Tratamiento Digital de la Senal˜ -...

LABORATORIO de TDS PRACTICA

Tratamiento Digital de la Senal

Tratamiento de Imagenes:Introducci on al Tratamiento Morfol ogico

Enero 2009

1. Parte 1: Resumen de Teorıa

1.1. Imagen (digital)

1.1.1. Concepto y tipos

Una imagenI es una funcionD −→ L. El dominio de las imagenes 2D (bidimensionales) esD ⊂ Z2, y

en el caso de las imagenes 3D (tridimensionales) esD ⊂ Z3. Se dice que el dominio de una imagen digital

se compone depıxels(en imagenes 2D) ovoxels(en imagenes 3D).

Nota: en la discretizacion de una senal continua, se debe recordar que el muestreo debe ser el adecua-

do para evitar elaliasing.

Se mencionan seguidamente algunos tipos de imagenes bidimensionales, en las cuales el dominioD ⊂ Z2

y cada pıxel tiene asociadas dos coordenadas.

Imagen binaria

El conjunto imagenL es0, 1 (o tambien0, 255), es decir, el valor asociado a un pıxel es 0 o 1.

El concepto de imagen binaria es equivalente (isomorfo) al de conjunto. Una imagen binaria serıa una

funcion de pertenencia del conjunto asociado.

Imagen en niveles de gris

El conjunto imagenL es un subconjunto del conjunto de los numero enteros (L ⊂ Z). Normalmente

se utilizan valores de 8 bits de profundidad, por lo queL suele ser0, 1, ..., 255).

Imagen multibanda

c©2009 Tratamiento Digital de Senales (Facultad Informatica, UPM). 1.1


En este casoL es un producto cartesiano de conjuntos de valores. Cada pıxel tiene asociado una tupla

de valores. Ejemplos de este tipo de imagenes son las imagenes a color y las imagenes multiespectra-

les de satelite.

Por ejemplo, en el caso de imagenes a color con profundidad de 8-bits,L es igual a0, 1, ..., 255 ×

0, 1, ..., 255 × 0, 1, ..., 255.

Otros tipos de imagenes:

Imagen 3D (en niveles de gris)

Las imagenes 3D o volumetricas tienen un dominio volumetrico, es decir, el dominio (D ⊂ Z3) se

compone de elementos volumetricos (voxels) con tres coordenadas.

Ejemplos: imagenes medicas de TC (Tomografıa Computerizada), de RM (Resonancia Magnetica),

de PET (“positron emission tomography”), de SPECT (“SinglePhoton Emission Computed Tomo-

graphy”).

Imagen vıdeo

Es una imagen 2D que varıa en el tiempo (el cual se puede considerar como una tercera dimension).

Imagen temporal volumetrica (vıdeo de senal 3D)

Es una imagen 3D (volumetrica) que varıa en el tiempo.

Ejemplo: imagen medica tridimensional temporal del corazon.

Nos centraremos en las imagenes binarias (o, equivalentemente, conjuntos) y en las imagenes con niveles

de gris.

1.1.2. Conectividad

Se debera definir en una imagen una conectividad, la cual tendra asociada el concepto de vecindario. Existen

dos conectividades usuales:

Conectividad-8: en la cual un pıxel(i, j) tiene 8 vecinos:(i−1, j−1), (i−1, j), (i−1, j+1), (i, j−

1), i, j), (i, j + 1), (i+ 1, j − 1), (i+ 1, j), (i+ 1, j + 1).

Conectividad-4: en la cual un pıxel(i, j) tiene 4 vecinos:(i− 1, j), (i, j − 1), (i, j + 1), (i+ 1, j).



× ×

(a) Vecindario conectividad-8 (b) Vecindario conectividad-4

1.2. Fundamentos matematicos generales

El tratamiento morfologico es, en sus fundamentos, diferente del tratamiento lineal de la senal/imagen.

En gran parte de situaciones, la problematica que presentan las imagenes es muy diferente de la asociada a

otro tipo de senales como son las senales voz. Concretamente, se pueden observar grandes diferencias en lo

que respecta a:

El principio de superposicion

La interpretacion frecuencial de los filtros lineales

Al contrario de lo que ocurre, en las senales voz, en las imagenes en general no sucede la superposicion

(lineal, con adicion) de senales, ni la localizacion frecuencial de la informacion es buena.

