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Coordinacin deMatemtica II (MAT022)Primer semestre de 2013

Semana 9: Lunes 13 de Mayo Viernes 17 de Mayo

CLCULO

Clase 1: Coordenadas polares: Grfica de curvas. Clase 2: Clculo de reas en coordenadas polares.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Coordenadas polares

Hasta ahora hemos estudiado el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares para localizar puntos en el plano.Existen otros sistemas de coordenadas que en determinadas condiciones de simetra presentan ventajas respecto a lascoordenadas cartesianas. En esta clase estudiaremos el sistema de coordenadas polares.

1.1.1 Posicin de un punto en coordenadas polares

En el sistema de coordenadas polares un punto P del plano se representa por un par (r, ) donde r es la distancia delorigen (llamado Polo) al punto dado y es el ngulo de inclinacin del radio vector

!OP con respecto al semieje positivo X

llamado eje polar.

Observacin 1.1. En lo que sigue trabajaremos con el ngulo en radianes.

Ejemplo 1.1. En coordenadas polares, el punto P = (3,/6) es ubicado dibujando primero un rayo que parte en el poloque forme un ngulo = /6 con el semieje positivo (Eje polar) luego, sobre dicho radio y desde el origen se mide r = 3unidades. Notar que el mismo punto del plano pudo haber sido localizado usando las coordenadas polares (3,11/6),ms aun P = (3,/6+2n) para n 2Z.

Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemtica

Extensin de la representacin Todo punto P = (r, ) tiene infinitas representaciones

(r, ) =

(r, +2k) con k 2Z(r, ++2k) con k 2Z

note que origen es representado por todos los puntos (0, ) con 2R.

1.1.2 Frmulas de transformacin

Ya que estamos muy familiarizados con las coordenadas rectangulares es til poder transformar coordenadas polares enrectangulares y viceversa. Para obtener frmulas de transformacin observamos que el origen es el polo en polares y eleje polar es el semieje X positivo. Si el punto P tiene coordenadas polares (r, ) entonces

x = r cosy = r sen

estas frmulas son vlidas incluso si r < 0, un ejercicio podra ser que al reemplazar las multiples representaciones de unpunto en polares se obtienen las mismas coordenadas cartesianas.

Ejemplo 1.2. Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son:

1. (8,/3)

2. (4,3/4)3. (2,5/3)

De las frmulas de transformacin anteriores obtenemos

r 2 = x 2+ y 2

tan =yxpara x 6= 0

de esta forma si queremos obtener la representacin polar de un punto en coordenadas rectangularesx ,y

tenemos que

hacer lo mismo que para obtener la forma polar de un complejo.

Observacin 1.2. Six ,y

no es el origen entonces siempre son vlidas las frmulas

sen =yp

x 2+ y 2

cos =xp

x 2+ y 2

Ejemplo 1.3. Hallar las coordenadas polares del punto cuyas coordenadas cartesianas sonx ,y

= (5,5).

Note quer 2 = x 2+ y 2 = 50) r = 5p2

el punto esta en el cuarto cuadrante y

tan =55

=1) =4

se sigue que el punto en coordenadas polares es5p2,

4

=

5p2,

4+2k

con k 2Z

=5p2,

4++2k

con k 2Z

MAT022 (Clculo) 2


Ejemplo 1.4. Considere todos los puntos en coordenadas polares que cumplen la ecuacin r = 4sen transformar acoordenadas cartesianas e identificar su grfica.

Desarrollo: Si multiplicamos la ecuacin por r obtenemos

r 2 = 4r sen

pero r 2 = x 2+ y 2 y r sen = y se siguex 2+ y 2 = 4y

es lo que cumplen los puntos es coordenadas rectangulares, es decir

x 2+y 22 = 22

que es una circunferencia de radio 2 y centro (0,2) .

Ejemplo 1.5. Escribir la ecuacin x 2+ y 24x +2y = 0 en coordenadas polares.

