Probabilidad y Estadstica Serie de Problemas

1.- Las calificaciones de la materia de matemticas de 54 estudiantes de primer semestre de FIME, fueron las siguientes:

455585943648844965

964248656874796879

504466788443497384

656876665454464543

465465364254757036

886546557762816460

Determine lo siguiente: Tabla de frecuencias, histograma, media, desviacin estndar, varianza, mediana y rango.

Paso 1.

Ordenar los datos de la tabla de manera ascendente.

Paso 2.

Para establecer la tabla de frecuencias necesitamos calcular el rango para establecer los intervalos, para este caso el rango es:

RANGO= (96-36) = 60

En este caso dividiremos la tabla de frecuencia en intervalos de 6 es decir 10 intervalos y calcularemos tambin la marca de clase o punto medio:

Paso 3.

Con los datos de la tabla de frecuencias y los datos de marca de clase armamos el siguiente histograma.

Calculo de la Media.

La media de una muestra est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

X= (Xi) /n

Donde Xi representa la sumatoria de cada uno de los elementos de la muestra y n representa el nmero de elementos de la muestra.

Con base a lo anterior tenemos que:

X= (3,344) / (54) = 61.92

Calculo de Varianza.

La varianza de una muestra est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

S = (Xi - X) /(n-1)

Donde (Xi - X) representa la sumatoria de los cuadrados de restar la media entre cada uno de los elementos de la muestra y n representa el nmero de elementos de la muestra.

Con base a lo anterior tenemos que:

S = (13,591.70) / (53)= 256.44

Calculo de la Desviacin Estndar.

La desviacin estndar se define como:

S = S

Es decir la raz cuadrada de la varianza.

Con base a lo anterior tenemos que:

S = 256.44 = 16.01

Calculo de la Mediana.

La mediana de una muestra est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

Si es impar la muestra X= X(N+1)/2 XSi es par la muestra X= (X(N/2) + X(N/2)+1)/2

Al referirnos a una muestra par o impar nos referimos al nmero de elementos que integra una muestra, los cuales pueden formar un subgrupo par y/o impar.

Para nuestro caso en particular la muestra es par ya que son 54 elementos los que integra la muestra por ende aplicaremos la expresin correspondiente:

X= (X (54/2) + X (54/2)+1)/2

X= (X (27) + X (28))/2

Es decir que tomaremos el elemento nmero 27 y 28 de nuestra muestra sacaremos su promedio, por lo que la expresin queda definida como sigue:

X= (64 + 65) / 2 = 64.50

2.- Los datos siguientes reportan el nmero en un cruce peligroso en un lapso de 50 das. Consider los datos como una poblacin y como una muestra.

0231201120

4010320112

1321010023

2102101232

0105201201

Determine lo siguiente: Tabla de frecuencias, histograma, media, desviacin estndar, varianza, mediana y rango.

Paso 1.

Ordenar los datos de la tabla de manera ascendente.

Paso 2.

Para establecer la tabla de frecuencias necesitamos calcular el rango para establecer los intervalos, para este caso el rango es:

RANGO= (5-0) = 5

En este caso dividiremos la tabla de frecuencia en intervalos de 1 es decir 5 intervalos y calcularemos tambin la marca de clase o punto medio:

Paso 3.

Con los datos de la tabla de frecuencias y los datos de marca de clase armamos el siguiente histograma

Calculo de la Media de la Muestra.

La media de una muestra y est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

X= (Xi) /n

Donde Xi representa la sumatoria de cada uno de los elementos de la muestra y n representa el nmero de elementos de la muestra.

Con base a lo anterior tenemos que:

X= (65) / (50) = 1.30

Calculo de la Media de la Poblacin

La media de una poblacin y est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

= f(x)*X

Donde f(x)*X representa la sumatoria del producto de la probabilidad del evento por el elemento correspondiente.

Con base a lo anterior tenemos que:

Donde la los elemento de X son las marcas de clase y f(x) es la probabilidad del evento, este nmero se calculo dividiendo las frecuencias entre el total de eventos.