Estas diferencias conllevan a que, cuando el enfasis sea eltratar or procesarformas, el tratamiento lineal

presenta limitaciones. El denominado tratamiento morfol´ogico constituye una alternativa adecuada en el

tratamiento de las formas de las estructuras de una imagen. Aplica un enfoque conjuntista que permite

considerar las formas de manera satisfactoria.

(a) Imagen de entradaI (b) Ej. de filtrado lineal (filtro paso bajo)



(c) Ej. de filtrado morfologico (c) Ej. de filtrado morfologico 2

La estructura matematica subyacente del tratamiento morfologico, elretıculo, posee:

Unarelacion de orden≤

Propiedades:

• a ≤ a (propiedad reflexiva).

• Si a ≤ b y b ≤ a, entoncesa = b (propiedad antisimetrica).

• Si a ≤ b y b ≤ c, entoncesa ≤ c (propiedad transitiva).

Nota: una relacion de orden puede sertotal o parcial.

Dos operaciones basicas:

• Sup (o supremo)∨

El sup∨

de dos elementosa y b de un retıculoL calcula el menor elemento deL que es mayor

que ambosa y b.

• Inf (o ınfimo)∧

El inf∧

de dos elementosa y b de un retıculoL calcula el mayor elemento deL que es menor

que ambosa y b.

Veremos que estas operaciones sup e inf se traducen en simples operaciones en los casos con los que

trabajaremos.



1.3. Caso conjuntista o de imagenes binarias

Los conjuntos en un espacioE son elementos del conjunto potenciaP(E), el cual es el conjunto de todos

los subconjuntos deE1.

Relacion de orden≤: es la relacion de inclusion de conjuntos⊆.

Operacion sup∨

: es la operacion union⋃

de conjuntos.

A∨

B = A⋃

B

Operacion inf∧

: es la operacion interseccion⋂

de conjuntos.

A∧

B = A⋂

B

Los conjuntos y las imagenes (funciones) binarias son conceptos equivalentes (isomorfos). Una imagen

binaria se puede considerar como la funcion de pertenenciade un conjunto 2D.

1.4. Caso de imagenes en niveles de gris

Las imagenes en niveles de grisf : E −→ L, dondeL es un subconjunto del conjunto de enterosZ (como,

por ejemplo, el rango0, 1, ..., 255), tambien tienen asociada una estructura de retıculo.

Relacion de orden≤:

La relacion de orden se deriva de la relacion que existe enZ:

f ≤ g ⇐⇒ f(x) ≤Z g(x), ∀x ∈ E.

Operacion sup∨

:

(f∨

g)(x) = f(x)∨

Zg(x) = max

Z(f(x), g(x))

1I.e.,P(E) = A : A ⊆ E.



Operacion inf∧

:

(f∧

g)(x) = f(x)∧

Zg(x) = mın

Z(f(x), g(x))

x

f(x) g(x)

(a) Funcionesf(x) y g(x)

x

f(x)∨

g(x)

x

f(x)∧

g(x)

(b) f(x)∨

g(x) (c) f(x)∧

g(x)

1.5. Propiedades y definiciones

Una transformacionψ definida en un retıculoL escrecientesi satisface que, para todo para, b de

elementos deL:

a ≤ b⇒ ψ(a) ≤ ψ(b), (1)

es decir, si las entradas estan ordenadas, entonces las salidas respectivas estan tambien ordenadas.

Si ψ es un operador creciente, entonces tenemos las siguientes desigualdades:

ψ(I∨

I ′) ≥ ψ(I)∨

ψ(I ′). (2)

ψ(I∧

I ′) ≤ ψ(I)∧

ψ(I ′). (3)



siψ y ψ′ son operadores crecientes, entonces

ψ∨

ψ′, ψ∧

ψ′, andψψ′

son todos operadores crecientes. Es decir,todas las composiciones que nos ocupan de operadores

crecientes son crecientes.

