Posibles preguntas teoricas(que aparecen tambien en los problemas)

1 Mezcla

1. Considere una senal x(t) periodica. Existe la Trasformada de Fourier? que transformacionexiste?

2. Demuestre la propiedad de la convolucion x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t).

3. Demuestre la propiedad de la convolucion [x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) = x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)].

4. Describa las propiedades que tiene que cumplir h(t) para que el sistema LTI sea estable.

5. Considere h(t) = e−t; el sistema LTI es estable?

6. Considere h(t) = u(t)− u(t− 4); el sistema LTI es estable?

7. Considere h(t) = δ(t)− δ(t− 1); el sistema LTI es estable?

8. El sistema definido por la respuesta al impulso h(t) = x(t)2 tiene memoria?

9. El sistema definido por la respuesta al impulso h(t) = x(t)2 es lineal?

10. El sistema definido por la respuesta al impulso h(t) = x(t)‘x(t− 1) es causal?

11. Explique porque h(t) se llama “respuesta al impulso”.

12. Escriba la formula de la energıa de una senal x(t).

13. Considere una senal x(t) periodica, con coeficientes de la serie de Fourier ak. Demuestre queak = a∗−k.

14. Considere una senal x(t) periodica, con coeficientes de la serie de Fourier ak. Demuestre quelos coeficientes de la serie de Fourier de x(t− γ) son bk = ake

−jkω0γ.

15. Considere una senal x(t) con trasformada de Laplace X(s) (bilatera). Demuestre que la

transformada de dx(t)dt

es sX(s).

2 Periodicidad

1. Una senal del tipo cos(w0t) o exp(jw0t), es siempre periodica?

2. Una senal del tipo cos(w1t) + cos(w2t) o exp(jw1t) + exp(jw2t), es siempre periodica? quecondiciones tiene que respetar?

3. Una senal del tipo cos(Ω0n) o exp(jΩ0n), es siempre periodica? que condiciones tiene querespetar?

4. Una senal del tipo cos(Ω1n) + cos(Ω2n) o exp(jΩ1n) + exp(jΩ2n), es siempre periodica? quecondiciones tiene que respetar?

5. Considere un senal tiempo continuo x(t) periodica con periodo T y coeficientes de la seriede Fourier ak. Los coeficientes ak son periodicos? si lo son, con que periodo?

6. Considere un senal tiempo discreto x[n] periodica con periodo N y coeficientes de la seriede Fourier ak. Los coeficientes ak son periodicos? si lo son, con que periodo?

7. Considere la Transformada de Fourier X(ω) de x(t). Es X(ω) periodica? si lo es, con queperiodo?

8. Considere la Transformada de Fourier X(Ω) de x[n]. Es X(Ω) periodica? si lo es, con queperiodo?

3 Sistemas LTI

1. Como se puede expresar la salida y(t) o y[n] de un sistema LTI (en tiempo continuo ydiscreto) en funcion de la entrada x(t) o x[n]? cuantas formas existen (de un punto de vistamatematico)?

2. Por que se estudian los sistemas LTI en un dominio “transformado” (diferente al dominiotemporal; ω, s, z etc...)?

3. Considere la Transformada de Fourier X(ω) de la entrada y la Transformada de FourierY (ω) de la salida de un sistema LTI. Encuentre la la Transformada de Fourier H(ω) de larespuesta al impulso h(t).

4. Considere la Transformada de Laplace X(s) de la entrada y la Transformada de LaplaceY (s) de la salida de un sistema LTI. Encuentre la la Transformada de Laplace H(s) de larespuesta al impulso h(t).

5. Considere la Transformada de Fourier X(Ω) de la entrada y la Transformada de FourierY (Ω) de la salida de un sistema LTI. Encuentre la la Transformada de Fourier H(Ω) de larespuesta al impulso h[n].

2

6. Considere la Transformada Zeta X(z) de la entrada y la Transformada Zeta Y (z) de lasalida de un sistema LTI. Encuentre la la Transformada de Laplace H(s) de la respuesta alimpulso h[n].