Una vez establecido los parmetros de clculo tenemos lo siguiente:

= (0.60*0.50)+ (0.26*1.50)+ (0.10*2.50)+ (0.02*3.5)+ (0.02*4.50) = 1.10

Calculo de Varianza de la muestra.

La varianza de una muestra est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

S = (Xi - X) /(n-1)

S = (68.5) / (49) = 1.39

Calculo de Varianza de la poblacin

La varianza de una poblacin est definida de acuerdo con la siguiente expresin:

= (Xi -) /(n)

= (70.5) / (50) = 1.41

Calculo de la Desviacin Estndar de la muestra.

La desviacin estndar se define como:

S = S

Es decir la raz cuadrada de la varianza.

Con base a lo anterior tenemos que:

S = 1.39 = 1.18

Calculo de la Desviacin Estndar de la poblacin.

La desviacin estndar se define como:

=

Es decir la raz cuadrada de la varianza.

Con base a lo anterior tenemos que:

= 1.41 = 1.19

3.- Un joven estudiante pondr nueve libros en una repisa de su recmara. Determine de cuantas maneras los puede acomodar si la condicin es que:

a) Tres especficos deben siempre estar juntos

i. Para la resolucin de esta condicin debemos primero mencionar que el orden si importa ya que una de las condiciones es que tres libros siempre este juntos.

ii. Por consiguiente concluimos que se trata de una permutacin.

iii. El siguiente paso ser realizar la permutacin de los 3 libros que siempre estarn juntos, es decir:

123

3 Permutaciones de 3 (3P3)= 1*2*3 = 3!

iv. Una vez que hemos efectuado la permutacin de los primeros 3 libros ahora la consideracin es tomar a los 3 libros como una sola posicin, es decir que tenemos 7 posiciones por permutar:

1234567

7 Permutaciones de 7 (7P3) = 7!

v. En conclusin tenemos que el nmero de opciones para acomodar 9 libros, con 3 de ellos siempre juntos es el siguiente:

Nmero de Opciones = (3!) * (7!) = (6)*(5,040) = 30,240

b) Tres especficos nunca deben de estar juntos

i. Para la resolucin de esta condicin debemos primero considerara todas las opciones posibles de la posicin de cada uno de los libros es decir:

123456789

9 Permutaciones de 9 (9P9) = 9!= 362,880

ii. El caculo anterior representa todas las posibilidades de colocacin, incluyendo las posiciones donde tres libros estn juntos.

iii. De la afirmacin anterior podemos decir que si restamos las opciones del inciso a aseguraremos que el nmero de opciones resultantes no contempla ninguna opcin donde 3 libros especficos estn juntos, es decir

(9P9) (3P3 * 7P3) = 362,880 (30,240) = 332,640

iv. Por lo tanto el nmero de posibles arreglos de los 9 libros sin que 3 especficos nunca este juntos es:

Nmero de Opciones = 332,640

4.- De un grupo de 11 edecanes deben de escoger un comit de cuatro para que asistan a una exposicin. Determine de cuantas maneras se pueden hacer la seleccin si, adems, existe el requisito de que:

a) Una de las edecanes tiene que formar parte del comit

i. Antes de empezar con la solucin de este apartado diremos que el orden de los elementos no importa por tal motivo, daremos solucin a este problema como una combinacin.

ii. Como la condicin dice que una de las edecanes tiene que formar parte del comit tenemos que el nmero de arreglos posibles es el siguiente:

Nmero de Opciones = (1C1) * (10C3) = (1) * (120) = 120

b) Dos seoritas especficas no deben de formar parte del comit.

i. Dado que dos seoritas no pueden ser parte del comit, nuestro espacio muestral se reduce en 2 elementos por lo que el nmero de opciones es:

Nmero de Opciones = (9C4) = 126

c) Una de las 11 tiene que ser incluida por fuerza, pero a otras 2 seoritas especficas hay que excluirlas. i. Tomado en cuenta la condicin tenemos que nuevamente se reduce nuestro espacio muestral en dos elementos por consiguiente tenemos:

Nmero de Opciones = (1C1) * (8C3) = (1) * (56) = 56

5.- Un seor compr 11 pequeos dinosaurios de platico (todos diferentes) para que sus hijos Too y Lalo. Al primero le dio 6 y al segundo 5, pero decidieron entre ellos intercambiar algunos. De cuantas maneras podran intercambiar conservando cada quien el nmero original de dinosaurios de platico que les regalaron.

i. Debido a la condicin del problema concluimos que el orden debe ser tomado en cuenta ya que a cada una de las personas mencionadas deben mantener el mismo nmero de elementos originales por ende se trata de un permutacin.

ii. En el esquema que mostramos abajo, dentro de cada una de las casillas estn las opciones que pueden tener cada uno de ellos para mantener el mismo nmero de elementos, por lo que el numero de permutaciones es:

TOO

LALO54321

65432

Opciones = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 6! = 720Opciones = 5 * 4 * 3 * 2 *1 = 5! = 120

|

iii. Aplicando el principio multiplicativo tenemos que la solucin del problema es:

Nmero de Opciones = (5!) * (6!) = (120) * (720) =86,400

6.- En una urna hay 50 esferas, de las cuales 8 estn marcadas con premios. Una persona extrae de la urna un puado de cinco esferas. Determine de cuantas maneras se pueden sacar, s:

5 esferas son extradas.

50 Esferas Totales8 Esferas marcadas42 Esferas sin marca

a) Exactamente dos esferas estn marcadas.

i. En la resolucin del presente problema el orden no afecta ya que la pregunta es cuantas maneras (arreglos), se pueden tener sacra 5 esferas, por ende este es un problema de combinacin.

ii. Para el inciso a la condicin es que exactamente 2 esferas estn marcadas y el restante no lo estn, la solucin es:

Formas = (8C2) * (42C3) = (28) * (11,480) = 321,440

b) Por lo menos dos lo estn.

i. Dado que se menciona la palabra por lo menos, el resultado ser una suma de formas de sacar 5 esferas, el proceso se realiza de la siguiente forma:

Formas = [(8C2) * (42C3)]+[(8C3) * (42C2)]+[(8C4) * (42C1)]+ [(8C5) * (42C0)]

Formas = 321,440 + 48,216 + 112 + 56 = 369,824

7.- En el ao 2000, las nicas monedas que circulaban en Mxico eran, en orden ascendente de 5, 10, 20 y 50 centavos; lo mismo que de 1, 2, 5, 10 y 20 pesos, aunque la ltima era rara. Si un seor tiene en el bolsillo nueve monedas, justo una de cada denominacin, Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar, sacando al azar una o ms monedas?

i. Consideramos que el orden no es importante ya que la suma tiene la propiedad conmutativa es decir que el orden de los factores no altera el producto, por tanto el problema es una combinacin ,el cual se puede resolver de la siguiente manera:

Sumas Diferentes: 9C1+9C2+9C3+9C4+9C5+9C6+9C7+9C8+9C9

Sumas =9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1= 511

8.- De un grupo de 13 ingenieros con doctorado se desea formar un comit de cinco para enviarlos a un congreso a Cambridge, Inglaterra. Determine de cuantas maneras es factible elegir el comit si se desea que est incluya por lo menos tres de los mejores 7 del grupo.

i. Consideramos que el orden no es importante ya que solo se menciona que deben ir cuando menos 3 de los mejores promedios, no se menciona s ser el mejor promedio de los 7 y/o si se seleccionan los mejores promedios primero o despus, por lo tanto se trata de una combinacin, misma que se resuelve, de la siguiente manera.

Comits = [(7C3) * (6C2)] + [(7C4) * (6C1)] + [(7C5) * (6C0)]

Comits = 525 + 210 + 21= 756

9.- En el ao 2000, los nmeros telefnicos de la ciudad de Mxico eran de 8 dgitos, de los cuales el primero tena que ser 5 el segundo no puede ser 0, 1 ni 9.