Si I es una imagen de entrada, un operadorΨ esextensivosi y solo si

I ≤ Ψ(I), (4)

es decir, si la salida es siempre mayor or igual que la entrada.

Un operadorΨ esanti-extensivosi y solo si

Ψ(I) ≤ I, (5)

es decir, si la salida es siempre menor o igual que la entrada.

Un operadorΨ esidempotentesi y solo si

Ψ(I) = ΨΨ(I), (6)

es decir, si cuandoΨ se aplica secuencialmente dos veces, deja la primera salidasin cambios.

Dos operadoresΨ y Ω sonduales(entre sı) si

Ψ = ∁ Ω ∁. (7)

Claramente, tenemos tambien queΩ = ∁ Ψ ∁.

El operadorcomplemento∁ calcula el complemento de una entrada. Dado un conjunto de entradaA

en un espacioE, ∁(A) = E \ A, donde “\” denota la resta de conjuntos.

En el caso de imagenesI : D −→ L en niveles de gris, se puede definir una operacion relacionada de

inversion de imagenes que invierte los valores de intensidad con respecto al punto medio del rango

de valores de intensidad. Por ejemplo, para imagenes de 8 bits, dicha operacion convertirıa un valor

de 0 en 255, un valor de 1 en 254, etc.



2. Elementos estructurantes

Un elemento estructurante (“structuring element”) es una forma (conjunto) auxiliar que emplean diversos

operadores. Dicho conjunto auxiliar suele ser de tamano bastante menor que el conjunto de entrada. Se

puede relacionar con el soporte de las “ventanas” de procesado comunmente empleadas en el tratamiento

lineal. (Nota: existe otro tipo de elementos estructurantes denominadosvolumetricosque no son conjuntos,

sino funciones, pero se emplean poco frecuentemente.)

Dado un elemento estructuranteB, su transpuesto, simbolizado porB, es la inversion deB, respecto al

conjunto de coordenadas(0, 0): si (x, y) denota un punto (o pıxel) que pertenece aB, entoncesB es el

conjunto de puntos (o pıxels) tal que

B = (−x,−y) | (x, y) ∈ B .

3. Erosiones y dilataciones

Las erosiones (“erosions”) y dilataciones (“dilations”) son los operadores morfologicos mas basicos.

3.1. Conceptos generales

De manera general y algebraica (aunque no es una definicion operacional), se puede decir que las erosiones

y dilataciones surgen como los operadores que conmutan con las operaciones de retıculo sup e inf:

Las dilatacionesδ son operadores crecientes que satisfacen:

δ(I∨

I ′) = δ(I)∨

δ(I ′). (8)

Respectivamente, las erosionesε son operadores crecientes que satisfacen:

ε(I∧

I ′) = ε(I)∧

ε(I ′). (9)

Un tipo de erosiones y dilataciones muy util e importante esel de aquellas que emplean elementos estruc-

turantes para transformar una imagen de entrada.

En lo que sigue primero se abordaran las operaciones en el marco conjuntista, el cual es mas intuitivo para

observar el efecto de las operaciones en las formas, y posteriormente se trataran las expresiones asociadas

a las imagenes.



3.2. ErosionesεB y dilatacionesδB con elemento estructurante

Si A denota un conjunto de entrada yB simboliza en elemento estructurante, laerosion con elemento

estructurante εB(A) obtiene la posicion de los puntosx tales queBx (el elemento estructurante transladado

ax) esta completamente incluido dentro del conjunto de entradaA:

εB(A) = x |Bx ⊆ A (10)

dondeBx simboliza el elemento estructuranteB transladado al punto (o pıxel)x Nota:εB(A) 6= εA(B).

SiA es un conjunto de entrada, ladilatacion con elemento estructuranteδB obtiene el lugar de los puntos

x tales queBx (el elemento estructurante transladado ax) tiene una interseccion no vacıa (es decir “toca”)

el conjunto de entradaA.

δB(A) = x |Bx ∩ A 6= ∅ (11)

Nota: las dilataciones y erosiones con elemento estructurante tienen su origen en las denominadas opera-

ciones de Minkowski (la suma y resta de conjuntos de Minkowski).



