Semana 1

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo

Lado Inicial

Lado Terminal

0

A

B

A

B

0

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-II

TRIGONOMETRÍA “Ángulo Trigonométrico”

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con ángulo trigonométrico.

Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y antihorario.

Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.

Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de

ángulo geométrico y observar las características de ambos.

Ángulo

Geometría Plana Trigonometría Plana

Definición

Abertura determinada por dos rayos a

partir de un mismo punto.

Abertura que se genera por el movimiento

de rotación de un rayo alrededor de su

origen, desde una posición inicial (lado

inicial) hasta una posición final (lado final)

Características

Son estáticos

No tienen sentido de giro, por lo

tanto no hay ángulos negativos.

Están limitados

( º360 ricoTrigonomét º0 águlo )

Son móviles

Su sentido de giro está definido:

Los ángulos positivos tienen

sentido antihorario ().

Los ángulos negativos tienen

sentido horario ().

Su magnitud no tiene límites.

Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo

sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:

Semana Nº 1

- - 10º

Por ejemplo:

10º -

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.

2


Sistemas de medición angular:

Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en

que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:

Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado

sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.

Equivalencias:

)``(3600º1

)``(601̀

)`(60º1

)(360

1º1

gesimalSegunoSexa

agesimalSegundoSex

gesimalMinutoSexa

esimalGradoSexagv

Debemos tener en cuenta: 0

360060´´´º´´´º

cbacbacba

Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´

Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado

centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.

Equivalencias:

)(100001

)(1001

)(min1001

)(400

11

tesimalsegundoCen

tesimalSegundoCen

malutoCentesi

simalGradoCentev

sg

sm

mg

g

Debemos tener en cuenta: g

cbascmbgascmbga

10000100

Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s

Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)

- - 10º

Por ejemplo:

10º -


3


Equivalencias:

Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la

siguiente conclusión:

arad

RradCSg

g

2400º360

º

crad

RradCSg

g

200º180

º

krad

RradCSg

g

20

10º9

º

También una equivalencia de esta última relación es:

20;10;9

kRkCkS

109

CS

;

RS 180

;

RC 200

109

CS

;

RS 180

;

RC 200

PROBLEMA S RESUELTOS

1. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal

que la diferencia de su número de segundos

sexagesimales y de su número de minutos

centesimales sea 15700.

OBSERVACIÓN RELACIÓN DE MINUTOS:

. 5027

mM . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES

m: # MINUTOS CENTESIMALES RELACIÓN DE SEGUNDOS:

. 25081

ba . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES

b: # SEGUNDOS CENTESIMALES

Sexagesimales Centesimales

# de grados S C

# de minutos 60 S 100 C

# de segundo 360 S 10000 C

La medida de un ángulo en

radianes viene expresado por:

r

Aproximaciones de

23

7

22

1416,3


4


A)

2

B) 2 C) 40

D) 40 E)

10

RESOLUCIÓN

Piden: radR

Condición:

Número Número Segundos Minutos = 15700

Sexg. Cent. 3600 S 100 C = 15700

39(9n) (10n) = 157

314n = 157

1n R

2 40

rad40

RPTA.: C

2. Halle “C” a partir de la ecuación:

6 78 5 6 7S C 20

R 4 S C R9 10

,

Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un

mismo ángulo.

A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10 RESOLUCIÓN

Condición:

5 6 7 5 6 7

20K 20K 20K

S C 20S C R R 4 S C R

9 10

20k (S5+C6R7) = 4 (S5 + C6 R7)

k = 1

5

C 40 RPTA.: C

3. A partir del gráfico mostrado, determine la

medida del ángulo AOB, si “” toma su

mínimo valor.

A)52g B) 30º C)45g D)45º E) 135º RESOLUCIÓN

= ?

g

g 1010 ² 10 40 45 9 º

9º ² 10 + 40 = 5

( + 5)² + 15 = 5

( + 5)² = 20

20 0 = 20 (mínimo)

(45 9)º = (9 45)º = (180 45)º

= 135º = 45º RPTA.:

D

4. Se inventan 2 sistemas de medición

angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < > 90º. Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.

A) 3

8 B) 5

8 C) 7

8D) 9

8 E) 11

8

RESOLUCIÓN

1x = 2g 8y = 9º

ºx g

y º g

x

y

x y

1 2 9

8 9 10

1 1

8 5

5 8 Relación de Sistemas

x y x 5

5 8 y 8

RPTA.: B

PROBLEMA DE CLASE

1. Si se cumple :

222

2

222

11112

RCS

C

RCS

R

RCS

S

RCS

RCS

R

S = 9n Sabemos C = 10n

R =

o

AB

C D

g

10 ² 10 40 45 9 º

S = 180 K Sabemos C = 200 K =? R = K

45 9 º


5


donde S, C y R son las medidas usuales del mismo

ángulo; entonces R es igual a:

a) rad120

b) rad60

c) rad40

d) rad30

e) rad120

5

(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)

