Señales y Sistemas - Roberts - Cap11

r A P T T TT T , n 11 La transformada z

11.1 I N T R O D U C C I Ó N Y O B J E T I V O S

Este capítulo sigue un camino similar al del capítulo 9 sobre la transformada de Laplace, salvo que se aplica a señales y sistemas en TD en lugar de en TC. La transformada c es a la TFTD lo que la transformada de Laplace es a la TFTC. Incrementa el intervalo de aplicación de técnicas para el dominio de la frecuencia en TD al incluir señales que no tienen una TFTD. Además, como la transformada de Laplace para señales y sistemas en TC, la transformada z da más conocimiento sobre la dinámica y la estabilidad del sistema.

OB.TETIVOS DEL C A P Í T U L O

L Formular la transformada z como una técnica de análisis más general para sistemas en TD que la TFTD 2. Ver cómo la transformada z puede formularse como una generalización de la TFTD 3. Observar a la transformada z como un resultado del proceso de convolución cuando un sistema en TD se

excita mediante su función propia 4. Deducir propiedades de la transformada z que son útiles para determinar las transformadas c directa e inversa

de señales de TD prácticas 5. Resolver ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales mediante la transformada z 6. Apreciar la relación entre las transformadas z y de Laplace

11.2 F O R M U L A C I Ó N D E L A T R A N S F O R M A D A z

La transformada de Laplace es una generalización de la TFTC que permite la consideración de señales y respuestas al impulso que no tiene una TFTC. En el capítulo 9 se vio cómo esta generalización permite el análisis de señales y sistemas que no es posible realizar con la transformada de Fourier y también cómo proporciona información sobre el desempeño del sistema mediante el análisis de la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia en el plano s. La transformada z es una generalización de la TFTD con ventajas similares, y es para el análisis de señales y sistemas en TD de manera similar que la transformada de Laplace es para el análisis de señales y sistemas en TC.

DEDUCCIÓN Y DEFINICIÓN

Existen dos enfoques para obtener la transformada z que son análogos a los dos que se siguieron al deducir la de Laplace, generalizar la TFTD y explotar las propiedades Vínicas de las exponenciales complejas como las funciones propias de los sistemas LIT.

La TFTD se define mediante

X « = 27T L X(j^)e^^"dQ ^ X(jQ) = Yl x[n]e->"" (11.1)

I l . . l t , ' II íí - . T Í T » T . » Í , 1 ' , 1 *1 ii '

I 1 I I T99 I [ I 1 !

t

Factor de convergencia

' ? 9 p ' o o í I I í { I

F I G U R A 11.1 Una señal original y ella misma multiplicada por un factor de convergencia.

X(F)e^ '^^^ 'VF X ( F ) = x[n]e"^'^''^". (11.2) n = - o c

La transformada de Laplace generaliza a la transformada de Fourier al cambiar las senoides complejas de la forma e '™ por exponenciales complejas de la forma e^', donde s = a + ja, y el grado adicional de libertad se introduce mediante la nueva variable o, la parte real de s. Si se sigue un camino análogo para señales en TD, se generalizarían senoides complejas en TD de la forma eJ^" a exponenciales complejas en TD de la forma e^", donde 5 = X + jQ . En esta formulación se utiliza la idea ya establecida de emplear letras minúsculas CO, / , a y s para indicar frecuencias reales y complejas en TC y mayúsculas ü., F, E y 5para designar frecuencias reales y complejas en TD. Al seguir de manera estricta la analogía para la de Laplace, la nueva transformada en TD sería

(11.3)

y podría concebirse este nuevo tipo de transformada como la TFTD de una versión modificada de la señal, dicha modificación, corresponde a la multiplicación por un factor de convergencia en TD e-^" (figura 11.1).

Si bien esta notación es una extensión lógica de la que se ha usado para otras transformadas, no es la que se usa convencionalmente para esta nueva transformada en TD. En vez de eso la nueva transformada recurre de manera convencional a z" en lugar de e^". Lo anterior es consistente con el uso previo de la notación a" para una exponencial compleja en TD en lugar de la notación equivalente eP«, donde a = eP y tanto a como [3 pueden, en general, ser complejas. El uso de z en lugar de simplifica la notación y se utiliza umversalmente en la disciplina de señales y sistemas.

El otro enfoque para obtener la transformada z consiste en reconocer que cuando se excita un sistema LIT en tiempo discreto con una exponencial compleja de la forma x[w] = Az", es posible encontrar la respuesta por convolución y que es igual a

y[n] x[n] * h[«] = Az" * h[«l = ^ h[m]Az^"-'"' = Az" ^^Mz"" . ' "=- '= ^ 4 ^ " ' = - ° ^ _ (11.4)

transformada z de h[«l

Puesto que cualquier señal en TD con utilidad en ingeniería se expresa como una combinación lineal de exponenciales complejas en TD, la respuesta a cualquier excitación se encuentra multiplicando la transformada ; de la excitación (la cual expresa la excitación como una combinación lineal de exponenciales complejas) por la transformada z de la respuesta al impulso. La TFTD es un caso especial de la transformada z con algunos cambios de notación.

A continuación se define la transformada z por medio de

X(z) = J2 ^ t«]^" (11.5)

donde z puede variar en cualquier parte en el plano complejo. Esto contrasta con eJ^ que sólo puede estar sobre un círculo unitario debido a que la frecuencia en radianes Q. se restringe a valores reales y se identifica con el concepto físico real de frecuencia (en radianes). La ecuación (11.5) define la transformada z bilateral directa. La transformación z también puede indicarse por medio de la notación

Z(x[n]) = X(z) (11.6)

6 3 2 x[«] <- X(z). (11.7)

Las TFTD de algunas funciones que se usan comúnmente no existen en el sentido estricto. Por 6 3 3 ejemplo, la secuencia unitaria u[n] no tiene una TFTD porque sería

ÍI——CC n~0

y la sumatoria no converge. Sin embargo, aunque la TFTD no existe, la transfoimada ;

(11.8)

X(z) = ¿ u[n]z-" = E z"" (11.9) n = 0

existe para valores de z cuyas magnitudes son mayores que uno. El requisito de que la magnitud de z sea mayor que uno para la convergencia define una región de convergencia (RDC) de la transformada z en el plano z, el exterior abierto del círculo unitario. La sumatoria de la transfomada z

«=o

puede escribirse en forma cerrada como

(11.10)

Las dos formas

= j ^ = ^- (11.11)

X(z) = 7 3 T (11-12)

^ ( 2 ) = 7 3 T ^ (11.13)

son iguales, aunque una o la otra quizá se prefieran en ciertas situaciones. Por ejemplo, es obvio de inmediato de acuerdo con (1L12) que esta transformada z tiene un cero en z = O y un polo en z = 1. Aunque las ubicaciones de los polos y ceros se determinan examinando la segunda forma, (11.13), no son evidentes de inmediato. Por razones que se verán dentro de poco, la segunda forma, (11.13), se prefiere a menudo en situaciones en las cuales un sistema en TD se sintetiza a partir de una función de transferencia en el dominio z.

Antes se encontró que la respuesta y[n] de un sistema LIT en tiempo discreto a una excitación x[n] en TD es la convolución de la excitación con la respuesta al impulso h[n] del sistema,

O C ' O O

y [ " ] = E x [ O T ] h [ M - m ] : = E Hm]x[n - m], (11.14)

y. para una excitación en la forma de una exponencial compleja en TD

xln] ^ Az", (11.15)

la respuesta es entonces

y[n] = J2 h[m]Az"-'" = Az" ^Mz"" = Az"H(z). (11.16)

=Z(h[n]}

Esto muestra que la respuesta a una exponencial compleja en TD es otra exponencial compleja en TD de _! misma forma pero con un multiplicador diferente, el cual es la transformada z de la respuesta al mpulso. Puesto que cualquier señal en TD con utilidad en ingeniería se expresa como una combinación

11.2 Formulación de la transformada z

lineal de exponenciales complejas en TD, la transformada z de la respuesta a cualquier excitación se encuentra multiplicando la transformada z de la excitación por la transformada z de la respuesta al impulso.

