C A P I T U L O lü Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

10.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

En este capítulo se exploran diversas apl icaciones de la t ransformada de Laplace al análisis de siste­mas, pues es una herramienta m u y poderosa para el análisis y el diseño de los mismos ; permi te al in­geniero no sólo determinar la respuesta total a una exci tación arbitraria sino general izarla desde la función de transferencia del s is tema hasta su estabil idad y su respuesta a diversos tipos de señales . Después de haberse famil iarizado con los mé todos del análisis de Laplace . se aplicarán a sistemas más compl icados con entradas y salidas múlt iples .

O B . T F . T I V O S D E I . C A P Í T U L O

1. Ilustrar la aplicación de la transformada de Laplace y las técnicas de análisis basadas en ella para el diseño y análisis de sistemas por medio de ejemplos.

2. Evaluar la estabilidad de un sistema directamente a partir de su función de transferencia. 3. Ver cómo las respuestas de los sistemas a señales estándar revelan características de los mismos. 4. Formular métodos de análisis para sistemas de entradas y salidas múltiples utilizando la transformada de

Laplace.

10.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE DIAGRAMAS CIRCUITO Y DE SISTEMAS

Gran parte del análisis de señales y s is temas lo efectúan los ingenieros sin referirse de manera direc­ta a una cant idad en el domin io del t iempo. Las funciones de transferencia en el dominio Í se escri­ben de manera directa a partir de los d iagramas del s istema. U n a buena cant idad del diseño de sistemas se l leva a cabo ut i l izando sólo conceptos en el domin io de la frecuencia, respuesta en frecuencia y an­cho de banda . El análisis de los filtros en T C es un ejemplo del análisis de señales y s is temas en el do­min io de la frecuencia.

Para los ingenieros eléctricos el análisis de sistemas más común es el análisis de circuitos. Éste puede efectuarse en el domin io del t iempo, aunque suele realizarse en el de la frecuencia debido al po­der del á lgebra l ineal de expresar interrelaciones del s is tema en términos de ecuaciones algebraicas (en vez de diferenciales) . Los circuitos son interconexiones de e lementos de circuito como resistores, capaci tores , inductores , t ransistores, diodos, t ransformadores , fuentes de voltaje y fuentes de corrien­te. D a d o que es posible caracterizar estos e lementos mediante relaciones lineales en el dominio de la frecuencia, es factible analizar el circuito por medio de técnicas en dicho dominio . Los e lementos no lineales c o m o los transistores, d iodos y t ransformadores se modelan de manera aprox imada para in­tervalos de señal pequeños c o m o disposi t ivos l ineales. Estos mode los constan de resistores, capaci to­res e inductores l ineales más fuentes de voltaje y corriente dependientes , la totalidad de los cuales se caracter iza por med io de funciones de t ransferencia de s is temas LIT.

C o m o un ejemplo del análisis de circuitos en el domin io de la frecuencia utili­zando métodos de Laplace considere el circuito de la figura 10 .1 . Esta i lustra el cir­cuito en el dominio del t iempo, el cual se descr ibe median te dos ecuaciones integro-diferenciales acopladas ,

FIGURA 10.1 Diagrama de circuito en el dominio del tiempo de un circuito RLC.

RMt) + L

d d ' — (Í2(?)) - — ( i i ( 0 ) dt dt

d d — ( i i ( 0 ) - —(Í2 (0) dt dt

1

= v , ( í )

+ - j Í2(X) d\ + v , ( 0 - ) + Rjhit) = 0. o-

Si se aplica la t ransformada de Laplace a ambas ecuaciones , se obt iene

Rxliis) + L[sh{s) - i i ( 0 + ) - shis) + Í2(0+)] ^ V „ ( í )

(10.1)

(10.2)

(10.3)

L[sh{s) - Í2(0+) - 5 l i ( 5 ) + i i ( 0 + ) ] + -^h{s) + ^-^^ + Rihis) = 0. (10.4) sC s

Si en un principio no hay energía a lmacenada en el circuito, estas ecuaciones se simplifican en

Rihis) + L[sh{s) - sh{s)] = V , ( í )

L [sh{s) - sh{s)] + ^h{s) + R2US) = 0 . sC

Es c o m ú n reescribir las ecuaciones en la forma

R\h{s) + sLhis) - sLliis) = Yg{s)

sLhis) - sLliis) + — l 2 ( í ) + Rihis) = O sC

(10.5)

(10.6)

(10.7)

(10.8)

donde

Z « , ( í ) I i ( 5 ) + Zds)h(s) - Zds)h(s) = y gis)

ZL(s)h{s) - Zds)h(s) + Zc(s)l2(s) + ZR,(s)h(s) = O,

(10.9)

(10.10)

ZR,{S) = R, ZR,{S) = R2 Zds) = sL Zcis) = sC

(10.11)

« 1

Las ecuaciones se escriben de esta manera para subrayar el concepto de impedancia en el análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia. Los coeficientes sL y lIsC son, respect ivamente , las impe-dancias del inductor y del capaci tor La impedancia es una generalización del concepto de resistencia, con base en este concepto, las ecuaciones en el dominio de la frecuencia se escriben de manera directa a par­tir de los d iagramas de circuito mediante relaciones similares a la ley de O h m para resistores,

YR{S) = ZRIÍS) = Rl(s) V ¿ ( í ) = ZLI(S) = sLl(s) Veis) = ZcKs) = -^l{s). (10.12) sC

Ahora es posible concebir el circuito de la figura 10.1 en el dominio de la fre­cuencia c o m o el de la figura 10.2. Las ecuaciones de circuito se pueden escribir a partir de la figura 10.2 c o m o dos ecuaciones de mal la en el dominio de la frecuen­cia compleja sin escribir nunca las ecuaciones en el domin io del t iempo.

Rihis) + sLh(s) - sLh(s) = YJs) (10.13)

sLhis) - sLhis) + -^his) + Rihis) = O sC

(10.14)

FIGURA 10.2 Diagrama de circuito en el dominio de la frecuencia de un circuito RLC.

Estas ecuaciones de circuito pueden ser interpretadas desde el pun to de vista de sis­tema como integración, diferenciación y/o multiplicación por una constante y suma de señales, en este caso, / ¡ ( í ) e I2ÍS).

Rihis) + sLhis) - sLh(s) =Ygis)

multiplicación diferenciación y diferenciación y por una constante multiplicación multiplicación

. por una constante por una constante,

suma

sLhis) - í L I i ( í ) -

diferenciación y diferenciación y

1

Je multiplicación multiplicación integración y

por una constante por una constante mulüplicación por una constante

multiplicación por una constante

(10.15)

(10.16)

561 10.2 Fundones oe transferencia a partir de diagramas circuito y de sistemas

Un diagrama de b loques podr ía dibujarse para este s is tema ut i l izando integradores , b loques de ganan­cia y sumadores . (Se explorarán algunas técnicas para hacer lo en la sección sobre métodos de espacio de estados.)

Otros t ipos de sistemas en t i empo cont inuo también se modelan median te las in terconexiones de integradores, bloques de ganancia y sumadores . Estos e lementos pueden representar diversos s is temas físicos que t ienen la m i s m a relación matemát ica entre una exci tación y una respuesta. C o m o un ejem­plo muy s imple , suponga una masa m sobre la que actúa una fuerza (una exci tación) f(f), la cual res­ponde median te movimien to . La respuesta podría ser la posic ión p(r) de la masa en algún s is tema de coordenadas apropiado. De acuerdo con la mecán ica newtoniana clásica, la aceleración de un cuerpo en cualquier dirección de coordenadas es proporcional a la fuerza que se le aplica en dicha dirección dividida por la masa del m i smo .

£ f(f) — ( p ( r ) ) = ^ . dt- m

(10.17)

Lo anterior se expresa de manera directa en el dominio de Laplace c o m o (asumiendo que la pos ic ión y la velocidad iniciales son cero)

F ( ^ ) (10.18)

De m o d o que este s is tema muy simple podr ía modelarse mediante una mult ipl icación por una cons­tante y dos integradores (figura 10.3).

También es factible representar como diagramas de bloques a sistemas más compl icados , c o m o el de la figura 10.4. Las posic iones . V J y son las distancias desde las posiciones en reposo de las ma­sas wij y ffij, respect ivamente . L a suma de fuerzas sobre la masa ?«¡ es

f ( í ) - /Trfx'iír) - Ks\ [ x i ( í ) - X2(f)] = wix'j ' ( / ' ) .

La suma de fuerzas sobre la masa NIJ es

^.1 [xi(í) - X3(f)] - K,,X2{t) = « 2 X 2 ( 0 .

Al aplicar la t ransformada de Laplace a ambas ecuaciones .

F ( í ) - K,sXi(s) - K,, [Xiis) - X2ÍS)] - MIS^Xiis)

K,i [Xiis) ~ X2(.0] - -^.2X2(í) = m 2 í - X 2 ( í ) '

Puede modelarse el s is tema mecán ico con un d iagrama de bloques (figura 10.5).

(10.21)

f(í)- -P(í)

F ( i ) -1

m 1 5

1

s 1

m 1 5

1

s • P ( s )

(10.19)

(10.20)

Sistema en reposo

f(f)-

FIGURA 10.3 Diagrama de bloques de -¿;(p(;)) = Sil y FIGURA 10.4

Un sistema mecánico. Sistema en movimiento

f(/) -CWñULOlO

•ansformada de Laplace de señales y sistemas

- ' " 1

1 1

«si «si «si 1

«si 1 ( t )

1 ' « 1 1

' « 1

1 m 2

• X2 ( / )

-X|(i)

1 1 5 5'

1 I

m 2

FIGURA 10.5 Diagrama de bloques en los dominios del tiempo y de la frecuencia del sistema mecánico de la figura 10.4.

10.3 ESTABILIDAD DEL SISTEMA Una consideración muy importante en el análisis de sistemas es la estabilidad de los mismos. Como se de­mostró en el capítulo 3, un sistema en T C es estable si su respuesta al impulso es absolutamente integrable. La respuesta al impulso de un sistema causal es absolutamente integrable si decae de manera exponen­cial cuando incrementa el t iempo. La transformada de Laplace de la respuesta al impulso es la función de transferencia. Para sistemas que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales de la forma

^ a , — ( y ( r ) ) = ^ f e , — ( x ( í ) ) , k=0 " ' k=0

dt'' (10.22)

donde a^= l, sin pérdida de general idad, la función de transferencia es de la forma

H ( í ) = Y(s) _ S ^ ' ^ _ bNs"+ bN-is'f-'

X(5) < : = 0

D

z k=0

+ + bis + b o

J2 a^í* + aiS + ao

(10.23)

El denominador s iempre puede factorizarse (al menos en pr incipio) , por lo que la función de transfe­rencia también se escribe en la forma.

H ( 5 ) = Y(s) _ bi^s^ + bN^is'"-^ + • • • + bis + b,

X(s) (s - pi){s - pi) • • • (s - pd) (10.24)

Si hay cualesquiera pares de polo-cero, que se encuentran exac tamente en la m i s m a ubicación en el p lano s , se cancelan en la función de transferencia pero deben el iminarse antes de examinar la por cuest iones de estabil idad. Si A' < D y n inguno de los polos se repite, entonces la función de transfe­rencia puede expresarse en forma de fracciones parciales c o m o

H ( í ) = + + ••• + Kd

s - pi S - P2 s - Pd

y la respuesta al impulso es entonces de la forma

h ( r ) = Kie"" + KieP-' +••• + RoeP"',

(10.25)

(10.26)

donde las p son los polos de la función de transferencia. Para que h(f) sea absolu tamente integrable, la parte real de cada uno de los p debe ser negat iva; por lo tanto, todos los polos de la función de t rans­ferencia deben estar en el semiplano izquierdo abierto (SPI). El término semiplano izquierdo abierto sig­nifica que no incluye al eje co. Si hay polos simples en el eje Cú y ninguno de ellos está en el semiplano derecho (SPD) , se dice que el s is tema es marginalmente estable porque , aun cuando la respuesta al

TABLA 10.1 Condiciones para la estabilidad, la estabilidad marginal y la inestabilidad del sistema.

Estabilidad Estabilidad marginal Inestabilidad

Todos los polos en el SPI Uno 0 más polos simples sobre Uno 0 más polos en el SPD el eje oo pero ningiín polo abierto o uno o más polos

miíltiple sobre el eje co y ningtrn mtiltiples sobre el eje w

polo en el SPD abierto

Equilibrio estable Equilibrio inestable

a) b)

FIGURA 10.6 Ilustraciones de tres tipos de estabilidad.

impulso no decae con el t i empo, t ampoco crece. La estabil idad marginal es un caso especial de inestabil idad. Si hay polos mtilti­ples sobre el eje co o algiin(os) polo(s) en el semiplano derecho, el s is tema es inestable. Estas condiciones se resumen en la tabla 10.1 .

U n a analogía que algunas veces es útil al recordar las diferen­tes descripciones de la estabil idad o ines tabihdad del sistema, con­siste en considerar una esfera ubicada en diferentes tipos de su­perficies (figura 10.6). Si se excita el s is tema en la figura I O . Ó A )

apl icando un impulso de fuerza horizontal a la esfera, ésta respon­de mediante el movimien to rodando después hacia adelante y atrás. Si hay incluso una pequeñís ima fricción de rodamiento (p cualquier otro mecan i smo de pérdida c o m o la resistencia del aire), la esfe­ra vuelve a la larga a su posic ión de equil ibrio inicial. El anterior es un e jemplo de un s is tema estable. Si no hay fricción (o cualquier otro mecan i smo de pérdida) , la esfera osci lará hacia uno y otro lado s iempre pero permanecerá confinada cerca del punto bajo de la superficie. Su respuesta no crecerá con el t i empo, pero t ampoco decaerá. En este caso el s is tema es marginalmente estable.

Si se excita la esfera en la figura lO.ófc) incluso en una cant idad mínima, rueda y desciende por la pendiente y nunca vuelve. Si la pendiente es infinitamente alta, la velocidad de la esfera tenderá a infinito: una respuesta no acotada para una exci tación acotada. Este es un s is tema inestable.

En la figura 10.6c) si se excita la esfera con un impulso de fuerza horizontal , responde rodando . Si hay cualquier mecan i smo de pérdida, la esfera a la larga llegará al reposo, pero no en su pun to ori­ginal. Ésta es una respuesta acotada a una exci tación acotada, y el s is tema es estable. Si no hay m e ­canismo de pérdida, la esfera rodará por s iempre, lo que corresponde de nuevo a una es tab ihdad marginal .

Equilibrio marginalmente estable

c)

10.4 CONEXIONES EN PARALELO, EN CASCADA Y DE RETRO ALIMENTACIÓN

Antes se encontraron las respuestas al impulso y en la fre­cuencia de conexiones de s is temas en cascada y en paralelo . Los resul tados para estos tipos de s is temas son los mi smos cuando las funciones de transferencia se expresan en térmi­nos de las t ransformadas de Laplace que de las de Fourier (figuras 10.7 y 10.8).

Otro tipo de conexión que es muy importante en el análisis de sistemas, es la conexión de retroalimentación (figura 10.9).

X(.v) - X(í)H,(.í) - H 2 ( 5 )

X(i) • H,(í)H2(j)

FIGURA 10.7 Conexión de sistemas en cascada.

Y ( 5 ) = X(s)Hi(s)H2(í)

Y(s)

X ( i ) H

X ( 5 ) H , ( 5 )

H , ( 5 ) H , ( 5 ) X(5)H,(í)

X(s) -

FIGURA 10.8 Conexión de sistemas en paralelo.

Y(.v) = X(s)U.{s) + X{s)U-,(s) = X(.v)[Hi(i) + Hnis)]

X(í)-E { 5 )

Hi(i) -r Hits) Y(í) H,(.v) H,(.v)

Y(i)

FIGURA 10.9 Conexión de sistemas retroalimentada.

La función de transferencia H^{s) es la t rayectoria directa, y T/jí^), es la t rayectoria retroalimentada.

En la li teratura técnica de s is temas de control es común l lamar a la función de transferencia H^{s) de la t rayectoria directa la planta, porque suele ser un s is tema diseñado para producir algo, y a la función de transferencia / / j í ^ ) de la t rayectoria re t roal imentada el sensor, po rque suele ser un s is tema agrega­do a la p lanta para ayudar a controlarla o a estabil izarla median te el registro de la respuesta de la mis ­ma y a l imentándola de regreso al punto de suma a la entrada de la planta. La señal de entrada de la t rayectoria directa (planta) recibe el nombre de señal de error y está dada por

L a señal de salida de H^{s),

E ( í ) = X ( í ) - H 2 ( 5 ) Y ( í ) .

Y(5) = H i ( í ) E ( í ) ,

(10.27)

(10.28)

es la señal de entrada de la trayectoria re t roal imentada H^í í ) . C o m b i n a n d o las ecuaciones y resolvien­do para la función de transferencia total.

H i ( í ) Y ( í )

X ( 5 ) l + H i ( í ) H 2 ( í ) (10.29)

En el d iagrama de b loques que ilustra la re t roal imentación en la figura 10.9 la señal de retroali-mentac ión se resta de la señal de entrada. Ésta es una convenc ión m u y c o m ú n en el análisis de siste­mas re t roal imentados y surge de la historia de la re t roal imentación uti l izada c o m o retroal imentación negat iva para estabilizar un sistema. Es común dar al producto de las funciones de transferencia de la trayectoria directa y re t roal imentada un n o m b r e especial , función de transferencia de lazo.

lis) = H i ( 5 ) H 2 ( í ) , (10.30)

porque se presenta m u c h o en el análisis de sistemas re t roal imentados . En el diseño del amplif icador re t roal imentado electrónico a veces se denomina transmisión de lazo. Rec ibe ambos nombres porque representa lo que le ocurre a una señal cuando va desde cualquier punto en el lazo, a l rededor de este exac tamente en un t i empo y regresa al punto de pai t ida (salvo por el efecto del s igno menos en el su­mador ) . D e ese m o d o la ganancia del s is tema re t roal imentado es la ganancia de trayectoria directa H j ( 5 ) d ividida entre uno , más la función de transferencia de lazo.

H ( 5 ) = H i ( ^ )

1 + T ( í ) ' (10.31)

Observe que cuando 1^2(5) t iende a cero (lo que significa que no hay re t roal imentación) , T ( Í ) t ambién lo hace y la ganancia del s is tema H ( 5 ) se vuelve igual que la ganancia H j ( Í ) de la t rayectoria directa.

A la a l imentación de la señal de salida de la t rayectoria directa por atrás para alterar su propia se­ñal de entrada se le denomina a m e n u d o cierre de lazo por razones obvias . Si no hay trayectoria re­t roal imentada, se dice que el s is tema opera en lazo abierto. Los polí t icos, ejecutivos de negocios y otros inst igadores y agi tadores de nuestra sociedad desean estar "en el lazo" . Es probable que esta ter­minolog ía p rovenga de conceptos de lazo re t roal imentado porque si alguien está en el lazo, t iene la opor tunidad de afectar el desempeño del s is tema y, por lo tanto, el poder en el s is tema polí t ico, eco­nómico o social en el cual opera.

La caja de herramienta del s is tema de control de M A T L A B cont iene muchos comandos útiles pa­ra el análisis de s is temas. Éstos se basan en la idea de un objeto del sistema, un t ipo especial de va­riable en M A T L A B para la descr ipción de s is temas. U n a manera de crear una descripción del s is tema en M A T L A B es a través del uso del comando t f (función de transferencia). La sintaxis para crear un objeto del s is tema con t f es

sys = tf(num,den).

Este comando crea un objeto del s is tema s y s a partir de dos vectores num y d e n . Los dos vectores son los coeficientes de s , en orden decreciente, en el numerador y el denominador de la función de transferencia. Por e jemplo, considere que la función de transferencia es

Hi( . r ) = ^- + 4

j^As^ + ls^ + \5s- + ?,ls + 15' (10.32)

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

En M A T L A B se puede formar H , ( Í ) con

» n u i n = [ 1 0 4] ; »den = [1 4 7 15 31 75] ; »H1 = tf(nuin,den) ; »H1

Transfer function:

s''2 + 4

s^5 + 4 s' 4 + 7 s' S + 15 + 31 s + 75 De m o d o al ternativo es posible formar una descr ipción del s is tema especif icando los ceros, los polos y la ganancia independiente de la frecuencia de un s is tema ut i l izando el c o m a n d o z p k . La sintaxis es

sys = zpk{z,p,k),

donde z = vector de ceros del s is tema p = vector de polos del s is tema k = ganancia independiente de la frecuencia

Por e jemplo, suponga que se sabe que el s is tema tiene una función de transferencia

s + 4

5 6 5

10.4 Conexiones en paraleio, en cascada y de retroalimentación

}Í2Ís) = 2 0 -(s + 3Ks+\0)

Es posible formar la descr ipción del s is tema con

»z = [-4] ; »p = [-3 -10] ; »k = 2 0 ; »H2 = zpk(z,p,k) ; »H2

Zero/pole/gain: 20 {s+4)

(10.33)

(s+3) (s+10)

Se puede convert ir un tipo de descr ipción del s is tema en otro t ipo.

»tf(H2)

Transfer function: 20 s + 80

s'"2 + 13 s + 30

»zpk(Hl)

Zero/pole/gain:

(3-^2 + 4)

(s + 3.081) (s"-2 + 2.901S + 5.45) (s^2 - 1.982s + 4.467)

Es posible obtener información acerca de s is temas a partir de sus descr ipciones ut i l izando los coman­dos t f data y zpkdata. Por ejemplo,

»[num,den] = tfdata(H2,'v') ; »nura

num =

O 20 80

»den

5 6 6

CAP ÍTULO 10 A-a.;s¡s de la transformada de Laplace o de señales y sistemas

den =

1 13 30

»[z,p,k] = zpkdata(Hl,'V' »z

z = O + 2 . OOOOi 0 -2.00001

P =

-3.0807 -1.4505 + 1.82911 -1.4505 - 1.82911 0.9909 + 1.86691 0.9909 - 1.86691

» k

k =

1

El a rgumento ' V en estos comandos indica que las respuestas deben producirse en forma de vector. Es te úl t imo resul tado indica que la función de transferencia H^(s) t iene ceros en ±j2 y polos en - 3 . 0 8 0 7 , - 1 . 4 5 0 5 ± j 1.829, y 0.9909 ± j 1.8669 (y es, por lo tanto, inestable) .

El poder real del j u e g o de herramientas del s is tema de control está en los s is temas interconecta-dos . Suponga que se desea la función de transferencia comple ta H{s) = H^{s)H2Ís) de estos dos siste­mas en una conexión en cascada. En M A T L A B ,

»Hc = H1*H2 ; »Hc

Zero/pole/gain: 20 (s+4) {s^2 + 4)

(s + 3.081) (s + 3) (s + 10) (s'"2 + 2.901s + 5.45) ( 3 ^ - 2 - 1.982s + 4.467)

»tf(He)

Transfer function: 20 s"3 + 80 s'-2 + 80 s + 320

s' 5 + 226 s"4 + 436 s"3 + 928 s' 2 + 1905 s + 225( s"7 + 17

Si se desea conocer cuál es la función de transferencia de estos dos sistemas en paralelo, sería

»Hp = Hl + H2 ; »Hp Zero/pole/gain: 20 (s + 4.023) (s + 3.077) (s' 2 + 2 íls + 5.486) ( 3 - ^ 2 - 1 . 9 8 2 S + 4.505)

(s+3.081) ( 5 + 3) (s + 10) (s"2 + 2.901S + 5.451 (s^2 - 1.982s + 4.467)

»tf(Hp)

Transfer function: 20 s''6 + 160 s-"5 + 461 s"4 + 873 s'-S + 1854 s'"2 + 4032 s + 6120

s'"7 + 17 3-^6 + 89 s- S + 226 s-"4 + 436 s-"3 + 928 3-^2 + 1905 s + 2250

Una vez que se ha descri to el sistema, es posible graficar su respuesta al escalón con s t e p , su res­puesta al impulso i m p u l s e y un d iagrama de Bode de su respuesta en frecuencia con b o d e . También se puede graficar su d iagrama de polos ceros ut i l izando el c o m a n d o de M A T L A B p z m a p . M A T L A B cuenta con una función l lamada f r e q r e s p que real iza gráficas de la respuesta en frecuencia. La sin­taxis es

H = freqresp{sys ,w) ,

donde s y s = descr ipción M A T L A B del s is tema w = vector de frecuencias en radianes (en) H = respuesta en frecuencia del s is tema a esas frecuencias en radianes

Hay muchos otros comandos útiles en la caja de herramientas del s is tema de control que pueden exa­minarse tec leando h e I p c o n t r o l .

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

X(s)-

10.5 ANÁLISIS DE SISTEMAS RETROALIMENTADOS E F E C T O S B E N É F I C O S D E L A R E T R O A L I M E N T A C I Ó N

La re t roal imentación se usa para muchos propósi tos . U n o de sus efectos interesantes puede verse en la figura 10.10. En este s is tema re t roal imentado la ganancia de la trayectoria directa es s implemente una ganancia K independiente de la frecuencia. La función de transferencia comple ta es en ese caso

His) = - - . (10.34) 1 + KU2ÍS)

Si K es suficientemente grande, entonces , al menos para a lgunos valores de s, ^ ^ 2 ( 5 ) ^ 1 y H ( 5 ) =

1/H2(í). En palabras , si K es suficientemente grande, la función de transferencia comple ta del siste­m a re t roal imentado efectúa la inversa aprox imada de la operación de la t rayectoria re t roal imentada. Esto quiere decir que si se fuera a conectar en cascada un sistema con función de transferencia H 2 ( Í ) a su s is tema re t roal imentado, la función total de transferencia del s is tema se­ría ap rox imadamente uno (figura 10.11).

Es natural preguntar en este punto qué se ha logrado debido a que el sis­t ema de la figura 10.11 parece no tener ningún efecto. Hay si tuaciones rea­les en las que la señal se ha cambiado por a lgún t ipo de efecto inevitable del s is tema y se desea recuperar la señal original . Esto es m u y común en los sis­temas de comunicac iones en los que se envía una señal por un canal que idealmente no la cambiar ía , pero que en real idad lo hace por razones que evaden el control del diseñador. Es posible utilizar un filtro de compensa­ción para restaurar la señal original. Éste se diseña para, en el mayor grado posible, tener el inverso del efecto del canal sobre la señal. Algunos siste­mas diseñados para medi r fenómenos físicos util izan sensores que t ienen funciones de transferencia inherentemente pasabajas , debido a cierta inercia mecánica o térmica inevitable. Puede hacerse que el s is tema de medic ión responda con mayor rapidez conec tando en cascada el sensor con un siste­m a de procesamiento de señales electrónico cuya función de transferencia sea la inversa aprox imada de la función de transferencia del sensor.

