Integral definida (Semana No. 8)

Edgar BaronLuisa Fernanda Martnez RojasPolitecnico Grancolombianoeabaronp@poligran.edu.colfmartinezr@poli.edu.co

Bogota, 2014

Integral definida (Semana No. 8) Competencias

Indice

1. Palabras Claves 1

2. Objetivos Especficos de la Unidad 1

3. Competencias 1

4. Integral Definida 2

5. Aplicaciones de la integral (Area entre curvas) 3

6. Area entre dos curvas 5

7. Ejercicios 8

8. Bibliografa 9

Seccion 1: Palabras Claves

Antiderivada, reglas basicas de integracion, integral definida, integral indefinida Teorema Fundamental del calculo, Areabajo la curva.

Seccion 2: Objetivos Especficos de la Unidad

1. Adquirir una nocion de la integral como antiderivada de la funcion.

2. Reconocer y utilizar las reglas basicas de integracion

3. Resolver integrales por el metodo de sustitucion o por el metodo de integracion por partes.

4. Conocer y manejar los conceptos de integral definida e indefinida

5. Aplicar la integracion a la solucion de problemas tales como area bajo una curva y area entre curvas y expresar, pormedio de un area, la integral definida como el lmite de una funcion especial.

Seccion 3: Competencias

1. El estudiante estara en capacidad de resolver integrales aplicando las reglas basicas o el metodo de sustitucion o elmetodo de integracion por partes, segun corresponda.

2. El estudiante estara en capacidad de aplicar las integrales en contextos practicos.

1

Integral definida (Semana No. 8) Integral Definida

Seccion 4: Integral Definida

Definicion 4.1. La integral definida de f(x) desde a hasta b, notada por baf(x)dx, se define por b

a

f(x)dx = F (b) F (a)

En donde. F (x) es una antiderivada de f(x), a y b son los lmites de integracion inferior y superior, respectivamemte,con a < b.

El smbolo baf(x)dx se lee. Integral definida de f desde a hasta b.

Observacion 4.1. Para representar la diferencia entre F (b) F (a), utilizamoso el smbolo F (x)|baEjemplo 1. Calcular

31

4x3(x4 3)2dx.SolucionHacemos u = x4 3. Derivando a ambos lados, tenemos que du = 4x3dx. Luego, la integral dada se transforma en 3

1

4x3(x4 3)2dx =u2du =

u3

3+ C

Reemplazando u = x4 3, tenemos que 31

4x3(x4 3)2dx = (x4 3)3

3

31

Aplicamos la definicion y escribimos 31

4x3(x4 3)2dx = (x4 3)3

3

31

=

((34 3)3

3

)(

14 33

)=

(78)3

3 (2)

3

3

= 158, 184(8

3

)=

474, 560

3

Ejemplo 2. Calcular 10e5xdx.

SolucionHacemos u = 5x. Luego, du = 5dx de donde du5 = dx. Luego, 1

0

e5xdx =

eudu

5

=1

5eu

=1

5e5x10

=

(1

5e(51)

)(

1

5e(50)

)=e5

5 1

50e5 1

5 29,48263.

2

Integral definida (Semana No. 8) Aplicaciones de la integral (Area entre curvas)

Seccion 5: Aplicaciones de la integral (Area entre curvas)

Calculo de Areas de regiones acotadas por curvas. Revisamos ahora la relacion entre la integral definida y el area bajouna curva.

Definicion 5.1. Teorema Fundamental del CalculoSea f(x) una funcion continua, definida en el intervalo [a, b] y F (x) una antiderivada de f(x).El area de la region A, definida por la curva y = f(x), las rectas verticales x = a y x = b, y el eje de las x, esta dadapor

A =

ba

f(x)dx = F (b) F (a)

Graficamente, la situacion planteada luce de la siguiente manera, para una funcion f , definida en el intervalo [-1,1].

Veamos a continuacion algunos ejemplos de aplicacion

Ejemplo 3. Determinar el a`rea de la region acotada por la curva y = ex definida en el intervalo[12 ,

32

]y el eje de las x.

Solucion

3

Integral definida (Semana No. 8) Aplicaciones de la integral (Area entre curvas)

La figura muestra la grafica de la funcion y = ex y subrayada se encuentra la region determinada por el intervalo dado.Aplicamos el teorema Fundamental del Calculo y obtenemos que:

A =

1,50,5

exdx = ex|1,50,5 = e1,5 e0,5 = 2,833 Unidades cuadradas

Ejemplo 4. Determinar el area de la region acotada por la curva y = 1x entre los puntos x = 1 y x = 3, el eje x.Solucion

La figura muestra la grafica de la funcion y = 1x . Subrayada se puede observar la region indicada en las condiciones delejercicio.Luego, el area estara dada por:

A =

31

1

xdx = ln |x||31 = ln |3| ln |1| = 1, 0986 unidades cuadradas

4

Integral definida (Semana No. 8) Area entre dos curvas

Ejemplo 5. Determinar el area de la region acotada por la curva y = 3x2 3x + 1 entre los puntos x = 1 y x = 12 , eleje xSolucion

A =

121

(3x2 3x + 1)dx = x3 3x2

2+ x

121

=

((1

2

)3 3

2

(1

2

)2+

(1

2

))((1)3 3

2(1)2 + (1)

)= 0, 75

Seccion 6: Area entre dos curvas

Tenemos ahora dos funciones, f(x) y g(x), continuas en el intervalo [a, b], en donde f(x) > g(x). La region A, limitadapor las graficas de las funciones f y g y por las rectas x = a y x = b, tiene como area:

A =

ba

[f(x) g(x)]dx

Como puede observarse, el area de la region Ase encuentra restando el area bajo la curva de la funcion g, del area bajo lacurva de la funcion f .