Cuntos nmeros telefnicos diferentes se formaran con esas restricciones?

i. Dado que se trata de nmeros telefnicos en este caso el orden si es importante ya que cada posicin nos da un nmero diferente, por dicha razn el problema se resuelve como permutacin de nmeros

ii. Para este problema pueden existir dos casos uno que los elementos se repitan o que no lo hagan. Realizaremos ambos casos y veremos las diferencias.

CASO 1.- Con repeticin de los elementos.

Dgitos del nmero completo

12345678

Dgitos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Para la posicin 1 solo existe 1 posibilidad ya que la condicin es que el nmero empiece con el nmero 5.

Para la posicin 2, no puede contemplar los nmeros 0, 1 y 9, por lo tanto solo hay 7 posibilidades.

Para las posiciones 3, 4, 5, 6, 7 y 8, pueden considerase todos los dgitos por lo que estas posiciones hay 10, 10, 10, 10, 10 y 10

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que los nmeros telefnicos que se pueden generar son los siguientes:

Nmeros telefnicos = 1*7*10*10*10*10*10*10= 7, 000, 000

CASO 2.- Sin repeticin de los elementos.

Dgitos del nmero completo

12345678

Dgitos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Para la posicin 1 solo existe 1 posibilidad ya que la condicin es que el nmero empiece con el nmero 5.

Para la posicin 2, no puede contemplar los nmeros 0, 1 y 9, as mismo el 5 ya fue tomado en la primera posicin por en hay 6 posibilidades.

Para la posicin 3 hay 8 posibilidades ya que han sido tomados 2 elementos del conjunto.

Par a la posicin, 4 se tienen 7 posibilidades.

Para la posicin 5 hay 6 posibilidades

Para la posicin, 6 hay 5 posibilidades

Para la posicin 7 hay 4 posibilidades

Y para la posicin 8 hay 3 posibilidades

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que los numero telefnicos que se pueden generar son los siguientes:

Nmeros telefnicos = 1*6*8*7*6*5*4*3= 120, 960

.

10.- De cuntas maneras se puede distribuir 12 juguetes entre 3 nios, de tal manera que cada pequeo reciba 4 juguetes?

i. Es importante resaltar que para este problema el orden no es importante por lo que la resolucin ser mediante el anlisis como combinacin, como se muestra a continuacin.

Formas = 12C4 * 8C4 * 4C4

Formas = 495 * 70 * 1 = 34, 650

11. Se lanza una moneda 5 veces Cul es la probabilidad de que salgan?

i. Para l anlisis de este problema utilizaremos tanto combinaciones y la aplicacin del principio multiplicativo, as mismo es importante saber que la probabilidad es repetitiva en cada lanzamiento por lo que la probabilidad se multiplica por si misma las tantas veces como lanzamientos hagamos.

a) Exactamente 2 guilas

i. Primero tendremos que saber en cuantos arreglos de esta combinatoria tenemos el caso que al hacer 5 tiros obtengamos 2 guilas exactamente, como el orden de aparicin no es trascendente, se ocupara una combinacin de la siguiente forma:

Nmero de arreglos donde hay 2 guilas exactamente = 5C2 = 10

ii. Una vez establecidos los arreglos calculemos la probabilidad en la que puede salir un guila, siendo es equivalentes a () * () * () * () * () = (1/32) por lo tanto la probabilidad de que en 5 tiros se obtengan 2 guilas es la siguiente:

P (2 guilas)= 5C2 * (1/32) = (10/32) = 31.25%

b) Al menos 4 guilas

i. Anlogamente al inciso a, par este caso la condicin menciona al menos 4 guilas, lo que significa que puede obtenerse 4 5 guilas en los 5 tiros que realizamos, lo que podemos obtener de la siguiente forma:

