68

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oto

copia

. Ley

15.9

13

Para empezar

La radiactividad es un fenó-meno en el que una sustancia emite radiaciones y por ello durante ese proceso se desin-tegra. Muchos isótopos son radiactivos y se utilizan en medicina, por ejemplo, para realizar diagnósticos y en tratamientos de radioterapia.

El tiempo que tarda un isótopo en reducirse a la mitad se llama “período de semidesintegración” o “vida media”. Por ejemplo, 1 gramo de yodo-131 tarda 8 días en reducirse a la mitad, mientras que 1 gramo de radón-222 tarda casi 4.

Las curvas representan el proceso de desintegración de 100 g de cada uno de esos elementos en función del tiempo, medido en días.

¿Qué curva corresponde a cada sustancia?

De seguir esta tendencia, ¿cuántos gramos de yodo-131 y de radón-222 quedarán a los 16 días de haber comenzado la experiencia?

Funciones exponenciales y logarítmicas6

FUNCIONES EXPONENCIALES

1 Una fuga de combustible de un barco provocó una mancha de petróleo en la su-perficie del mar. Esta mancha se expande, con el correr de los días, de tal manera que duplica su área diariamente.a. Completa la tabla que muestra el área de la mancha para los primeros 7 días,

considerando que se comenzó a observar cuando su área era de 1 m2.

Tiempo (días) 0 1 2 3 4 5 6 7

Área (m2)

b. Plantea una expresión que permita obtener el área de la mancha en función del tiempo y úsala para calcular la que ocupará el día 12.

c. En tu cuaderno, o usando GeoGebra, representa gráficamente los datos de la tabla.

80

100

Masa (g)

20

40

60

2 40 6 8 10 12 14 16 18Tiempo (días)

69

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15.9

13

2 a. A diferencia de la situación anterior, en la que la variable independiente no toma valores negativos (no tendría sentido hablar de “área negativa”), para la función f dada por f(x) = 2x se consideran todos los valores reales. Completa la tabla y representa gráficamente.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y

b. ¿La función tiene raíces? ¿Por qué?

c. ¿Qué ocurre con las imágenes de f cuando x toma valores negativos cada vez

más grandes en valor absoluto?

d. ¿Cuál es el recorrido de f?

3 a. Representa las funciones f, g, y h dadas por: f(x) = 3x; g(x) = 5x y h( )xx

=

32

en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra.

b. Compara los gráficos obtenidos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, y explica por qué.

I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen.

II. Todas las funciones tienen la misma raíz.

III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal.

IV. Todas las funciones son crecientes y positivas (sus imágenes).

c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g y h e incluye el gráfico de la función f dada por f(x) = 4x.

4 a. Usa el GeoGebra para representar gráficamente las funciones f, g y h dadas por:

f g h( ) ; ( ) ( )x x xx x x

=

=

=

13

15

23

y en el mismo sistema cartesiano.

b. Compara los gráficos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas y explica por qué.

I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen.

II. Todas las funciones tienen la misma raíz.

III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal.

IV. Todas las funciones son crecientes y positivas (sus imágenes).

c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g y h e incluye el gráfico de la función f

dada por f ( )xx

=

14

.

70

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15.9

13

5 Representa en el mismo sistema los gráficos de f dada por f(x) = 3x y de g dada

por g xx

( ) =

13

a. Compara los gráficos y escribe tus observaciones

b. Dibuja en un mismo sistema los gráficos de las funciones h y t dadas por

h x t xxx

( ) ( )= =

7

17

y

c. Completa:

“Si las bases de dos funciones exponenciales son inversas aa

y1

entonces

sus gráficos

6 A partir del gráfico de la función f dada por f x

g x h x

x

x

( )

( ) ( )

=

=

+ =

12

12

312

;xx x x

j x t x− = − = −

+4

12

12

7; y( ) ( ) ;

representa las funciones g, h, j y t dadas por:

f x

g x h x

x

x

( )

( ) ( )

=

=

+ =

12

12

312

;xx x x

j x t x− = − = −

+4

12

12

7; y( ) ( ) ;

después completa el cuadro.

