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Simulación y Optimización de Procesos Químicos
Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso
Transparencias 1.
Octubre de 2009. José A. Caballero
Matrices de IncidenciaMatrices Booleanas de Relación (Adyacencia)Matriz de alcanzabilidadDescomposición Matricial
Secuencias de cálculoRedes cíclicas máximas
Localización de redes cíclicas máximasAlgoritmo de Sargent y WesterbergAlgoritmo de Tarjan (sólo ejemplo para demostración interactiva)
Localización de Conjuntos de corrientes de corteAlgoritmo general de Pho y LapidusRegla de reemplazamientoAlgoritmo de Barkley y Motard Algoritmo de Updahe y Grens
Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Matriz de Incidencia
V1
V2 V3
V4
V5
1 2
3
4 56
115
14
1113
11112
111
654321
+++
−−+−−−+
+−
V
V
V
V
V
Vértices
Aristas
V1
V2 V3
V4
V5
1 2
3
4 56
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Matriz Booleana de Relación
1 2
3
4 5
6 7 ·······7
·······6
1······5
·1·····4
··11···3
····1··2
····1··1
7654321
=R
José A. CaballeroSimulación y Optimización de Procesos Químicos. Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.Citar como: J.A. Caballero Suárez, material docente para la asig natura Simulación y Optimización de procesos Químico s, Octubre 2009. Universidad de Alicante.
Matriz Booleana de Relación
1 2
3
4 5
6 7 ·······7
·······6
·······5
·······4
11·····3
··11···2
··11···1
7654321
2 =R
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Matriz Booleana de Relación
1 2
3
4 5
6 7·······7
·······6
·······5
·······4
·······3
11·····2
11·····1
7654321
3 =R
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Matriz Booleana de Relación
1 2
3
4 5
6 7
4 0R =
Sistema acíclico
0N mR + =N = camino más largo del dígrafo
m ≥1
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Matriz Booleana de Relación
1 2 3 4
1 2 3 4
1 · 1 · ·
2 · · 1 ·
3 · 1 · 1
4 · · · ·
R = 2
1 2 3 4
1 · · 1 ·
2 · 1 · 1
3 · · 1 ·
4 · · · ·
R =
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3
1 2 3 4
1 · 1 · 1
2 · · 1 ·
3 · 1 · 1
4 · · · ·
R = 4
1 2 3 4
1 · · 1 ·
2 · 1 · 1
3 · · 1 ·
4 · · · ·
R =
Matriz Booleana de Relación
1 2 3 4
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Matriz Booleana de Relación
1 2 3 4
Sistema cíclico:
Aparecerán unos en la diagonal principal de la matriz booleana de relación para:
NpRN = longitud del ciclo
p = Número entero positivo
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Matriz de Alcanzabilidad
1 2 3 4
* 2 3
1 2 3 4
1 · 1 1 1
... 2 · 1 1 1
3 · 1 1 1
4 · · · ·
NR R R R R= ∪ ∪ ∪ ∪ =
Aparecerá un 1 en la posición (i,j) si el nodo j es alcanzable a partir del nodo i. Es decir existe un camino dirigido desde el nodo i hasta el nodo j.
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Ciclos Máximos
1 2 3 4
*
1 2 3 4
1 · 1 1 1
2 · 1 1 1
3 · 1 1 1
4 · · · ·
R =
( )*
1 2 3 4
1 · · · ·
2 1 1 1 ·
3 1 1 1 ·
4 1 1 1 ·
TR =
( )* *
1 2 3 4
1 · · · ·
2 · 1 1 ·
3 · 1 1 ·
4 · · · ·
TR R∩ =
Redes cíclicas máximas. Componentes fuertes del dígrafo
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Algoritmo de descomposición matricial
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
··········10
··········9
··1···1·····8
1·1·······7
···1······6
·····1·····5
·····1····4
····1···1·3
········1··2
·······11·1
10987654321
=R
1.- Búsqueda de columnas sin incidencias: eliminación de columna y fila correspondientes
LISTA: 4, 1 (ó 1,4)
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Algoritmo de descomposición matricial
2
35
6
7
8
9
10
········10
········9
·1··1···8
1·1·····7
···1····6
····1···5
····1··13
······1·2
109876532
Repetir búsqueda de columnas de ceros tantas veces como sea necesario
LISTA: 4, 1, 5
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2
3
6
7
8
9
10
·······10
·······9
·1··1··8
1·1····7
···1···6
····1·13
·····1·2
10987632
Algoritmo de descomposición matricial
2.- Búsqueda de filas sin incidencias: eliminación de fila y columna correspondientes
LISTA: 4, 1, 5… …9, 10
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Algoritmo de descomposición matricial
2
3
6
7
8
2 3 6 7 8
2 · 1 · · ·
3 1 · 1 · ·
6 · · · 1 ·
7 · · · · 1
8 · · 1 · ·
R=
3.- Localización de ciclos máximos:Matriz de alcanzabilidad e intersección con la traspuesta
111··8
111··7
111··6
111113
111112
87632
* =R( )
111··8
111··7
111··6
···113
···112
87632
** =∩T
RR
Ciclo 1 (C1) = Nodos 2,3; Ciclo 2 (C2) = Nodos 6,7,8
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Algoritmo de descomposición matricial
3.- Condensación de ciclos:
2
3
6
7
8
C1
C2
C1
C2
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4.- Repetir paso 1 hasta que toda la matriz desaparezca
··)8,7,6(2
1·)3.2(1)8,7,6(
2
)3,2(
1
C
C
CC
Algoritmo de descomposición matricial
C1
C2
