TRILCE

201

Captulo

PROBABILIDADES17INTRODUCCIN

Consideremos la siguiente situacin:

Dos amigos estudiantes no estn seguros de cmo pasar la tarde, si divirtindose o estudiando. Finalmente, convienen endejar que una moneda decida la situacin. Si sale cara van al cine, si sale sello van a jugar ping pong; pero si la moneda salede canto, entonces estudiarn.Podemos aprender mucho de esta ancdota; el sentido comn, basndose en la experiencia pasada, nos dice que losamigos no van a estudiar.Es decir, por intuicin sabemos que la moneda nunca se quedar de canto sino que saldr sello o cara; tambin nosotrostenemos la seguridad de que son iguales las posibilidades de que salga cara o sello.El clculo de probabilidades se basa en las suposiciones que hacemos respecto a cuestiones como: Cul es la probabilidadde que la moneda se quede de canto? Cul es la probabilidad de que salga cara o sello?.Para hacer ms prctica la solucin de estas cuestiones, necesitamos asignar valores numricos a las probabilidades.Supongamos que llamamos P al valor numrico de la probabilidad de que salga cara; pero nosotros estamos seguros deque saldr cara o sello, entonces el valor de nuestra seguridad o certeza tendr el valor de 2P. Acostumbramos en general a

darle un valor fijo, convenientemente le daremos el valor 1, es decir 2P = 1; luego la probabilidad de que salga cara es

21P y la probabilidad de que salga sello es

21P y 1

21

21 Total de certeza.

Pierre Laplace, eminente matemtico francs de fines del siglo XVIII y principios del XIX, describi en una ocasin la teorade probabilidades como "El sentido comn de una persona, reducido al clculo".Las matemticas para la probabilidad han tenido notable xito hasta hoy en las ciencias, el comercio y, en general, se usanen muchos campos bases de nuestra civilizacin como la ingeniera, economa, contabilidad, estadstica, fsica, qumica, etc.y es tan antigua que se utilizaba en mltiples juegos que entretenan a la clase dominante en grandes culturas como Egipto,Grecia y Roma; incluso en la Biblia se cita que en la crucifixin de Cristo, sus ropas fueron sorteadas mediante juegos de azar.As pues, el juego es tan antiguo como el hombre y de seguro ya se hacan apuestas acerca de la posibilidad de ganar operder, en dichos juegos; este es el origen de la probabilidad.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD: Observa atentamente el siguiente diagrama:

Latn Probabilitas Verosimilitud

Calidad de probable fundada en razn prudente

La probabilidad de que ocurra un determinado suceso (A) se define como la relacin entre el nmero de casos favorablespara ese suceso y el nmero de casos posibles en total (C).

)C(

)A(]A[ N

N

totaleso posiblescasos #A parafavorables casos #P

Cardinal del conjunto A

Cardinal del conjunto C

Raz. Matemtico

202

Ejemplo:

Si se lanza un dado, el conjunto de casos posibles es C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} que corresponde a las 6 caras que puede presentarel dado al ser lanzado.Si deseamos un resultado o resultados predeterminados (a los que llamamos sucesos), al conjunto de todas las posibilida-des que favorezcan a este resultado lo llamaremos "conjunto de casos favorables".Por ejemplo, al lanzar el dado una sola vez, el conjunto de casos favorables al suceso "caen en 5 4" es A = {5 ; 4}

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1Encontremos la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado que se obtenga sea 3.

Solucin:

* El experimento es lanzar un dado al aire.* El conjunto de casos posibles es C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} N(C) = 6* El conjunto de casos favorables es A = {3} N(A) = 1* El suceso es: sale puntaje 3 que identificaremos con el conjunto A.

La probabilidad de que el dado muestre el puntaje 3 (Probabilidad de A) ser : 61

)C(N)A(NP )A(

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2Una caja tiene 100 focos, entre los cuales hay 10 fallados.Cul es la probabilidad de que al sacar una muestra de 3 focos, los 3 sean fallados?

