Luis Medina AquinoCICLO 2012 - I Mdulo: IUnidad: 2 Semana: 5 INVESTIGACION DE OPERACIONES IDualidad y Anlisis de SensibilidadLuis Medina AquinoDualidadAsociadoconcualquierproblemade programacinlineal(PPL)existeotro llamado DUAL. onocer la relacin de unPPLysuduales!italpara entender el anlisis de sensibilidad.Dualidaduandose"abladeldualdeunPPL entonceseste#ltimosedenomina PRIMAL.SielPPLprimalesun problemademaximizacin$entonces sudualserunproblemade minimizacin y !ice!ersa.DualidadPorcon!enienciala!ariabledela %uncinob&eti!odelprimalse denomina$ysus!ariablesprimales dedecisinsedenominan!i.'nel casodeldualla!ariabledela%uncin ob&eti!osedenomina"$ysus !ariables duales se denominan #$. Dualidad Primero aprenderemos como "allar el programa dual de un problema primal de maximi(acin$ con todas sus !ariables no negati!as y cuyas restricciones son todas del tipo menor o igual (Problema estndar de maximizacin).Dualidad)n problema estndar de maximi(acin se puede escribir como*Maximiza%& + ,+ - . ,. - ...... - n ,nSu&eto a*a++ ,+ - a+. ,. - ..... - a+nb+a.+ ,+ - a.. ,. - ..... - a.nb........... ..... .......am+ ,+ - am. ,. - ..... - amnbm ,i /(i 0 +$ .$ ... $ n)Dualidad'l dual de un problema de maximi(acin se de%ine como*Minimiza% " & b+ 1+ -b. 1. - ..... - bm 1mSu&eto a*a++ 1+ -a.+ 1. - .... -am+ 1m+a+. 1+ -a.. 1. - .... -am. 1m........... ..... .......a+n 1+ -a.n 1. - .... -amn 1mn 1& /(& 0 +$ .$ ... $ m)DualidadMaximi(ar 2 0 3 ,+ - 4 ,. Su&eto a* ,+ - . ,.+///3 ,+ - . ,.+5//,.4//,+ /$ ,. /Minimi(ar 60 +/// 1+ - +5// 1. -4// 13 Su&eto a* 1+ - 3 1.73. 1+ - . 1. - +13741+ /$ 1. /$ 13 /P89MAL D)ALDualidadDua' de un (%o)'ema no es*+nda%:o todos los problemas de programacin lineal tienen la %orma del problema de maximi(acin estndar.Pasos,;9denti%ique las !ariables correspondientes en el dual de su problema primal.;Apliqueelmismoanlisisdelproblemaestndar para"allarloscoe%icientesdela%uncinob&eti!o$ restricciones y de sus respecti!os lados derec"os.;Aplique la siguiente tabla de signos*Dualidad Modelos max Modelo minXi / la i ? ,343 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/,+ /$ ,. /$ ,3 srs'nesteprogramaprimal "ay3!ariablesprimalesy 4 restricciones.'lprogramadualtendr4 !ariablesdualesy3 restricciones.1+1.1314Dualidad'&emplo*Maximi(ar 2 0 3 ,+ - 4 ,. = . ,3 Su&eto a* 4 ,+ > . ,. - 3 ,3+.>. ,+ - 3 ,. - ,3 ?>@ ,+ - ,. > ? ,343 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/,+ /$ ,. /$ ,3 srsada columna representa una restriccin del dual. 1+1.1314Dualidad'&emplo*Maximi(ar 2 0 3 ,+ - 4 ,. = . ,3 Su&eto a* 4 ,+ > . ,. - 3 ,3+.>. ,+ - 3 ,. - ,3 ?>@ ,+ - ,. > ? ,343 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/,+ /$ ,. /$ ,3 srsada columna representa una restriccin del dual. Los coe%icientes de la %uncin ob&eti!o sern los !alores del lado derec"o del dual. 1+1.1314Dualidad'&emplo*Maximi(ar 2 0 3 ,+ - 4 ,. = . ,3 Su&eto a* 4 ,+ > . ,. - 3 ,3+.