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Series deTiempo

GermanAneiros Perez

Introduccion

ProcesosARMA:Definicion eidentificacion

ProcesosARIMA:Definicion eidentificacion

Estimacion ydiagnosis

Seleccion delmodelo yprediccion

Aplicacion adatos reales

ProcesosARIMAestacionales


Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

Aplicacion a datos reales

Presentamos a continuacion un ejemplo con datos reales en elque se hace uso de gran parte de lo expuesto hasta estemomento.

La serie de tiempo que analizaremos se corresponde con laproduccion anual de tabaco en EE.UU. (1872-1983).

German Aneiros Perez Series de Tiempo

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Introduccion








Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

1: Identificacion del modelo (graf. secuencial, fas y fap muestrales)

1872-1983 El grafico de la izquierdamuestra presencia deheterocedasticidad y tendencia.

Comenzamos transformando laserie para tratar de estabilizarla variabilidad. Puesto que estaaumenta con el nivel de la serie(quizas la desviacion tıpica sealineal en la media), le aplicamosa la produccion de tabaco lafuncion logaritmo neperiano.


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Introduccion








Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

Produccion transformada (ln) El grafico de la izquierdamuestra que:

La varianza de laproduccion se haestabilizado al aplicarle lafuncion logaritmoneperiano.

La serie transformadatiene tendencia.

La diferenciacion regular podrıaeliminar la tendencia.


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Introduccion








Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

Dif. reg. del ln de la producc. El grafico de la izquierdamuestra que:

La tendencia ha sidoeliminada al aplicarle unadiferencia regular.

La serie diferenciada esestacionaria (quizaspresenta algun valoratıpico).


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Introduccion








Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

Dif. reg. del ln de la producc. A la espera de realizar elanalisis de residuos, el graficode la izquierda sugiere que:

La serie transformadaproviene de un procesoMA(1).

El logaritmo neperiano dela produccion de tabaco hasido generado por unproceso ARIMA(0,1,1).


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Introduccion








Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

El modelo identificado (ARIMA(0,1,1)) se puede expresar como

(1− B) Yt = c + (1 + θ1B) at ,

siendo Yt = ln (Xt) y Xt la produccion de tabaco del ano t.

Una representacion equivalente es

Yt = c + Yt−1 + at + θ1at−1.

Nota: Observese que, puesto que el proceso diferenciado notiene parte AR, la constante c coincide con su media µ.


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Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

2: Estimacion del modelo identificado ARIMA(0,1,1)

Estimando los parametros por maxima verosimilitud resulta:

θ1 = −0.6899 (0.0698), µ = 0.0145 (0.0049),

y σ2a = 0.02624.

Notese que todos los parametros son significativamentedistintos de cero.

Puesto que el modelo no tiene parte AR, la constante c delmodelo coincide con la media µ del proceso diferenciado. Portanto, c = 0.0145.


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Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins

3: Diagnosis del modelo ARIMA(0,1,1)

Residuos: graficos secuencial yQ-Q normal

Contrastes de independencia


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Recapitulacion

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Contrastes de media cero ynormalidad

µa = 0:p − valor = 0.9145

Normalidad:

Jarque-Bera:p − valor = 9.39e − 07

Shapiro-Wilk:p − valor = 0.002283

Conclusion: Un modeloARIMA(0,1,1) con constante einnovaciones no gaussianasresulta adecuado comogenerador de la serie de laproduccion de tabaco(transformada a traves de lafuncion logaritmo neperiano).


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Recapitulacion

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4: Seleccion del modelo (criterio BIC)

Hemos calculado los valores del criterio BIC para distintosprocesos ARIMA(p,1,q) (p, q ∈ {0, 1, 2, 3}).

El modelo ARIMA(0,1,1) resulto ser el de menor BIC(BIC= −74.31). Notese que este modelo coincide con elpreviamente identificado en base a las fas y fap muestrales.

