Simulacion de un sistema depredador-presa a partir del modelo de Volterra-Lotka y de un amortiguador...

Simulacion de un sistemadepredador-presa a partir del

modelo de Volterra-Lotka y de unamortiguador

Alonso Guerrero Llorente

March 21, 2015

1 Simulacion del modelo de Volterra-Lotka us-ando Matlab

1.1 Introduccion

El modelo de Volterra-Lotka esta formado por dos ecuaciones diferencialesno lineales de primer orden que describen la evolucion de dos poblaciones,depredador y presa, que interactuan entre s. Las ecuaciones del modelo son:

dx

dt= x(a by) (1)

dy

dt= y(c dx) (2)

Donde x es el numero de presas, y el de depredadores y las constantes a, b,c y d son parametros que describen la interaccion entre ambas poblaciones o elcrecimiento/decrecimiento natural de ellas. En algunos sitios estas constantes sedenominan con las cuatro primeras letras del abecedario griego ( a = , b = ,c = , d = ), en este texto se usan, indistintamente, ambas notaciones.

A priori tanto las constantes como las poblaciones no tienen unidades. Portanto cuando se asigna a una poblacion el valor 1, nos podemos estar refiriendotanto a decenas como a millones. Por lo que conviene que, inicialmente, todoslos valores sean del mismo orden de magnitud; para as evitar que haya terminosdespreciables frente a otros.

Este programa hace una Simulacion del modelo de Volterra-Lotka mediantela resolucion de las ecuaciones del modelo, presentes en la funcion volterra ec.m,usando el comando ode45. Se utilizan diversos valores de las poblaciones ini-ciales, x0, as como de los parametros de interaccion a, b, c y d.

Funcion con las ecuaciones del modelo:

function xdot = volterra_ec(t, x, a, b, c, d)

% Ecuaciones del modelo de Volterra-Lotka para su posterior resolucion con

% el comando ode45.

% x(1) -> presas,, x(2) -> depredadores

% a, b, c y d son constantes de interacion depredador-presa

xdot(1, 1) = x(1) * ( a - b*x(2) );

xdot(2, 1) = -x(2) * ( c - d*x(1) );

1

1.2 Caso 1: a=b=c=d=1 & x0=y0=10

En este caso se puede comprobar que las depredadores se comen a las presasantes de que estas puedan reproducirse. Esto hace que la poblacion depredadoresaumenta hasta que llega un punto en el que el numero de presas no es suficientepara alimentar a todos los depredadores y, por tanto, el numero de depredadorescomienza a descender.

Llegado a un cierto punto el numero de presas es muy pequeno y se mantieneas hasta que el numero de depredadores es tal que permite, nuevamente, elaumento de la poblacion de presas. Se podra decir que el numero de conejos estan pequeno que los coyotes no los encuentrar y esto hace que, llegado un punto,los conejos empiecen a reproducirse mientras los coyotes siguen muriendo. Trasel nuevo aumento de la poblacion de conejos los coyotes que quedan vuelven atener alimento y su poblacion vuelve a crecer. Este ciclo se va repitiendo en eltiempo.

Tal y como vemos en el diagrama de fase el ciclo mencionado en el parrafoanterior es periodico.

clear

% Simulacion con poblacion inicial [presas = 10; depredadores = 10],

% parametros de interaccion a=b=c=d=1 y los tiempo entre 0 y 1.5.

x0 = [10; 10];

[t, x] = ode45(@(t,x) volterra_ec(t, x, 1, 1, 1, 1), [0 1.5], x0);

% Diagrama de Fase

figure

subplot(2,2,1)

plot( x0(1), x0(2), *r, x(:,1), x(:,2), b )

title(Diagrama de Fase, \alpha=\beta=\gamma=\delta=1)

xlabel(x_1), ylabel(x_2)

% Evolucion temporal

subplot(2,2,3)

plot(t, x(:,1), b, t, x(:,2), r)

title(Evolucion Temporal de los Estados)

xlabel(tiempo), ylabel(estado)

legend(x_1, x_2, Location, best)

% Simulacion con poblacion inicial [presas = 10; depredadores = 10],

% parametros de interaccion a=b=c=d=1 y los tiempo entre 0 y 50.