2. Si la diferencia de dos ángulos es 100g y su

suma es ., entonces, las medidas

sexagesimales de dichos ángulos,

respectivamente , son:

A) 315° y 225° B) 325° y 215°

C) 300° y 240° D) 290° Y 250°

E) 315° y 235°

(Examen ordinario– UNS 2014 II)

3. Si los ángulos congruentes de un triángulo

isósceles miden (6x)g , y , entonces el

complemento de la medida del tercer ángulo

en el sistema radial es a:

A) rad10

B) rad

5

C) rad

12

D) rad20

E) rad

8

(Examen ordinario– UNS 2014 II)

4. De acuerdo a la figura, hallar el valor de “x”.

A) 45º B) 46º C) 43º D) 44º E) 42º

5. Si el grado Shary ( ) equivale a la 960ava

parte de una vuelta ¿A cuántos grados Shary

equivale

rad?

A) B) C) D) E)

6. Los ángulos de un triángulo miden

. Hallar el complemento de

10xº

A) 30º B) 45º C) 50º D) 60º E) 40º

7. En un triángulo se cumple que la suma del

primer y segundo ángulo es igual a:

, y la

suma del segundo y tercer ángulo es igual a

150 grados centesimales. Este triángulo se

llama

A) Equilátero B) rectángulo equilátero

C) isósceles D) rectángulo isósceles

E) escaleno

8. Si las raíces de una ecuación cuadrática :

02 cbxax , son los números de grados

sexagesimales y centesimales de un ángulo .

Entonces el número de radianes de dicho

ángulo solamente en términos de b y c es:

a)1

19

1800

b

c

b) bc19 c)

1

19800

19

b

c

d) 1

1800

19

c

b e)

b

c19

9. La suma de dos ángulos está dada por la

siguiente igualdad:

111 baba g

Hallar dichos ángulos en el sistema

sexagesimal si su diferencia es ba

A) 25° y 40° B) 45° y 27° C) 40° y 38°

D) 20° y 45° E) 10° y 25°

(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II)

10. Sabiendo que: x + y + z = 61

Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’

A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’

D) 62º1’ E) 60º2’

11. Si a y b son dos números reales positivos

hallar el máximo número de radianes de un

ángulo que satisface la siguiente igualdad:

22

22

)()(

)()(

baba

babaSC

Si: S y C son lo conocido.

a)

380 b)

190 c)

19 d)

190

e)

380

12. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la

igualdad: ´ ´´. ZYXrad 32

;

Calcular x XZY 5

A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6


6


13. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo

ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de la

ecuación:

3x2 - 19x + 30 = 0

A) B) C) D) E)

14. Si S y C son la medida de un ángulo en los

sistemas sexagesimal y centesimal

respectivamente y cumplen:

. . .32

1111

CCCS

Calcular la medida circular de dicho ángulo

A) B) C)

D) E)

15. De la figura mostrada:

Calcular: “9-10”

A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800

16. Determine la medida circular de un ángulo que

verifica:

S

Costérn

RRR

min""...........

2

11

1

11

11

a) radn

10

1)( b)

10

n c)

9

n d)

9

1n e) 9n

17. Determinar la medida en el sistema centesimal

para un ángulo cuyas medidas en los sistemas

convencionales cumplen la relación:

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

18. Si:

CC

CC

CC

SS

SS

SS

Hallar el número de radianes de dicho

ángulo. Si: (S y C son lo conocido)

a) 3600

441 b)

3600

551 c)

3600

361

d) 3600

641 e)

3600

241

19. Siendo el número de radianes de un ángulo

positivo, verifica la igualdad:

11.8.3

Hallar: . Si:

a) 9

32 b)

64

9 c)

32

9

d) 16

9 e)

9

64

20. Si el ángulo AOC es obtuso, hallar los valores

que puede tomar “”.

A) 18151215 ;;

B) 15121518 ;;

C) 15651518 ;;

D) 15;12 E) 18;12

21. Resolver el siguiente sistema:

)2(...SC

)1...(S4C8,3

S6C2,4

1x

1x

47x

Siendo S y C los números de grados

sexagesimales y centesimales de un mismo

ángulo en sentido antihorario.

Dar como respuesta la medida del ángulo en el

sistema radial.

A) rad200

1048 B) rad

200

9048 ,

C) rad100

1048 D) rad

2

9,048 E) rad

300

1048

22. Si C y R son los números que representan las

medidas de un ángulo trigonométrico en los

sistemas centesimales y radial

respectivamente, tal que:

C = R + 2R2 + 3R3 + 4R4 + ……….

4 3 2S C 20R 12 3 2S C R9 10 5


7


Calcular la medida del ángulo en el sistema

radial.