Y(z) = X(z)H(z) . (11.17)

Esto es directamente análogo a los resultados correspondientes de la TFTC y de la transformada de Laplace para sistemas en TC excitados por senoides o exponenciales complejas en TC,

Y( jw) = X ( j w ) H ( j w ) y Y ( 5 ) = X ( 5 ) H ( 5 ) , (11.18)

y al resultado de la TFTD para sistemas en TD excitados por senoides complejas en TD,

Y(j í2) = X(; Í2)H(7Í2) . (11.19)

REGIÓN DE CONVERGENCIA

De manera análoga a la determinación de la transformada de Laplace de Ae«'u(í), a > O, es posible encontrar la transformada z de la función causal en TD Aa"u[n], | a | > O (que no tiene una TFTD), como

oo oo ^ / c¿ X(z) = A ^ a"u[n]z~" = A ^ a "z - " = A ^ -

«=0 (11.20)

(figura 11.2). La sumatoria en (11.20) converge si |z| > \a\. Esto define la región de convergencia como el exterior abierto de un círculo de radio [a | en el plano z (figura 11.3). La sumatoria de la transformada z

X{z)^aJ2^"z-" = aJ2[^ 11=0 n=0

> a

puede escribirse en forma cerrada como

X(z) = A = A-( z / a ) - 1 z - a 1 - a z " '

Im(z)

tz]

z > a .

(11.21)

(11.22)

x[;!]

RDC

F I G U R A 11.2 Un crecimiento causal de la señal exponencial en TD.

RDC

Re(z)

RDC

F I G U R A 11.3 Región de convergencia de la transformada zdeAa"u[n]Aa\>0.

Im(z)

x[«] RDC

Re(z)

F I G U R A 11.4 Un crecimiento anticausal de la señal exponencial en TD.

F I G U R A 11.5 Región de convergencia de la transformada zdeAa-"u[-n],|a|>0.

La función Aa-"u[-n], | a | > O es anticausal en TD y no tiene una TFTD (figura 11.4). Su transfor--ia z es

O O o O O

X{z) = A E a - " u [ - « k - " = A E cL-"z-" = AY^iazY,

11.2 Formulación de la transformada z

n=0 (U.23)

1 transformada existe si | az | < 1 o |z| < 1 / | a | . Por consiguiente, la región de convergencia es el interior rrto de un círculo de radio l /\a\ en el plano z (figura 11.5). La sumatoria de la transformada z

X(z) = A ¿ a""z-" = A E a"^" 1

«=o (11.24)

-íde escribirse en forma cerrada como

A , - 1

X(z) = 1 — az 7 - 1 z < (11.25)

:. mismo modo que se concluyó en el capítulo 9 que la transformada de Laplace bilateral de una constan-j existe debido a que no es posible encontrar ningún factor que haga converger la integral de la trans-

mada, la transformada z bilateral de una constante no puede hallarse de ningún modo.

- ;;miine la transformada z de

x[n] = 5) V3

u[n] .

Solución ínplear la definición.

u[„]z-« = ¿ 2

X(z) = -

R O C | j | > | R 0 C : U i > i

15z _ 9z ^ 4

5z - 4 9z - 4 5 '

(11.27)

(11.26)

Im(z)

RDC

F I G U R A 11.6 RDC de la transformada z de

x [ n ] = r 3 ( f ) " - ( | f " l u [ n ] .

Re(z)

•izión de convergencia se ilustra en la figura 1L6.

; zr.iine la transformada z de

x[«] = 2"u[n] + 3 " u [ - n ] .

I Solución ;ar la definición.

E . I E M P I . O 11.2

(11.28)

X ( z ) = J2 (2"u[n] + 3 " u [ - n ] ) z - " = ^ 2 " z - " + ¿ 3"z^" (11.29)

Im (z)

RDC [z]

/l

3 \

• RDC

F I G U R A 11 .7

Re(z)

RDC para la transformada z de x[n] = 2"u[n] + 3"u[-íí].

2 / ( 1 = 0 (11.30)

z-2 z-3

RDC:i,-i>2 RDC:|i |<3

2 < | Z | < 3.

(figura 11.7)

L A T R A N S F O R M A D A z U N I L A T E R A L

La transformada de Laplace unilateral demostró ser conveniente para funciones en TC, y la transformada z unilateral es conveniente para funciones en TD por las mismas razones. Es posible definir una transformada z unilateral que sólo es válida para funciones en TD que son cero antes del tiempo discreto « = O y que evita, en la mayoría de los problemas prácticos, cualquier consideración que implique a la región de convergencia. Entonces, como se hizo con la transformada de Laplace, se mostrará después que cualquier transformada z bilateral se puede encontrar mediante tablas de transformada z unilateral.

La transformada z unilateral se define mediante

X(z) = ¿ x [ « ] z - " . (U.31) ; i = 0

A partir de este punto la transformada z unilateral se referirá simplemente como la transformada z y la transformada z bilateral se indicará de manera explícita.

Determine la transformada - de

x[n] = sen(Qo'i) u["]-

• Solución Es posible escribir la función seno en términos de exponenciales complejas

Luego, utilizando la transformada

sen(í2 ow) u[í7] = u["]-7 2

Z(a"uln]) =

que se encontró en (11.22), puede escribirse

Z( sen (Qo '0 u [ ; 7 l ) = — , j2 Iz-eJ""» z-e-J""

o, si se simplifica.

Z{x[n]) = - zsen(Qo)

1 z(z - e-J^°) - z(z - e^'^») j2 iz - eJ^^Xz - e-J'^»)

sen(Qo)J

z= - 2zcos(Qo) + 1 1 - 2cos ( í^o)z - ' + z"

(11.32)

(11.33)

(11.34)

(11.35)

(11.36)

Una tabla útil de transformada z se presenta en el apéndice G.

11 .3 P R O P I E D A D E S D E L A T R A N S F O R M A D A z

Dados los pares de transformada.

g[n] < > G(z) g[«] = 0 n < O (11371

h[«] H(z) h[n] = 0 n < O,

Es posible demostrar las propiedades de la transformada z en las siguientes secciones.

LINEALIDAD

La propiedad de linealidad es exactamente la misma para la transformada z que para todas las demás transformadas y la demostración es similar.

ag[n] + ph[«] < > aG(z) + PH(z) (11.39)

Esto simplemente muestra que, igual que los demás métodos de transformada, la transformada z es lineal y admite la superposición.

DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO

Hay dos diferentes casos por considerar: desplazamientos negativos y positivos en tiempo discreto (figura 11.8).

Caso 1 Desplazamientos positivos en tiempo discreto. La suposición en (11.37) es que la señal es causal. Por lo tanto, los desplazamientos positivos en tiempo discreto simplemente recorren los ceros hacia adelante.

n i 38'» ^"i-3 Propiedades ^ ' ' de la transformada z

Zigln - no]) = ¿ g[n - no]z"' = §[" " "«^^ " "« - ° n=0

Seam = n-UQ. Entonces

Z(g[« - «oD = E —(m+«n) " o

m=0

g[« - «o] ^ "G(z) «o > o

Esta propiedad sólo se aplica a señales causales. En otro caso un desplazamiento positivo podría cambiar hacia nuevos valores de la señal distintos de cero y las relaciones entre las transformadas de las señales original y desplazada no serían únicas.

Caso 2 Desplazamientos negativos en tiempo discreto. En este caso, al utilizar la transformada z unilateral, se está en general cortando parte de la señal al desplazarla hacia la izquierda debido a que la sumatoria de la transformada empieza en n = 0. Por lo tanto, si la propiedad es de aplicación general, es necesario encontrar una forma para restaurar la información que se eüminó. En otro caso la transformada de la señal no desplazada y la señal desplazada no pueden relacionarse de manera única.

