CHAMBERGO GARCIA,

ALEJANDRO

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Módulo: I Unidad: I Semana: 2

Método Gráfico

Orientaciones

Se requiere de su puntualidad al iniciar cada tutoría,

participación e integración a todas las actividades que

se realicen.

Es importante que usted realice y participe de todas las

actividades.

La participación en la clase y asistencia es fundamental

para su aprendizaje.

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comentarios y también comentes las aportaciones de

tus compañeros.

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4

en general una ecuación o inecuación lineal de 2 variables

tiene un espacio solución en el plano cartesiano conformado por todos los

puntos con coordenadas (x1,x2) que satisfagan la ecuación ó inecuación.

METODOS ALGORITMICOS DE SOLUCION PARA MODELOS DE PL

I. Método Gráfico (Geométrico)

Región Factible.

Es la aplicación de los conceptos de la geometría, para relacionar gráfica-

mente los componentes de un modelo de PL como base para su solución.

El método es aplicable hasta para representaciones tridimensionales (ca-

cada variable es una dimensión). Para facilitar la comprensión de los con-

ceptos involucrados, aplicaremos el método a modelos bidimensionales.

Ya que, un modelo de PL puede contener m restricciones (<=, =, >=) el

espacio solución del conjunto (Región Factible) debe resultar de la inter-

sección de los espacios solución de cada una de las restricciones

5

Espacio solución de una ecuación

Ejemplo:

En un modelo de PL una restricción de igualdad, se representa por :

a1 X1 + a2 X2 = b

cuya pendiente es p = - (a1 / a2) , si a2 =/= 0 .

El conjunto solución son los puntos de la recta que intersecta a

los ejes del plano cartesiano en los ptos. ( b / a1, 0) y ( 0, b / a2)

si a2 = 0 entonces el conjunto solución son los puntos de la rec

ta paralela a X2 que pasa por el punto ( b / a1, 0 )

50 X1 + 100 X2 = 500

El conjunto solución son los puntos

de la recta que intercepta a los ejes

del plano cartesiano en los puntos:

( 500/ 50, 0) y ( 0, 500 / 100)

( 10,0 ) ( 0,5 ) 10

10

5

5 0 10,0

0,5

Región

Factible

6

Espacio solución de una inecuación

Ejemplo:

a1 X1 + a2 X2 <= ( ó >= ) b

El espacio solución de una inecuación es el conjunto de puntos que pertenecen a

de uno de los semiplanos cerrados, definidos por la ecuación : a1 X1 + a2 X2 = b

Una manera de determinar el medio plano solución, es graficar la frontera y probar

que: si un punto cualquiera del plano [ejm.( 0,0)] satisface la inecuación, entonces

el semiplano que lo contiene es el espacio solución, sino es el otro semiplano.

50 X1 + 100 X2 <= 500

1. Graficar la frontera (ecuación)

2. Elegir un pto.prueba [ejm. ( 0,0)]

3.Probar si satisface ó no la inecuación

10

10

5

5 0 10,0

0,5 Región

Factible

Pto.prueba (0,0)

Pto. prueba (0,0) satisface la inecuación

El espacio solución es el semiplano

que contiene al pto. prueba (0,0)

7

Ejemplo: 7 X1 - 7 X2 <= 14 V X1,X2 >= 0

b) pto. prueba ( 0 , 0)

7 (0) - 7 (0) <= 14

4

4

2

2 0

0, -2

Región

Factible

pp (0,0)

a) 7 X1 - 7 X2 = 14

( 2 , 0 ) ( 0 , -2 )

-2

2, 0 e.s. : semiplano que

contiene al pto. (0 , 0)

Ejemplo: 2 X2 >= 10 V X1,X2 >= 0

b) pto. prueba ( 0 , 0)

2 (0) >= 10

a) 2 X2 = 10

recta // a X1, pasa ( 0 ,5 )

e.s. : semiplano que

NO contiene al pto. (0,0) 10

10

5

5 0

Región

Factible

pp (0,0)

0, 5

8

IncaS.A ensambla dos tipos de estabilizadores para Pc’s, liviano y pesado

(EL y EP). Se cuenta con dos líneas de ensamble. La línea de ensamble de

EL tiene una capacidad de 60 und. por día y la línea de EP de 50 und.