B A

(a) Conjunto de entradaA y elemento estructuranteB (en oscuro).

εB(A)

(b) εB(A)



B A

(a) Conjunto de entradaA y elemento estructuranteB (en oscuro).

δB(A)

(b) δB(A)



Algunas propiedades deεB y δB:

La dilatacionδB es conmutativa, es decir, siA denota un conjunto de entrada, entoncesδB(A) =

δA(B).

Si el elemento estructuranteB contiene el origen de coordenadas, entoncesδB es extensiva, es decir,

δB(I) ≥ I, para toda imagenI. En otro caso, las dilatacionesδB no son en general extensivas, aunque

es siempre cierto que una translacion de la entrada es menorque o igual a la salidaδB(I).

La dilatacion con elemento estructurante es asociativa, es decir, siB es el resultado deδC(D) (o

δD(C)), entoncesδB(I)) = δC(δD(I)) = δD(δC(I)).

Nota: por ejemplo, el elemento estructuranteB

×

B

se puede expresar como una dilatacion de los elementos estructurantes siguientesC andD (B es

igual aδC(D), o aδD(C)):

×

×

C D

Si el centro de coordenadas pertenece al elemento estructuranteB, entoncesεB es anti-extensiva,

es decir,εB(I) ≤ I, para toda imagenI. Si el origen de coordenadas no pertenece al elemento

estructuranteB, entonces las erosiones no son anti-extensivas; no obstante, es siempre cierto que

εB(I) es menor que o igual a una translacion de la entrada.



La erosion con elemento estructurante es asociativa, es decir, siB es el resultado deδC(D) (o δD(C)),

entoncesεB(I)) = εC(εD(I)) = εD(εC(I)).

Otras expresiones para las dilataciones y erosiones con elemento estructurante son las siguientes:

Erosiones:

εB(A) =⋂

b∈B

A−b =∧

b∈B

A−b (12)

εB(I) =∧

b∈B

I−b (13)

(εB(I))(x) = mınb∈B

I(x+ b) (14)

Dilataciones:

δB(A) =⋃

b∈B

A−b =∨

b∈B

A−b (15)

δB(I) =∨

b∈B

I−b (16)

(δB(I))(x) = maxb∈B

I(x+ b) (17)

Las expresiones (14) y (17) son las expresiones que se suelenemplear en la practica para calcular las dila-

taciones y erosiones con elemento estructurante, tanto en el caso de imagenes binarias como de imagenes

en niveles de gris.

Ası, por ejemplo, en el caso de que el elemento estructuranteB sea un cuadrado de tamano3 × 3,

×

B: cuadrado3 × 3



el resultado de la erosionεB para un determinado pıxel(i, j) es (empleando una notacion con dos coorde-

nadas):2

(εB(I))(i, j) = mın

I(i− 1, j − 1), I(i− 1, j), I(i− 1, j + 1),

I(i, j − 1), I(i, j), I(i, j + 1),

I(i+ 1, j − 1), I(i+ 1, j), I(i+ 1, j + 1)

Analogamente, para la dilatacionδB:

(δB(I))(i, j) = max

I(i− 1, j − 1), I(i− 1, j), I(i− 1, j + 1),

I(i, j − 1), I(i, j), I(i, j + 1),

I(i+ 1, j − 1), I(i+ 1, j), I(i+ 1, j + 1)

4. Aperturas y cierres

4.1. Conceptos generales

Un filtro morfol ogicoes una transformacion creciente e idempotente. (Nota: se debe observar que el signi-

ficado de la palabra filtro es diferente del que tiene en el tratamiento lineal, en el que significa en la practica

cualquier transformacion.)

Las transformaciones de la seccion anterior, las erosiones y las dilataciones, no son idempotentes (y, por

lo tanto, no son filtros morfologicos). Veremos seguidamente otras transformaciones mas complejas que

poseen la propiedad de la idempotencia.

Una apertura (“opening”)γ es un filtro morfologico anti-extensivo.

Un cierre (“closing”)ϕ es un filtro morfologico extensivo.

Como ocurrıa en el caso de las erosiones y las dilataciones,un tipo importante de aperturas y cierres son

las aperturas y cierres que utilizan un elemento estructurante.

