Facultad de EducacionEscuela de Pedagogıa en Matematica y Estadıstica

Asignatura: Fundamentos de la Matematica

Secuencia Didactica III: Metodos de demostracion.

Introduccion

Un teorema, en matematica, es una proposicion verdadera que entrega un conocimientorelevante para una determinada teorıa y cuya verdad debe ser demostrada.

Definicion 1

Toda sentencia o enunciado puede plantearse como un teorema. Un teorema, generalmente, esel resultado del planteamiento de un problema, que normalmente tiene la siguiente estructura:

(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) −→ q

Tal como se establece p1, p2, . . . , pn son hipotesis (o supuestos) que se derivan del mismo pro-blema y se consideran como verdaderas y q es la tesis.

Los siguientes son ejemplos de teoremas:

1. Si dos lados de una triangulo son congruentes, entonces los angulos opuestos a estos ladosson congruentes.

2. Si m y n son dos numeros enteros cualesquiera y

a = m2 − n2

b = 2mn

c = m2 + n2

entonces a2 + b2 = c2.

3. Si 0 > 1, entonces√

2 es un numero racional.

4. Sean a y b numeros reales. Las siguientes sentencias son equivalentes:

a < ba + b

2> a

a + b

2< b

5. Si n es un entero impar, entonces n2 es un entero impar.

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Actividades

Demuestre, por el metodo directo, el siguiente teorema:

Si n es un entero impar, entonces n2 es un entero impar.

Dem:

. Actividad 1

Demuestre, por el metodo indirecto (por el contrarecıproco), el siguiente teorema:

Si 5n + 4 es un entero par, entonces n es un entero par.

Dem:

. Actividad 2

2 de 6

Demuestre, por contradiccion, el siguiente teorema:√

2 es un numero irracional.

Dem:

. Actividad 3

3 de 6

Demuestre, el siguiente teorema (demostracion de una equivalencia):

Sean a y b numeros reales. Las siguientes sentencias son equivalentes:

a < b

a + b

2> a

a + b

2< b

Dem:

. Actividad 4

4 de 6

Demuestre el siguiente teorema (soluciones de una ecuacion cuadratica): Sea la ecuacionax2 + bx + c = 0, donde a, b, c ∈ R y a 6= 0, entonces

xi =−b±

√b2 − 4ac

2a, i = 1, 2

son soluciones de la ecuacion dada.Dem:

. Actividad 5

5 de 6

Resumen

Definiciones y Propiedades

Un teorema es una sentencia matematica que debe ser demostrada como verdadera.

Un axioma o postulado es una suposicion aceptada sin demostracion.

Una demostracion es una sucesion de sentencias que forman un argumento que mues-tra que un teorema de verdadero. Las premisas del argumento son axiomas y teoremaspreviamente demostrados.

Un lema es una teorema breve usado en la demostracion de otro teorema.

Un corolario es un teorema que sigue directamente de otro teorema.

Una conjetura es una sentencia matematica cuyo valor de verdad todavıa es desconocido.Cuando se demuestra (si este de hecho es verdadera), resulta en un teorema.

Una falacia es una razonamiento incorrecto.

Metodos de demostracion:

Tipo de demostracion Proposicion a demostrar EstrategiaDemostracion directa p −→ q Suponga que p es V

y muestre que se deduce q.Demostracion indirecta ∼ q −→∼ p Suponga que ∼ q es V(por contrarecıproco) y demuestre que se deduce ∼ p

Demostracion por contradiccion p Suponga que ∼ p es V,y demuestre que se deduce

una contradiccionDemostracion por casos (p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pk) demuestre p1 −→ C,

−→ C p1 −→ C, . . . , pk −→ CDemostracion de una equivalencia p←→ q pruebe p −→ q

y q −→ pDemostracion vacua p −→ q pruebe que p es F

(luego p −→ q es V)Demostracion trivial p −→ q pruebe que q es V

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