Un EL requiere 1 hr. de labor y un EP 2 hrs. A lo mas 120 hrs labor están

disponibles para asignarse al ensamble de los 2 tipos de estabilizadores.

Si cada EL deja una utilidad de S/.20 y cada EP S/.30 ¿Cuál debe ser la

producción diaria, para obtener la mayor ganancia posible?

1- Objetivo Verbal. Maximizar las utilidades, determinando el número de

unidades a ensamblar de estabilizadores EL y EP

2- Restricciones verbal

capacidad-linea-EL: a lo mas 60 und. diarias

capacidad-linea-EP: como máximo 50 und.diarias.

disponibilidad-hrs-labor : a lo sumo 120 und. diarias

no negatividad : los valores de las variables deben ser no negativos

Caso. IncaS.A

9

3-.Transformando a definiciones matemáticas

a. FO

- variables de decisión

X1 = número de und. a ensamblar de estabilizadores EL

X2 = número de und. a ensamblar de estabilizadores EP

C1 = contribución a la utilidad de un estabilizador EL = S/.20

C2 = contribución a la utilidad de un estabilizador EP = S/.30

Z = C1 X1 + C2 X2 Z = 20 X1 + 30 X2

- coeficientes de contribución

- modelo matemático de la FO

b. Restricciones

capacidad-línea-EL:

capacidad-línea-EP:

disponibilidad-hrs-labor:

X1 und. <= 60 und.

X2 und. <= 50 und.

(1hr.)X1 +(2 hrs.)X2 <= 120 hrs.

10

4-.Construcción del modelo de PL

Máx. Z = 20 X1 + 30 X2

s.a : X1 <= 60

X2 <= 50

X1 + 2 X2 <= 120

X1, X2 >= 0

Podemos concluir que los modelos de PL están formados de dos partes

importantes una función Objetivo que debe ser optimizada y un conjunto

de restricciones que deben ser satisfechas.

Un modelo de PL ( modelo cuantitativo de decisión restringida ) se utiliza

para asignar “recursos” limitados de manera tal, que se logre un objetivo

de manera “óptima”

R1) X1 <= 60 a) X1 = 60

Región Factible para caso : Inca SA Máx. Z = 20 X1 + 30 X2

s.a : X1 <= 60

X2 <= 50

X1 + 2 X2 <= 120

X1, X2 >= 0

b) pto. prueba ( 0 , 0)

(0) <= 60

recta // a X2, pasa ( 60 ,0)

e.s. : semiplano que

contiene al pto. (0,0)

R2) X2 <= 50 a) X2 = 50

b) pto. prueba ( 0 , 0)

(0) <= 50

recta // a X1, pasa ( 0 ,50)

e.s. : semiplano que

contiene al pto. (0,0)

R3) X1 + 2 X2 <= 120

b) pto. prueba ( 0 , 0)

(0) + 2 (0) <= 120

a) X1 + 2 X2 = 120 ( 120 , 0 ) ( 0 , 60 )

e.s. : semiplano que

contiene al pto. (0 , 0)

100

100

50

50 0

0, 50

Región

Factible pp (0,0)

60, 0 120, 0

0, 60

12

Representación de la Función Objetivo en el espacio solución de un modelo PL

En el espacio bidimensional , la FO de un modelo de PL es de la forma:

c1 X1 + c2 X2 ; f(X1,X2)

Un contorno de esta función representa un conjunto de puntos ( X1,X2) que corres-

ponden a un valor constante de la función f(X1,X2) y representan una línea recta.

Cada punto del contorno evaluado en la función f(X1,X2) resulta en un valor

constante, en consecuencia, la línea contorno es denominada línea ISOCUANTA.

Si £ representa un dominio de valores para la función, entonces en la FO

c1 X1 + c2 X2 = £ , cada valor de £ es un contorno.

si c2 =/=0, variando el valor de £ , cada contorno obtenido tendrá la misma pendien-

te pero diferentes puntos de intersección en el plano. Eso implica que los contornos

son paralelos unos con otros, es entonces, posible pasar de una línea isocuanta a

otra por un deslizamiento paralelo en la dirección de incremento o decremento.

Si el objetivo es maximizar la línea ISOCUANTA se denomina de ISOUTILIDAD, si es

minimizar se denomina de ISOCOSTO.

