Dinámica 2015-1

Impulso y Cantidad de Movimiento en 2D

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN 2D

IMPULSO Y MOMENTUM DE UN CUERPO RIGIDO (2D)

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal L

Modelo General (Traslación + Rotación):

G

iivmim

Gir /Gv

Gr

ir

Y

X

Con respecto a O:

i

ii

Gm

rmr

iiG rmrm

Derivando:

iiG vmvm

Para una partícula de masa mi

iivmL

iivmL Para todo el cuerpo rígido:

También:

Derivando:

iiGi rmrm

iiGi vmvm

GvmL

.

2. Momentum Angular (Válida para un estado dinámico) H

Con respecto al centro de masa G, el Momento es el momento de la cantidad de movimiento lineal respecto del centro de masa.

GH

El depende del punto respecto al cual se toma. GH

/ /i G i G i iH r m v

L: Siempre actúa en el centro de masa del cuerpo:

L y H : Siempre actúa en un instante de tiempo t

Como: GiGi rvv /

GiGiiGiGiiG rrmvmrH ///

Para todo el cuerpo rígido:

/ / / /i G i G i G i i G i GH r m v m r r

Considerando el origen en G:

GiiG rmrm /0

0Givm

G

iivmim

Gir /Gv

Gr

ir

//GH

Y

Z

X

H

O

Escalarmente

2

/ GiiG rmHPara un medio discreto

Cuando n ∞ (El medio es continuo) dmrH GiG .2

/

GG IH

En el plano se puede

tomar Escalarmente,

de acuerdo a la

regla de la mano

derecha.

GG

GG

IH

IH

Casos particulares:

a) Traslación pura: (Rectilínea y curvilínea). 0

GvmL

0GH

b) Rotación pura respecto a un punto fijo en el cuerpo:

O

Gvm

G

O

Gr

G

Gvm

m

GI

Gr

GGGO

GGG

vmrI

vmI

0.

mrII GGO

2

GvmL

GG IH

Podemos deducir que:

GGGO mvrIH

2

GGO mrIH

2

GGO mrIH

OO IH

GG rv .

mrII GGO

2

rigidocuerpoT .

GG IH

c) Traslación y Rotación: (Movimiento general del cuerpo en el plano)

GmvL GG rv ..GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

.Se aplica para un cambio de estado. 1t

2t

12 ttt

1) Momentum Lineal:

Sabemos que para todo cuerpo en movimiento:

GamF

dt

vdmF G

.

2

1

2

1

.G

G

v

v

G

t

t

vdmdtF

12 GG vmvmJ

2211 GG vmJvm

:J Impulso lineal

GvmL

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

Ecuación general del Principio del Impulso y la Cantidad

De Movimiento Lineal

a) Para un cuerpo rígido: 2211 LJL

De donde:

zzz

yyy

xxx

LJL

LJL

LJLD

D

2211

2211

22112

3

:F

Suma de las

fuerzas externas,

sobre el sistema

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados: 2211 LJL

2) Momentum angular:

GG IM

dt

dIM GG

2

1

2

121

.

dIdtM G

t

t

G

dt

dIM GG

GG Idt

dM

GG Hdt

dM

1 2 2 1G GI I

:21

Impulso

angular

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

2211 GG HH

Para un cuerpo rígido

Para un sistema

.GG IH

:GH Momento angular

respecto a G

Nota:

Suma de momentos de las fuerzas externas al sistema :GM

21

2

1

G

t

t

GG HdtMH

AA Hdt

dM

Ecuación general del Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal

4. Conservación del Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento: En un eje cualquiera:

Si Entonces 0.2

1

t

t

dtF

.cteL

a) Para un Cuerpo Rígido:

21 LL

21 .. GG vmvm

21 GG vv

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas útil):

21 LL

5. Conservación del Momentum Angular:

En el plano:

Si

Entonces

2

1

0

t

t

GdtM 21 GG HH

.cteHG

21

GG II

21

21 GG HH

a) Para un Cuerpo Rígido:

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas útil):

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

Haciendo el D.C.L.

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL

.

