Sesión Contenidos:

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↘Concepto de par ordenado. ↘El Plano cartesiano.↘Conceptos de Relación &

Función.↘Dominio y Recorrido.

Profesor: Víctor Manuel Reyes F.Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)

Primer Semestre 2012

Aprendizajes esperados:~ Graficar puntos en los cuatro cuadrantes del plano

cartesiano.~ Determinar dominio, recorrido e inversa de relaciones por

extensión.~ Transformar relaciones por comprensión en relaciones por

extensión.~ Diferenciar relaciones de funciones.~ Determinar dominio, recorrido e inversa en funciones

expresadas en notación funcional (implícita o Explícita).~ Graficar funciones lineales y racionales simples en el

plano cartesiano.

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.

Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores.

Concepto de Función

Concepto de Función

Cigarros/diario

Capróstata

Capulmón

Cariñón

5 3 14 37 5 21 38 4 25 69 5 24 7

11 6 26 3

Por 100000 habitantes

Una función se puede presentar mediante una tabla.Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses).

¿Dónde se usan las Funciones?

Edad (meses)

Longitud (cm)

2 43 84 156 297 348 389 42

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada.(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm

Representación Función

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

2346789

48

1529343842

Representación Función

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

2346789

48

1529343842

¿Son funciones?

Ejemplo de funcionesEdad / agilidad

Edad / altura

Temperatura / presión gas

Sesiones / % recuperación

Partículas / infección respiratoria

Edad / cantidad palabras

Hora estudio/ rendimientoacadémico

Altitud / 02 disuelto

$ / ……………..

Profundidad / presión

Asma extrínseca / Cap.vital

Antioxidantes / cáncer

Colesterol / infarto

Trat. láser de He-Ne / recidivas

Plano Cartesiano

y f x

x

;P x f x

Variable Independiente:

x

VariableDependiente:

y = f(x)f(x) es la imagen de x

x es la preimagen de f(x)

Representación Función

Edad(meses)

Longitud(Cms)

2346789

48

1529343842

Edad

Long

itud

Representación Función

2346789

48

1529343842

El dominio de una o función es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación.

Es el conjunto de las preimágenes, es la parte que tomo del conjunto de partida.

Dominio de una función

Y lo denotaremos por Dom (f)

Ejemplos:

1) (2,3), (5,7), (1, 1), (3,4)

2,5,1,3

2) ( , ), ( , ), ( , )

, ,

R

DomR

S José María Sebastián Elena Romeo Julieta

DomS José Sebastián Romeo

El recorrido de una función es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación.

Es el conjunto de las imágenes, es la parte que tomo del conjunto de llegada.

Recorrido de una función

Y lo denotaremos por Rec (f)

Ejemplos:

1) (2,3), (5,7), (1, 1), (3, 4)

Re 3,7, 1,4

2) ( , ), ( , ), ( , )

Re , ,

R

cR

S José María Sebastián Elena Romeo Julieta

cS María Elena Julieta

Dominio y recorrido de una función

Las entradas para los partidos de Chile, por las clasificatorias para el mundial de fútbol Brasil 2014, son las siguientes:

Representación Función

Si una entrada tiene un valor de $ 8500, para dos entradas el valor es de $ 17 000, ¿cuánto tendríamos que cancelar por 4 entradas?, ¿y 7 entradas?, y ¿12 entradas?

Tabla de Evaluación

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?

4 2f x x

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?

4 2f x x

Dominio Recorrido

2 0x 2x

2;Dom f

4 2y x

24 2y x

4 2y x

24 2y x

Re 4;c f

xBuscar condiciones para la variable

yBuscar condiciones para la variable

Propiedades de las funcionesEs si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada inyectiva o 1 a 1.

Función Inyectiva (1-1)

fDombababfaf ,

Función Epiyectiva (sobre) Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A).

Bfc Re

Propiedades de las funciones

Propiedades de las funcionesFunción Biyectiva

Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva)

Función InversaSea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa

de

1f

f es una función biyectiva tal que

y1 :f B A 1f y x y f x

Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

1f

f

Ejemplo Función Inversa Hallar la inversa y grafica de la siguiente función 2 1f x x

Solución

Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x

12 xxf

Ejemplo Función Inversa

1

2

xf x