1.2 Grficas en coordenadas polares

Sea f una funcin de una variable a valores reales ( f : D R!R). Definimos el subconjunto de R2 de todos los puntosde coordenadas polares (r, ) que satisfacen la ecuacin

r = f ( )

este conjunto puede ser escrito en coordenadas cartesianas en la forma

G =(r cos ,r sen )2R2 : r = f ( ) , 2Dom f

=f ( )cos , f ( )sen

2R2 : 2Dom f al conjuntoG se le llama grfica polar de f y la ecuacin que la origina es llamada ecuacin polar de f .

Ejemplo 1.6. Considere la funcin constante f ( ) = c entonces la ecuacin

r = c

define una circunferencia con centro en el origen y de radio |c |. Note que la ecuacin dice son todos los puntos que estna distancia c del origen sin importar el ngulo.

Ejercicio 1.1. A que corresponde la grfica de la ecuacin = c .

Ejercicio 1.2. Graficar r = e con 2R.Para graficar en el plano una ecuacin en coordenadas polares es conveniente hacer un anlisis previo antes de ubicar

puntos para simplificar la construccin de la grfica. En este anlisis se consideran las nociones de interceptos, simetras,extensin.

Observacin 1.3. Como sabemos todo punto de coordenadas (r, ) coincide con el punto de coordenadas (r, +), deesto se sigue que si la ecuacin de una curva en coordenadas polares es de la forma

r = f ( )

entonces la misma ecuacin tiene las representaciones

(1)n r = f ( +n)para n 2Z. Es por esta razn que las ecuaciones r = 1 y r =1 son la misma circunferencia y tambin la grfica de

r = 2sen

2

es la misma que la de

r =2cos

2

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1.2.1 Extensin.

Diremos que la grfica de la ecuacin r = f ( ) es acotada si existeM > 0 tal que

|r |M para 2Dom f esto nos dice que la grfica esta encerrada por una circunferencia de radioM .

Ejemplo 1.7. r = 4sen (4 )cos es acotada, ms aun |r | 4 para 2R.Ejemplo 1.8. r = e para 2R es no acotada.

1.2.2 Simetra respecto al eje polar

La grfica de una ecuacin es simtrica respecto al eje polar si al reemplazar por la ecuacin polar no vara. Tambines posible verificar la simetra respecto al eje polar, si al cambiar simultneamente

r por ry

por la ecuacin no varia.

Observacin 1.4 (importante). Cuando decimos que la ecuacin r = f ( ) no cambia estamos diciendo que se obtieneuna de sus multiples representaciones (1)n r = f ( +n).

Observacin 1.5. Representar grficamente las simetra y los cambios involucrados.

Ejemplo 1.9. r = 1 es simtrica respecto al eje polar. (notar que al reemplazar r por r y por obtenemos r =1que es la otra representacin de esta circunferencia)

Ejemplo 1.10. r = 2cos (2 ) es simtrica respecto al eje polar.

1.2.3 Simetra respecto al eje normal (Eje Y)

Si al reemplazar por la ecuacin polar no varia (o al reemplazar en forma simultnea r porr y por ) entoncesla ecuacin es simtrica respecto al eje normal.

Ejemplo 1.11. La grfica de r = 4sin es simtrica respecto al eje polar. Tambin

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1.2.4 Simetra respecto al polo

Si la ecuacin polar no cambia al reemplazar r por r (o por +) entonces la grfica es simtrica respecto al poloEjercicio 1.3. Estudiar las simetras de r = |2sen |

Ejemplo 1.12. Graficar r = 1+ cosDesarrollo:

1. Note que |r |= |1+ cos | 2 luego el grfico esta dentro de la circunferencia de radio 2.2. Interceptos.

r0 22 1 032 12 2

note que f ( ) = 1+ cos es periodica de periodo 2 luego se repiten las intersecciones con los ejes.

3. Simetras: Se verifica que la grfica es simtrica solamente respecto al eje polar. Por tanto basta dibujarla en elsemiplano superior.