2. Momentum Angular

GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

2211 LJL

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

2211 GG HH

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

5. Conservación de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

6. Conservación del Momentum Angular:

21 LL

21 GG HH

RESUMEN

Validas solo para un estado dinámico

CHOQUES

6. Análisis Para Choques Excéntricos: El impacto excéntrico entre 2 cuerpos ocurre cuando la línea que uno los centros de masa de los

cuerpos no coincide con la línea del impacto. En estos choque, se cumplen las ecuaciones dadas,

pero se agrega la que corresponde al coeficiente de restitución (e)

Antes del impacto Después del impacto

impacto del antes vrel.

impacto del despues vrel.e

(Solo se aplica en el punto de contacto,

en la línea de Impacto (eje normal) En el ejemplo:

2 2

1 1

n n

P Q

n n

P Q

v ve

v v

También: Si no hubieran fuerzas

externas sobre el sistema 3, "El sistema

es conservativo".

Q Q P P

t

t

n n

1

n

Pv

1

t

Pv

1Pv

1

n

Qv

1

t

Qv

1Qv

2Qv

2Pv 2

n

Qv

2

n

Pv

2

t

Qv

1

t

Pv

7. Conclusiones Importantes:

Para todo movimiento plano: en un estado dinámico.

GGGGG Hdt

dI

dt

d

dt

dIIM

.

GG HddtM

2

1

2

1

G

G

H

H

G

t

t

G HddtM

1221 GG HH

G G G

O O O

F2

F1

d2

RO mg

IG1

1

rG

2

2

1

1 2

t

G G G

t

I M dt I

2

1

2

1

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ˆ ˆ ˆ( )

( )

t

G O O G

t

t

G O O G

t

I k F d F d R d dtk I k

I F d F d R d dt I

a) Con respecto al centro de masa G:

IG2

G G G

O O O

F2

F1

r2

RO mg

rO

IG1

1

rG rG

2

2

1

1 1 1 2 2 2

t

G G O G G

t

I r mv M dt I r mv

2

1

2

1

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

( )

t

G G G O G G G

t

t

G O O G

t

I k r mv k F r F r r mg dtk I k r mv k

I F d F d R d dt I

IG2

Dos casos a tomar en consideración:

a) Cuando ∆t → grande, apreciable. Se considera el impulso del peso y otras fuerzas pequeñas.

b) Cuando ∆t → muy pequeño (choques). El impulso del peso y otras fuerzas pequeñas, no impulsivas son despreciables.

La barra delgada ABC tiene una masa de 2,4 kg y se une a un soporte de

pasador en B. La esfera D de 0,8 kg golpea el extremo de la barra con una

rapidez v1 = 3 m/s. Si L = 0,75 m y e = 0,5, inmediatamente después del impacto,

determine:

a.- La rapidez angular de la barra ABC.(rad/s)

b.- La rapidez de la esfera D.(m/s)

c.- La magnitud de la aceleración angular de la barra ABC.(rad/s2)

d.- La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo B.(N)

e.- El máximo ángulo alcanzado por la barra después del impacto.()

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL

.

2. Momentum Angular

GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

2211 LJL

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evalúa entre 2 estados dinámicos):

2211 GG HH

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

5. Conservación de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

6. Conservación del Momentum Angular:

21 LL

21 GG HH

RESUMEN

Validas solo para un estado dinámico

I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Lineal para la bola entre los

estados 1 y 2:

2 2ˆ ˆ)0,8( 3 ) . 0,8 ...... 0,8 2, . 14 ...( )Fa i F dt v dti v

II) Utilizando el coeficiente de restitución entre la bola y la barra entre los estados 1 y 2:

2

2 2

2 22

0,1875

1(0,75)

40,53 3

..........1, ..(2)5

A

vv v

v

e

2

I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Angular para la barra entre los

estados 1 y 2, con respecto al punto B:

+ =

1 2

2 2

2 2

2. 1,0

ˆ0,1875 .

0 0,1875 . 0,1875( )

0,1875 . 0,1125 0,1875(2,4)(0,1875 )

............. )5 (3

B B

G G

H F dtk H

F dt I mv

F dt

F dt

1 22B B BH M dt H

2 21(2,4)(0,75) 0,1125 .