Ninguno de los demas modelos evaluados alcanzo un BIC quedistase del mınimo menos de 2 unidades.


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5: Prediccion en base al modelo ARIMA(0,1,1)

El ARIMA(0,1,1) que hemosseleccionado, estimado ychequeado fue utilizado pararealizar predicciones ahorizontes de prediccionk = 1, . . . , 5.

Estas se muestran en el graficode la derecha (azul), junto conla serie histotica (negro).Puesto que no tenemosgaussianidad, no presentamoslos intervalos de prediccion.

Serie histotica y predicciones


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Procesos ARIMA estacionales: Introduccion

La clase de procesos ARIMA que acabamos de estudiar:

Captura no estacionariedades provocadas por la presenciade tendencia (incluso no determinista).

No captura no estacionariedades provocadas por lapresencia de componente estacional.

A continuacion, ampliaremos la clase de procesos ARIMAestudiada, de modo que la nueva clase sea capaz de modelizarno estacionariedades provocadas tanto por la presencia detendencia (determinista o estocastica) como por la presencia decomponente estacional (determinista o estocastica).


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Procesos ARMA estacionales: Introduccion

En la construccion de los procesos ARIMA ya estudiadosjugaban un papel fundamental los procesos ARMA. Recuerdeseque:

{Xt}t es ARIMA(p,d,q) ⇔ (1− B)d Xt es ARMA(p,q).

Del mismo modo, necesitaremos de los procesos ARMAestacionales para construir la nueva clase de procesos ARIMAestacionales.


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Procesos ARMA estacionales: Introduccion

Los procesos ARMA que ya hemos estudiado modelizan ladependencia regular: dependencia entre observacionesconsecutivas ocurridas en el pasado inmediato. Por ejemplo:

AR(1): Xt = c + φ1Xt−1 + at .

MA(2): Xt = c + θ1at−1 + θ2at−2 + at .

ARMA(1,1): Xt = c + φ1Xt−1 + θ1at−1 + at .

Los procesos ARMA estacionales modelizan la dependenciaestacional: dependencia entre observ. ocurridas en instantesseparados por multiplos del perıodo estacional s. Ası, si s=12:

AR(1)12: Xt = c + Φ1Xt−12 + at .

MA(2)12: Xt = c + Θ1at−12 + Θ2at−24 + at .

ARMA(1,1)12: Xt = c + Φ1Xt−12 + Θ1at−12 + at .


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Ejemplo de la fas y la fap de procesos AR(1)12 y MA(2)4

AR(1)12 MA(2)4


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Recapitulacion

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Ejemplo de la fas y la fap de procesos ARMA(1,1)12

ARMA(1,1)12: Φ1 > 0,Θ1 > 0 ARMA(1,1)12: Φ1 < 0,Θ1 < 0


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Procesos ARMA estacionales: Definicion

Un proceso estacionario {Xt}t que admite la representacion

Xt = c + Φ1Xt−s + Φ2Xt−2s + · · ·+ ΦPXt−Ps

+at + Θ1at−s + Θ2at−2s + · · ·+ ΘQat−Qs ,

donde c,Φ1, . . . ,ΦP ,Θ1, . . . ,ΘQ son constantes, se conocecomo un proceso ARMA(P,Q)s (proceso ARMA estacional).

Es un ARMA(sP,sQ) con muchos coeficientes nulos. Portanto, las condiciones de estacionariedad, causalidad einvertibilidad se deducen de las de los ARMA.

ARMA(P,0)s ⇔ AR(P)s .

ARMA(0,Q)s ⇔ MA(Q)s .


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Procesos ARMA estacionales: Definicion

La ecuacion que define al proceso ARMA(P,Q)s

Xt = c + Φ1Xt−s + Φ2Xt−2s + · · ·+ ΦPXt−Ps

+at + Θ1at−s + Θ2at−2s + · · ·+ ΘQat−Qs ,

se puede escribir en la forma compacta

Φ (Bs) Xt = c + Θ (Bs) at ,

donde

Φ (Bs) =(1− Φ1Bs − Φ2B2s − · · · − ΦPBPs

),

Θ (Bs) =(1 + Θ1Bs + Θ2B2s + · · ·+ ΘQBQs

)y Bs denota al operador retardo estacional, definido porBsXt = Xt−s .


