Simulación de leyes y Calculo de Variograma
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
1º INFORME DE GEOESTADISTICA I SIMULACION, VARIOGRAMA, HISTOGRAMA
ALUMNO: HUAYRA GABRIEL, Jhan Carlos
CODIGO: 20101036E
CURSO: GEOESTADISTICA I
PROFESOR: PhD. MARIN SUAREZ, Valeriano Alfredo
PROFESOR DE PRACTICA: Ing. TEVES ROJAS, Augusto
“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL
DESARROLLO RURAL Y
LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
1 GEOESTADISTICA I
INDICE
I. OBJETIVOS…………………………………………………………………………………...……………………2
II. ALCANCES…………………………………………………………………………………….……..………..…..2
III. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………….……….……..…..………4
IV. ANTECEDENTES DE LA GEOESTADISTICA………………………………………………………….5
V. MARCO TEÓRICO……………………………………………………………………….……….….………….7
VI. SIMULACION DE VARIABLES ALEATORIAS……………………………….……….……………….9
VI.1 Definición del Problema
VI.2 Algoritmo De Simulación de Mil variables aleatorias en Visual Basic 6.0
VI.3 Algoritmo de Orden Creciente y Decreciente de Leyes en Visual Basic 6.0
VI.4 Algoritmo de Cálculo de Variograma en Visual Basic 6.0
VI.5 Representación Gráfica del Variograma en Visual Basic con Excel y Bosquejo
en Visual BASIC 6.0
VI.6 Ejemplos de simulación
VII. CALCULO DEL VARIOGRAMA PROMEDIO………………………………………………………..19
VII.1 Definición del problema
VII.2 Aplicación de la Simulación para leyes de Dos Zonas Distintas.
VII.3 Cómputo de las leyes
VII.4 Algoritmo de Cálculo del Variograma Promedio entre Dos Zonas distintas
en la misma dirección, Con distinto o Igual Número de Variables en Visual Basic 6.0
VII.5 Ejemplos de cálculo de Variograma Promedio
VIII. HISTOGRAMA…………………………………………………………………………………………………25
VIII.1 Definición del Problema
VIII.2 Algoritmo para Calculo de Frecuencias de” n” variables en Visual Basic 6.0
VIII.3 Histograma de 1000 Variables Simuladas en Visual Basic con Excel u
Bosquejo de Histograma Con Visual Basic 6.0
IX. CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………………….30
X. RECOMENDACIONES……………………………………………………………………………………….30
XI. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………………30
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2 GEOESTADISTICA I
I. OBJETIVOS
Aprender y comprender el Variograma.
Analizar el Variograma con datos aleatorios producto de una simulación, en
este caso de 1000 datos.
Tener capacidad para comprender como se produce el Variograma
promedio en una dirección.
Comprender que las herramientas estadísticas no son suficientes para
analizar un conjunto de variables ubicadas en una región determina del
espacio.
II. ALCANCES
En el transcurso de este primer informe se podrá dar cuenta de que el análisis
del Variograma es muy útil para saber cómo cambia una variable en el espacio.
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3 GEOESTADISTICA I
III. INTRODUCCIÓN
La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del conocimiento, ha hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no obstante se centran en fundamentos probabilísticos comunes, son específicas para cada una de las diversas disciplinas del saber. Algunos ejemplos son, entre otros, la econometría, psicometría o la bioestadística. La gran relevancia que tiene actualmente a nivel mundial el tema ambiental ha hecho que los profesionales en estadística encaminen esfuerzos en el desarrollo de nuevas técnicas apropiadas para el análisis de información enmarcada dentro de este contexto. Como consecuencia de este impulso surgió la geoestadística, teniendo como padre a George Matheron. El presente informe tiene como propósito servir de ayuda para poder observar cómo se realiza un Variograma, cuáles son sus resultados para variables aleatorias de gran numero y como varia su grafica dependiendo como están ordenados estas variables. El principal soporte teórico del presente es la teoría aprendida en clase de geoestadística I, gracias al método constructivo con el cual se dicta el curso.