12GI kg m

2

2

2

21,05 0,8 2,

1,05 0,8 2,4

..........4 ...(4)

v

v

2 2 ...0,187 .....5 1,5 ....(2)v

2

2

3 /

0,9375 /

rad s

v m s

L=0,75m B

III) Utilizando el concepto de Fuerzas y aceleraciones sobre la barra en el estado 2:

23,52N

BY

2 2

2

2

) :

01875(23,52) 0,1125 (2,4)(0,1875) (0,1875

4

)

22, /

B Bcausas efectos

M

rad s

a M

=

) :n

n Gb F ma 2 2

2( . ) 2,4(3) (0,1875)

4,05X

X

B

B m r

N

n

Gma

t

Gma

BX

) :t

t Gc F ma 223,52 ( . ) 2,4(22,4)(0,1875) 10,

13,4

8

4

0Y

YB

B m r

N

2 2 2 2( ) ( ) (4,05) (13,44) 14,0369B X YR B B N 14,0369BR N

+ = B B B

BX

BY mg

IV) Observamos que sobre el cuerpo después del impacto, solo actúan sobre el, fuerzas conservativas

como el peso y fuerzas en el apoyo B que no trabajan, por lo cual se cumple la Conservación de la

Energía Mecánica: Aplicamos el Principio de Conservación de la Energía Mecánica entre los estados 2

y 3:

0,1875

Estado 2 Estado 3

2 3 /rad s 3 0 3 0Gv

0,1875Sen

N.R.

3 0,5625 /Gv m s

2 3

2 2 2 2

2 2 2 3 3 3

2 2

1 1 1 1. .

2 2 2 2

1 1(2,4)(0,5625) (0,1125)(3) 0 (0) 2,4(9,8)(0,1875. )

2

11,

2

0,20 8

5

0

837

M M

G G G G G G

E E

mv I mg y mv I mg y

Sen

Sen

Bibliografia a utilizar: Hibbeler y Beer

PROBLEMA 4 (4 puntos)

Al mecanismo de palanca articulada que está en el plano vertical, se le aplica en C un Par

de Momento M = 11 m.N, liberándolo a partir del reposo en la posición = 45. En esta

posición el resorte de constante K = 140 N/m esta estirado 15 cm. La barra AB pesa 1,8

kg y la BC 3,6 kg. Cuando = 0, determine:

a.- La magnitud de la velocidad angular de BC.(rads)

b.- La fuerza de reacción horizontal en el apoyo O.(N)

c.- La fuerza de reacción vertical en el apoyo O.(N)

d.- La fuerza de reacción en el apoyo A.(N)

VGAB

1.- Para determinar la primera pregunta del problema, primero

utilizamos el Principio del Trabajo y la Energía Cinética

para todo el sistema (Las dos barras unidas):

AB

OB

1 21 2T U T

33 cm

23,3343 cm

9,6657 cm

44 cm

31,1124m

12,8876 cm

2 21(1,8)(0,22) 0,00726 .

12GAI kg m

2 21(3,6)(0,44) 0,05808 .

12GBI kg m

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2R A BA GA GA A B GB GB B Par F P P A GA GA A B GB GB Bm v I m v I U U U U m v I m v I

1 0GAv

VB

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1ˆ ˆ11 (140) 0,27887 0,15 1,8(9,8) 0,33 0,23334 (1,8)(0,11 ) (0,00726) (0,05808)4 2 2 2 2

A A Bk k

1 21 2T U T

Como el sistema parte del reposo en = 45º:

1 0GBv 1 0A 1 0B

2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2 2A GA GA B GB GB A GA GA A GB BM K m g y y m g y y m v I I

También para = 90º:

2 0GBv

1 2 0GB GBy y

Como se observa en la figura el nivel de referencia del cuerpo B esta en O que es fijo por

Lo cual:

2 2

2 20,01452 0,002904 3,06552A B

2.- Utilizando el concepto de Centro Instantáneo de Rotación del punto A

en el estado 2, y observando que la velocidad de B es la misma tanto

para la barra A como para la barra B, obtenemos:

2 2 2 20,22 0,22 .............(2)B A B A BV

3.- Determinamos las velocidades angulares de cada barra en el estado 2:

8,3889 /AB OB rad s

C.I.R.