1012

8

2

64

1–1–2 –2–3–4

–4–6–8

2 3 4 x

yf

Ordenada al origen

Asíntota horizontal

Recorrido¿Es creciente o decreciente?

f

g

h

j

t

71

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. Ley

15.9

13

5 Asocia cada gráfico con la expresión analítica de la función que representa

f x g x h x

j x k x

xx

x

x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= =

= +

= − = −

434

1 2

14

3 2xxx

t x+ = − 1

12

( )

8 a. Usa el GeoGebra para representar en el mismo sistema los gráficos de f dada por

f x

g x

g x

x

x

x

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

−

+

2

2

2

1

2

, g dada por

f x

g x

g x

x

x

x

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

−

+

2

2

2

1

2

y h dada por

f x

g x

g x

x

x

x

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

−

+

2

2

2

1

2 .

b. Compara los gráficos y escribe tus observaciones

y

12

3

4567

–4

–3

–2

–1–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y=log

x

y= 2 x

y=x

2x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

12

3

4567

–4

–3

–2

–1–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y=log

x

y= 2 x

y=x

2x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

12

3

4567

–4

–3

–2

–1–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y=log

x

y= 2 x

y=x

2x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

12

3

4567

–4

–3

–2

–1–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y=log

x

y= 2 x

y=x

2x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

12

3

4567

–4

–3

–2

–1–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y=log

x

y= 2 x

y=x

2x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

12

3

4567

–4

–3

–2

–1–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

y=log

x

y= 2 x

y=x

2x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y

x

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

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15.9

13

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE POBLACIONES

9 Una colonia de bacterias en ciertas condiciones triplica el número de sus habitan-tes cada día.

a. Completa la tabla con el número de bacterias que habrá los primeros 6 días, considerando que cuando comenzó el conteo había 10 bacterias y durante el proceso no murió ninguna.

Tiempo (días)

0 1 2 3 4 5 6

Bacterias

b. Marca con color la expresión que describe la reproducción de esta colonia en función del tiempo t. Fundamenta tu elección.

B(t) = 3t B(t) = 10 · 3t B(t) = 3 · 10t

10 Javier estudia la reproducción de ciertas langostas. Con lo registrado hasta el momento realizó este gráfico (no consideró las muertes).

a. ¿Cuántas langostas había cuando comenzó el estudio?

b. ¿Cuántas langostas nacieron en el primer mes? ¿Y en el segundo?

c. ¿Qué porcentaje representan los nacimientos del primer mes respecto de la cantidad inicial de langostas? ¿Y los del segundo mes respecto de la cantidad que había en el primer mes?

d. Javier sabe que este comportamiento se mantiene durante algún tiempo y que la cantidad de langostas puede expresarse con una expresión del tipo P(t) = c · at. Halla c y a.

e. De continuar con este comportamiento, ¿cuántas langostas habría al cabo de un año?

500

250Tiempo

(meses)

1000

750

1250

1500

1 2

600720

864

Cantidad de langostas

3 54 60

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15.9

13

11 Un hongo infectó todos los árboles de una plantación de manzanas de 4000 m2, por lo que se la está tratando con un fungicida de aplicación mensual. En prome-dio, el plaguicida cura cada mes la mitad de los árboles infectados.

a. Completa la tabla indicando el área que ocupan los árboles que permanecen afectados.

Tiempo (meses) 0 1 2 3 4

Plantas enfermas (m2)

b. Escribe una expresión para calcular el área ocupada por las plantas que per-manecen enfermas cada mes.

c. ¿Qué área ocupan los árboles que en el octavo mes siguen infectados?

d. Se considera que el hongo estará exterminado cuando las plantas infecta-das ocupen menos de 1 m2 de terreno. ¿Cuántos meses deberán pasar para que eso suceda? Explica cómo llegaste al resultado.

