sin θ = ejθ
ejθ es un vector unitario con:
◮ Magnitud: 1
◮ Periodo: Una rotacioncompleta en el circulounitario
◮ Fases: Las distintasposiciones en el circulounitario
◮ θ: Angulo de Fase
Fasores
z = rejθ es un fasor de magnitud r.
◮ θ crece → el fasor gira en sentido contrario a las agujas delreloj (counterclockwise)
◮ θ decrece → gira en sentido de las agujas del reloj (clockwise)
Movimiento Armonico Complexo
Fasore complejoproyectado en:
◮ eje real
◮ eje imaginario
phasors1.mov
sin y cos estan en cuadratura= 90◦ de diferencia de fase.
Sinusoides
Que sucede si proyectamos en otras direcciones?
ej(θ+45◦) = cos(θ + 45◦) + j sin(θ + 45◦)
Sinusoides
Podemos proyectar en cualquier direccion φ, y obtendremos:
ej(θ+φ) = cos(θ + φ) + j sin(θ + φ) Sinusoides
φ: Angulo de fase
Fasores y Sinusoides
Si sumamos y restamos fasores conjugados simetricos, obtenemossenales reales.
cos θ =ejθ + e−jθ
2
sin θ =ejθ − e−jθ
2j
phasorsn.mov
Visualizacion de Senales Complejas
Espectros Digitales
◮ ejθ Frecuencia positiva, Amplitud positiva
◮ −ejθ Frecuencia positiva, Amplitud nagativa
◮ e−jθ Frecuencia negativa, Amplitud positiva
◮ −ej−θ Frecuencia negativa, Amplitud negativa
Espectros de cos y sin
cos θ =ejθ + e−jθ
2
sin θ =ejθ − e−jθ
2j
Otro Ejemplo
x(t) = 10 + 14 cos(
200πt − π
3
)
+ 8cos(500πt +π
3)
x(t) = 10 + 7ej(2π(100)t−π/3) + 7e−j(2π(100)t−π/3)
+4ej(2π(250)t−π/2) + 4e−j(2π(250)t−π/2)
Otro Ejemplo
x(t) = 10 + 14 cos(
200πt − π
3
)
+ 8cos(500πt +π
3)
x(t) = 10 + 7ej(2π(100)t−π/3) + 7e−j(2π(100)t−π/3)
+4ej(2π(250)t−π/2) + 4e−j(2π(250)t−π/2)
Multiplicacion de Fasores, Modulacion
r1ejθ1 · r2e
jθ2 = (r1r2)ej(θ1+θ2)
Multiplicacion de Fasores, Modulacion
r1ejθ1 · r2e
jθ2 = (r1r2)ej(θ1+θ2)
×
Multiplicacion de Fasores, Modulacion
r1ejθ1 · r2e
jθ2 = (r1r2)ej(θ1+θ2)
×
=
Multiplicacion de Sinusoides
Ejemplo:x(t) = sin(100πt) cos(10πt)
Podemos reescribir esta ecuacion usando las indentidades de Euler:
x(t) =
(
ej100πt − e−j100πt
2j
)(
ej10πt − e−j10πt
j
)
x(t) =1
4e−jπ/2ej110π/2 +
1
4e−jπ/2ej90πt−
1
4e−jπ/2e−j90π/2 − 1
4e−jπ/2e−j110π/2
x(t) =1
2cos(110πt − π/2) +
1
2cos(90πt − π/2)
Notar que las nuevas frecuencias son distintas a las originales.DEMO SuperCollider
Beat Notes
Se suman sinusoides con frecuencias muy cercanas.
x(t) = cos(2πf1t) + cos(2πf2t)
Podemos expresar ambas frecuencias con respecto a una frecuenciacentral fc y una frecuencia de desviacion f△,
f1 = fc − f△
f2 = fc + f△
Beat Notes
x(t) = Re{
ej2πf1t}
+ Re{
ej2πf2t}
= Re{
ej2π(fc−f△)t}
+ Re{
ej2π(fc+f△)t}
= Re{
ej2πfct(
e−j2πf△t + e−j2πf△t)}
= 2cos(2πf△t)cos(2πfct)
Es equivalente a:
x(t) = cos(2πf1t) + cos(2πf2t)
DEMO SuperCollider
Beat Notes: Ejemplos Numericos
Beat Notes: Ejemplos Numericos
Modulacion de Amplitud
x(t) = (5 + 2 cos(40πt)) cos(400πt)
Modulacion de Amplitud
Otras frecuencias,
Modulacion de Amplitud
x(t) = (5 + 2 cos(40πt)) cos(400πt)
= 5 cos(400πt) + 2 cos(40πt) cos(400πt)
Componentes en Frecuencia de Senales Reales
◮ Senales reales siempre tienen un balance entre componentespositivas y negativas de frecuencia
◮ Senales simetricas (par) con respecto a 0 Hz y con ambasamplitued reales indenticas son tipo cos reales
◮ Senales simetricas (impar) con respecto a 0 Hz y con ambasimaginarias y de signo opuesto son sin reales