Semana 16

1Centro Preuniversitario de la UNS S-16 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS

Ciclo 2012-III TRIGONOMETRÍA

“RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS”

¿Qué es resolver un triángulo? Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo significa determinar las medidas de sus elementos básicos; es decir, sus tres lados (a, b y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de ciertos datos que definan el triángulo.

¿Cómo resolver un triángulo? Una vez que reconocemos los datos del triángulo y verificamos que se encuentra definido; para resolverlo, se utilizarán algunas propiedades geométricas, relaciones trigonométricas ya conocidas y otras propias del capítulo como las siguientes:

I. TEOREMA DE LOS SENOS: "En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos"

S en Cc

S en Bb

S en Aa

A

B

Cb

ac D e d o nd e : aS enB = b S en A b S en C = cS enB cS en A = aS en C

S en Cc

S en Bb

S en Aa

A

B

Cb


Corolario: "En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; siendo la constante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo".

S en Cc

S en Bb

S en Aa

R : C ircun rad io

D e d o nd e : a = 2 R S en A b = 2 R S en B c = 2 R S enC

A

B

C

Rca

b

2 R

S en Cc

S en Bb

S en Aa

R : C ircun rad io

D e d o nd e : a = 2 R S en A b = 2 R S en B c = 2 R S enC

A

B

C

Rca

b

2 R

II. TEOREMA DE LOS COSENOS: "En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos multiplicados por el Coseno del ángulo formado por ellos".

A

B

C

a

b

ca = b + c 2 bc C o sA2 2 2

b = a + c 2 ac C o sB2 2 2

c = a + b 2 ab C o sC2 2 2

A

B

C

a

b

ca = b + c 2 bc C o sA2 2 2

b = a + c 2 ac C o sB2 2 2

c = a + b 2 ab C o sC2 2 2

De donde podemos deducir fácilmente:

ab2

cbaC o sCac2

bcaC o sBbc2

acbC o sA222222222

Semana Nº 16

S en Cc

S en Bb

S en Aa

A

B

Cb



III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES: "En todo triángulo, la longitud de un lado es igual a la suma de los productos de cada una de las otras dos longitudes con el Coseno del ángulo que forman con el primer lado":

a = b C o sC + cC o sB

b = aC o sC + cC o sA

c = a C o sB + bC o sAA

B

Cb

ac

a = b C o sC + cC o sB

b = aC o sC + cC o sA

c = a C o sB + bC o sAA

B

Cb

ac

IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES: "En todo triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de sus lados, es a su diferencia; como la Tangente de

la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados, es a la Tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos".

A

B

Cb

ac

2ACTan

2ACTan

acac

2CBTan

2CBTan

cbcb

2BATan

2BATan

baba

A

B

Cb

ac

2ACTan

2ACTan

acac

2CBTan

2CBTan

cbcb

2BATan

2BATan

baba

A

B

Cb

ac

2ACTan

2ACTan

acac

2CBTan

2CBTan

cbcb

2BATan

2BATan

baba

A

B

Cb

ac

2ACTan

2ACTan

acac

2CBTan

2CBTan

cbcb

2BATan

2BATan

baba

ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES

ab C o sC2bam4

acC o sB2cam4

bcC o sA2cbm4

222c

222b

222a

m : M ed iana rela tiva a “a”a

A

B CMa

m a

V : B isectriz in terio r d el “A”A

A

B C 2CC o s

baab2V C

2BC o s

caac2V B

2AC o s

cbbc2V A

D

V A

V ’ : B isectriz exterio r d el “A”A

A

B C

V ’A

2CS en

|ba|ab2'V C

2BS en

|ca|ac2'V B

2AS en

|cb|bc2'V A

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

Para Triángulos Rectángulos


Para Todo Triángulo

Nota

PROBLEMA DE CLASE

1) Dado el triangulo ABC, cuyo grafico es:

Calcular el ángulo B

A) B)

C) D)

E) (3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 I )2) El producto de Sen2B.Sen2C del triangulo ABC de la figura, es igual a:

A) B) C) D) E)

( EXAMEN PREFERENTE – 2012 I )

3) Si el coseno del mayor ángulo agudo de un triangulo de lados enteros consecutivos es 1/5; entonces, el semiperímetro de dicho triangulo mide:

A) 3 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 II )


4) En la figura mostrada: AB = 4; BC = 3 y AC 5, entonces el valor de tg es:

A) B) C) D) E) 1

( EXAMEN ORDINARIO 2012 - I )

5) Sabiendo que ABCD es un cuadrado, además : AM = MB y BN = 2.NC. Hallar sen

A) B) C) D) E)

(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2009 II )

6) En un triangulo ABC ;Reducir la expresión

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

7) En el prisma rectangular mostrado,

calcular: Sec

23

4

a) 325

b) 15226

c) 29226

d) 13215

e) 11213

8) Calcular el área máxima de la región sombreada.

