Segundo Examen Departamental Ecuaciones Diferenciales 1GM6

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Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO:

[email protected]


Ecuaciones Diferenciales Página 2

Nombre: Calificación

Grupo: Fecha:10-04-2013


Instrucciones:

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problemas de Coeficientes Indeterminados

Problema 1

Resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.

2'' 4 3 2y y x sen x

Solución

La ecuación auxiliar es:

2

1

2

1 2

4 0

Por lo tanto sus raices serían

2

2

Entonces la solucion complementaria seria

cos2 2c

m

m i

m i

y c x c sen x

Ahora, puesto que la función de entrada 2( ) 3 2g x x sen x es una función

senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de

1cos2 2py A x Bsen x y

2

2py Cx Dx E suponemos con esto una solución

particular que tiene también la forma de senoidal, considerando que hay una

duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función

complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar 1py por x :

3 2 3 2cos2 2py Ax Bx Cx x Dx Ex Fx sen x

Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original

obtenemos:



2 4 0

6 8 0

4 2 3

8 6 0

12 1

B F

A E

C E

B D

A

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el valor de las constantes:

3 2

1 25 1, 0, , 0, , 0,

12 32 16

1 25 1cos2 2

12 32 16p

A B C D E F

y x x x x sen x

Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:

3 2

1 2

1 25 1cos2 2 cos2 2

12 32 16y c x c sen x x x x x sen x

Forma Gráfica

2'' 4 3 2y y x sen x

Solución General



Problema 2

Resuelva el problema de valor inicial respectivo

2''' 8 2 5 8 , (0) 5, (0) 3, ''(0) 4xy y x e y y y

Solución

La ecuación auxiliar es:

3

2

1

2

3

2

1 2

8 0

Por lo tanto el polinomio quedaria de la siguiente forma

2 2 4 0

Entonces la raices de la ecuación serían:

2

1 3

1 3

Por lo tanto la solución complementaria seria

cos 3x x

c

m

m m m

m

m i

m i

y c e e c x c

3 3sen x

Ahora, puesto que la función de entrada 2( ) 2 5 8 xg x x e es una función

senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de

1py Ax B y 2

2

x

py Cxe , considerando que hay una duplicación obvia en el

término 2xe

en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos

eliminar esta repetición con solo multiplicar 2py por x :

2x

py Ax B Cxe

Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original

obtenemos:

1 5 2, ,

4 8 3A B C

Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:



2 2

1 2 3

1 5 2cos 3 3

4 8 3

x x xy c e e c x c sen x x xe

De las condiciones iniciales nosotros obtenemos

1 2 3

23 59 17, y 3

12 24 72c c c

Por lo tanto:

2 223 59 17 1 5 2cos 3 3 3

12 24 72 4 8 3

x x xy e e x sen x x xe

Forma Gráfica

2''' 8 2 5 8 , (0) 5, (0) 3, ''(0) 4xy y x e y y y

Solución general



Problema 3

Variación de Parámetros

Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.

'' 2y y senh x

Solución

2

2

1 2

'' 0 ''

1 0

1, 1

y y y m

m

m m

Por lo tanto la solución complementaria seria

1 2

x x

cy c e c e

Y por lo tanto el Wroskiano es

2x x

x x x x

x x

e eW e e e e

e e

Identificando a ( ) 2f x senh x

nosotros obtenemos y considerando que

2 2

22

x xe esenh x

2 2 2 2

2 2 3

21

3

1

2 2 2 2

3

12

3

2

2( ) 2'2 2 4 4

1 1'

4 4

2( ) 2'2 2 4

1 1'

4 4

x x x x xx

x x x x x

x x

x x x x xx

x x

x x

e e e e ee

e e ey f x e eu

W

u e e

e e e e ee

y f x e eu

W

u e e



Entonces integramos ambas funciones y tenemos

3

1

3

1

3

2

3

2

1 1'

4 4

1 1

12 4

1 1'

4 4

1 1

4 12

x x

x x

x x

x x

u e e dx

u e e

u e e dx

u e e

Y por lo tanto la solución particular es

3 3

1 1 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

12 4 4 12

12 4 4 12

1 1

6 6

2

3

x x x x x x

p

x x x x

p

x x

p

p

y u y u y e e e e e e

e e e ey

y e e

senh xy

Por lo tanto la solución general es

1 2

2

3

c p

x x

y y y

senh xy c e c e

Método Gráfico

'' 2y y senh x



Problema 4

Ecuaciones de Cauchy-Euler

Resuelva la ecuación diferencial respectiva

3 ''' ' 0x y xy y

Solución

Asumiendo que my x y sustituyendo en la ecuación diferencial, nosotros

obtenemos la ecuación auxiliar siguiente:

33 2( 1)( 2) 1 3 3 1 1 0m m m m m m m m

Por lo tanto la solución general es:

2

1 2 3ln lny c x c x x c x x

Use la sustitución tx e para transformar la ecuación respectiva de cauchy-euler

en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación

original a través de la nueva ecuación.

2 2'' 4 ' 6 lnx y xy y x

Solución

Usando la sustitución y sustituyendo dentro de la ecuación diferencial obtenemos lo

siguiente:

2

25 6 2

d y dyy t

dt dt

Por lo tanto la ecuación auxiliar que obtenemos:

2 5 6 2 3 0m m m m .



La solución complementaria será:

2 3

1 2

t t

cy c e c e

Usando los coeficientes indeterminados obtenemos una solución particular

py At B

Derivando esta solución particular para obtener la primera y segunda derivada

obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

( 5 6 ) 6 2 , 1/ 3, 5 /18A B At t A B

Por lo tanto la solución general será:

2 3 2 3

1 2 1 2

1 5 1 5ln

3 18 3 18

t ty c e c e t c x c x x

Método Gráfico

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes



Problema 5

Determine la solución general de la ecuación diferencial de orden superior.

4 2

4 27 18 0

d y d yy

dx dx

Solución

Obtenemos la ecuación auxiliar la cual es la siguiente:

4 27 18 0m m

Lo cual da lugar a las siguientes raíces:

1

2

3

4

3

3

2

2

m

m

m i

m i

Por lo tanto la solución general será:

3 3

1 2 3 4cos 2 2x xy c e c e c x c sen x

Método Gráfico

4 2

4 27 18 0

d y d yy

dx dx

Solución General



Problema 6

Reducción de orden

La función 1( )y x es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción

de orden o la formula, para encontrar una segunda solución 2 ( )y x

2 1/2

14 '' 0; ( ) lnx y y y x x x

Solución

Identificamos ( ) 0P x por lo tanto nosotros tenemos

0

1/2 1/2 1/2

2 2

1ln ln

lnln

dx

ey x x x x x

xx x

Una segunda solución será entonces 1/2

2y x

Método Gráfico

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