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Procesos ARMA estacionales: Identificacion

fas∗ fap∗

AR(P)s

Retardos s, 2s, . . . :Muchos coeficientesno nulos

Se anula para todoretardo mayorque Ps

MA(Q)s

Se anula para todoretardo mayorque Qs


ARMA(P,Q)s



∗Los valores en los retardos no estacionales (distintos de ks)son nulos.


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Utilizando la informacion contenida en la tabla anterior, y ladistribucion muestral de ρk o αk bajo procesos MA o AR,respect., identificamos algunos procesos ARMA estacionales.

Serie, fas y fap Conclusion

Los graficos de la izquierdasugieren que la serie:

1 Es estacionaria.

2 Ha sido generada por unproceso AR(1)3.


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1 Es estacionaria.

2 Ha sido generada por unproceso AR(1)12, o por unMA(1)12.


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Procesos ARMA estacionales multiplicativos: Definicion

ARMA: φ (B) Xt = c + θ (B) at . Modeliza la dependenciaregular.

ARMA estacional: Φ (Bs) Xt = c + Θ (Bs) at . Modeliza ladependencia estacional.

ARMA estacional multiplicativo: Combinando ambosmodelos, podemos modelizar conjuntamente ladependencia regular y la estacional a traves del modelo

φ (B) Φ (Bs) Xt = c + θ (B) Θ (Bs) at .

Este modelo se denota por ARMA(p,q)×(P,Q)s y es, enparticular, un ARMA(p+sP,q+sQ) con muchoscoeficientes nulos.


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Procesos ARMA estacionales multiplicativos: Ejemplos

El proceso AR(1)× MA(1)12.1 (1− φ1B) Xt = c +

(1 + Θ1B12

)at .

2 Xt = c + φ1Xt−1 + at + Θ1at−12.

El proceso MA(1)×AR(1)12.1(1− Φ1B12

)Xt = c + (1 + θ1B) at .

2 Xt = c + Φ1Xt−12 + at + θ1at−1.

El proceso AR(1)×AR(1)12.1 (1− φ1B)

(1− Φ1B12

)Xt = c + at .

2 Xt = c + φ1Xt−1 + Φ1Xt−12 − φ1Φ1Xt−13 + at .

El proceso MA(1)×MA(1)12.1 Xt = c + (1 + θ1B)

(1 + Θ1B12

)at .

2 Xt = c + at + θ1at−1 + Θ1at−12 + θ1Θ1at−13.


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Recapitulacion

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Ejemplos de la fas y la fap de ARMAs estacionales multiplicativos

AR(1)×MA(1)12 MA(1)×AR(1)12


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Recapitulacion

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Ejemplos de la fas y la fap de ARMAs estacionales multiplicativos

AR(1)×AR(1)12 MA(1)×MA(1)12


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Procesos ARMA estacionales multiplicativos: Identificacion

Fas de un proceso ARMA estacional multiplicativo:

En los retardos bajos (1, 2, . . . , [s/2]) se observara la fasde la parte regular.

En los retardos estacionales (s, 2s, 3s . . .) se observara lafas de la parte estacional.

A ambos lados de los retardos estacionales se repetira lafas de la parte regular (invertida, si la fas en el retardoestacional es negativa).


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Procesos ARMA estacionales multiplicativos: Identificacion

Fap de un proceso ARMA estacional multiplicativo:

En los retardos bajos (1, 2, . . . , [s/2]) se observara la fapde la parte regular.

En los retardos estacionales (s, 2s, 3s . . .) se observara lafap de la parte estacional.

