Simulación Estocástica Conjunta de Propiedades ... · en la función objetivo del método de...

Simulación Estocástica Conjunta de Propiedades Petrofísicas

usando t-cópulas

SEMINARIOS DE MODELACISEMINARIOS DE MODELACIÓÓNNCOMPUTACIONALCOMPUTACIONAL

8 DE junio, 2007

Martín Díaz VieraINSTITUTO MEXICANO DEL PETRÓLEO

e-mail: [email protected],

Tel: 9175-6473

08/06/2007 Seminario de Recuperación de Hidrocarburos

2

CONTENIDO:IntroducciónUna muy breve revisión sobre cópulas Modelación de patrones de dependencia usando t-cópulas El problema de modelar el patrón de dependencia de propiedades petrofísicasSimulación condicional de la permeabilidad aplicando recocido simulado con una t-cópula Experimentos numéricosConclusiones y trabajo futuroReferencias


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Introducción (1)

Se explora como usar las cópulas para simular datos dependientes con diferentes patrones de correlación usando un enfoque de Monte-Carlo. Se usará una t-cópula junto con diferentes medidas de “correlación de rango” tales como la τ de Kendall y la ρde Spearman.


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Introducción (2)

Se presenta una breve discusión sobre como producir cosimulaciones geoestadísticas dependientes empleando cópulas. Se muestran algunos resultados numéricos de la aplicación de esta metodología para datos petrofísicos en pozos en un yacimiento petrolero.


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Una muy breve revisión sobre cópulas (1)

Las cópulas son un medio apropiado para crear distribuciones de probabilidad de datos correlacionados.


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Sean X y Y variables aleatorias continuas con f.d.s F(x) y G(y) , y con f.d. conjunta H(x,y).

La cópula C de su f.d. conjunta puede ser definida mediante la expresión

C(u,v)= H(F-1(u) , G-1(v))donde F-1(u) y G-1(v) son las funciones inversas de las marginales.



7

Las cópulas nos permiten especificar la dependencia entre variables completamente aparte de la especificación de sus distribuciones individuales. Aquí aplicaremos t-cópulas, las cuales se basan en la distribución t de Student. La razón principal de esta elección es que recientemente (Breymann et al., 2003) ha sido mostrado que las t-cópulas poseen la cualidad de capturar mejor los valores extremos.



8

Modelación de patrones de dependencia usando t-cópulas (1)

Una t-cópula puede ser pensada como la representación de la estructura de dependencia implícita en una distribución t de Studentmultivariada.La t-cópula bivariada puede ser expresada por

Ctν,r (u1,u2)= t2,ν,r (t1,ν

-1 (u1), t1,ν-1 (u2))

donde r es el coeficiente de correlación linealt1,ν y t2,ν,r son distribuciones t de Student

univariada y bivariada con ν grados de libertad


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1. Generar un par de valores con distribución conjunta t y correlación r dada: (x1,x2)~ t2,ν,r.

2. Obtener un par de valores distribuidos uniformemente: u1= t1,ν(x1) y u2= t1,ν(x2) .

3. Transformar y1=F-1(u1) y y2=G-1(u2), donde F-1 y

G-1 son las funciones inversas de las distribuciones individuales.


SimulaciSimulacióón con n con Monte Monte CarloCarlo de la distribucide la distribucióón bivariada n bivariada con una con una tt--ccóópula:pula:


10


rdatos = 0.561 rsim = 0.375

Simulación usando una t-cópula con el coeficiente de correlación lineal r

!!! No reproduce dependencias no lineales !!!


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ALTERNATIVA: • Usar otras medidas de dependencia

conocidas como de concordancia, como son la τ Kendall o la ρ de Spearman.

• Dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en un plano son concordantes si el segmento de línea que los une posee una pendiente positiva, y discordante si la pendiente es negativa.



12


rdatos = 0.561

SimulaciSimulacióón usando una tn usando una t--ccóópula con:pula con:

!!! Reproduce dependencias no lineales !!!

rK = 0.607rS = 0.551

ττ de de KendallKendall = 0.891= 0.891

rdatos = 0.561


13


Simulación usando una t-cópula con:

!!! Reproduce dependencias no lineales !!!

rS = 0.551

Rho de Spearman = 0.981

rdatos = 0.561


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Pero aún se requiere del uso del parámetro r(coeficiente de correlación lineal) para la distribución t de Student bivariada.

☺ No obstante existen relaciones simples entre la τ de Kendall o la ρ de Spearman, y el coeficiente de correlación lineal r:

τ=(2/π)arcsin(rK) ⇔ rK=sin(τπ/2)ρ=(6/π)arcsin(rS/2) ⇔ rS=2sin(ρπ/6)



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El problema de modelar el patrón de dependencia de propiedades petrofísicas (1)

• Comúnmente se calculan los perfiles de permeabilidad en pozos mediante algún estimador, típicamente en forma de una ecuación empírica usando regresión.