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4 GEOESTADISTICA I
IV. ANTECEDENTES DE LA GEOESTADISTICA.
La geoestadística es uno de los más grandes descubrimientos de siclo XX. Teniendo como
padre a Profesor Georges Matheron (1930 - 2000). De la escuela Fontainebleau, Francia.
"UNE VIE CONSACRÉE À LA MODÉLISATION PROBABILISTE"
Al llegar la geoestadística a américa latina se aplicó en Chile, esto debido a que las
condiciones burocráticas lo permitían.
La geoestadística en américa latina tiene como antecedente el trabajo presentado por
Michel Dagbert(SGS-geoestat Blainville, Quebec, Canadá) en la charla inaugural del Octavo
Congreso Internacional de Geoestadística, llevado a cabo en Santiago de Chile en diciembre
del 2008 En efecto, en el marco de la cooperación entre Francia y Chile, el Dr. Alain
Marechal, investigador del centro de geoestadística de Fontainebleau, Francia, enseñó
geoestadística y formó un equipo de geoestadística en el Departamento de Ingeniería de
Minas de la Universidad de Chile desde 1971 a 1973.
El equipo de investigación dirigido por el profesor Alain Marechal estaba constituido por 3
grupos:
1) Un grupo de 4 investigadores (Issac Ugarte (De nacionalidad Boliviana), Marco
Alfaro y Jorge Walton) para trabajar en proyectos de Codelco.
2) Un grupo de Desarrollo de Software en Geoestadística para el desarrollo y
programación de Métodos Numéricos, que permitan aplicar la Geoestadística
teórica de Matheron en las minas principales de Chile, a cargo de Alfredo Marín con
3 estudiantes de apoyo.
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5 GEOESTADISTICA I
3) Un grupo de investigación operativa a cargo de Jorge Mas y Hernán Buchi
(Posteriormente ministro de Hacienda de la república de Chile), con 3 estudiantes
de apoyo.
Luego se comentará sobre aplicaciones en Perú, Chile, Colombia, Ecuador y Estados Unidos
de Norteamérica.
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6 GEOESTADISTICA I
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7 GEOESTADISTICA I
V. MARCO TEÓRICO
VARIOGRAMA:
Es una función vectorial que permite medir las discrepancias de una propiedad en una región
del espacio. Siendo un herramienta de uso en el análisis de reservas minerales en una región
definida.
Una vez que se ha obtenido el variograma experimental y se ha estudiado su comportamiento,
el paso siguiente es encontrar algún modelo paramétrico que ajuste adecuadamente los datos
muestrales, esto es realizado por medio de variogramas teóricos. A continuación se muestras
los diferentes modelos de variogramas teóricos.
Como se puede observar cada modelo puede tener una forma diferente que se ajustara a un
comportamiento determinado del variograma experimental. Cada modelo tiene una meseta
que es el máximo valor del variograma, al alcanzarse la meseta se dice que se esta en el rango
que es el máximo valor de h al cual se puede decir que los puntos discretizados están
correlacionados, por lo tanto, un valor del rango muy pequeño conlleva a altas
heterogeneidades. En muchos casos, para un h igual a cero, el variograma no da cero lo cual es
un error ya que se estaría realizando un estudio continuo de la propiedad de interés, esto es
llamado efecto pepita y es provocado por errores en la toma de los datos en la mayoría de los
casos. A continuación se muestra un ejemplo del ajuste del variograma experimental con un
variograma teórico Gausiano.
Los variogramas son realizados en
varias direcciones para definir
adecuadamente el comportamiento de
la propiedad estudiada en toda la
extensión del yacimiento, en caso de
que se este estudiando en un plano
horizontal. Dependiendo de los
resultados se utilizará un método
geoestadístico u otro.