2(6,7,8)
2(6,7,8) ·
C
C
4
15, C1(2,3), C2(6,7,8)
9
10
Orden de Cálculo
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Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Sargent y Westerberg
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 121314
Secuencia 14 – 13 – 9 – 5 – 3 – 2 – 13 Criterio de parada II
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Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Sargent y Westerberg
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 121314
Condensación de ciclo
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1 4
6 7 8
10 11 1214
C1
Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Sargent y Westerberg
Secuencia 14 – C1 – 1 Criterio de parada I
Eliminar 14 último en la secuencia de cálculoEliminar 1 primero en la secuencia de cálculo
Condensación del ciclo localizado
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4
6 7 8
10 11 12
C1
Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Sargent y Westerberg
Secuencia 4 – C1 – 8 – 7 – 6 – C1 Criterio de parada II
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Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Sargent y Westerberg
4
10 11 12
C2Condensación de ciclo
Secuencia 4 – C2 – 11 – 10 – C2 Criterio de parada II
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Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Sargent y Westerberg
Condensación de ciclo4
12C3
Secuencia 4 – C3 – 12 Criterio de parada I
Orden de Cálculo: 1, 12, C3, 4, 14
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Localización de redes cíclicas máximas
1 2 3 4 5
67
121
321
4321
73
4321
743
321
5743
321
64,7
5743
321
654,7
743
321
65743, 4
321
657433
21
21 1
Ciclo Máximo6, 5, 7, 4, 3
Algoritmo de Tarjan
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Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Tarjan
1 2 4 5 7
63
8
121
421
5421
75421
875421
75421
64
75421
6
74
5421
6
754
421
6
7544
21
21
31
21
3
21
1
3
211
Ciclo máximo6, 7, 5, 4Ciclos Máximos:
6, 7, 5, 43, 2, 1
Ciclo Máximo3, 2, 1
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Localización de redes cíclicas máximas
Algoritmo de Tarjan (para demostración interactiva)
1 2 3 4 5
6 7 8 109
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A B
C D E F
G H I J K
L NM
O P
Localización de redes cíclicas máximas
Demostración del Algoritmo de Tarjan
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Corrientes de Corte
12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
K L M S K1 2 7 8
L3
O S K4 6 8
K5
Ciclos menores {2,3}; {1,2,7,8}, {1,4,5}, {1,4,6,8}
Algoritmo de Pho y Lapidus
1. Localización de todos los ciclos menores del sistema
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12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
Objetivo:
Localizar un conjunto de corrientes de corte (corrientes que se debensuponer) de tal forma que se ‘corten’ todos los ciclos menores del sistema:
Localizar el conjunto mínimo de corrientes de corteLocalizar conjuntos de corrientes no redundantesLocalizar conjuntos con menos número total de variables…
Corrientes de Corte
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Algoritmo de Pho y Lapidus
1. Ejemplo de conjunto redundante de corrientes de corte
12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
Corrientes de Corte
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Algoritmo de Pho y Lapidus
2. Matriz de ciclos
Corrientes de Corte
12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
Ciclos menores {2,3}; {1,2,7,8}, {1,4,5}, {1,4,6,8}
1 2 3 4 5 6 7 8
C1 1 1
C2 1 1 1 1
C3 1 1 1
C4 1 1 1 1
Corrientes
Ciclos
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Algoritmo de Pho y Lapidus
3. Problema de Cobertura de Conjunto (Set Covering Problem)
Corrientes de Corte
,
1
j i ji
j Conjunto mínimow a Conjunto no redundante
∀=∑
, ,i ja elemento i j de la matriz=
,
min :
. . 1
j jj J
i j jj J
Z w y
s a a y i C
∈
∈
=
≥ ∀ ∈
∑
∑
1
0j
Se selecciona la corriente jy
No se selecciona la corriente j
=
{ }{ }
| es una corriente
| es un ciclo
J j j
C i i
=
=
Conjuntos Parámetros (datos)
Variables
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Algoritmo de Pho y Lapidus
Reglas de reducción de Garfinkel y Nemhauser
Corrientes de Corte
Si la fila ri tiene un único elemento distinto de cero
Si la fila k domina a la fila l
Columna k domina a columna j y wk ≤ wj
O bienUn conjunto de columnas k dominan a la columna j y ∑wk ≤ wj
Eliminar columna j
Eliminar la fila k
Seleccionar dicha fila
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Algoritmo de Pho y Lapidus
Localización de un conjunto mínimo (Reglas de Garfinkel y Nemhauser)
Corrientes de Corte
1 2 3 4 5 6 7 8
C1 1 1
C2 1 1 1 1
C3 1 1 1
C4 1 1 1 1
1.- No hay autolazos.