4.2. Aperturas y cierres con elemento estructurante

Unaapertura con elemento estructuranteB de un conjunto de entradaA, simbolizada porγB(A), es el

conjunto de puntosx que pertenecen a un transladado deB que esta incluido por completo en el conjunto

de entradaA.2Nota: naturalmente, se debera tener en cuenta que no se sobrepasen los lımites de la imagen.



Se calcula mediante la composicion secuencial de una erosion y una dilatacion con elemento estructurante:

γB = δBεB,

El cierre con elemento estructuranteϕB se puede definir aplicando la dualidad con el opening: el cierre

con elemento estructurante de un conjunto de entradaA, simbolizado porϕB(A) es el complemento de los

puntos que pertenecen a un transladado deB que esta incluido en el complemento deA (∁(A)). En otras

palabras,ϕB(A) es el complemento de la aperturaγB de∁(A). Se calcula como:

ϕB = εBδB,

Los efectos de estos filtros son (expresados en el marco binario):

La aperturaγB elimina las estructuras brillantes menores que el elementoestructuranteB. Ası, eli-

minara componentes conexos menores queB.

El cierreϕB rellenara las estructuras oscuras menores que el elementoestructuranteB. Por lo tanto,

rellenara “agujeros” del conjunto de entrada menores queB.

Algunos ejemplos

Aplicando directamente la definicion de inclusion:

(a) EntradaA (en oscuro)

×

(b) B (c) γB(A)



×

(d) B (e)γB(A)

×

(f) B (g) γB(A)

Aplicando las operaciones elementales erosion y dilatacion:

(a) EntradaA (en oscuro)

×

(b) B (c) εB(A) (d) γB(A) = δB

εB(A)



×

(e)B (f) εB(A) (g) γB(A) = δB

εB(A)

5. Otros tipos de filtros

Generalmente, los efectos de la apertura y del cierre se suelen combinar aplicando ambos secuencialmente,

uno despues del otro. Son los denominadosfiltros alternados:

ϕγ

γϕ

Los filtros alternadosϕγ y γϕ son idempotentes, es decir, sonfiltros morfologicos.

No existe una relacion de orden entreϕγ y γϕ, ni con la entrada:

ϕγ 6≤ γϕ 6≤ ϕγ

id 6≤ ϕγ 6≤ id

id 6≤ γϕ 6≤ id

6. Gradiente y transformacion “Top-Hat”

Gradiente morfologico

El operador gradiente morfologico es una aproximacion almodulo de la derivada de la imagen. Es

una medida del cambio de la funcion.

δB(I) − εB(I) (18)

(Nota: el sımbolo “-” denota la sustraccion entera pıxela pıxel.) El gradiente de la expresion (18) se

suele denominar gradiente de Beucher.



En imagenes binarias, el gradiente morfologico extrae elcontorno de las formas, concretamente el

contornointernoy el externo. Si se desea extraer solo el contorno interno de una imagen binaria, se

calculaI − εB(I), y si solo el externo,δB(I) − I.

(Nota: el gradiente morfologico es un ejemplo de operacion de residuo.)

Transformaciones “Top-hat”

Las transformaciones “top-hat” se utilizan para extraer estructuras de interes. Son transformaciones

atractivas para ello porque, entre otras razones, frecuentemente es mas sencillo eliminar con un fil-

tro las estructuras de interes, o parte de ellas, que eliminar las partes no relevantes de una imagen.

Asimismo, son trasnformaciones bastante robustas a cambios de iluminacion.

Segun se este interesado en estructuras claras, oscuras,o en ambas, hay tres tipos de transformaciones:

• “White top-hat” (o top-hat para estructuras claras)

I − γ(I)

• “Black top-hat” (o top-hat para estructuras oscuras)

ϕ(I) − I

• “Top-hat” simetrico (o top-hat para estructuras claras y oscuras)

ϕ(I) − γ(I)

El procedimiento es calcular primeramente un “top-hat” y posteriormente aplicar un umbral para

obtener una imagen binaria quemarque(o senale) las estructuras de interes.

