4.4 Simulación de sistemas de inventarios.

MODELOS DE INVENTARIO

En esta sección se presentan modelos de inventarios que ayudan a contestar dos preguntas importantes que se aplican a cada producto en el inventario: Cuándo colocar una orden para un artículo y cuánto ordenar de un artículo.

Se considerarán los siguientes modelos de demanda independiente:

1. Modelo del tamaño del lote económico (L.E);2. Modelo de cantidad de orden de producción.

MODELO DEL TAMAÑO DEL LOTE ECONÓMICO BÁSICO (L. E)

En un sistema de inventarios, más apropiadamente de control de inventarios desde el punto de vista de las operaciones administrativas, podemos identificar como componentes a un almacén donde se resguardan los artículos diversos materias primas como petróleo crudo, componentes y subensambles como tarjetas madre para computadoras o productos terminados como las computadoras. Estos artículos son solicitados o demandados por clientes para su consumo en el proceso de transformación, o ensamble de productos integrados o su uso final. Al almacén llegan los clientes y demandan una determinada cantidad del artículo de interés y esperan que su solicitud les sea satisfecha por el administrador del almacén. De no ser así, los clientes pueden marcharse sin regresar al almacén o bien, se pueden ver afectados en su propia operación y productividad. Esto tiene un costo para el operador del almacén y se denomina costo de faltante o de escasez

Por otro lado, el administrador del almacén se surte de un proveedor el cual puede ser interno a la empresa como en una línea de producción en la estación de fabricación de gabinetes para refrigeradores o externos como en el proceso de ensamble de discos duros en las computadoras. Cuando a estos proveedores se les hace una requisición de orden por el almacenista, ellos se comprometen a entregar la cantidad ordenada en un tiempo especificado, llamado tiempo de entrega. La orden que el almacenista coloca a su proveedor tiene un costo y se denomina costo de ordenar.

También es claro que para su seguridad y manutención en buen estado de los artículos, el almacenista incurre en un costo llamado costo de mantener el inventario o costo de almacenamiento.

El objetivo operacional del administrador del almacén para satisfacer la entrega de la cantidad demandada por los clientes es decidir la cantidad a ordenar a su proveedor y mantener un nivel de existencias (stock) adecuado para que su funcionamiento sea a costo mínimo.

En un sistema de inventarios, podemos identificar a la demanda diaria o por período y el tiempo de entrega por parte del proveedor como las variables exógenas. Las variables de estado son el nivel del inventario, la demanda diaria promedio, el tiempo promedio de las

entregas, la cantidad a ordenar al proveedor, el punto de reorden y el tiempo reloj. Los parámetros corresponden a el costo de mantenimiento por unidad por tiempo unitario, el costo de colocación de las órdenes, el nivel inicial del inventario. También se considera el tiempo total de la corrida de la simulación como un parámetro. Las variables endógenas son el costo total de mantenimiento, el costo total de colocación de órdenes y el costo total de faltante. En un sistema estocástico se tiene a la función de probabilidad de la demanda, así como a la función de probabilidad del tiempo de entrega.

El tamaño del lote económico (L. E) es una de las técnicas de control de inventario más antiguas y conocidas. La investigación de su utilización se remonta a una publicación de 1915 por Ford W. Harris. L. E todavía es utilizado por un gran número de organizaciones en la actualidad. Esta técnica es relativamente fácil de utilizar, pero hace una gran cantidad de suposiciones. Las mas importantes son:

1. La demanda es conocida y constante.2. El tiempo de entrega, esto es, el tiempo entre la colocación de la orden y la recepción del pedido, se conoce y es constante.3. La recepción del inventario es instantánea. En otras palabras, el inventario de una orden llega en un lote, e}n un mismo momento.4. Los descuentos por cantidad no son posibles.5. Los únicos costos variables son el costo de preparación o de colocación de una orden (costos de preparación) y el costo del manejo o almacenamiento del inventario a través del tiempo (costo de manejo).6. Las faltas del inventario (faltantes) se puede evitar en forma completa si las órdenes se colocan en el momento adecuado.