7. Exprese la siguiente ecuacion y(t) = x(t) ∗ h(t) o y[n] = x[n] ∗ h[n], en el dominio de lafrecuencia.

4 Fourier

1. A que tipo de senales se aplican las Series de Fourier (para senales en tiempo continuo ydiscreto)?

2. La serie de Fourier de una senal x[n] tiempo discreto tiene problemas de convergencia?

3. Las serie de Fourier de una senal x[n] tiempo discreto, es realmente una serie?

4. A que tipo de senales se aplican las Transformadas de Fourier (para senales en tiempocontinuo y discreto)?

5. Tienen problemas de convergencias las Transformadas de Fourier (para senales en tiempocontinuo y discreto)? indique alguna condicion de convergencia.

6. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier de unaconstante (tiempo continuo y/o discreto)? explique su respuesta.

7. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier de unescalon (tiempo continuo y/o discreto)? explique su respuesta.

8. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier de unasenal periodica (tiempo continuo y/o discreto)? explique su respuesta.

9. De un punto de vista estrictamente matematico, existe a Transformada de Fourier de sin(t)o cos(t)? explique su respuesta.

10. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier dee−atsin(t) o e−atcos(t) con a ≥ 0 (tiempo continuo y/o discreto)? explique su respuesta.

11. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier dee−atsin(t) o e−atcos(t) con a ≤ 0? explique su respuesta.

12. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier dee−atsin(t)u(t) o e−atcos(t)u(t) con a ≤ 0 ? explique su respuesta.

13. De un punto de vista estrictamente matematico, existe la Transformada de Fourier dee−atsin(t)u(t) o e−atcos(t)u(t) con a > 0? explique su respuesta.

3

14. Que es la Transformada de Fourier Generalizada (tiempo continuo y/o discreto)? paraque sirve? de un punto de vista estrictamente matematico, es algo riguroso? Describa laTransformada de Fourier Generalizada.

15. Considere un senal tiempo continuo x(t) periodica con periodo T y coeficientes de la seriede Fourier ak. Los coeficientes ak son periodicos? si lo son, con que periodo?

16. Considere un senal tiempo discreto x[n] periodica con periodo N y coeficientes de la seriede Fourier ak. Los coeficientes ak son periodicos? si lo son, con que periodo?

17. Considere una senal de longitud finita x(t) y x[n], con Transformada de FourierX(ω) yX(Ω).Considere tambien una senal periodica x(t) y x[n] obtenidas replicando periodicamente x(t)y x[n] con periodo T y N . Encuentre (escriba una expresion) los ak de x(t) y de x[n].

18. Considere la Transformada de Fourier X(ω) de x(t). Es X(ω) periodica? si lo es, con queperiodo?

19. Considere la Transformada de Fourier X(Ω) de x[n]. Es X(Ω) periodica? si lo es, con queperiodo?

20. Considere la Transformada de Fourier X(ω) de la entrada y la Transformada de FourierY (ω) de la salida de un sistema LTI. Encuentre la la Transformada de Fourier H(ω) de larespuesta al impulso h(t).

21. Considere la Transformada de Fourier X(Ω) de la entrada y la Transformada de FourierY (Ω) de la salida de un sistema LTI. Encuentre la la Transformada de Fourier H(Ω) de larespuesta al impulso h[n].

22. Exprese la siguiente ecuacion y(t) = x(t) ∗ h(t) en el dominio de la frecuencia.

5 Sampling/Muestro

1. Describa el Teorema de Nyquist (explique de que trata y para que sirve).

2. Describa que ocurre en frecuencia cuando se muestra a paso T una senal continua x(t)obteniendo una senal x[n] = x(nT ),

• considerando la transformada de Fourier X(ω) de x(t),

• primero describiendo Xp(ω),

• y luego X(Ω) = Xp

(ΩT

).

3. Dada una senal x[n] obtenida muestreando una senal x(t) con periodo de muestro T , conTransf. de Fourier X(Ω), explique como es posible recuperar la senal continua x(t) si elmuestreo respeta el Teorema de Nyquist.

4

4. Dada una senal x[n] obtenida muestreando una senal x(t) con periodo de muestro T , conTransf. de Fourier X(Ω), si el si el muestreo respeta el Teorema de Nyquist cual es filtro enfrecuencia que permite recuperar la senal continua x(t)? a que se corresponde esta operacionen el dominio del tiempo?