7. Granulometrıas y anti-granulometrıas

7.1. Definiciones

Axiomas de las granulometrıas o distribuciones de tamano:

Propiedad de ser creciente



Anti-extensividad

Absorcion:

Si Ψi, Ψj son dos transformaciones de una distribucion de tamano, dondei ≤ j, entonces

ΨiΨj = ΨjΨi = Ψmax(i,j) = Ψj . (19)

Una familia de aperturasγi, dondei ∈ S = 1, ..., n, es una granulometrıa si, para todoi, j ∈ S,

i ≤ j ⇒ γi ≥ γJ . (20)

Es decir, las aperturas estan ordenadas entre sı.

El concepto dual es el de anti-granulometrıa. Una familia de cierresϕi, dondei ∈ S = 1, ..., n, es un

anti-granulometrıa si, para todosi, j ∈ S,

i ≤ j ⇒ ϕi ≤ ϕJ . (21)

Es decir, los cierres estan ordenados entre sı.

Frecuentemente, con la denominacion granulometrıa se engloba en la practica la utilizacion de aperturas

y cierres (es decir, tanto una parte de granulometrıa como otra de anti-granulometrıa). Por ejemplo, una

granulometrıa de ındices[−3, 3] utilizarıa los filtros:γ−3, γ−2, γ−1, id, ϕ1, ϕ2, ϕ3. El sımbolo id denota el

operador identidad que no modifica la entrada.

7.2. Granulometrıas y anti-granulometrıas con elemento estructurante

Las granulometrıas y anti-granulometrıas con elemento estructurante utilizan familias de elementos es-

tructurantes que garantizan la relacion de orden entre lasaperturas y los cierres. La siguiente familia de

elementos estructurantes cuadrados serıa adecuada, y emplea la convencion de tamanos usual de que el

ındicei se traduce en un cuadrado de tamano2i+ 1 (o, en el caso de los cırculos, en un cırculo de radioi).

××

××

(a) i = 0 (b) i = 1 (c) i = 2 (d) i = 3



Se debe cumplir la condicion siguiente:

γ(i−1)B(iB) = iB, for i ≥ 1. (22)

7.3. Curva granulometrica

Generalmente, se aplica un criterio o medida a la salida de los filtros de la granulometrıa y/o antigranulo-

metrıa y se construye con los resultados una denominadacurva granulometrica que, en ocasiones y segun

la eleccion del elemento estructurante, sirve para describir y analizar las formas de las estructuras presentes.

Dicho criterio o medida debe ser creciente, lo cual implica que la curva sera monotona creciente (six ≤ y,

entoncesf(x) ≤ f(y)) si la parte de las aperturas se asocia a ındices negativos,como es normalmente el

caso. Las siguientes figuras muestran dos casos, uno binarioy otro en niveles de gris. Se puede observar

que las curvas granulometricas son crecientes de izquierda a derecha.

Frecuentemente, tambien se calcula la derivada de la curvagranulometrica para reflejar mejor los cambios.



(a) EntradaA (en blanco)

(b) γ4(A) (c) γ6(A) (d) γ8(A)

(e) Curva granulometrica (rango:[−15, 15])

Figura 1: Granulometrıa: ejemplo de imagen binaria.



(a) Input imageI

(b) γ4(I) (c) γ6(I) (d) γ8(I)

(e) Curva granulometrica (rango:[−15, 15])

Figura 2: Granulometrıa: ejemplo de imagen no binaria.



8. Transformacion “Hit-or-miss”

La transformacion “Hit-or-miss” (que se podrıa traducirpor transformacionTodo-o-nada) es un operador

que emplea un elemento estructurante compuesto, es decir, que utiliza dos elementos estructurantesB y C.

HMT(B,C) de un conjunto de entradaA calcula el conjunto de puntosx tales que los elementos estructuran-

tes transladadosBx y Cx estan incluidos en, respectivamente,A y ∁(A):

HMT(B,C)(A) = x | Bx ⊆ A,Cx ⊆ ∁(A)

Se debe observar queB y C deben ser disjuntos (en otro caso, la salida serıa vacıa).