[t, x] = ode45(@(t,x) volterra_ec(t, x, 1, 1, 1, 1), [0 50], x0);

% Diagrama de Fase

figure

subplot(2,2,2)

plot( x0(1), x0(2), *r, x(:,1), x(:,2), b )

title(Diagrama de Fase, \alpha=\beta=\gamma=\delta=1)


% Evolucion temporal

subplot(2,2,4)

plot(t, x(:,1), b, t, x(:,2), r)




2

0 5 100

5

10

15

20Diagrama de Fase, ====1

x1

x 2

0 0.5 1 1.50

5

10

15

20Evolucin Temporal de los Estados

tiempo

esta

do

x1 x2

0 5 10 15 200

5

10

15

20Diagrama de Fase, ====1

x1

x 2

0 20 40 600

5

10

15

20Evolucin Temporal de los Estados

tiempo

esta

do

1.3 Caso 2: que sucede cuando solo hay depredadores osolo presas?

Este caso nos permite visualizar lo que sucede cuando las presas o los depredadoresse extinguen. Tambien uso distintos valores de las constantes a y c para estudiarsu influencia.

En el momento que las presas se extinguen los depredadores no tienen ali-mento y por tanto van desapareciendo exponencialmente. El parametro c rep-resenta la muerte natural de los depredadores cuando estos no tienen presaspara alimentarse. Por tanto, cuanto mayor es c mas rapida es la muerte de losdepredadores.

Con la extincion de los depredadores, el numero de presas crece de formaexponencial. Dependiendo del parametro a dicho crecimiento sera mas o menosacusado, pues este parametro describe la reproduccion de las presas; tomandoque estas disponen siempre de alimento. Sera una buena idea escribir un lmitede alimento del que disponen los depredadores, de forma que cuando el alimentoescasea el parametro a pasara a ser negativo.

Este mencionado comportamiento exponencial en ambos casos implica queaunque haya disminuciones drasticas de poblacion ninguna de las especies, nipresas ni depredadores, se extingan; pues habra una asntota horizontal enpoblacion = 0. Esto se debe al comportamiento exponencial, el cual se puedeverificar analticamente resolviendo las ecuaciones en los casos x = 0 e y = 0.

clear

figure

x0 = [0; 1]; t_max = 5;

[t, x] = ode45(@(t,x) volterra_ec(t, x, 1, 1, 1, 1), [0 t_max], x0);

subplot(2,1,1)

plot(t, x(:,2))

hold on


plot(t, x(:,2), r)

hold off

3

axis([0 t_max 0 max(x(:,2)) ])

title(Evolucion Temporal del numero de Depredadores, ausencia de presas)

xlabel(tiempo), ylabel(x_2 depredadores)

legend(\gamma = 1, \gamma = 2, Location, best)

clear

x0 = [1; 0]; t_max = 1;


subplot(2,1,2)

plot(t, x(:,1))

hold on


plot(t, x(:,1), r)

hold off

axis([0 t_max 0 max(x(:,1)) ])

title(Evolucion Temporal del numero de Presas, ausencia de depredadores)

xlabel(tiempo), ylabel(x_1 presas)

legend(\alpha = 1, \alpha = 2, Location, northwest)

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Evolucin Temporal del Nmero de Depredadores, ausencia de presas

tiempo

x 2 de

pred

ador

es

= 1 = 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

Evolucin Temporal del Nmero de Presas, ausencia de depredadores

tiempo

x 1 pr

esas

= 1 = 2

1.4 Caso 3: a=b=d=1 & c=8/3 & x0=y0=1

En este caso uso como poblaciones iniciales la unidad y como parametros deinteraccion a = b = d = 1 y c = 8/3.

Aqu el efecto del descenso del numero de depredadores y presas no es tanacusado, la poblacion no se acerca tanto a 0, como en el caso 1. Dicho efectolo podemos comprobar tanto en la evolucion temporal como en el diagrama defase. El aumento de la poblacion de presas tiene como efecto, no inmediato, hayun desfase en el tiempo, un aumento de los depredadores. Ademas tambien sevuelve a observar como la curva que vemos en la grafica es periodica, con unperodo algo menor a 5 unidades de tiempo.

clear

x0 = [1; 1]; t_max = 15;

[t, x] = ode45(@(t,x) volterra_ec(t, x, 1, 1, 8/3, 1), [0 t_max], x0);