2.- No hay filas dominantes
3.- Columna 1 domina a columnas 4, 5, 6, 7, 8Columna 2 domina a columnas 3, 7, 8
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Algoritmo de Pho y Lapidus
Localización de un conjunto mínimo (Reglas de Garfinkel y Nemhauser)
Corrientes de Corte
1 2
C1 1
C2 1 1
C3 1
C4 1
Fila 2 domina a filas 1, 3, 4Fila 4 domina a fila 3
1 2
C1 1
C3 1
Corrientes de corte 1, 2
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Algoritmo de Pho y Lapidus
Localización de un conjunto no redundante (Reglas de Garfinkel y Nemhauser)
Corrientes de Corte
3 2 1 2 1 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
C1 1 1
C2 1 1 1 1
C3 1 1 1
C4 1 1 1 1
w
1.- No hay autolazos.
2.- No hay filas dominantes
3.- Columnas 3 y 7 dominan a columna 2Columnas 6 y 7 dominan a columna 8Columnas 6, 5 y 7 dominan a columna 1Columnas 5 y 6 dominan a columna 4
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12
3
4
5 6
7
8
K L
O
S
M
Regla de reemplazamiento
Corrientes de Corte
(3, 5, 6, 7)
{3,7}
(2, 5, 6)
{5,6}
(3, 4, 7)
{5,6}
(2, 4)
(1, 3)
{2,4}
{1}
(5, 8, 3)
{8}
(5,6,7,3)*
{3,7}
(2, 4)*
Conjuntos no redundantes:
(3,5,6,7), (2,5,6), (2,4), (1,3), (5,8,3), (3,4,7)
Conjunto inicial de corrientes de corte no
redundante
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
A
C
B
D E
1 2
3
4
6
7
8
5
Dígrafo Primal
1 2 3 4
5 6 7 8
AA
C
CB
BC
DE
C
DE
Dígrafo Dual
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Nodos Precursores
2, 4
1
1
3,8
2,4
7
5, 6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4
5 6 7 8
AA
C
CB
BC
DE
C
DE
1 2 3 4
5 6 7 8
AA
C
CB
BC
DE
C
DE
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Nodos Precursores Intervalos
2, 4
1
1
3,8
2,4
7
5, 6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1 (2, 3)
4 ( )
5 ( )
7 (6, 8)
1
5 7
4
Dígrafo Dual Reducido
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Nodos Precursores Intervalos
2, 4
1
1
3,8
2,4
7
5, 6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1 (2, 3)
4 ( )
5 ( )
7 (6, 8)
Precursores
1, 4
1, 7
1, 4
5, 7
Autolazo
Autolazo
1, 7Corrientes de Corte
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Nodos Precursores Intervalos
2, 4
1
1
3,8
2,4
7
5, 6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1 (2, 3)
4 ( )
5 ( )
7 (6, 8)
Precursores
1, 4
1, 7
1, 4
5, 7
-----
-----
-----
-----
Nodo 4 se queda sin precursores
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Nodos Precursores Intervalos
2, 4
1
1
3,8
2,4
7
5, 6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1 (2, 3)
4 ( )
5 ( )
7 (6, 8)
Precursores
1, 4
1, 7
1, 4
5, 7
-----
-----
-----
-----
No quedan nodosFIN
Corrientes de Corte que forman conjunto mínimo
1, 7
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A B C
D E F G
H I J K L M
N O P Q R S
1 2
3
45
6
7
8
9 10 11 12
13
14
15 16 17
18 19
20 21
22
23
2425
26
27
28
29
30
31
Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
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Corrientes de CorteAlgoritmo de Barkley y Motard
123456
78910111213141516
171819202122232425262728
2930
31
Nodos NodosPrec.