4. Ahora damos algunos valores de ngulos conocidos

0 /6 /3 /2 2/3 5/6 r 2 1+

p3/2

3/2 1 1 (1/2) 1p3/2 0

con estos datos podemos construir la grfica.

1 0.5 0.5 1 1.5 2

2

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

Ejercicio 1.4. Construir la grfica de r = 2sen (3 )

Observacin 1.6. Para ahorrar trabajo puede ensear a sus alumnos los tipos bsicos de ecuaciones polares para queellos aprendan a identificarlas. Circunferencias, rosas, caracoles, lemniscatas, espirales etc. Se adjunta documento.

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1.3 Intersecciones de grficas en ecuaciones polares

Como ya sabemos una ecuacin polar r = f ( ) tiene las representaciones

(1)n r = f ( +n)por lo cual encontrar las intersecciones de dos ecuaciones polares

r = f ( )r = g ( )

puede implicar resolver ms de un sistema de ecuaciones (depende de la cantidad de representaciones de una curva enpolares)

Ejemplo 1.13. Hallar los puntos de interseccin de ls grficas de

r = 2cos (2 ) y r = 1

Si ya las sabemos identificar sabemos que son una rosa de 4 ptalos y una circunferencia de radio 1 centrada en elorigen, por lo que buscamos 8 puntos de interseccin.

Al resolver el sistema

r = 1r = 2cos (2 )

tenemos12= cos (2 )

de donde

=

6,56,76,116

si usamos la representacin de la curva r = 1 dada por r =1 obtenemosr = 1r = 2cos (2 )

de donde

12= cos (2 )

y as

=

3,23,43

y53

muestre que estos son todos los sistemas que tenemos que resolver. De esto se obtienen 8 puntos de interseccin distintos.

MAT022 (Clculo) 6


2 1 1 2

2

1

1

2

Ejercicio 1.5. Encontrar la interseccin de las grficas de r = cos2 y r = cos

CLASE 2

2.1 Clculo de reas en coordenadas polares.

Vamos a considerar el problema de hallar el rea de una regin plana encerrada por la grfica de una ecuacin polar ypor dos rayos que parten desde el origen. Vamos a utilizar para ello sumas de Riemann para aproximar el valor exacto delrea, sin embargo, esta vez, en lugar de considerar rectngulos emplearemos sectores circulares.

r

A= 12 r2

Recordemos que en un crculo de radio r un sector circular de n-gulo central (medido en radianes) tiene un rea de

A =12r 2

Dada una ecuacin polar r = f ( ) donde f denota una funcin continua y positiva definida sobre y laregin R de rea A encerrada por la grfica de la ecuacin r = f ( ) y por los rayos = y = con < que partendesde el origen.

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Consideramos unaparticinP == 0 < 1 < n1 < n = la que determina n subintervalos [k1,k ] parak = 1,2, . . . ,n . En cada uno de esos intervalos seleccionamosun ngulo k arbitrario entonces el rea encerrada por lagrfica entre los rayos = k1 y = k es aproximadamenteigual a

12

f k

2k

de esta forma el rea total encerrada es aproximadamente

A nX

k=0

12

f k

2k

si f es continua entonces

limkP k!0nX

k=0

12

f k

2k =

Z

12

f ( )

2dDefinicin 2.1. Sea f :

,

!R una funcin continua y positiva. Sea R la regin encerrada por la grfica de la ecuacinpolar r = f ( ) y por los rayos = y = . El rea de R es dada por

A =Z

12

f ( )

2dEjemplo 2.1. Encontrar el rea encerrada por el cardioide r = 2 (1+ cos )

Ejemplo 2.2. Encontrar el rea encerrada por un ptalo de r = 4sen (2 )

Ejercicio 2.1. Encontrar el rea total encerrada por la lemniscata r 2 = 4sen (2 )

2.1.1 Extensin de la frmula

Para calcular el rea de la regin encerrada por las grficas de dos ecuaciones polares r = f ( ) y r = g ( ) y por los rayos =, = donde < y g ( ) f ( ) primero calculamos el rea mayor y le restamos la menor es decir

A =12

Z

f 2 ( )d 12

Z

g 2 ( )d

=12

Z

f 2 ( ) g 2 ( )d

Ejemplo 2.3. Hallar el rea fuera de la cardioide r = 2 (1+ cos ) y dentro de la circunferencia r = 6cos .