A la derecha de cada retardo estacional aparecera la fapde la parte regular (invertida, si la fap en el retardoestacional es positiva).

A la izquierda de cada retardo estacional aparecera la fasde la parte regular (invertida, si la fap en el retardoestacional es negativa).


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Modelos Box-Jenkins

Utilizando la informacion contenida en las 2 transparenciasanteriores, y la distribucion muestral de ρk o αk bajo procesosMA o AR, respectivamente, identificamos algunos procesosARMA estacionales multiplicativos.



1 Es estacionaria.

2 Ha sido generada por unproceso AR(1)×AR(1)7.


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1 Es estacionaria.

2 Ha sido generada por unproceso MA(1)×AR(1)12.


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Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins


Sea Xt = St + Vt , donde {St}t no es estacionario, {Vt}t sı y

1 St = St−s (componente estacional determinista),o

2 St = St−s + Wt donde {Wt}t es estacionario con media 0(componente estacional estocastica).

{Xt}t no es estacionario, pues contiene una componente queno lo es, St . Sin embargo, sı lo es el proceso diferenciadoestacionalmente

1 Xt − Xt−s = Vt − Vt−s

o

2 Xt − Xt−s = Wt + Vt − Vt−s .

Conclusion: A veces, la diferenciacion estacional consigueeliminar la componente estacional.


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Recapitulacion

Modelos Box-Jenkins


Basandonos en los ejemplos anteriores, ante una serie contendencia y/o componente estacional, sugerimos:

Eliminar la tendencia aplicando d diferencias regulares((1− B)d). En general, es suficiente d ≤ 3.

Eliminar la componente estacional aplicando D diferenciasestacionales ((1− Bs)D). En general, es suficiente D = 1.

Una vez que la serie diferenciada es estacionaria,modelizarla a traves de un ARMA:

Solo dependencia regular: ARMA(p,q).Solo dependencia estacional: ARMA(P,Q)s .Ambos tipos de dependencia: ARMA(p,q)×(P,Q)s .


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Procesos ARIMA estacionales: Definicion

Un proceso ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s (o ARIMA estacionalmultiplicativo) es aquel que, despues de aplicarle d diferenciasregulares y D diferencias estacionales de periodo s, se corvierteen un proceso ARMA(p,q)×(P,Q)s .

Equivalentemente:

{Xt}t es un proceso ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s (o ARIMAestacional multiplicativo) si admite una representacion del tipo:

φ (B) Φ (Bs) (1− B)d (1− Bs)D Xt = c + θ (B) Θ (Bs) at ,

donde el polinomio φ (z) Φ (zs) no tiene raıces de modulo 1.


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Ejemplo: Proceso ARIMA(1,1,1)×(1,1,1)12

La expresion del ARIMA(1,1,1)×(1,1,1)12 es

ARreg.

ARest.

Dif.reg.

Dif.est.

↓ ↓ ↓ ↓(1− φ1B)

(1− Φ1B12

)(1− B)

(1− B12

)Xt =

c + (1 + θ1B)(1 + Θ1B12

)at

↑ ↑MAreg.

MAest.


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Recapitulacion

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Ejemplo: Proceso ARIMA(1,1,1)×(1,1,1)12

Operando en la expresion del ARIMA(1,1,1)×(1,1,1)12

(1− φ1B)(1− Φ1B12

)(1− B)

(1− B12

)Xt =

c + (1 + θ1B)(1 + Θ1B12

)at

se obtiene la representacion:

Xt = c + (1 + φ1) Xt−1 − φ1Xt−2 + (1 + Φ1) Xt−12

− (1 + φ1 + Φ1 + φ1Φ1) Xt−13

+ (φ1 + φ1Φ1) Xt−14 − Φ1Xt−24

+ (Φ1 + φ1Φ1) Xt−25 − φ1Φ1Xt−26

+at + θ1at−1 + Θ1at−12 + θ1Θ1at−13


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Procesos ARIMA estacionales: Definicion

El proceso ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s :

Es estacionario cuando d = D = 0 (se convierte en unproceso ARMA(p,q)×(P,Q)s).