• Se requiere de un conjunto de datos para la calibración, formado por uno o más pozos donde exista la información más completa.


16

!!! No puede capturar la variabilidad (la varianza) ni reproducir los valores extremos de los datos !!!


0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000Net.kh

0

4

8

12

Net

.phi

xh

r=0.716875


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• Mientras que, otros estimadores, como las redes neuronales, son muy flexibles para reconocer y reproducir el patrón de la distribución de la permeabilidad.

• Pero requieren de un proceso de aprendizaje que puede ser largo y que depende fuertemente de la cantidad y la calidad de los datos disponibles.



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Simulación estocástica condicional (1)

• La idea básica consiste en obtener nuevas realizaciones que reproduzcan la distribución de probabilidad de una variable (o función) aleatoria.

• Las simulaciones condicionales son aquellas simulaciones que respetan los valores experimentales.


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Los estimadores producen un suavizado de las dispersiones (variabilidades) reales.



20

Mientras que las simulaciones reproducen la variabilidad espacial de los valores reales.



21

Simulación condicional de la permeabilidad (1)

El método propuesto es una modificación de la metodología para la modelación geoestadística de la permeabilidad mediante simulación conjunta con la porosidad usando el método de recocido simulado, (Deutschy Cockerham,1994).A diferencia del método citado, se incluye la distribución bivariada de K y PHI generada con una t-cópula en lugar de la distribución empírica.


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El procedimiento consiste en:1. Estimar τ* (o ρ*) entre K y PHI.2. Obtener el coeficiente de correlación

lineal correspondiente rK* (o rS*).3. Construir una t-cópula que satisfaga rK*

(o rS* ) y las marginales empíricos de K y PHI.



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4. Generar m pares correlacionados aplicando el método de Monte Carlo usando la t-cópula obtenida como distribución bivariada de K y PHI.

5. Simular aplicando recocido simulado la permeabilidad condicionada a los valores conocidos de ésta, usando los valores de porosidad como variable secundaria, e incluyendo la distribución bivariada de K y PHI previamente generada.



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Experimentos Numéricos (1)

• Los experimentos numéricos fueron realizados sobre datos de registros de pozo de porosidad (PHI) y permeabilidad (K) previamente interpretados tomados de una formación areno-arcillosa turbidítica.

• Los datos originales que poseían una resolución de centímetros fueron primero promediados cada metro y posteriormente muestreados cada cinco metros resultando un conjunto de datos de 214 puntos.


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( ) 200.0014+0.0044*Sph ( )h hγ =

r* = 0.6281τ* = 0.895ρ* = 0.980

Datos de registros de PHI y K (promediados cada metro)

Diagrama de dispersión, histogramas y coeficientes de correlación estimados

para PHI y K.

Variograma estimado y modeloajustado para K.



26

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Simulated Values

PHI

K

r*sim = 0.6474

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Simulated Values

PHI

K

r*sim = 0.6375

1000 valores simulados mediante el método de Monte Carlo empleando t-cópulas:

Kendall τ* = 0.895(rK*=0.986 )

Spearman ρ* = 0.980(rS*=0.982)



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0.02231 0.022220.022 Desviación Estándar

0.109 0.109 0.109 Máximo

0.0001 0.0001 0.0001 Mínimo

Simulados con laρ* de Spearman

Simulados con laτ* de Kendall

Datos de registros

Porosidad (PHI)

0.07395 0.08116 0.07624 Desviación Estándar

0.5448 0.5448 0.5448 Máximo

0.000 0.000 0.000 Mínimo

Simulados con la ρ* de Spearman


Datos de registros

Permeabilidad (K)

Porosidad (PHI)

Permeabilidad (K)



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Los valores previamente obtenidos fueron introducidos como la distribución bivariada experimental de PHI y K en la simulación de la permeabilidad usando recocido simulado. Se realizó la simulación en una malla con un intervalo de un metro. Los valores de la porosidad los cuales son conocidos en la misma malla fueron incluidos en la simulación como datos secundarios. El variograma, el coeficiente de correlación y el gráfico de dispersión fueron considerados en la función objetivo del método de recocido simulado.



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Valores simulados de PHI y K usando una t-cópula con la τ* de Kendall después de la simulación condicional con recocido simulado

( ) 200.0014+0.0042*Sph ( )h hγ =

r* = 0.6257

Diagrama de dispersión, histogramas y coeficiente de correlación estimado

para PHI y K.

Variograma estimado y modelo ajustado para K.



