Alejandra García BarredaGrupo 2Valme

En este seminario realizaremos tres ejercicios relacionados con la distribución normal, el modelo de Poisson y la probabilidad binomial .

EJERCICIO 1

La media de los pesos de 150 estudiantes de un colegio es 60 kg y la desviación típica es 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1) Entre 60 kg y 75 kg

2) Más de 90 kg

3) Menos de 64 kg

4) 64 kg

5) 64 kg o menos.

A partir del enunciado del ejercicio, sacamos los siguientes datos:

X = 60 kg

Sx = 3

Teniendo en cuenta que los pesos se distribuyen normalmente, tal y como indica el enunciado, emplearemos la fórmula correspondiente:

ZX = X - X

SX

1) Hallar cúantos estudiantes pesan entre 60 y 75 kgX = 60 – 75 kg

X = 60 kg

Sx = 3 kg

Para x= 60 Para x= 75

ZX = = 0

60 – 60 ZX

75 – 60 = = 5 3 3

Consultamos la tabla de distribución normal y obtenemos las siguientes correspondencias para nuestros resultados:

0 0,5005 1

P (60<x< 75) = P (x<75) – P (x>60) = 1 – 0,500 = 0,500

Esto quiere decir que el 50% de los estudiantes pesan entre 65 y 70 kgs.

2) Hallar cuántos alumnos pesan más de 90 kg

Para x= 90

ZX = (90 – 60)/ 3 = 10 Corresponde a 1 según la tabla de distribución normal

P (x> 90) = 1 -1 = 0

Según esto, el 0% de los alumnos pesa más de 90 kg.

3) Calcular cuántos alumnos pesan menos de 64 kg

Para x= 64

Z= (64 – 60) / 3 = 1,33 Corresponde a 0,908241

Esto nos indica que el 90,82 % de los alumnos pesan menos de 64 kg.

4) Calcular cuántos alumnos pesan 64 kg

P (z =64) = 0

P (z = k) siempre corresponde a 0, puesto que no delimita ningún area

5) Calcular cuántos alumnos pesan 64 kg o menos.

Sumamos el número de alumnos que pesa 64 kg con aquellos que pesan menos de 64 kg, teniendo en cuenta los apartados 3 y 4.

90, 82 + 0 = 90,82 % de los alumnos pesan 64 kg o menos

EJERCICIO 2

La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja. Si se realizan 300 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Utilizamos en este caso el Modelo de Poisson, pues n ≥ 20 y p < 0,05 con su correspondiente fórmula:

X= nº de éxtitos (nª de accidentes)λ = n x p = 300 x 0,02 = 6e = número de Euler = 2,71828

P (3) = = 0,089

Hay una probabilidad del 8,9% de tener 3 accidentes.

e-6 x 63

3!

EJERCICIO 3

La última película de un director de cine famoso ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los espectadores potenciales ya la han visto. Un grupo de 4 amigos son aficionados al cine:

1. ¿ Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan visto la película 2 personas ?

2. ¿ Y cómo máximo 2?

1. Emplearemos la Probabilidad Binomial, con su correspondiente fórmula :

P(x) = x Px x qN - x N

x! (N – x)!

N = tamaño = 4X = nº de éxitos= 2 P = probabilidad éxito= 80% = 0,8 q = fracaso = 1 – P = 1 – 0,8 = 0,2

P (2) = x 0,82 x 0,2 4-2 = 0,15364 !

2! (4 – 2)!

Según el resultado obtenido, existe una probabilidad del 15,36% de que en el grupo hayan visto la película 2 personas.

2. ¿ Y como máximo 2?

Calculamos de manera independiente, y siguiendo el procedimiento del apartado anterior la probabilidad de que hayan visto la película 0, 1 y 2 personas.

P (x= 2) = 0,1536

P (x= 1) = 0,0256

P(x = 0) = 0,0016

Una vez obtenidos los distintos resultados los sumanos, y así obtenemos el resultado final:

P ( x≤ 2) = 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 = 0,1808

Así, obtenemos que hay una probabilidad del 18,08 % de que en el grupo hayan visto la película como máximo dos personas.