Ejemplo 2.4. Hallar el rea comn a las dos circunferencias r = 2sen y r = 2cos .

Ejercicio 2.2. Dadas las curvas (1) r = 2cos (3 ) y (2) r = 1.

1. Hallar el rea que encuentra en el interior de (1) y exterior a (2)

2. Hallar el rea que encuentra en el exterior de (1) e interior a (2)

3. Hallar el rea interior a ambas.

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2.2 Coordenadas paramtricas I.

Dadas dos funciones continuas f ,g : [a ,b ]!R las ecuacionesx = f (t ) y = g (t ) a t b

son llamadas ecuaciones paramtricas. Amedida que t (el parmetro) vara de a hastab ,x ,y

=f (t ) , g (t )

es un punto

en el plano que se mueve y que recorre la curva

C =x ,y

2R2 : x = f (t ) ,y = g (t ) con t 2 [a ,b ]llamada curva paramtrica de ecuaciones

x = f (t ) y = g (t ) a t bEl punto ( f (a ), g (a )) es llamado punto inicial y el punto ( f (b ), g (b )) punto terminal o punto final. Si ellos coinciden

se dice que la curva plana C es cerrada.

Definicin2.2. Si entre los puntos ( f (a ), g (a )) y ( f (b ), g (b )), se verifica que ( f (t1), g (t1)) es diferente del punto ( f (t2), g (t2))para todo t1 y t2 diferentes del intervalo ]a ,b [ se dice que la curva plana C es simple. En otras palabras esto expresa quela curva no se cruza a s misma.

Ejercicio 2.3. Mostrar que la curva

x = t 34ty = t 24

no es simple.

Observacin 2.1. Las curvas simples pueden ser cerradas.

Curva cerrada simple Curva cerrada (no simple)

Observacin 2.2. Si se elimina el parmetro t del par de ecuaciones paramtricas, se obtiene una ecuacin en x e ydenominada ecuacin cartesiana de C . Tal eliminacin del parmetro (como se aprecia en el prximo ejemplo) puedeconducir a una grfica con ms puntos que aquella definida por las ecuaciones paramtricas, razn por la cual se debeprecaver a los estudiantes ante esta clase de procedimientos.

MAT022 (Clculo) 9


Ejemplo 2.5. Considere las funciones

cosh(t ) =e t + et

2senh(t ) =

e t et2

.

Recuerde la siguiente identidad: cosh2(t ) senh2(t ) = 1.Si se define una curva a travs de

x = cosh t y = senh t ,

obtenga una ecuacin cartesiana y dibuje la grfica.Respuesta: Usando la identidad presentada se obtiene x 2 y 2 = 1. Sin embargo para cualquier nmero real t , cosh t

nunca es menor que 1, por lo tanto la curva definida por las ecuaciones paramtricas consiste de slo los puntos de larama derecha de la hiprbola.

Ejemplo 2.6. Obtenga una ecuacin cartesiana de la grfica de las ecuaciones paramtricas

x = 2cos t y = 2sen t 0 t 2y dibuje la grfica.

Desarrollo: Notemos que x 2+ y 2 = 4cos2 t +4sen2 t = 4cos2 t + sen2 t

= 4 se sigue que los puntos descritos por esta

curva paramtrica estn sobre la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.

Ejercicio 2.4. Dado a > 0, realice un bosquejo de la curva (desde x = 0 hasta x = 4a ), llamada cicloide, definida por lassiguientes ecuaciones paramtricas:

x = a (t sen t ) y = a (1 cos t )

2.3 Derivacin Paramtrica

La ecuacin cartesiana de una curva C definida paramtricamente por

{(x ,y )2R2 : x = f (t ),y = g (t )}puede obtenerse considerando y = F (x ) siempre que x = f (t ) y y = g (t ) = F ( f (t )).