Empiece con la definición de la transformada z

Z{g[n + 1]) = E g[« + 1]^"" = 2 E g[« + (11.43) n=0 «=0

En (11.43) hay una sumatoria que no incluye el efecto de g[0] en la función original. Sea m = n+ 1, entonces

«0 > 0 (11.40)

= z^'^^Giz) (11-41)

(11.42)

x[n]

Función original

í l . . T I T t T . t l ,

x[n -- "ol

Desplazamiento positivo en tiempo

. . . TÍ - . T Í T » ,

x[« + «(,]

Desplazamiento negativo en tiempo

í . . T Í T t T . t í Í T , M •* 11

F I G U R A 11.8 Desplazamientos en tiempo discreto.

6 3 8 Z{g[n + 1]) = z ^ g í m l z - " =z[Y. g N l z - " - g[0] = z(G(z) - g[0]). (11.44.

m = l Vm=0

Mediante este proceso aliora se incluye el efecto de g[0], y la transformada de la señal original y la señal recorrida se relacionan de manera tínica. Es posible extender este método a desplazamientos más grandes, por ejemplo, uno negativo de dos en tiempo discreto.

n = 0 Z(g[« + 2]) = ^ g[n + 2]z-" = E g[« + 2]z-^"+^\

Sea m = n -1- 2; en ese caso

00

Z{g[n + 2]) = z ' Y. g[ '"]z""' = m = 2

^ g [ m ] z - ' " - g [ 0 ] - z - ' g [ l ] \ n i = 0 /

Z{g[n + 2]) = z ' (G(z) - g[0] - z - ' g [ l ] ) .

Entonces, por inducción, para desplazamientos mayores.

> ¡ ( i - i

m = 0

lía > O

(11.45»

(11.46)

(11.47)

La propiedad de desplazamientos en el tiempo es muy importante al convertir expresiones de la función de transferencia en el dominio z a sistemas en TD reales y, además de la linealidad, es mu> probable que sea la propiedad de la transformada z que se utiliza más a menudo.

E J E M P I X )

Un sistema en TD tiene una función de transferencia

Y(z) H(z) =

X(z)

Dibuje un diagrama de bloques utilizando bloques de retraso y ganancia.

• Solución Es posible reescribir la ecuación en la forma,

Y(z) _ __i 1 - jz-X(z)

(11.49) se reacomoda en la forma

Y ( z ) f l - z - ' -2

= ( z - ' - ^ z - M X ( z )

(11.481

(11.49)

(11.50)

Y(z) - z - ' Y ( z ) + ^ z " ' Y ( z ) = z - 'X(z ) - \z-'X(z).

Ahora, mediante la propiedad de desplazamiento en el tiempo, si

x[n] X(z) y[n] < > Y(z) ,

entonces la transformada z inversa de (11.51) es

y[n] - y[n -1] + ^yln - 2] = x[n - 1] - ^x [« - 2]

(11.511

(11.52)

(11.53)

y[n] = x[n - 1] - ^-x[n - 2] + y[n - 1] - ^y[n - 2] .

(11.54)

La ecuación (11.54) recibe el nombre de relación de recursión entre la excitación x[n] y la respuesta y[n] y expresa el valor presente de la respuesta (en tiempo discreto n) como una combinación lineal de los valores presente y pasado tanto de la excitación como de la respuesta (en Bempos discretos n, n - 1, « - 2, ...). De acuerdo con ello es factible siiitetizar directamente un diagrama de bloques de un sistema con la fundón de transferencia (11.48) (figura 11.9). La anterior no es la única manera de dibujar un diagrama de bloques para representar este sistema. Es posible reescribir la función de transferencia como

H(z) =

Si se deja

Y(z)

X(

1

Z - T

(11.55)

x[«] D tí D

D 1 2

/ D 1 2

y[n\

4) D

F I G U R A 11.9 Diagrama de bloques del sistema para la función de transferencia

H(z) =

X(z) Y(z)

1 Y|(z ) = f X ( z ) y Y{z) = -Ydz), (11 .56) z - 3 Z - 3

F I G U R A 11.10

Diagrama de bloques alternativo del sistema para la función de transferen

cia H(z) =

entonces

" i ( ^ ) = ^ = ^ ' " 2 ^ ' ) = ^ = ^ ' y H(z) = H, (z )H , (z ) , X ( Z j z — j I l ( Z ) z — T

(11.57)

y se puede dibujar el diagrama de bloques del sistema como la conexión en cascada de dos sistemas más simples (figura 11.10). Existen otras dos formas de dibujar diagramas de bloques que se explorarán en el capítulo 12.

CAMBIO DE ESCALA

Si se comprime o se expande la transformada z de una señal en el dominio z, el efecto equivalente en el dominio en TD es una multiplicación por una exponencial compleja.

(11.58) «=o n = 0 a /

= G | --.a

a"g[«] V a / (11.59)

Un caso especial de esta propiedad resulta de particular interés. Considere que la constante a sea eJ^", donde Qq real. Entonces

g[n] G(ze-J^"). (11.60)

Todo valor de z se cambia por ze~J^°. Lo anterior lleva a cabo una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj de la transformada G(z) en el plano z en un ángulo Qg debido a que Í?-./'"» tiene una magnitud de uno y una fase de -Q.Q. ASÍ que cualquier valor funcional particular G(zo) de la transformada de g[n] se convierte en el valor de G(zQe-.'''*') de la transformada de e-J^" (figura 11.11).

Una multiplicación por una senoide compleja de la forma eJ^' en el dominio en TD corresponde a una rotación de su transformada z. Volviendo por un momento a la idea de que z - e^'^J^ es una generalización de eJ^,

Diagrama de polos y ceros de G(z)

Diagrama de polo.s y ceros de GCze" '"»)

F I G U R A 11.11 Ilustración de la propiedad de escalamiento frecuencia de la transformada z para el caso escalamiento por eJ^o.

de especial de

si se restringe la transformada z a frecuencias en TD reales tales que E = O, se tiene que z = e¡^ y una multiplicación por e-^'^" produce ze^-'"" = ei^^ "o ) , la cual puede interpretarse como un desplazamientc en el dominio Q. por una cantidad Ü.Q. De manera que esta propiedad es análoga a la de corrimiento ez frecuencia de la TFTD y explicará efectos similares si se realiza la modulación en TD de una señal er. TD. Esto es, una rotación en el dominio z es análoga a un desplazamiento en el dominio de la frecuencii en TD debido a la relación z = ei^.

E . ÍKiVH^I.O 11.5

Determine las transformadas z de

x[n] = e-'"/'*"'u[n] y x,„[n] = sen — u[«] 2 7 T n \

(11 . 611

y dibuje los diagramas de polos y ceros para X(z) y X,„(z).

• Solución Si se emplea

a " u [ / ¡ ] Z - a 1 - a z

(11.62)

se obtiene

T — g - ( l / 4 0 ) (11.63)

Por lo tanto. X(z) = • - _ G-(L/-IO) ' Es posible reescribir x,„[/í] como

x„An] = e-*"/*"^ - -u [ n ] (11.64)

dn] = -^- [ e - ( " / « ) e ^ - < 2 - / 8 J _ g - ( - . / 4 0 ) ^ - y ( 2 , „ / 8 ) ] ^ ^ ^ ^

Entonces, si se empieza con

(11.65)

. _ e-(i/40) (11.66)

y se utiliza la propiedad del cambio de escala

Oi"G[n] < > G - , (11.67)

se obtiene

-j(2t t /8)

7 „ - j ( 2 - / 8 ) _ ^ - ( 1 / 4 0 ) (11.68)

-j(2TTn/8) -(/1/40) Z 7eÍ(2-^/8)

2 e J ( 2 - / 8 ) _ g - ( l / 4 0 ) (11.69)

_ ¿ |-g-(/i/40)gj(27r,i/8) _ g-<«/40)g-y(2-irn/8)j yj^j

^ J 2 [-g-j(2T7/8) _ g - ( l / 4 0 ) 2 g ; ( 2 T T / 8 ) _ g - ( l / 4 0 ) J

(11.70)

CAPÍTULO 11 La transformada z

X,„(z) = - ^ ^ g ; ( 2 - 7 r / 8 )

2 g - ; ( 2 T r / 8 ) _ g - ( l / 4 0 ) 2 g , ; ( 2 T t / 8 ) _ g - ( l / 4 0 )

ze-<'/^o' sen(2TT/8) (11 .71)

- 2ze-<i/*»0) c o s ( 2 t t / 8 ) + g - ' ' / ^ "

X,„(z) = 0.6896Z

z 2 - 1.3793Z +0.9512

0.6896Z

(Z - 0.6896 - 70.6896)(z - 0.6896 + ;0.6896)

figura 11.12).