Ejemplo 6. Determinar el area de la region A, limitada por las curvas f(x) = x3 + 3 y g(x) = 2 x2.La siguiente figura, muestra las graficas de las funciones f y g, la region A limitada por tales curvas y las rectas x = 1 yx = 1:

5

Integral definida (Semana No. 8) Area entre dos curvas

La region A corresponde a la parte subrayada. Para determinar el area de la region A, aplicamos

A =

11

[(x3 + 3) (2 x2)]dx

=

11

[x3 + 3 2 + x2]dx

=

11

[x3 + x2 + 1]dx

=

(x4

4+x3

3+ x

)11

=

(1

4+

1

3+ 1

)(

1

4 1

3 1)

=

(19

12

)(13

12

)=

8

3unidades cuadradas.

Ejemplo 7. Determinar el area de la region A limitada por las curvas de las funciones h(x) = x2 y n(x) = x + 6.Observe que en este ejemplo, no presenta la informacion correspondiente a las rectas x = a y x = b. Debemos entoncesencontrar los puntos de interseccion de las curvas dadas. Para ello, basta con resolver el sistema formado por las ecuacionesy = x2 e x + 6. Veamos:

y = y

x2 = x + 6

x2 x 6 = 0(x 3)(x + 2) = 0

De donde, x 3 = 0 o x + 2 = 0 por lo tanto, x = 3 o x = 2.Luego, el intervalo [a, b] corresponde a [2, 3].Para hallar los puntos de interseccion de las curvas: Si, x = 2, entonces y = 4 y si x = 3, entonces y = 9. Luego, los puntosson (2, 4) y (3, 9).Veamos ahora como se comportan las funciones h(x) y n(x) en el intervalo [2, 3]. Es decir, vamos a verificar si h(x) > n(x)o n(x) > h(x) en [2, 3] : Para ello, basta con tomar un valor en el intervalo [2, 3], por ejemplo,x = 1, y evaluar cadafuncion en este valor:

h(1) = (1)2 = 1 y n(1) = 1 + 6 = 7

6

Integral definida (Semana No. 8) Area entre dos curvas

Como se puede observar, en el intervalo [2, 3], tenemos que n(x) > h(x). Con base en esta informacion, ahora calculamosel area de la region A:

A =

32

[n(x) h(x)]dx

=

32

[(x + 6) x2]dx

=

32

[x2 + x + 6]dx

=

(x

3

3+x2

2+ 6x

)32

=

(27

3+

9

2+ 6(3)

)( (8)

3+

4

2+ 6(2)

)=

27

2(22

3

)=

125

6Unidades cuadradas

La figura muestra las graficas de las curvas n(x) = x + 6 y h(x) = x2, la region A limitada por tales curvas y por las rectasx = 2, x = 3.

Ejemplo 8. Determinar el area de la region A limitada por las curvas de las funciones t(x) = 2x y r(x) = x + 1.La siguiente figura muestra la region A. Como se observa, A = A1 + A2 :

7

Integral definida (Semana No. 8) Ejercicios

Luego, para encontrar el area de la region A debemos calcular

A =

112

[t(x) r(x)]dx A1

+

21

[r(x) t(x)]dx A2

=

112

[2

x (x + 1)dx

]+

21

[(x + 1) 2

x

]dx

Calculando cada integral y sumando sus resultados (se deja como ejercicio para el lector), tenemos que:

A1 = 2 ln |x| x2

2 x112

0,5112

y

A2 =x2

2+ x 2 ln |x|

21

1,1138Luego, A = A1 + A2 1,625 Unidades cuadradas.

Seccion 7: Ejercicios

1. Determine en cada caso, la integral o integrales que permiten encontrar el area de la region A.

8

Integral definida (Semana No. 8) Bibliografa

a)

b)

c)

2. Determinar el area de la region A limitada por la curva f(x) = x2 2x 4, el eje x entre x = 1,24 y x = 4

Observacion 7.1. Si baf(x)dx representa el area de una region que se encuentra por debajo del eje x, entonces, el

area de dicha region esta dada por baf(x)dx

3. Determinar el area de la region A limitada por la curva g(x) = 1x , entre x = 2 y x = 5

4. Determinar el area de la region A limitada por las curvas m(x) =x y t(x) = x + 1, entre x = 1 y x = 4.

Seccion 8: Bibliografa

1. ARYA, J. (1,989). MATEMATICAS APLICADAS a la A dministracion, Economa, Ciencias Biologicas y Sociales.Tercera Edicion. Mexico. Prentice Hall Hispanoamericana S.A.

2. BARON, E. (2006) MATEMATICAS 1. Primera Edicion, Editorial Politecnico Grancolombia

3. HOFFMANN, BRADLEY. CALCULO Aplicado a Administraci on, Economa, Contadura y Ciencias Sociales. QuintaEdicion. Mc Graw Hill

9