En este caso, haciendo uso de la regla de la cadena, se deduce

y 0 = d yd t

=d ydx

dxd t

) d ydx

=d yd tdxd t

s id xd t

6= 0

Observacin 2.3. Intencionalmente hemos escrito con dos notaciones diferentes las derivadas anteriores: d ydx y y0.

2.4 Derivacin paramtrica: segundo orden.

Para una curva C definida por {(x ,y )2R2 : x = f (t ),y = g (t )} se puede obtener y = F (x ) si x = f (t ) e y = g (t ) = F ( f (t )).As, del resultado obtenido de la regla de la cadena

d ydx

=d y /d tdx/d t

: condxd t

6= 0, se verifica

d 2ydx 2

=

dd t

d ydx

dxd t

=

d 2yd t 2

dxd t

d yd t

d 2xd t 2

dxd t

3 = y 00 : x 0 y 0 : x 00(x 03 si x 0 = dxd t 6= 0

MAT022 (Clculo) 10


2.4.1 Ejercicios Tipo

Obtener bajo las condiciones y 000. Se puede contar con una expresin para y (n )? Encontrar y 0, y 00 y y 000 a partir de las siguientes ecuaciones paramtricas:

x = 2t t 2, y = 3t t 3 x = a cos(t ), y = a sen(t )

Sean las curvas P1 y P2 de ecuaciones:

P1 :

8 1y =

pt 21

P2 :(x 2+ y 2+1)24x 2 = 8 :

Verificar que el ngulo de interseccin entre ambas curvas es de 90.

Hallar d 2ydx 2

en el punto de coordenadas cartesianas (0,0) si x = 3t 22t ,y = sen t .Respuesta:

d 2ydx 2

=34.

Para a > 0, considere las ecuaciones paramtricas que describen una cicloide,x = a (t sen t ) y = a (1 cos t )

y obtenga d y /dx y d 2y /dx 2.

Unmvil tiene una trayectoria definida por8

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Semana 9: Lunes 13 de Mayo Viernes 17 de Mayo

COMPLEMENTO

Clase 1: Aplicacin a obtencin de forma cannica de formas cuadrticas.

Clase 2: Secciones cnicas rotadas.

Contenidos

CLASE 1

1.1. Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt

Teorema 1.1 (Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt). Si x1,x2, . . . ,xm son vectores l.i. en Rn , entonces es posibleconstruir vectores ortogonales y1,y2, . . . ,yn tales que para cada k = 1,2, . . . ,m se cumple

G ({x1,x2, . . . ,xk }) =G y1,y2, . . . ,yk Demostracin. Los vectores yi se construyen siguiendo un anlogo a la contruccin de la proyeccin ortogonal

y1 = x1

y2 = x2x2,y1

y12 y1...

yk+1 = xk+1kX

j=1

xk+1,yj

yj 2 yj


Ejemplo 1.1. Sean x1 = (3,0,4) ,x2 = (1,0,7) y x3 = (2,9,11) enR3. Aplicando el proceso de gram Schmidt se obtienen losvectores

y1 = (3,0,4)

y2 = (1,0,7) h(1,0,7) , (3,0,4)ik(3,0,4)k2 (3,0,4)= (4,0,3)

y3 = (2,9,11) h(2,9,11) , (3,0,4)i25 (3,0,4)h(2,9,11) , (4,0,3)i

25(4,0,3)

= (0,9,0)

Obtenemos as un conjunto ortogonal de vectores que generan lo mismo que el conjunto de losvectores xi .

Definicin 1.1. Diremos que una base B = {u1,u2, . . . ,un } de un espacio vectorial V es una base ortonormal, si los vecto-res de la base son ortogonales y tienen norma 1.