12 Se está combatiendo una plaga con un insecticida que elimina el 40% de los insectos por día. Se calculó que inicialmente había 10 000 ejemplares.

a. Marca la casilla del gráfico que representa la situación. Justifica tu elección.

4000

2000Tiempo

(días)

8000

6000

10 000

1 2

Insectos vivos

3 54 60

4000

2000Tiempo

(días)

8000

6000

10 000

1 2

Insectos vivos

3 54 60

4000

2000Tiempo

(días)

8000

6000

10 000

1 2

Insectos vivos

3 54 60

4000

2000Tiempo

(días)

8000

6000

10 000

1 2

Insectos vivos

3 54 60

b. Marca la expresión que permite conocer la cantidad de insectos vivos que quedan al finalizar cada día.

I(t) = 10 000 · 0,4t I(t) = 10 000 · 0,6t I(t) = 10 000 · 1,4t

c. Usa la expresión que elegiste para calcular la cantidad de insectos vivos a los 3 días y marca un punto que represente esa información en el gráfico que corresponde.

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13

13 Para estudiar el desarrollo de una población de seres vivos se deben tener en cuenta factores como los índices de natalidad y de mortalidad, la disponibili-dad de alimento, etcétera. En muchos casos, al principio la reproducción sigue una ley exponencial que luego se frena por la incidencia de esos factores. En ecología se llama “capacidad de carga del medio” al valor límite de individuos, de una especie dada, que la colonia no puede sobrepasar, y “curva logística” a la que representa este tipo de evolución.

En el gráfico, con una curva de esas carac-terísticas, se muestra la evolución de una colonia de peces en una laguna.

a. ¿Cuántos peces había inicialmente en la laguna?

b. ¿Cuál es el valor límite de peces que esa colonia no podrá superar? ¿Cómo te diste cuenta?

c. La curva representada responde a la expresión Pe

( ) ,t t=+ −

3001 5 0 7 .

Calcula la cantidad de peces que habrá en el mes 15 (usa e ; 2,7).

14 Se está estudiando la evolución de una colonia de 100 roedores que habitan en una isla. A los 4 meses de comenzado el estudio se realiza un conteo y se detectan 560 roedores. Dadas las condiciones del medio se establece que no podrán convivir más de 2000 ejemplares.

a. Marca la expresión que representa esta situación.

Re

( )t t=+2000

1 19 5 Re

( ) ,t t=+2000

1 19 0 5 Re

( ) ,t t=+ −

20001 19 0 5

b. Completa la tabla usando la expresión que elegiste y verifica si, según esa expresión, la población de roedores no supera los 2000 individuos (recuerda aproximar al entero).

Tiempo (meses) 10 20 50 100 500

Roedores

100

50Tiempo

(meses)

200

150

250

300

350

2 4

Cantidad de peces

6 1080

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13

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

15 En el problema 1 de la página 68 se estimaba el área de una mancha de petró-leo en función del tiempo. Para un trabajo de ecología se necesita conocer la relación inversa, que permite estimar el tiempo transcurrido conocida el área de la mancha.

a. Completa la tabla de acuerdo con lo que hiciste en el problema 1.

xÁrea (m2)

yTiempo (días)

b. Juan dice que cada valor de y es el exponente al que hay que elevar el número 2 para obtener x. ¿Es cierto? ¿Con qué operación puede calcularse el valor de y para cada valor de x dado?

Ayuda: si tienes dudas, vuelve a mirar el capítulo 1.

c. Según lo que respondiste en b., escribe la fórmula de la función que expresa el tiempo que tarda en formarse la mancha, según su área.

16 Rodea el par de funciones inversas. Explica cómo te diste cuenta.

f x x( ) = 5 g xx

( ) =

15

h x x( ) log= 5 t xx

( ) ( )= − ⋅

115

17 Si bien Lucas trabaja con las funciones exponenciales, todavía no sabe qué hacer con las logarítmicas. Sabe, por ejemplo, que si f x

x

( ) =

23

, entonces f(0) = 1 y

f ( )1

23

= .