Otro uso importante de la retroalimentación es reducir la sensibilidad de un sistema a los cambios de parámetros. U n ejemplo muy común de este bene­ficio es el uso de la retroalimentación en un amplificador operacional configu­rado como en la figura 10.12.

U n a expres ión aprox imada para la ganancia de un amplif icador operacional con la entrada no inversora conec tada a tierra [ H J ( Í ) en el d iagrama de b loques de retroa­l imentación] es

K K

r

H 2 W H 2 W

FIGURA 10.10 Sistema retroalimentado.

X{s)-

• Y(.s)

¡>1 > K K

FIGURA 10.11 Sistema en cascada con otro sistema designado para ser su inverso aproximado.

V,(i)

H , ( 5 ) = Vo(^)

1 - {s/p) (10.35)

donde AQ es la magni tud de la ganancia de voltaje del amplificador operacional a ba­jas frecuencias y /? es un solo polo sobre el eje real negat ivo del plano Í . La función de

FIGURA 10.12 Un amplificador de voltaje inversor que utiliza un amplificador operacional con retroalimentación.

transferencia total se encuentra uti l izando técnicas estándar de análisis de circuito. S in embargo , tam-CAP ÍTULO 10 ^^^"^ i a c í M e ñeterm'maña utñ' izanáo conceptos de retroal imentación. E l voltaje de e r r o r e s una

Análisis de la función de Y¡(s) y V^(5). Puesto que la impedancia de entrada del amplificador operacional es por lo transformada de Laplace común m u y grande comparada con las dos impedancias ex temas Z¡(s) y Vy.(í), el voltaje de error es 2S señales y sistemas

Zfis)

v,-(í) •

Veis) = y OÍS) + [V i ( s ) - V „ ( S ) ]

V , ( 5 ) = V „ ( . ) Ziis)

Ziis) + Zf(s) + V,.( í )

Zfis)

(10.36)

Z¡is)+Zfis)

Así que es posible modelar el s is tema uti l izando el d iagrama de bloques de la figura 10.13. D e acuerdo con la función de transferencia general del s is tema re t roal imentado que se ob tuvo en

(10.29),

H ( í ) = Y{s) H i ( í )

Xis) l + H i ( 5 ) H 2 ( í )

la función de transferencia del amplif icador debe ser

Veis) -iAo/il-is/p))

V i ( 5 ) ( Z ; ( s ) / ( Z , ( s ) + Zj{s])) 1 + [ - ( A o / ( l - ( s / p ) ) ) ] [ - ( Z , ( x ) / ( Z i ( 5 ) + Zf{s)))]

(10.37)

(10.38)

[Observe que el s igno de la función de transferencia de re t roal imentación se invirt ió debido a que en la figura 10.13 la polar idad de la re t roal imentación fue posit iva, la cual es opuesta a la que se supuso en la reducción de (10.29) y (10.37)] . Al simplificar y formar el cociente entre V^(5) a y¡{s) c o m o la función de transferencia comple ta que se desea.

-AoZf(s)

V,-(í) (l-is/p) + Ao)Zi{s) + i\ -{s/p))Zf{s)' (10.39)

Si la magni tud de la ganancia de baja frecuencia A Q es m u y grande (como suele suceder) , entonces es posible aproximar esta función de transferencia a bajas frecuencias por

V . ( 5 )

V , ( 5 ) 'Z.is)' (10.40)

Ésta es la bien conocida fórmula del amplif icador operacional ideal para la ganancia de un amplifica­dor de voltaje inversor. En este caso el té rmino grande significa que A Q es lo suficientemente grande para que el denominador de la función de transferencia sea de manera aprox imada A Q Z . ( Í ) , lo que sig­nifica que

|Aol » s

1 P

y | A o l » 5

1 P

Zfis)

Z,is) (10.41)

Zfis) -Ziis) + Zfis)

El valor exacto de A Q no es importante en tanto sea m u y grande; este hecho representa la reducción en la sensibil idad del sistema ante los cambios de los valores de los parámetros en (al menos a lguno de) sus componentes .

Para ilustrar el efecto de la re t roal imentación en el desem­peño del amplif icador considere que

1 -

Ziis) Ziis) + Zfis)

• V„(J) Ao = 1 0 ' y p = - 1 0 0 . (10.42)

Además , sea Zfis) un resistor de 10 k í í y sea Z¡is) un resistor de 1 k í l . Idealmente éste es un amplificador inversor de voltaje. En­tonces la función de transferencia completa del sistema es

FIGURA 10.13 Diagrama de bloques de un amplificador de voltaje inversor que utiliza retroalimentación sobre un amplificador operacional.

- 1 0 «

Viis) l l ( l + ( . s / 1 0 0 ) ) - M 0 7 ' (10.43)

El valor numér ico de la función de transferencia a una frecuencia en radianes real de co = 100 (una frecuencia cíclica d e / = 100/217 s 15.9 Hz) es

-10*^

Yiis) 11 + j l l + lO ' = - 9 . 9 9 9 9 8 9 + J 0 . 0 0 0 0 1 1 . (10.44)

Ahora considere que la ganancia a baja frecuencia del amplif icador operacional se reduce por un fac-0^. Cuc

V . ( í )

tor de 10 hasta A Q = 10^. C u a n d o se recalcula la función de transferencia a 15.9 Hz , se obt iene

- 1 0 '

Yiis) 11 + j l l + lO^ = - 9 . 9 9 9 8 9 + jO .OOOl l , (10.45)

un cambio de casi 0.001 por ciento en la magni tud de la función de transferencia. De m o d o que un cambio en la función de transferencia de trayectoria directa de un factor de 10 produjo una variación en la magni tud de la función de transferencia del s is tema comple to de casi 0.001 por ciento. La cone­xión de re t roal imentación hace que la función de transferencia total sea m u y insensible a cambios en la ganancia del amplif icador operacional , incluso cambios m u y grandes . En el diseño del amplifica­dor, el anterior es un resul tado m u y adecuado porque los resistores, en especial los cocientes de resis­tores, pueden hacerse m u y insensibles a los factores ambientales y es factible que mantengan casi constante la función de transferencia del sistema, incluso si los componentes en el amplif icador ope­racional cambian en grandes porcentajes a partir de sus valores nominales .

Ot ra consecuencia de la insensibi l idad relativa de la función de transferencia del s is tema a la ga­nancia A Q del amplif icador operacional , es que si A Q es una función del nivel de la señal, hac iendo no lineal la ganancia del amplif icador operacional — s i e m p r e y cuando A Q sea g r ande—, la función de transferencia del s is tema sigue siendo m u y exacta (figura 10.14).

Otro efecto benéfico de la re t roal imentación puede observarse al calcular el ancho de banda del amplif icador operacional y comparar lo con el ancho de banda del amplif icador inversor con retroali­mentación. L a frecuencia de corte del amplif icador operacional en este e jemplo es 15.9 Hz. La fre­cuencia de corte del amplif icador inversor con re t roal imentación es aquel la a la cual las partes real e imaginar ia del denominador de la función de transferencia total son iguales en magni tud , lo cual ocu­rre a una frecuencia cíclica real d e / = 14.5 M H z . Este es un incremento en el ancho de banda por un factor de casi 910 000 . Resul ta difícil no resaltar la impor tancia de los principios de la re t roal imenta­ción en el mejoramiento en muchas formas del desempeño de s is temas.

La función de transferencia del amplif icador operacional es un número m u y grande a bajas fre­cuencias , por ello t iene u n a gran ganancia de voltaje. La ganancia de voltaje del amplif icador retroa­l imentado es por lo c o m ú n m u c h o más pequeña . Así, al utilizar re t roal imentación, se ha perd ido ganancia de voltaje pero se obt iene estabi l idad de gananc ia y ancho de banda (entre otras cosas) . En efecto, se ha in tercambiado ganancia por mejoras en otras característ icas del amplificador.

La retroal imentación puede utilizarse para estabilizar un sistema en otro caso inestable. El avión de combate F-117 Stealth Fighter es por naturaleza inestable en el aspecto aerodinámico. Sólo puede volar bajo el control del piloto con la ayuda de un sistema de retroal imentación controlado por compu­tadora que registra la posición, velocidad y altura del avión y las compensa en forma constante cuando empieza a volverse inestable. Un ejemplo muy simple de estabilización de un sistema retroalimentado es aquel cuya función de transferencia de trayectoria directa es

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

1

s - p p > 0. (10.46)

Evidentemente , con un polo en el semiplano derecho este s is tema es inestable. Si se usa una función de transferencia de t rayectoria de re t roal imentación que es una ganancia K independiente de la frecuencia, se obt iene la función de transferencia total del s is tema

H ( í ) = l/(s - p) 1

1 + iK/is-p)) s - p + K

Para cualquier valor de K que satisfaga, K > p,e\ s is tema es estable.

(10.47) FIGURA 10.14 Ganancia de amplificador operacional lineal y no lineal.

5 7 0 I N E S T A B I L I D A D C A U S A D A P O R L A R E T R O A L I M E N T A C I Ó N

CAP ITULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

Aunque la re t roal imentación puede tener muchos efectos benéficos, hay uno que es m u y importante y puede ser un prob lema más que una ventaja. La adición de re t roal imentación a un s is tema estable quizá cause que se vuelva inestable. La ganancia del s is tema re t roal imentado total es

H(s) = H i ( í ) Y ( 5 )

X(s) l + H i ( í ) H 2 ( í ) (10.48)

P(í)

1 +

- 1 +

P(0

p(í)

1 +

- 1 +

A u n cuando tal vez todos los polos de R^is) y H J Í Í ) se ub iquen en el semiplano izquierdo abierto, y quizá no ocurra eso con los polos de R{s).

Casi todo el m u n d o ha exper imentado un s is tema que se hace inestable por la re t roal imentación. Muchas veces cuando grandes mult i tudes se reúnen para oír hablar a alguien, se usa un s is tema de al­tavoces . El orador habla al micrófono y su voz se amplifica y a l imenta a una o más bocinas para que todas las personas en la audiencia tengan la posibi l idad de escuchar su voz. Desde luego, el sonido que emana de los al tavoces también es detectado y amplif icado por el micrófono y el amplificador. Éste es un e jemplo de re t roal imentación porque la señal de salida del s is tema de al tavoces se al imen­ta de nuevo c o m o una señal de entrada (sonido en el micrófono) . Cualquiera que haya escuchado al­guna vez el sonido del s is tema de al tavoces cuando se vuelve inestable nunca lo olvidará porque es un tono m u y ru idoso. Y es probable que se conozca la solución usual : reducir la ganancia del ampli ­ficador. Este tono puede ocurrir aun cuando nadie esté hab lando al micrófono. ¿Por qué el s is tema se vuelve inestable sin n inguna señal de entrada aparente y por qué al reducir la ganancia del amplifica­dor no sólo se reduce el vo lumen del tono, sino que se e l imina por comple to?

Albert Einste in fue famoso por el Gedankenversuch (exper imento pensado) . Es posible compren­der el f enómeno de la re t roal imentación median te un exper imento pensado . Imagine que t iene un mi­crófono, un amplif icador y un al tavoz en med io del desierto sin nadie en los a l rededores ni viento o a lguna otra per turbación acúst ica y que la ganancia del amplif icador se reduce en un pr incipio hasta cero . Si se golpea el micrófono, sólo se escucha el sonido directo del golpe y nada de los al tavoces porque la ganancia del amplif icador es cero. Luego se aumenta un p o c o la gananc ia del amplificador. Ahora al golpear el micrófono se escucha el golpe de manera directa pero también algo de sonido de los al tavoces, l igeramente retrasado debido a la distancia que el sonido t iene que viajar desde éstos hasta sus oídos. Cuando se aumenta más y más la ganancia , el sonido del golpe proveniente de los al­tavoces aumenta en \ o l u m e n (figura 10.15). [En la figura, p(r) es presión acúst ica c o m o función del t iempo.] Conforme se incrementa la ganancia de recorr ido comple to , cuando se golpea el micrófono, se observa de manera gradual un cambio , no sólo en el vo lumen, sino también en la naturaleza del so­nido proveniente de los alta\'Oces. (Ganancia de recorrido completo es la magni tud del cociente en­

tre una señal en algún punto en el s is tema de re t roal imentación y la señal en el m i s m o punto en el recorr ido comple to previo a lo largo del sistema.) Se escucha no sólo el golpe, sino lo que c o m ú n m e n t e recibe el nombre de reverberación: ecos múlt i­ples del golpe. Éstos son causados por el sonido del golpe pro­veniente del al tavoz hasta el micrófono, que se amplif ica y va de nuevo al altavoz, y regresa al micrófono múlt iples veces . Conforme se incrementa la ganancia , el fenómeno se vuelve más evidente y, en cierto nivel, un tono ruidoso empieza y con­tinúa, sin n ingún golpe o cualquier otra entrada acúst ica al mi­crófono, hasta que se vuelve a reducir la ganancia . ¿Por qué?

En cierto nivel de ganancia , cualquier señal del micrófo­no, no importa qué tan débil , se amplifica, a l imenta al al tavoz, regresa al micrófono y p rovoca una nueva señal en éste que es de la m i s m a intensidad que la señal original . En este nivel de ganancia la señal nunca se ext ingue; sólo se mant iene en circu­lación. Si la ganancia se hace un poco más alta, la señal crece cada vez que efectúa un recorr ido comple to desde el micrófo­no hasta el al tavoz y de regreso. Si el s is tema de al tavoces fue­ra en verdad lineal, la señal se incrementar ía sin l ínúte . Sin embargo , dicho s is tema no es en verdad lineal y en cierto nivel de vo lumen el amplif icador acciona al al tavoz lo mejor que puede y el nivel de sonido ya no se incrementa más .

Ganancia de recorrido completo = 0.3

0.5

Ganancia de recorrido completo = 0.6

--

-- 0.5

Ganancia de recorrido completo = 0.9

| <.. ^ <.— 0.6

_ J Ecos

FIGURA 10.15 Sonido del golpe sobre el micrófono de un sistema de altavoces para tres diferentes ganancias de recorrido completo del sistema.

Es natural preguntar c ó m o empieza este proceso sin n inguna entrada aciística al micrófono. Pr imero, en la práct ica es imposible arreglárselas para no tener en lo absoluto n ingún golpe o sonido en el micrófono. Segundo , aun cuando eso fuera posible , el amplif icador t iene procesos inherentes de ruido aleatorio que producen una señal acúst ica en el al tavoz, y eso es suficiente pa­ra iniciar el proceso de re t roal imentación.

A cont inuación lleve un poco más allá el exper imento . Con la ganancia del amplificador suficientemente alta para causar el tono, se aleja el al tavoz del micrófono. A medida que esto ocurre , la altura del tono ruidoso cambia y a cierta distancia se in terrumpe. El tono cambia debido a que su frecuencia de­pende del t i empo que el sonido tarda en propagarse desde el a l tavoz hasta el micrófono. El tono ruidoso se det iene a cierta distancia debido a que la inten­sidad del sonido desde el al tavoz se reduce a medida que éste se aleja y la se­ñal de retorno debida a la re t roal imentación es menor que la señal original y se ext ingue en vez de incrementarse en potencia.

Ahora se modelará matemát icamente el s is tema de al tavoces con las he­r ramientas que han aprendido y verá de manera exacta c ó m o ocurre la inesta­bi l idad por la re t roal imentación (figura 10.16). Para mantener s imple el mode lo , pero i lustrativo, se considerará que las funciones de transferencia del micrófono, el amplif icador y el al tavoz son las cons­tantes K^^, y K^. En tonces se mode la la propagac ión del sonido desde el a l tavoz hasta el micrófo­no c o m o un retraso s imple con una ganancia que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde el al tavoz hasta el micrófono

FIGURA 10.16 Un sistema de altavoces.

s„,(f) = K s,(f - (d/v))

(10.49)

donde s^(f) = sonido del al tavoz Sjjj(f) = sonido que llega al micrófono

V = velocidad del sonido en el aire K = una constante

Al aplicar la t ransformada de Laplace en ambos lados de (10.49),

S,„(s) = ~S,(s)í'-W'')^ (10.50) d-

Entonces es posible mode la r el s is tema de al tavoces c o m o uno re t roal imentado con una función de transferencia de trayectoria directa

y una función de transferencia de trayectoria de re t roal imentación

(figura 10.17). L a función de transferencia total es entonces

H ( 5 ) =

(10.51)

(10.52)

\-{K„,KAK,K/d^)e-^''l-^^' (10.53)

[El signo en el denominador es menos porque la polaridad de la retroal imentación es la opuesta de la polaridad supuesta en el resultado de la función de transferencia del s is tema retroal imentado general (10.29).] Los polos p de esta función de transferencia del s is tema se ubican en los ce­ros de 1 - (K^K^K^K/d-) e-w/^')?. Al resolver, s„,(í)

d'-(10.54)

-(d/v)p _ d^

Km KA Kg K

FIGURA 10.17 n n íí '» Diagrama de bloques de un sistema de

altavoces.

CAP ITULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

_ _ _ . = In n es un entero (10.56)

P = -• In d'-

d L \K,„KAKSK (10.57)

(figura 10.18). Este s is tema es un poco diferente de los que se han estado anal izando porque t iene una cant idad

infinita de polos, uno para cada entero n. Sin embargo , esto no es un p rob lema en el análisis debido a que sólo se intenta establecer las condiciones para las cuales el sistema es estable. C o m o ya se ha visto, la estabilidad requiere que todos los polos se ubiquen en el semiplano izquierdo abierto. Eso significa, en este caso, que

d \k,„KAKSK < O (10.58)

In V K,„KAKSK

> o (10.59)

K,„ KA K¡ K

J 2 < 1. (10.60)

En pa labras , el p roduc to de todas las magni tudes de la función de t ransferencia a l rededor del lazo de re t roa l imentac ión debe ser m e n o r que uno . Es to t iene sent ido porque si el p roducto de todas las mag­ni tudes de la función de transferencia a l rededor del lazo es mayor que uno , quiere decir que cuando una señal real iza un recorr ido comple to a t ravés del lazo de re t roal imentación, es más grande cuan­do regresa que cuando sale y eso causa que crezca sin l ímite. De m o d o que cuando se reduce la ga­nanc ia del ampl i f icador hasta detener el tono ru idoso causado por la re t roal imentación, se satisface (10.60) .

Suponga que se aumenta la ganancia de lazo K^^^K^K^K/d- al incrementar la ganancia del am­plificador. Los polos se mueven hacia la derecha, paralelos al eje a , y en cierto valor de ganancia alcan­zan el eje co. Suponga ahora que en vez de eso se incrementa la ganancia del lazo al acercar el micrófono y el altavoz. Esto mueve los polos hacia la derecha pero también los aleja del eje CT por lo que cuando se alcanza la estabilidad marginal todos los polos están a frecuencias en radianes más altas.

Cuando el s is tema está exac tamente en la estabil idad marginal , las frecuencias de osci lación se de terminan median te las ubicaciones de los polos sobre el eje oo. Dichas ubicaciones son

¿ + - 4 ^

FIGURA 10.18 Diagrama de polos y ceros del siste­ma de altavoces.

= 2«'!T. d

(10.61)

Esto indica que las frecuencias de oscilación se determinan por medio de la velocidad del sonido en el aire y la distancia entre el al tavoz y el micrófono. Sea n igual a uno . Enton­ces (10.61) señala s implemente que el s is tema oscila de manera tal que el t i empo de pro­pagac ión desde el al tavoz hasta el micrófono es de manera exacta un per iodo fundamental de esa frecuencia. Si eso es cierto, cuando el sonido del al tavoz l lega al micrófono, arri­ba de manera precisa en fase (en real idad 2-77 rad fuera de fase, que equivale a estar en fa­se) con un sonido de esa frecuencia y lo refuerza. Para valores enteros superiores de n se obt ienen frecuencias que l legan con mtíltiplos más altos de ITÍ rad de desplazamiento de fase y, por lo tanto, también refuerzan. De m o d o que el d iagrama de polo-cero indica que el s is tema oscilará si la magni tud de la ganancia del amplif icador es suficientemente gran­de y lo hará a frecuencias para las cuales la señal de re t roal imentación está en fase con la señal original.

El s is tema que obedece este s imple mode lo puede oscilar s imul táneamente a miíltiples frecuencias. En real idad eso es improbable . U n sis tema real que incluyera micrófono, amplif icador y al tavoz tendría funciones de transferencia que dependerán de la frecuencia y, por lo tanto, cambiar ía las ubicaciones de los polos de m o d o que sólo un par de ellos se ubicar ía sobre el eje co en la estabi l idad marginal . Si la ganan­cia aumenta por enc ima de la ganancia relativa a la estabi l idad marginal , el s is tema es impulsado hacia un m o d o de operación no lineal y los métodos de análisis de sis­temas l ineales fallan en la predicc ión exacta de su forma de oscilar. Sin embargo , los mé todos de sistemas lineales predicen con exacti tud que oscilará y eso es m u y impor tante .

O S C I L A C I Ó N E S T A B L E U T I L I Z A N D O R E T R O A L I M E N T A C I Ó N

X ( í ) — . E(^)

K ) * K

H2(s) H2(s)

FIGURA 10.19 Sistema de retroalimentación prototipo.

L a osci lación del s is tema de al tavoces en la ú l t ima sección fue una respuesta indeseable del mis ­m o . Sin embargo , a lgunos s is temas se diseñan para oscilar. E jemplos son los generadores de fun­ciones de los laboratorios , los relojes de computadora , los osci ladores locales en los receptores de radio, los cristales de cuarzo en los relojes de pulsera y un péndulo en un reloj de caja. Algunos sis­temas se diseñan para oscilar de un m o d o no lineal en el que s implemente se al ternan entre dos o más estados inestables y sus señales de respuesta no son necesar iamente senoidales . Los relojes de computadora que marchan l ibremente const i tuyen un buen e jemplo de lo anterior. N o obstante , algu­nos s is temas se d iseñan para operar c o m o un s is tema LIT en m o d o estable marginal con una oscila­ción senoidal verdadera. Pues to que la estabil idad marginal requiere que el s is tema tenga polos sobre el eje co del p lano s, este m o d o de operación es muy exacto. El movimien to más ligero de los polos del s is tema debido a cualquier variación de parámet ros ocas ionará que la osci lación crezca o decaiga con el t i empo . D e m o d o que los s is temas que operan en este m o d o deben tener algún m e c a n i s m o para mantener los polos sobre el eje co.

El d iagrama de re t roal imentación protot ipo (figura 10.19) t iene una exci tación y una respuesta. U n s is tema ideado para oscilar no t iene una exci tación (manifiesta); esto es X{s) = O (figura 10.20). (Observe que en este d iagrama la señal de salida de la t rayectoria de re t roal imentación es la señal de entrada de la t rayectoria directa, sin señal de entrada e x t e m a agregada y sin cambio de signo.) ¿Có­m o es pos ib le tener una respues ta si no se t iene exci tación? L a respuesta inmedia ta es que n o es pos i ­ble , sin embargo , es impor tante reconocer que cada s is tema está s iendo exci tado, cons tan temente sea o no ésa la intención. Cada sistema tiene procesos de ruido aleatorio que ocas ionan fluctuaciones de la señal. El s is tema responde a estas fluctuaciones de ru ido jus to como lo haría ante una exci tación in­tencional .

L a clave para que se presente una osci lación estable es tener una función de transferencia con po­los sobre el eje co de la forma

H , ( 5 ) H , ( 5 )

H2(i)

FIGURA 10.20 Sistema de retroalimentación del oscilador.

H{s) = A

(10.62)

Entonces la ganancia del s is tema a la frecuencia en radianes reales COQ (5 = ± J'COQ) es infinita, lo que impl ica que la respuesta es infini tamente mayor que la exci tación. Eso podr ía significar que una ex­citación finita p roduce una respuesta infinita o que una exci tación cero p roduce una respuesta finita. En cualquier caso el cociente entre la respuesta y la exci tación es infinito. Por lo tanto, un s is tema con polos sobre el eje co puede producir una respuesta distinta de cero estable sin exci tación.

U n ejemplo m u y interesante e impor tante de un s is tema diseñado para oscilar en un m o d o esta­ble marg ina lmente es un láser. El ac rón imo L Á S E R significa light amplification by stimulated emis-sion ofradiation (amplif icación de luz median te la emis ión es t imulada de radiación) . U n láser no es en real idad un amplif icador de luz (aunque, in ternamente , la amplif icación sí ocurre) , sino un oscila­dor de luz, aunque el ac rón imo para light oscillation b y stimulated emission of radiation (osci lación de luz median te emis ión es t imulada de radiación) , L O S E R (perdedor) , se descr ibe por sí solo y nun­ca se volvió popular .

A u n cuando el láser es un oscilador, la amplif icación de luz es un proceso inherente en su operación. U n láser se l lena con un med io que se ha b o m b e a d o median te una fuente de po­tencia e x t e m a de manera tal que la luz de la longi tud de onda correcta que se p ropaga a t ravés del med io b o m b e a d o experi­men ta un incremento en la potencia mientras lo hace (figura FIGURA 10.21 10.21). El disposi t ivo que se ilustra en esta figura es un ampli - Un amplificador de onda viajera luminosa de un paso.

Luz incidente .

Bombeo Láser Medio

Espejo I Bombeo Láser

FIGURA 10.22 Un láser

ficador de onda viajera luminosa de un paso , no un láser. La osci lación de la luz en un láser se produ­ce al introducir en un amplif icador de onda viajera luminosa de un paso , espejos en cada ex t remo que reflejan una parte o toda la luz que incide en ellos. En cada espejo toda la luz o una fracción de ella se re t roal imenta en el med io láser b o m b e a d o para una amplif icación adicional (figura 10.22).

En principio, sería posible introducir luz en un ex t remo de este disposi t ivo a t ravés de un espejo parcial y amplificarla. U n disposi t ivo de este t ipo recibe el nombre de amplificador regenerativo de onda luminosa viajera. Sin embargo , es m u c h o más comiín construir en un ex t remo un espejo lo más reflectivo posible , que refleje toda la luz que incide sobre él, y construir un espejo parcial en el otro ex t remo, que refleje parte de la luz que incide sobre él y que t ransmita el resto.