4

figure

subplot(2,1,1)

plot( x0(1), x0(2), *r, x(:,1), x(:,2), b )

title(Diagrama de Fase, \alpha=\beta=\delta=1, \gamma = 8/3)


subplot(2,1,2)

plot(t, x(:,1), b, t, x(:,2), r)



axis([0 t_max 0 6.5])


1 2 3 4 5 60

1

2

3

4Diagrama de Fase, ===1, = 8/3

x1

x 2

0 5 10 150

2

4

6

Evolucin Temporal de los Estados

tiempo

est

ado

x1x2

2 Ejecucion del modelo Simulink de las ecua-ciones de Volterra-Lotka

Este script ejecuta y representa el modelo Simulink creado para la simulaciondel modelo de Volterra-Lotka para distintas poblaciones iniciales. Podemos usareste modelo Simulink del sistema para obtener los mismos resultados obtenidosmediante la simulacion de Matlab.

En este script recreo algunas de las simulaciones hechas anteriormente enMatlab.

% Guardo el diagrama de bloques de simulink en pdf para mostrarlo en latex

% sin que pierda calidad la imagen.

saveas(get_param(volterra_simulink,Handle),volterra_simulink.pdf);

5

dx xa*x

b*x

b*x*y

axbxy

x(aby) = dx

ydy

c*y

d*y

x*d*y

x*d*yc*y

y(x*dc) = y(c x*d) = dy

simout

1s

1s

d

c

a

b

2.1 Caso 1

Recreacion del caso 1 realizado en matlab.

clear

a = 1; b = 1; c = 1; d = 1; %Parametros del modelo

x0 = 10; y0 = 10; % poblaciones de presas y depredadores iniciales

t = 0:0.01:50; % tiempo de simulacion, se necesita un dt relativamente

% peque~no para obtener unos resultados equivalentes a los

% obtenidos anteriormente.

sim(volterra_simulink, t );

x = simout(:, 1); % presas

y = simout(:, 2); % depredadores

figure

% Diagrama de Fases

subplot(2,1,1)

plot( x0, y0, *r, x, y, b )

title(Diagrama de Fases con Simulink, \alpha=\beta=\gamma=\delta=1)

xlabel(x)

ylabel(y)

% Variacion temporal

subplot(2,1,2)

plot( t, x, k, t, y, b)

title(Variacion temporal, con Simulink)

xlabel(tiempo t), ylabel(estado)

legend(x, y, Location, best)

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

5

10

15

20Diagrama de Fases con Simulink, ====1

x

y

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20Variacin temporal, con Simulink

tiempo t

est

ado

x

y

2.2 Caso 2

Recreacion del caso 3 realizado en matlab.

clear

a = 1; b = 1; c = 8/3; d = 1; % Parametros del modelo

x0 = 1; y0 = 1; % poblaciones de presas y depredadores iniciales

t = 0:0.01:15; % tiempo de simulacion

sim(volterra_simulink, t );

x = simout(:, 1); % presas

y = simout(:, 2); % depredadores

figure

% Diagrama de Fases

subplot(2,1,1)

plot( x0, y0, *r, x, y, b )

title(Diagrama de Fases con Simulink, \alpha=\beta=\delta=1 & \gamma=8/3)

xlabel(x)

ylabel(y)

% Variacion temporal

subplot(2,1,2)

plot( t, x, b, t, y, k)

title(Evolucion Temporal de los Estados con Simulink)

xlabel(tiempo t), ylabel(estado)

legend(x, y, Location, best)

7

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4Diagrama de Fases con Simulink, ===1 & =8/3

x

y

0 5 10 150

2

4

6Evolucin Temporal de los Estados con Simulink

tiempo t

est

ado

x

y

3 Simulacion de un sistema masa-muelle-amortiguador

El siguiente sistema a simular esta constituido por un muelle y un amor-tiguador ambos conectados a una masa m. Los parametros que caracterizan almuelle y al amortiguador son k y c, respectivamente. En este caso las unidadesutilizadas son las del sistema internacional en todo momento. La ecuacion delmovimiento de la masa m es:

my(t) + cy(t) + ky(t) = F (t) (3)

Esta ecuacion la podemos poner como dos ecuaciones diferenciales de primerorden haciendo los cambios de variable y1 = y y y2 = y. Obteniendo:

y1 = y y1 = y = y2 (4)y2 = y y2 = y = 1

m[F (t) cy1 ky1] (5)

Funcion con las ecuaciones del sistema:

function ydot = amortiguador_ec( t, y, F, m, c, k )

% Ecuaciones del modelo de masa-muelle-amortiguador para su posterior

% resolucion con el comando ode45.