Solucin:

* El experimento es sacar 3 focos de un recipiente con 100.* El conjunto de casos posibles es el conjunto de todos los grupos distintos de 3 focos, elegidos entre los 100.

(Tener en cuenta que 2 grupos sern distintos si difieren en por lo menos 1 foco), luego :C = {Combinaciones de orden 3, de 100 elementos}

1003C)C(N

* El conjunto de casos favorables es el conjunto de todos los grupos de 3 focos, todos fallados.Como hay 10 fallados, el conjunto de todos los grupos de 3 focos elegidos entre los 10, luego:A = {Combinaciones de orden 3, de 10 elementos}

103C)A(N

26952

!3)98)(99(100

!3)8)(9(10

C

C

)C(N)A(N)A(P

1003

103

PROPIEDADES FUNDAMENTALES:

Si P(A) es la probabilidad de que ocurra un suceso A, entonces:

1. 1)A(P0 .2. La probabilidad de que no ocurra A (Suceso contrario A') es : P(A') = 1 P(A).3. Si U es un suceso que siempre ser cierto lgicamente, entonces P(U) = 1 (Siempre ocurrir).4. Si es un suceso que nunca ocurrir (Lgicamente imposible), entonces 0)(P .

TRILCE

203

EJERCICIOS PROPUESTOS01.Cul es la probabilidad de que al lanzar 2 monedas en

simultneo, el resultado sea ...I. .... 2 caras?II. ... por lo menos una cara?

a) 41

; 43

b) 32

; 21

c) 21

; 43

d) 41

; 31

e) 41

; 41

02. Calcular la probabilidad de que al lanzar 3 monedasen simultneo el resultado sea:I. 2 caras y un sello.II. 3 resultados iguales.

a) 83

; 81

b) 87

; 43

c) 81

; 41

d) 83

; 41

e) 85

; 31

03. Indicar la probabilidad de que al lanzar un dado legal,el resultado sea:I. 6 puntos.II. Puntaje no mayor que 5.

a) 21

; 61

b) 61

; 32

c) 61

; 65

d) 65

; 65

e) 65

; 31

04. Cul es la probabilidad de que al lanzar 2 dados legalesel resultado sea ...I. ... puntaje mayor que 8?II. ... 6 7 puntos?

a) 185

; 361

b) 185

; 3611

c) 361

; 187

d) 181

; 365

e) 187

; 365

05. Calcular la probabilidad de que al extraer una carta deuna baraja (52 cartas, 13 de cada palo) esta sea:I. Corazn.II. 9 de trbol.

a) 521

; 521

b) 523

; 521

c) 261

; 529

d) 41

; 523

e) 41

; 521

06. Cul es la probabilidad de que al extraer una carta deuna baraja, el puntaje de sta sea ...I. ... mayor que 8?II. ... un nmero primo mayor que 2?

a) 132

; 521

b) 135

; 134

c) 135

; 135

d) 523

; 132

e) 132

; 525

07. Hallar la probabilidad de obtener un 1 al tirar una vezdos dados:

a) 361

b) 185

c) 3611

d) 1810

e) 181

08. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se sacauna bola, cul es la probabilidad de que sea negra?