(11.72)

Diagrama de polos y ceros de X ( 7

Diagramas de polos y ceros de X^(z)

Círculo unitario

F I G U R A 11.12 Diagrama de polos y ceros de X(z) y X^ (z).

Círculo unitario

T E O R E M A D E L V A L O R I N I C I A L

=1 teorema del valor inicial es similar a su contraparte en la transformada de Laplace. Si se toma el límite cuando z tiende a infinito de la transformada z, G(z), de cualquier función g[n], todos los términos excepto gíOJz" tienden a cero y sólo queda el primero.

lím G(z) lím V g[«]z"" = Km n = 0

g[0] + ^ + ^ + = g[0] ( 1 1 . 7 3 )

g[0] = lím G(z) (11.74)

D I F E R E N C I A C I Ó N E N E L D O M I N I O z

L a diferenciación en el dominio z se relaciona con la multiplicación por -n en el dominio en TD.

G(z) = Y. (11.75)

Z{no[n-\)

Por lo tanto,

-ng[n] < > z — G ( z ) dz

( 1 1 . 7 6 )

(11.77)

Mediante la propiedad de diferenciación en el dominio z demuestre que la transformada z de nu[íi] es jz ( ; - l ) -

• Solución 5 i empieza por

u[;!] < ^ > z - 1

(11.78)

EjKMPLO 11.6

641

6 4 2 Entonces, utilizando la propiedad de diferenciación en el dominio z,

z d — nu[n'\

dz\z-\ (z - (11.79)

«u[n] {z^\y-' (11.80)

C O N V O L U C I Ó N E N T I E M P O D I S C R E T O

Se ha visto en las transformadas de Fourier y de Laplace que hay una relación importante entre la convolución en un dominio y la muhiplicación en el otro. Existe una relación similar para la transformada z.

g[n]*h[n]== Y g[m]h[n-m]. (11.81)

Al tomar la transformada c en ambos lados, oc ce

2 ( g [ n ] * h [ « ] ) = E E g[>nMn~m]z-" 11=0 m = - o c

Z(g[n]*h[n])= Y g í ^ l E ^ í w = E SMz-"'m) M=~X «=0

Z(g[n] * h[n]) = Hiz) E g N l z " ' " = H(z)G(z) M=0

(11.82)

g[«] * h [ H ] <^ mz)Giz) (11.83)

En palabras, la convolución de dos funciones en TD en el dominio en TD corresponde a la multiplicación de su transformada z en el dominio z, así como ocurrió para las transformadas de Fourier y de Laplace. La consideración del efecto de la multiplicación de dos funciones en el dominio en TD rebasa los objetivos de este libro.

D I F E R E N C I A

La diferencia es la operación en TD que es análoga a la diferenciación en TC. La primera diferencia hacia atrás de g[n] es

A ( g [ n - l ] ) = g [ « ] - g [ « - l ] . (11.84)

Si se utiliza la propiedad de desplazamiento en el tiempo (para funciones causales), la transformada: del lado derecho de (11.84) forma el par.

g[n] - g[n - 1] < > Giz) - z'^Giz) = (1 - z " ' )G(z ) .

Por lo tanto,

g [ / 7 ] - g [ « - 1] < > (1 - z - ' ) G ( z )

(11.85)

(11.86)

ACUMULACIÓN 6 4 3

La acumulación es la operación en TD que es análoga a la integración en TC, y la prueba de la propiedad 11-3 Propiedades puede realizarse de manera análoga. Primero es necesario tener en cuenta que la acumulación es equiva- '^^ transformada z lente a la convolución con una secuencia unitaria,

u[n] * gln] = Y u[w]g[« -m] = Y SM- (11.87) m=~cc in=0

La última sumatoria en (11.87) tiene un límite superior de n porque g[n] se supuso causal en (11.37).

Z i ¿ g[m] ] - Z(u[n] * g[«]) = G(zmz) - J^^iz) (11.88) \m=0

Por consiguiente,

(11.89)

• Solución Exprese primero nu[n] como una acumulación.

a[n] = ¿ u [ ; ! - 1]. (11.90)

Después, utilice la propiedad de desplazamiento en el tiempo para determinar la transformada c de u[/! - 1].

, c 1 u[n - 1] ^

Luego, aplicando la propiedad de acumulación,

OO nu[n] = ^ u[n — 1

C - 1 z - l

z < >

z - \ / z - i ( z - i y -

(11 .91)

(11.92)

E,rElVlFLO 11.7

Utilice la propiedad de acumulación para demostrar que la transformada c de ;!u[;!] es z / (z - 1)2.

TEOREMA DEL VALOR FINAL

Inicie la deducción del teorema del valor final considerando la transformada z de la diferencia entre una función en TD y una versión desplazada de la misma función (una primera diferencia directa).

Z(g[« + 1] - g[n]) = lím V (g[m + 1] - g[?n])z-"'. «1=0

Al tomar la transformada z y utilizar la propiedad de desplazamiento en el tiempo n

z(G(z) - g[0]) - G(z) = lím V (g[m + 1] - g[m])z- '". í n = 0

Tome ahora el límite cuando z ^ 1 en ambos lados.

l í m í ( z - l ) G ( z ) - z g [ 0 ] } = lím 2 ^ 1 Z-^i

lím V ig[m + 1] - g[m])z m=0

(11.93)

(11.94)

(11.95)

6 4 4 Tomando primero el límite de z en el lado derecho.

lím {{z - 1)G(7)) - g[0] = lím V (g[m + l] - g[m]) 7 — ^ 1 H^^. ^ ' m = 0

= lím (g[l] - g[0] + g[2] - g[l] n—>-oc

= l ím(g[« + 1] - g [ 0 ] )

= lím g[n] - g[0]

+ g[« + l ] - g [ n ] )

(11.96)

Si lím,, ^ „ g [ « ] existe. Después de reacomodar y simplificar.

lím g[n] = lím(z - l )G(z) (11.97)

sólo si lím,| ^ ^ g[n] existe. De acuerdo con lo que se vio en el teorema del valor final de la transformada de Laplace, lím„ ^ i (z - l)G(z) quizá existe aun cuando lím,, ^ „ g [ « ] no. Por ejemplo, si

X(z) = -z sen(í2o)

entonces

z- - 2zcos(S2o) + 1

z sen(í2o) lím(z - l )X(z) = lím(z - D ^ — ^ " , , , z^i z - - 2z cos(í^o) + 1

= 0.

(11.98)

(11.99)

Sin embargo, x[7i] = sen(Qo/i) y lím,, ^ „ x[;7] no existe. Por lo tanto, es errónea la conclusión a partir de (11.99) de que el valor final es cero.

De manera similar a la prueba análoga para las transformadas de Laplace, es posible demostrar que si existen polos en el círculo unitario o fuera de él, salvo en el caso de un solo polo en z = 1, no se aplica el teorema del valor final.

RESUMEN DE PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z

Linealidad

Desplazamiento en el tiempo

Cambio de escala

Teorema del valor inicial

Diferenciación en el dominio z

ag[n] + (3h[«] « aG(z) + (3H(z) z

g[« - "ol

g[« + «o] <—>

r " ° G ( z )

/

«o > o

« 0 - 1

G(z) - E

a"g[«] Gl -

g[0] = lím G(z)

— « g [ ; i ] <-dz

m=0

no > O

Convolución en tiempo discreto g [ / ¡ ] * h [ / 0 < > H(z)G(z)

Diferencia

Acumulación

Teorema del valor final

g [ H ] - g [ n - 1] < y (1 - z - ' ) G ( z ) n

^ G(z) = . ^ , G(z) m = 0 Z - 1 1 - Z "

lím g [ « ] = lím(z - l )G(z)

11.4 L A T R A N S F O R M A D A z I N V E R S A

Existe una fórmula directa para determinar la transformada z inversa. Ésta es

1 x[n] -

j2t: X{z)z"~^dz (11.100)

^^ALa transformada z inversa

DONDE C es un contomo circular cerrado recorrido en dirección contraria a la de las manecillas del reloj ca LA región de convergencia. Puesto que este texto supone que la integración de contorno en el plano : ?mplejo no forma parte de la experiencia del lector, no se seguirá este método para determinar las ransformadas z inversas.