30

Valores simulados de PHI y K usando una t-cópula con la ρ* de Spearmandespués de la simulación condicional con recocido simulado

r* = 0.6043

( ) 200.0014+0.0042*Sph ( )h hγ =

Diagrama de dispersión, histogramas y coeficiente de correlación estimado para

PHI y K.

Variograma estimado y modelo ajustado para K.



31

0.021810.021810.022Desviación Estándar

0.12540.12540.109Máximo

0.00010.00010.0001Mínimo



Datos de registros

Porosidad (PHI)

0.076720.077980.07624Desviación Estándar

0.54480.54480.5448Máximo

0.0000.0000.000Mínimo



Datos de registros

Permeabilidad (K)

Porosidad (PHI) después del recocido simulado

Permeabilidad (K) después del recocido simulado



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Caso de Estudio:Carbonatos con Doble Porosidad

La metodología propuesta se aplicó a la modelación de la relación entre la permeabilidad y la porosidad (total, de matriz y secundarias) de una formación carbonatada con doble porosidad de un acuífero del Sur de la Florida.

Los resultados de la inversión petrofísica obtenida por Kazatchenko et al (2005b) para esta formación fueron usados.

Las propiedades petrofísicas resultantes de la inversión son: porosidad total (PHIT), porosidad de vúgulos (PHIV) y porosidad de fracturas (PHIF)


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0.001

0.01

0.1

1

10

1000 1050 1100 1150 1200 1250

Depth

PorCr PorVug Perm PorTot

Las porosidades de matriz y secundarias son comparadas con la permeabilidad derivada a partir del registro NMR (Parra andHackert 2002a and Parra et al, 2003).

Resultados de la inversión Kazatchenko et al (2005b)


34


r = 0.3937τK = 0.474 (rK =0.6776) ρS = 0.653 (rS=0.6706)

r = 0.1235τK = -0.027 (rK =-0.0424) ρS = -0.028 (rS= -0.0293

r = 0.6102τK = 0.548 (rK =0.7584) ρS = 0.735 (rS=0.7508)

( ) [ ]( )62.7 10 Sph 84h hγ = ×

Gráficos de dispersión,

histogramas, y medidas de

dependencia de las porosidades total (PHIT), de

fracturas (PHIF) y

vugular (PHIV) vs

permeabilidad (K).

Variograma estimado y su

modelo para la permeabilidad

(K).


35


r*sim = 0.5065Using r= 0.6102

τ*K = 0.5542(r*sim=0.7647)

Using τK = 0.548 (rK =0.7584)

ρ*S = 0.7019(r*sim=0.7186)

Using ρS = 0.735 (rS=0.7508)

La distribución de permeabilidad-porosidadvugular simulada con una t-cópula usando tau de Kendall reproduce mejor el patrón de dependencia y se usará en el modelo estocástico.


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40540.402440540.402440540.4024Range12940.097712440.097213000.0975Std227.20.1670272.30.1550236.90.1665Median

9900.1567945.50.1490975.60.1526Mean40540.403440540.403440540.4034Max

0.0120.00100.0150.00100.0120.0010MinKPHIVKPHIVKPHIV

Spearman´sρS

Kendall´sτK

Pearson´s rStats


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SIMULACION DE LA PERMEABILIDAD CON LA SIMULACION DE LA PERMEABILIDAD CON LA POROSIDAD VUGULARPOROSIDAD VUGULAR

Los valores de permerabilidad están medidos cada mediometro y se tomaron muestras de permeabilidad cada 5 metros.Las simulaciones se realizaron en una malla con medio metro de intervalo. Los valores de porosidad vugular se usaron como datossecundarios.En la función objetivo del método de recocido simulado se incluyeron: el modelo del variograma de la permeabilidad, el coeficiente de correlación equivalente (0.7584) y la distribución bivariada obtenida con la cópula usando la tau de Kendall.


38


r*sim = 0.5065Using r= 0.6102

0 0.1 0.2 0.3 0.40

1000

2000

3000

Simulated Annealing

PHIV (dec)

Ksi

m (

mD

)

τ*K = 0.5093(r*sim=0.7173)

Using τK = 0.548 (rK =0.7584)

1000 1050 1100 1150 1200 1250DEPTH (m)

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

K (m

D)

PermeabilityKsim - A single simulation SA using PHIVK - Data values

( ) [ ]( )62.3 10 Sph 67h hγ = ×

PHIV and K simulated values from a singlerealization


39


0 0.1 0.2 0.3 0.40

1000

2000

3000

Simulated Annealing

PHIV (dec)

Kav

e (m

D)

τ*K = 0.5868(r*sim=0.7967)

Using τK = 0.548 (rK =0.7584)