>. ,+ - 3 ,. - ,3 ?>@ ,+ - ,. > ? ,343 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/,+ /$ ,. /$ ,3 srsada columna representa una restriccin del dual. Los coe%icientes de la %uncin ob&eti!o sern los !alores del lado derec"o del dual. 1 los !alores del lado derec"o del dual sern los !alores de los coe%icientes de la %uncin ob&eti!o del primal1+1.1314Auncin Bb&eti!o del programa dual*Minimi(ar 6 0 +. 1+- ? 1. - 4 13 - +/ 14Dualidad'&emplo*Maximi(ar 2 0 3 ,+ - 4 ,. = . ,3 Su&eto a* 4 ,+ > . ,. - 3 ,3+.1+ >. ,+ - 3 ,. - ,3 ?1. >@ ,+ - ,. > ? ,3413 3 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/14,+ /$ ,. /$ ,3 srsAuncin Bb&eti!o del programa dual*Minimi(ar 6 0 +. 1+- ? 1. - 4 13 - +/ 14Primera restriccin del programa dual*4 1+> . 1. > @ 13 - 3 14 CCC 3DualidadAuncin Bb&eti!o del programa dual*Minimi(ar 6 0 +. 1+- ? 1. - 4 13 - +/ 14Primera restriccin del programa dual*4 1+> . 1. > @ 13 - 3 14 CCC 3Modelos max Modelo minXi / la i . ,. - 3 ,3+.1+ >. ,+ - 3 ,. - ,3 ?1. >@ ,+ - ,. > ? ,3413 3 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/14,+ /$ ,. /$ ,3 srsDualidadAuncin Bb&eti!o del programa dual*Minimi(ar 6 0 +. 1+- ? 1. - 4 13 - +/ 14Segunda restriccin del programa dual*>. 1+- 3 1. - 13 - 4 14 D 4Modelos max Modelo minXi D / la i . ,. - 3 ,3+.1+ >. ,+ - 3 ,. - ,3 ?1. >@ ,+ - ,. > ? ,3413 3 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/14,+ /$ ,. /$ ,3 srsDualidadPrograma DualMin 6 0 +. 1+ - ? 1. - 4 13 - +/ 14 Su&eto a*41+ > . 1. > @ 13 - 3 14 3>. 1+- 3 1. - 13 - 4 14 43 1+- + 1. > ? 13 > . 140 >.1+ /$ 1. /$ 13 /$ 14 srs'&emplo*Maximi(ar 2 0 3 ,+ - 4 ,. = . ,3 Su&eto a* 4 ,+ > . ,. - 3 ,3+.1+ >. ,+ - 3 ,. - ,3 ?1. >@ ,+ - ,. > ? ,3413 3 ,+ - 4 ,. = .,3 0 +/14,+ /$ ,. /$ ,3 srsla iM >MC- V- !1 !4 !6 s1 s4 a1 a4 -/ s. / / H 4 + + >+ 35. ,+ + / 3I. +I. / +I4 / ?4 ,. / + JI. 3I. / +I4 / +@2& . 4 +J J / 3I. / J.& > 2& / / >+4 >J / >3I.>M >M&>2& D / 9E'8A9B: 3* EAKLA A9:ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+). ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) ,+$ ,.$ ,3 /La!ariabledual1+ serelacionaconla !ariablede"olgura s+.1su!alorse ubicaenlatabla con la %ila 2&& . 4 3 / / >M >MC- V- !1 !4 !6 s1 s4 a1 a4 -/ s. / / H 4 + + >+ 35. ,+ + / 3I. +I. / +I4 / ?4 ,. / + JI. 3I. / +I4 / +@2& . 4 +J J / 3I. / J.& > 2& / / >+4 >J / >3I.>M >M&>2& D / 9E'8A9B: 3* EAKLA A9:ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+). ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) ,+$ ,.$ ,3 /'ntonces 1+ !ale J& . 4 3 / / >M >MC- V- !1 !4 !6 s1 s4 a1 a4 -/ s. / / H 4 + + >+ 35. ,+ + / 3I. +I. / +I4 / ?4 ,. / + JI. 3I. / +I4 / +@2& . 4 +J J / 3I. / J.& > 2& / / >+4 >J / >3I.