Hay otros dos métodos para encontrarlas que son más comunes en la práctica, y cada uno tiene ventajas y desventajas. El primero es la división sintética de la expresión en el dominio z- Por ejemplo, sea LA expresión en el dominio z igual a

H(z) =

( ^ - i ) ( ^ - 0 ( ^ - í Puede dividirse el numerador entre el denominador:

- 3 _ 11-2 _|_ i Z , _ J_ ~ 1 2 - 3 6 ~ 18

(11.101)

67 UA' +

15 12' 36 1

3 15 , 17 36" (11.102)

3 4 '

17

36" 18

51 3 _ . _ 45 _ 4~ 48 ~ 144

3 72 '

- 1

67 144'

Al comparar esto con la definición de la transformada z

H(z) = Y = h[0] + h[ l ]z~ ' + h[2]z^- + h p i z " - + • • •, «=o

se ve que

V, en consecuencia.

3 , 67 , H(z) = 1 + + —-zr^ +

4 144

(11.103)

(11.104)

h[0] = 1, h[l] = l, h[2] = 4 144

(11.105)

De modo que esta técnica produce los valores de la función en TD directamente como una secuencia, tiene la ventaja de que es directa y siempre produce la transformada z inversa de un cociente de polinomios en z. La desventaja es que la transformada inversa no está en forma cerrada.

El segundo método es muy similar al que se sigue para determinar las transformadas de Laplace mediante la expansión en fracciones parciales de la expresión en el dominio z e identificar los pares de transformadas mediante una tabla y las propiedades de la transformada. Sea la expresión en el dominio z la misma que en el ejemplo de la división sintética.

H(z) =

( - T ) ( - 0 ( - 0 ' (11.106)

La anterior es una fracción impropia en z y, por lo tanto, no es posible expandirla de manera directa en fracciones parciales. Sin embargo, si se le considera como

H(z) = zHi(z) , (11.107)

se ve que H](z) es una fracción propia en z y puede expandirse en fracciones parciales como

Hi(z) =

Después, al multiplicar por z,

(11.108)

y, mediante

se obtiene

H(z) = +

a"u[ / ¡ ]

• 2 z

h[n] =

7 1 — a 1 — ctz~'

/ly 9/iyi " 5 UJ .

u[n].

(11.1091

(11.1101

(11.111)

Puesto que ésta es la misma función para la cual se encontró la transformada z inversa mediante la técnica de la división sintética, este resultado debe ser equivalente al anterior. Al evaluar h[«] para n = 0. 1, 2, 3, se llega a

h[0] = 1, h[ l ] - ^ . h[2] = 4 144

(11.112)

que concuerda con el resultado anterior. Los pares de polos complejos y los polos repetidos se manejan para la transformada z del mismo

modo que se hizo en la de Laplace porque los métodos de expansión en fracciones parciales son algebraicamente iguales.

E J E M P L O 11.8

Determine la transformada z inversa de

X(z) = ( z 2 - 2 c + l ) ( z ^ - - + i )

• Solución

El denominador puede factorizarse para obtener

X(z) = ( z - ! ) - ( : - | - ( j / 2 ) ) ( z - i + ( 7 / 2 ) )

Puesto que esta fracción es propia en z- se expresa en fracciones parciales como

(11.113)

(11.114)

X(z) = + ( z - D - z - 1 z - i - ( ; / 2 ) z - i + ( j / 2 ) (11.115)

o, para ayudar en la determinación de transformadas inversa por medio de tablas, 6 4 7

X(z) = z-2z Az 2z 2z \

\ (z-\Y z - l z-\-U/2) z - i + ( ; / 2 )

11.5 Solución de ecuaciones en

(11.116) diferencias con condiciones iniciales

Ahora es posible determinar la transformada z de manera directa en términos de exponenciales complejas o combinar los últimos dos términos en uno solo para producir una función real. Al tomar el primer camino hacia la solución, la transformada z inversa es

xín] = 2 ( n - l ) - 4 + 2 ( - + 1 ^ + 2 \2 2

u [ n - 1] (11.117)

o, combinando exponenciales complejas.

x[n] = 2(n - 1) - 4 - h (1 - h j ) " - ' + (1 - i ) "

2" -2 u[n - 1]. (11.118)

Si se usa después 1 ± J = V2e^'^'''*^,

x[n] = 2 n-3 + • eos - ( / ! ^ 1)

u[n - 1]. (11.119)

Tomando la ruta alternativa es posible combinar los dos términos complejos en (11.116),

X(z) = z~ 2z 4z 2 z ( 2 z - l )

: - - z + j (11 .120)

Puede reescribirse el último término en una forma que permita determinar de manera directa la transformada inversa en una tabla.

X(z) = z-2z 4z

( z - D - z - l

. 2 1 .

Z- - Z + i; (11 .121)

Entonces la transformada z inversa es

x[n] = 2 n~3 + •njn - 1)

4 u [ ; í - 1]

(11 .122)

como antes.

11.5 S O L U C I Ó N D E E C U A C I O N E S E N D I F E R E N C I A S C O N C O N D I C I O N E S I N I C I A L E S

La transformada z guarda una relación con las ecuaciones en diferencias análoga a la relación de la transformada de Laplace con las ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales puede convertirse mediante la transformada de Laplace en una ecuación algebraica. La solución se encuentra después en el dominio de Laplace y se le aplica la transformada de Laplace inversa para determinar su solución en el dominio en TC. Una ecuación en diferencias lineal con condiciones iniciales se convierte mediante la transformada z en una ecuación algebraica. Esta se resuelve después y la solución en el dominio en TD se determina mediante la transformada z inversa.

6 4 8 EJEMPLO 11.9

Resuelva la ecuación en diferencias

3 1 y[n + 2 ] - -y[n + 1] + - y [ n ] =

para « > O

con las condiciones iniciales

y[0] = 10 y y[ l ] = 4.

(11 .123)

(11.124)

Las condiciones iniciales para una ecuación diferencial de segundo orden suelen consistir en una especificación del valor inicial de la función y su primera derivada. Las condiciones iniciales para una ecuación en diferencias de segundo orden consisten por lo general en la especificación de dos valores iniciales de la función (en este caso, y[0] y y [ 1 ]). Para observar la analogía, imagine que cuando el tiempo entre muestras se vuelva arbitrariamente pequeño el valor inicial de la derivada podría calcularse de la diferencia entre los dos valores iniciales de la función (y el tiempo entre muestras). En ambos casos las condiciones iniciales explican todo lo que ha sucedido hasta el tiempo f = O o « = O, el tiempo en el cual inicia la solución.

• Solución Tomando la transformada z de ambos lados de la ecuación de diferencias (mediante la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada z),

r [ Y ( z ) - y[0] - z - ' y [ l ] ] - - z [ Y ( z ) - y[0]] + - Y ( z ) =

Al despejar para Y(z),

Y(z) = z/{z- ^) + zbm+zyII] - fzy[0]

Y(z) = z

z ^ - f z + i

z'y[0] - z((7y[0]/4) - y[ l ] ) - (y [ l ] /4 ) + (3y[0]/8) + 1

(11.125)

(11.126)

Al sustituir los valores numéricos de las condiciones iniciales,

lOz^ - f z + f Y(z) =

El coeficiente de la primera z.

. Y,(z) = lOz- - ^z+^

es una fracción propia en z y puede, por lo tanto, expandirse en fracciones parciales,

Y(z) = zY, (z) = ü

3 H r +

Usando después

a"u[«]

y tomando la transformada z inversa,

yin] =

Z — Oi

u[n] .