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8 GEOESTADISTICA I
HISTOGRAMA
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma
de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los
valores representados. Sirven para obtener una "primera vista" general, o panorama,
de la distribución de la población, o la muestra, respecto a una característica,
cuantitativa y continua, de la misma y que es de interés para el observador (como la
longitud o la masa). De esta manera ofrece una visión en grupo permitiendo observar
una preferencia, o tendencia, por parte de la muestra o población por ubicarse hacia
una determinada región de valores dentro del espectro de valores posibles (sean
infinitos o no) que pueda adquirir la característica. Así pues, podemos evidenciar
comportamientos, observar el grado de homogeneidad, acuerdo o concisión entre los
valores de todas las partes que componen la población o la muestra, o, en
contraposición, poder observar el grado de variabilidad, y por ende, la dispersión de
todos los valores que toman las partes, también es posible no evidenciar ninguna
tendencia y obtener que cada miembro de la población toma por su lado y adquiere un
valor de la característica aleatoriamente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia,
entre otras cosas.
En el eje vertical se representan las frecuencias, es decir, la cantidad de población o la
muestra, según sea el caso, que se ubica en un determinado valor o subrango de
valores de la característica conocido como intervalo de clase. En el eje horizontal se
representa el espectro de valores posibles que toma la característica de interés,
evidentemente, cuando éste espectro de
valores es infinito o muy grande el mismo es
reducido a sólo una parte que muestre la
tendencia o comportamiento de la población,
en otras ocasiones éste espectro es extendido
para mostrar el alejamiento o ubicación de la
población o la muestra analizada respecto de
un valor de interés.
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9 GEOESTADISTICA I
VI. SIMULACION DE VARIABLES ALEATORIAS
VI.1 Definición del Problema:
LA simulación es una herramienta utilizada para ensayar, ya que su función no es el de
maximizar o minimizar, no tiene un objetivo de ese tipo.
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10 GEOESTADISTICA I
Descripción de formulario de simulación:
CO
MP
UT
O D
E
MA
XIM
A Y
MIN
IMA
RES
ULT
AD
OS
ESTA
DIS
TIC
OS
DE
LA
SIM
ULA
CIO
N
GR
AFI
CA
DEL
HIS
TOG
RA
MA
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11 GEOESTADISTICA I
VI.2 Algoritmo De Simulación de Mil variables aleatorias en Visual Basic 6.0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdil_Click() lmayor = Val(txtmayorley.Text) lmenor = Val(txtmenorley.Text) End Sub -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdcalvar_Click() For i = 1 To 1000 LA(i) = (lmayor - lmenor) * Rnd + lmenor lstleya.AddItem LA(i) Next For H = 1 To 999 For i = 1 To 1000 - H s = s + (LA(i) - LA(i + H)) ^ 2 Next G1(H) = (0.5) * s / (1000 - H) s = 0 lstvara.AddItem G1(H) Next For i = 1 To 1000 For j = 1 To 999 If LA(j) < LA(j + 1) Then Z = LA(j) LA(j) = LA(j + 1) LA(j + 1) = Z End If Next j Next i For i = 1 To 1000 LB(i) = LA(i) lstleyb.AddItem LB(i) Next i For H = 1 To 999 For i = 1 To 1000 - H s = s + (LB(i) - LB(i + H)) ^ 2 Next G2(H) = (0.5) * s / (1000 - H) s = 0 lstvarb.AddItem G2(H) Next End Sub
ALGORITMO PARA GENERAR 1000
VARIABLES ALEATORIAS Y
ALMACENARLOS EN UN UNA
MATRIZ
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12 GEOESTADISTICA I