U n láser opera sin n inguna fuente ex t ema de luz. La luz que emite empieza en el propio medio láser b o m b e a d o . Un fenómeno denominado emisión espontánea p rovoca que la luz se genere en t iempos y en direcciones aleatorios en el med io b o m b e a d o . Cual­quier luz de este t ipo que se propaga de manera directa hacia un espejo se amplif ica en su camino hacia éste, y luego se refleja y amplif ica atín más cuando rebota entre los es­pejos. Cuanto más perpendicular es la propagac ión en los espejos, tanto más largos re­sultan los rebotes del haz y tanto más se amplifican median te los pasos múlt iples a través del medio láser. E n la operación de estado estable la luz que es normal a los es­pejos t iene la potencia más alta de toda la propagación luminosa dentro de la cavidad

del láser porque posee la ventaja de ganancia más alta. U r espejo siempre es un espejo parcial, de m o ­do que cierta luz se t ransmite en cada rebote fuera de él. Esta luz const i tuye el haz luminoso de sa-h d a del láser (figura 10.23).

Medio Espejo

Espejo a 100 por ciento

Espejo parcial

Espejo a 100 por ciento

Espejo parcial

Espejo a 100 por ciento

Espejo parcial

Espejo a 100 por ciento

Espejo parcial

Espejo a 100 por ciento

Espejo parcial

Espejo a 100 por ciento

Espejo parcial

FIGURA 10.23 Reflexiones múltiples de luz a diferentes ángulos iniciales.

FIGURA 10.24 Ilustraciones de longitudes de onda que caben en la cavidad láser un número entero de veces.

Para que la oscilación luminosa se mantenga, la función de transferencia del lazo del sistema debe ser el número real - 1 bajo el signo de re­troalimentación negativo supuesto en el sistema retroalimentado prototipo de la figura 10.19 o de­be ser el número real -I-1 dada la suposición del sistema oscilador de la figura 10.20. Bajo cual­quier suposición, en la oscilación estable, la luz, conforme viaja desde un punto de inicio hacia un espejo, regresa al otro espejo y luego vuelve de nuevo al punto de partida, debe experimentar una magni tud de ganancia completa de uno y un des­plazamiento de fase de un múltiplo entero de 2 t t

rad. Esto sigiúfica que la longitud de onda de la luz debe ser tal que quepa en la cavidad láser con exactamente un número entero de ondas en una trayectoria de recorrido completo.

Es impor tante observar que la longi tud de la luz en los láseres se encuentra por lo c o m ú n en

el intervalo de 100 n m hasta muchos micrones (ultravioleta hasta infrarrojo lejano) y las lon­gitudes de las cavidades de los láser están por lo común en el intervalo de unos cuantos cen­t ímetros hasta más de un met ro en algunos casos. Por lo tanto, a medida que la luz se propaga entre los espejos puede exper imentar más de un mil lón de radianes de desplazamiento de fa­se, e incluso en las cavidades más cortas d icho desplazamiento es un múl t ip lo grande de Itt rad. De manera que en un láser la longi tud de onda exacta de la oscilación se de termina a par­tir de la longi tud de onda ópt ica que encaja en la trayectoria de recorr ido comple to con un nú­mero entero exacto de ondas . Hay una cant idad infinita de longi tudes de onda que satisfacen este criterio, la onda que entra en el recorr ido comple to exac tamente una vez, más todas sus armónicas (figura 10.24). Aunque todas esas longi tudes de onda de la luz podr ían oscilar en teoría , exis ten otros m e c a n i s m o s ( resonanc ias a tómicas o molecu la res , espejos select ivos de longitud de onda, etc.) que l imitan la oscilación real a un número pequeño de longitudes de onda que exper imentan la ganancia suficiente para oscilar.

Es posible mode la r un láser median te un d iagrama de b loques con u n a trayectoria direc­ta y una trayectoria re t roal imentada (figura 10.25). Las constantes Kp y Kj^ representan la magni tud de la ganancia exper imentada por el c a m p o eléctrico de la luz conforme ésta se pro­paga de un espejo al otro a lo largo de las trayectorias directa e inversa, respect ivamente . Los factores é'"(^/')* expl ican el desplazamiento de fase deb ido al t i empo de propagación, donde

CAP ÍTULO 10 Aral is ls de la transformada de Laplace de señales y sistemas

L es la distancia entre los espejos y c es la velocidad de la luz en la cavidad del lá­ser. La constante K^^ es el coeficiente de transmisión del campo eléctrico para la luz que sale de la cavidad del láser a través del espejo parcial de salida y la constante K^^^ es el coeficiente de reflexión del campo eléctrico para la luz reflejada en el espejo parcial de salida de vuelta a la cavidad del láser La constante es el coeficiente de reflexión del campo eléctrico para la luz reflejada en el espejo de 100 por ciento de regreso a la cavidad del láser. K^^^, K^.^ y K^. son, en general, complejas, lo que in­dica que hay un desplazamiento de fase del campo eléctrico durante la reflexión y la transmisión. La función de transferencia del lazo es (utilizando la definición formu­lada con base en la convención de signos en la figura 10.19)

Su valor es — 1 cuando

T{s) = -KfK,oKKK,.e

\KFK,-OKRKA = 1

- ( 2 L / C ) i

Eiíi

FIGURA 10.25 Diagrama de bloques de láser.

(10.63)

(10.64)

-(2L/c)s _ = 1

o, en forma equivalente ,

5 = —jl'ñn 2L

n es un entero

(10.65)

(10.66)

donde la cant idad c/2L es el t iempo de recorr ido comple to para la onda luminosa que se propaga . És ­tos son valores de s sobre el eje co a armónicas de la frecuencia fundamental en radianes 2ii{c/2L). Puesto que ésta es la frecuencia fundamental , es también el espaciamiento entre frecuencias que de manera convencional recibe el nombre de espaciamiento en modo axial Aoo^^.

Cuando un láser se activa por pr imera vez, el med io es b o m b e a d o y se produce un haz luminoso a expensas de la emis ión espontánea. Éste crece en intensidad porque , al pr incipio, la magni tud de la ganancia de recorrido comple to es mayor que uno (\KpKj.^K¡^Kj[> 1). Sin embargo , a medida que cre­ce, extrae energía del medio b o m b e a d o y eso reduce las ganancias y ÍT^. Se alcanza un equil ibrio cuando la intensidad del haz es exac tamente de la magni tud correcta para mantener la ganancia de re­corrido comple to , \KpK^^KnK^\ en exactamente uno. Los mecan i smos de b o m b e o y de amplif icación luminosa en el láser forman en conjunto un proceso autol imitado que se estabil iza en una magni tud de la ganancia de recorrido completo de uno. De ese modo, siempre y cuando haya bastante potencia de b o m b e o y los espejos sean lo su f ic ien temente ref lexivos p a r a a lcanzar u n a m a g n i t u d de la ganan­cia de recor r ido c o m p l e t o de uno a cierta po tenc ia de sa l ida m u y baja, el láser osc i la rá de m a n e r a es table .

Si se aumenta la potencia de bombeo , la potencia de salida crecerá para extraer más potencia del medio b o m b e a d o y reducir la magni tud de la ganancia de recorr ido comple to de vuel ta a uno . Si se reduce la potencia de bombeo , la potencia de salida disminuirá extrayendo menos potencia del medio b o m b e a d o e incrementará la gananc ia de recorr ido comple to de nuevo a uno . Sin embargo , si la p o ­tencia de b o m b e o se reduce demas iado , debido a los otros mecan i smos de pérdida presentes en la ca­vidad, no inyectará la potencia suficiente hacia el med io b o m b e a d o para sostener la oscilación, incluso con un haz luminoso de potencia de salida cero, y el láser dejará de oscilar. El anterior es un e jemplo de un s is tema que es autol imitado en una forma que mant iene una osci lación senoidal estable sin nin­guna no l inealidad del s istema.

L A P R U E B A D E E S T A B I L I D A D D E R O U T H - H U R W I T Z

Ya se ha visto que el requerimiento para la estabiUdad del sistema es que todos los polos se ubiquen en el semiplano izquierdo abierto. Es posible determinar las ubicaciones de los polos factorizando el deno­minador de la función de transferencia, lo cual puede hacerse siempre, al menos de manera numérica, uti l izando una herramienta matemática c o m o M A T L A B . Sin embargo, la factorización no es necesaria para determinar la estabilidad. Hay una técnica de análisis denominada prueba de Routh-Hunvitz que t iene la posibilidad de determinar si un sistema es estable sin tener que factorizar el denominador Ade­más , proporciona cierta información con respecto a las características del sistema y es útil jun to con otras técnicas como el método del lugar geométrico de las raíces que se estudiará en la siguiente sección. La deducción de las reglas utilizadas en la prueba de Routh-Hurwitz rebasa los objetivos de este libro, aun­que existe la posibil idad de investigar su uso y ganar cierta comprensión intuitiva de su validez.

5 7 6 D "d « 0 D "D « £ > - 2 " 0 - 4 « 1

CAP ÍTULO 10 D - 1 0 D - 1 « 0

Análisis de la D - 2 hD-4 / ' d - 6 0 D - 2 bD-4 0 transformada de Laplace D - 3 C d - 5 C d - v 0 D - 3 0 de señales y sistemas

2 ^ 0 0 0 0 2 di 'ío 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e\ 0 0 0 0 0 /o 0 0 0 0 0 fo 0 0 0 0

E j e m p l o 1 0 . 1

D par

FIGURA 10.26 El arreglo de Routh.

Cons idere que la forma de la función de transferencia es

D impar

H ( ^ ) -

y deje que el denominador D ( 5 ) sea de la forma

D ( í )

D ( 5 ) = aos' + ais + üQ,

(10.67)

(10.68)

donde es dist into de cero . El p r imer paso en la prueba de Routh-Hurwi tz consis te en construir el arreglo de Routh (figura 10.26).

El arreglo de Routh es una disposic ión de números que t iene D + l renglones y (Z)/2) + 1 co lum­nas para D par y {D + l ) /2 co lumnas para D impar. Los pr imeros dos renglones cont ienen los coefi­cientes del po l inomio del denominador . Las entradas en el s iguiente renglón se de terminan median te las fórmulas

bo-i = -

ao-i

ID-}

ao-i t>D~4 = —

aD-4

(10.69)

etc. Las entradas de los renglones sucesivos se calculan mediante el m i s m o proceso con base en las entradas de renglones previas . Si el valor de una entrada es cero, sust i tuyalo por una e (un número real arbitrario y pequeño , posi t ivo o negat ivo) y cont inúe. En el proceso de calcular las entradas de ren­glones sucesivos, e l imine cualesquiera potencias más altas de £ para simpHficar los cálculos . El pro­ceso cont inúa hasta que se alcanza el renglón cero. Si hay ceros o cambios de signo en la co lumna a^, el s is tema es inestable. El número de cambios de signo en la co lumna a¡^ es el número de polos en el semiplano derecho. Si se usa una e, se le considera posi t iva o negat iva. El n ú m e r o de cambios de sig­no será el m i smo de cualquier manera . Si no hay ceros o cambios de signo en la pr imera co lumna, el s is tema es estable. Si se presenta un renglón que t iene entradas que son todas cero antes de que el ren­glón tenga índice cero, el s is tema tiene al menos dos polos de igual orden que se ubican en lugares en el p lano comple jo que son radia lmente opuestos entre sí y equidistantes a partir del origen. Eso signi­fica que hay un polo en el semiplano derecho o dos polos en el eje O). En tal caso el s is tema no pue­de ser es t r ic tamente estable, sino que lo es en forma marginal .

Utilizando la prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz determine si los sistemas cuyas funciones de transferencia son

2s- + A s - 3

" •^ -^ = .^ + 2.3 + 8.^ + 3 . + 4 ^ ' ' - ' ' ^

y

H2(í) = -h .? + 10

6s^ + - I - 2 í - - I - 4 J - I - 1 (10.71)

son estables.

• S o l u c i ó n

El arreglo de Routh para H¡(i) es

1 8 4 2 3 0 f 4 O

íf O O 4 0 0

y el sistema es estable. Lo anterior se confirma al factorizar el denominador para determinar los polos. Éstos son

- 0 . 8 5 4 7 + 72.4890 - 0 . 8 5 4 7 - ;2 .4890 - 0 . 1 4 5 3 + 70.7460 - 0 . 1 4 5 3 - 70.7460

los cuales se encuentran en el semiplano izquierdo abierto. El arreglo de Routh para HjC í) es

6 2 1 1 4 O

- 2 2 1 O

I O O 1 O O

y el sistema es inestable con dos polos en el semiplano derecho como se indica por medio de los dos cambios de signo en la primera columna. Los polos en este caso son

0.3865 + 70.8474 0.3865 - 70.8474 - 0 . 6 3 9 0 - 0 . 3 0 0 7

y dos se ubican en el semiplano derecho como se indica mediante el arreglo de Routh.

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

Recurra a la prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz para determinar el criterio para la estabilidad de un sistema de segundo orden general cuya función de transferencia es de la forma

ais) = Nis)

(10.72)

• S o l u c i ó n

El arreglo de Routh es

1 FLO

a¡ 0 . ao O

(10.73)

Este resultado indica simplemente que sia^y son ambas positivas, no hay polos en el semiplano derecho y el sistema es estable.

E j e m p l o 1 0 . 2

E L M É T O D O D E L U G A R G E O M É T R I C O D E L A S R A I C E S

U n a si tuación muy común en el análisis de s is temas re t roal imentados es un s is tema de la forma que se ilustra en la figura 10.27. Hay un parámet ro de ganancia ajustable K (que se toma de manera con­vencional como no negat ivo sin pérdida de general idad) y la elección de su valor tiene un fuerte efec­to sobre la d inámica del s istema. La función de transferencia comple ta del s is tema es

H ( í ) = KHiis)

1 + KUi{s)H2Ís)

y la función de transferencia del lazo cor responde a

Tis) = KHi{s)H2{s).

(10.74) X ( 5 ) - K K

H2(s)

(10,75) F IGURA 10.27 Tipo común de sistema retroalimentado.

Yis)

5 7 8 Los polos de H ( Í ) son los ceros de 1 + T ( Í ) . La función de transferencia de lazo puede e sc r i b i r se en CAP ÍTULO 10 1^ forma de K veces un numerador dividido entre un denominador , Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

T ( í ) = K Qis)

de m o d o que los polos de H(.y) ocurren donde

P ( í ) 1 + K—- = O,

Q ( í )

que puede expresarse en las dos formas alternativas

Qis) + Kns) = O

(10.76)

(10.77)

(10.78)

Q(s)

K P(s) = 0. (10.79)

De (10.76) se ve que si T(s) es propia [Q(s) es de orden más alto que F{s)], los ceros finitos de Q{s) const i tuyen todos los polos de T{s) y los ceros de P(s) son todos los ceros finitos de T(s), aunque , de­b ido a que el orden de P{s) es menor que el de Q ( 5 ) , t ambién hay uno o más ceros de T{s) en infinito.

El intervalo comple to de ajuste posible de K es de cero a infinito. Cons idere p r imero que K tien­de a cero. En ese l ímite, de acuerdo con (10.78), los ceros de 1 + T(s), los cuales son los polos de ¥í(s), son los ceros de

Qis) = O, (10.80)

y los polos de His) son, en consecuencia , los polos de T{s) porque T{s) = K{I'(s)/Q(s)). Considere ahora el caso opues to , donde A ' t i ende a infinito. E n ese l ímite , de acuerdo con (10.79) , los ceros de 1 + T(s) son los ceros de

P{s) = O (10.81)

y los polos de H ( Í ) son los ceros de T{s) (incluidos todos los ceros en infinito). Por lo tanto, los polos y ceros de la función transferencia de lazo son muy importantes en el análisis del sistema de lazo cerrado.

Cuando el factor de ganancia K se m u e v e desde cero hasta infinito, los polos del s is tema de lazo cerrado se mueven desde los polos de la función de transferencia de lazo hasta los ceros de esta mis ­m a función (algunos de los cuales quizá se encuent ren en infinito). Una gráfica del lugar geométrico de las raíces cor responde a las ubicaciones de los polos de lazo cerrado cuando el factor de ganancia K varía desde cero hasta infinito. El nombre lugar geométr ico de las raíces proviene de la ubicación (lugar geométr ico) de una raíz de 1 -I- T(s) cuando varía el factor de ganancia K.

Se examinarán pr imero dos e jemplos s imples del mé todo del lugar geométr ico de las raíces y des­pués se es tablecerán sus reglas generales vál idas para cualquier s istema. Considere p r imero un siste­m a cuya ganancia de trayectoria directa es

- 2 - 1

FIGURA 10.28

Lugar geométrico de las raíces de

l + T ( í ) = l + (7TTfciy

ÜÁs) = K

{s+ l)(.s + 2)

y cuya ganancia de trayectoria de re t roal imentación es

ms) = 1.

Entonces

lis) = K

(s + l){s + 2)

(10.82)

(10.83)

(10.84)

y la gráfica del lugar geométr ico de las raíces empieza en 5 = — 1 y s = —2, los polos de T ( í ) . Todos los ceros de T(j-) están en infinito y son a los que se aprox ima el lugar geomé­trico de las raíces cuando se incrementa el factor de K (figura 10.28).

Las raíces de 1 + T{s) son las de

(s + l)(s + 2) + K = s--3s + 2+ K = 0 (10.85)

y, median te la fórmula cuadrática, las raíces están en ( — 3 ± V l — 4K)/2. Para K = O se obtienen raíces en s = — 1 y j = —2. los polos de T(s). Para K = ^ se obt iene una doble raíz en Para K > ^ se obt ienen dos raíces conjugadas complejas cuyas partes imagi­narias van a más y menos infinito cuando K aumenta , pero cuyas partes reales pe rmanecen en —| . Pues to que este lugar geográfico de las raíces se ext iende hasta infinito en la d imen­sión imaginar ia con una parte real que s iempre ubica las raíces en el semiplano izquierdo, este s is tema es estable para cualquier valor de K.

Ahora se agrega un polo a la función de transferencia de trayectoria directa convir t ién­dola en ^

H i ( s ) = . (10.86)

(s + l)(s + 2){s + 3)

El nuevo lugar geométr ico de las raíces es el de las soluciones de la ecuación

+ 6s^ + lis + 6 + K ^ O

- 3 - 2 V i

FIGURA 10.29 Lugar geométrico de las raíces de

(10.87)

(figura 10.29). Este s is tema es inestable en o por arriba del valor de K para el cual dos r amas del lu­gar geomét r ico de las raíces cruzan el eje co. Por tanto, en este caso, un s is tema que es estable de la­zo abierto puede hacerse inestable ut i l izando retroal imentación. Es posible determinar el valor de K en el cual los polos cruzan hacia el semiplano derecho ut i l izando la prueba de Routh-Hurwi tz . La fun­ción de transferencia del s is tema es

His) = K

s^ + 6s^+ lls + 6+ K' (10.88)

y el arreglo de Rou th se ilustra en la figura 10.30. De m o d o que el valor crítico del parámet ro de la ganancia K es 60. Si éste es el caso, la expresión de la ganancia es

His) = K K

s^ + 6s^ + lis + 66 (s + 6)is + j-/Tl)is - jVTl) (10.89)

y se ve que hay dos polos s = ±j V T T en el eje co del p lano s. L a figura 10.31 ilustra a lgunas gráficas de lugares geométr icos de las raíces para diferentes nú­

meros y ubicaciones de los polos y ceros de 1 + Tis). Las reglas para graficar los lugares geométr i ­cos de las raíces son

1. Cada r ama del lugar geométr ico de las raíces empieza en un polo de T(s) y termina en un cero de Tis).

2. Cualquier porc ión del eje real para el cual la suma del número de polos reales y/o ceros reales a su derecha es impar es una parte del lugar geométr ico de las raíces .

3 . El lugar geométr ico de las raíces es s imétr ico con respecto al eje real .

D

D - 1 D - 2

D - 3

D - 4

I 6

60- K 6

6 + K

O

11 6 + K

O

O O

FIGURA 10.30 El arreglo de Routh para H( . ) = - '

p \ i /

\ FIGURA 10.31 Ejemplo de gráficas de lugares geométricos de las raíces.

CAP ITULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

Si el n ú m e r o de polos de 1{s) excede al número de ceros de T ( 5 ) por un entero m, entonces m ra­mas del lugar geométr ico de las raíces te rminan en ceros de T ( Í ) que se ubican en infinito. Cada una de estas ramas se aproxima a una asíntota de l ínea recta, y los ángulos de dichas asíntotas son hit/m, k = 1, 3 , 5 , . . . , con respecto al eje real posi t ivo e interceptan al eje real en la ubicac ión

CT = — (^2 polos finitos — ^ ceros f in i tos^ . (10.90)

La caja de herramientas de control de M A T L A B incluye un c o m a n d o para graficar el lugar geo­métr ico de las raíces de una función de transferencia del s istema. La sintaxis es r l o c u s { s y s ) , don­de s y s es un objeto de descr ipción de s is tema M A T L A B .

A N Á L I S I S D E L M A R G E N D E G A N A N C I A Y D E L M A R G E N D E F A S E D E L A E S T A B I L I D A D D E L S I S T E M A

En el diseño práct ico de sistemas re t roal imentados , en virtud de la incer t idumbre en el conoc imien to de a lgunos parámetros , por lo común se considera un margen de error, de manera que si las es t ima­ciones de a lgunos parámetros son un poco inexactas es pos ib le tener una garant ía razonable de que el s is tema sea estable. El análisis de los márgenes de ganancia y de fase const i tuyen dos métodos para examinar qué margen de error se t iene. Los anáüs is se efectúan median te la inspección de d iagramas de B o d e de la magni tud y fase de la función de transferencia de lazo de un s is tema re t roal imentado.

U n a manera de apreciar los resul tados del análisis del margen de ganancia o el de fase es imagi­nar que el s is tema re t roal imentado común con una ganancia de trayectoria directa de H j ( Í ) y una ga­nancia de t rayector ia re t roal imentada de H 2 ( Í ) t iene dos b loques adicionales en el lazo, u n o de ganancia y uno de fase (figura 10.32). El pr imero representa el factor mediante el cual la ganancia del s is tema podría ser errónea, y el segundo representa el ángulo median te el cual la fase del s is tema po­dría ser incorrecta. Por lo común no es difícil hacer los arreglos para insertar en un s is tema una ga­nancia arbitraria y dependiente de la frecuencia que compense el error de ganancia representado por el b loque K en la figura 10.32. Sin embargo , es una proposic ión m u y diferente insertar en un s is tema un desplazamiento de fase independiente de la frecuencia para compensar errores de fase. Por lo común el desplazamiento de fase de cualquier componen te de un sistema es una función de la frecuencia, n o una fase fija independiente de la frecuencia.

Se sabe que si un s is tema va a ser inestable, los ceros de 1 + T(s) en la gráfica del lugar g e o m é ­trico de las raíces deben cruzar al eje (ú del p lano 5 . Otra manera de decir lo m i s m o es que la inesta­bi l idad del s is tema ocurrirá si, para cualquier valor real de (£>,

T ( ; ( t í ) = - 1 . (10.91)

El n ú m e r o - 1 tiene una magni tud de uno y una fase de - T T rad. Por lo tanto, si, para cualquier fre­cuencia real co, la magni tud de la función de la transferencia de lazo es uno y la fase es — TT, el siste­m a es inestable porque puede oscilar a esa frecuencia.

Suponga que un s is tema re t roal imentado t iene la m i s m a función de transferencia de lazo de tres polos

Tis) = K

s^+6s^+ lis+ 6 (10.92)

H,(í)

Y ( i )

Uti l i zada en la discusión de los mé todos del lugar geométr ico de las raíces pero con un valor de pará­met ro de ganancia específico de K= 10. Su d iagrama de Bode se ilustra en la figura 10.33. El margen de ganancia es el factor por el cual la ganancia tendría que mult ipl icarse para hacer que la magni tud de la función de t ransferencia del lazo sea uno a la f recuencia a la cual la fase es — TT. Al obse rvar la

figura, el margen de gananc ia en este e jemplo es de casi 15.6 dB , que es equivalente a un factor de casi seis. (Se sabe del e jemplo del lugar geométr ico de las raíces que el factor es exac tamente seis.) El margen de fase es la diferencia entre la fase donde la magni tud de la transferencia de lazo es uno y una fase de — TT. Por lo tanto, es posi t ivo para s is temas estables y negat ivo para siste­mas inestables. El margen de fase en este e jemplo es casi -1-1.5 rad o alrededor de -^86°.

FIGURA 10.32 Sistema retroahmentado con un bloque de ganancias adicional y un bloque de fase adicional.

3 - 1 - 2

- 3

- 4

- 5

- 6

Margen de ganancia

ise Margen de f ise

10» 10'

FIGURA 10.33 Márgenes de ganancia y fase

para T{s} =

5 8 1

10.5 Análisis de sistemas retroalimentados

E R R O R E S D E S E G U I M I E N T O D E E S T A D O E S T A B L E E N S I S T E M A S R E T R O A L I M E N T A D O S D E G A N A N C I A U N I T A R I A

U n tipo m u y comtín de s is tema re t roal imentado es aquel cuyo propósi to es hacer que la señal de sali­da siga a la de entrada ut i l izando re t roal imentación de ganancia unitaria [ H J C Í ) = 1] (figura 10.34). Es­te tipo de sistema se denomina de ganancia unitaria po rque la señal de salida se compara s iempre de manera directa con la señal de entrada y, si existe cualquier diferencia (señal de error) , ésta se ampl i ­ficará med ian te la ganancia de trayectoria directa del s is tema en un intento por corregir la señal de sa­lida. Si la gananc ia de t rayectoria directa del s is tema es grande , eso fuerza a que la señal de error sea pequeña, hac iendo que las señales de salida y entrada sean más próx imas una a la otra. El que la se­ñal de error pueda forzarse o no a cero depende de la función de transferencia de trayectoria directa H | ( j ' ) y del t ipo de exci tación.

Es natural preguntarse en este punto cuál es el propósi to de un s is tema cuya señal de salida sea igual a su señal de entrada. ¿Qué es lo que se gana? Si el s is tema es un amplif icador electrónico y las señales son voltajes, se t iene una ganancia de voltaje de uno , pero la impedanc ia de entrada podr ía ser muy alta y el voltaje de respuesta podr ía ocasionar una impedanc ia m u y baja de m o d o que la poten­cia real, en watts , ent regada por la señal de salida sería m u c h o mayor que la potencia real a l imentada por la señal de entrada. En otros sistemas la señal de entrada podr ía ser u n voltaje ajustado median te un amplif icador de baja potencia o un potenc iómetro y la señal de salida podr ía corresponder a la po­sición de algiín gran disposi t ivo mecán ico c o m o una grúa, una p ieza de artillería o un te lescopio as­t ronómico. En este caso la función de transferencia de t rayectoria re t roal imentada puede tener una magni tud de uno, aunque eso podr ía significar 1 V para una posic ión de 1 m o alguna otra combina­ción de unidades . Es esta disimili tud de las unidades lo que permi te una ganancia de potencia real .