(11.127)

(11.128)

(11.129)

(11 .130)

(11 .131)

Al evaluar esta expresión para n = O y 1, se obtiene 6 4 9

16 y[0] = -

, i y 2 + 4 1 - + - = 10

16 / I V / 1 \ 2 16 ^ 2 ^ - = h 2 + - = 4 3 12 3

11.6 La relación (11 .132) transformadas z

y de Laplace

(11 .133)

lo cual concuerda con las condiciones iniciales. Al sustituir la solución en la ecuación de diferencias,

16 / l y ^ ' n+2

1 + 2 f u ) ^ n l .

2 3 3 ~ 2

1 i _ 1 -

(11.134) para n > O

-(-3 V 4 / l V 2

2 ) + 3

- ' i

- 2 f i y V4y

V4 V 4

- ^ ' 2 J

para 77 > O

para > O,

/ 1 v

(11 .135)

(11.136)

lo que demuestra que la solución resuelve en verdad la ecuación de diferencias.

11.6 L A R E L A C I Ó N E N T R E L A S T R A N S F O R M A D A S z Y D E L A P L A C E

Se estudiaron en los capítulos 5 y 7 las relaciones importantes entre los métodos de la transformada de Fourier. En particular se demostró que hay una equivalencia de información entre una señal en TD formada al muestrear una señal en TC,

x[«] = x ( « r , ) , (11.137)

y una señal de impulsos en TC formada mediante el muestreo por impulsos de la misma señal en TC,

X8(í) = x ( í ) / s c o m b ( / , í ) ,

d o n d e = 1 / T^. Se dedujeron también las relaciones entre la TFTD de x[«] y la TFTC de Xg(f). Puesto que la transformada z se aplica a una señal en TD y es una generalización de la TFTD, y una transformada de Laplace se aplica a una señal en TC y es una generalización de la TFTC, debe esperarse también una estrecha relación entre ellas.

Considere dos sistemas, uno en TD con respuesta al impulso h[n] y otro en TC con respuesta al impulso h§(í) y que están relacionados mediante

(11.138)

x[n] I

Sil h[n]

Mt) = E UnMt-nT,). (11.139) i l í í íL

yW

I

FFIF

Esta equivalencia indica que todo lo que sucede para x[n] en el sistema en TD ocurre en forma directamente correspondiente para Xg(í) F I G U R A 11.13 en el sistema en TC (figura 11.13). Por lo tanto, es posible analizar Equivalencia de los sistemas en TD y en TC.

sistemas en TD utilizando la transformada de Laplace con las intensidades de los impulsos en TC que representan los valores de señales en TD en puntos igualmente espaciados en el tiempo. Sin embargo, en términos de notación, es más conveniente utilizar la transformada z.

La función de transferencia del sistema en TD es

H (z) = £ h [n ]z -" ,

n=—oo

y la función de transferencia del sistema en TC es

c e

(11.140)

(11.141)

Si las respuestas al impulso son equivalentes en el sentido de (11.139), entonces la función de transferencia también debe ser equivalente. La equivalencia se observa en la relación.

(11.142)

En este punto es importante considerar algunas de las implicaciones de la transformación z e*'"'. Una buena manera de ver la relación entre los planos complejos sy z consiste en mapear un contorno o región en el plano s dentro de un contorno o región correspondiente en el plano z. Considere primero un contorno muy simple en el plano s, s = jcú=j2nf, donde cú y/representa, respectivamente, una frecuencia real en radianes y cíclica. Este contomo es el eje imaginario del plano s. El contomo correspondiente en el plano z es e^'^^i o e^-^/r, para cualquier valor real de cu y / debe estar situado sobre el círculo unitario. Sin embargo, el mapeo no es tan simple como el líltimo enunciado parece indicar. Para ilustrar la complicación, mapee el segmento del eje imaginario en el plano s

< ü) < — O - L < / < - L 2T, 2T, (11.143)

en el contorno correspondiente en el plano z. Cuando o) recorre el contorno -(% IT^) —> to ^ % i T^, z recorre el círculo unitario desde e-J^ a e+>'' en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, efectuando un recorrido completo del círculo unitario. Si se deja ahora que Cú recorra el contomo 7t /r —> CO

371 / Tj, z recorre el círculo unitario desde eJ^ a e-^fl^, que es exactamente el mismo contorno otra vez debido a que

•Dir donde n es cualquier entero (11.144)

Por consiguiente, es claro que la transformación z í? '"' mapea el eje imaginario del plano s en el círculo unitario del plano z una cantidad infinita de veces (figura 11.14).

Esta es otra forma de observar el fenómeno de formación de alias. Todos esos segmentos del eje imaginario del plano 5 de longitud 2K/T^ se ven exactamente iguales cuando se trasladan al plano z debido a los efectos del muestreo. Así, para todo punto en el eje imaginario del plano í existe un punto único correspondiente sobre el círculo unitario en el plano z. Sin embargo, esta correspondencia única no trabaja de otra manera. Para todo punto sobre el círculo unitario en el plano z hay un número infinito de puntos correspondientes sobre el eje imaginario del plano s.

Al llevar la idea del mapeo un paso más allá, el semiplano izquierdo del plano s se mapea hacia el interior del círculo unitario en el plano z y el medio plano derecho del plano 5 se mapea en el exterior del círculo unitario del plano z (un número infinito de veces en ambos casos). Las ideas correspondientes acerca de la estabilidad y la ubicación de polos se traducen de la misma manera. Un sistema en TC estable tiene una función de transferencia con todos sus polos en el semiplano izquierdo abierto del

Im(z) Im(z)

F I G U R A 11.14

Mapeo del eje co del plano í en el círculo unitario del plano z.

3 - • [S]

" t ; ~ ~ B

~1\ ~ _ A

Re(;)

311 ' 11

.A ¿, ( ) *- CT A \ )

\ V I J


Im(z) ' 3. [S] i [z]

(T TT

3lT

c K Im iz)

[z]

3-IT

Re(z)

3ir

TT

3-ir 7;

Im(z) [z]

Re(z)

Re(z)

3lT

[.V]

Im(z) [Z]

Re(z)

rlano s, y un sistema en TD estable tiene una función de transferencia con todos sus polos en el interior ¿bierto del círculo unitario en el plano c (figura 11.15).

11.7 L A T R A N S F O R M A D A z B I L A T E R A L

La transformada z unilateral se aplica únicamente a señales causales. Se inició este capítulo definiendo j transformada z bilateral. Ahora se verá cómo determinar las respuestas de sistemas con excitaciones zo causales y/o respuestas al impulso no causales mediante la transformada z bilateral y una tabla de ransformadas z unilaterales.

La transformada z bilateral de x[n] es

F I G U R A 11.15 Mapeo de las regiones del plano s en las regiones del plano z.

-1 X(z)= E x[n]z-" = J2^Mz-"+ E ^Mz-".

n = 0

\l hacer la transformación n -n en la segunda sumatoria, se obtiene

(11.145)

X ( z ) = ^ x [ « k - " + ^ x [ - « k " « = 0 n=\

(11.146)

SI se define

entonces

X (z ) = E - ' [O] + £ x [ - n ] z « . n = 0 n = 0

Xc(z) = ^ x [ « ] 2 - « X c a ( z ) = E x [ - « ^ - ' " ' ,1=0 n = 0

(11.147)

X ( Z ) = X e ( z ) - x [ 0 ] + X e a ( z ) .

Si (11.147) define a X_Jz), entonces

X c a ( - ) = ¿ x [ - « k - " , V 2 / „=o

(11.148)

(11.149)

que es la transformada z unilateral de la inversa en tiempo discreto de x\n]. Por consiguiente, la transformada z bilateral de x[n] es la suma de la transformada z de x[«]u[«] y la transformada z de x[-7¡]u[': con z reemplazada por 1/z menos x[0].

El procedimiento para determinar una transformada z bilateral por medio de transformadas - unilaterales es

1. Se determina la transformada z unilateral X^(z) de la señal causal x[«]u[n], junto con su RDC. e l exterior abierto de un círculo cuyo radio es la distancia del polo más alejado a partir del origen d d plano z.

2. Se encuentra la transformada z unilateral X^^{l/z) de la señal causal x [ - « ] u [ 7 í ] , junto con su RDC. d exterior abierto de un círculo cuyo radio es la distancia del polo más alejado a partir del origen d d plano z.