VI.3 Algoritmo de Orden Creciente y Decreciente de Leyes en Visual Basic 6.0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdil_Click() lmayor = Val(txtmayorley.Text) lmenor = Val(txtmenorley.Text) End Sub -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdcalvar_Click() For i = 1 To 1000 LA(i) = (lmayor - lmenor) * Rnd + lmenor lstleya.AddItem LA(i) Next For H = 1 To 999 For i = 1 To 1000 - H s = s + (LA(i) - LA(i + H)) ^ 2 Next G1(H) = (0.5) * s / (1000 - H) s = 0 lstvara.AddItem G1(H) Next For i = 1 To 1000 For j = 1 To 999 If LA(j) < LA(j + 1) Then Z = LA(j) LA(j) = LA(j + 1) LA(j + 1) = Z End If Next j Next i For i = 1 To 1000 LB(i) = LA(i) lstleyb.AddItem LB(i) Next i For H = 1 To 999 For i = 1 To 1000 - H s = s + (LB(i) - LB(i + H)) ^ 2 Next G2(H) = (0.5) * s / (1000 - H) s = 0 lstvarb.AddItem G2(H) Next End Sub
ALGORITMO PARA ORDENAR LAS
VARIABLES ALEATORIAS
GENERADAS ANTERIORMENTE
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13 GEOESTADISTICA I
VI.4 Algoritmo de Cálculo de Variograma en Visual Basic 6.0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdil_Click() lmayor = Val(txtmayorley.Text) lmenor = Val(txtmenorley.Text) End Sub -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdcalvar_Click() For i = 1 To 1000 LA(i) = (lmayor - lmenor) * Rnd + lmenor lstleya.AddItem LA(i) Next For H = 1 To 999 For i = 1 To 1000 - H s = s + (LA(i) - LA(i + H)) ^ 2 Next G1(H) = (0.5) * s / (1000 - H) s = 0 lstvara.AddItem G1(H) Next For i = 1 To 1000 For j = 1 To 999 If LA(j) < LA(j + 1) Then Z = LA(j) LA(j) = LA(j + 1) LA(j + 1) = Z End If Next j Next i For i = 1 To 1000 LB(i) = LA(i) lstleyb.AddItem LB(i) Next i For H = 1 To 999 For i = 1 To 1000 - H s = s + (LB(i) - LB(i + H)) ^ 2 Next G2(H) = (0.5) * s / (1000 - H) s = 0 lstvarb.AddItem G2(H) Next End Sub
ALGORITMO PARA CALCULAR EL
VARIOGRAMA
CALCULO DE VARIOGRAMA
DE 1000 DATOS ALEATORIO
OBTENIDOS
CALCULO DE VARIOGRAMA
DE 1000 DATOS ALEATORIO
ORDENADOS DE FORMA
DECRECIENTE
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14 GEOESTADISTICA I
VI.5 Representación Gráfica del Variograma en Visual Basic con Excel y Bosquejo en
Visual BASIC 6.0
EN VISUAL BASIC CON EXCEL:
NOTA: En el CD adjunto se encuentra la aplicación de Visual Basic con Excel.
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15 GEOESTADISTICA I
VISUAL BASIC 6.0 :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub cmdgrafa_Click() 'eje x picture1.Line (0, picture1.Height - 50)-(picture1.Width, picture1.Height - 50) 'ejey picture1.Line (0, picture1.Height)-(0, 0) For i = 1 To 999 HA(i) = G1(i) Next i For i = 1 To 1000 For j = 1 To 999 If HA(j) < HA(j + 1) Then l = HA(j) HA(j) = HA(j + 1) HA(j + 1) = l End If Next j Next i LBLA.Caption = HA(1) For i = 1 To 999 F = picture1.Height - G1(i) * (picture1.Height / HA(1)) picture1.PSet (i * 4, F - 50) Next F = 0 End Sub -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ALGORITMO PARA
GRAFICAR EL
VARIOGRAMA COMO
PUNTOS
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16 GEOESTADISTICA I
VI.6 Ejemplos de simulación:
VISUAL BASIC 6.0:
Leyes [ 9 ; 3 ]
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17 GEOESTADISTICA I
Leyes [12; 10]
NOTA: En el CD adjunto se encuentra la aplicación de Visual Basic 6.0.
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18 GEOESTADISTICA I
APLICACIÓN DE VISUAL BASIC CON MICROSOFT EXCEL
DATOS DESORDENADOS:
DATOS ORDENADOS DECRESIENTEMENTE:
NOTA: En el CD adjunto se encuentra la aplicación de Visual Basic con Excel.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 200 400 600 800 1000 1200
0
10
20
30
40
50
60
70
0 200 400 600 800 1000 1200
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19 GEOESTADISTICA I
VII. CALCULO DEL VARIOGRAMA PROMEDIO
VII.1 Definición del problema:
Para el cálculo del Variograma promedio se debe tener en cuenta muchos factores,
entre ellos que si tenemos distinta cantidad de Variograma de dos zonas, en este caso
en Visual Basic se inserta un algoritmo para poder realizar la operación con muchas
variables.