Ahora quiere analizar la función h dada por h x x( ) log= 23

, que es la inversa de f.

a. Con lo que sabe de f, ¿puede hallar la raíz de h? ¿Por qué?

b. ¿Cómo le sirven los datos sobre f para calcular h23

? ¿Y para calcular h

32

?

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13

18 a. Completa la tabla de la función f dada por f x x( ) log= 12

.

Ayuda: puedes completar primero la tabla de la función exponencial g dada por

g xx

( ) =

12

y luego invertirla.

x g(x)

x f(x)

–2

–1

0

1

2

b. Representa f y g en un mismo sistema cartesiano.

y

x0

c. Mirando los gráficos, completa el cuadro.

Raíz Dominio RecorridoOrdenada al

origen

¿Es creciente o

decreciente?Asíntota

g

f

d. Ten en cuenta que f y g son funciones inversas, y relaciona entre sí el dominio y el recorrido de cada una.

e. De la misma manera que relacionaste el dominio y el recorrido de f y g, com-para los datos que aparecen en la tabla y escribe tus conclusiones.

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13

19 a. Representa las funciones f y g dadas por f(x) = log 2 x y g x x( ) log= 12

en el mis-mo sistema cartesiano y compara sus gráficos.

b. ¿Cómo es el gráfico de f dada por j x x( ) log= 32

respecto del de h dada por h x x( ) log= 2

3

?

c. Generaliza la propiedad que se desprende de los ítems anteriores.

20 Todos estos gráficos corresponden a funciones del tipo f(x) = a log 2 x. Halla el valor de a en cada caso y explica cómo lo obtuviste.

.

2

–3

1

–4

4

–1

3

–2

5

6

2 4 6 108 12

y

x0

A

j x( )

h x( )

g x( )

B

C

A B C( , ) ( , ) ( , )2 2 2 132

12 −

21 a. Representa las funciones f, g y h dadas por f(x) = log x; g(x) = log (x – 5) y h(x) = log (x + 4) en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra (usa lg en vez de log).

b. Compara los gráficos obtenidos y completa el cuadro.

Dominio Recorrido Asíntota RaícesOrdenada al origen

f

g

h

22 El gráfico corresponde a la función f dada por f x x( ) log= 94

. Basándote en él, re-presenta las funciones g, h, j y k dadas por:

g x x( ) log    = +94

1;

h x x( ) log ( )= +94

1 ;

j x x( ) log= 49

;

k x x( ) log= −3 94

.

2

–3

1

–4

–5

4

–1

3

–2

5

2–2 4–4 6 108 12

y

x0

f x( )

Recuerda que log a = log10 a.

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13

23 Asígnale a cada gráfico el cartel y la expresión que le corresponde.

4

–6

2

–2

6

–4

2 4 6–2–4

y

x0

ATiene asíntota en x = –2Dom f = (–2; ∞)La base de la función es mayor que 1.

I. f (x) = log 2 (x + 3)

II. f (x) = log 3 (x + 3)

4

–6

2

–2

6

–4

2 4 6–2–4

y

x0

BTiene asíntota en x = –3Dom f = (–3; ∞)La base de la función es menor que 1.

III. f x x( ) log ( )= +1

2

3

2

–3

1

–1

3

–2

2 4 6–2–4

y

x0

CTiene asíntota en x = –3Dom f = (–3; ∞)La base de la función es mayor que 1.

IV. f (x) = log 3 (x + 2)

24 Propon la fórmula de una función logarítmica que se ajuste a lo pedido en cada caso y analiza si hay más de una expresión posible. Explica cómo te das cuenta.

a. f tiene una asíntota vertical en x = 2 y su base es 3.

b. El Dom g = (–6; +∞) y su base es 13.

c. h es decreciente, tiene una asíntota vertical en x = 0 y h(5) = –1.

25 Juliana y Mateo escribieron, cada uno en su cuaderno, una expresión para la función representada. Mirá lo que escribió cada uno, indicá si es correcto o no y explica por qué.