13

La idea del desplazamiento, sugiere una manera para identificar el valor óptimo de

la función objetivo. Suponiendo que el objetivo es maximizar, entonces se debe

desplazar la línea de ISOUTILIDAD desde una posición inicial £0 en la dirección de

incrementar £ ( que es el valor total de la utilidad) hasta intersectar la RF en su (s)

punto(s) mas extremo(s) ( cuyos valores (X1,X2) producen el valor óptimo en la FO).

Dado que los valores de las variables de la FO, son limitados por las restricciones

cuya representación es una Región Factible, entonces son sólo significativos los

desplazamientos de la línea de ISOCUANTA que intersecten dicha Región Factible.

Una manera de determinar la dirección del desplazamiento, es graficar un contorno

(cualquiera) de la FO y luego evaluar el valor de la FO en otro contorno [ejm. el que

pasa por el pto( 0,0)] si este valor mejora la obtención del Objetivo la dirección del

desplazamiento es hacia ese contorno, sino es hacia el lado opuesto.

14

Determinación de la Solución Optima (SO) y el Valor Optimo (VO) para Inca

Máx. Z = 20 X1 + 30 X2

a) Grafo de un contorno

( 45 ,0) ( 0 ,30)

Z = 20 X1 + 30 X2 = 900

b) Contorno prueba

por punto ( 0, 0)

Z = 20(0) + 30(0) = 0

perjudica el Objetivo,

desplazamiento opuesto

al contorno prueba

100

100

50

60 0

RF= ABCDE FO

45, 0

0, 30

Pto.extremo

solución óptima

Valor Optimo en el pto. D (R1 R3)

A

B C

D

E

R1) X1 = 60

R3) X1 + 2 X2 = 120 ; X2 = ( 120 - X1) / 2

SO X1 = 60

X2 = 30

VO = 20 (60) + 30 (30) = 1200 + 900 VO = 2100

15

Interpretación de resultados del modelo para caso : Inca SA

X1 = 60

Z = 2100

X2 = 30

Restricciones

X1 <= 60

60 = 60

Se utiliza la capacidad total de la línea de ensamble EL

X2 <= 50

30 < 50 50 - 30 = 20

Queda una capacidad ociosa de 20 und.en línea ensamble EP

X1 + 2X2 <= 120

60 + 2( 30) = 120 120 - 120 = 0

Se utiliza la capacidad total de mano de obra

En una restricción <= la diferencia entre el ST y el primero se denomina HOLGURA.

ensamblar 60 estabilizadores livianos

ensamblar 30 estabilizadores pesados

utilidad máxima $2,100

Capacidad-línea-El :

Capacidad-línea-EP :

Disponibilidad-hrs-labor :

16

El instituto del Deporte, ha firmado un contrato ventajoso para comprar suple-

mentos alimenticios para los deportistas. Estos vienen en 2 presentaciones:

S1 cuyo precio es de $16 la libra( provee 50u de minerales,200u de proteínas y

100u de hidratos por onza) y S2 que cuesta $24 la lb ( provee 100u minerales,

125u de proteínas y 100u de hidratos por onza ). En base a estos 2 productos

se desea obtener un suplemento para la dieta de los atletas peruanos que pro-

vea como mínimo de 500u de minerales, 1000u de proteínas y 750u de hidratos

al menor costo posible.

Formular y construir el modelo para solucionar el problema.

1- Objetivo Verbal. Minimizar el costo del suplemento alimenticio que

cumpla con los requerimientos mínimos exigidos,

determinando el número de onzas a mezclar de los

productos S1 y S2.

Caso: El instituto del Deporte

17

2- Restricciones verbal

Requerimiento de minerales: debe proveer por lo menos 500u Requerimiento de proteínas : debe contener como mínimo 1,000u

Requerimiento de hidratos : debe tener al menos 750u no negatividad : los valores deben ser no negativos

3-.Transformando a definiciones matemáticas

a. FO - variables de decisión X1 = número de onzas de suplemento S1 a mezclar

X2 = número de onzas de suplemento S2 a mezclar

c1 = contribución al costo por onz de suplemento S1 = 16/16 = $1.0

c2 = contribución al costo por onz de suplemento S2 = 24/16 = $1.5

- coeficientes de contribución

Z = c1 X1 + c2 X2

Z = 1.0 X1 + 1.5 X2

- modelo matemático de la FO

18

( 50u / onz) ( X1 onz) + ( 100u / onz) ( X2 onz) >= 500u

(200u / onz) ( X1 onz) + ( 125u / onz) ( X2 onz) >= 1,000u

req-minerales

req.proteínas

req.-hidratos ( 100u / onz) ( X1 onz) + ( 100u / onz) ( X2 onz) >= 750u

4-.Construcción del modelo de PL

Mín. Z = 1.0 X1 + 1.5 X2

s.a : 50 X1 + 100 X2 >= 500

200 X1 + 125 X2 >= 1,000

100 X1 + 100 X2 >= 750

X1, X2 >= 0

b. Restricciones

19

R1) 50 X1 + 100 X2 >= 500 a) 50 X1 + 100 X2 = 500

Solución por método geométrico:

Inst. Peruano de Deportes

b) pto. prueba ( 0 , 0)

(0) + (0) >= 500

( 10 ,0) ( 0 ,5)

e.s. : semiplano que NO

contiene al pto. (0,0)

R2) 200 X1 + 125 X2 >= 1,000 a) 200 X1 + 125 X2 = 1,000

b) pto. prueba ( 0 , 0)

(0) + (0) >= 1,000

( 5 ,0) ( 0 ,8)

e.s. : semiplano que NO

contiene al pto. (0,0)

R3) 100 X1 + 100 X2 >= 750

b) pto. prueba ( 0 , 0)

(0) + (0) >= 750

a) 100 X1 + 100 X2 = 750 ( 7.5 , 0 ) ( 0 ,7.5 )

e.s. : semiplano que NO

contiene al pto. (0 , 0)

10

10

5

5 0

0, 5 Región

Factible

pp (0,0)

5,0 10,0 7.5, 0

Mín. Z = 1.0 X1 + 1.5 X2

s.a : 50 X1 + 100 X2 >= 500

200 X1 + 125 X2 >= 1,000

100 X1 + 100 X2 >= 750

X1, X2 >= 0

0,7.5 0,8

20

Determinación de la Solución Optima (SO) y el Valor Optimo (VO) para: IPD

Min Z = 1.0 X1 + 1.5 X2

a) Grafo de un contorno

( 15 ,0) ( 0 ,10)

Z = 1.0 X1 + 1.5 X2 = 15

b) Contorno prueba

por punto ( 0, 0)

Z = 1.0 (0) + 1.5 (0) = 0

cumple el Objetivo,

desplazamiento hacia

al contorno prueba

FO

Valor Optimo en el pto. C(R1 R3)

R1) 50X1 + 100X2 = 500 R3) 100X1 + 100X2 = 750

SO X1 = 5

X2 = 2.5

VO = 1.0 ( 5) + 1.5 (2.5) = 8.75 VO = 8.75

10

10

5

5 0

15, 0

0, 10 A

B

RF= ..ABCD...

No acotada

C

D

21

Interpretación de resultados del modelo para caso : IPD

El suplemento alimenticio debe obtenerse mezclando:

X1 = 5

Z = 8.75

X2 = 2.5

Restricciones

50 X1 + 100 X2 >= 500

50( 5) + 100( 2.5) = 500

Se satisface exactamente el requerimiento

200 X1 + 125 X2 >= 1,000

200( 5) + 125(2.5) >= 1,000

1,312.5 > 1,000

Se satisface el requerimiento con un exceso de 312.5 u.

100 X1 + 100 X2 >= 750

100( 5) + 100(2.5) = 750

Se satisface exactamente el requerimiento

5 onz. de suplemento alimenticio S1

2.5 onz. de suplemento alimenticio S2 costo del suplemento obtenido $8.75

Requerimiento de minerales :

Requerimiento de proteínas :

Requerimiento de hidratos :

22

Ejemplo

Shader Electronics fabrica 2 productos:

1. El MP4 Shader, un reproductor MP4 y

2. El Shader Watch TV, TV color del tamaño de un reloj de pulsera.

El proceso de fabricación de ambos productos se asemeja en que los

2 necesitan un cierto número de horas de trabajo en el departamento

de electrónica y un cierto número de horas de mano de obra en el

departamento de montaje.

Cada MP4 necesita 4 horas de trabajo en electrónica y 2 en montaje.

23

Cada TV necesita 3 horas de electrónica y 1 en montaje.

Durante el actual periodo se dispone de 240 horas en el

departamento de electrónica y 100 horas en el montaje.

Cada MP4 vendido supone un beneficio de $7 mientras

que para un TV el beneficio unitario es de $5.