A cont inuación se determinará matemát icamente la namra leza del error de estado estable. El tér­mino estado estable se refiere en té rminos matemát icos al compor tamien to cuando el t i empo t iende a infinito. L a señal de error es

E ( í ) = X ( í ) - Y{s) = X(s) - H i ( í ) E ( í ) . (10.93)

Al despejar E ( í ) ,

Bis) = X{s)

1 + H i ( í ) (10.94)

Es posible determinar el valor de estado estable de la señal de error mediante el teore­ma del valor final.

X(í)- Hi(.v)

X{s) l ím e ( í ) — límsE(s) — líms .

FIGURA 10.34 (10 95) "^^ sistema retroalimentado de ganancia

unitaria.

S i s i e m a tipo O

y(í)

Sistema tipo 1

h-l(f)

* x(í)

/ y(í)

FIGURA 10.35 Respuestas del sistema tipo O y tipo 1 a un escalón.

Si la señal de ent rada es un escalón de la forma x(t) = Au(í) , entonces X{s) = 7 y

A l ím e ( í ) = l ím (10.96)

y hay un error de estado estable cero si límj^^o es cero. Si Hj(s) está en la forma familiar de un cociente de pol inomios en

ü i i s ) = BNS" + bN-is''^' + ••• + b2S^ + biS + fcp

(10.97)

entonces

l ím e(f) = l ím -« O

1 + b^,s^ + b^^is^-^ + • • • + b2S- + bis + bo üq + bo

D-l + + a2S^ + ais + üQ

(10.98)

y, si O Q = O y ¿>Q 7 ^ O, el error de estado estable es cero. Si = O, entonces Hj(s ) puede expresarse en la forma

H i ( 5 ) = bNs" + bN-is"^-^ + ••• + b2S- + biS + bQ

+ flij + a\) (10.99)

y es de inmedia to claro que H J ( Í ) t iene un polo en cero. As í que es posible resumir af i rmando que si un s is tema re t roal imentado de gananc ia unitaria estable tiene una función de transferencia de t rayec­toria directa con un polo en cero, el error de estado estable para una exci tación de escalón es cero. Si no hay polo en cero, el error de estado estable es aj ( Q Q + b^) y cuanto más grande es en compa­ración con GQ, tanto más pequeño es el error de estado estable. L o anterior t iene sentido desde otro punto de vista porque si la ganancia de trayectoria directa es de la forma (10.97) , la ganancia a baja frecuencia y lazo cerrado es bj(GQ -I- ¿ Q ) , la cual se aproxima a uno para b^ ^ AQ, lo que indica que las señales de entrada y salida se aproximan al m i s m o valor.

U n sistema retroalimentado de ganancia unitaria con una función de transferencia de trayectoria di­recta H j ( 5 ) que no tiene polos en cero recibe el nombre de sistema de tipo 0. Si tiene un polo en cero, el sistema es de tipo 1. En general, cualquier sistema retroahmentado de ganancia unitaria es de tipo n, don­de n es el niímero de polos en cero en H^is). En resumen, mediante el uso de la nueva terminología,

1. U n sis tema estable de t ipo O t iene un error de estado estable finito para la exci tación de escalón. 2. U n sis tema estable de t ipo n, ?í > 1, t iene un error de estado estable cero para la exci tación de es ­

calón.

L a figura 10.35 ilustra respuestas típicas de estado estable a exci taciones de escalón para s is temas de t ipo O y tipo 1.

A cont inuación se considerará una exci tación de r ampa x(í) = Atu{t) cuya t ransformada de La-place es X(s) = A/s~. El error de estado estable es

A l ím e ( r ) — l ím . t^oc s^Os[l + H i ( í ) ]

D e nuevo, si li^{s) es un cociente de pol inomios en s ,

1 1 l ím e(f) = l ím 77 r^—, ^ í^c» s^o s ¿ A Í I ' ^ - h ¿ Y V - I S + \-bjs^ + biS + bo

1

(10.100)

(10.101)

a¿ 3 í ^ -I- üD-is^ ' -I- • • • -f a2S^ + ais + üq

l ím e ( r ) = l ím + a2S + ais + ao

- o siaos'^ + ao-is"^-^ • • + a2S + üiS + ao

+ bNS^ + bN-iS^-^ + ••• + b2S^ + biS + bo]

Sistema tipo O Sistema tipo 1

h_2(í) h -2 ( ' )

Sistema tipo 2

FIGURA 10.36 Respuestas de sistemas de tipo O, 1 y 2 a una rampa.

Este límite depende de los valores de las a y b. Si O, el error de estado estable es infinito. Si = O y 7 O, el l ímite es a ¡ / ¿ Q lo cual indica que el error de estado estable es una constante distinta de cero. Si = O, = O y ¿JQ O, el error de estado estable es cero . L a condic ión = O y a, ^ O significa que hay un doble polo en cero en la función de transferencia de t rayectoria directa. As í que para un s is tema de t ipo 2, el error de estado estable para la exci tación de r ampa es cero. En resumen,

1. Un s is tema estable de tipo O tiene un error de estado estable infinito para la excitación de rampa. 2. Un s is tema estable de t ipo 1 t iene un error de estado estable finito para la exci tación de rampa . 3 . U n sistema estable de tipo n, n s 2, tiene un error de estado estable cero para la excitación de rampa.

La figura 10.36 ilustra respuestas de estado estable comunes a la exci tación de r ampa para s is temas de estado estable t ipo O, t ipo 1 y tipo 2.

Estos resul tados pueden extrapolarse a exci taciones de orden superior, [Afiu{t), Aí^u(r), e tc . ] . Cuando la potencia más alta de 5 en el denominador de la t ransformada de la exci tación es igual o in­ferior que el número de t ipo (O, 1, 2, etc.) del s is tema, el error de es tado estable es cero. Este resulta­do se i lustró con la función de transferencia de trayectoria directa en la forma de un cociente de po l inomios , aunque puede demos t ra r se que el resu l tado es vál ido pa ra cua lqu ie r forma de función de transferencia con base sólo en el n ú m e r o de polos en cero .

5 8 3

10.6 Reducción de diagramas de bloques y el teorema de Masón

10.6 REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES Y EL TEOREMA DE MASÓN

Algunos d iagramas de b loques del s is tema son grandes y compl icados , con muchos componen tes e in­terconexiones . M u c h a s veces resulta deseable encontrar una relación matemát ica entre una exci tación y una respuesta a partir del d iagrama de b loques . U n a manera de hacerlo es escribir todas las ecuacio­nes que relacionan las exci taciones y respuestas de los componen tes y resolverlas después con respec­to al cociente de la respuesta completa del sistema y su excitación. Sin embargo, hay otras dos maneras que son muy útiles en algunas situaciones y que proporcionan información sobre la operación del siste­ma: la reducción del d iagrama de b loques y el t eorema de Masón .

Ya se han visto ejemplos de la reducción de d iagramas de b loques cuando se encontró la función de transferencia equivalente para dos s is temas conectados en configuraciones en cascada, en paralelo o re t roal imentadas . Hay otras tres operaciones útiles que ayudan a reducir los d iagramas de b loques : desplazar el punto de desprendimiento , desplazar un sumador y combinar sumadores . La figura 10.37 ilustra c ó m o mover un punto de desprendimiento sin cambiar n inguna de las señales , la figura 10.38 mues t ra c ó m o move r un sumador sin cambiar n inguna de las señales y la f igura 10.39 ilustra c ó m o combinar dos sumadores .

C o m o un e jemplo del uso de la reducción de d iagramas de b loques considere el s is tema de la fi­gura 10.40. Pr imero se mueve el punto de desprendimiento que se hal la más a la izquierda, hacia la derecha del 10 (figura 10.41). L u e g o se desplaza el p r imer sumador hacia la derecha del b loque 1/s (figura 10.42). Después es posible combinar los dos sumadores en un sumador (figura 10.43). Es fac­tible combinar los dos b loques en paralelo \/s y 1 / 1 0 ( Í -I- 3) en un b loque .

1 lis + 30 1

5 ^ 1 0 ( 5 + 3) I0s(s + 3)

X(í) H(í) I - Y(s) = Xis) H Bis)

Xis) H h - > ( . )

Yis)

Xis)

Xis)- His) Yis) = Xis)-

Yis)

His)

Uis)

Yis)

Y(í)

F IGURA 10.37 Movimiento del punto de desprendimiento.

H ( 4 ) ) H ( 4 )

Yis) H(s)

" T "

Yis)

Xis) - H(i) -^Zis) = Xis) K +

Y(s)

FIGURA 10.38 Movimiento de un sumador.

Bis)

B-\s)

Yis)

• lis)

Z ( í )

X(.v) •

Yis)

FIGURA 10.39 Combinación de dos sumadores.

Zis)

W(í) = Xis) >-W(i)

Yis)

s +

Xis) • E H ± H 3 — W ~ s + 3

FIGURA 10.40 Un sistema que se va a reducir mediante técnicas de reducción del diagrama de bloques.

Y(.)

s +

Xis) • 10 1 1

H

) 1 1 Yis)

1 lOí.v + 3)

FIGURA 10.41 Primer paso de la reducción del diagrama de bloques.

XW- 10 1

s 10 1

s

3 sis + 8)

-

1

10(j + 3)

FIGURA 10.43 Tercer paso de la reducción del diagrama de bloques.

Yis)

Xis)- 10

sis + :

^

1 10(.s + 3)

F IGURA 10.42 Segundo paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis) 10 1lí + 30 tí 10 lOsis + 3)

sis +

FIGURA 10.44 Cuarto paso de la reducción del diagrama de bloques.

Yis)

Yis)

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

lU + 30 +( s(s + 3)

3

FIGURA 10.45 Quinto paso de la reducción del diagrama de bloques.

X(s) - Us + 30 s(s + 8) s(s + 3) + 8s + 3

Y ( 5 )

FIGURA 10.46 Y(i) Sexto paso de la reducción del diagrama

de bloques.

X ( 5 ) -(11.S + 30)(í + 8)

(s + 3)(í- + 8í + 3) Y(í)

FIGURA 10.47 Séptimo paso de la reducción del diagrama de bloques.

(figura 10.44). L u e g o se pueden combinar los dos b loques conectados en cascada 10 y (lis + 3 0 ) / 10s(s + 3) en un b loque (figura 10.45). L u e g o se reduce el lazo de re t roal imentación, median te la re­lación general deduc ida en la sección 10.4

H i ( í ) (10.102)

donde , en este caso , H j ( Í ) = 1 y ii~,{s) = 3/s{s + lazo re t roal imentado es entonces

1 + H i ( 5 ) H 2 ( í )

. La función de transferencia equivalente para el

H ( . ) = sjs + 8)

'2 + 8 í -F 3 (10.103)

(figura 10.46). Por úl t imo, es posible combinar estos dos s is temas en cascada en una función de t rans­ferencia comple ta (figura 10.47).

U n a manera al ternativa de determinar la ganancia comple ta de un s is tema es por med io del teo­r ema de Masón , que util iza las funciones de transferencia de todas las trayectorias desde la entrada del s is tema hasta la salida del m i s m o y las funciones de transferencia de lazo de los lazos de re t roal imen­tación en el s is tema. Cons idere que el número de trayectorias desde la entrada hasta la salida es A ^ y que el n ú m e r o de lazos re t roal imentados cor responde a A'^. Considere que P ¿ ( Í ) es la función de trans­ferencia de la i-ésima trayectoria desde la entrada hasta la salida y que T¡{s) es la función de transfe­rencia de lazo del / -ésimo lazo re t roal imentado. [La función de transferencia de lazo se define c o m o en (10.30) dada la suposición de polar idad de re t roal imentación negat iva. Si la polar idad es posit iva, se cambia el s igno de la t ransmisión del lazo.] Defina un determinante A{s) por

A{s) = 1 'Vi

+ J2 T , ( í ) T , ( í ) + J2 T , ( 5 ) T y ( í ) T , ( í ) + el lazq ¡'-ésimo y los lazos ¡-ésimo, el lazo j-ésimo no 7-ésimo y Á:-ésimo no

comparten una señal comparten una señal

(10.104)

El teorema de M a s ó n establece que la función de transferencia total del s is tema es

H ( . ) =

E P , ( í ) A , ( í ) ; = 1

Ais) (10.105)

donde A.¡{s) es igual que A{s) salvo porque se excluyen todos los lazos de re t roal imentación que com­parten una señal con la trayectoria /-ésima, P.(j) .

Es posible aplicar el t eorema de M a s ó n al s is tema de la figura 10.40. Hay dos trayectorias desde la entrada hasta la salida con funciones de transferencia

10 P i ( í ) = —

s P2(S) =

1

s + 3 (10.106)

10.6 Reducción de diagramas de bloques y el teorema de Masón

5 8 6 y hay un lazo de re t roal imentación. Por consiguiente , N^^ 2y Nj^= 1. Entonces

CAP ÍTULO 10 1 3 3

A.-.£ 5 s 06 ,a Ais) = 1 + = 1 + . (10.107) hansíomiada de Lapiace Í Í + 8 Í ( 5 + 8) de señales y sistemas

Puesto que el lazo de retroalimentación comparte una señal con ambas trayectorias, A^(s) = ¿^2'^s) = 1 y

H ( . ) = h = + + (10.108)

Ais) l+{3/isis + m

o, después de la simplificación,

^ ins + 30)/sis + 3) ^ (^ + 8 ) ( l l . + 30)

(í2 + 8í + 3 ) / í ( í + 8) is + 3)is'+ Ss + 3)

que es el m i s m o resul tado obtenido con el p roceso de reducción del d iagrama de bloques . La reducción del d iagrama de b loques también puede realizarse ut i l izando l a caja de her ramien­

tas de control de M A T L A B . Cuando dos sistemas se conectan en cascada, sus funciones de transfe­rencia se mult ipl ican y eso se real iza con el operador de sobrecarga * o el comando s e r i e s . Cuando dos s is temas se conectan en paralelo, se suman sus funciones de transferencia y eso se l leva a cabo con el operador de sobrecarga -1- o el comando p a r a l l e l . Cuando dos sistemas se conectan en un arreglo de re t roal imentación (con la suposición de re t roal imentación negat iva que se usa en este li­bro) , sus funciones de transferencia pueden combinarse con el c o m a n d o f e e d b a c k . La sintaxis del c o m a n d o f e e d b a c k es

sys = feedback(sysl,sys2)

donde s y s l es la descr ipción del s is tema de la t rayectoria directa y s y s 2 es la descr ipción del siste­m a de la t rayectoria re t roal imentada. Por e jemplo,

»H1 = tf([1 0],[1 3 2]) ; »H2 = tf(1,[1 0]) ; »H = feedback(H1,H2) ; »H1 Transfer function:

s 3-^2 + 3 s + 2 »H2 Transfer function: 1

3

»H Transfer function:

s' 2 s^3 + 3 s' 2 + 3 s

Observe que la descripción del último sistema, aunque correcta, no es la mejor forma porque el numerador y el denominador podrían dividirse ambos entre 5 para simplificar la expresión. El comando m i n r e a l (realización mínima) en la caja de herramientas de control de M A T L A B lleva a cabo dicha operación.

»minreal(H) Transfer function:

3

s' 2 + 3 3 + 3

ElEMPl O 1 0 . 3

Encuentre la función de transferencia del sistema de la figura 10.48 mediante la reducción del diagrama de blo­ques y el teorema de Masón.

• S o l u c i ó n

Reducción del diagrama de bloques: es posible mover el punto de desprendimiento correspondiente al bloque s/{s + 1) hacia la derecha, más allá del segundo bloque 1/5 (figura 10.49). Después puede reducirse el lazo de retroalimentación interior que incluye a 6 / ( i -I- 2) en un solo bloque (figura 10.50). Es viable combinar algunos bloques en cascada (figura 10.51) y luego reducir el lazo de retroalimentación restante en un solo bloque (figura 10.52). Por tíltimo, se combinan los dos bloques en paralelo en un solo bloque (figura 10.53).

Teorema de Masan: hay dos trayectorias desde la entrada hasta la salida.

5 8 7

10.6 Reducción de diagramas de bloques y el teorema de Masón

P , ( í ) = 1 0 y P , ( 5 ) = 4 -s-

Se tienen dos lazos de retroalimentación con funciones de transferencia de lazo

1 6 T i ( í ) =

s + 1 T2( í ) =

sis + 2)

(10.110)

(10.111)

Estos dos lazos de retroalimentación comparten una señal comirn. Entonces, de acuerdo con el teoreina de Masón,

(10.112) 1 6 A(s) = 1 + r + s + \ sis + 2)

Xis)-

10

FIGURA 10.48 Un sistema.

s + 1

6

1 i + 2

Yis) Xis)-

10

.V + 2

s + 1

Yis)

FIGURA 10.49 Primer paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis)-

10

.; + 2 s^ + 2í + 6

.s + 1

Yis)

FIGURA 10.50 Segundo paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis)-

10 10

l ^ s + 2

1 ->

i + 1

Yis)

FIGURA 10.51 Tercer paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis)-

10

is + l)(i + 2) sis^ + 4s- + 10.S + 6) -Yis)

FIGURA 10.52 Cuarto paso de la reducción del diagrama de bloques.

Xis)- 10 (.V + 1 ) (5 + 2) sis^ + 4.V- + lOi -I- 6) Yis)

FIGURA 10.53 IJltimo paso de la reducción del diagrama de bloques.

A , ( í ) = A ( i ) y A 2 ( í ) = l . CAP ITULO 10 Análisis de la transformada de Laplace Entonces la función de transferencia es de señales y sistemas

^ 10[1 + ( l / ( ^ + D) + {6/s{s + 2 ) ) ] + a/s^) l + ( l / ( í + l ) ) + ( 6 A ( í + 2 ) )

o, después de la simplificación,

= 10 + l + ( l / ( í + l)) + ( 6 A ( í + 2 ) )

H(s) = 10-(^ + l ) (^ + 2) + 4 ^ 2 + lOí + 6 ) '

(10.113)

(10.114)

(10.115)

10.7 RESPUESTAS DEL SISTEMA A SEÑALES ESTÁNDAR Se ha visto en el análisis previo de señales y s is temas que un s is tema LIT está comple tamen te carac­ter izado por su respuesta al impulso . Aunque eso resulta cierto, es útil , para propósi tos pedagógicos , analizar la respuesta a a lgunas otras señales estándar, sobre todo al escalón unitario y a la senoide apli­cada de manera repentina.

R E S P U E S T A A L E S C A L Ó N U N I T A R I O

Sea la función de transferencia de un s is tema LIT de la forma

N ( J ) U(s) =

D ( 5 ) ' (10.116)

donde N{s) es de un grado menor en s que D ( í ) . En ese caso la t ransformada de Laplace de la respues­ta Y{s) a una exci tación cuya t ransformada de Laplace es X{s) es

(10.117)

Sea la exci tación un escalón unitar io. Entonces la t ransformada de Laplace de la respuesta es

N ( í ) Y ( . ) = H _ i ( í ) = (10.118)

Si se utiliza la técnica de expansión en fracciones parciales, la ecuación puede dividirse en dos términos

(10.119) Y ( s ) = + — , D{s) s

donde K = H(0) . Si el s is tema es estable, todas las raíces de D(s) están en el semiplano izquierdo abierto y la t ransformada de Laplace inversa de Nj(5 ' ) /D(í ) recibe el nombre de respuesta transitoria porque decae hasta cero cuando el t i empo t t iende a infinito. De m o d o que la respuesta de es tado es­table del s is tema a una exci tación de escalón unitario es la t ransformada de Laplace inversa de H ( 0 ) / 5 que es H(0)u(f). La expresión

Y ( . ) = ^ + ^ Dis) s

(10.120)

t iene dos términos . El pr imer té rmino tiene polos que son idénticos a los del s is tema, y el segundo tie­ne un polo en la m i s m a posic ión que la t ransformada de Laplace de la exci tación de escalón unitar io.

Es posible general izar este resul tado para una exci tación arbitraria. Si la t ransformada de Lapla­ce de la exci tación es

X(s) = N,-(5)

(10.121)

entonces la t ransformada de Laplace de la respuesta del s is tema es

D ( 5 ) D{s) DAs) Dis) D v ( 5 )

mismos polos mismos polos que el que la

sistema excitación

5 8 9

10.7 Respuestas del (10.122) sistema a señales

estándar

A cont inuación se examinará la respues ta al escalón unitario de a lgunos sistemas s imples . El más simple es el de pr imer orden cuya función de transferencia es de la forma

E(s) = l-is/p)

(10.123)

donde A es la ganancia a baja frecuencia del s is tema y p es la ubicación del polo en el p lano s. L a t ransformada de Laplace de la respuesta al escalón es

Y ( 5 ) = H _ i ( í ) = A/p

{l-(s/p))s l-is/p)

Si se aplica la t ransformada de Laplace inversa,

y ( í ) = A ( l - e ' " ) u ( r ) .

A

s

A

s s - p (10.124)

(10.125)

Si p es posit iva, el s is tema es inestable y la magiü tud de la respuesta al escalón unitario crece de ma­nera exponencia l con el t i empo (figura 10.54).

La velocidad del incremento exponencia l depende de la magni tud de p, y es mayor para una m a g ­nitud de p más grande. Si p es negat iva, el s is tema es estable y la respuesta t iende a una constante A con el t i empo. La velocidad de la aproximación a A depende de la magni tud de p, y es más grande pa­ra una magni tud mayor de p. El rec íproco negat ivo de p se l lama constante de tiempo T del s is tema.

1

P' (10.126)

y, para un s is tema estable, la respuesta a un escalón unitario se mueve 63.2 por ciento de la distancia hasta el valor final en un t i empo igual a una constante de t i empo.

Cons idere ahora un s is tema de segundo orden cuya función de transferencia es de la forma

H ( í ) = Aíúl

S^ + lliüQS CÜQ > 0. (10.127)

Sistemas inestables Sistemas estables y(0 = h,i(í) y(í) = h^i(f)

++ -4 - 2

[ 1

1 2 3 4 i I i i -3 -1

I I I I > o 1 2 3 4

FIGURA 10.54 Respuestas de un sistema de primer orden a una excitación de escalón unitario y los correspondientes diagramas de ceros y polos.

5 9 0 Es ta forma de una función de transferencia de s is tema de segundo orden t iene tres parámet ros , la ga-CAP ÍTULO 10 nancia de baja frecuencia A, el factor de amor t iguamiento C y la frecuencia resonante en radianes sub-A-áiisis de la amor t iguada COQ. L a forma de la respuesta al escalón unitario depende de los valores de estos :ransformada de Laplace parámet ros . L a respuesta de escalón unitario del s is tema es de señales y sistemas

Y ( 5 ) = H _ , ( í ) = Acü5

+ 2l,tí>os +

L o anterior puede expandirse en fracciones parciales (si ± 1) c o m o

(10.128)

Yis) = A 'l_ ^ 1 / 2 ( ^ 2 - 1 + ^ 7 ^ ^ ) ^ \ / 2 { e - \ - l ^ í ^ y

(10.129)

L a respues ta en el dominio del t i empo es entonces

- » „ ( í + v ^ ) ' y(0 = A + + 1

2 { V - - í + 'íVV^) 2 { V - - \ - í V í ^ ^

Para el caso especial de ^ = ± 1 , la respuesta al escalón unitario del s is tema es

Yis) = H _ i ( í ) =

u(í). (10.130)

( 5 ± coo)^ '

los dos polos son idént icos, la expansión en fracciones parciales es

±Wo 1

(10.131)

Yis) = A ( j - ± cúo)' Í Í M O J '

y la respuesta en el domin io del t i empo cor responde a

1 - (1 +ü)or )e -™'" l - ( l - t ó o f ) e + " ° '

y ( 0 = A [ l - (1 ± (ooí)e^""']u(í) - A u ( r ) í = 1

(10.132)

(10.133)

Es difícil, al sólo examinar la forma funcional matemát ica de la respuesta al escalón unitario, de­terminar de inmedia to c ó m o se verá la respues ta a la función escalón unitario para una elección arbi­traria de los parámetros . Para explorar el efecto de los parámetros se fijarán pr imero A y Wq c o m o constantes y se examinará el efecto del factor de amor t iguamien to ^. Sea A = 1 y Wg = 1. En ese ca­so la respuesta al escalón unitario y los correspondientes d iagramas de polos-ceros se ilustran en la fi­gura 10.55 pa ra seis e lecciones de l,.

Puede verse por qué ocurren estos diferentes tipos de compor tamien to si se examina la respuesta al escalón unitario

y(í) = h_i(r) = A ^ - w o ( t + V £ - - ' ) '

+ + 1 u(í), (10.134)

en part icular los exponentes de -^oil i v % ^ - T ) í . Los signos de las partes reales de estos expo­nentes determinan si la respuesta crece o d isminuye con el t iempo t > 0. Para t iempos , í < O la res­pues ta es cero debido al escalón unitario u(f).

Caso 1 ^ < 0. Si ^ < O, entonces el exponente de e en ambos términos de (10.134) t iene u n a par­te real posi t iva para t i empo posi t ivo y la respuesta al escalón crece en consecuencia con el t i empo y el s is tema es inestable. La forma exacta de la respuesta al escalón unitario depende del valor de i. E s ­to es una s imple exponencia l creciente para ^ < — 1 y una senoide que crece exponenc ia lmente para — 1 < ^ < 0. Sin embargo , en cualquier forma el s is tema es inestable.

y(r) = h^,(r) y(0 = h_i(í)

( I F IGURA 10.55 Respuestas de un sistema de se­gundo orden a un escalón unitario y los diagramas de polos y ceros correspondientes.

Caso 2 ^ > 0. Si t > O, entonces el exponente de e en ambos términos de (10.134) t iene una par­te real negat iva para t i empo posi t ivo y la respuesta al escalón, en consecuencia , d i sminuye con el t i empo y el s is tema es estable.

Caso 2a. L > 1. Si C > U entonces C" - 1 > O y los coeficientes de r en (10.134), - ü ) o ( £ ± ^1} - l)f , son ambos números reales negat ivos y la respuesta al escalón uni tar io está en la forma de una constante más la suma de dos exponencia les que d isminuyen. Este caso ^ > 1, recibe el nombre de caso sobreamortigiiado. Caso 2b. O < ^ < 1. Si < t < 1- entonces - 1 < O y los coeficientes de t en (10.134) , —coo(^ ± ^fi^^^^)t, son ambos números complejos en un par conjugado comple jo con partes reales negat ivas , y la respuesta al escalón unitario está en la forma de una constante más la suma de dos senoides mult ipl icada por una exponencia l decreciente . A u n cuando la respuesta "osci la" o se sobredispara, s igue fijando un valor constante y es , en consecuencia , la respuesta de un sis­t ema estable. Este caso, O < ^ < 1, se denomina caso subamortiguado. Caso 2c. ^ = 1. L a l ínea divisoria entre los casos sobreamor t iguado y subamor t iguado es el ca­so ^ = 1. Es ta condic ión recibe el nombre de amortiguamiento crítico.