3. Se efectlia el cambio de variable z 1/z en X^Jil/z) y en su RDC, lo que produce X^.Jiz), junto c o a su RDC, el interior abierto de un círculo cuyo radio es la distancia desde el polo más próximo a l origen del plano z.

4. Se suma Xj.(z) a X^^{z) y se resta x[0] para formar X(z). La RDC de X(z) está en la región del piar.-: z que es común a las RDC de X^(z) y X^¿z)- Si no existe tal región, la transformada z bilateral i ; x[n] tampoco existe.

P R O P I E D A D E S

Así como ocurrió con la transformada de Laplace bilateral comparada con la unilateral, algunas de las piopveáades, de la tTan,s,f otmada z bilateral son. diferentes a las propiedades correspondientes de la unilateral.

Linealidad ag[n] + (Bh[«] ^ RDC = RGORH

aG(z) + pH(z)

Desplazamiento en el tiempo g í " - «ol < ^ G(^)z "" RDC = RG (excepto por la posible cancelación de polos y ceros)

z Cambio de escala

Diferenciación en la frecuencia compleja

Convolución

a"g[n] G( -

z d -ng[n] < > z — G(z)

dz

RDC = \a\RG

RDC = RG

-> H(z)G(z) g[«] * h[n] RDC = RcH R„ a\ menos

Diferencia g[n] - g [ « - 1] < > (1 - z - ' ) G ( z ) RDC = .Re n {|z| > 0} al menos

Acumulación -G(z) =

1

z - l l - z-III——-J^ RDC = n {|z| > 1} al menos

-G(z)

E J E M P L O LL.LÍKJ

Determine la transformada z bilateral de

x[n] = a " "

• Solución Se empieza con la transformada z unilateral de x [ « ] u [ m ] .

(11.150)

Xc(z) = Z{a^Mn]) = Z{a"u{n]) = \z\ > | a | . (11 .151)


l íTTTTTi , „ 20

Imfe)

RDC

RDC [-]

6 5 3

11.7 /.a transformada z bilateral

F I G U R A 11.17 RDC de

X ( Z ) = - z-(l/a)

Después se determina la transformada z unilateral de x[-n]u[n],

X,a = Z{a^~'Mn]] = Z{a"u[n]) = — -

Se convierte (11.152) en la transformada z bilateral

|z| > |a| . (11 .152)

Xca(z) = 1/z

(1/z) - a (11 .153)

Xca(z) = 1 - az

Después se combinan las dos transformadas z en

Izl <

X(z) = - x[0] Z — Oí 1 — a ;

1

|o;| < |z| <

(11.154)

(11 .155)

X(z) = - a z - ( l / a )

|a | < Izl <

figura 11.17).

(11.156)

Una transformada z bilateral que ilustra con claridad por qué la RDC es tan importante al aplicar la 2^sformada z bilateral es la transformada z bilateral de

x[n] = -a"u[-n - 1]. (11.157)

Puesto que esta señal es anticausal y x[0] = O, sólo se necesita encontrar la transformada z unilateral de

1 \ " x [ - n ] u [ « ] = -a-"u[n - l]u[«] = - I - u[« - 1], (11.158)

;iue es

X | I ) = - I . -1 zj OL z - ( l / a ) z - i l / a ) (11.159)

rr.tonces

. - 1 X ( Z ) = -

( L / Z ) - ( L / A ) Z - A IZL < | A | . (11.160)

F I G U R A 11.16 x[n] = (con a = 0.9).

La transformada z bilateral (y la transformada z unilateral) de la señal causal a"u[w] es zJ{z - a ) , | z | > | a |. Ésta es igual que la transformada z bilateral de la señal anticausal - a "u [ -« - 1], aunque la RDC es diferente. De hecho, en este caso, las dos RDC son mutuamente excluyentes. Eso significa que la transformada z bilateral de la suma de estas dos señales no existe porque no es posible encontrar una RDC común para ellas. De tal modo, al aplicar la transformada z bilateral, siempre se debe tener en mente la RDC para llegar a la solución correcta.

Aunque el método dado antes para determinar la transformada z bilateral en términos de las unilaterales funciona, muchas veces es más fácil, y menos propenso a error, consultar una tabla de transformadas z bilaterales. Esto es cierto en especial cuando se trata de encontrar las transformadas z bilaterales inversas. El apéndice G es una tabla de transformadas z-

E.IKMPLO 11.11

Un sistema en TD con una respuesta al impulso

h[n] =

se excita mediante

x[«] = ( - ) u[«]

/ 3 \ ' " V4

/2\ 3 7

u [ - / j - 1]

(1L161)

(11.162)

(figura 11.18). Determine la respuesta del sistema.

T T T T Í Í

• Solución Con base en el ejemplo 11.10.

H(c) = 3 4 - < e l <

4 3

La transformada z bilateral de la excitación es

H ( ; ) = m

- 1 5

í í T T T t t t . . j 15

1 - -

l l -15

F I G U R A 11.18 Respuesta al impulso y excitación.

y[n]

3 - -

15

- 1 5

F I G U R A 11.19 Respuesta y[n] del sistema.

hi

3 4 í < ' ^ ' ^ 3 '

(11.163)

(11.164

La transformada z de la respuesta del sistema es el producto de las transformadas z de la respuesta al impulso y la excitación.

Y(z) =

Y(z) =

1/ ll

3 4 - < Ui < 2

-I-

3 4 4 < l ^ l < 3 -

Al expandir en fracciones parciales y simplificar.

(n.i65t

Y(z) = 4z

^ _ 3 ' 4

7 z 48

5 z - i 5 z - t -I-

7z 3 4 í < l ^ l < 3 -

(11.1661 Luego de la transformación z inversa, los términos con polos más próximos ¿ origen que a la RDC producen señales causales, los términos con polos más alejados del origen que de la RDC producen señales anticausales, y la respuesta en TD es

y[«] =

(figura 11.19).

u["] + u[—« —

(11 .16-


11.8 R E S U M E N D E P U N T O S I M P O R T A N T E S 6 5 5

1. 2. 3.

4 .

5.

6.

Algunas señales que no tienen una TFTD cuentan con una transformada z-Toda transformada z tiene una región de convergencia asociada en el plano z. Es posible encontrar una transformada z inversa mediante la integral de inversión directa, la iteración o la expansión en fracciones parciales. El uso de la integral de inversión directa es raro, y la iteración no proporciona un resultado en forma cerrada. En consecuencia, suele preferirse la expansión en fracciones parciales. La transformada z unilateral puede utilizarse para resolver ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales. Es posible efectuar un análisis de sistemas en TD con la transformada de Laplace a través del uso de impulsos para simular tiempo discreto. Sin embargo, la transformada z es más conveniente en lo que se refiere a la notación. Es factible utilizar la transformada z bilateral para analizar señales y sistemas no causales, y las transformadas z bilaterales se determinan por medio de tablas de la transformada z unilateral.

Ejercicios con respuestas

E J E R C I C I O S C O N R E S P U E S T A S

1. Utilice la definición de la transformada z y/o los pares de transformadas.

o t " u [ M ] 1

1 - a > a

y

sen(í2on) u[n] <-: sen(í2o) sen(í2o)

z^ - 2z cos(í2o) + 1 1 - 2 cos( í2o)z- i + z'^

para determinar las transformadas z de las siguientes señales en TD.

a) x[n] = u[n] b) x[n] = e-^°"u[n] c) x[«] = e" sen(n) u[n] d) x[;!] = 8 [ h ]

RESPUESTAS:

1, todo z; z - 1

zesen(l)

, \z\ > 1; - _ ^ - 1 0 '

„ - i o .

z^ - 2ezcos ( l ) -I- 2 ' > e

\z\ > 1,

2. Dibuje la región de convergencia (si existe) en el plano z de la transformada z bilateral de las siguientes señales.

a) x[n] = u[«] - I - ü[-n] b) x[n] = u[n] - u[« - 10]

RESPUESTAS:

No existe, para toda z

3. Utilice la propiedad de desplazamiento en el tiempo para determinar las transformadas z de las siguientes señales.

a) x{n] — u [ h — 5]

c) x[n] = (l\ u [ / 7 + 2 ]

b) x[«] = u[;í + 2]

RESPUESTAS:

, - 4

- 1 \z\ > 1:

z - 1 , kl > 1; > —

3

r 6 5 6 4. Dibuje los diagramas de sistemas para las siguientes funciones de transferencia.

a) H(z) =

Respuestas:

B) M) = -

X{z)-

Z- + Z+1

Y(z) X(z)

5. Utilice la propiedad del cambio de escala para determinar la transformada z de

'2nn\ (2T\n\

32 x[«] = sen

Respuesta:

0 . 1 3 7 9 z - - 0.3827z + 0 . 1 3 7 9 ^z^ - 2.7741 z3 + 3.8478^2 - 2.7741 z + 1

eos u[n].

i

6. Utilice la propiedad de diferenciación en el dominio z para determinar la transformada z de

x[n] = 11 Í5\"

- u « .