Modeliza la dependencia regular (p o q 6= 0).

Modeliza la dependencia estacional (s > 1, y P o Q 6= 0)

Captura no estacionariedades provocadas por la presenciade tendencia (d > 0).

Captura no estacionariedades provocadas por la presenciade componente estacional (s > 1 y D > 0).

Generaliza a todos los procesos que hemos estudiado.

Es, posiblemente, el proceso mas utilizado en lamodelizacion de series de tiempo univariantes.


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Procesos ARIMA estacionales: Identificacion

En la practica, ante una serie real,...¿cuando propondremos un ARIMA estacional como su generador?

Cuando, siendo homocedastica, detectemos la presencia decomponente estacional.La presencia de componente estacional en una serie (y, portanto, la necesidad de diferenciarla estacionalmente paraeliminarla) suele ser delatada por:

El grafico secuencial de la serie.

La fas muestral:

Presenta fuerte correlacion positiva en el retardo estacional(y, posiblemente, en sus multiplos),Converge lentamente a cero a medida que el retardo crece.Presenta periodicidad del mismo periodo que la serie,


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Serie original Serie diferenciada regularmente


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Serie dif. reg. y estac. (s=12) Conclusion

Los graficos estudiadossugieren que la serie original:

1 No es estacionaria.

2 Ha sido generada por unprocesoARIMA(0,1,1)×(0,1,1)12,o quizas por unARIMA(1,1,0)×(0,1,1)12.


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Heterocedasticidad

En los modelos teoricos que hemos presentado, la falta deestacionariedad venıa provocada por la presencia de tendenciay/o componente estacional.

Aplicando diferencias (regulares y/o estacionales,respectivamente) conseguıamos eliminar este tipo de noestacionariedad.

Otra fuente que provoca falta de estacionariedad es laheterocedasticidad (la varianza no es constante o estable).

A continuacion veremos como eliminar la heterocedasticidad.


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En el grafico de la derecha, seintuye que la variabilidad de laserie (consumo deelectricidad...) no es constante.

Concretamente, parece que lavariabilidad aumenta al hacerloel nivel de la serie.

Serie heterocedastica


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En el grafico de la derecha, semuestra la serie transformada atraves de la funcion logaritmoneperiano.

Se observa que la aplicacion dedicha funcion ha conseguidoestabilizar la varianza.

Serie homocedastica (log)


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TRANSFORMACIONES PARA ESTABILIZAR LA VARIANZA

Transformaciones de Box-Cox

La familia de transformacionesde Box-Cox se define comoaquella que transforma a xt en:

xλt − 1

λ, si λ 6= 0

ln(xt), si λ = 0

Si la desviacion tıpica esuna funcion potencial de lamedia (σt = kµ1−λ

t ),entonces la transformacionde Box-Cox con parametroλ consigue estabilizar lavarianza.

Un situacion muy usual esaquella en que σt = kµt .En este caso λ = 0 y laaplicacion del logaritmoneperiano estabiliza lavarianza.


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Obtencion de un valor apropiado para λ

Partiendo de la igualdad

σt = kµ1−λt ,

se obtiene quelog(σt) = a + b log(µt),

donde a = log(k) y b = 1− λ.

Por tanto, si disponemos de estimaciones µt y σt y ajustamosun modelo lineal a {(log(µt), log(σt))}, obtendremos unaestimacion para el valor de λ:

λ = 1− b


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Para estimar la media y la desviacion tıpica utilizamos las 12observaciones de cada ano.

Regresion lineal: λ = −0.269 Intuitiva: λ = 0 (log)


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Procesos ARIMA estacionales: Identificacion

De manera esquematica, las etapas a seguir para identificar unmodelo como posible generador de una serie de tiempo son:

1 Si la serie presenta heterocedasticidad, eliminarla a travesde una transformacion de Box-Cox.

2 Si la serie (quizas transformada en la etapa 1) presentatendencia, eliminarla a traves de la diferenciacion regular.

3 Si la serie (quizas transformada en las etapas 1 y/o 2)presenta componente estacional, eliminarla a traves de ladiferenciacion estacional.