5. Dada una senal x[n] obtenida muestreando una senal x(t) con periodo de muestro T (querespeta el Teorema de Nyquist), explique porque la operacion de recuperar la senal continuax(t) a traves de un filtro rectangular paso-bajo se define “Interpolacion ideal”? Expliqueprimero la palabra “Interpolacion” y luego porque se trata de algo “Ideal”.

6. Dada una senal x[n] obtenida muestreando una senal x(t) con periodo de muestro T (querespeta el Teorema de Nyquist), explique porque la operacion de recuperar la senal continuax(t) se suele llamar “Interpolacion” y explique la diferencia entre “Interpolacion ideal/optima” y “Interpolacion sub-optima”.

7. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) con paso de muestro T = 0.1 s. Lasenal x(t) tiene ancho de banda W = 20 rad/s (es decir, f ≈ 3.18 Hz). Dada la senal x[n],es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempo continuo x(t)? motive su respuesta.

8. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) con paso de muestro T = 0.1 s. Lasenal x(t) tiene ancho de banda W = 70 rad/s (es decir, f ≈ 11.15 Hz). Dada la senal x[n],es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempo continuo x(t)? motive su respuesta.

9. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) con frecuencia de muestreo ωs = 150rad/s. La senal x(t) tiene ancho de banda W = 70 rad/s (es decir, f ≈ 11.15 Hz). Dada lasenal x[n], es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempo continuo x(t)? motive surespuesta.

10. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) con frecuencia de muestreo ωs = 100rad/s. La senal x(t) tiene ancho de banda W = 70 rad/s (es decir, f ≈ 11.15 Hz). Dada lasenal x[n], es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempo continuo x(t)? motive surespuesta.

11. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) con frecuencia de muestreo ωs = 100rad/s. La senal x(t) tiene ancho de banda de f = 5 Hz. Dada la senal x[n], es posiblereconstruir perfectamente la senal en tiempo continuo x(t)? motive su respuesta.

12. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) con frecuencia de muestreo ωs = 60rad/s. La senal x(t) tiene ancho de banda de f = 5 Hz. Dada la senal x[n], es posiblereconstruir perfectamente la senal en tiempo continuo x(t)? motive su respuesta.

13. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) = cos(20t) con frecuencia de muestreoωs = 60 rad/s. Dada la senal x[n], es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempocontinuo x(t)? motive su respuesta.

5

14. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) = cos(35t) con frecuencia de muestreoωs = 60 rad/s. Dada la senal x[n], es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempocontinuo x(t)? motive su respuesta.

15. Una senal x[n] es obtenida muestreando una senal x(t) = sin(8πt) con periodo de muestroT = 0.1 s. Dada la senal x[n], es posible reconstruir perfectamente la senal en tiempocontinuo x(t)? motive su respuesta.

5.1 Diezmado

1. Describa que ocurre en frecuencia cuando se aplica un diezmado de factor N a una secuenciax[n] obteniendo xb[n] = x[nN ].

2. Describa como se interpola (de forma ideal) una secuencia xb[n] de un factor N para obteneruna secuencia interpolada xi[n] (describa que la operacion en frecuencia, y a que equivaleen el tiempo).

6 Laplace/Zeta

1. Explique porque se define la Transformada de Laplace y la Transformada de Zeta (dado queya existe la Transformada de Fourier).

2. Explique que es (que representa, que significa) la region de convergencia de la Transformadade Laplace y/o la Transformada de Zeta.

3. Explique porque a veces se define y usa la Transformada de Laplace Unilatera y/o laTransformada de Zeta Unilatera.

4. Dada una senal x(t) y x[n], la correspondiente Transformada de Laplace X(s) (Bilatera oUnilatera) y la correspondiente Transformada de Zeta X(z) (Bilatera o Unilatera) estanunivocamente definidas?

5. Dada la Transformada de Laplace Bilatera X(s) y/o la Transformada de Zeta Bilatera X(z),sin ninguna informacion adicional, las senales x(t) y/o x[n] que generan estas transformadasde Laplace/Zeta Bilatera son univocamente definidas? es decir, hay solo una o existen variasposibles senales en el tiempo que transformadas dan la misma Transformada de Laplace/ZetaBilatera?