=

CAUSAS EFECTOS

FR = 39,0418 N

mABg=17,64 N

mBCg=35,28 N

Oy OX

A

M = 11m.N

GAB

𝑚𝐴𝐵𝑎𝑋𝐺

𝑚𝐴𝐵𝑎𝑌𝐺

BCG BCI

ABG ABI

0Oa

4.- Cinematicamente sabemos que O no tiene aceleración por estar en reposo, B tiene

movimiento circular:

2

/ /.t n

B B B BC B O B Oa a a R R

2ˆ ˆ ˆ(0,22 ) (8,3989) (0,22 )B BCa k j j

ˆ ˆ0,22 15,5191B BCa i j

6.- Relacionando la aceleración de B

respecto de A:

2

/ /.B A AB B A B Aa a R R

ˆA A

A Y Ya a a j

5.- Sabemos que A solo tiene movimiento

Vertical por lo cual no tiene aceleración

horizontal:

2ˆˆ ˆ ˆ( ) ( 0,22 ) (8,3918) ( 0,22 )A

B Y ABa a j k j j

ˆ ˆ ˆ0,22 15,5191A

B Y ABa a j i j

(1)

(2)

7.- Igualando las ecuaciones (1) y (2):

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,22 15,5191 0,22 15,5191A

BC Y ABi j a j i j

BC AB

2

15,5191 15,5191

31,0382 /

A

Y

A

Y

a

a m s

En el eje X:

En el eje Y:

8.- Relacionando la aceleración de GAB

respecto de A:

2

/ /.G A AB G A G Aa a R R

2ˆˆ ˆ ˆ31,0382 ( ) ( 0,11 ) (8,3889) .( 0,11 )G ABa j k j j

ˆ ˆ0,11 23,2971G ABa i j

9.- Utilizaremos el concepto de fuerzas y aceleraciones:

) :G G

X AB ABX BC BCXa F m a m a

39,0418 17,64 35,28 (1,8)( 23,2971)YO

ˆ ˆ0,11 23,2971G ABa i j

(1,8)( 0,11 )X A ABO

0,198 0X A ABO

) :G G

Y AB ABY BC BCYb F m a m a

50,027YO N

)AB BC ABG G BC G ABc M I I

(0,11) (0,33) 11BC ABA X G BC G ABO I I

0,11 0,33 11 0,05808 0,00726A X AB ABO

0,11 0,33 0,05082 11A X ABO

10.- Analizando solo la barra BC, utilizaremos el concepto de fuerzas y aceleraciones:

B

C

O

22 cm

22 cm

B

C

O

22 cm

22 cm

=

M = 11m.N

CAUSAS EFECTOS

Oy

OX

mBCg=35,28 N

BX

BY

0BCG

BC Xm a

0BCG

BC Ym a ACG BCI

) 0 :Xa F

0X XO B

) 0 :Yb F

35,28 0Y YO B

)BC BCG G BCc M I

0,22 11 0,05808X BCB

0,05808 0,22 11BC XB

50,027 35,28 0

14,747

Y

Y

B

B N

0,05808 0,22 11AB XB

11.- Resolviendo las ecuaciones simultaneas:

1 0 1 0,198 0X X A ABO B

0,33 0 0,11 0,05082 11X X A ABO B

1 1 0 0 0X X A ABO B

0 0,22 0 0,05808 11X X A ABO B

16,6666XO N

16,6666XB N

8,3333A N

2126,2626 /AB BC rad s

Obtenemos los siguientes resultados:

Letra Variable Valor numérico Unidades

a BC 8,3889 rad/s

b OX 16,6666 N

c OY 50,027 N

d A 8,3333 N

BLOQUE C

PROBLEMA 1 (4 puntos)

Cada una de las barras delgadas uniformes A tienen una masa de 20 kg. Se sabe

que OC es 300 mm. La barra B de 8 kg se suelta del reposo en la posición

mostrada, si e = 0,5. Determine:

a.- La velocidad angular de la doble barra después del choque.(rad/s)

b.- La velocidad angular de la barra B después del choque.(rad/s)

c.- La aceleración angular de B un instante después del choque.(rad/s2)

d.- El máximo ángulo que se eleva la doble barra.()

a.- w = 1,2219 rad/s

b.- vn = 42,8342 m/s

1.- A2 = 25,1328 rad/s

2.- t = 0.8691 s

3.- Fm = 46,2651 N

4.- Ot = 22,7451 N

5.- On = 17,64 N

6.- 2 = 71,5359 rad/s2

KB = 1,6 m

1.- AB2 = 3,834 rad/s

2.- AB3 = 1,246 rad/s

3.- CD3 = 4,3132 rad/s

4.- OY = 170,4221 N

5.- 3 = 0

6.- max = 105.4

THE END!

Higher Education:

Let’s make it all that it can be and needs to be!

Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Professor: M.Sc Tito Vilchez