A cont inuación se examinará el efecto de cambiar WQ mientras se mant ienen constantes los demás parámetros . Sea A = 1 y £ = 0.5. L a respuesta al escalón se ilustra en la figura 10.56 para tres valo­res de C O Q . Pues to que WQ es la frecuencia resonante en radianes no amort iguada , es lógico que ésta afectaría la rapidez de oscilación de la respuesta al escalón. La respuesta de cualquier s is tema a una exci tación de escalón puede determinarse ut i l izando el comando s t e p de la caja de her ramientas de control de M A T L A B .

y(f) = h_i(r)

CÜQ = 1 «o = 0-5 (Oo = 0.2

F IGURA 10.56 Respuesta de un sistema de se­gundo orden para tres valores diferentes de coq y los diagra­mas de polos y ceros corres­pondientes.

5 9 2 R E S P U E S T A A U N A S E N O I D E A P L I C A D A D E M A N E R A R E P E N T I N A

A continuación se examina la respuesta de un sistema a otro tipo estándar de excitación: una senoide ajal­eada de manera repentina. D e nuevo considere que la función de transferencia del sistema es de la fonna

H ( s ) = N ( ^ )

(10 .135 .

Entonces la respuesta a un coseno C O S ( C 0 Q 0 U ( Í ) de amplitud unitaria aplicado de manera repentina sería

Yis) = Nis)

Dis)s^ + oi¡'

Éste puede separarse en fracciones parciales de la forma

Y(s)= N i ( ^ ) ^ l H ( - 7 ü 3 o ) ^ 1 H( j a )o ) ^ Nijs) ^ 1 H*(703o) ^ 1 H Q Q )

Dis) 2 s + j 'wo 2s - j w o Dis) 2 s + J C O Q 2 S - JMQ

(10 .136 .

(10 .137 .

^ N i ( í ) 1 H*( ;coo) ( í - icüo) + H( ;coo) (5 + jcúo) Yis) = — — + - Y ~ ~ 2

D(j-) 2 5^ -H cü5

N i ( s ) 1 , ' J H ( j c ü o ) + H ' ( j cüo ) ] + J H ( j c o o ) - H*(jü)o)] [ (10.138i

N i ( í ) 5 tón Y ( í ) = + R e ( H ( j ( o o ) ) ^ ^ - I m ( H ( 7 « o ) ) ^ ^ D ( 5 ) 5^ + Wñ

La t ransformada de Laplace inversa del té rmino R e ( H ( J C O Q ) ) 5 / ( Í 2 + wo) es un coseno en COQ con una ampli tud de Re(H(;cüQ)), y la t ransformada de Laplace inversa del término Im ( H ( J ( O Q ) ) C O Q / ( Í ^ -f 0 0 5 ) .

es un seno en WQ con una ampli tud de Im(H(jWQ)). Esto es,

y ( 0 = JO -1 N i ( ^ )

D(5 ) + [ R e ( H ( j w o ) ) cos(woO - I m ( H ( j W Q ) ) sen(woO] u ( í ) (10.139)

o, median te R e ( A ) cos(wor) - I m ( A ) sen((üoí) = | A | C O S ( C L ) O ? + ¿ A ) ,

yit) = c - I N i ( £ )

D(s) | H ( j w o ) | c o s ( w o f + Z H ( j c ü o ) ) u ( 0 . (10.140)

Si el s is tema es estable, las raíces de Dis) es tán todas en el semiplano izquierdo abierto y la transfor­m a d a de Laplace inversa de N^{s)/(Dis), la respuesta transitoria, d i sminuye hasta cero cuando el t iem­po t t iende a infinito. Por lo tanto, la respuesta de estado estable que persiste después de que la respuesta transistoria se ha ext inguido es una senoide de la m i s m a frecuencia que la exci tación y con una ampli tud y fase de terminadas por la función de transferencia evaluada en Í = J ' C O Q . La respuesta de es tado estable es exac tamente la m i s m a que se obtovo median te los métodos de Fourier pues esto supone que la exci tación es una verdadera senoide, no una senoide aplicada de manera repentina, y, por consiguiente , no hay respuesta transitoria en la solución.

E,JE.\IPLO 10.4

Determine la respuesta total de un sistema caracterizado por la función de transferencia

10 H ( í ) =

j + 10

a un coseno de amplitud unitaria aplicado de manera repentina a una frecuencia de 2 Hz.

(10.141)

• SOLUCIÓN

La frecuencia en radianes WQ de la excitación es 4TT. Por lo tanto, la transforma­da de Laplace de la respuesta es

10 í Y(j) =

5 -h 10 í2 + (4TT)2

- 0 . 3 8 8 i cüo Y(s) = + R e ( H ( j 4 ^ ) ) - I m ( H ( y 4 ^ ) ) —

s + 10 í2 + (4TT)2 FIGURA 10.57

(10 142) Excitación y respuesta de un sistema de primer orden ex­citado mediante un coseno aplicado de manera repentina.

y la respuesta en el dominio del tíempo corresponde a

y(í) = / - 0 . 3 8 8

W + 10 + | / / ( J 4 T T ) | COS(4TTÍ + ¿H{J4TI)) U(Í ) (10.143)

y ( 0 = - 0 . 3 8 8 í ' " " " + 10

J4TT + 10 cos(4Trí - ¿(j4-n + 10)) U ( Í )

y(í) = [ -0 .388*--"" + 0.623 COS(4TTÍ - 0.899)]u(í) .

Esta respuesta se ilustra en la figura 10.57. Al observar la gráfica se ve que la respuesta parece alcanzar el esta­do estable en menos de Is. Esto resulta razonable dado que la respuesta transitoria tiene una constante de tiem­po de una décima de segundo. Después de que la respuesta alcanza el estado estable, su amplitud es casi 62 por ciento de la amplitud de excitación y su fase se recorre de manera que está retrasada con respecto a la excitación en casi un desplazamiento de fase de 52° que es equivalente a un retraso en el tiempo de 72 ms.

Si se resuelve con respecto a la respuesta del sistema utilizando métodos de Fourier, se escribe la función de transferencia como

10 H ( » = -

jcü -I- 10

Si se hace que la excitación del sistema sea un coseno (no un coseno aplicado repentinamente), ésta es

x(f) = COS(4TTÍ)

> su TFTC es

X( jCü) = -77 [8(CÜ - 4 -17) + 8(CÜ + 4 - 7 7 ) ] .

Entonces la respuesta del sistema es igual a

1 0 Y( jco) = 77 [8((Ü - 4-17) -I- 8(CO -i- 4-IT)] = lO-rr

jü) + 10

8(CO - 4T7) 8((j) + 4T7) + lj4-ñ+\0 - J 4 T 7 + 1 0 J

(10.144)

(10.145)

(10.146)

(10.147)

Y(7üj) = 10-77 10 [8(w - 4 -77) -I- 8(cü -I- 4-17)1 + 74-77 [8(OJ + 4 -77) - 8(CÜ - 4 - 7 7 ) ]

16-77- -I- 100

Al aplicar la transformada de Fourier inversa,

y(r) = 0.388 cos(4-i7r) + 0.487 sen(4T7r)

. utilizando

Re(A) cos(cúoí) - Im(A) sen(wor) = |-4| cos( ( joo?

y{t) = 0.623 cos(4T7f - 0.899).

(10.148)

(10.149)

(10.150)

Ésta es exactamente igual que la parte de la respuesta de estado estable de la solución anterior, la cual se deter­minó utilizando transformadas de Laplace, después de que se había extinguido la respuesta transitoria. _

w 5 9 4 10.8 DIAGRAMAS DE POLOS-CEROS Y CÁLCULO GRÁFICO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

Sea g(í) una función en el dominio del t iempo cuya transformada de Laplace tiene todos sus polos en el semiplano izquierdo abierto. Considere que la transformada de Laplace de g(r) es G(í). Entonces la trans­formada de Fourier de g(f) es G(joii). La transformada de Laplace de la respuesta al impulso h(f) de un sistema LIT es la función de transferencia de frecuencia compleja His) y la transformada de Fourier es la función de transferencia de frecuencia real H ( j ü ) ) . La variación de H ( j w) con la frecuencia en radia­nes cü también recibe el nombre de respuesta en frecuencia del sistema. Por lo tanto, la respuesta en fre­cuencia de un sistema estable puede obtenerse directamente de la función de transferencia en el dominio de Laplace dejando que s sea j(x>. Si se prefiere la forma de la frecuencia cíclica, s implemente es

Hfif) = Hijlirf). (10.151)

[El s u b í n d i c e / a p a r e c e porque H ^ y H son dos funciones diferentes, esto es, H ^ ( / ) H ( / ) . ] En la práctica, el t ipo más c o m ú n de función de transferencia es aquel que puede expresarse co­

m o un cociente de pol inomios en s.

His) -N(5)

D{s)'

Este t ipo de función de transferencia s iempre puede factorizarse en la f o n n a

iS-Zl)iS-Z2)---iS-ZN) His) = A

is - pi)is - pi) •• - is - Pd)

(10.152)

(10.153)

s = - 3

FIGURA 10.58 Diagrama de polos y ceros para H(í) = jfj.

Para graficar la respuesta en frecuencia, considere que 5 está restr ingida a j w, donde w es real. Lo anterior puede concebirse gráf icamente imaginando que s varía sólo a lo largo del eje imaginar io del p lano Í . En ese caso la respuesta en frecuencia del s is tema es

s = o Hijw) = A

ij<^ - Zl)ijOi - Zl)--- (JM - ZN)

(jco - p i ) ( ; w - pi) • • • ijíú - Pd) (10.154)

Para ilustrar una interpretación gráfica de este resul tado con un e jemplo considere que la función de transferencia es

His) = (10.1551 s + 3

Esta función de transferencia t iene un cero en j = O y un polo en Í = —3 (figura 10.58». Al convert i r la función de transferencia en una respuesta en frecuencia.

H ( j c o ) = 3 -JCÜ

(10.1561

La respuesta en frecuencia es tres veces el cociente de jcü entre jcü-I-3. El numaa-

dor y el denominador se conciben como vectores en el plano s como se ilustra en b

figura 10.59 para una elección arbitraria de co. Cuando se cambia la frecuencia cü, t ambién cambian los vectores . L a mag­

nitud de la respuesta en frecuencia a cualquier frecuencia part icular es tres vece»

la m a g n i m d del vector numerador dividida entre la magni tud del \ 'ector denoai-

nador.

| H ( » | = 3 IjcoI

l j w + 3 | (II

FIGURA 10.59 Diagrama que muestra los vectores jco y + 3.

L a fase de la respuesta en frecuencia a cualquier frecuencia particular es b l

de la constante + 3 (que ev iden temente es cero) , más la fase de niuneíadarj

(una constante tt/2 rad para frecuencias posi t ivas y una constante — — 2»i

para frecuencias negat ivas) menos la fase del denominador ju) - 3.

Z H ( j w ) = Z3 +¿JM - ¿ijia + 3).

=0

(10.158)

A frecuencias que t ienden a cero desde el lado posi t ivo, la longi tud del vector numerador t iende a cero y la longitud del vector denominador se aprox ima a un valor mín imo de tres, lo que hace que la magni tud de la respuesta en frecuencia comple ta t ienda a cero . En ese m i s m o límite, la fase de es TT/2 rad y la fase de jco + 3 t ienden a cero, por lo que la fase de la respuesta en frecuencia total se aproxima a 1 7 / 2 rad,

| H ( 7 w ) | = l ím 3 . ' ^ " ^ L = O (10.159) l ím

5 9 5

10.8 Diagramas de poios-ceros y cálculo gráfico de la respuesta en frecuencia

TT IT l ím Z H ( / a ) ) = l ím Z /oa - l ím Z ( / C Ü + 3) = O = —.

(10.160)

A frecuencias que t ienden a cero desde el lado negat ivo, la longitud del vector numerador t iende a ce­ro y la longitud del vector denominador se aprox ima a un valor mín imo de tres, lo que hace que la magni tud de la respuesta en frecuencia total t ienda a cero, c o m o antes. E n ese m i s m o l ímite, las fases de j'cü es - ( T T / 2 ) rad y de joa + 3 t ienden a cero, por lo que la fase de la respuesta en frecuencia total t iende a - (TT/2) rad.

l ím | H ( ; w ) | = lím 3 -m^O- co^O- | 7 C Ü - | - 3 |

= O (10.161)

TT TT l ím ZH(;cü) = lím ¿JM - l ím Z ( j w - | -3 ) = 0 = .

m->o- M^o- ü)-»0" 2 2 (10.162)

A frecuencias que vienen del infinito posit ivo, las dos longitudes de los vectores se aproximan al mismo valor y la magni tud de la respuesta en frecuencia total t iende a tres. En ese m i s m o límite, las fa­ses de 7 ü) es TT/2 rad y d e j w + 3 t ienden a TT/2 rad, de manera que la fase de la respuesta en frecuen­cia total t iende a cero.

l ím | H ( j c o ) | = lím 3 ^ 3 m-^+oc 0¡^+0C \ju> + 3 |

(10.163)

l ím ZH(jcú) = l ím Zj'co - l ím ¿(jcú + 3) TT

9

TT

2 0. (10.164)

A frecuencias que se aproximan desde infinito negat ivo, las longi tudes de los dos vectores se aproximan al m i s m o valor y la magni tud de la respuesta en frecuencia total se aprox ima a tres, c o m o antes. En ese m i s m o límite, las fases de j ' w es - ( T T / 2 ) rad y de j w -I- 3 t ienden a - ( T T / 2 ) rad, por lo que la fase de la respuesta en frecuencia total t iende a cero .

l ím |H( jco) i = lím 3 = 3 M^-OO M^-DO IJCÜ -I- 3 |

(10.165)

l ím ZH(jco) = l ím Z ; C Ú - l ím Z(yü)-h 3) = - — - ( - — ) = 0. (10.166)

Estos atributos de la respuesta en frecuencia inferidos a partir de la gráfica de polos-ceros se confirman median te la gráfica de la respuesta en frecuencia de la magni tud y la fase (figura 10.60).

Encuentre la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia de un sistema cuya función de transferencia es

s- + 2s + n

s'- + 4s + 104 (10.167)

|H(7(o)|

CMPfnJLOlO Anáfesisdeia transformada de Laplace de señales y sistemas

FIGURA 10.60 Respuestas en frecuencia de la magnitud y la fase de un sistema cuya función de transferencia es H{s) = j ^ .

Fase de H(;io) TT 2 -

1 T 1 > -20

2

1 ' 20

p, X - - 10 - Q

i5 - 6

Z, o - - 4

1 1 1 1 1

- 2

1 1 - 1 0 - 8

1 1 1 - 6 - 4 - 2

1 ' 2

- - 2 Zi o- - - 4

- - 6 _ Q

Pl X -

6

- - 1 0

• S o l u c i ó n

Esta expresión se puede factorizar como

H( í ) = ( i + 1 - j 4 ) ( í + 1 + j4)

(10.168) is + 2-jlO)is + 2 + jlQ)

de modo que los polos y los ceros de esta función de transferencia son

j , = - 1 + j 4 j : , = - 1 - ; 4 • (10.169)

y

p^ = -2 + jl0 = _ 2 - j l 0 (10.170)

como se ilustra en la figura 10.61. Al convertir la función de transferencia a una respuesta en frecuencia, (j(ú + 1 - j 4 ) 0 + 1 + j 4 )

H( j (ü ) = ijw + 2- 7 1 0 ) 0 + 2 -f ; 1 0 ) '

(10.171)

F IGURA 10, Diagrama de H(5) =

61 polos y ceros de

La magnitud de la respuesta en frecuencia a cualquier frecuencia particular es el producto de las magnitudes del vector numerador divididas entre el producto de las magnitudes del vector denominador.

1 H ( » | = IjM + 1 - j4\ + 1 + j4[

\ju) + 2 - j\0\ |j(o + 2-h ;10r (10.172)

| H ( » |

2.2536 -

La fase de la respuesta en frecuencia a cualquier frecuencia particular es la suma de los ángulos del vector del numerador menos la suma de los ángulos del vector del denominador,

ZH(;(ü) = ¿ijiü + 1 - j4) + ¿ijw + 1 -f- j4) - [¿(jco + 2- j\0) + ¿(jco + 2 + j\0)]. (10.173)

Esta función de transferencia no tiene polos o ceros sobre el eje w. Por consi­guiente, su respuesta en frecuencia no es ni cero ni infinita a ninguna frecuen­cia real. Sin embargo, los polos y ceros están cerca del eje w y, debido a esa proximidad, influyen fuertemente en la respuesta en frecuencia de las frecuen­cias reales cercanas a esos polos y ceros. Para una frecuencia real oj cerca del polo P j . el factor denominador jm + 2 — jlO se vuelve muy pequeño y eso ha­ce que la magnitud total de la respuesta en frecuencia se vuelva muy grande. De manera inversa, para una frecuencia real tü, cerca del cero Zj, el factor del numerador J C Ü + 1 — j4 se vuelve muy pequeño y también la magnitud total de la respuesta en frecuencia. De tal modo, no sólo la magnitud de la respuesta en frecuencia va a cero en los ceros y a infinito en los polos, sino que se vuelve pequeña cerca de los ceros así como grande cerca de los polos.

La magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia se ilustra en la fi­gura 10.62. La respuesta en frecuencia puede granearse utilizando el co­mando b o d e , de la caja de herramientas de control de MATLAB, y los diagramas de polos-ceros pueden graficarse utilizando el comando pzinap. ^

1

- 4 0

1

• ' I !• -

- 1 0 - 4

Fase de

- 1 0 - 4

1 - | 4 10

H O )

1—^ 40

1" - 4 0

— — — 1 1^

- I T -

1 1 4 10

1 * 40

FIGURA 10.62 Respuesta en frecuencia de la magnitud y la fase de un sistema cuya función de transferencia es H(5) = J+^+m-

Al usar este concepto gráfico para interpretar las gráficas de polos-ceros es posible, con la práctica, percibir de manera aproximada cómo se ve la respuesta en frecuencia. Hay un aspecto de la función de transferen­cia que no es evidente en la gráfica de polos-ceros. La ganancia A inde­pendiente de la frecuencia no tiene efecto sobre la gráfica de polos-ceros

y, en consecuencia, no puede determinarse con sólo observarla. Sin embargo, todo el comportamiento di­námico del sistema es determinable a partir de la gráfica de polos-ceros, hasta una constante de ganancia.

Otra forma de ver la relación entre las local izaciones de polos y ceros y la respuesta en frecuen­cia consiste en graficar la magni tud de la función de transferencia c o m o una superficie sobre el p lano s complejo . Por e jemplo, la función de transferencia

s^ + 2s + 17

s^ + 4s + 104 (10.174)

en el e jemplo 10.5 tendría la gráfica de la figura 10.63. Los polos y ceros y su influencia sobre la m a g ­ni tud de la respuesta en frecuencia se observan c laramente en esta figura. (Las gráficas están incom­pletas cerca de los polos y ceros porque la magni tud de la función de transferencia en decibeles t iende a más o menos infinito en esas posiciones.)

10.9 Filtros Butterwortt)

10.9 FILTROS BUTTERWORTH En el capítulo 8 se exploró la respuesta en frecuencia de filtros ideales y práct icos de varios típos. U n t ipo m u y popular es el filtro But terworth . U n filtro But terwor th pasabajas de orden enés imo tiene una función de transferencia cuya magni tud al cuadrado es de la forma

I H O ) ! ^ = 1

1 + ( cü /w, )2« ' (10.175)

El filtro But terwor th pasabajas se diseña para ser m á x i m a m e n t e plano en frecuencias dentro de su ban­da de paso , w < w^, lo que significa que su variación con la frecuencia en la banda de paso es m o n o -tónica y tiende a una der ivada cero cuando la frecuencia se aprox ima a cero. La figura 10.64 ilustra la respuesta en frecuencia de un filtro But terworth pasabajas con una frecuencia de corte de = 1 para cuatro órdenes diferentes n.

El filtro Butterworth pasabajas es interesante en el esmdio de las transformadas de Laplace porque sus polos se ubican sobre un semicírculo en el semiplano izquierdo abierto cuyo radio es w ,, como se ilustra en la figura 10.65. El número de polos es w y el espaciamiento angular entre polos es siempre TT/n. Si n es impar, hay un polo sobre el eje real negativo y todos los demás polos ocurren en pares conjuga­dos complejos. Si n es par, todos los polos ocurren en pares conjugados complejos. Con base en estas propiedades, siempre es posible determinar la función de transferencia de un filtro Butterworth.

L a caja de herramientas de señales de M A T L A B tiene funciones para diseñar filtros But terworth en T C . L a función de M A T L A B l lamada

[ z , p , k ] = b u t t a p ( N ) ;

devuelve los ceros finitos en el vector z, los polos finitos en el vector p y la ganancia en el escalar k pa­ra el filtro pasabajas Butterworth de ganancia unitaria y orden n con una frecuencia de corte = 1.

Í H ( » |

- 2 0 "

FIGURA 10.63 Gráfica de superficie de la magnitud de H ( Í ) = . en decibeles.

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1

FIGURA 10.64 Respuestas en frecuencia de la magnitud del filtro Butterworth pasabajas para una frecuencia de esquina co = 1 y cuatro órde­nes diferentes.

= 1 J

/ 1

¡

\ \

n = 2

X

-90°

X

I 60'

60'

(Desde luego, c o m o ya se vio, no hay ce­ros finitos en una función de transferencia de filtro Butterworth, por lo que z siem­pre es un vector vacío y, pues to que el fil­tro es de ganancia unitaiia, k s iempre es 1. Los ceros y la ganancia se incluyen en los datos que se producen debido a que esta forma de datos producidos se usa pa­ra más que sólo filtros Butterworth. Para otro tipos de filtro quizá haya ceros fini­tos y la ganancia no sea uno.)

Es natural preguntar en este punto có­m o utilizar la información que produce M A T L A B para diseñar un filtro cuya frecuencia de corte no sea = 1 o c ó m o diseñar filtros Butter­worth pasabanda, pasaal tas o supresores de banda . U n a vez que se ha d iseñado un filtro But terworth pasabajas de de te rminado orden con una frecuencia de corte w , = 1, la convers ión de ese filtro a otra forma es s implemente cuest ión de una t ransformación de la variable de frecuencia, lo cual es el t ema de la sección 10.10.

F IGURA 10.65 Localización de los polos del filtro Butterworth pasabajas.

10.10 TRANSFORMACIONES EN FRECUENCIA

U n a t écn ica de d i seño m u y comiín y úti l c o r r e s p o n d e a d i seña r u n a función de t rans fe renc ia so ­b re u n a base n o r m a l i z a d a y luego d e s n o r m a l i z a r l a p a r a c u m p l i r r e q u e r i m i e n t o s e spec í f i cos . E s t o se h a c e p o r q u e el d i s e ñ o de fi l tros n o r m a l i z a d o s es n u m é r i c a m e n t e m á s s imple que el de fi l tros gene ra l e s y la d e s n o r m a l i z a c i ó n es un p r o c e s o d i rec to u n a vez que se c o m p l e t a el d i seño n o r m a ­l i z ado . L o s f i l t ros B u t t e r w o r t h de la s ecc ión 10.9 c o n s t i t u y e n un b u e n e j e m p l o de es te t ipo de d i s e ñ o . M A T L A B (y m u c h o s l ibros sobre d i seño de fi l tros) p e r m i t e n d i s eña r con r ap idez y faci­l idad un filtro Butterworth pasabajas de orden n con ganancia unitaria y frecuencia de corte w . = 1. D e s n o r m a l i z a r la g a n a n c i a hac i a u n a de ca rác te r no un i ta r io es t r ivial p u e s t o que imp l i ca s imp le ­m e n t e el c a m b i o de coef ic ien te de la gananc i a . E! c a m b i o de la f recuenc ia de cor te o del t ipo de fi l tro es un p o c o más c o m p l e j o .

Para cambiar de una frecuencia de corte en radianes unitaria = 1 a una frecuencia de corte ge­neral # 1, se realiza la transformación de la variable independiente Í — > s/u>^.. Por ejemplo, un filtro Butterworth normalizado de ganancia unitaria y de primer orden tiene una función de transferencia

H ( 5 ) = 1

Si se desea move r la frecuencia de corte a = 10, la nueva función de transferencia es

1 10 H , o ( s ) = U(s)

l + (s/W) s + \0

(10.176)

(10.177)

Esta es la función de transferencia de un filtro pasabajas de ganancia unitaria con una frecuencia de corte en radianes w , = 10.

El poder real del proceso de t ransformación se observa al conver t i r un filtro pasabajas en uno pa­saaltas. Si se efectúa la t ransformación s l/s, entonces

H H P ( 5 ) = H ( 5 ) | , _ 1

\+il/s) s + 1 (10.178)

donde Hj^p(í) es la función de transferencia de un filtro But terworth pasaal tas de ganancia unitaria de pr imer orden con una frecuencia de corte = 1. También es posible efectuar ambas t ransformacio­nes en forma s imul tánea al t ransformar s —>• w^/s .

A d e m á s , se puede t ransformar un filtro pasabajas en uno pasabanda efectuando el cambio

(10.179)

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

donde es la frecuencia de corte posi t iva inferior del filtro pasabanda y es la frecuencia de corte 5 9 9 posit iva superior. Por e jemplo, considere que se va a diseñar un filtro pasabanda de gananc ia uni tar ia . |o_ . |q Transformaáones

de pr imer orden con una banda de paso desde w = 100 a 200 (figura 10.66). en frecuencia

1 H B P ( 5 ) = H ( í ) l . -

» ( S 2 + A ) ; . Ü ) H ) / S ( M H - M ¿ ) , 9 I \ I 1

{S^ + (Í>L(X,H)/S{(JÍH - WL) + 1

Si se simplifica y se insertan valores numér icos ,

lOOí H B P ( Í ) =

lOOí

s-

(10.180)

(10.181) 100^ + 20 000 ( 5 + 50 + ; 1 3 2 . 2 ) ( 5 + 5 0 - J 1 3 2 . 2 )

Por último, es posible transformar un filtro pasabajas en uno supresor de banda con la transformación

S((£>H - Wi) (10.182)

M A T L A B tiene comandos para la t ransformación en frecuencia de filtros normal izados . Éstos son

l p 2 b p Transformación de filtro analógico pasabajas a pasabanda. I p 2 b s Transformación de filtro analógico pasabajas a supresor de banda . I p 2 h p Transformación de filtro analógico pasabajas a pasaal tas . l p 2 l p Transformación de filtro analógico pasabajas a pasabajas.