Se quiere determinar la mejor combinación posible de MP4

y TVs que debe producir para alcanzar el máximo

beneficio.

24

Horas necesarias para

producir una unidad

Departamento

MP4

X1

TV

X2

Horas

disponibles

Electrónica 4 3 240

Montaje 2 1 100

Beneficio Unitario 7 5

25

Definir variables

X1= número de MP4 a producir

X2= número de televisores a producir

Función objetivo

Maximizar Beneficio = 7*X1 + 5*X2

Restricciones

4X1 + 3X2 240 (horas de trabajo en electrónica)

2X1 + 1X2 100 (horas de trabajo en montaje)

Rangos de existencia

X1 0

X2 0

26

X2

X1

Número de MP4

Nú

mero

de

Tel

evis

ore

s

100

80

60

40

20

0 20 40 60 80 100

X1=0, X2=80

X1=60, X2=0

Restricción A

Restricción A:

4X1 + 3X2 = 240

27

X2

X1 Número de MP4

Nú

mero

de

Tel

evis

ore

s

100

80

60

40

20

0 20 40 60 80 100

X1=0, X2=100

X1=50, X2=0

Restricción B

Restricción B:

2X1 + 1X2 = 100

28

X2

X1 Número de MP4

Nú

mero

de

Tel

evis

ore

s

100

80

60

40

20

0 20 40 60 80 100

X1=0, X2=100

X1=50, X2=0

Restricción A

Restricción B:

Conjunto

de

soluciones

factibles

29

X2

X1 Número de MP4

Nú

mero

de

Tel

evis

ore

s

100

80

60

40

20

0 20 40 60 80 100

400$=7X1 + 5X2

210$=7X1 + 5X2

280$=7X1 + 5X2

350$=7X1 + 5X2

A medida que me alejo

aumenta el beneficio

30

X2

X1

Número de MP4

Nú

mero

de

Tel

evis

ore

s

100

80

60

40

20

0 20 40 60 80 100

La línea de máximo beneficio pasa

por este punto X1=30, X2=40, se

denominará Punto Óptimo

2

1 4

3

31

Punto Óptimo:

Matemáticamente se calcula resolviendo el sistema de ecuaciones:

4X1 + 3X2 = 240 (restricción A)

2X1 + 1X2 = 100 (restricción B)

Multiplicando y sumando tenemos:

4X1 + 3X2 = 240

-4X1 - 2X2= -200

X2 = 40, Entonces X1 = 30 (reemplazando en

restricción A o B)

Reemplazando en la Función objetivo, el Beneficio mayor será:

7*30 + 5* 40 = U$ 410

Esto se logra produciendo X1=30 MP4 y X2= 40 televisores.

32

Problemas de Minimización

Kodak SA, fabrica dos tipos de líquidos de revelado de fotografía. El

primero un producto químico para el revelado en blanco y negro, tiene

un coste de producción de US $ 2,500 por tonelada. El segundo, un

producto químico para el revelado en color, cuesta 3,000$ por

tonelada.

Basándose en el nivel actual de inventario y los pedidos pendientes

de servir, el director de producción ha especificado que, para el

próximo mes, se deben producir al menos 30 TM de líquido para

revelado en blanco y negro, y 20 para el revelado color. Además el

director ha constatado la existencia de un stock de materia prima

altamente perecedero, necesario para los dos productos, que debe

utilizarse en los próximos 30 días. Con el objeto de no desperdiciar

una materia prima tan cara, Kodak debe producir al menos 60 TM de

líquido de revelado durante el próximo mes.

33

X1= N° de Tn producidas de líquido revelado blanco y negro

X2= N° de Tn producidas de líquido revelado color

F.O. Minimizar costos Z = 2500X1 + 3000X2

X1 30 (prod. Min. De liq. Rev. Blanco y negro)

X2 20 (prod. Mín. de liq. Rev. Color)

X1+X2 60 (prod. Mín. para no desperdiciar materia prima)

X1, X2 0 (condiciones de no negatividad)

Usar método gráfico.

En este caso existen dos vértices a(40,20) y b(30,30)

Para a: F.O. = 160,000$

Para b: F.O. = 165,000$

Por lo tanto el coste más barato se dá en el punto a, por lo que Kodak

SA deberá producir 40 Tn L.R. Blanco y negro y 20 Tn L.R.color.

GRACIAS