1.2. Diagonalizacin dematerices simtricas

En la clase anterior estudiamos el problema de la diagonalizacin en general, ahora estudiaremos el caso particularen que la matriz es real y simtrica.

Proposicin 1.1. Sea A una matriz real y simtrica entonces

1. A tiene todos sus valores propios reales.

2. Si i 6= i son valores propios de A, los elementos de Wi son perpendiculares (con respecto al producto punto) a loselementos de Wj (esto se escribe Wi ?Wj ).

Demostracin. Supongamos que 2 (A) y x 6= 0 es un vector propio asociado entoncesAx =x .

Denotemos, por abuso de lenguaje, como x al vector columna cuya coordenada (i ,1) es xi .Ahora, usando esta notacin, tenemos que

AxT

x =xT

x =nXi=1

xi xi =nXi=1

|xi |2

y tambin tenemos que AxT

x =xTAT

x

= (x )T AT x= (x )T Ax

= nXi=1

|xi |2 .

De las dos igualdades anteriores obtenemos

nX

i=1

|xi |2 = 0.

MAT022 (Complemento) 2


Como x 6= se sigue =, de donde se obtiene que 2R como queramos.Para la segunda parte notar que si Ax =i x y Ay =j y entonces

ix ,y

=

i x ,y

=Ax ,y

=

x ,AT y

=x ,Ay

=

x ,j y

= j

x ,y

de donde se obtiene que

i j x ,y = 0) x ,y = 0.

Teorema 1.2. Sea A una matriz simtrica. Entonces:

1. A es diagonalizable.

2. Existe una base ortonormal de vectores propios asociados a A.

3. La diagonalizacin puede ser llevada a cabo en la forma

VAV T =D

donde V es una matriz ortonormal, es decir V T = V 1 y sus columnas son los vectores propios ortonormales y D es lamatriz diagonal que tiene los valores propios en su diagonal principal.

Idea de la demostracin. Para ver la diagonalizacin, uno slo debe observar que si B esmatriz simtrica y E es unamatrizelemental fila, entonces la matriz E BET sigue siendo una matriz simtrica.

Ahora, obtenida la diagonalizacin, sabemos que existe una base de vectores propios de A (con la cual podemos cosn-truir una matriz invertible P tal que PAP1 = D, donde D es una matriz diagonal formada por los valores propios deA).

Usando el proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt y la Proposicin ??, podemos asumir que tal base es unabase ortonormal. Usando esta base, tenemos que la matriz P es la matriz V buscada.

Una consecuencia directa del resultado anterior es la siguiente observacin.

Proposicin 1.2. A es unamatriz real simtrica si y solo si existe unamatriz ortonormal V y unamatriz diagonal D tal que

A = VDV T

Ejercicio 1.1. Sea

A =

0B@ 0 1 11 0 11 1 0

1CA1. Determine los valores propios y espacios propios asociados.

2. Verificar que para valores propios distintos i y j se cumpleWi ?Wj3. Determine una base ortonormal de vectores propios

4. Encontrar una matriz ortonormal V tal que V TAV =D



1.3. Formas cuadrticas.

Al igual como lo hemos hecho anteriormente, escribiremos los vectores deRn comomatrices columnas (por comodi-dad para multiplicarlos con las matrices).

Si !x = (x1,x2, . . . ,xn )2Rn , entonces denotamos x =

266664x1x2...xn

377775Definicin 1.2. Sea A una matriz real de orden n n . La funcin

FA :Rn !R : FA !x = xTAx 2Res llamada una forma cuadrtica en las variables (x1,x2, . . . ,xn ).

Definicin 1.3 (clasificacin de formas cuadrticas). Sea A una matriz real de orden n n y FA !x = xTAx su formacuadrtica asociada.