L a sintaxis para l p 2 b p es

[ n u m t , d e n t ] = l p 2 b p ( n u m , d e n , w O , b w )

donde n u m t , d e n t = vectores de coeficientes de s en el numerador y el denominador , respect i ­vamente , de la función de transferencia normal izada del filtro pasabajas

wO = frecuencia central de la frecuencia en radianes del filtro pasabanda bw = ancho de banda de frecuencia en radianes del filtro pasabanda

n u m , d e n = vectores de coeficientes de 5 en el numerador y denominador , respect iva­mente , de la función de transferencia del filtro pasabanda

La sintaxis de cada uno de los demás comandos es similar. C o m o ejemplo, es posible diseñar un filtro But terwor th pasabajas n o r m a h z a d o con b u t t a p .

»[z,p,k] = buttap(3) ; »z z =

»p p =

-0.5000 -1.0000 -0.5000

O . 8660Í

0.8660Í » k

k =

Este resul tado indica que un filtro But te rwor th pasabajas nor­mal izado de tercer orden t iene la función de t ransferencia

H L P ( 5 ) = 1

(s + l ) ( í + 0.5 + ; 0 . 8 6 6 ) ( 5 + 0.5 - ; 0 . 8 6 6 )

(10.183)

Es pos ib le conver t i r es to en u n coc ien te de p o l i n o m i o s ut i l i ­zando los c o m a n d o s de objeto del s i s tema de M A T L A B .

- 1 000

FIGURA 10.66 Respuesta en frecuencia de la magnitud de un filtro Butterworth pasabanda de primer orden y ganancia unitaria.

»[num,den] = tfdata(zpk{z,p,k),'v') ; »num

CAP ÍTULO 10 Análisis de la num = transformada de Laplace de señales y sistemas 0 0 0 1

»den den =

1.0000 2.0000 + O.OOOOi 2.0000 + O.OOOOi 1.0000 + O.OOOOi

El resultado indica que la función de transferencia pasabajas normalizada también puede escribirse como

1 H L P ( 5 ) = -

í 3 + + 2 í + 1 (10.184)

Con base en este resul tado es factible t ransformar este filtro pasabajas normal izado en un filtro pasa-banda desnormal izado.

»[numt,dent] = lp2bp(num,den,8,2) ; »numt

numt =

Columns 1 through 4 O 0.0000 ~ O.OOOOi 0.0000 - O.OOOOi 8.0000 -O.OOOOi

Columns 5 through 7 0.0000 - O.OOOOi 0.0000 - O.OOOOi 0.0000 - O.OOOOi

»dent dent =

l.Oe+05 * Columns 1 through 4 0.0000 0.0000 + O.OOOOi 0.0020 + O.OOOOi 0.0052 + O.OOOOi

Columns 5 through 7 0.1280 + O.OOOOi 0.1638 + O.OOOOi 2.6214 - O.OOOOi

»bpf = tf(numt,dent) ; »bpf

Transfer function: 1.542e-14 s-'B + 2.32e-13 s"4 + 8 s- B + 3 . 644e-ll s' 2 + 9.789e-ll s

+

9 . 952e-10

s-"6 + 4 s"5 + 200 s^4 + 520 s' B + 1.28e04 s^2 + 1.638e04 s + 2.621e05

Este resul tado indica que la función de transferencia del filtro pasabanda puede escribirse c o m o o 3

H R P ( Í ) = : (10 .185. + 4^5 + 200^4 + 520s3 + 12 800^2 + 16 3 8 0 í + 26 2100

(Los coeficientes dist intos de cero ex t remadamente pequeños en el numerador de la función de trans­ferencia presentada por M A T L A B son el resul tado de errores de redondeo en los cálculos de este mis­m o p rograma y se han ignorado. Observe que no aparecen en numt.)

10.11 DISEÑO DE FILTROS ANALÓGICOS CON MATLAB A c a b a de verse c ó m o es posible utilizar el comando b u t t a p de M A T L A B para diseñar un filtro But­terworth normal izado y c ó m o desnormal izar lo en otros filtros But terworth . Hay varios comandos más de M A T L A B que son útiles en el diseño de filtros analógicos . E n total son otros cuatro comandos : " . . . a p " , c h e b l a p , c h e b 2 a p , e l l i p a p y b e s s e l a p , los que diseñan filtros analógicos normal i ­zados de t ipos ópt imos además del filtro But terworth . Los otros tipos de filtros analógicos ópt imos son el Chebyshev, el filtro elíptico y el filtro Bessel . Cada uno de ellos mejora el desempeño de acuer­do con un criterio diferente.

El filtro Chebyshev es similar al Butterworth, pero tiene un grado de libertad adicional en el dise­ño. El But terworth se denomina máximamente plano porque es monotónico en la banda de paso y en la banda de supresión y se aprox ima a la respuesta plana en la banda de paso cuando aumenta el orden. Hay dos tipos de filtro de Chebyshev, el t ipo uno tiene una respuesta en frecuencia que no es mono tó -nica en la banda de paso , aunque sí lo es en la banda de supresión. Su respuesta en frecuencia hace ri­zo en la banda de paso. La presencia del r izo en la banda de paso suele no ser deseable, pero permite la transición de la banda de paso a la banda de supresión de manera más rápida que en el caso de un filtro But terworth del m i s m o orden. En otras palabras, se intercambia la caractenst ica plana de la ban­da de paso por una banda de transición más estrecha. Cuanto más rizo se permite en la banda de paso, es posible tener una banda de transición más estrecha. El filtro de Chebyshev t ipo dos es exactamente el opuesto. Tiene una banda de paso monotónica y rizo en la banda de supresión y, para el mismo orden de filtro, también permite una banda de transición más estrecha que un filtro Butterworth.

El filtro elíptico t iene rizo tanto en la banda de paso c o m o en la de supresión y, para el m i s m o or­den de filtro, t iene incluso una banda de transición más es t recha que cualquiera de los dos t ipos de fil­tros Chebychev . El filtro Besse l se mejora en una forma diferente , se efectúa para la l ineal idad de la fase en la banda de paso más que para la respuesta de magn imd plana en la banda de paso y/o en la banda de supresión o para una banda de transición estrecha.

La sintaxis correspondiente a estos diseños de futro analógico normalizado se indica a continuación.

[ z , p , k ] = c h e b l a p ( N , R p ) ; [ z , p , k ] = c h e b 2 a p ( N , R s ) ; [ z , p , k ] = e l l i p a p ( N , R p , R s ) ; [ z , p , k ] = b e s s e l a p { N ) ;

donde N = orden del filtro Rp = rizo permisible en la banda de paso , dB R s = rizo permisible en la banda de supresión, dB

U n a vez que se ha d i señado el filtro, es posible encontrar su respuesta en frecuencia ut i l izando ya sea b o d e , que se presentó antes , o f r e q s . La función f r e q s tiene la sintaxis

H = f r e q s ( n u m , d e n , w ) ;

donde H es un vector de respuestas en los puntos de frecuencia en radianes reales en el vector w, y num y d e n son vectores que cont ienen los coeficientes de s en el numerador y el denominador , respect iva­mente , de la función de transferencia del filtro.

6 0 1

10.11 Diseño de filtros analógicos con MATLAB

Utilice MATLAB para diseñar un filtro Butterworth pasabajas normalizado de cuarto orden, transfórmelo en un filtro supresor de banda desnormalizado con frecuencias de corte de 55 y 65 Hz y luego compare su respuesta en frecuencia con un filtro supresor de banda Chebychev de tipo 1 del mismo orden y frecuencias de corte y con rizo permisible en la banda de paso de 0.3 dB.

E,iE.\íPL<) 10.6

• S o l u c i ó n

% D i s e ñ o B u t t e r w o r t h % Se d i s e ñ a u n f i l t r o p a s a b a j a s B u t t e r w o r t h d e c u a r t o o r d e n n o r m a l i z a d o y % s e a s i g n a n l o s c e r o s , p o l o s y l a g a n a n c i a e n z b , p b y k b .

[ z b , p b , k b ] = b u t t a p ( 4 ) ;

% Se u s a n l a s h e r r a m i e n t a s d e MATLAB p a r a o b t e n e r l o s v e c t o r e s d e c o e f i -% c i e n t e s d e l n u m e r a d o r y d e l d e n o m i n a d o r , numb y d e n b .

|H(j2T7/) | Chebyshev

FIGURA 10.67 Comparación de las respuestas en frecuencia de la magnitud Butterworth y Chebyshev.

[nu tnb ,denb] = t f d a t a (zpk ( z b . p b , kb) , ' v ' ) ; % Se f i j a l a f r e c u e n c i a c e n t r a l c í c l i c a y e l a r . c h : % d e b a n d a y l u e g o l a f r e c u e n c i a c e n t r a l e n r a d i a r . e s % y e l a n c h o d e b a n d a c o r r e s p o n d i e n t e s . fO = 60 ; fbw = 10 ; wO = 2 * p i * f 0 ; wbw = 2*pi*fbv.- ; % Se d e s n o r m a l i z a e l f i l t r o B u t t e r w o r t h p a s a b a j a s a:z % u n B u t t e r w o r t h % s u p r e s o r d e b a n d a c o n u n a s u p r e s i ó n d e b a n d a e n r r e % 55 y 65 H z . [ n u m b s b , d e n b s b ] = l p 2 b s ( n u m b , d e n b , w O , w b w ) ; % Se c r e a u n v e c t o r d e f r e c u e n c i a s c í c l i c a s p a r a % u t i l i z a r s e e n l a % g r a f i c a c i ó n d e l a r e s p u e s t a e n f r e c u e n c i a d e l % f i l t r o . L u e g o s e c r e a u n % v e c t o r d e f r e c u e n c i a e n r a d i a n e s c o r r e s p o n d i e n t e y % s e c a l c u l a l a r e s p u e s t a % e n f r e c u e n c i a . wbsb = 2 * p i * [ 4 0 : O . 2 : 8 0 ] ' ; Hbsb = f r e q s ( n u m b s b , d e n b s b , w b s b ) ;

% D i s e ñ o C h e b y s h e v % Se d i s e ñ a u n f i l t r o p a s a b a j a s C h e b y s h e v d e t i p o u n o d e c u a r t o o r d e n y % n o r m a l i z a d o y s e a s i g n a n l o s c e r o s , p o l o s y g a n a n c i a s e n z c , p e y k c . [ z c , p c , k c ] = c h e b l a p ( 4 , O . 3) ; wc = wb ,-% Se u s a n l a s h e r r a m i e n t a s d e l s i s t e m a d e MATLAB p a r a o b t e n e r l o s v e c t o r e í % d e c o e f i c i e n t e s d e l n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r , numc y d e n c . [ n u m c , d e n c ] = t f d a t a (zpk ( z c , p c , k c , ' v ' ,-% Se d e s n o r m a l i z a e l f i l t r o C h e b y s h e v p a s a b a j a s e n % u n o C h e b y s h e v s u p r e s o r d e b a n d a c o n u n a s u p r e s i ó n % d e b a n d a e n t r e 55 y 65 H z . [ n u m b s c , d e n b s c ] = l p 2 b s ( n u m c , d e n c , w O , w b w ) ; % S e u s a e l m i s m o v e c t o r d e f r e c u e n c i a e n r a d i a n e s % q u e s e e m p l e ó e n e l d i s e ñ o B u t t e r w o r t h y s e % c a l c u l a r e s p u e s t a e n f r e c u e n c i a d e l f i l t r o s u p r e s o r % d e b a n d a C h e b y s h e v . wbs = wbsb ; Hbsc = f r e q s ( n u m b s c , d e n b s c , w b s c ) ;

La magnitud de las respuestas en frecuencia se comparan en la figura 10.67. Observe que el filtro Butter­worth es monotónico en las bandas de paso mientras que el de Chebyshev no lo es, aunque este último tiene ur.¿ pendiente más pronunciada en la transición entre la banda de paso y las bandas de supresión, así como una ate­nuación supresora de banda un poco mejor _

10.12 REALIZACIONES ESTÁNDAR DE SISTEMAS El proceso del diseño de sis temas, en oposición al análisis de s is temas, consiste en formular una fun­ción de transferencia deseada para una clase de exci taciones que produce una respuesta o respuestas deseadas . U n a vez que se ha encont rado la función de transferencia deseada el s iguiente paso lógico es construir en realidad, o quizá simular, el s is tema. El pr imer paso en la construcción o simulación del s is tema corresponde a formar un d iagrama de bloques que describa la interacción entre todas las señales . Es te paso se denomina realización y surge del concepto de hacer un s is tema real en vez de sólo un conjunto de ecuaciones que descr iban su compor tamien to . Hay varios t ipos estándar de reali­zaciones de s is temas. A q u í se invest igarán tres de el los.

L a pr imera real ización de sistemas estándar se denomina c o m ú n m e n t e la forma canónica o direc­ta. Es posible llevarla a cabo de manera directa a partir de la forma general de una función de trans­ferencia c o m o el cociente de dos po l inomios .

H ( í ) = Yjs)

X ( í )

N

N

k=0

bMS^ + bN-is'^-^ + --- + bis + bo

5 ' ^ + a,\i-]S'^^^ + • • • + a[S + ao ÜN = 1 (10.1861

para un s is tema descr i to por med io de una ecuac ión diferencial de orden A^-ésimo. A q u í los órdenes nomina les del numerador y el denominador se suponen iguales a A'. (Si el orden del numerador es

X . 0 - Y As) • Hjis) = + ' ' / V - I Í ' ^ " ' + - + bfS + bo

FIGURA 10.68 Un sistema concebido como dos sistemas en cascada.

menor que N, en tonces a lguno de los coeficientes b de orden superior será cero.) La función de trans­ferencia puede considerarse c o m o el p roducto de dos funciones de transferencia,

H , ( 5 ) = Yi(^)

X{s)

1

• a]S + ao (10.187)

Y(s) H 2 ( s ) = - Y z = bNs'' + bN-is"-' + --- + biS+bo (10.188)

(figura 1 0 . 6 8 ) , donde la respuesta del pr imer s is tema Y^(s) es la exci tación del segundo sistema. Es posible dibujar un d iagrama de bloques de H j ( 5 ) si se reescr iben ( 1 0 . 1 8 7 ) c o m o

X(s) = [s'' + üN-is''-^

X(s) = s"Yiis) + aN-iS^-^Yiis) + ••• + a,sY,{s) + aoYiis)

aiS + ao]Yi(s) (10.189)

(10.190)

s"Yi(s) = X(s) - [aN-is^-'Yds) + ••• + a^sYiis) + aoYds)] (10.191)

(figura 1 0 . 6 9 ) . Ahora es factible sintetizar de inmedia to la respuesta total Yis) c o m o una combinac ión lineal de las distintas potencias de s que mult ipl ican a Y j ( í ) (figura 1 0 . 7 0 ) .

La segunda real ización de s is temas estándar es la forma en cascada. El numerador y el denomi­nador de la forma de la función de transferencia general

His) =

N

Y(s) r (•?) _ k=0

X ( 5 ) ~ D

^s^ + bN-is^-^ + bis +bo

5 « + a B _ , í ^ - i + • • • + a\s + ao « o = 1 , (10.192)

donde N ^ D, se factoriza y p roduce una expresión de la función de transferencia de la forma

S — Z\ S — Z2 S — Zj\ 1 1 1 Uis) = A-

s - pi s - p2 s - pn s - pn+1 S - pn+2 S - pd (10.193)

+^s^Y,(s)

" V ~ l

FIGURA 10.69 Reaüzación de Hj(i).

s^Yiis)

«2

sYiis) Yiis)

10.12 Realizaciones estándar de sistemas

e o 4

CAPmJLO 10 Análisis de la transfonnada de Laplace de señales y sistemas

X ( s ) -

• O .

h tí 4- Y(í)

Y,(s)

FIGURA 10.70 Realización completa del sistema canónico.

Cualquiera de las fracciones componen tes Y^(s)/X^(í) = (S - 2 ^ / ( 5 - pj^) o Y^(í)/X^(5) = l/{s - p^) representa un subsis tema que puede realizarse escr ibiendo la relación c o m o

Hi.( í ) = í - Pk

Hi2(s)

(10.194)

s - Pk

y real izándolo c o m o un s is tema canónico (figura 10.71). L u e g o el s is tema original comple to puede realizarse en forma de cascada (figura 10.72).

En ocasiones surge un p rob lema con este t ipo de real ización en cascada. A veces los subsis temas de pr imer orden t ienen polos complejos . Éstos necesi tan mult ipl icarse por ntimeros complejos y eso muchas veces no puede efectuarse en una s imulación de sistema. E n tales casos es necesar io combi ­nar dos subsis temas con dos polos conjugados complejos en un subs is tema de segundo orden de la forma

Ukis) = s + bo

s- + ais + ao

que puede realizarse con coeficientes reales (figura 10.73).

(10.195)

1

r - Ykis) Xi.(s) -

FIGURA 10.71 Realización canónica de un solo subsistema en la realización en cascada.

Pk

-pk -pk

-P2 -P2

FIGURA 10.72 Realización del sistema en cascada completo.

X ( 5 )

FIGURA 10.73 Subsistema de segundo orden en forma estándar.

-PD-1 -PD-1 -PD -PD

+ ) ^ Y(í)

L a últ ima real ización estándar es en paralelo. Puede llevarse a cabo expandiendo la forma de la función de transferencia están­dar (10.95) en fracciones parciales de la forma

H ( 5 ) = + K2

+ • • • + S — p\ S — P2 s - PD

(10.196)

X{s)-

-P2

-PD

FIGURA 10.74 Realización completa del sistema en paralelo.

(figura 1 0 . 7 4 ) .

Cuando los sistemas se s imulan median te mé todos compu-tacionales, la forma de la real ización del s is tema tiene un efecto en la precisión, y a veces en la estabil idad, de la real ización. Ha­blando en términos generales , las real izaciones en cascada y en paralelo son m e n o s sensibles a errores de redondeo en los cálcu­los efectuados en la s imulación que en la real ización canónica . Es ­to se debe bás icamente a que los cálculos en las real izaciones en cascada y en paralelo se encuent ran más local izados, por lo que hay m e n o s probabi l idad de que un error numér ico en una ubica­ción se p ropague a múlt iples lugares adicionales .

10.13 ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS EN EL ESPACIO DE ESTADOS

La mayor parte de los análisis hasta ahora han sido de sistemas re la t ivamente s imples, con una entra­da y una salida. A s í debe ser porque el en tendimiento del análisis de señales y s is temas debe construir­se a partir de conceptos simples hasta otros más compl icados . Ahora se cuenta con las herramientas necesarias para abordar sistemas en T C más grandes. (Después de que se invest igue la t ransformada z en el capítulo 11, se contará con las her ramientas para abordar sistemas en T D más grandes.) El aná­lisis de sistemas grandes puede volverse con rapidez m u y tedioso y propenso a errores debido al ta­maño del s is tema de ecuaciones que se necesi ta para describirlo y al número de manipulac iones algebraicas requer ido para encontrar una solución a dichas ecuaciones . Por lo tanto, es necesar io for­mular a lgunos procedimientos sis temáticos que permi tan resolver grandes s is temas y encontrar solu­ciones sin errores y sin dedicarles cant idades extraordinarias de t iempo. Un mé todo m u y popular para analizar grandes sistemas es a través del análisis de variables de estado. U n conjunto de variables de estado es un grupo de señales en un s is tema que jun to con la exci tación del s is tema determina por comple to el estado de este m i s m o en cualquier t iempo futuro. Considere el caso del filtro pasabajas RC. Se necesi ta conocer el voltaje inicial del capaci tor para resolver con respecto a la constante arbitraria y obtener una solución exacta para el voltaje de respuesta futuro. En el circuito RLC es necesario tanto

• Y(í)

6 0 6 el voltaje inicial del capacitor c o m o la corriente inicial del inductor. El voltaje del capaci tor y la co-CAP ÍTULO 10 r r iente del inductor son e jemplos s imples de variables de estado. Sus valores definen por comple to el Análisis de la es tado (o condiciones) del s is tema en cualquier t iempo. U n a vez que se conocen, jun to con la d inámi-transformada de Laplace c a del s is tema y las exci taciones, es posible calcular cualquier cosa que interese conocer en cualquier de señales y sistemas t i empo futuro.

Todo s is tema tiene un orden. El orden de un s is tema es igual que el número de variables de esta­do necesar ias para establecer de manera única su estado. Si el s is tema se describe mediante una ecua­ción diferencial o en diferencias, su orden es el m i s m o que el de la ecuación. Si el s is tema se descr ibe median te múlt iples ecuaciones independientes , su orden es la suma de los órdenes de las ecuaciones . El n ú m e r o de variables de estado que requiere un s is tema fija el t amaño del vector de estado y, en con­secuencia, el número de d imensiones en el espacio de estados que es jus to un ejemplo específico de un espacio vectorial. Entonces el estado del sistema puede conceptualizarse como una posición en el espa­cio de es tados . La t e rmino log ía c o m ú n es q u e en tan to el s i s t ema r e s p o n d a a sus exc i t ac iones , el es tado del s is tema sigue una trayectoria a través de ese espacio.

Las variables de estado de los sistemas no son únicas. Una persona podría elegir un conjunto y otra elegiría otro y ambos podrían ser correctos y completos. Sin embargo, en muchos casos existe un conjun­to de variables de estado que es más conveniente que cualquier otro para algunos propósitos de análisis.

E l análisis de las variables de estado t iene las siguientes característ icas deseables :

1. Reduce la probabi l idad de errores de análisis al hacer s is temático el proceso. 2. Descr ibe todas las señales importantes del sistema, tanto internas c o m o externas. 3 . Ofrece información sobre la d inámica del s is tema y puede ayudar a mejorar el diseño del m i smo . 4. Es posible formularlo a través de métodos matriciales y, cuando eso se hace, el es tado del siste­

m a y las respuestas del m i s m o pueden describirse median te dos ecuaciones matriciales. 5. Cuando se combinan las técnicas de análisis de variables de estado con las de t ransformación, se

obt iene una hen-amienta más poderosa para el análisis de sistemas compl icados .

Para introducir las técnicas del análisis del espacio de estados se empezará apl icándolas a un sis­t ema m u y simple: un circuito RLC en paralelo (figura 10.75). Considere que la exci tación se des igna c o m o la corriente en el puerto de entrada i^^it) y que las respuestas se designan c o m o el voltaje en el puer to de salida y^J.t) y la corriente a través del resistor i^(í). Al sumar las corrientes que salen y en­tran del nodo superior, se obt iene

G v , , i ( í ) + ^ j Vsai(X) d\ + Cv ; , ,(0 = ie„(r) (10.197)

ie„(í)

D o n d e G = líR. La anterior es una ecuación integrodiferencial . Podr ía diferenciarse con respecto al t i empo y formar una ecuación diferencial de segundo orden. Por lo tanto, se trata de un s is tema de se­gundo orden.

En vez de tratar de resolver de inmedia to la ecuación del s is tema en su forma presente se refor-mula rá la información que cont iene. Se identifica el voltaje del capaci tor V(-.(í) y la corriente del in­ductor ij(t) c o m o variables de estado. La descr ipción de variables de estado estándar de un s is tema tíene dos conjuntos de ecuaciones : las del s is tema y las de salida. Las ecuaciones del s is tema se escri­ben en forma estándar. Cada una t iene la der ivada de una variable de estado en el lado izquierdo y al­guna combinac ión lineal de las variables de estado y las exci taciones en el lado derecho. C o n base en la ley de O h m , las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de definición para inductores y capaci tores es posible escribir las ecuaciones del s is tema

Vsal(0

i ¿ ( f ) = | v c ( f )

1

c c c

(10.198)

(10.199)

FIGURA 10.75 Circuito RLC en paralelo.

Las ecuaciones de salida expresan las respuestas c o m o combinac iones l ineales de las variables de estado. En este caso serían

V s a l ( í ) = V c ( f ) (10.200)

ÍR{t) = G v c ( í ) .

Las ecuaciones del s is tema pueden reformularse en una forma de matr iz estándar c o m o

. v c ( f ) . o 1 /L

- d / C ) - ( G / C ) " ÍL(0 " _l_ 0

. V c ( í ) . [ien(í)] : (10.202)

y las ecuaciones de salida se escr iben en una forma de matr iz es tándar como

Vsal(0

i«(0

O 1 o G v c ( í ) + [Íen(0] . (10.203)

Las variables de es tado se asemejan bas tante a respuestas . La dist inción entre variables de estado y respuestas proviene sólo de la forma en que se usan. Las variables de estado son un conjunto de se­ñales del s is tema que descr ibe por comple to el es tado del m i smo . Las respuestas de un s is tema son las señales que se des ignan de manera arbitraria c o m o respuestas para cualquier propósi to de diseño del s is tema que pueda tenerse en cualquier análisis de sistemas particular. U n a variable de estado también puede ser una respuesta. Sin embargo, incluso si ima variable de estado y una respuesta son iguales en el análisis de un sistema particular, en las formas de ecuaciones de espacio de estado estándar se les han da­do nombres independientes, sólo para ser s is temáticos. Eso quizá parezca un desperdicio de t iempo, pe­ro en el análisis de grandes sistemas es una buena idea y puede evitar errores de análisis.

La formulación de las variables de estado de las ecuaciones del s is tema hace el proceso de dibu­ja r una real ización del d iagrama de b loques de un s is tema m u y fácil y s is temático. En este e jemplo el d iagrama de bloques del s is tema puede dibujarse de manera directa a partir de las ecuaciones del mis ­m o c o m o se ilustra en la figura 10.76.

Se hará referencia al vector de las variables de estado c o m o q(í), el vector de exci tación c o m o x(t) y el vector de respuestas c o m o y(t). L a matr iz que mult ipl ica a q(í) en las ecuaciones del s is tema (10.202) recibe en forma convencional el n o m b r e A, y la matr iz que mult ipl ica a x(?) en la ecuación del s is tema se denomina B. L a matr iz que mult ipl ica a q(r) en la ecuación de salida (10.203) se deno­mina C, y la matr iz que mult ipl ica a x(f) en la ecuación de salida se denomina D. Median te la nota­ción es posible escribir la ecuación del s is tema matricial c o m o

q ' ( í) = A q ( 0 + Bx ( r ) (10.204)

donde, en este caso .

q(r) =

A =

B =

í l ( 0 v c ( 0

O 1/L - d / C ) - ( G / C )

O 1 / C

X(í) = [ien(0]

i¿(r)

1 c 1 c

ient(í) • Ve (O

y se puede escribir la ecuación para las respuestas c o m o

FIGURA 10.76 Diagrama de bloques del sistema de variables de estado

y ( í ) = C q ( í ) + D x ( í ) (10.205) ¿el circuito RLC en paralelo.