1000 1050 1100 1150 1200 1250DEPTH (m)

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

K (m

D)

PermeabilityKave - Average of 10 Simulations SA using PHIVK - Data values

( ) [ ]( )62.0 10 Sph 82h hγ = ×

PHIV and K simulated values from average of 10realizations


40

0 0.1 0.2 0.3 0.40

1000

2000

3000

Simulated Annealing

PHIV (dec)

Kav

e (m

D)


( ) [ ]( )61.8 10 Sph 78h hγ = ×τ*K = 0.6206

(r*sim=0.8276)Using τK = 0.548 (rK =0.7584)

1000 1050 1100 1150 1200 1250DEPTH (m)

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

K (m

D)

PermeabilityKave - Average of 100 Simulations SA using PHIVK - Data values

PHIV and K simulated values from average of 100realizations


41


445.34496.89304.72InterquartileRange

2787.722521.683335.90Max273.39282.99176.703rd Quartile-12.09-10.370.00Median-171.95-213.90-128.021st Quartile-2610.34-2694.27-3515.22Min771.99732.85927.58Std. Dev.49.0551.1255.19Mean

Average of 100 sims.

Average of 10 sims.

A single simulation

K-KsimStatistics


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Comparativamente los promedios de 10 y 100 realizaciones preservan las buenas propiedades estadísticas pero se comportan de manera más suave que una simple realización.

No hay una mejoría significativa cuando se promedian 100 realizaciones.

Esto significa que no es necesario realizar un número alto de simulaciones para obtener resultados consistentes.


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Conclusiones (1)

El método presentado posee varias características que lo hace muy competitivo para la modelación de patrones complejos de dependencia de propiedades petrofísicasPuede servir como una alternativa a los métodos tradicionales como el regresión lineal, ya que no requiere de la suposición de la existencia de una dependencia lineal entre variables. Reproduce bastante bien los valores extremos y la variabilidad observada en los datos, resolviendo la desventaja principal del método de regresión. En comparación con el método de redes neuronales este enfoque tiene la ventaja de que no requiere de un proceso tardado de aprendizaje.


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Conclusiones (2)

Adicionalmente el método ofrece los siguientes beneficios:

1. No se necesita aplicar la transformación logarítmica a la permeabilidad, y consecuentemente, se evita el error que se podría introducir al aplicar la transformación inversa.

2. Como consecuencia de usar una distribución bivariada simulada con una t-cópula en la simulación conjunta mediante recocido simulado, el histograma de la permeabilidad es reproducido de manera automática.

3. Su extensión a varias dimensiones es directa.


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Trabajo Futuro

Se requiere de un estudio comparativo adicional entre la τ de Kendall y la ρ Spearman respecto a su desempeño en cuanto a reproducir estructuras de dependencia complejas.

La aplicación de cópulas óptimas ajustadas, en lugar de cópulas empíricas, es una línea de investigación promisoria en las cosimulaciones geoestadísticas.

Por ejemplo: la simulación de distribución de fracturas condicionadas con atributos sísmicos.


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Referencias1) Balan, B., Mohaghegh, S., Ameri, S., 1995: State-of-The-Art in

Permeability Determination From Well Log Data: Part 1- A Comparative Study, Model Development, SPE 30978.

2) Breymann, W., Dias, A. and Embrechts, P., 2003: Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance. Quant. Finance 3, 1–14.

3) Deutsch C.V. and P.W. Cockerham, 1994: Geostatistical Modeling of Permeability with Annealing Cosimulation (ACS), SPE 28413.

4) Deutsch, C. V. and Andre G. Journel, 1998: GSLIB: Geostatistical Software Library and User's Guide, Oxford University Press, Second Edition, 369 pp.

5) Nelson, R.B., 1999: An Introduction to Copulas, Lecture Notes inStatistics, Vol. 139, Springer-Verlag, 216pp.

6) Perkins P. and T. Lane, 2003: Monte-Carlo Simulation in MATLAB Using Copulas, MATLAB News & Notes, www.mathworks.com, November 2003.


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Referencias:M. Díaz-Viera, R. Casar-González, “Stochastic simulation of complex dependency patterns of petrophysical properties using t-copulas”, Proceedings of IAMG’05: GIS and Spatial Analysis, Vol. 2, pp. 749-755, 2005.M. Díaz-Viera, P. Anguiano-Rojas, A. Mousatov, E. Kazatchenko and M. Markov, “Stochasticmodeling of permeability in double porositycarbonates applying a monte-carlo simulationmethod with t-copulas”, SPWLA 47th AnnualLogging Symposium, Veracruz, Mexico, June 4-7, 2006.


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!!!Muchas Gracias¡¡¡

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