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20 GEOESTADISTICA I
Descripción del formulario de Variograma promedio :
CO
MP
UTO
DE
VA
RIA
BLE
S
EN C
AD
A Z
ON
A
SIM
ULA
CIO
N D
E “n
”
VA
RIA
BLE
S EN
CA
DA
ZO
NA
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21 GEOESTADISTICA I
VII.2 Aplicación de la Simulación para leyes de Dos Zonas Distintas.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub CMDSA_Click() Q = Val(TXTNA.Text) A = Val(TXTMLA.Text) B = Val(TXTMEA.Text) For I = 1 To Q LA(I) = (A - B) * Rnd + B LSTLA.AddItem LA(I) Next End Sub ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Private Sub CMDSB_Click() D = Val(TXTNB.Text) X = Val(TXTMLB.Text) Y = Val(TXTMEB.Text) For R = 1 To D LB(R) = (X - Y) * Rnd + Y LSTLB.AddItem LB(R) Next End Sub
VII.3 Cómputo Manual de las Leyes
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Private Sub CMDIA_Click() W = W + 1 N = Val(TXTLA.Text) LSTLA.AddItem N TXTLA.Text = "" LA(W) = N End Sub ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Private Sub CMDIB_Click() P = P + 1 N = Val(TXTLB.Text) LSTLB.AddItem N TXTLB.Text = "" LB(P) = N End Sub
CALCULO DE “Q” VARIABLES
ALEATORIAS EN ZONA A
CALCULO DE “D” VARIABLES
ALEATORIAS EN ZONA B
COMPUTO DE VARIABLESDE LA
ZONA A, LAS CUALES DE
GUARDARAN EN MATRICES
COMPUTO DE VARIABLESDE LA
ZONA B, LAS CUALES DE
GUARDARAN EN MATRICES
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22 GEOESTADISTICA I
VII.4 Algoritmo de Cálculo del Variograma Promedio entre Dos Zonas distintas en la
misma dirección, Con distinto o Igual Número de Variables en Visual Basic 6.0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Private Sub CMDCALA_Click() If TXTNA.Text = "" Then N = W Else N = Val(TXTNA.Text) End If For H = 1 To N - 1 For J = 1 To N - H S = S + (LA(J) - LA(J + H)) ^ 2 Next GA(H) = ((0.5) * S) / (N - H) S = 0 J = 0 LSTTA.AddItem GA(H) Next End Sub ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Private Sub CMDCALP_Click() X = N Y = M If X > Y Then W = X Z = Y Else W = Y Z = X End If For P = 1 To W - 1 S = GA(P) * (X - P) + GB(P) * (Y - P) If P >= Z Then VP(P) = S / (W - P) Else VP(P) = S / (X + Y - 2 * P) End If LSTPRO.AddItem VP(P) Next End Sub ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ALGORITMO PARA EL
CALCULO DEL VARIGRAMA
PROMEDIO DE 2 ZONAS A Y B
CALCULO DEL VARIOGRAMA
DE LA ZONA A
UN ALGORITMO MUY SIMILAR
PARA LA ZONAB
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23 GEOESTADISTICA I
VII.5 Ejemplos de cálculo de Variograma Promedio
Ejemplo con simulación en las zonas A y B; y cálculo de Variograma promedio:
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24 GEOESTADISTICA I
Ejemplo de Variograma Promedio propuesto en clase por el PhD. Alfredo Marín:
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25 GEOESTADISTICA I
VIII. HISTOGRAMA
VIII.1 Definición del Problema
Luego de simular 1000 daos aleatorios, procederemos a su análisis. En el análisis
estadístico podemos usar una herramienta muy importante que es el Histograma. Un
inconveniente de la estadística es que no nos permite analizar la manera como están
ordenados las variable, para lo cual es necesario el Variograma, entonces podemos concluir
que la estadística es una parte de la Geoestadística, ya que esta es más general.