Con estas suposiciones, la gráfica de la utilización del inventario a través del tiempo tiene la forma de dientes de serrucho, como en la siguiente figura.

En ésta, Q representa la cantidad que se está ordenando. Si la cantidad es de 500 vestidos, todos llegan en el mismo momento (cuando se recibe una orden). Por lo tanto, el nivel del inventario salta de 0 a 500 vestidos. En general, un nivel de inventario crece de 0 a Q unidades cuando llega la orden.

Si la demanda es constante en un rango de tiempo, el inventario cae en una tasa uniforme a través del tiempo. Cuando un nivel de inventario llega a 0, se coloca una nueva orden y se recibe, y el nivel de inventario vuelve a saltar a unidades Q (representadas por las líneas verticales). Este proceso continúa en forma indefinida a través del tiempo

Costos del inventario. El objetivo de la mayoría de los modelos de inventario es minimizar los costos totales. Con las suposiciones recién dadas, los costos significativos son el costo de preparación (orden) y el costo de manejo (almacenaje). Todos los demás costos, tal como el costo del inventario por si mismo, son constantes. Por lo tanto, si se reduce la suma de los costos de preparación y de manejo, se estarán minimizando también los costos totales. Para ayudar a visualizar este punto, en la siguiente figura se gráfica los costos totales como una función de la cantidad ordenada Q. El tamaño óptimo de la orden, Q*, será la cantidad que minimiza los costos totales. Cuando se incrementa la cantidad ordenada, se reduce el costo anual de preparar u ordenar. Pero su se incrementa la cantidad ordenada, el costo de manejo se eleva debido a que se deben mantener mayores inventarios en promedio.

Obsérvese en la figura que la cantidad óptima de la orden ocurre en el punto donde se interceptan la curva del costo del costo de ordenar y la curva del costo de almacenar el inventario. Con el modelo L. E, la cantidad óptima en la orden ocurre en el punto donde el costo total de preparación, es igual al costo total de manejo. Se utiliza este hecho para desarrollar las ecuaciones que resuelven directamente a Q*. Los pasos necesarios son:

1. Desarrollar una expresión para el costo de preparación (orden).2. Desarrollar una expresión para el costo de manejo (almacenamiento).3. Igualar el costo de preparación y el costo de manejo.4. Resolver la ecuación para la cantidad óptima a ordenar.

Utilizando las siguientes variables se pueden determinar los costos de preparación y manejo para resolver Q*:

Q = Número de piezas por ordenQ* = Número óptimo de piezas por ordenar (L. E)D = Demanda anual en unidades para el producto del inventario.S = Costo de preparación para cada ordenH = Costo de manejo del inventario por unidad por año.

1. Costo anual de preparación = (Número de órdenes colocadas/año)(Costo de preparación/orden)

2. Costo anual de manejo = (Nivel promedio de inventario)(Costo de manejo/unidad/año)

3. La cantidad óptima de la orden se encuentra cuando el costo anual de preparación es igual al costo anual de manejo, es decir:

4. Para resolver Q* sencillamente se utiliza

Ahora se mostrarán ejemplos de solución analítica de inventarios.

EJEMPLO. Una empresa que comercializa las agujas hipodérmicas indoloras en los hospitales, desea reducir los costos de inventario mediante la determinación del número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1000 unidades; el costo de preparación o de ordenar es de 10 dólares por orden; y el costo de manejo por unidad por año es de 50 centavos de dólar. Utilizando estos datos, se puede calcular el número óptimo de unidades por orden.Solución. Utilizando la ecuación de tamaño de lote económico:

Resulta una cantidad óptima de: Q* = 200 unidades

PUNTO DE REORDEN

Ahora que se ha decidido cuánto ordenar, se debe observar la segunda pregunta del inventario, cuándo ordenar. Los modelos sencillos de inventario suponen que la recepción de una orden instantánea. En otras palabras, suponen que una empresa tendrá que esperar

hasta que su nivel de inventario sea de cero antes de colocar una orden, y que recibirá los artículos inmediatamente. Sin embargo, el tiempo entre la colocación y la recepción de una orden, llamado tiempo de entrega, puede ir desde unas cuantas horas hasta varios meses. Por lo tanto, la decisión de cuándo ordenar está expresada en términos de un punto de reorden, que es el nivel de inventario en el cual se debe colocar una orden.

