Semana 5

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

y

Ax

Q

sen

(-)-1

sen

(+)

M

1sen

(+)

N

sen

(-)

P

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2012-III

TRIGONOMETRÍA “Circunferencia Trigonométrica”

Definición

Se llama circunferencia trigonométrica a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto tenemos:

By

M

B' N

R = 1

A' Ax

(+)

(-)

Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en grados sexagesimales, en radianes o como números reales, para ello se recomienda tener en cuenta:

y

2

2

0

x

3

2

y90º

180º

360º

270º

0º

x

y

0

x

1,57

6,28

4,71

3,14

Líneas

trigonométricas

Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; que van a representar los valores numéricos de las razones trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre que esté definido.

1. L.T. seno y

Ax

Q

sen

(-)-1

sen

(+)

M

1sen

(+)

N

sen

(-)

P

Variación del seno de un arco:

IC

02

IIC

2

IIIC

32

IVC

232

0 1 1 0 0 -1 -1 0

0<sen <1 0<sen <1-1<sen <0-1<sen <0

sen

2. L.T. coseno y

x

NM

cos

(-)

-1

1

cos

(+)

A

P

cos(-)

cos

(+)Q

Variación del coseno de un arco:

IC

02

IIC

2

IIIC

32

IVC

232

0 11 0 0 -1 -1 0

0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0-1<cos <0

cos

Semana Nº 5

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.

2


3. L.T. tangente

y

x

N

O

PQ

M

T

T1

A

tan

tan

tan

tan

4. L.T. Cotangente

C.T.

P

0

T

rad

Tangente Geométrica

En el gráfico:

Se observa que BT representa a la cotangente del arco trigonométrico .

Línea Secante:

tangente geométrica

C.T.

P

0

rad

A

Y

En el gráfico:

Se observa que OR representa a la secante del arco trigonométrico .

Línea Cosecante:

tangente geométricaC.T.

P

M

0rad

B(0;1)Y

En el gráfico:

Se observa que OM representa a la cosecante del arco trigonométrico .

PROBLEMA DE CLASE

01 . Señale verdadero (V) o falso (F), según

corresponda en:

I. sen140º > sen160º

II. sen200º > sen250º

III. sen200º > sen320º

a) VVV b)VFF c)VVF d)FVV e) FFF

02 . Señale la variación de: L = 7 - 3sen IR

a) [4; 7] b) [-6; 8] c) [-4; 10]

d) [-2; 8] e) [4; 10]

03 . Sabiendo que IR, además: 3

1n2cos

¿cuál es la suma de los valores enteros que

toma "n"?

a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)0

04 . Sabiendo que IIC; señale la extensión de:

C = 3sen + 1

a) <1; 4> b)[1; 4> c)[-2; 4] d)<-1; 4] e)[2; 5]

05 . Sabiendo que: IIIC; señale el rango de:

C = 3cos + 2

a) [2; 3] b)<2; 3> c)<-1; 2> d)[-1; 2] e)[-1; 5]


3


06 . Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la

extensión de: C = 4sen - 1

a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>

07 . Sabiendo que: <60º; 210º>; señale la

extensión de: C = 8cos + 1

a)<-7; 5] b)[1; 4> c)[-7; 5> d)<-6; 5] e)[-6; 5>

08 . En el círculo trigonométrico, calcular el área

de la región sombreada.

O

a) )1CosSen(

2

1

b) )1CosSen(

2

1

c) )CosSen1(

2

1

d) )Cos21(

2

1

e) )Sen21(

2

1

09 .Señale la variación de: 1cos

1cos3C

si: IVC

a)<1; 2> b)

2;2

1

c)

1;2

1

d)<1; 3> e)<2; 3>

10 . En la C.T. mostrada, hallar la longitud de A'P.

By

B’

A’ Ax

P

M

a)-cos b)1 - cos c)1 + cos d)1-sen e)1 + sen

11. En la circunferencia trigonométrica de la

figura mostrada, mAM = , determinar el área de

la región sombreada.

a) cos15,0 sen b) cos15,0 sen

c) cos15,0 sen d) cos15,0 sen

e) cos18,0 sen


figura mostrada, si mAp = , determinar la suma

de las áreas de las regiones BOP y PQA.

a)

2

cos tgsen b) 2

cos tgsen

c) 2

cos Ctgsen d) 2

cos Ctgsen

e) tgsen cos


figura mostrada; si mAB´P = , determinar el área

de la región sombreada.

a)

1

5,0

tg

b)

1

1

tg

c)

1

2

tg


4


d)

1

5,0

tg

e)

1

2

tg

14.En la figura mostrada se tiene la

circunferencia trigonométrica, la medida del arco

ABM es , determinar el área de la región

sombreada.

a)

2

cosctg b) 2

cosctg c) 2

cos ctg

d) 2

cosctg e) 2

costg


circunferencia trigonométrica, mABM es ,

determinar el área de la región sombreada.

a)

cos..2

1sen b)

csc..2

1tg

c) sec..

2

1tg d)

csc..2

1Ctg

e) sec..