515567, 18
8, 202, 3, 9108, 208, 20118, 2041415
Prec.
22, 2516, 1722, 25198, 20212122, 2524, 2724, 2728(12, 13, 23, 26, 31)28(12, 13, 2326, 31)30, 29
Intervalos
6(5, 1, 2, 3, 4,14, 15, 16)
7 ( )8 ( )
10(9)11(12)
13( )
Intervalos
17( )18( )19(20)
21(22, 23)
24( )25( )26( )
28(27, 29)
30( )
31( )
Prec.
7, 18
8, 196, 10
8, 198, 19
8, 19
Prec.
21, 256, 1721, 25
8, 19
21, 2524, 2824, 28
(11, 13, 2126, 31)
(11, 13, 2126, 31)30, 28
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 ( )25 ( )26 ( )28 (27, 29)30 ( )31 ( )
Precursores
7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 256, 1721, 258, 1921, 2524, 2824, 2811, 13, 21, 26, 3111, 13, 21, 26, 3130, 28
1
1
22
33
44
55 6
677
Pares
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 ( )25 ( )26 ( )28 (27, 29)30 ( )31 ( )
Precursores
7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 256, 1721, 258, 1921, 2524, 2824, 2811, 13, 21, 26, 3111, 13, 21, 26, 3130, 28
1
1
22
33
44
55 6
677
Pares
Entre la corriente 28 y la 31Se selecciona aquella queaparece más veces entre losprecursores:
28 aparece 3 veces31 aparece 2 veces
Se selecciona como primeracorriente de corte la 28
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 ( )25 ( )26 ( )
30 ( )31 ( )
Precursores
7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 256, 1721, 258, 1921, 252424
11, 13, 21, 26, 3130
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)24 (25, 26)
30 ( 31)
Precursores
7, 188, 196, 108, 198, 198, 1921, 246, 1721, 248, 1921, 24
11, 13, 21, 24, 30
Autolazo
Autolazo
Las corrientes 24 y 30 son corrientes de corte.
Corrientes de corte hasta el momento 28, 24, 30
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )17 ( )18 ( )19 (20)21 (22, 23)
Precursores
7, 188, 196, 108, 198, 198, 19216, 17218, 19
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )
18 ( )
21 (22, 23,17, 19, 20)
Precursores
7, 188, 216, 108, 218, 218, 21
6, 21
8, 21
Lista de corrientes de corte hasta el momento: 28, 24, 30, 21
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Barkley y Motard
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16)7 ( )8 ( )10 (9)11 (12)13 ( )
18 ( )
Precursores
7, 1886, 10888
6
Intervalos
6 (5, 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16,18)
8 (7, 10, 9, 11, 12, 13)
Precursores
8, 6
6, 8
Lista de final corrientes de corte : 28, 24, 30, 21, 6, 8
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Corrientes de Corte
Algoritmo de Sargent y Westerberg
21 3 4
5 6
7
8
9
10
AB C D E
CorrientesEntrada
1, 9, 7
8, 10
2, 5
3
4, 6
Unidad(Nodo)
A
B
C
D
E
CorrientesSalida
2
5, 1
3, 6
4, 7, 8
9, 10
3 4, 7, 8D6 9, 10
E B 5, 1A
2C
3, 6
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Corrientes de Corte
A
C
D
E
B
1
3 4
5
6 7
8
13
3, 7, 13
1, 4, 7, 13
(3)
3, 6, 8, 13
(7)
1, 4, 6, 8, 13
(7)
4, 7, 13, 13
(1)
4, 6, 8, 13
(7)
3, 7
(5, 6, 13)
5, 6, 13
(4, 8)
1, 4, 7
(3)
3, 6, 8
(7)
4, 7, 13
(1)1, 4, 6, 8
(7)
4, 6, 8, 13
(1)
1, 5, 6
(4, 8)
5, 6, 13
(1) 1, 4, 6, 8
(3)
Redundancia.Eliminar resto ramas abiertas y se continúa
desde aquí.
Algoritmo de Upadhye y Grens