• Vsal(0

-ír(0

n o 2011 Análisis de señales y sistemas en el espacio de estados

608 donde, en este caso.

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

y ( 0 =

c =

VsalCO = vector de respuestas

1 G

D =

(La ecuación para la respuesta recibe el nombre de ecuación de salida.) Sin importar qué tan compl i ­cado pueda ser el sistema, con la asignación adecuada de los vectores y matr ices de variable de esta­do, el s is tema y las ecuaciones de salida de los s is temas L I T s iempre pueden escribirse c o m o estas dos ecuaciones matr iciales . En este e jemplo más o menos s imple el poder de la formulación quizá no sea evidente debido a que la solución de un s is tema tan s imple no es difícil si se uti l izan las técnicas clá­sicas. Sin embargo , cuando el s is tema se vuelve más grande, esta técnica se compara de manera muy favorable con técnicas m e n o s sis temáticas.

Algunos autores usan el símbolo x para representar el vector de las variables de estado en lugar del sím­bolo q. Esto podna resultar confuso pues, en todo el material previo, se ha usado de manera consistente (como lo hacen otros autores) x(f) para representar una excitación. Algunos autores prefieren u para repre­sentar el vector de excitaciones en vez de x. Además, en el material anterior se utilizó (igual que muchos autores) u(/) para representar la función escalón unitario. De tal modo, aun cuando u está en negritas y u(r) no, debe ser menos confuso utilizar x como la excitación en vez de u, especialmente porque x(r) se ha uti­lizado hasta ahora para representar una excitación en un sistema de una entrada.

Hasta ahora sólo se ha descri to el s is tema pero no se han resuelto las ecuaciones . U n o de los ver­daderos aspectos poderosos de la formulación del espacio de estados del análisis de s is tema es la for­m a directa y sis temática en la que pueden resolverse las ecuaciones de estado, que son

q' ( í ) = A q ( í ) + Bx(r)

y ( 0 = C q ( 0 + Dx(r) ^ ' ' - ' ' ' ^

Es obvio que si se puede encontrar el vector solución q(t) para la ecuación del sistema, de inmediato es posible calcular el vector de respuesta y(í) po rque se conoce el vector de exci tación x{t). D e tal mo­do, el proceso de solución consis te en encontrar p r imero la solución de la ecuación del sistema. Es factible encontrar una solución en el domin io del t i empo di rectamente a partir de estas ecuaciones ma­triciales, pero resulta más sencillo recurrir a la t ransformada de Laplace c o m o auxil io para determinar la solución. Al aplicar la t ransformada de Laplace a la ecuación del sistema, se obt iene

sQis) - qiO-) = A Q ( í ) + BX(s) (10.207)

[ í l - A ] Q ( í ) = B X ( 5 ) - ^ q ( 0 - ) . (10.208»

Es posible resolver Q{s) de esta ecuación mult ipl icando ambos lados por [ÍI - A ] " ^ lo que produce

Q{s) = [si - A ] ^ ' [ B X ( 5 ) + q ( 0 - ) ] . (10.209»

La matriz [si — A ] " ' se designa convenc iona lmente por med io del s ímbolo ^(s). Median te esa nota­ción (10.209) se vuelve

Q(s) = * ( 5 ) [ B X ( í ) + q ( 0 - ) ] = «I>(5)BX(s) + $ ( í ) q ( 0 - )

respuesta de respuesta de estado cero entrada cero

(10.210)

y el vector de estado se observa compuesto de dos partes, una respuesta de estado cero y una respuesta de entrada cero. Ahora es posible encontrar la solución en el dominio del t i empo apl icando la trans­formada inversa de Laplace (10.210),

q(r) = (b(f) * Bx(r) + Mt)q{0~) (10.2U>

respuesta de respuesta de estado cero entrada cero

donde <^{t) ^ • ( i ) y c|>(í) recibe el nombre de matriz de transición de estado, que t iene su ori- 6 0 9 gen en el hecho de que una vez que se conocen el estado y las excitaciones iniciales, ^{t) es lo que per- .|o_.|3 análisis de mite calcular el es tado en cualquier t iempo futuro. En otras palabras , ¡^(t) permite calcular la forma señales y sistemas en en que el s is tema realiza una transición de un es tado a otro. e/ espacio de estados

Se aplicará ahora este mé todo al e jemplo. Las matr ices en la ecuación de estado son

q ( f ) -" k(t)' A = _ V c ( 0 .

O 1/L - ( 1 / C ) - ( G / C )

B = O

1/C X( í ) = [ien(0] • (10.212)

Para hacer concreto el p rob lema considere que la corriente de exci tación es

i(f) = A u ( í ) ,

sea la condic ión inicial

" Í L ( O - ) " " o " . v c ( O - ) . _ 1 _

q ( O - ) =

y los valores de los componen tes iguales a 7? = ^ , C = 1 y L = 1. En ese caso

$ ( í ) = (si - A ) " ' = s - ( 1 / L ) 1 / C s + iG/C)

- 1 - 1

s + iG/C) - ( 1 / C ) 1 /L í

-iT s + (G/C) 1 /L

- d / C ) 5

s^ + iG/C)s + ( 1 / L C ) s'- + iG/C)s + ( 1 / L C )

y la solución para las variables de es tado en el dominio de Laplace es

Qis) = $ ( í ) [ B X ( 5 ) + q ( 0 - ) ]

' S + iG/C) l/L - d / C ) s 0 " 1 "

2 + {G/C)s + ( 1 / L C ) . 1 / C . _s _

+

S + iG/C) 1 /L - ( 1 / C ) i

i2 + iG/C)s + ( 1 / L C )

(10.213)

(10.214)

(10.215)

(10.216)

Qis) = - i

l/sLC 1 / C +

1/L 5

s^ + iG/C)s + il/LC)

1

sLC{s^ + {G/C)s + il/LC)) ^ L{s^ + iG/C)s + ( 1 / L C ) )

1 5

+

1

Cis^ + {G/C)s + ( 1 / L C ) ) s^ + iG/C)s + ( 1 / L C )

Sust i tuyendo los valores numér icos de los componentes , se obt iene

Q(5) =

1

sis^- + 3s +\)^ s^- + 3s + 1 1 s

L 2 + 3^ + 1 + 2 _^ 3^. _^ 1 J

1

(10.217)

(10.218)

6 1 0

CAPÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

O en la forma de fracciones parciales ,

1 0.17

7 í + 2.62

1.17

Q{s) =

0.447

" í + 2.62

0.277

+

5 + 2.62

0 .723 • +

í + 0 .382

0.447

í + 0.382

0.723

' 5 + 0 .382

0.277

0.447

s + 2.62

1.17

+ 0.447

5 + 0 . 3 8 2

0.17

5 + 2.62 5 + 0 . 3 8 2

5 + 2.62 ' 5 + 0.382

Apl icando la t ransformada de Laplace inversa,

q(0 = 1 - 0.277e-2.62r _ o.723e-0-^**2,

0.723e-«-3«2, + o . 2 7 7 e - 2 « ' u ( r ) .

( 1 0 . 2 1 9 )

( 1 0 . 2 2 0 )

( 1 0 . 2 2 1 )

Ahora es posible determinar las respuestas de inmedia to ut i l izando la ecuación de salida y(í) = Cq( í) + Dx ( í )

y(t) = 'o 1 ' " o " " o r

0 G q + _0_ X = 0 3 _

1 - 0 .277e -2 -62 r_ 0 .723 0 .723 e - 0 - 3 8 2 ' + 0 .277 e-2.62r u ( í ) ( 1 0 . 2 2 2 )

y ( í ) = 0.723e-0-3'^2, ^ o.277e-2.62r 2.169^-0-^^2/ ^ 0 ^ 8 3 1 g-2.62, u(f). ( 1 0 . 2 2 3 )

Es factible recurrir a la técnica del análisis del espacio de estados para determinar la función de transferencia matricial del s istema. La función de transferencia se define sólo para la respuesta de es­tado cero. E m p e z a n d o con

5Q(5) - q (O- ) = AQ(5) + B X ( 5 ) , ( 1 0 . 2 2 4 )

y requir iendo que el es tado inicial q(O-) sea cero, puede resolverse con respecto a Q{s) c o m o

Q(5) = [si - A ] - ' B X ( 5 ) = cI>(5)BX(5). ( 1 0 . 2 2 5 )

Entonces la respuesta Y{s) es

Y(5) = CQ(5) + D X ( 5 ) = C O ( 5 ) B X ( 5 ) + D X ( 5 ) = [ C O ( 5 ) B + D ] X{s). ( 1 0 . 2 2 6 )

Por consiguiente , pues to que la respuesta del s is tema es el producto de la función de transferencia del m i s m o y su exci tación, la función de transferencia matricial es

H(5) = C $ ( 5 ) B + D . ( 1 0 . 2 2 7 )

Esta función de transferencia relaciona todas las exci taciones del s is tema con todas las respuestas del m i s m o por med io de

Y(5) = H ( 5 ) X ( 5 ) .

Pues to que 4>(5) = [5I - A] '

H(5) = C [ 5 l - A ] - ' B + D .

( 1 0 . 2 2 8 )

( 1 0 . 2 2 9 1

E x a m i n e [5I — A ] ^ . C o m o es la inversa de [5I — A ] , es la adjunta de [5I — A ] , d ividida entre el de­terminante 5I - A . D e modo que cada elemento en [5I - A ] - ' t iene un denominador que es [5I - A ] (a menos que a lgunos factores en la t raspuesta de la matr iz de los cofactores de 5I — A cancele algu­nos factores en 5I — A ). Premult ipl icando por C y posmult ipl icando por B no cambia el hecho porque C y B son matr ices de constantes . La adición de la matr iz D no cambia t ampoco los denominadores de los elementos de His) porque es también una matriz de constantes. En consecuencia, el denominador

de cada e lemento de ll(s) es Í I - A (a menos que ocurra a lguna cancelación de polos y ceros) . To­dos los e lementos de H(5), y consecuentemente todas las funciones de transferencia de las exci tacio­nes para todas las respuestas , t ienen los mismos polos . Esto conduce a una idea importante . A u n cuando la función de transferencia se define c o m o el cociente entre una respuesta y una exci tación, los polos de cualquier función de transferencia del s is tema están determinados por el s is tema mismo , no por las exci taciones o las respuestas . Esos polos son los ceros de 5 I — A (excepto para cualquier cancelación de polos y ceros) y los ceros de s i — A son los valores propios de A.

El prob lema del e jemplo anterior podría haberse resuelto ut i l izando un conjunto diferente de va­riables de estado. Por e jemplo, la corriente de resistor i^(r) y la corriente de inductor i¿(f) podrían ha­berse elegido c o m o las variables de estado. En ese caso la ecuación del s is tema sería

- ( G / C ) - ( G / C ) 1 / L G O +

G/C O [Íen(0]

y la ecuación de salida corresponder ía a

Vsal(0 ^ 1 / G

i « ( í ) 1 + [ l en(r ) ] .

(10.230)

(10.231)

Al resolver para las variables de estado se encuentra que

4>{s) = [ s í - A ] - ' = . ? - | - ( G / C ) G / C - ( 1 / L G ) s

-i-i s -(G/C)

Ll/LG s + {G/C)j

s- + (G/C)s + {l/LC)' (10.232)

Es importante notar aquí que el de terminante s i — A es exac tamente igual que el correspondiente al p r imer conjunto de variables de estado. Es posible demost rar que lo anterior es por lo general cierto. Esto es, el de terminante s í - A es independiente de la elección de las variables de estado. L a matr iz A cambia pero el de terminante s i — A | no . Por lo tanto, el de terminante s i — A está indicando algo fundamental acerca del s is tema m i s m o y no cualquier elección part icular de la forma en que se anali­za el s is tema. Recuerde que al resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, el de terminante Al — A fue l lamado la ecuación característica, porque caracteriza al s is tema de ecuaciones diferenciales y es independiente del mé todo e legido para resolverlas. Las ecuaciones de estado son sistemas de ecuacio­nes diferenciales que describen s is temas. Por lo tanto, la invar iancia de s i — A en la solución de las ecuaciones de estado debe esperarse a partir de la invar iancia de Al — A en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Es posible t ransformar cualquier conjunto de variables de estado en otro mediante una transfor­mac ión lineal. Supóngase que se está ut i l izando un vector de variable de estado q,(í) y se decide usar otro qnit), el cual se re laciona con qj(f) por med io de

q 2 ( í ) = T q , ( r ) , (10.233)

donde T es la matriz de transformación que relaciona los dos vectores de variables de estado. Entonces

q;(r) = T q ; ( 0 = T ( A i q i ( 0 + B i x ( r ) ) = T A i q i ( r ) + T B , x ( r ) . (10.234)

De acuerdo con q^{t) = T ~ ' q 2 ( 0 ; por lo tanto,

q2(f) = T A , T - ' q 2 ( í ) + T B i x ( / ) = A2q2(r) + B 2 x ( í ) , (10.235)

donde A j = T A j T " ' y = T B j . En la ecuación de sahda se obt iene

y(r) = C i q i ( f ) + D i x ( ? ) = C i T - ' q 2 ( 0 + D i x ( í ) = C2q2(f) -f- D2x ( f ) , (10.236)

donde C2 = C j T ~ ' y D 2 = D , . Los valores propios de A ¡ se determinan mediante el sistema. Cuando se elige un conjunto diferente de variables de estado t ransformando un conjunto en otro mediante la matr iz de t ransformación T, no se cambia el sistema, sólo la forma de analizarlo. En consecuencia , los valores propios de Aj y A j = TA^T"' deben ser los mismos . Esto se demuestra mediante el siguiente a rgumento . Considere el p roducto .

(10.237)

10.13 Análisis de señales y sistemas en el espacio de estados

Al tomar el de terminante en ambos lados de (10.237),

| T [ 5 l - A , ] T - i | = | 5 l - A 2 I . (10.238) CAPITULO 10 Análisis de la

fransfonnada de Laplace Después es posible utilizar dos propiedades de los determinantes de acuerdo con el apéndice J. El de­terminante de un producto de dos matrices es el p roducto de sus determinantes , y el de terminante de la inversa de una matr iz es el recíproco del determinante de la matr iz . Al aplicar esas propiedades a (10.238), se obt iene

de señales y sistemas

| T | | [ s I - A i ] | | T - ' | = A 2 I . (10.239)

Los determinantes son escalares; por lo tanto, la mult ipl icación de determinantes es conmuta t iva y asociat iva y

| T | | T " ' |

1

l í l - A i l = A2I (10.240)

y, por ú l t imo.

U I - A , | = k l - A 2 I . (10.241)

Puesto que los determinantes son iguales, sus raíces también lo son, lo que demues t ra que los valores propios de un s is tema son invariantes ante las e lecciones de las variables de estado y las respuestas .

S iempre es pos ib le elegir las variables de estado de manera tal que la matr iz del s is tema A sea diagonal . Si A es diagonal , entonces es de la forma

A =

• « 1 1

O O

a-)-} O O

(10.242)

L o o • • • fl,v,v J

donde N es el orden del sistema. Entonces el de terminante I Í I — A es

\sl - A\ = (s - an)(s - aii) • • • (s - ÜNN)- (10.243)

Pues to que ésta es una forma factorizada, las raíces son exac tamente « j j , ^ 2 2 ' • • • > ^ww ^° tanto, si la matr iz del s is tema A es diagonal , los e lementos de la diagonal son los valores propios del siste­m a y la matr iz puede expresarse en la forma

A = A = 0

O

L o o

o o

X V J

(10.244)

(donde A es una X mayúscula) . Suponga ahora que se t iene una matr iz A del s is tema que no es diago­nal y se desea determinar una t ransformación T que la haga serlo. En ese caso

- 1

Posmul t ip l icando ambos lados por T,

A = TAT

A T = T A .

(10.245)

(10.246)

Pues to que A y A se conocen, puede despejarse T de esta ecuación. Observe que si se fuera a encon­trar una solución T de (10.246) y se mult ipl ica dicha T por una escalar K para crear otra matr iz de t ransformación T^ = KT. podría decirse que

AT2^hKT = KAT (10.247)

y después , si se emplea (10.247), se obt iene

A T 2 = KTA = T 2 A

o s implemente

A T 2 T 2 A

(10.248)

(10.249)

la cual, salvo por el n o m b r e de la matr iz de t ransformación, es la m i s m a que ( 1 0 . 2 4 6 ) lo que p rueba que la solución T no es única.

U n a vez que se ha encontrado una t ransformación que vue lve diagonal la matr iz del sistema, se t iene entonces un s is tema de ecuaciones de la forma

=

_q'N(t)_

O

O

X2

o o

O

o qÁt)

qiit)

L<?w(í)J

+ B x ( í ) (10.250)

Puesto que B y x(í) se conocen, esta ecuación matricial es equivalente a un conjunto de A'' ecuaciones diferenciales desacopladas en incógnitas , q^, • • • , q¡^,. Cada ecuación puede resolverse sin refe­rirse a las demás . De tal m o d o , convert i r en diagonal la matr iz del s is tema t ransforma la solución de N ecuaciones diferenciales s imultáneas de pr imer orden acopladas en soluciones de ecuaciones di­ferenciales de pr imer orden independientes .

El concepto de objeto del s is tema de M A T L A B incluye modelos de sistemas en el espacio de es­tados en T C . La función fundamental es s s y su sintaxis es

sys = ss(A,B,C,D) ; donde A, B , C y D son las matr ices de la representación del espacio de estados del m i s m o nombre . La función s s d a t a extrae matr ices del espacio de estado a partir de una descr ipción del s is tema de una manera análoga a z p k d a t a y t f d a t a . La función s s 2 s s t ransforma un mode lo del espacio de estados en otro. La sintaxis es

sys = ss2ss(sys,T) ; donde T es la matr iz de t ransformación.

Ejercicios con respuestas

10.14 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1.

2.

3.

4. 5.

6.

7.

8.

9. 10. 11.

U n sistema estable tiene una función de transferencia con todos sus polos en el semiplano izquierdo abierto del p lano s. Las técnicas de re t roal imentación son a m e n u d o m u y importantes en el mejoramiento del desem­peño de s is temas. La re t roal imentación puede estabilizar un sistema inestable, pero t ambién es posible que desesta­bil ice a un s is tema estable. Es posible utilizar la re t roal imentación para crear un s is tema oscilante estable margina lmente . Las técnicas de análisis de Routh-Hurwi tz , el lugar geométr ico de las raíces y el margen de ga­nancia y fase const i tuyen herramientas valiosas para valorar la estabil idad y el desempeño del sis­tema.

Diferentes tipos de sistemas de re t roal imentación de ganancia unitaria t ienen diferentes errores de seguimiento en la respuesta a señales estándar. Los d iagramas de b loques pueden reducirse gráf icamente de manera directa median te el t eorema de M a s ó n o M A T L A B . La respuesta de los s is temas a señales es tándar como el escalón uni tar io y la senoide son útiles para revelar sus característ icas. La respuesta en frecuencia de un sistema se deduce a partir del diagrama de polos y ceros del mismo. Hay varios métodos estándar de realización de sistemas a partir de las funciones de transferencia. En el análisis s is temático de sistemas de entrada múlt iple y salida múlt iple , las técnicas de análi­sis del espacio de estados resul tan m u y útiles y reducen de manera significativa la probabi l idad de cometer errores de análisis y p romueven el en tendimiento de la d inámica de los s is temas.

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 1. Para cada circuito escriba la función de transferencia entre la exci tación y la respuesta indica­

das. Exprese cada función de transferencia en la forma estándar.

H ( s ) = A-+ bN-is' • • • -I- bis- + bis + bo

ao

6 1 4

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

a) Exci tación: v^(í) Respuesta : v (f)

R^

• « 2 V„(í)

b) Exci tación: i^(f) Respues ta : v ( í )

-AAA--

-AAAr-

- 0 +

c) Exci tación: v^(0 Respues ta : i ¡ ( r )

Respuestas:

- A A V ' i i í í )

I

1 .2 + , -

1 I 1 \ 1 s^ + s l -—- + —— + —— +

,R2C2 R2C1 RiCiJ R1R2C1C2

R2 1

RiLC 2 , 1 R2\ R-. + R1

RiC L J RiLC

1

R1C1C2 , , 1 s- + s

1 \ 1 + \R2C2 R\CJ R1R2C1C2

2. Para cada d iagrama de b loques escriba la función de transferencia entre la exci tación x(í) y la respuesta y(f).

' r - 1 tay x(r) -

b) x(í)-

I í • y(í)

- 1

- 1 0 - 1 0

-y(f)

Respuestas:

1

«3 + 8^2 + 2s' ~ s 3 + 4 s 2 + 105

3 . Eva lúe la estabil idad de los s is temas con cada una de estas funciones de transferencia.

a) H(5)

c) H(5)

100

e) H (5 ) = 3

g) H (5 )

Respuestas:

5 + 200

6

5(5 + 1)

5 - 10

52 + 45 + 29

1

52 + 64

b) H (5 )

d) H (5 )

/ ) H(5 ) = y

h) H (5 )

80

5 - 4

1 5 5

52 + 45 + 4

52 + 4

52 - 4 5 + 29

10

53 + 452 + 295

Tres son estables, cuatro son inestables inc luyendo dos que son marg ina lmente estables 4. De te rmine las funciones de transferencia totales de los siguientes sistemas en la forma de un co­

ciente simple de pol inomios en s.

a) y(f) x(0-

s- + 3i- + 2

1 0

+ 3.Í + 2

b)

x(í)-

s +1 s- + 2s + n

• yit)

1 s + 1 0

x(f) 1( s

/ +s + 5

r yit)

d) x(í)- 20í

+ 200.S + 290 000

1 s + 400

-^y(r)

Respuestas:

20 52 + 4005 5 2 + ^ 5 + f

s-"* + 600s2 + 370 OOO5 + 1.16 X 1 0 ^ ' 5 ^ + 12s2 + 3 3 5 + 1 3 0 '

.2 10-

'4 + 653 + 1352 + 125 + 4 ' 52 + 25 + 5

5. En el s is tema re t roal imentado de la figura E 5 , de termine la función de transferencia total del sis­t ema para los s iguientes valores de la ganancia K de t rayectoria directa.

X(5)

a) K = 10^ b) K = 10^

c) K 10 d) K = 1

e) K = - 1 f) K = - 1 0

+ / ^ 1 1

O.I O.I

Yis)

FIGURA E5

Respuestas : 5, - 1 . 1 1 1 , - 0 0 , 0 .909, 10, 10

6. En el s is tema re t roal imentado que se presenta en la figura E6 , grafique la respuesta del s is tema a un escalón unitario, en el intervalo de t i empo O < ? < 10, y escriba después la expresión pa­ra la función de transferencia total del s is tema y dibuje un d iagrama polos y ceros, para los si­guientes valores de K.

a) K = 20 b) K = 10

c) K = l d) K = -1

e) K = -10 f) K = -2i

h_|(í)

r

- 1

Respuestas :

—l-^r 10

r - \ >

- 3

t 8 t t -

1

1 * : 3

0 \ y.

1 1 í - 3

- 8 t t -

X 1 * l ^

S t t - - X

- 3

- 8 - 7 7 -X

1 ' 3

h_,(r)

8 0 0 0 - t

- 1

- 8 0 0 0 +

1 0

- 1 -H-T

1 0

h_,(f)

- 1

- 3 2 0 0 0 4-

- 3

Stt-Í-

h.,(í)

-2 +

-|->-í 1 0

8 t t

- 3

- S i r f

h_|(f)

- 1 0 0 +

- 3 i

-8iT +

7 . ¿Para qué intervalo de valores de K es estable el s is tema dado en la figura E7? Grafique las res­puestas al escalón para K=0,K = AyK='&.

Respuesta: K<A,

K = 0 h_,(/)

3 000-í-

- 1

h-,(')

-+-- - - 0 . 5

0 . 2 5 4-

X(í) - K

Retraso de tiempo de un segundo

Yis) X{.v) - 1

- 4s -I- 4

Ks

FIGURA E 6 FIGURA E 7

CAPITULO 10 A.nal»sis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

X ( 5 ) -1 0 0

+ 2s + 26

10 J + 20

Yis)

FIGURA E8

8. Grafique la respuesta al impulso y el d iagrama de polos y ceros para la trayectoria directa y el s is tema comple to de la figura E8.

Respuestas :

Trayectoria directa

h,(0

2 0 Í .

-0.5 -20 +

h(/)

3 0 Í

Sistema completo

- I --0.5

-30 +

- 1

+ 5

: + - 5

8.29

WWWWWl -22.12

<-o— -t -20

-8.29 +

H(s)

-0.0612

9. Med ian te el mé todo de Routh-Hurwi tz , evalúe la estabil idad del s is tema cuya función de t rans­ferencia es

s^ + 3s + 10

s^ + 2^4 + 10^3 + 4s2 + 8s 20 •

Respuesta: Inestable 10. Median te la p rueba de estabil idad de Routh-Hurwi tz , evalúe la estabi l idad del s is tema cuya fun­

ción de transferencia es de la forma general

Uis) = Nis)

s^ + ajs- + a\s + ao

¿Cuáles son las re laciones entre ^\ y % que aseguran la estabil idad?

Respuesta:

«2 > O, aia2 > ao, OQ > 0 . 11. Grafique el lugar geomét r ico de las raíces de cada uno de los s is temas que t ienen las siguientes

funciones de transferencia de lazo e identifique las funciones de transferencia que son estables para todos los valores reales posi t ivos de K.

a) Tis) =

b) T ( 5 ) =

c) T ( s ) =

d) Tis) =

K

( s + 3 ) ( 5 - f 8 )

Ks

is + 3)is + 8)

Ks-

( 5 + 3 ) ( s + 8)

K

(s + l)(s2 + 4s + 8)

- 3 - 8 - 3 - 1

12. Uti l ice el d iagrama de b loques de un amplif icador inversor empleando un amplif icador opera­cional dado en la figura E 1 2 , con Aq = 10'^, p = -2 OOOTT, = 1 0 k í l y Z¿ = 1 k í l para de­terminar los márgenes de ganancia y fase del amplificador.