El punto de reorden R (ROP, por sus siglas en inglés, Reorder Point) se da como:

R = (Demanda diaria)(Tiempo de entrega para una nueva orden en días)R = d x L

Esta ecuación para R supone que la demanda es uniforme y constante. Cuando este no sea el caso, se debe añadir el inventario extra, llamado frecuentemente inventario de seguridad.

La demanda diaria, d, se encuentra al dividir la demanda anual D, entre el número de días laborados en un año:

d = D / Número de días laborales en un año

Fig. 4. Diagrama de flojo de la simulación

EJEMPLO 5.2 El tiempo de entrega y la demanda diaria de un cierto producto, sigue las siguientes distribuciones de probabilidad.

Tiempo de Entrega (Días) Probabilidad

1 0.252 0.503 0.204 0.05

Demanda Diaria(unidades) Probabilidad

0 0.041 0.06

2 0.103 0.204 0.305 0.186 0.087 0.038 0.01

La información con respecto a los costos relevantes es la siguiente:

Costo de ordenar = $ 50 / ordenCosto de Inventario = $ 20 /unidad / añoCosto de faltante = $ 25 /unidad

El inventario inicial es de 15 unidades, la cantidad a ordenar Q = 20 y el nivel de reorden R = 15. Efectúe la simulación para 15 días y calcule el costo total de operación del sistema.

Demanda Diaria(unidades) f(x) F(x)

0 0.04 0.041 0.06 0.102 0.10 0.203 0.20 0.404 0.30 0.705 0.18 0.886 0.08 0.967 0.03 0.998 0.01 1.00

TABLA DE LA TRANSFORMADA INVERSA PARA LA DEMANDA

Si 0 = RND =0.04 ? x = 0 Si 0.4= RND =0.10 ? x = 1Si 0.10= RND =0.20 ? x = 2 Si 0.20= RND =0.40 ? x = 3Si 0.40= RND =0.70 ? x = 4Si 0.70= RND =0.88 ? x = 5 Si 0.88 = RND =0.96? x = 6 Si 0.96= RND =0.99 ? x = 7Si 0.99= RND =1.00 ? x = 8

La función acumulada de probabilidad para el tiempo de entrega es

Tiempo de entrega f(x) F(x)

1 0.25 0.252 0.50 0.753 0.20 0.954 0.05 1.00

TRANSFORMADA INVERSA PARA EL TIEMPO DE ENTREGA

Si 0 = RND =0.25? x = 1Si 0.25= RND =0.75? x = 2Si 0.75= RND =0.95? X = 3Si 0.95= RND =1.00? X = 4

EL INVENTARIO PROMEDIO SERA:

Inv. Prom. = Inv. Inc. + Inv. Fin. / 2

La corrida de la simulación es:

Dia Inventario Inicial

Número aleatori

oRND

Demanda

Inventario final

Inventario

PromedioFaltant

eNúmero de

Orden

Número aleatorio RND

Tiempo de

Entrega

1 15 .23 3 12 14 1 .58 22 12 .43 4 8 103 8 .37 3 5 74 25 .51 3 21 235 21 .07 1 20 216 20 .66 4 16 187 16 .11 2 14 15 2 .30 28 14 .77 5 9 129 9 .21 3 6 8

10 26 .41 4 22 2411 22 .28 3 19 2112 19 .74 8 14 1713 14 .06 1 13 14 3 .14 114 13 .53 4 9 1115 29 .44 4 25 27

Por lo que se tiene:

Costo de inventario diario por unidad = $26 / 35 = $ 0.071Costo de faltante = $ 0Costo de Orden = (3) ( 450) = $ 150Costo de Inventario = (242)(0.71) = $ 17.182

Costo Total = $ 167.182

EJEMPLO 5.3 La demanda diaria de tiempo de entrega de un cierto artículo tiene las siguientes distribuciones probabilísticas

Demandadiaria (unidades) 25 26 27 28 29 30 31 35 33 34

Probabilidad 0.02 0.04 0.06 0.12 0.20 0.24 0.15 0.10 0.05 0.02

Tiempo de Entrega(días) 1 2 3 4

Probabilidad 0.2 0.3 0.25 0.25Si el producto no esta disponible cuando es requerido, el cliente puede esperar. La llegada de un nuevo lote por tiempo limitado, cuya distribución de probabilidad es:

Tiempo de Espera Clientes (días)

0 1 2 3 4

Probabilidad 0.4 0.2 0.15 0.15 0.1Los costos son:

Costo de inventario : $ 52 unidad/día/añoCosto de ordenar = $ 100 / ordenCosto de faltante con espera de cliente = $ 20 / unidadCosto de faltante sin espera del cliente = $ 50 unidad

Supóngase un inventario inicial de 50 unidades, la cantidad a ordenar igual a 100 unidades y el punto de reorden de 75 unidades. Simular 15 días y encontrar el costo total.

Demanda f(x) F(x)25 0.02 0.0226 0.04 0.0627 0.06 0.1228 0.12 0.2429 0.20 0.4430 0.24 0.6831 0.15 0.8332 0.10 0.9333 0.05 0.9534 0.02 1.00

Si 0 = RND =0.02 ? x = 25 Si 0.02= RND =0.06 ? x = 26

Si 0.06= RND =0.12 ? x = 27 Si 0.12= RND =0.24 ? x = 28Si 0.24= RND =0.44 ? x = 29Si 0.44= RND =0.68 ? x = 30Si 0.68= RND =0.83? x = 31Si 0.83= RND =0.93 ? x = 32Si 0.93= RND =0.98 ? x = 33Si 0.98= RND =1.00 ? x = 34

Tiempo de Entrega(unidades) f(x) F(x)

1 0.2 0.202 0.3 0.503 0.25 0.754 0.25 1.00

Si 0 = RND =0.20 ? x = 1 Si 0.20= RND =0.50 ? x = 2Si 0.50= RND =0.75 ? x = 3 Si 0.75= RND =1.00 ? x = 4

Tiempo de espera del cliente

(unidades)f(x) F(x)

0 0.40 0.401 0.20 0.602 0.15 0.753 0.15 0.904 0.10 1.00

Si 0 = RND =0.40 ? x = 0 Si 0.40= RND =0.60 ? x = 1Si 0.50= RND =0.75 ? x = 2 Si 0.75= RND =0.90 ? x = 3Si 0.90= RND =1.00 ? x = 4

Día Inv.Inc. RND Demanda Inv.

FinalInv.

PromFaltante

Orden RND

Tiempode

espera

RNDTiempo

deespe

ra

1 50 0.69 31 19 35 1 2 0.22 22 19 0.37 29 0 10 10 0.64 03 0 0.75 31 0 0 31 0.064 90 0.60 30 60 75 2 0.43 25 60 0.54 30 30 456 30 0.47 30 0 15

7 100 0.79 31 69 85 3 18 69 0.96 33 36 539 136 0.42 29 107 122

10 107 0.98 33 74 91 4 0.29 211 74 0.15 28 46 6012 46 0.59 30 16 3113 116 0.37 29 87 10214 102 0.25 29 73 88 5 0.76 315 73 0.14 38 45 59

Los resultados de la corrida de simulación son:Inv. Prom. = Inv. Inic. + Inv. Final / 2Costo faltante = (10)(20) + (31)(50) = 1750Costo de Orden = (5)(100) = 500Costo de inventario = (871)(52/365) = 124.08Costo Total = $ 2374.0