a) 85

b) 41

c) 81

d) 83

e) 43

09. Si se lanza un dado, cul es la probabilidad de que nosalga 6?

a) 61

b) 64

c) 65

d) 31

e) 51

10. Se escribe al azar un nmero de dos cifras. Cul es laprobabilidad que dicho nmero sea mltiplo de 5?

a) 51

b) 52

c) 53

d) 95

e) 32

11. Al arrojar tres dados, cul es la probabilidad de obtenerun 3; un 4 y un 5?

a) 293

b) 121

c) 361

d) 721

e) 2156

Raz. Matemtico

204

12. Se lanza un dado, cul es la probabilidad de obtenerun puntaje mayor que 2?

a) 21

b) 31

c) 32

d) 65

e) 41

13. Al lanzar 3 monedas al aire, cul es la probabilidadde que los tres resultados sean iguales?

a) 21

b) 31

c) 41

d) 81

e) 101

14. Cul es la probabilidad de que en una familia de treshijos hayan dos nios y una nia?

a) 83

b) 161

c) 91

d) 181

e) 85

15. Se lanzan 2 dados legales. Determinar la probabilidadque el producto de los puntajes mostrados sea unmltiplo de 3.

a) 95

b) 94

c) 91

d) 367

e) 365

16. En una urna hay 25 bolas iguales, numeradas del 1 al25. Una persona extrae una bola al azar, cul es laprobabilidad de que la bola extrada tenga un nmeroque sea mltiplo de 5?

a) 51

b) 253

c) 254

d) 251

e) 52

17. Al efectuar el lanzamiento de dos dados en formasimultnea, determinar qu suma de puntos es msprobable de obtener.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

18. Se lanzan 2 monedas y un dado. Cul es laprobabilidad de que aparezcan dos caras y un nmeroimpar?

a) 0,500 b) 0,125 c) 0,250d) 0,600 e) 0,111

19. Se lanzan cuatro monedas en forma simultnea. Cules la probabilidad de obtener un sello y 3 caras?

a) 41

b) 163

c) 81

d) 83

e) 161

20. En una baraja de 52 naipes, cul es la probabilidadde obtener una carta de corazones con un valor menorque 7 o un valor mayor que 10?

a) 512

b) 529

c) 5210

d) 261

e) 269

21. Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado"cargado", el resultado sea un nmero primo?(Se carga el dado de tal manera que los nmeros parestienen el triple de posibilidades de presentarse que losnmeros impares)

a) 61

b) 65

c) 125

d) 32

e) 127

22. Cul es la probabilidad de que al extraer a la vez 2cartas de una baraja, stas sean ...I. ... ambas de diamantes?II. ... un trbol y un corazn?

a) 171

; 10213

b) 261

; 1025

c) 261

; 1691

d) 171

; 261

e) 172

; 1022

23. En una caja se dispone de 18 bolas numeradas del 1 al18, si se extraen dos bolas al azar:I. Cul es la probabilidad de obtener dos nmeros

primos?II. Cul es la probabilidad de obtener dos nmeros

impares?

a) 91

; 92

b) 512

; 514

c) 174

; 171

d) 517

; 174

e) 511

; 514

TRILCE

205

24. De una baraja se sacan al azar 2 naipes, cul es laprobabilidad de que los dos naipes sean ases?

a) 131

b) 522

c) 2211

d) 171

e) 511

25. Si se tiran ocho monedas, cul es la probabilidad deque una y solamente una presente cara?

a) 161

b) 181

c) 171

d) 321

e) 241

26. Un avin lanza una bomba sobre un terreno cuadrado,en el cual est inscrito un crculo, cul es laprobabilidad de que la bomba caiga dentro del crculo?

a) 2

b) 41

c) 4

d) 32

e) 21

27. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos un 1 altirar una vez dos dados.

a) 3611

b) 361

c) 61

d) 365

e) 31

28. Cul es la probabilidad de que al extraer dos cartas deuna baraja( 52 cartas, 13 de cada palo), stas sean unacorazn y la otra trbol?

a) 10213

b) 5113

c 41

d) 10013

e) 523

29. Se lanza en simultaneo una moneda y un dado legal,cul es la probabilidad de que el resultado sea unnmero no mayor que 4 en el dado, acompaado desello en la moneda?

a) 21

b) 31

c) 61

d) 32

e) 41

30. Jos, Erick, Bryan, Antonio, Csar, Rommel, Martha,Jessica y Juan se sientan alrededor de una mesa circular.Calcular la probabilidad de que Rommel y Jessica nose sienten juntos.