6. Dada la Transformada de Laplace Unilatera X(s) y/o la Transformada de Zeta UnilateraX(z), sin ninguna informacion adicional, las senales x(t) y/o x[n] que generan estastransformadas de Laplace/Zeta Unilatera son univocamente definidas? es decir, hay solo unao existen varias posibles senales en el tiempo que transformadas dan la misma Transformadade Laplace/Zeta Unilatera?

7. Considere la senal x(t) = sin(t)u(t); existe su Transformada de Laplace? para que valoresde σ habra convergencia? (s = σ + jω).

6

8. Para hallar la region de convergencia de la Transf. de Laplace/Zeta que es relevante conocerlos polos o los ceros?

9. Para estudiar la estabilidad de un sistema LTI que es relevante conocer los polos o los cerosde la Transf. de Laplace/Zeta H(s) (o H(z))?

10. Dada la Transf. de Laplace X(s) con ROC σ > −2? existe la Transf. de Fourier? siexiste, como puede obtenerla?

11. Dada la Transf. de Laplace X(s) con ROC σ < −2? existe la Transf. de Fourier? siexiste, como puede obtenerla?

12. Dada la Transf. de Laplace X(s) = s−1s+2

con ROC σ > −2? existe la Transf. de Fourier?si existe, como puede obtenerla?

13. Dada la Transf. de Laplace X(s) = s−1s+2

con ROC σ < −2? existe la Transf. de Fourier?si existe, como puede obtenerla?

14. Dada la Transf. Zeta X(z) con ROC r > 0.5? existe la Transf. de Fourier? si existe,como puede obtenerla?

15. Dada la Transf. Zeta X(z) con ROC r < 0.5? existe la Transf. de Fourier? si existe,como puede obtenerla?

16. Dada la Transf. Zeta X(z) = z−1z+2

con ROC r > 2? existe la Transf. de Fourier? si existe,como puede obtenerla?

17. Dada la Transf. Zeta X(z) = s−1s+2

con ROC r < 2? existe la Transf. de Fourier? si existe,como puede obtenerla?

18. Existe la Transformada de Laplace de cos(w0t) o sin(w0t)? (es decir, la ROC esta vacia ono?)

19. Existe la Transformada de Laplace de cos(w0t)u(t) o sin(w0t)u(t)? (es decir, la ROC estavacia o no?)

7 Filtros tiempo discreto

1. Describa los filtros ARMA, AR, MA en el tiempo y en el dominio transformado Zeta (digatodos los nombres alternativos).

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8<latexit sha1_base64="rwfcaE3m+NUdXqwUDJLjn0vlOPg=">AAAChXicbZFdT8IwFIa7+QHOr6mX3jQSE24k20DAK0m88RIT+UhgIV3poLHdlrYzkoV/4q/yzn9jgZko4yRN37znOTntOUHCqFSO822Ye/sHh6XykXV8cnp2bl9c9mWcCkx6OGaxGAZIEkYj0lNUMTJMBEE8YGQQvD2t8oN3IiSNo1e1SIjP0SyiIcVIaWtifzpwzIP4I4PL3xu6RcuzCla9SDVgEbsvYs0dWKuIteHErjg1Zx2wKNxcVEAe3Yn9NZ7GOOUkUpghKUeukyg/Q0JRzMjSGqeSJAi/oRkZaRkhTqSfrae4hLfamcIwFvpECq7dvxUZ4lIueKBJjtRcbudW5q7cKFVh289olKSKRHjTKEwZVDFcrQROqSBYsYUWCAuq3wrxHAmElV6cpYfgbn+5KPpeza3XvJdGpfOQj6MMrsENqAIXtEAHPIMu6AFsmEbVcA3PLJl3ZsNsblDTyGuuwL8wH38AhTrAWQ==</latexit>