Respuesta:

i) 7. Mediante la propiedad de convolución, determine las transformadas z de las siguientes señales.

a) x[«] = (0.9)"u[«] >Ku[;¡] B) x[«] = (0.9)' 'u[n] * (0.6)"u[n]

Respuesta:

-2 ,2

Z - - 1 . 9 Z + 0 . 9 ' Z - - 1 . 5 Z + 0.54

S. \3tv\vce, Vapiopkdad de diíeieivctas, y la transformada z de la secuencia unitaria para determinar la transformada z del impulso unitario en TD y verifique el resultado revisando la tabla de la transformada z.

9. Encuentre la transformada z de

x[«] = u[n] - u[n - 10]

y utilice el resultado y la propiedad de diferencia para encontrar la transformada z de

x[«] = 8[«] - b[n - 10] .

Compare este resultado con la transformada z que se encontró directamente al aplicar la propiedad de desplazamiento en el tiempo a un impulso en TD.

10. Utilice la propiedad de acumulación para determinar las transformadas z de las siguientes señales.

a) x[n] = ramp[n]

B) x[«] = E ( u [ m ] - u[m - 5]) m = 0

( Z - l ) 2 ' ( Z - 1 ) 2

11. Use el teorema del valor final para encontrar el valor final de las funciones que son las transformadas z inversas de las funciones siguientes (si se aplica el teorema).

Ejercicios con respuestas

a) X(z) = z - 1

2 z - l

- 4Z + 4

Respuestas: 1, 1

12. Determine las transformadas z inversas de las siguientes funciones en forma de serie mediante división sintética.

a) X(z) = b) X(z) = -- 1

Z--2Z+1

Respuestas:

1 1

z Z Z Z Z 1

1 1 1

2z 4z^ {2zr

13. Encuentre las transformadas z inversas de las siguientes funciones en forma cerrada mediante expansiones en fracciones parciales, una tabla de la transformada z y las propiedades de esta misma.

a) X(z)

b) X(z)

c) X(z)

Respuestas:

1

. 2

z^-h 1.8z-h0.82

u[n - 2 ] , (0.9055)"[cos(3.031n) - 9.03 sen(3.03lH)]u[n],

3 \ "

4 /

14. Utilice la transformada z para encontrar las soluciones totales de las siguientes ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales, para tiempo discreto n>0.

a) 2y[n -|- 1] — y[n] = sen 2'rTn \

n[n], y[0] = 1

b) 5y[« + 2 ] - 3 y [ « + l] + y[«] = (0 .8)"u[n] , y[0] = - 1 , y[l] = 10

xW

eos ( —(n — 1)

I T - 2.812 sen - ( « - 1) u[n - 1],

y[«] = 0.4444(0.8)" u [ « ] - {8[«] - 9.5556(0.4472)"^' [cos(0.8355(« - 1))

+ 0.9325 sen(0.8355(« - 1))] u[n - 1]}

15. Para cada diagrama de bloques, escriba la ecuación en diferencias y determine y dibuje la respuesta y[n] del sistema para tiempo discreto n > O, suponga que no existe almacenamiento de energía inicial en el sistema y que la excitación al impulso x[«] = 5[«].

a) b)

0.8 0.8

yW

c)

-0.5 +

c)

-0.5 yW

D

0.9 D 0.9 D

Respuestas:

y[n] 1-

i . . - --

T ' ' - 5 -1 -

y["] 4. I t Í T T t T r ^ J . ^ t . „

yfn) .4,

1 i* Vo \ _4i 111111111

16. Dibuje las regiones en el plano z correspondientes a las siguientes regiones en el plano s.

1 I T

a) O < (j < — , 0 < a ) < —

1 T T

b) < a < 0 , < ü ) < 0

C) —OC < C T < O C , 0 < C ü <

Respuestas: El plano z completo.

2 t t

Im(z)

'2.718 Im(z)

Re(z), ? t 0.368

[Z]

Re(z)

17. Encuentre las transformadas z bilaterales y las RDC de las siguientes señales.

a) x[«] — u [ - 7 i ] b) \[n] — a " u [ - n ] c) x[n] = (0 .5 )«u[ -n] + (0.3)«u[n]

d) x[n] = ( - 1 . 5 ) " c o s 2TTn

u [ - n ]

0.2934 u[« - 1] + ) - 0-2934

1 \z\ < 1;

1

a 1 - ^ 1 - S

2 z ' - 2 z + 0.3 , 1 , 0.3 < Z < -

2 z 2 - 1 . 6 z + 0.3 2

z - 1 . 4 1 4 2 - 0 . 3 1 4 3 - , |zi < - ;

z 2 + 0.9427 z + 0.4444 3

Ejercicios sin respuestas

E J E R C I C I O S S I N R E S P U E S T A S

18. Utilice la definición de la transformada z para verificar las transformadas z de las siguientes funciones:

a) x[n] = u[ii]

c) x[n] — na"u[n]

b) x [ 7 i ] = — u [ n ]

d) x [ í 7 ] = a" sen(2TT/t)«) u [ m ]

19 . Dibuje la región de convergencia (si existe) en el plano z de la transformada z bilateral de las siguientes señales.

a) x[n] = Q') u[«]

b) x[n] = Í5Y 10 \ "

u[«] + I — 7 /

u [ - « ]

20. Utilice la propiedad de desplazamiento en el tiempo para determinar las transformadas z de las siguientes señales.

2) x[n] =

b) x[n] =

(-V3 Í2V

n-\

U [ « - 1]

^ - 1 u[n - 11

/ 2 i t ( « - 1 ) \ c) x[n] = seni I u[« — 1]

21. Dibuje diagramas de sistemas para las siguientes funciones de transferencia.

4 + « a) H(z) = - ^

b) H(z) =

z' + iz + i . 2

( z - 0 . 7 5 ) ( z + 0 . 1 ) ( z - 0 . 3 )

22. Si la transformada z de x[n] es X(z) = j y

Y(z) = [X (e^^^^'h) - X (e-^ ' ' " /^ 'z)] ,

¿cuál es y[«]?

23. Utilice la propiedad de convolución para determinar las transformadas z de las siguientes señales.

/2Tr«\ a) x[n] = seni — ^ I u[n] * u[n]

b) x [ m ] — sen 2'n-n\

u[«] * (u[n] - u[n - 8])

24. Encuentre las transformadas z inversas de las siguientes funciones en forma cerrada recurriendo a expansiones en fracciones parciales, una tabla de transformadas z y las propiedades de esta misma.

d) X (z ) =

h) X (z ) =

c) X (z ) =

z - 1 z 2 + 1.8Z + 0.82

z - 1

2 ( ^ 2 + 1.8Z + 0.82)

Z

z--z + \

25. Determine la respuesta de un sistema con respuesta al impulso

h[«] = rectAi„,[n]

a la excitación

x[«] = a '" 'sen

¿Para qué intervalo de valores de a existe la transformada z bilateral de la excitación? ¿Cuál es la relación entre Af„. y NQ que minimiza la energía de la señal de la respuesta?

Señales y Sistemas - Roberts - Cap11

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