Tenemos que:

HMT(B,C)(A) = εB(A)⋂

εC(∁(A))

Por ejemplo, el elemento estructurante compuesto siguiente extraerıa los puntos extremos verticales supe-

riores:

×

B (en oscuro) yC (en claro)

El siguiente elemento estructurante compuesto estraerıalos puntos de extremos verticales inferiores:

×

B′ (en oscuro) yC ′ (en claro)

Por lo tanto, podemos extraer puntos extremos verticales (superiores e inferiores) de un conjunto de entrada

A como: HMT(B,C)(A)⋃

HMT(B′,C′)(A).

(Nota: en los ejemplos anteriores, el centro pertenece al primer elemento estructurante. Sin embargo, el

centro podrıa pertenecer al segundo elemento estructurante en otros casos.)

Referencias

[Dougherty and Lotufo(2003)] E. Dougherty and R. Lotufo.Hands-on Morphological Image Processing.

SPIE Press, Bellingham, 2003. ISBN 0-8194-4720-X.



[Giardina and Dougherty(1988)] C. Giardina and E. Dougherty. Morphological Methods in Image and

Signal Processing. Prentice-Hall, Englewood Clliffs, 1988.

[Serra(1982)] J. Serra.Mathematical Morphology. Volume I. Academic Press, London, 1982.

[Serra(1988)] J. Serra, editor.Mathematical Morphology. Volume II: Theoretical Advances. Academic

Press, London, 1988.

[Soille(2003)] P. Soille.Morphological Image Analysis. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York,

2nd. edition, 2003. ISBN 3-540-42988-3.



9. Parte 2: Practica

Tratamiento de Imagenes: Introduccion al Tratamiento Morfol ogico

APELLIDOS: NOMBRE:

APELLIDOS: NOMBRE:

Fecha de entrega: hasta el 29 de enero

Ejercicio 1 Erosiones y Dilataciones

SeaI la imagen de entrada del ficherosquares01.pgm.

I

SeaB un elemento estructurante cuadrado de lado 3. ¿EsεB(I) ≤ I? ¿EsεB(I) < I?

SeaI la imagen de entrada del ficherosquares02.pgm.

I

SeaB un elemento estructurante cuadrado de lado 3. ¿EsδB(I) ≥ I? ¿EsδB(I) > I?

Ejercicio 2 Aperturas y elementos estructurantes

Considere la imagenI del ficherofig01 32.pgm. Si, conI como imagen de entrada, se desea ob-

tener con una aperturaγB el resultado mostrado en la imagen del ficherofig02 32.pgm, ¿que ele-

mento estructuranteB se deberıa utilizar?



I γB(I)

Considere la imagenI del ficherofig01 32.pgm. Si, conI como imagen de entrada, se desea ob-

tener con una aperturaγB el resultado mostrado en la imagen del ficherofig03 32.pgm, ¿que ele-

mento estructuranteB se deberıa utilizar? (Nota: si hubiera varios, se debera indicar el menor.)

I γB(I)

¿Existe algun elemento estructuranteB mayor de un pıxel tal queγB no modifica la imagen del

ficherofig04 32.pgm, y, en ese caso, cual serıa?

I γB(I)



Ejercicio 3 Eliminaci on de ruido

SeaI la imagen de entrada del ficheroisn 256.pgm, la cual tiene anadido ruido impulsivo binario (ruido

“salt-and-pepper”).

I

SeaB un elemento estructurante cuadrado de lado 3. Calcule:γB(I), ϕB(I), ϕBγB(I), γBϕB(I). Indique,

de entre los citados cuatro filtros, los dos mejores para eliminar el ruido deI.

Ejercicio 4 Transformadas “Hit-or-miss”

Sea la imagen de entradaI del ficherohm01 32.pgm:

I

Se desea emplear dos transformadas “hit-or-miss” para detectar, respectivamente, los puntos aislados (hay

3 pıxels en la figura) y el punto central de interseccion de la cruz (1 pıxel).

Disene los dos elementos estructurantes compuestos adecuados para las transformadas, compruebe los re-

sultados en Matlab, e indıquelos en el recuadro.

Ejercicio 5 Descomposicion de elementos estructurantes

Sean los elementos estrucurantes siguientes:



×

×

×

B C D

Se puede observar queB es el resultado deδC(D) (o δD(C)).