Respuestas :

9 0 ° , infinito 13. Grafique las respuestas al escalón unitario y a la rampa de sistemas retroalimentados de ganancia

unitaria con las siguientes funciones de transferencia de t rayectoria directa.

a) Hi(s) = 1 0 0

c) Hi (5 ) = -

- 1 0

1 0 0

s'-{s + 1 0 ) d) Hi(í) =

1 0 0

Zf{s) ti Z,(s) + Zfis)

s(s + 1 0 )

2 0

{s + 2){s + 6)

yM) I

FIGURA E12

1 ' 1

Z¡(s) Z¡(s) + Z/s)

V„(s)

Respuestas :

Respuesta a la rampa unitaria h_,(r)

4 Respuesta al escalón unitario

h_,(f) Respuesta al escalón unitario

h_|(t)

-+^t -40 +

Respuesta a la rampa unitaria

0.4

Respuesta a la rampa unitaria h_,(r)

Respuesta a la rampa unitaria Respuesta al escalón unitario

li-,(f)

Respuesta al e.scalón unitario

14. Reduzca los siguientes d iagramas de b loques a uno solo. Verifique la respuesta median te el teo­r ema de Masón .

a) X(s)- - 2 H s + 3

10 s + 20 Y(s) b) X(s)- s + 1

Y{s)

s + 20

- 2 0 J (.? + 3) + 20s + 10) Y(í) X(i)-

s " ( 5 - + 20s - 5) (s + 1) ( r + 20J + 5) • Y(í)

15. De te rmine las respuestas de los sistemas con las siguientes funciones de transferencia a un es­calón unitario y a un coseno de 1 H z de ampli tud unitaria apl icado de manera repentina. Deter­mine también las respuestas a un coseno real de 1 H z de ampli tud uni tar ia (no apl icado de manera repentina) median te la T F T C y compare con la parte de es tado estable de la solución to­tal que se encontró con la t ransformada de Laplace .

a) H ( s ) = -

c) H ( s ) = s^ + 2s + 4 0

b) H ( 5 ) =

d) H ( s ) =

s+l

.r + 2s • 4 0

Respuestas : (Respuestas al escalón) [ 1 -j- 2 í 4- 20t^]u{t), r a m p ( í ) ,

seni 39r)

^39 u(t), e-'uit)

16. Para cada diagrama de polos y ceros dibuje la magnimd de la respuesta en frecuencia aproximada.

a) b)

- 2

C) d)

- 3 - 4

e)

10 + M

-10 +

Respues tas :

|H(/)|

0.5r

-20 20

6 2 0

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

|H(/)|

0.05-

1 ] 1

— 1 2

17. Uti l ice sólo una calculadora para determinar la función de transferencia de un filtro But te rwor th pasabajas de tercer orden {n = 3) con frecuencia de corte = 1 y ganancia unitaria a frecuen­cia cero.

Respuesta:

1

s3 + 2 2 + 2s -t- 1

18. Util ice M A T L A B para determinar la función de transferencia de un filtro Butterworth pasabajas de octavo orden con frecuencia de corte = 1 y ganancia unitaria a frecuencia cero.

Respues ta :

1

+ 5.1265^ + 13.1371S6 + 21.8462^5 + 25.6884s4 + 21.8462s3 + 13.1371^2 + 5.126s + 1

19. Encuent re las funciones de transferencia de los siguientes filtros But terworth . á) Pasaaltas de segundo orden con una frecuencia de corte de 20 k H z y una ganancia pasaban­

da de 5.

b) P a s a b a n d a de tercer o rden con u n a f recuencia cent ra l de 5 k H z , un ancho de b a n d a de — 3 dB de 500 Hz y una ganancia pasabanda de 1.

c) U n supresor de banda de cuarto orden con una frecuencia central de 10 M H z , un ancho de banda de - 3 dB de 50 kHz y una ganancia pasabanda de 1.

Respues tas : 3.1 X 1 0 ' " í 10,3

s6 + 6283^5 + 2.97 x l O V + 1 . 2 4 x W's^' + 2 .93 x m^^s'- + 6 .09 x lO^^s + 9 .542 x 1026'

+ 1.57 X l O ' V + 9.243 x 10"s^ + 2.418 x + 2.37,3 x 10^^ [i8 + 8.205 X lO s + 1.57 x m^(-s^+ 9M5 x IO-'í-' +9.24 x lO^'í-*-|-3.729 x 1037^3+2.419 x 10^'.!-4-5.256 x 105^^-1-2.373 x K

5s2

j2 + 1.777 X lOh + 1.579 x 10'»

20 . Dibuje d iagramas de sistemas canónicos de los sistemas con estas funciones de transferencia.

a) H ( 5 ) = 1

b) H ( 5 ) = 4 s + 3

s + 10

Respues tas :

X{s) Xis)- Y(s)

2 1 . Dibuje d i ag ramas de s is temas en cascada de los s is temas con las s iguientes funciones de t ransferencia .

a) H{s) =

c) H ( í ) =

s + 1 b) H(s) =

s+4

( í + 2 ) ( í + 12)

20

s{s^ + 5s + 10)

Respues tas :

X(.sO •

Y ( s ) X ( j ) •

Y i ( s )

X(.s)

12

Y ( 5 )

22 . Dibuje d iagramas de s is temas en paralelo de los sistemas con las siguientes funciones de trans­ferencia.

a) H(s)

b) ms)

-12

s^ + ?,s + 10

2s^

- Y ( í )

Respues tas :

X ( í ) -

4 4

- 3 : • Y ( í ) X ( í ) - - i : Y(.5)

2 3 . Escr iba las ecuaciones de estado y de salida para el circuito de la figura E 2 3 con la corriente de inductor i¿(f) y el voltaje de capaci tor V p ( í ) c o m o las variables de estado, el voltaje a la entrada v¿(f) c o m o la exci tación, y el voltaje a la salida v¿(í) c o m o la respuesta.

R=IQÜ C=lKiF + 0 W r — ° +

v,-(f)

Vc(f)

L = 1 mH Vi(0

FIGURA E23 Circuito RLC.

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

"v ' cW" o 1 / C - ( 1 / L ) -{R/L)

'YCÍO' _l_ 0 . k i t ) . . i / ¿ . v , ( í ) .

v l ( í ) - [ - 1 -R v c ( 0

Í l ( í ) + v / ( r )

24 . Escr iba las ecuaciones de estado y de salida para el circuito de la figura E 2 4 con la c c n «ente de inductor i^(r) y el voltaje de capaci tor v^(f) c o m o las variables de es tado, la corriente i, la en­trada i-(r) c o m o la excitación, y el voltaje en la salida v^( í ) c o m o la respuesta .

Respuesta:

i/(0, • v c ( 0 " " 0 - y ' v c ( r ) "

_ i _

1 c

JDT) _ 1 R - L -

v „ ( r ) = [ 0 -R] v c ( 0

Í l ( 0

25. D e acuerdo con la función de transferencia del s is tema

s{s -r 3)

escriba un conjunto de ecuaciones de estado y de salida con un nt ímero m í n i m o de estados.

Respuesta:

"sQi(s )" 'o 1 " ' Q i ( í ) " _ 1 _ 0

_SQ2(S)_ - 9 - 2 _ _|_ + 3s _ X{s), Y ( 5 ) = [ l 0 ] Qi(^)

26 . Escr iba las ecuaciones de estado y de salida para el s is tema cuyo d iagrama de b loques es el de la figura E26 , utilice las respuestas de integradores c o m o las variables de estado.

Respuesta:

q'i(0

q2(0

q3(0

o 1 o - 2 - 8 1

0 0 0

qi(í) q2(0 + 0 x(0, y(0 = [ i 0 0 ] q2(0

q3(f) 1 _q3(0

27. U n sistema se excita median te la señal x(f) = 3u(f) y la respuesta es y(í) = 0 .961e~' -^ ' sen(3.122f) u(r). Escr iba un conjunto de ecuaciones de estado y de salida con un nt ímero míni­m o de estados.

ií(f)

Z. = 1 mH

x(í)-

/? = 100 O 4 í J vc(t) -

1

y(f)

FIGURA E24 Circuito RLC.

Respuesta:

FIGURA E26 Un sistema.

5 Q , ( S ) o 1 - 1 2 - 3

Q i d ) Q2(í)

Xis), Y{s) = [l 0 ] Qi(s)

Qiis),

28 . U n s is tema se descr ibe median te la ecuación diferencial

y"(?) + 4 y ' ( / ) + 7 y ( í ) = 10 C O S ( 2 0 0 I T Í ) u(f)-

Escr iba un conjunto de ecuaciones de estado y de salida para este sistema.

Respuesta:

q' i (0 L q 2 ( 0 j

o 1 - 7 - 4

q i W Lq2 ( 0 J + 1 0 C O S ( 2 0 0 T T Í ) U ( Í ) ,

q i ( 0

L q 2 W j y ( 0 = [ i 0 ]

29 . U n s is tema se descr ibe median te las ecuaciones de es tado y las ecuaciones de salida

"q ' , (0" " - 2 r " q ! ( 0 " . q ó í O . 3 0_ . q i ( o .

" y i W " 3 5 " " q i ( 0 " . y 2 ( 0 . _ - 2 4_ . q 2 ( 0 .

+ 1 2

- 2 O x , ( 0

X2(í)

Ejercicios con respuestas

con exci tación " x i ( r ) ' " - 8 ( 0 "

.X2(0. . u ( 0 .

Dete rmine el vector

Respuesta:

u ( í )

y i (0 L y 2 ( 0 j

y condiciones iniciales,

de respuesta del s istema.

" q i { 0 - ) " " o " . q 2 ( 0 ' ) . _ 3 _

5e-^' + 27e' - 10 15e--^' + I5e' - 8

30 . U n s is tema se descr ibe mediante la ecuación de estado vectorial y la ecuación de salida

q ' (0 = A q ( r ) + B x ( r )

y ( í ) = C q ( í ) + D x ( r ) ,

d o n d e A = - 1 - 3 2 - 7

, B = 1 O O 1

, c = 2 - 3 O 4

y D = 1 O O O

Defina dos nuevos estados, en términos de los anteriores, para los cuales la matriz A es diagonal y reescr iba las ecuaciones de estado.

Respues tas :

q2(0 =

0.8446 - 0 . 5 3 5 4 - 0 . 3 8 9 3 0 .9211

- 2 . 2 6 7 9 O O - 5 . 7 3 2 1

q'i(í),

q2(0 -0 .8446 - 0 . 5 3 5 4

- 0 . 3 8 9 3 0 .9211 x(f )

3 1 . Para las ecuaciones de es tado y de salida originales del ejercicio 30 escriba una descr ipción de ecuación diferencial del s istema.

Respuesta:

y\{t) = - 4 y i ( r ) + - y 2 ( í ) + 6 x i ( í ) - 3x2(?) + x\{t),

y'iit) = 4 y i ( 0 - 4y2 ( í ) - 4 x , ( 0 - 4x2 ( í )

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS 32 . Determine las funciones de trasferencia en el dominio s para los circuitos indicados y dibuje después

los d iagramas de b loque para los mismos c o m o sistemas con exci tación V - C Í ) y respuesta y gis).

L = 5 mH

R = l O k . Q

W V

v,(í) L = 5raHsi C = 1 ^F : : ^v„( f )

R = 10 kO + 0 W V

C = 1 |xF

v,-(í) -o +

v„(í)

a) b)

R = 10 k P .

- ^ V v V — í. = 5mH

v,(/) C = 1 ( í F 4 ^ v„(f)

+ 0 -

v,-(í)

R = 10 k n

—

R = lOkn — W V —

C = 1 ( j l F i ; C = 1 | J . F 4 ^ v„(í)

c) d)

3 3 . De te rmine si los sistemas con las siguientes funciones de transferencia son estables, marginal­mente estables o inestables.

a) ms)

c) ms)

e) ms)

s(s + 2)

s- + ?>

s- + 4.V

s{s - 2) b) ms) = \ _

s-

d) ms) = -s- - As +

34 . Determine la expresión para la función de transferencia total del s is tema que se indica en la fi­gura E 3 4 . De te rmine el valor de K para el cual el s is tema es estable en cada una de las siguien­tes s i tuaciones:

a) ( 3 = 1

c) |3 = 10

X ( í ) -

FIGURA E34

b) (3 = - l

K s ^ 10

. Y ( í ) X(.v) - K {s + 1) (s - I - 2)

FIGURA E35

X ( í ) - K is + 1 + 2)(s + 3)

- Y ( í )

FIGURA E36

C A P Í T U L O 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

35. Encuentre la expresión para la función de transferencia total del s is tema dado en la figura E 3 5 . ¿Para qué valores posi t ivos de K el s is tema es estable?

36. Encuentre la expresión para la función de transferencia total del sistema que se presenta en la fi­gura E36 . Utilice M A T L A B para graficar las trayectorias de los polos de la función de transfe­rencia total del s is tema en función de K. ¿Para qué valores posit ivos de K el s is tema es estable?

37. Los te rmopares se util izan para medi r la tempera tura en muchos procesos industr iales. Un ter-mopar suele montarse mecán icamente dentro de un te rmopozo , un revest imiento metál ico que lo protege de daños por vibración, esfuerzos, flexión u otras fuerzas. U n efecto del te rmopozo es que su masa térmica reduce la respuesta de t iempo efectivo de la combinación termopar- termopo-zo comparada con la respuesta de t iempo inherente del t e rmopar solo. Cons idere que la t empe­ratura real en la superficie exterior del t e rmopozo en Kelvin es Tp) y que el voltaje que se genera median te el t e rmopar en respues ta a la t empera tura cor responde a v^it). La respuesta del t e rmopar a un cambio de escalón de 1 K en la tempera tura de la superficie exterior del te rmo-pozo de r¡ a -f 1 es

v , ( í ) = K\T, + { \ - e - ( r / 0 . 2 ) ) u ( r )

Ejercicios sin respuestas

donde K es la constante de convers ión temperatura-vol taje del termopar. a) Cons idere que la constante de convers ión esK= 40 p .V /K . Diseñe un filtro activo que pro­

cese el voltaje del t e rmopar y compense su retraso de t iempo haciendo que el s is tema com­pleto tenga una respuesta a un cambio de tempera tura de la superficie del t e rmopozo de un escalón de 1 K que es un escalón de voltaje de 1 mV.

b) Suponga que el t e rmopar también está sujeto a una interferencia e lec t romagnét ica ( lEM) de un equipo eléctrico de alta potencia cercana. Suponga que la l E M se mode l a c o m o una se­noide con una ampli tud de 20 |jlV en las terminales del termopar. Calcule la respuesta de la combinac ión termopar-fi l tro a las frecuencias l E M de 1. 10 y 60 Hz. ¿Qué tan grande es la fluctuación de tempera tura aparente ocas ionada por la l E M en cada caso?

38. U n láser opera con base en el principio fundamental de que el medio de bombeo amplifica un haz de luz viajera que se propaga a través del medio . Sin espejos, un láser se convier te en un a m p h -ficador de onda viajera de un solo paso (figura E 3 8 a ) . Éste es un s is tema sin re t roal imentación. Si se colocan ahora espejos en cada ex t remo del med io de b o m b e o , se introduce re t roal imenta­ción en el s is tema. C u a n d o la ganancia del med io se vuelve suficientemente grande , el s is tema oscila c reando un haz de luz de salida coherente . As í opera el láser. Si la ganancia del medio es menor que la requer ida para sostener la oscilación, el s is tema se conoce c o m o un amplif icador de onda viajera regenerat ivo ( A O V R ) .

Bombeo L .ser Medio Espejo Espejo

Bombeo L ser Medio i

Luz incidente ' ' — ¡ ^ — i i L r

— — — ^ 1

Luz que sale

a)

p, -

p,

Erefl(^) ^

C)

FIGURA E38 a) Un amplificador de ondas luminosas viajeras de un paso, b) un amplificador de onda viajera regeneratíva y c) diagrama de bloques de un AOVR.

Considere un c a m p o eléctr ico de un haz luminoso incidente en el A O V R proveniente de la iz­quierda c o m o la exci tación del s is tema E -^^^ (s), y sean los campos eléctricos de la luz reflejada E (s) y de la luz t ransmit ida E ^..^j^j, (s) las respuestas del s is tema (figura E38c) .

6 2 6

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

Cons idere que los parámet ros del s is tema son los s iguientes:

Reflect ividad del c a m p o eléctrico del espejo de entrada r , = 0 .99

Transmis iv idad del c a m p o eléctrico del espejo de entrada í; = v 1 -

Reflect ividad del c a m p o eléctrico del espejo de salida r,, = 0 .98

Transmis iv idad del c a m p o eléctr ico del espejo de salida tg = ^\ —

Ganancias de campo eléctrico de la trayectoria directa e inversa gfp(í) = = L O l g - ' "

De te rmine una expres ión para la respues ta en frecuencia ^y^^^^f)l^\^.^ti.f) de este amplif ica­dor ópt ico y grafique su magni tud para el intervalo de frecuencia 3 X lO''^ ± 5 X 10^ Hz.

3 9 . U n e jemplo clásico del uso de re t roal imentación es el lazo de fase s incronizada ut i l izado para d e m o d u l a r señales m o d u l a d a s en f recuencia (figura E 3 9 ) . L a señal de en t rada x(f) es u n a se­noide modu lada en frecuencia. El detector de fase encuentra la diferencia de fase entre la señal de en t rada y la que p roduce el osc i lador con t ro lado por voltaje. L a respues ta del de tec tor de fase es una señal de voltaje p roporc iona l a la diferencia de fase. El filtro de lazo filtra después d icha señal y luego cont ro la la f recuencia del osc i lador con t ro lado por voltaje. C u a n d o la se­ñal de en t rada es una f recuencia cons tan te y se s incroniza el lazo, la diferencia de fase entre las dos señales del de tec tor de fase es cero . (En un detec tor de fase real la diferencia de fase es 90° en la s incronizac ión . Sin emba rgo , este valor no es s ignif icarivo en el análisis pues to que sólo ocas iona un desp lazamien to de fase de 90° y no t iene impac to sobre el d e s e m p e ñ o o es tabi l idad del s is tema.) C u a n d o var ía la f recuencia de la señal de en t rada x(r), el l azo de tec­ta la var iac ión de fase asoc iada y la s igue. L a señal de sal ida comple t a y(í) es p roporc iona l a la f recuencia de la señal de ent rada .

x(f)-

yvcoW

D e t e c t o r F i l t ro de de fase la/.o Hlp(.v)

O s c i l a d o r c o n t r o l a d o p o r vol ta je

yW

FIGURA E 3 9 U n l a z o d e f a s e c e r r a d a .

La exci tación real, en un sentido sis temático, de este s is tema no es x(í), s ino más bien la fa­se de x(r), c)) .(r): debido a que el detector de fase dist ingue diferencias de fase, no de voltaje. Sea la frecuencia de x(í), í^it). La relación entre la fase y la frecuencia puede advert irse examinan­do una senoide. Sea x(f) = A c o s ( 2 7 T / Q r ) . La fase de este coseno es 2 T T / Q Í y, para una senoide sim­ple de ( /Q constante) , se incrementa l inealmente con el t i empo. La frecuencia C S / Q , la derivada de la fase. En consecuencia , la relación entre fase y frecuencia para una señal modu lada en fre­cuencia es

f . ( 0 = - ^ ^ ( c t ) . v ( 0 ) . 2 1 7 dt

Considere que la frecuencia de la señal de entrada es igual a 100 M H z y que la función de transferencia del osci lador controlado por voltaje sea 10^ H z / V . Se considerará que la función de transferencia del filtro del lazo es

H l f ( í ) = 1

í -F 1.2 X 105 '

Sea la función de transferencia del detector de fase igual a 1 V/rad. Si la frecuencia de la señal de exci tación cambia de manera repent ina a 100.001 M H z , grafique el cambio en la señal de sa­lida Ay(r).

Grafique el lugar geométr ico de las raíces de los s is temas que t ienen las siguientes funciones de t ransferencia de lazo e identifique, entre éstas, las que son estables para todos los valores reales posi t ivos de K.

+ o -

+ R, S v,.(í)

-AA/\r R„ Sa l i da

-^AA/ o

Vv(í)

í,- = 1 Mfi, fi, = 1 kfi, C, = 8 jxF, R„ = 1 0 n , Ao = lO*

FIGURA E41 Modelo simple de un amplificador operacional.

-AAAr-Ro S a l i d a

- ^ W v

V.vW

- A A V

= 1 M H , , = 1 ka , C , = 8 |JLF, R „ = 1 0 Cl. Aq = 1 0 * . /?,• = 1 0 kO.. = 5 k.O

FIGURA E42 Amplificador operacional conectado como un amplificador no inversor.

a) T{s)

c) T(s)

e) T ( 5 ) -

/ ) T ( s ) =

K{s + 10)

(s + l ) ( í 2 + 4s + 8)

K

+ 31 + 332s + 800 d) T(s) ^

K(s-+10)

(s + \)(s'- + 4s

Kis - 4)

s + 4

Kis-4)

(s + 4)2

Kis+ 6)

(s + 5 ) ( s + 9)(s2 + 4s + 12)

4 1 . El circuito de la figura E41 es un mode lo aprox imado simple de un amplif icador operacional de entrada invert ida con conexión a tierra.

a) Defina la exci tación del circuito c o m o la corriente de una fuente de corriente apl icada a la entrada no inversora, y defina la respuesta c o m o el voltaje que se genera entre la entrada no inversora y la conexión a tierra. De te rmine la función de transferencia y grafique su res­puesta en frecuencia. Esta función de transferencia es la impedanc ia de entrada.

b) Defina la exci tación del circuito c o m o la corriente de una fuente de corriente apl icada a la salida, y defina la respuesta c o m o el voltaje generado entre la salida y la conexión a t ierra con la entrada no inversora conec tada a tierra. De te rmine la función de transferencia y gra­fique su respuesta en frecuencia. Esta función de transferencia es la impedanc ia de salida.

c) Defina la exci tación del circuito c o m o el voltaje de una fuente de voltaje apl icada a la en­trada no inversora, y defina la respuesta c o m o el voltaje generado entre la salida y la cone­xión a tierra. De te rmine la función de transferencia y grafique su respuesta en frecuencia. Esta función de transferencia es la ganancia de voltaje.

42 . Cambie el circuito de la figura E41 por el de la E42 . És te es un circuito re t roal imentado que es­tablece una gananc ia de voltaje de lazo cerrado posi t iva del amplif icador comple to . Repi ta los

Q B pasos a), b) y c) del ejercicio 41 para el circuito re t roal imentado y compare los resul tados . ¿Cuá-^^^^p^l^Q les son los efectos importantes de la re t roal imentación en este circuito? yy„3jigig | 3 4 3 . Grafique las respuestas al escalón unitario y a la r ampa de los sistemas re t roal imentados de ga-transfofmada de Laplace nancia unitaria con las siguientes funciones de transferencia de trayectoria directa. de señales y sistemas

20 20 a) H i ( 5 ) = "

c) H i ( 5 ) = -

5 ( . 5 + 2 ) ( 5 + 6 )

100

e) Hi(í) = -

s'- +\0s + 34

100

fe)Hi(í) = -

d) H i ( 5 ) =

s-{s + 2)(s + 6)

100

s(s- + ms + 34)

s-{s- + lOí + 34)

44. Dibuje los d iagramas de polos y ceros de las siguientes funciones de transferencia.

(s + 3 ) ( í - 1) a) m )

b) m )

c) H ( 5 )

d) His)

sis + T)is + 6)

s

s- + s + \

sis + 10)

5^ + l l í + 10 1

is + \)is- + 1.618 + l)( .y2 + 0 .618 + 1)

45 . Un s is tema de segundo orden se excita mediante un escalón unitario y la respuesta es la que se ilustra en la figura E 4 5 . Escr iba una expresión para la función de transferencia del s istema.

46 . Para cada una de las gráficas de polos y ceros determine si la respuesta en frecuencia es la de un filtro práct ico pasabajas , pasabanda , pasaal tas o supresor de banda.

Respuesta al escal n

10 20 30 40 Tiempo (s)

50 60

FIGURA E 4 5 Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden.

a) b)

c) d) {A

6 2 9 [A

47. U n s is tema t iene una función de transferencia

H(s) = A

a) Sea cüq = 1. Entonces considere que ^ varía de manera continua desde 0.1 hasta 10 y grafi­que en el plano s las trayectorias que siguen los dos polos mientras L, varía entre esos límites.

b) E n c u e n t r e la fo rma funcional de va lores reales de la r e spues ta al impu l so pa ra el caso tóp = 1 y C = 0 .5 .

c) Dibuje la respuesta en frecuencia de la fase para el caso W Q = 1 y ^ = 0 .1 . d) De te rmine el ancho de banda de — 3 dB para el caso W q = 1 y ^ = 0 . 1 . e) La Q de un s is tema es una medida de qué tan cerca está su respuesta en frecuencia de una

resonancia . Ésta se define c o m o

Q = 1

2Í

Para sistemas de Q muy alta, ¿cuál es la relación entre Q, W Q y el ancho de banda de - 3 dB? 48. Dibuje d iagramas de s is temas canónicos con las siguientes funciones de transferencia.

a) H(s) = 1 0 - — — — + 3s'- + Is + 22

b) ms) = 10 s + 20

49. Dibuje d iagramas de s is temas en cascada con estas funciones de transferencia.

a) n(s) - - 5 0 , , „ ,

b) H ( s ) =

s3 + 8 í 2 + 1 3 í - | - 4 0

3

s3 + I8s- + 92s + 120

Cl = 1 (xF /?, = 10 kü

- t + ° T ^ b r vc,(f) !

v¡(í) /?, = 10 kn > v_RI(f) VC2(0 i=¡^ C , = 1 j í l F

FIGURA E51 Circuito RC de segundo orden.

+ o w v -

V;(0 - 9

C ,

vri(í)

v,(r) \ +

Q -

Ri = 6.8 kO, Ro = 12 kfí, Cl = 6.8 nF, C2 = 6.8 nF K = 3

FIGURA E52 Un filtro pasabajas de constante K.

6 3 0

CAP ÍTULO 10 Análisis de la transformada de Laplace de señales y sistemas

50 . Dibuje d iagramas de s is temas en paralelo con las siguientes funciones de transferencia.

5 1 .

52.

a) His) = 10-

b) H ( í ) =

+ 4 ^ 2 + 95 + 3

5

6 - + 7 7 ^ 2 + 2 2 8 í + 189

Escr iba las ecuaciones de estado y las de salida para el circuito de la figura E 5 1 con los dos vol­tajes de capacitor Y^^{t) y ^^4^) c o m o las variables de es tado, el voltaje a la entrada v^{t) c o m o la exci tación, y el voltaje v^j(?) c o m o la respuesta. Después , suponiendo que al pr incipio los ca­paci tores están descargados , de termine la respuesta al escalón unitario del circuito. Escriba las ecuaciones de estado y de salida para el circuito de la figura E 5 2 con los dos voltajes de capacitor V(-.j(f) y v -jCO como las variables de estado, el voltaje a la entrada v.(f) c o m o la ex­citación y el voltaje a la salida v^(r) c o m o la respuesta. Después , encuentre y grafique el voltaje de respuesta para una excitación de escalón unitario suponiendo que las condiciones iniciales son

" v c i ( O ) " 2 . V C 2 ( 0 ) . - 1 _