Si A y B son conjuntos no vacíos, entonces cualquier subconjunto no vacío R de a x B se llama una relación entre los conjuntos A y B .

Una relación F es una función si V(a,b) ∈ F ⋀ (a,c) ∈ F, b= c; es decir, no existen dos parejas ordenadas diferentes con la misma primera componente. En una función, la segunda componente se llama la imagen de la primera componente.

INSTITUTO INTEGRADO DE COMERCIO – BARBOSA, SANTANDER GUÍAS DE TRABAJO ACADÉMICO

Emergencia sanitaria COVID 19 - 4° PERIODO 2020

ESTUDIANTE: ____________________________________________________________ TIEMPO: 8 SEMANAS (4 HORAS SEMANALES)

GRADO DOCENTE TELÉFONO CICLO VI NOCTURNA JAVIER BENÍTEZ RODRÍGUEZ 3223661262

Para cualquier asesoría comunicarse con el docente titular de la materia, en el horario de clase correspondiente a la asignatura de matemáticas. (Horario que se les entregó a principio del año escolar) METAS DE COMPRENSIÓN: Identifico y clasifico las relaciones y funciones DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN: Analizo las diferencias entre relaciones y funciones. Clasifico las funciones.

Semana 1 y 4

RELACIONES

Una relación es función si: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen, pero cada imagen puede tener varios dominios.

FUNCIÓN FUNCIÓN NO FUNCIÓN

En una función real hay dos tipos de variables: La letra x representa cualquier número real y se llama variable independiente. Al conjunto de estas variables se le

denomina el dominio de la función. Los valores que toma la letra dependen de los valores que se dan a la letra , por eso la variable y se llama variable

dependiente. Al conjunto de los valores de esta variable se le denomina rango.Ejemplo práctico:

Determinar cuáles de las relaciones son funciones R1={(1,2),(1,3),(5,8),(3,4),(6,7)}Graficamos los pares de puntos ordenados y observamos que 1 tiene 2 imágenes, como la función es una relación uno a uno de elementos de los conjuntos entonces R1 no es función.

Las parejas de la relación son:

Reconocer oportunamente las características de una función nos permite trazar su gráfica con alguna precisión sin elaborar tablas de valores.

FUNCIONES

DIFERENTES NOTACIONES DE FUNCIÓN

FUNCIONES BIYECTIVAS

FUNCIONES INYECTIVAS

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1). Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

La función f(x) = 2x+1 con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

FUNCIONES SOBREYECTIVAS

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real.

Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función:

FUNCIONES BIYECTIVA

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva). Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X. Teóricamente, una función f es biyectiva si:

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad: Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva. Resumen En resumen, se pueden presentar los siguientes casos de funciones:

Ser inyectiva pero no sobreyectiva Ser sobreyectiva aunque no inyectiva Ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) No ser ni inyectiva ni sobreyectiva

La función f(x) = 3cos x, si no se restringe su dominio, no es ni inyectiva(rectas horizontales la cortan en más de un punto) ni sobreyectiva (el codominio está restringido a [3, -3]).

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dominio de una función: Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias. Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de aba jo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función. La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

1. Construir una tabla de valores para cada función. Luego trazar su gráfica: a) b)

2. Indicar cuales de las siguientes relaciones representa una función:

3. Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones:

4. Determinar y el dominio y el rango de cada una de las funciones:

a)

b)

c)

√

d)

e) √

6. Determinar si cada una de ellas es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

a.

b. c.

d.

Semana 4 a 8

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN GRÁFICA EJEMPLO

FUNCIÓN CONSTANTE

representa una recta paralela ap eje “X” sobre

Obtener la gráfica de

FUNCIÓN LINEAL

Esta función tiene la forma y representa una recta en el plano cartesiano, en donde es la pendiente y la ordenada al origen.

Graficar la función

FUNCIÓN IDENTIDAD

Es la función lineal con , es decir

TALLER PRÁCTICO EN CASA

Una función es creciente en un intervalo , si Una función es decreciente en un intervalo si

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es de la forma y representa una parábola cóncava hacia arriba a hacia abajo

LA FUNCIÓN Con entero positivo tiene como

Dominio es decir el conjunto de los reales y Rango: { ⟦

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función es

| |

Obtén la gráfica de | |

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

FUNCIÓN COMPOSICIÓN (Función de funciones)

Sean funciones cualesquiera que definen una nueva función, la cual recibe el nombre de función composición de con g y se denota con: .......................................... Y es la función cuyo dominio de tal que pertenece al dominio de

es decir, { } .

FUNCIÓN PARES

Una función es par si para todo de su dominio de definición se cumple que: En consecuencia la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje . Ejemplo práctico: Consideremos la función definida sobre los números reales y calculemos algunos valores

FUNCIÓN IMPARES

Una función f es impar si para todo x de su dominio de definición se cumple que:

Ejemplo práctico: Consideremos la función definida sobre los números reales y calculemos algunos valores

En términos generales las funciones son pares si el exponenete es un número par y si son impares si ese es impar.

FUNCIÓN INVERSA

Sea una función inyectiva con dominio y contradominio ; la función que satisface ( ) se llama y se denota con dominio y contradominio

Ejemplo: Determinar la función inversa de

FUNCIONES TRASCENDENTES

Función exponencial

Son aquellas funciones del tipo =donde “a” debe ser un número mayor que cero y distinto de 1...( a > 0 ; a 1 )

Todas las funciones exponenciales tienen como Dominio todos los números reales.

Todas las funciones exponenciales tienen como Rango todos los números reales positivos sin incluir el cero. Tomando en cuenta lo indicado anteriormente no es necesario realizar ningún análisis para determinar el Dominio y Rango de una función exponencial. Al detectar que es una función exponencial, podemos afirmar inmediatamente que: Vamos a graficar dos funciones exponenciales para sustentar lo apuntado anteriormente:

FUNCIONES POLINÓMICAS

Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que, a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”. Son funciones polinómicas: La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

Ejemplo:

Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3 Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. Rango = (– ∞ , + ∞ )

FUNCIONES RACIONALES

Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación. Ejemplo: Determinar Dominio y Rango de Igualando el denominador a cero:

El dominio estará formado por todos los reales excepto el número 3. Dom f(x) = R – {3} ; (– ∞ , 3) U (3 , + ∞ ) Esta gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 1”, Luego la función estará definida en todos los valores de Y menos en “Y = 1”. Rango = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )

FUNCIONES IRRACIONALES

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.

Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al

elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el

radicando.

Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por

tanto no tendrán imagen.

Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz

y hacer que sea mayor o igual que cero. A continuación, se resuelve esa inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el

dominio de la función.

Ejemplo: Determinar Dominio y Rango

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Los logaritmos de números negativos y el de 0 no existen. Luego, todas las expresiones a las que se le pretenda calcular su logaritmo deben ser mayores a cero. El procedimiento para calcular su dominio es bastante similar al de las funciones irracionales. Tomamos lo que hay dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero. A continuación, resolvemos la inecuación y la solución nos da el dominio. El Rango estará representado por el conjunto de todos los números reales

b.

TALLER PRÁCTICO EN CASA

OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

FUNCIÓN A TROZOS

1. Analiza cada función racional. Luego elabora su gráfica:

2. Dibujar la parte que falta en la gráfica de cada función:

c.