2

1Ctg


circunferencia trigonométrica, mABP es ,

determinar el área de la región sombreada.

a) 1cos2cos.2 2sen b) 1coscos.3 2sen

c) 1cos4cos.2 2sen d) 1cos2cos.2 2sen

e) 3cos4cos.2 2sen


circunferencia trigonométrica, mAB´P = ,

determinar el área de la región triangular A´TP.

a)

sensen

12

cos.cos1 b)

sensen

12

cos.cos1

c)

12

.cos1

sensensen d)

12

.cos1

sensensen

e)

12

.cos1

sensensen


circunferencia trigonométrica, mAB´M = ,

determinar el área de la región sombreada .


5


a) 1

2

1senctg

b) senctg 1

2

1

c) sentg 12

1 d) 1

2

1sentg

e) 1

2

1sentg

19 . En la C.T. mostrada, hallar el área de la región

sombreada.

By

B’

A’ Ax

M

a)-sen b)-2sen c)cos d)2cos e)cos

PROBLEMA DE REPASO

1 . En la C.T. mostrada, hallar el área de la región

sombreada.

By

B’

A’ Ax

M

a)sen b)-cos c) ½sen d)-½sen e)- ½cos

2 . En la circunferencia trigonométrica, se pide

indicar el valor de DBOC , en función del

ángulo "α"

O

A

B

C

D

a) TanSec b) TanSec

c) Sen

Cos1

d) CscSec

e) Sen

Cos1

3 . Se define el valor absoluto de un número real

"x", como:

0x;x

0x;xx

Según esto, reducir:

C = 2sen3sen2sen3sen

L = 2cos3cos2cos3cos

a) C = 2sen3 b) C = 2sen2 c) C = 2sen3

L = 2cos3 L = -2cos2 L = -2cos2

d) C = 2sen3 e) C = 2sen2

L = -2cos3 L = -2cos3

4 . Señale la variación de: C = 7sen + 1; IR

a) [-6; 8] b)[-7; 7] c)[-5; 8] d)[-7; 9] e)[-5; 9]

5 . Calcular BQ en el círculo trigonométrico

adjunto en función de "α"

O

B

Q

a) Sen1 b) Sen1

c) )Sen1(2 d)

)Sen1(2 e)

)Cos1(2

6 . En la C.T. mostrada, determine la superficie de

la región sombreada.

By

B’

A’ A

x

M

T


6


a) )tansen(2

sen2

b) tansen

sen2

c) )tansen(2

sen

d) 2

)tansen(cos

e) tansen

sen2 2

7 . Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la

expresión:

P = 7senx - 4cosy - 2

Siendo "x" e "y" variables independientes.

a)-13 b)9 c)4 d) -4 e)-9

8 . Halle el máximo valor de la expresión:

E = cos2x - 4senx

a) 3 b) 5 c)4 d) 2 e) 6

9 . Calcule las coordenadas del punto P.

x

y

P

a) (cos ;sen ) b) (sen ; cos )

c) ( cos ; sen ) d) (cos ; sen )

e) (sen ;cos )

10 . Calcule el área de la región sombreada en

términos de " ".

x

y C.T.

a)

1cos (1 sen )

2 b) cos (1 sen )

c) cos (1 sen ) d)

1cos (1 sen )

2

e) cos (1 sen )


términos de " ".

x

y

AO

a) sen .cos b) sen .cos

c) sen .cos d) sen .cos

2

e) sen .cos

2

12 . Calcular el área de la región sombreada en

términos de " ".

x

yx + y = 1

22

A)

1cos sen

2 B)

1cos sen

2

C)

1cos sen

2 D)

1cos sen

2

E)

1sen cos

2

13 . Si “A” es el máximo valor y “B” el mínimo valor

de la expresión: M = (3 + senx) (3 - senx)

Calcular: “A + B”

a)2 b)0 c)17 d)9 e)1

14 . Si s e n . t g 0

, halle la extensión de la

expresión:

2cos 1E

2cos 1

a)

1 1;

3 3 b) 1;1 c)

11;

3

d) ;11

3 e) ;11

3


7


41. Calcule el área de la región sombreada en

términos de " ".

x

y

A

C.T.

a)

1(1 sen cos )

2 b)

1(1 sen cos )

2

c)

1(1 sen cos )

2 d)

1(1 sen cos )

2

e)

1(1 sen .cos )

2


términos de " ".

x

y x + y = 122

O

A

a)

1(1 2sen )

2 b)

1(1 2sen )

4

c)

1(1 2sen )

2 d)

1(1 2sen )

4 e) (1 2sen )

14 . Halle el área de la región sombreada:

a)

1sen (1 sen )

2 b)

1sen .sec

2

3

c)

1sen .cos

2 d)

1sen . 1 sen

2

2

e)

1.cos .csc

2

3

15 . Halle el área de la región sombreada:

a)

1.sen

2 b)

1.sen

2

c) sen d) sen

e) no se puede determinar

03 . Hallar si el área de la región sombreada es

1u

8

2

a) 6 b) 8 c) 4

d) 6 e) 3

05. En la figura, calcule la longitud del

segmento PQ

a) sec2 -1 b) csc +1 c) sec -1

d) 1-tg e) 1-cot

8


Semana 5

Education

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