>M >M&>2& D / 9E'8A9B: 3* EAKLA A9:ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+) 1.. ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) ,+$ ,.$ ,3 /La!ariabledual1. serelacionaconla !ariable arti%icial a+. 1su!alorseubica enlatablaconla %ila 2&& . 4 3 / / >M >MC- V- !1 !4 !6 s1 s4 a1 a4 -/ s. / / H 4 + + >+ 35. ,+ + / 3I. +I. / +I4 / ?4 ,. / + JI. 3I. / +I4 / +@2& . 4 +J J / 3I. / J.& > 2& / / >+4 >J / >3I.>M >M&>2& D / 9E'8A9B: 3* EAKLA A9:ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+) 1.. ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) ,+$ ,.$ ,3 /'ntonces1.!ale 3I.& . 4 3 / / >M >MC- V- !1 !4 !6 s1 s4 a1 a4 -/ s. / / H 4 + + >+ 35. ,+ + / 3I. +I. / +I4 / ?4 ,. / + JI. 3I. / +I4 / +@2& . 4 +J J / 3I. / J.& > 2& / / >+4 >J / >3I.>M >M&>2& D / 9E'8A9B: 3* EAKLA A9:ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+) 1.. ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) 13,+$ ,.$ ,3 /La!ariabledual13 serelacionaconla !ariable arti%icial a.. 1su!alorseubica enlatablaconla %ila 2&& . 4 3 / / >M >MC- V- !1 !4 !6 s1 s4 a1 a4 -/ s. / / H 4 + + >+ 35. ,+ + / 3I. +I. / +I4 / ?4 ,. / + JI. 3I. / +I4 / +@2& . 4 +J J / 3I. / J.& > 2& / / >+4 >J / >3I.>M >M&>2& D / 9E'8A9B: 3* EAKLA A9:ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+) 1.. ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) 13,+$ ,.$ ,3 /'ntoncesel!alor de 13 es cero.DualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+ 0 J? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+) 1. 0 3I.. ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) 13 0 /,+$ ,.$ ,3 /Sireempla(amos los!aloresdelas !ariablesdualesen elprogramadual !eremosque cumplenconlas restricciones.Minimiza% " & 0 #1 2 3 #4 2 5 #6 Su&eto a* > 1+ - ? 1. - . 13 .+ 1+ = . 1. - . 13 4. 1+ - . 1. - + 13 3 1+ /$ 1. srs$ 13 /P89MALD)ALDualidadMaximiza%& 4 !1 2 5 !4 2 6 !6 Su&eto a*> ,+- + ,. - . ,3 H (s+) 1+ 0 J? ,+ = . ,. - . ,3 0 ? (a+) 1. 0 3I.. ,+ - . ,. - ,3 4 (>s.$ a.) 13 0 /,+$ ,.$ ,3 /Minimiza% " & 0 #1 2 3 #4 2 5 #6 Su&eto a* > 1+ - ? 1. - . 13 .+ 1+ = . 1. - . 13 4. 1+ - . 1. - + 13 3 1+ /$ 1. srs$ 13 /P89MALD)AL1el!alorptimo dela%uncin ob&eti!odelprimal serigualal!alor ptimodela %uncin ob&eti!o del dual.'nestecaso2y 6tienen!alor igual a J.A:AL9S9S D' S':S9K9L9DAD'lob&eti!odeesteanlisisesdeterminarlos cam)iosenel7a'o%dela%uncinob&eti!oal !ariar*a) los coe%icientes de las !ariables de decisin en la %uncin ob&eti!o$ yb)los!aloresenelladoderec"odelas restricciones.'stoscambiosde!alorseanali(arnenel reportedeanlisisdesensibilidadquese obtiene del programa SOLVER.A:AL9S9S D' S':S9K9L9DADAl reali(ar unanlisis de sensibilidad se obtiene lain%ormacinnecesariapararesponder$por e&emplo interrogantes como *Fcunto ms ganarLa si tu!iera mayor cantidad del recurso ,CF"asta cunta materiaprima 1 puedo comprar de ms sin que se con!ierta en p