1. La forma cuadrtica FA es definida positiva si: 8!x 2Rn {!0 } =) F !x > 0.2. La forma cuadrtica FA es definida negativa si: 8!x 2Rn {!0 } =) F !x < 0.3. La forma cuadrtica FA es semidefinida positiva si: 8!x 2Rn {!0 } =) F !x 0.4. La forma cuadrtica FA es semidefinida negativa si: 8!x 2Rn {!0 } =) F !x 0.5. Si la forma cambia de signo (es decir, para algunos vectores esta asigna valores negativos y para otros valores esta

asigna valores positivos), entonces decimos que FA es indefinida.

Ejemplo 1.2. Sean las siguientes matrices de orden 22:

A =

1 00 1

, B =

1 00 1

, C = A =

1 00 1

,D =

1 00 0

.E =

0 00 1

.

Entonces:

1. FA (x ,y ) = x 2+ y 2 es definida positiva.

2. FB (x ,y ) =(x 2+ y 2) es definida negativa.3. FC (x ,y ) = x 2 y 2 es indefinida.4. FD (x ,y ) = x 2 es semidefinida positiva.

5. FE (x ,y ) =y 2 es semidefinida negativa.



Ejemplo 1.3. Formas cuadrticas en R2. SiA =

a bc d

,

entonces

FA (x ,y ) =

x y a b

c d

xy

= ax 2+d y 2+(b + c )xy .

Por otro lado, si

B =A +AT

2

=

0BB@ ab + c2

b + c2

d

1CCA ,entonces

FB (x ,y ) =

x y0BB@ a

b + c2

b + c2

d

1CCA xy= ax 2+d y 2+(b + c )xy = FA (x ,y ).

Luego, dada la matriz A hemos encontrado una simtrica B =A+AT

2

con FA = FB .

Teorema 1.3. Sea A una matriz de orden n n. Si B = A+AT2 , entonces FA = FB .Demostracin. En efecto, primero notamos que como xTAx 2R, entonces xTAx = (xTAx )T = xTAT x . Luego, tenemos laigualdad

xTAx = xTA +AT

2

x

Ejemplo 1.4. La forma cuadrtica x 21 +3x1x22x1x3+x 22 +x2x3+2x 33 puede escribirse en formamatricial de la siguientemanera

x1 x2 x30B@ 1 3 20 1 1

0 0 2

1CA0B@ x1x2

x3

1CAEs decir, la forma cuadrtica anterior corresponde a la matriz

A =

0B@ 1 3 20 1 10 0 2

1CA .Usando

B =A +AT

2

=

0B@ 1 3 20 1 10 0 2

1CAT +0B@ 1 3 20 1 1

0 0 2

1CA2

=

0B@ 1 32 132 1 121 12 21CA

vemos que esta forma cuadrtica tambin corresponde a la matriz simtrica0B@ 1 32 132 1 121 12 21CA



Como toda matriz simtrica es diagonalizable, uno tiene el siguiente resultado.

Teorema 1.4. Sea A una matriz de orden n n y consideremos su forma cuadrtica asociada FA :Rn ! R. Entonces existeuna matriz ortonormal V (de orden n n) de manera que

FA (!x ) = bF y1,y2, . . . ,yn= nX

i=1

i y 2i ,

donde y = Vx. La forma cuadrtica bF es llamada la forma cannica asociada a FA. Los valores 1, ...,n son los valorespropios (repitiendolos segn la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de la matriz simtrica (AT +A)/2.

Demostracin. Sea A una matriz de orden n n y FA su forma cuadrtica. Hemos visto que A se puede reemplazar por lamatriz simtrica B = (AT +A)/2 para seguir teniendo FA = FB . Luego, podemos suponer que A ya era simtrica (o bien lareemplazamos por B).

Ahora, bajo el supuesto que A es simtrica, sabemos que A puede escribirse en la forma A = V TDV , donde V T = V 1.Luego

FA (!x ) = xTAx = xTV TDVx

= (Vx )T D (Vx )= y TDy = bF (!y )

donde y = Vx .

Observacin 1.1. Haciendo uso de la forma cannica es fcil analizar si es definida positiva, negativa, indefinida etc.