4 Identificar un modelo ARMA para la serie (quizastransformada en las etapas 1, 2 y/o 3).


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Proc. ARIMA estacionales: Estim., diag. y selec. del modelo

Como consecuencia de la estrecha relacion que existe entre losprocesos ARIMA y los procesos ARMA (diferenciando losprimeros se obtienen los segundos), se tiene que la aplicacionpractica de los ARIMA esta totalmente basada en lacorrespondiente a los ARMA:

Estimacion: Se ajusta un ARMA (regular, estacional oestacional multiplicativo) a la serie diferenciada (regulary/o estacionalmente).

Diagnosis: Se chequean los residuos procedentes del ajusteARMA anterior.

Seleccion del modelo: Se selecciona, para la seriediferenciada, el modelo ARMA cuyos ordenes (p, q, P y/oQ) minimicen uno de los criterios AIC, AICC o BIC.


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Procesos ARIMA estacionales: Prediccion

Del mismo modo, la prediccion de valores futuros de procesosARIMA se basa en la prediccion de procesos ARMA.

Los pasos a seguir son:

1 Diferenciar (regular y/o estacionalmente) la serieprocedente del ARIMA hasta obtener una serie procedentede un ARMA (regular, estacional o estacional multiplic.).

2 Predecir los valores futuros del proceso ARMA.

3 Deshacer la diferenciacion en las predicciones del ARMA,obteniendo entonces las predicciones del proceso originalARIMA.

En cuanto a los intervalos de prediccion, su construccion esanaloga a lo ya hecho para procesos ARMA.


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Aplicacion a datos reales

Presentamos a continuacion un ejemplo con datos reales en elque se hace uso de gran parte de lo expuesto en este capıtulo.

Para ello:

Dividiremos en 2 trozos la serie del consumo deelectricidad (introducida en el primer capıtulo):

1 Consumo entre los meses de enero 1972 y diciembre 2003(T = 384).

2 Consumo durante los proximos 12 meses.

El primer trozo sera utilizado para seleccionar y ajustar unmodelo.

En base a dicho modelo, realizaremos predicciones para elconsumo correspondiente a los proximos 12 meses, queseran comparadas con los consumos reales (2o trozo).


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Modelos Box-Jenkins

1: Identificacion del modelo (fas y fap muestrales)

Enero 1972 - Diciembre 2003 El grafico de la izquierdamuestra presencia deheterocedasticidad, tendencia ycomponente estacional.

Comenzamos transformando laserie para tratar de estabilizarla variabilidad. Puesto que estaaumenta con el nivel de la serie(quizas la desviacion tıpica sealineal en la media), leaplicamos al consumo lafuncion logaritmo neperiano.


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Modelos Box-Jenkins

Consumo transformado (ln) El grafico de la izquierdamuestra que:

La varianza del consumose ha estabilizado alaplicarle la funcionlogaritmo neperiano.

La serie transformadatiene tendencia ycomponente estacional.

La diferenciacion regular podrıaeliminar la tendencia.


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Modelos Box-Jenkins

Dif. reg. del ln del consumo El grafico de la izquierdamuestra que:

La tendencia ha sidoeliminada al aplicarle unadiferencia regular.

La componente estacionalse mantiene (s = 12).

La diferenciacion estacionalpodrıa eliminar la componenteestacional.


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Modelos Box-Jenkins

Dif. reg. y estac. del ln delconsumo (s=12)

A la espera de realizar elanalisis de residuos, el graficode la izquierda sugiere que:

La serie transformadaproviene de un procesoestacionario;concretamente, de unARMA(0,2)×(0,1)12.