Fz = F(t);

ydot(1, 1) = y(2);

ydot(2, 1) = (Fz - c*y(2) - k*y(1) )/m;

Script de la simulacion:

clear

% Parametros del modelo, estos parametros son constantes para los 4 casos a

% estudiar.

m = 2.5; % kg

c = 0.6; % N*s/m

k = 0.4; % N/m

y0 = [0 0]; % Solucion inicial

8

Apartado A

Debemos examinar el sistema para una fuerza constante de 1N. En este casoobservamos que ambas variables, y1 e y2, tienden a 2.5 y 0 respectivamente.En los primeros segundos se observa una oscilacion de ambas variables perorapidamente esa oscilacion reduce su amplitud, se amortigua, hasta alcanzaruna posicion de equilibrio. Si hubiesemos tomado como valores iniciales [y1 =2.5, y2 = 0] habramos observado que ambas variables tendran un valor con-stante en el tiempo, estaran en equilibrio.

F = @(t) 1;

[t, y] = ode45(@(t,y) amortiguador_ec(t, y, F, m, c, k ), [0 50], y0);

figure

subplot(2,1,1)

plot( y0(1), y0(2), *r, y(:,1), y(:,2), b)

title(Diagrama de Fase)

xlabel(y1)

ylabel(y2)

subplot(2,1,2)

plot(t, y(:,1), b, t, y(:,2), k)

title(Variacion temporal)

xlabel(tiempo t)

legend(y1, y2, Location, best)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.5

0

0.5

1Diagrama de Fase

y1

y2

0 10 20 30 40 501

0

1

2

3

4Variacin temporal

tiempo t

y1y2

Apartado B

Debemos examinar el sistema para una fuerza sinusoidal de = 0.1. Al trabajarcon una fuerza de entrada sinusoidal esta estara variando en el tiempo y portanto tambien variara consigo la posicion y1 de la masa m. La amplitud de y1es constante pero presenta un ligero desfase respecto a la fuerza perturbadora.

F = @(t) sin(0.1*t);


9

figure

plot( t, y(:,1), b, t, F(t), k)

title(Variacion temporal de la posicion con la F_{in}, con Simulink, apartado B)

xlabel(tiempo t), ylabel(se~nales)

legend(y, F_{in})

0 50 100 150 2003

2

1

0

1

2

3Variacin temporal de la posicin con la Fin, con Simulink, apartado B

tiempo t

sea

les

yFin

Apartado C

Debemos examinar el sistema para una fuerza sinusoidal de = 0.4. Con esteaumento de la frecuencia de la oscilacion de la fuerza perturbadora vemos que eldesfase entre entrada y salida ha aumentado, siendo aproximadamente de pi/4.Ademas la senal y tarda un periodo en empezar a realizar todas las ocilacionescon la misma amplitud.

F = @(t) sin(0.4*t);


figure

plot( t, y(:,1), b, t, F(t), k)

title(Variacion temporal de la posicion con la F_{in}, con Simulink, apartado C)


legend(y, F_{in})

0 20 40 60 80 1005

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5Variacin temporal de la posicin con la Fin, con Simulink, apartado C

tiempo t

sea

les

yFin

10

Apartado D

Debemos examinar el sistema para una fuerza sinusoidal de = 1. El des-fase entre F e y ha aumentado a pi/2 y el tiempo que tarda la senal y enestabilizarse ha aumentado siendo ahora de dos periodos.

F = @(t) sin(1*t);


figure

plot( t, y(:,1), b, t, F(t), k)

title(Variacion temporal de la posicion con la F_{in}, con Simulink, apartado D)


legend(y, F_{in})

0 10 20 30 40 501

0.5

0

0.5

1

1.5Variacin temporal de la posicin con la Fin, con Simulink, apartado D

tiempo t

sea

les

yFin

Apartado E

Al igual que en el modelo de Volterra-Lotka existia un cierto desfase entre el crec-imiento de la poblacion de presas y depredadores en este sistema tambien obser-vamos un desfase entre perturbacion y efecto. Cuando introducimos una senalperturbadora sinusoidal comprobamos que la masa necesita un cierto tiempopara responder al estmulo, este tiempo es tanto mayor cuanto mayor sea lafrecuencia de la perturbacion.