Empleando como entrada la imagen en niveles de griscam 74.pgm, compruebe queδB(I)) =

δC(δD(I)).

Indique el numero de operaciones “max” que se deben realizar para procesar una imagen cuadrada

de tamanoN × N en ambas alternativas (δB(I)) o δC(δD(I))). Suponga que los tamanos deB, C y

D son, respectivamente:M ×M , 1×M y M × 1. (Nota: no se deben considerar los posibles efectos

de los bordes, es decir, todos los pıxels de la imagen se deben tratar de la misma manera.)

PARTE OPCIONAL

Ejercicio 6 Composicion de aperturas

En el siguiente ejercicio se va a experimentar con composiciones de aperturas. Un resultado de la teorıa de

filtros morfologicos es que el sup de aperturas es a su vez unaapertura.

SeaI la imagen de entrada del ficheroopc01 32.pgm.

SeaB un elemento estructurante1 × 3 horizontal, yC un elemento estructurante3 × 1 vertical:

××

I B C



(1) Obtenga el resultado:I ′ = γB(I)∨

γC(I).

(2) Seguidamente, calcule:I ′′ = γB(I ′)∨

γC(I ′).

¿EsI ′ = I ′′? Asimismo, tras observar la salida, comente en dos o tres lıneas cual es el efecto de la operacion:

(γB

∨

γC)(I).

Ejercicio 7 Granulometr ıas

En este ejercicio se utilizara la imagen del ficherogran01 64.pgm como imagenI de entrada.

I

Calcule los volumenes (guardandolos en un vector) deγi(I), 0 ≤ i ≤ 5, dondeγi denota una apertura con

elemento estructurante cuadrado de lado2i+ 1. Se supone queγ0(I) esI.

Utilice plot para visualizar el vector de volumenes y dibuje la grafica resultante, indicando los volumenes

asociados calculados.

Ejercicio 8 Operadores crecientes

Un operador crecienteψ sobre conjuntos cumple, para todo par de conjuntosA,B, que siA ≤ B, entonces

ψ(A) ≤ ψ(B).



SeanC,D dos conjuntos. Si se sabe queψ(D) es∅ (conjunto vacıo) y queC ≤ D, ¿se puede saber cual es

el resultado deψ(C), y, en ese caso, cual serıa?

Apendice

Funciones auxiliares sencillas relacionadas con ordenaciones y las operaciones sup, inf y la inversion de

imagenes:

immareequal.m

immareequal (im1, im2): si im1 == im2.

immislessthan.m

immislessthan (im1, im2): si im1≤ im2.

immislessthanstrict.m

immislessthanstrict (im1, im2): si im1< im2.

immislargerthan.m

immislargerthan (im1, im2): si im1≥ im2.

immislargerthanstrict.m

immislargerthanstrict (im1, im2): si im1> im2.

imminf.m

imminf (im1, im2): im1∧

im2.

immsup.m

immsup (im1, im2): im1∨

im2.

immvolume.m

immvolume (im): volumen (suma acumulada de los valores de los pıxeles) de im.



Tambien se proporciona una funcion para visualizar una imagen realizando un “upsampling” previo:

immshowu (im, factor).

Algunas funciones de Matlab relacionadas con la practica:

imread: para leer imagenes.

imwrite: para escribir imagenes.

imshow: para visualizar imagenes.

imerode: erosion con elemento estructurante.

imdilate: dilatacion con elemento estructurante.

imopen: apertura con elemento estructurante.

imclose: cierre con elemento estructurante.

imcomplement: operacion complemento / inversion de imagen.

strel: para crear elementos estructurantes de diversos tipos.

• Cuadrado de lado 3:

st = strel(’square’,3)

• Disco de radio 1:

st = strel(’disk’,1)

• Forma diamante de radio 1:

st = strel(’diamond’,1)

• Lınea horizontal de longitud 3:

st = strel (’line’, 3, 0);

• Lınea vertical de longitud 3:

st = strel (’line’, 3, 90);

• Elemento arbitrario:

starray = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];

st = strel(’arbitrary’, starray);


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