El logaritmo neperiano delconsumo electrico ha sidogenerado por un procesoARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12.


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Modelos Box-Jenkins

El modelo identificado (ARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12) se puedeexpresar como

(1− B)(1− B12

)Yt = c +

(1 + θ1B + θ2B2

) (1 + Θ1B12

)at ,

siendo Yt = ln (Xt) y Xt el consumo electrico del mes t.Una representacion equivalente es

Yt = Yt−1 + Yt−12 − Yt−13

+c + at + θ1at−1 + θ2at−2

+Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + θ2Θ1at−14.

Nota: Observese que, puesto que el proceso diferenciado notiene parte AR, la constante c coincide con su media µ.


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2: Estimacion del modelo identificado ARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12

Estimando los parametros por maxima verosimilitud resulta:

θ1 = −0.3371 (0.0440), θ2 = −0.5503 (0.0452),

Θ1 = −0.7116 (0.0377), µ = 0e + 00 (1e-04)

y σ2a = 0.0006759.

Puesto que la media µ del proceso diferenciado no essignificativamente distinta de cero, estimaremos unARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12 con µ = 0 o, lo que es lo mismo, conc = 0.


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Bajo la restriccion µ = 0, se obtienen las estimaciones:

θ1 = −0.3365 (0.0439), θ2 = −0.5496 (0.0451),

Θ1 = −0.7111 (0.0377) y σ2a = 0.0006762,

resultando todos los parametros significativamente distintos decero. Por tanto, el ARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12 estimado es:

Yt = Yt−1 + Yt−12 − Yt−13

+at − 0.3365at−1 − 0.5496at−2

−0.7111at−12 + 0.2393at−13 + 0.3908at−14,

siendo 0.0006762 la varianza del ruido blanco.


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3: Diagnosis del modelo ARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12




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Conclusiones:

El contraste de Ljung-Box rechaza la independencia de losresiduos.

Un modelo ARIMA(0,1,2)×(0,1,1)12 no resulta adecuadocomo posible generador de la serie del consumo electrico(transformada a traves del logaritmo neperiano).

Puesto que no tenemos independencia en los residuos, loscontrastes propuestos de media cero y normalidad notienen validez.


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4: Identificacion del modelo (criterio BIC)

Hemos calculado los valores del criterio BIC para distintosprocesos ARIMA(p,1,q)×(P,1,Q)12 (p, q ∈ {0, 1, 2, 3} yP,Q ∈ {0, 1, 2}).

El modelo ARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12 resulto ser el de menor BIC(BIC= −1625.907, siendo la constante del modelo nula).

De entre los modelos evaluados, solo uno (elARIMA(2,1,1)×(0,1,1)12) tuvo un valor BIC que no distasemas de 2 unidades del optimo.


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5: Estimacion del modelo ARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12

El modelo ARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12 se puede expresar como

(1− φ1B) (1− B)(1− B12

)Yt =(

1 + θ1B + θ2B2) (

1 + Θ1B12)

at .

Las estimaciones de sus parametros por maxima verosimilitudhan resultado:

φ1 = 0.3214 (0.0901), θ1 = −0.5804 (0.0898),

θ2 = −0.3762 (0.0784), Θ1 = −0.7135 (0.0391),

y σ2a = 0.0006543.


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6: Diagnosis del modelo ARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12




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Contrastes de media cero ynormalidad

µa = 0:p − valor = 0.2012

Normalidad:

Jarque-Bera:p − valor = 0.7272

Shapiro-Wilk:p − valor = 0.7198

Conclusion: Un modeloARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12 sinconstante y con innovacionesgaussianas resulta adecuadocomo generador de la serie delconsumo de electricidad(transformada a traves de lafuncion logaritmo neperiano).


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7: Prediccion en base al modelo ARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12

Para finalizar el estudio, elARIMA(1,1,2)×(0,1,1)12 quehemos seleccionado, estimado ychequeado fue utilizado pararealizar predicciones con origenen T = 384 y horizontes deprediccion k = 1, . . . , 12.