k<latexit sha1_base64="Mxe4+r6DsTieeknvzCkQIoKq8oQ=">AAACoHicbZFba8IwFMfT7ua6W7c9jkFQhD1Jq266N8EXHzamMC9Mi6QxajC9kKRjUvxc+x5727dZ1A422wMhf37nfzjJOW7IqJCW9a3pe/sHh0e5Y+Pk9Oz8wry86okg4ph0ccACPnCRIIz6pCupZGQQcoI8l5G+u2iu8/13wgUN/Fe5DInjoZlPpxQjqdDY/FwYRQuOPDf4iOHq94Z2GpWNYopV0rYqzPDdp30PWb5aNkyhOhybBatkbQKmhZ2IAkiiPTa/RpMARx7xJWZIiKFthdKJEZcUM7IyRpEgIcILNCNDJX3kEeHEmwGvYFGRCZwGXB1fwg39WxEjT4il5yqnh+Rc7ObWMCs3jOS07sTUDyNJfLxtNI0YlAFcbwtOKCdYsqUSCHOq3grxHHGEpdqpoYZg7345LXrlkl0plTvVQuMxGUcO3IA8uAM2qIEGaIE26AKs3WpN7Ul71vN6S3/RO1urriU11+Bf6G8/VobJag==</latexit>

|Nak|<latexit sha1_base64="Y2+F3F8aVCGZwBGSltDBWEGktZ8=">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</latexit>

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7<latexit sha1_base64="iOicTIsNp7v5lGxfrDzwQOFhsqY=">AAACmnicbZFbS8MwFMfTepv1VvXBB30IjoFPo92mmw/CUPCCLxN2g62MNEu3sPRCkoqj7EP5VXzz25htFXTdgZA/v/M/nOQcN2JUSMv61vSNza3tndyusbd/cHhkHp+0RRhzTFo4ZCHvukgQRgPSklQy0o04Qb7LSMedPMzznXfCBQ2DppxGxPHRKKAexUgqNDA/Ldj33fAjgbPfG9pZVDIyqJx1VWDWdp213ayxVaFRWAMzqAYHZt4qWouAWWGnIg/SaAzMr/4wxLFPAokZEqJnW5F0EsQlxYzMjH4sSITwBI1IT8kA+UQ4yWK0M1hQZAi9kKsTSLigfysS5Asx9V3l9JEci9XcHK7L9WLp1ZyEBlEsSYCXjbyYQRnC+Z7gkHKCJZsqgTCn6q0QjxFHWKptGmoI9uqXs6JdKtrlYumtkq/fpuPIgXNwCa6ADaqgDp5BA7QA1s60O+1Re9Iv9Hv9RX9dWnUtrTkF/0Jv/gD0A8gl</latexit>

k<latexit sha1_base64="Mxe4+r6DsTieeknvzCkQIoKq8oQ=">AAACoHicbZFba8IwFMfT7ua6W7c9jkFQhD1Jq266N8EXHzamMC9Mi6QxajC9kKRjUvxc+x5727dZ1A422wMhf37nfzjJOW7IqJCW9a3pe/sHh0e5Y+Pk9Oz8wry86okg4ph0ccACPnCRIIz6pCupZGQQcoI8l5G+u2iu8/13wgUN/Fe5DInjoZlPpxQjqdDY/FwYRQuOPDf4iOHq94Z2GpWNYopV0rYqzPDdp30PWb5aNkyhOhybBatkbQKmhZ2IAkiiPTa/RpMARx7xJWZIiKFthdKJEZcUM7IyRpEgIcILNCNDJX3kEeHEmwGvYFGRCZwGXB1fwg39WxEjT4il5yqnh+Rc7ObWMCs3jOS07sTUDyNJfLxtNI0YlAFcbwtOKCdYsqUSCHOq3grxHHGEpdqpoYZg7345LXrlkl0plTvVQuMxGUcO3IA8uAM2qIEGaIE26AKs3WpN7Ul71vN6S3/RO1urriU11+Bf6G8/VobJag==</latexit>

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(b)

8 FFT y DFT en Matlab

1. Considere dos senales en tiempo discreto x[n] de longitud N = 7 y N = 8. El modulo de lasalida de la DFT (aproximada con la FFT en Matlab) de cada senal, es dado en las figurasabajo.Interprete esta salida en el dominio de Ω y ω, sabiendo que las senales han sido obtenidasmuestreando unas senales continuas con periodo de muestreo T = 0.1. (la longitud N de lassenales podra no ser dada en el texto, por que?)

La SOLUCION esta en la otra pagina.

8

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