P (Al menos 4 guilas)= (5C4+5C5) * (1/32)

P (Al menos 4 guilas)= (5 + 1) * (1/32) = (6/32) = (3/16) = 18.75%

c) Como mximo 4 guilas.

ii. Para este caso y de manera anloga al inciso anterior tenemos que la condicin menciona que como mximo 4 guilas lo que significa que despus de hacer los 5 tiros podemos tener 0, 1, 2, 3, y hasta 4 guilas, por lo que esta probabilidad puede ser calculada de la siguiente forma:

P (Mximo 4 guilas)= (5C0+5C1 +5C2+5C3+5C4) * (1/32)

P (Mximo 4 guilas)= (1+5+10+10+5) * (1/32) = (31/32) = 96.87 %

12.- De un grupo de 4 hombres y 3 mujeres se van a seleccionar un comit de 6 personas Cul es la probabilidad de que dicho comit este integrado de

i. Dado que el orden de acomodar a los integrantes del comit no importa para la resolucin de este problema lo haremos con el concepto de combinacin.

a) 3 hombres y 3 mujeres

P (3 Mujeres y 3 Hombres) = 3C3 * 4C3 7C6

P (3 Mujeres y 3 Hombres) = 1 * 4 = 4 = 57.14 % 7 7

b) Exactamente 2 mujeres

P (2 Mujeres y 3 Hombres) = 3C2 * 4C4 7C6

P (2 Mujeres y 3 Hombres) = 3 * 1 = 3 = 42.85 % 7 7

c) Al menos una mujer.

13.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 2 blancas. Si sacamos 3 al azar, determine la probabilidad de que:

i. Dado que el orden en que las esferas salgan de la urna no es importante para la resolucin de este problema lo haremos con el concepto de combinacin.

3 esferas son extradas.

7 Esferas Totales5 Esferas Rojas2 Esferas blancas

a) Salgan al menos 3 bolas rojas.

P (Al menos 3 esferas)= (5C3*2C0) 7C3

P (Al menos 3 esferas)= (10) = 28.57% 35

b) De que salga como mnimo 2 bolas blancas.

P (Mnimo 2 esferas)= (2C2*5C1) 7C3

P (Mnimo 2 esferas)= (5) = 14.28% 35

14.- Una caja de 15 fusibles los cuales 5 estn defectuosos. Si tomamos 4 al azar Cul es la probabilidad de que:

i. Para los incisos a, c y d, el orden de aparicin si es importantes por ende para estos incisos aplicaremos el concepto de permutacin

ii. Para el inciso b el orden no es importante dado que solo necesitamos calcular el nmero de arreglos donde exista un fusible fundido. Por dicha razn este inciso ser resuelto como combinacin.

a) El primero y el ltimo sean defectuosos y los dems buenos

51094Posibilidades de defecto

1234Posiciones del arreglo

15141312Posibilidades totales

Primero calculemos las posibilidades totales de obtener un arreglo de 4 fusibles, sin que nos interese si esta fundido no, este nmero de arreglos lo llamaremos PT, el cual se calculara de la siguiente forma:

En la tercera fila nombrada Posibilidades Totales (PT), tenemos que:

Para la posicin 1 se tienen 15 posibilidadesPara la posicin 2 se tienen 14 posibilidadesPara la posicin 3 se tienen 13 posibilidadesPara la posicin 4 se tienen 12 posibilidades.

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que PT es igual a:

PT= (15) * (14) * (13) * (12)= 32,760 formas.Ahora bien considerando la condicin del inciso a la cual dice que el primero y el ltimo deben estar fundidos, tememos que P (Fusible fundidos), ser calculado de la siguiente forma:

Para la posicin 1 se tienen 5 posibilidadesPara la posicin 2 se tienen 10 posibilidadesPara la posicin 3 se tienen 19 posibilidadesPara la posicin 4 se tienen 4 posibilidades

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que P (Fusibles fundidos) es igual a:

P (Fusibles fundidos)= (5) * (10) * (9) * (4)= 1,800 formas

Por ltimo el clculo de la probabilidad de que el primer fusible y el ltimo estn fundidos P(X), se calcular con la siguiente expresin.

b) Uno sea defectuoso

iii. Como mencionamos en el apartado ii, para este inciso no existe condicin alguna salvo que uno debe estar fundido, por ende el orden no importan y se tratar como una combinacin, la cual quedar expresada como sigue:

c) Los tres primeros sean defectuosos

iv. Anlogamente al inciso a utilizaremos la tabla de posiciones y tenemos el siguiente arreglo de posibilidades.

