Sec. 3.6 Derivadas de Funciones logarítmicas
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Sec. 3.6 Derivadas de Funciones logarítmicas La diferenciación logarítmica de la función logarítmica log a y x = se obtiene aplicando la definición: ( ) 1 log ln a d x dx x a = De la derivada de log a y x = , se halla la derivada de la función logaritmo natural.
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Sec. 3.6 Derivadas de Funciones logarítmicas
La diferenciación logarítmica de la función logarítmica
logay x= se obtiene aplicando la definición:
( ) 1log
lna
dx
dx x a=
De la derivada de logay x= , se halla la derivada de la función
logaritmo natural.
( ) 1ln
dx
dx x=
Ejemplo
Halla la derivada:
1. ( )4ln 2 3y x= −
2. ( )5l 2 1y og x= −
3. ( )4ln 3y x x = +
4. ( )5log xy xe=
5. 1
lnyx
=
6. ( )22 ln secy x x=
7. ( )5
2
2 1ln
1
x xy
x
+=
+
8. ( )ln lny s=
Ejemplo
Encuentra ( ) ( )' si lnf x f x x=
( ) 1ln
dx
dx x=
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
( )2lny x= en x=1.
Ejemplo
Encuentra 'y si 2 ln
xx y
y
+ =
Ejemplo
Encuentra ', "y y si ( )2ln 1y x x= + +
Ejemplo
Halla la derivada de f y encuentra el dominio de f.
( ) 2 lnf x x= +
Ejemplo
Sea ( ) ( )2log 3 2af x x= − . ¿Para qué valor de a es ( )' 1 3f = ?
Diferenciación Logarítmica
Se usa para calcular las derivadas de funciones complicadas que
envuelven productos, cocientes o potencias que se pueden
simplificar aplicando logaritmo. Además, sirve para hallar la
derivada de funciones que tienen x en la base y en el exponente.
( )( )
4
22
2 3,
3 1
xx x
y y xx
+= =
−
Pasos en la Diferenciación Logarítmica:
1. Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la ecuación
( )y f x= y usar las Leyes de los Logaritmos para
simplificar.
2. Diferenciar implícitamente con respecto de x
3. Resolver la ecuación resultante por 'y .
Ejemplo
Hallar la derivada:
1. ( )( )32 1 5 1
4 3
x xy
x
+ −=
+
2. ( )2
2
31x xy xe x−= +
Hay que saber distinguir entre la regla de potencia
( )' 1n nx nx − = donde la base es variable y el exponente es
constante, y la regla para diferenciar una función exponencial
( )' lnx xa a a =
En general hay cuatro casos que envuelven exponentes y bases:
1. ( ) 0bda
dx=
2. ( ) ( ) ( )1 'bbd
f x b f x f xdx
− =
3. ( ) ( ) ( ) ( )'lng x g xda a a g x
dx =
4. Se puede usar diferenciación logarítmica para hallar
( ) ( )g xdf x
dx
Ejemplo
Hallar la derivada:
1. x
y x=
2. ( )coslnx
y x=