4 Ejecucion del modelo de Simulink del amor-tiguador

Este archivo nos permite simular el sistema fsico propuesto en clase, formadopor un muelle, un amortiguador y una masa unida a amgos, usando el modeloSimulink en el archivo amortiguador simulink.mdl.

En el modelo simulink, para poder usar tanto senales de entrada constantescomo sinusoidales se ha puesto tanto una senal constante como una sinusoidaly un interruptor para elegir cual se quiere usar. Dicho interruptor se utiliza conla variable on off, si on off > 0 la senal es sinusoidal, si on off < 0 la senal escontinua. Para controlar la senal de entrada continua se usa la variable F dcexpresada en Newton. Para la senal de fuerza sinusoidal la variable F ampestablece la amplitud de la senal, en newton, y F frec la frecuencia en rad/s.

11

La posicion de la masa m viene dada por la variable y1 y su derivada por lavariable y2.

% Guardo una imagen del modelo simulink

saveas(get_param(amortiguador_simulink,Handle),amortiguador_simulink.pdf);

1/m*(F c*y2 k*y1) = dy2

y2 = dy1

c*y2

y1

k*y1

c*y2 + k*y1F c*y2 k*y1

F

simout

Switch

1s

1s

kc

on_off

F_dc

K

clear

% Parametros del modelo

m = 2.5; % kg

c = 0.6; % N*s/m

k = 0.4; % N/m

Apartado A

t_max = 50; dt = t_max/2000; t = 0:dt:t_max;

%Caractersticas de la fuerza aplicada

on_off = -1; % selecciono la fuente de continua

F_dc = 1; % Amplitud de la fuente de continua

F_amp = 0; % No hace falta, pues no estoy usando la fuente de alterna.

F_frec = 1;

sim(amortiguador_simulink, t );

y1 = simout(:, 2);

y2 = simout(:, 1);

figure

subplot(2,1,1)

plot( y1(1), y2(1), *r, y1, y2, b )

title(Diagrama de Fases, con Simulink, apartado A)

xlabel(y1)

ylabel(y2)

subplot(2,1,2)

plot( t, y1, b, t, y2, k)

title(Variacion temporal, con Simulink, apartado A)

xlabel(tiempo t)

legend(y1, y2,Location, best)

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.5

0

0.5

1Diagrama de Fases, con Simulink, apartado A

y1

y2

0 10 20 30 40 501

0

1

2

3

4Variacin temporal, con Simulink, apartado A

tiempo t

y1y2

Apartado B


% Caractersticas de la fuerza aplicada

on_off = 1; % selecciono la fuente sinusoidal

F_dc = 0; % nivel de continua de la fuerza

F_amp = 1; % amplitud de la fuerza

F_frec = 0.1; % frecuencia de la fuerza


y1 = simout(:, 2); % Posicion de la masa m.

F = squeeze(F); % La fuerza esta en un array de tres dimensiones y lo quiero

% dejar como una sola dimension, pues las otras dos estan

% vacas.

figure

plot( t, y1, b, t, F, k)

title(Variacion temporal de la posicion con la F_{in}, con Simulink, apartado B)


legend(y, F_{in})

13

0 50 100 150 2003

2

1

0

1

2

3Variacin temporal de la posicin con la Fin, con Simulink, apartado B

tiempo t

sea

les

yFin

Apartado C






F_frec = 0.4; % frecuencia de la fuerza



F = squeeze(F); % La fuerza esta en un array de tres dimensiones y lo quiero

% dejar como una sola dimension, pues las otras dos estan

% vacas.

figure


title(Variacion temporal de la posicion con la F_{in}, con Simulink, apartado C)


legend(y, F_{in},Location, NorthWest)

0 20 40 60 80 1005

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5Variacin temporal de la posicin con la Fin, con Simulink, apartado C

tiempo t

sea

les

yFin

14

Apartado D






F_frec = 1; % frecuencia de la fuerza



F = squeeze(F);

figure


axis([0 t_max min([min(F) min(y1)]) max([max(F) max(y1)]) ])

title(Variacion temporal de la posicion con la F_{in}, con Simulink, apartado D)

xlabel(tiempo t)

legend(y, F_{in})

0 10 20 30 40 50

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Variacin temporal de la posicin con la Fin, con Simulink, apartado D

tiempo t

sea

les

yFin

15

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