A) 2 B) 4 C)4 D)2 E) 1

9) En el triángulo equilátero ABC; BP = 5AP

AN = 2NC. Calcular: Sec

MP

A

B

C

N

a) 9 b) 912 c) 91 d) 912 e)

712

10) En un triangulo ABC, de circunradio R , se cumple: a.cosB + b.cosA = 4R.senC.cosC La medida del ángulo C, en radianes, es:

a) b) c) d) e)

(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III )

11) En un triángulo ABC: A = 45º Y B = 60º. el valor de c/a , es:

a) b) c)

d) e)

(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III )

12) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) Simplificar: F =(a-b)senC+(b-c)senA+(c-a)senB

a)a + b + c b)0 c) senAsenBsenC


d) senA + senB + sen C e) bsenC13) Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a 7, 8 y 13, calcular la medida del ángulo mayor. a) 82º b) 90º c) 105º d) 120ºe) 150º

14) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c)

Reducir:

a) b) c) d) e)

a2+b2

15) Las longitudes de los lados de un triangulo son tres números consecutivos y la medida del ángulo mayor es el doble del menor. Calcular el perímetro de dicho triangulo.

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

16) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c)

Se cumple:

Calcular:

a) ½ b) c) d) e)

17) En un triangulo ABC se conoce: AC =

2+ ,

BC = 3 + , m<ABC =45º. Calcular la

medida del menor valor del ángulo C. a) 60º b) 45º c) 30º d) 15º e) 10º

18) En un triangulo ABC, si: cosA – 1=cos2A–cos2B–cos2C, calcular: F = senB. senC a) ¼ b) ½ c) 2 d) 4 e) 8

19) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) , si tgB = 1/5; calcular:

a) b) c) d) e)

20) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) , Si: m<B – m<C = 2m<A, simplificar:

a) CscA b) SecA c) sec2A d) cosA e) 2secA

21) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) , Si: b = 3a y m<C = 60º, calcular tgA

a) b) 1 c) d) e)

PROBLEMA DE REPASO

1) En un triangulo ABC, su perímetro es 6u y el lado BC = 2u, además ( AC = b , AB = c) calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2) En un triangulo ABC , (D ) tal que:

AB = CD, ;

y ; calcular

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

3) Dado el triangulo ABC, tal que: AC = 7u , BC = 5u, y ; calcular sen

a) b) c) d)

e)

4) En un triangulo ABC (BC = a , AC = b, AB = c), simplificar: F = abc.senA (ctgB + CtgC)

a) b) c) d) 2 e) 3


5) ¿En qué tipo de triangulo ABC, donde AB = c, AC = b, BC = a; se cumple: a.senA – b.senB = c.senC ? a) Rectángulo ABC b) Rectángulo BCA c) Rectángulo BAC d) equilátero e) oblicuángulo

6) En un triangulo ABC (BC = a, AC = b, AB = c ), Simplificar:

a) 0 b) a + b c) Sena – senb d) senA e) b

7) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB =

c) , si , R: longitud del

circunradio. Calcular: F = cos2C + cos 2B + cos2A a) 15 /8 b) 13/4 c) 17/8 d) 21/4 e) 19/8

8) De la figura mostrada, Si MN =m , NP =

n; calcular

a)1 b)2 c)1/2 d) 3/2 e) 3

9) Los tres vértices de un triangulo ABC tienen sus coordenadas en el plano cartesiano: A(1;1) , B(3;5) y C(-1;3). Si la medida del ángulo β es el menor calcular:

a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5 d) 1 e) ½

10) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB = c) , se verifica la relación: (a + b + c)(a + b -c) = 3ab . calcular la medidad del angulo C. a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º e) 150º

11) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB = c) , si se cumple : (a + b + c)( c + b – a ) = ¼ bc , calcular cos2A

a) 17/64 b) 17/32 c) -17/64 d)49/64 e) – 7/8

12) En un triangulo ABC, determinar F en terminos de a , b y c.

a) b) c)

d) e)

13) En un triangulo ABC, Simplifique:

a) b) c) d) 2 e)

14) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB = c) si se cumple :

Calcular el valor nuemrico de F = 8cos 2 C

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15) En un triangulo ABC se cumple que: B – C = 60º y además: ab.cosC +ac.cosB +bc.cosA = 2a2 – bc . calcular la medidad de los angulos internos de dicho triángulo.a) 75º; 90º; 15º b) 75º; 60º; 45º c) 30º; 90º; 60º d) 120º; 50º; 110º e) 105º; 45º; 30º

16) En un triangulo ABC, si AB = 1 ; AC = sen ; BC = cos (0 < < /2 ). Calcular el radio de la circunferencia circunscrita. a) 0,5 b) 0,75 c) 1 d) 2 e) 2, 5

17) En un triangulo ABC, simplificar: F = a2 cos2C – C2cos2A + c2

a) b) c) a2 d) 2 a2 e) 3 a2


18) Un triángulo ABC, recto en A y de área “S”. La siguiente expresión:

, expresada en

función del área S, es:A) 2S B) 4S C) 6S D) 7S E) 8S

19) En el siguiente gráfico, si: AB = 6cm; BC = 5cm, <C =<D = 90º , m<ABD = 90º, entonces AD , es:

A)9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

20) En un triángulo rectángulo ABC, el producto de los lados opuestos a los ángulos B y C es igual al cuadrado de la hipotenusa multiplicado por:

A) B)

C) senC.SenA D) SenA.SenB E) SenB.SenC

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