A) { rad2

1,0 ; rad2

1,01

}

B)

rad

21,0;rad

21,0

C)

rad2

1,01;rad2

1,01

D)

rad

2;rad

2

23. Siendo S, C, y R los convencionales para un

ángulo trigonométrico donde S y C son las

soluciones de la ecuación:

x2-nx+m=0 ; {m;n} ℝ+

Calcule: m

n

136,

A) 3

1 B)

6

1 C)

9

1 D)

3

2 E)

2

1

PROBLEMA DE REPASO

1. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema

de medición angular cuya unidad es “un grado

C” (1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la

suma de los ángulos internos de un pentágono.

A) 80c B) 160c C) 200c

D) 240c E) 320c

2. Calcular la medida de un ángulo en radianes

desde “S” y “C” son los números de grados

sexagesimales y centesimales

respectivamente y cumplen:

S = (x + 3) (x - 2)............ (i)

C = (x + 2) (x -1)............ (ii)

A) B) C) D) E)

3. Si:

Calcular: K = b - a + 1

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4. De la condición:

Calcule:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

5. Para un cierto ángulo se cumple que la suma

del número de grados sexagesimales con el

doble del número de grados centesimales y

con el triple del número de radianes es igual a

1740 + 9. Calcule el número de radianes de

dicho ángulo.

A) B) 2 C) 3D) 4 E)5

6. Calcular:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

7. Siendo S y C el número de grados

sexagesimales y centesimales de un mismo

ángulo que cumple:

S = x - 1 .............. (i)

C = x + 2 ............ (ii)

Calcular la medida del ángulo en radianes

A) B) C) D) E)

8. La suma del número de grados sexagesimales y

centesimales de un mismo ángulo es 95.

Calcule la medida de dicho ángulo en el

sistema internacional.

A) B) C) D) E)

9. Determine la medida radial de un ángulo que

cumple que la diferencia de los números de

minutos centesimales y sexagesimales de

dicho ángulo es igual a 460.

A) B) C)

D) E)

10. La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y

la diferencia de los mismos 18g. Determinar la

medida circular del menor de los ángulos.

rad aºb'16

5º radx

xº

g10

g m2º2' 2 2M 18

m2' 2

10

3

10

5

18

3

20

2

25

rad12

rad

10

rad8

rad

6

rad

4

rad5

rad

10

rad

15

rad20

rad

40


8


A) B) C) D) E)

11. La medida de un ángulo en un sistema “M” es

igual a la cuarta parte de la suma de su número

de grados centesimales y 3 veces su número

de grados sexagesimales. ¿Cuántas unidades

en el sistema “M” le corresponden a un ángulo

llano?

A) 75 B)165 C) 180 D) 185 E) 215

12. Si se cumple que:

Siendo el número de radianes. Halle la

medida de dicho ángulo.

A) 40g B) 90° C) 30° D) rad E) 200g

13. Siendo S y C los números de grados

sexagesimales y centesimales de un ángulo que

cumple con:

Hallar el valor de:

A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1

14. Señale la medida circular de un ángulo que

verifique:

osmintér"n"

. . . . . .2S

11

1S

11

S

11

C

n2

Siendo S y C lo convencional para un

mismo ángulo.

a) 180

n b)

200

n c)

225

n

d) 135

n e)

315

n

15. Señale la medida circular del ángulo cuyos

números de grados sexagesimales y

centesimales se expresan como: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … ; C = 2 + 4 + 6 + 8 + …

Teniendo ambos igual cantidad de

sumandos:

a) rad20

3 b) rad

20

7 c) rad

10

9

d) rad20

9 e) rad

23

5

16. El doble del número de grados sexagesimales

de un ángulo disminuido en su número de

grados centesimales es a 8 como es 3 a 4.

Calcular la medida radial del ángulo que cumple

dicha condición.

a) rad20

3 b)

40

3 c)

50

3

d) 80

3 e)

100

3

17. Se crea un nuevo sistema de medición angular

“R” tal que su unidad (1R) es la 240 ava parte

del ángulo de una vuelta.

Exprese en el sistema “R” un ángulo que

mide rad4

.

a) 27R b) 30R c) 32R d) 36R e) 40R

18. Calcular la medida radial de un ángulo para el

cual se cumple:

27S + 13 = 81C

siendo S y C lo convencional para el mismo

ángulo.

A) B) C) D) E)

19. Sí mgCBA 9013 ´ ´´ , calcular: B

CA

A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9

20. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo

trigonométrico que cumplen:

Calcular: “R”

A) B) C) D) E)

21. Si:

Calcular: a + b + c

A) 9 B)15 C) 18 D) 21 E) 2

rad2

rad

3

radrad

200

rad

300

24 5

2

“ ”

S 13 C 2x .

2 3

2x

4x 1x

5

3

20

5

12

2

9

3

10

2S C 3R 2

2S C 3R 2

6

5

3

4

3

5

5

6

4

3

g o

x 2 x 1 x abc

9


Semana 1

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