a) 43

b) 51

c) 85

d) 41

e) 21

31. Las letras de la palabra ARCOS se colocan al azar enuna lnea, cul es la probabilidad de que las 2 vocalesqueden juntas?

a) 32

b) 31

c) 61

d) 51

e) 52

32. Seis amigos harn cola para comprar pan, cul es laprobabilidad de que Stfano, que es uno de ellos, seasiempre el primero?

a) 61

b) 32

c) 31

d) 21

e) 65

33. En un baile de disfraces, se renen 10 matrimonios. Sise eligen 2 personas al azar, entonces la probabilidadde que las 2 personas sean marido y mujer es :

a) 101

b) 1001

c) 191

d) 2001

e) 501

34. Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30,cul es la probabilidad de que, al sacar al azar unabola, resulte par o mltiplo de 5?

a) 107

b) 101

c) 103

d) 307

e) 53

35. En un cierto depsito, se tienen 5 bolas azules, tresbolas blancas y dos bolas negras. Cul es laprobabilidad de que al extraer una bola al azar, stasea blanca o negra?

a) 51

b) 103

c) 52

d) 101

e) 21

36. Cul es la probabilidad de que, al sentarse 6 amigasen hilera, Carla; Jssica y Graciela estn siempre juntas?

a) 52

b) 54

c) 61

d) 51

e) 53

Raz. Matemtico

206

37. En una bolsa se tienen 4 bolas rojas y 6 bolas azules.Se extrae al azar 3 bolas, una por una.Cul es la probabilidad de que la tercera bola searoja?

a) 31

b) 41

c) 61

d) 43

e) 52

38. De una baraja de naipes, se extraen al azar 3 cartas,cul es la probabilidad de que las tres cartas sean delmismo palo?

a) 172

b) 1711

c) 2511

d) 252

e) 251722

39. En una reunin se encuentran presentes 30 hombres y20 mujeres. Si se eligen a 2 personas al azar, cul es laprobabilidad de que las personas elegidas sean varny mujer?

a) 4925

b) 502

c) 4924

d) 4912

e) 5011

40. Nueve personas se sientan al azar en crculo. Cul esla probabilidad de que dos personas en particularqueden contiguas?

a) 41

b) 81

c) !816

d) !813

e) 8115

41. Una bolsa contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Sisacamos 4 bolas sucesivamente y no son devueltas a labolsa, cul es la probabilidad de que stas seanalternadamente de diferentes colores?

a) 41

b) 61

c) 71

d) 81

e) 51

42. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas, 4 negras y2 rojas; se sacan 6 bolas al azar. Calcular la probabilidadde que 3 sean blancas, 2 negras y 1 roja.

a) 1320

b) 231100

c) 1315

d) 19910

e) 7720

43. Un grupo de estudio est conformado por 11 nios y 7nias. Si se escogen 4 estudiantes al azar, cul es laprobabilidad de que todos sean nios?

a) 1011

b) 10211

c) 131

d) 10101

e) 1021

44. Se lanza un dado "n" veces. Cul es la probabilidadde que salga 2 al menos una vez en los "n"lanzamientos?

a) 65

b) n

61

c) n

65

c) n

611

e)

n

651

45. Hallar la probabilidad de hacer una tirada de ms de15 en un tiro con 3 dados.

a) 12617

b) 10817

c) 5417

d) 21619

e) 10819

46. Dos jugadores A y B tiran 3 dados cada uno. Si Aobtiene 8 puntos, cul es la probabilidad de que Bobtenga un nmero mayor de puntos?

a) 271

b) 276

c) 277

d) 185

e) 2165

47. Cul es la probabilidad de que, al tirar al aire "n" vecesuna moneda, se obtenga "n" caras?

a) n2

1b)

