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PROBLEMAS DE APLICACIN:

A. Funciones de Varias Variables

1. Costo de produccin. Una caja rectangular abierta por arriba tiene x pies de

longitud, y pies de ancho y z pies de alto. Construir la base cuesta $0.75por pie

cuadrado y construir los lados $0.40por pie cuadrado. Expresar el costo C de

construccin de la caja en funcin de , ,x y z .

2. Modelo de construccin. Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de

materiales de de modo que contenga un volumen 16 pies3. El material para la tapa

y el fondo cuesta $0.18 por pie cuadrado, el material para las partes delantera y

trasera cuesta $0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras dos caras cuesta

$0.12 por pie cuadrado. (a) Obtenga un modelo matemtico que exprese el costo

total del material como una funcin de las dimensiones, las partes delanteras y

trasera. Determine el dominio de la funcin.

(b)Cul es el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y

trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja?

3. Un slido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos

coordenados, tiene un vrtice en el origen y el vrtice opuesto en el punto ( , , )x y z

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en el plano 3 2 6x y z . (a)Obtenga un modelo matemtico que exprese el

volumen de la caja como una funcin de las dimensiones de la base. Determine el

dominio de la funcin. (b) Cul es el volumen si la base es un cuadrado de lado

1.25 unidades?

4. (a) Obtenga un modelo matemtico que exprese el rea total de la superficie del

slido del ejercicio 3, como una funcin de las dimensiones de la base. Determine

el dominio de la funcin. (b) Cul es el rea total de la superficie si la base es un

cuadrado de lado 1.25 unidades?

5. Volumen. Un tanque de propano se construye soldando hemisferios a los extremos

de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V del tanque en funcin de r y

l , donde r es el radio del cilindro y de los hemisferios, y l es la longitud del

cilindro.

6. Ley de los gases ideales. De acuerdo con la ley de los gases ideales , PV kT ,

donde P es la presin V es el volumen, T es la temperatura y k es una constante

de proporcionalidad. Un tanque contiene 2600 pulgadas cbicas de nitrgeno a una

presin de 20 libras por pulgada cuadrada y una temperatura de 300 K.

a) Determine k .

b) yExpresar P como una funcin de V y T y describir las curvas de nivel.

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7. Un cono circular recto de base r cm se encuentra inscrito en una esfera de R cm de

radio. Calcular el volumen del cono en funcin de los radios mencionados.

8. Una tapa cnica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular. Si la

altura de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el volumen del

slido como una funcin de las variables indicadas.

B. Curvas de Nivel

1. Distribucin de temperaturas La temperatura T (en grados Celcius) en cualquier

punto ( , )x y de una placa circular de acero de 10 metros de radio es:

2 2( , ) 600 0.75 0.75 T x y x y

donde yx y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas.

2. Una plancha delgada de metal, situada en el plano x y , est a una temperatura

( , )T x y en el punto ( , )x y . Las curvas de nivel de T se llaman isotermas porque la

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temperatura es igual en todos los puntos sobre una isoterma. Trace algunas isotermas

si la funcin de temperatura est definida por

2 2( , ) 100 (1 2 )T x y x y

3. Potencial Elctrico El potencial elctrico V en cualquier punto ( , )x y es

2 2

5( , )

25

V x y

x y

Dibujar las curvas equipotenciales de 1 1 1

, ,2 3 4

V V V .