CLASE 2

2.1. Secciones cnicas rotadas

Definicin 2.1. Una ecuacin cuadrtica en las variables x ,y es una ecuacin de la forma

ax 2+2bxy + cy 2+dx + e y + f = 0

donde a ,b ,c ,d ,e , f son nmeros reales y al menos uno de los coeficientes a ,b ,c es no nulo.

Podemos escribir la ecuacin cuadrtica

ax 2+2bxy + cy 2+dx + e y + f = 0

en formamatricial x y

a bb c

xy

+

d e x

y

+ f = 0.

Si ponemos

A =

a bb c

, X =

xy

y K =

d e



entonces la ecuacin cuadrtica se escribe en la forma

XTAX +KX + f = 0

note que XTAX es la forma cuadrtica FA discutida anteriormente.

Utilizando diagonalizacin paramatrices simtricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de talmane-ra que la ecuacin con respecto al nuevo sistema no tenga trminos en xy . Se procede de la siguientemanera:

Buscamos una matriz ortonormal V (luego una rotacin) que diagonalice A, es decir, V TAV =D, conD diagonal.

Utilizamos la transformacin de coordenadas xy

= V

uv

Encontramos la ecuacin de la cnica en el nuevo sistema uv en la forma

xy

TA

xy

+K

xy

+ f = 0

V

uv

TAV

uv

+KV

uv

+ f = 0

uv

TV TAV

uv

+KV

uv

+ F = 0.

Como V diagonaliza a A se tiene

V TAV =

1 00 2

donde 1 y 2 son los valores propios de A (contados con sus multiplicidades algebraicas).

De esta forma la ecuacin de la cnica queda, en las variables u y v , como

1u 2+2v 2+d 0u + e 0v + f = 0.

Observamos que en la ecuacin anterior no hay trminos en uv como queramos.

Ejemplo 2.1. Dada la ecuacin cuadrtica

5x 24xy +8y 2+ 20p5x 80p

5y +4= 0,

encontrar una base en R2 de tal forma que se pueda escribir la ecuacin sin trminos xy y se pueda identificar de quecnica se trata.

Desarrollo: La formamatricial de la ecuacin cuadrtica es

XTAX +KX + f = 0

donde

A =

5 22 8

, K =

20p5

80p5

, f = 4 y X =

xy



Primero encontramos los valores propios de A: 5 22 8 = 0

213+36 = 0se sigue 1 = 4 y 2 = 9.

Ahora buscamos los vectores propios asociados:

Para 1 = 4 se tiene 1 22 4

xy

=

00

esto es

xy

2G

21

Para 2 = 9 4 2

2 1

xy

=

00

lo que es equivalente a

xy

2G

12

.

Estos dos vectores son ortogonales.

Como k(2,1)k=p5= k(1,2)k, la matriz ortonormal que diagonaliza a A es

V =

0BB@2p5

1p5

1p5

2p5

1CCALuego, procedemos con el cambio de coordenadas

xy

=

0BB@2p5

1p5

1p5

2p5

1CCA uv

Sustituyendo se obtiene uv

TV TAV

uv

+KV

uv

+ f = 0.

En este caso uv

T 4 00 9

uv

+

20p5

80p5

0BB@2p5

1p5

1p5

2p5

1CCA uv+4= 0.

Es decir4u 2+9v 28u 36v +4= 0

que corresponde a la elipse(u 1)2

9+(v 2)2

4= 1



4 2 2

2

2

4

0

a

Observacin 2.1. Es posible realizar el mismo procedimiento para ecuaciones cuadrticas en tres o ms variables.

2.1.1. Ejercicios propuestos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base ortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacin corres-pondientes que permiten escribirla en la forma cannica e identifique la cnica que representa.

1. 2x 24xy y 2+8= 02. x 2+2xy + y 2+8x + y = 0

3. 5x 2+4xy +5y 2 = 9

4. 9x 24xy +6y 210x 20y = 55. 3x 28xy 12y 230x 64y = 06. 2x 24xy y 24x 8y =14


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