Estas se pueden observar en elgrafico de la derecha (azul),junto con los valores reales(verde) y los intervalos deprediccion al 95% (rojo).

Predicciones, ...


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Valores numericos

Mes Consumo Prediccion Intervalo de Prediccion (95%)

enero 229.922 233.2989 (221.8904 , 245.2940)febr. 207.913 202.7579 (190.4922 , 215.8133)mar. 195.917 197.3801 (185.1477 , 210.4206)abril 180.561 182.2473 (170.8927 , 194.3562)mayo 193.574 190.7098 (178.8020 , 203.4107)junio 222.073 216.9540 (203.3874 , 231.4254)julio 247.093 253.2536 (237.3969 , 270.1693)agos. 243.509 258.9025 (242.6725 , 276.2180)sept. 224.615 229.9236 (215.4930 , 245.3205)oct. 198.691 200.5321 (187.9313 , 213.9777)nov. 187.896 188.6941 (176.8231 , 201.3619)dic. 216.703 213.4435 (199.9998 , 227.7909)


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Resumen: Construccion del modelo generador de la serie

Etapas a seguir para identificar un ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s

como posible generador de la serie de tiempo a analizar:

Etapa 1: Representar graficamente la serie frente altiempo, y su fas muestral frente al retardo.

1 Si el grafico de la serie sugiere presencia de variabilidad noconstante, transformar (Box-Cox) la serie para estabilizarla varianza.

2 Si el grafico de la serie (quizas transformada en el pasoanterior) y/o el grafico de su fas muestral sugiere/npresencia de tendencia, aplicar diferencias regulares (d)hasta eliminarla.

3 Si el grafico de la serie (posiblemente transformada enalguno de los 2 pasos anteriores) y/o el grafico de su fasmuestral sugiere/n presencia de componente estacional (s),aplicar diferencias estacionales (D) hasta eliminarla.


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Etapa 2: Representar graficamente la serie (posiblementetransformada en la etapa 1) frente al tiempo, y sus fas yfap muestrales frente al retardo (en caso necesario,constuir tambien la tabla relativa a la fase muestral).

Dichos graficos debieran sugerir la procedencia de la serie(posiblemente transformada en la etapa 1) de un procesoestacionario (ARMA, quizas multiplicativo), pues en casocontrario no deberıamos haber pasado a esta etapa 2.

1 Tratar de identificar sus ordenes p, q, P y Q a traves delestudio de su fas y fap muestrales (quizas sea necesaria,ademas, la fase muestral).

2 Identificar sus ordenes p, q, P y Q a traves del estudio delas funciones AIC, AICC y/o BIC.


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Una vez que uno o varios modelos han sido identificados, lasiguiente etapa es su estimacion.

A continuacion, el/los modelo/s estimado/s debe/n serchequeado/s (es necesario comprobar que verifica/n lashipotesis basicas que se han supuesto en su construccion).Principalmente, comprobaremos la hipotesis de que lasinnovaciones son ruido blanco (preferiblemente gaussiano).

Si disponemos de varios modelos que han superado el analisisde residuos (diagnosis), seleccionaremos aquel que, teniendo unAIC, AICC y/o BIC pequeno (diferencias de hasta 2 unidadesno se consideran relevantes), resulte mas simple. En base adicho modelo, realizaremos las predicciones.


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A lo largo de este tema:

Se ha construido la clase de modelos Box-Jenkins.

Se han propuesto metodos para identificar sus ordenes:

Basados en el estudio de sus fas, fap y fase muestrales.Basados en el estudio de las funciones AIC, AICC y BIC.

Se han propuesto estimadores de sus parametros y se hanmostrado algunas de sus propiedades asintoticas.

Se han propuesto tecnicas para chequear el modeloajustado.

Se han propuesto metodos para predecir sus valoresfuturos, y se han construido intervalos de prediccion.


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