82n c) 8n

n

d) 2n

1e) n2

1

48. Se lanza un dado "cargado", de tal manera que losnmeros impares tienen el triple de posibilidades quelos nmeros pares.Cul es la probabilidad de que el resultado sea unnmero mayor que 5?

a) 61

b) 41

c) 121

d) 125

e) 65

49. Tamara selecciona al azar dos nmeros diferentes delconjunto {8; 9; 10} y luego los suma. Claudia seleccionaal azar dos nmero diferentes del conjunto

TRILCE

207

{3; 5; 6} y luego los multiplica.Cul es la probabilidad de que el resultado que obtieneTamara sea mayor que el resultado que obtieneClaudia?

a) 91

b) 92

c) 97

d) 94

e) 95

50. Tres seoras van a dar a luz con toda seguridad en elmes de Febrero de un ao bisiesto. Cul es laprobabilidad de que la fecha de los nacimientos de lostres bebs sean distintos?

a) 861676

b) 861765

c) 861756

d) 861678

e) 871666

51. Una persona tira dos dados, uno de ellos es un cubo yel otro un tetraedro regular, tomando el nmero de lacara inferior cuando se trata del tetraedro, cul es laprobabilidad de que la suma de los nmeros obtenidosno sea menor que 5?

a) 43

b) 54

c) 53

d) 52

e) 21

52. En una urna, se introducen bolas marcadas con losnmeros 1 , 2 y 3.Se extrae una bola, se anota el nmero y se devuelve ala urna. El proceso se repite tres veces.Cul es la probabilidad de obtener una suma total de6 puntos?

a) 91

b) 31

c) 277

d) 2521

e) 2717

53. La probabilidad de que Erica ingrese a la UNI es 0,7que ingrese a la Catlica es 0,4. Si la probabilidad deque no ingrese a ninguna es 0,12, hallar la probabilidadde que ingrese a ambas a la vez.

a) 0,42 b) 0,22 c) 0,24d) 0,48 e) 0,58

54. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otrabolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extraeuna bola de cada bolsa.Determinar la probabilidad de que ambas sean blancas.

a) 21

b) 41

c) 32

d) 43

e) 31

55. En una caja hay 10 bolas de billar, de las cuales 4 sonrojas. Se toma tres piezas al azar.Determine la probabilidad de que por lo menos unaresulte de color rojo.

a) 53

b) 32

c) 3910

d) 607

e) 65

56. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas, 4 negras y2 rojas, se sacan 6 bolas al azar.Calcular la probabilidad de que 3 sean blancas, 2 negrasy 1 roja.

a) 3316

b) 2314

c) 7720

d) 313

e) 234

57. Se escogen al azar 4 sillas entre 10, de las cuales 6 sondefectuosas. Hallar la probabilidad de que 2exactamente sean defectuosas.

a) 52

b) 53

c) 75

d) 116

e) 73

58. Diez libros de los cuales 6 son de fsica y 4 de qumica,se colocan al azar en un estante.Determine la probabilidad de que los libros de fsicaqueden juntos.

a) 211

b) 421

c) 94

d) 425

e) 3521

59. Una moneda cuyas caras estn marcadas con losnmeros 2 y 3, respectivamente, es tirada 5 veces.Cul es la probabilidad de obtener un total de 12?

a) 1625

b) 165

c) 45

d) 256

e) 65

60. Tres varones y dos chicas van al cine y encuentran unafila de 5 asientos juntos en una misma fila dondedesean acomodarse.Determinar cul es la probabilidad de que las chicasno se sienten juntas.

a) 52

b) 53

c) 85

d) 97

e) 54

Raz. Matemtico

208

Claves Claves a

d

c

b

e

c

b

a

d

b

c

c

c

a

a

a

c

b

a

b

c

a

d

c

d

c

a

a

b

a

e

a

b

e

e

d

e

e

c

a

c

e

b

e

a

c

a

c

d

c

a

c

b

b

e

c

e

b

b

b

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.