54310Posibilidades de defecto

1234Posiciones del arreglo

15141312Posibilidades totales

En este caso no calcularemos PT ya que es la misma que la del inciso a

Ahora bien considerando la condicin del inciso c la cual dice que los primeros 3 estn fundidos, tememos que P (Fusible fundidos), ser calculado de la siguiente forma:

Para la posicin 1 se tienen 5 posibilidadesPara la posicin 2 se tienen 4 posibilidadesPara la posicin 3 se tienen 3 posibilidadesPara la posicin 4 se tienen 10 posibilidades

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que P (Fusibles fundidos) es igual a:

P (Fusibles fundidos)= (5) * (4) * (3) * (10)= 600 formas

Entonces tenemos que la probabilidad de que los primeros 3 estn fundidos ser igual a:

d) El primero este fundido y los dems no lo estn

v. Anlogamente al inciso a, y c utilizaremos la tabla de posiciones y tenemos el siguiente arreglo de posibilidades.

5101110Posibilidades de defecto

1234Posiciones del arreglo

15141312Posibilidades totales

Tampoco para este inciso calcularemos PT ya que es la misma que la del inciso a y c

Ahora bien considerando la condicin del inciso d la cual dice el primero est fundido, tememos que P (Fusible fundidos), ser calculado de la siguiente forma:

Para la posicin 1 se tienen 5 posibilidadesPara la posicin 2 se tienen 10 posibilidadesPara la posicin 3 se tienen 9 posibilidadesPara la posicin 4 se tienen 8 posibilidades

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que P (Fusibles fundidos) es igual a:

P (Fusibles fundidos)= (5) * (10) * (9) * (8)= 3,600 formas

Entonces tenemos que la probabilidad P(X) de que el primer fusible este fundido ser igual a:

15.- Se lanza una moneda 2 veces, Cul es la probabilidad de que salgan:

vi. Considerando el rbol probabilstico mostrado abajo, podemos resolver este problema de manera simple.

a) Exactamente 2 guilas.

Observamos que la probabilidad que despus de 2 tiros se obtengan XX es = 25% b) Como mximo un guila.

Para esta segunda condicin tenemos que los resultados pueden ser (), (X) y (X), cada opcin tiene una probabilidad de por lo tanto la probabilidad de obtener como mximo una X es del + + = = 75%

16.- Dos urnas idnticas cuyos contenidos son los siguientes: Una urna A contiene 4 bolas rojas y 6 bolas negras, Una urna B contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Al seleccionar una urna al azar y extraer 2 dichas urnas Cul es la probabilidad de que:

URNA BURNA A

10 Bolas totales7 Bolas Rojas3 Bolas Negras10 Bolas totales4 Bolas Rojas6 Bolas Negras

i. Considerando el rbol probabilstico mostrado abajo, podemos resolver este problema de manera simple.

a) Sean de 2 colores diferentes

ii. Una vez que tenemos armado el rbol probabilstico procederemos a aplicar el teorema de Bayes el cual dice:

Para nuestro caso particular tenemos que

Sustituyendo en la ecuacin del teorema de valles tenemos

b) Sean de la urna A si las 2 fueran rojas.

iii. Para el inciso b el rbol probabilstico cambia de la siguiente forma:

Para nuestro caso particular tenemos que

Sustituyendo en la ecuacin del teorema de valles tenemos

Probabilidad y Estadstica