CO
EFIC
IEN
TE D
E V
AR
IAC
ION
DEV
IAC
ION
EST
AN
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R
VA
RIA
NZA
MED
IA
GR
AFI
CA
DE
HIS
TOG
RA
MA
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26 GEOESTADISTICA I
VIII.2 Algoritmo para Calculo de Frecuencias de” n” variables en Visual Basic 6.0.
Private Sub CMDESTA_Click() c = Format(1 + 3.332 * Log(1000) / Log(10), "#00") a = (lmayor - lmenor) / c 'ANCHO DE CLASE ni = ((lmayor - lmenor) / a) + 1 ' numero de intervalos For P = 1 To ni For i = 1 To 1000 If LA(i) >= lmenor + a * (P - 1) And LA(i) < lmenor + a * P Then R = R + 1 End If Next HISA(P) = R / 1000 R = 0 F = Picture3.Height - HISA(P) * Picture3.Height Picture3.Line (P * 300, F - 50)-((P + 1) * 300, F - 50) Picture3.Line (P * 300, Picture3.Height)-(P * 300, F - 50) Picture3.Line ((P + 1) * 300, Picture3.Height)-((P + 1) * 300, F - 50) Next Picture3.Line (0, Picture3.Height)-(0, 0) 'EJEY Picture3.Line (0, Picture3.Height - 50)-(Picture3.Width, Picture3.Height - 50) 'EJE X For i = 1 To 1000 X = X + LA(i) Next MED = X / 1000 For i = 1 To 1000 s = s + (LA(i) - MED) ^ (2) Next VAR = s / 1000 DES = (VAR) ^ (0.5) CV = DES / MED LBL1.Caption = MED LBL2.Caption = VAR LBL3.Caption = DES LBL4.Caption = CV X = 0 End Sub
ALGORITMO
PARA HALLAR
LAS
FRECUENCIAS
DE 1000
VARIABLES
CALCULO DE LA MEDIA
CALCULO DE LA VARIANZA
CALCULO DE LA
DESVIACION ESTANDAR Y
DE LA VARIANZA
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
27 GEOESTADISTICA I
VIII.3 Histograma de 1000 Variables Simuladas en Visual Basic con Excel y
Bosquejo de Histograma Con Visual Basic 6.0:
VISUAL BASIC CON MICROSOFT EXCEL:
50 Intervalos
100 Intervalos
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28 GEOESTADISTICA I
20 Intervalos
10 Intervalos
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29 GEOESTADISTICA I
VISUAL BASIC 6.0:
SALI
DA
DE
DA
TOS
ESTA
DIS
TIC
OS
E
HIS
TOG
RA
MA
EN
EX
CEL
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30 GEOESTADISTICA I
IX. CONCLUSIONES
El Variograma es una herramienta que nos ayuda analizar cómo están
distribuidas las variables, en lo cual la estadística se limita en solo analizar el
conjunto más no el orden.
El Variograma promedio es una herramienta muy útil para analizar el
conjunto, en este caso se usó como ejemplos 2 taladros, al igual que el
ejemplo del Doctor Marín.
El histograma es una herramienta estadística de gran ayuda a la hora de
analizar variables, ya que allí se puede observar el tipo de distribución al
cual pertenecen nuestras variables.
X. RECOMENDACIONES
En el cómputo de los códigos de Visual Basic se debe tener mucho cuidado ,
ya que sino el programa no se ejecuta, también se deben declarar todas las
variables para que sean considerados números o no.
Al momento de ingresar la máxima y mínima ley se debe tener cuidado de
que se asemejen a datos cercanos a la realidad. Por ejemplo ley de Cu de
1.9%
Para tener una mejor apreciación de la gráfica de histogramas es
recomendable que se deba de realizar con varios anchos de clase.
XI. BIBLIOGRAFIA
clases de Informática por Ing. Chávez, Adolfo
Clases del PhD. Alfredo Marín Suarez
http://geoestadistica.org/index.html, página del CENTRO GEOESTADÍSTICO
PERUANO, Lima 21 de abril del 2013.
SIMPOSIUM INTERNACIONAL DE PLANEAMIENTO DE MINA (SIPLAMIN),
Exposición realizada por el Dr. Alfredo Marín, Lima 15 de noviembre del
2012.