Ayuda: puedes mirar las propiedades de los loga-ritmos en el capítulo 1.

Juliana: f x x( ) log= 13

Mateo: f x x( ) log= − ⋅1 3

2

5

1

4

–1

3

6

–2

4 6 8–2

y

x0

2

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13

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

26 a. Representa gráficamente la función f dada por f x x( ) = −+2 13 .

b. Usa el gráfico para resolver la ecuación 2 1 33x + − = .

c. Resuelve analíticamente la ecuación 2 1 33x + − = y compara la solución con la que obtuviste en b.

27 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación 2 1 83x + − = .

b. Resuelve analíticamente la ecuación 2 1 83x + − = y compara la solución con la que obtuviste en a.

28 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación 2 1 53x+ − = − .

b. Resuelve analíticamente la ecuación 2 1 53x+ − = − y compara la solución con la que obtuviste en a.

29 Discute según k la solución de la ecuación 2 1

2 1

3

3

x

x

k

f x

+

+

− =

= −( )

.

Ayuda: Usa el gráfico de la función f dada por

2 1

2 1

3

3

x

x

k

f x

+

+

− =

= −( ) y las soluciones de los ejercicios anteriores.

80

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

15.9

13

30 Resuelve analíticamente las siguientes ecuaciones:

a. 4 1 151x+ − = b. 4 4 643 2 2x x⋅ =−

c. 414

12

xx

− =

d.

39

272 1

x

x− =

e. 103

313

1+ =+x f. e ex2 1 2− =

g. 2 5 302( )x = h. e x3 1 2+ =

i. 142e x =

81

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

15.9

13

ECUACIONES Y FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

31 El siguiente gráfico corresponde a la función f dada por f(x) = ln x.

a. Mirando el gráfico, estima.

ln 0,5 =

ln 1,5 =

ln 5 =

b. Mirando el gráfico, estima x.

ln x = –2 → x =

ln x = 0,5 → x =

ln x = 1,2 → x =

c. Explica como hiciste para estimar los valores obtenidos en a y b.

d. Verifica los resultados obtenidos usando la calculadora científica. Aproxi-ma a los centésimos.

32 Resuelve las siguientes ecuaciones. Puedes usar GeoGebra para comprobar las soluciones.

a. log2 1x = − b. log( )x − =1 2

c. ln( )2 1 2x + = − d. log( ) , logx x+ = +1 0 5

e. − + =1 0ln x f. log3

127 2 1= − +x

2

–3

1

–4

–5

4

–1

3

–2

5

2 4 6 108 12

y

x0

f x( ) = ln x

Para

re

cord

ar

82

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

15.9

13

Crec

imie

nto

y de

crec

imie

nto

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cion

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cre

cim

ient

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sere

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expo

nenc

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laci

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l.

Adem

ás, a

se

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+1

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(o a

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1100r

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la p

obla

ción

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ism

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cim

ient

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r un

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38%

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ión

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1,3

8t .

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s vi

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una

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cim

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El g

ráfic

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100 t

ruch

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guna

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a la

situ

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),

te

t=

+⋅

−⋅

500

14

09

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500 e

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val

or lí

mite

de

habi

tant

es d

e es

ta c

olon

ia.

20

0

10

0

t

40

0

30

0

50

0

60

0

24

Cantidad

de

truchas

61

01

21

41

68

0

T()t

Func

ione

s ex

pone

ncia

les

Las

func

ione

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la fo

rma

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xpon

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en

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1.

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> 1

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func

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< 1

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.Ad

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y.

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x

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1 3.

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los

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nes.

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fico.

Adem

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0, el

cre

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ient

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la

func

ión

resp

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par

a f(

x) =

ax ,

mie

ntra

s qu

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0, s

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te.

En c

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cuen

cia,

si k

> 0

, Rec

h =

(c; +

∞),

y si

k <

0, R

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= (–

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)

El g

ráfic

o co

rres

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las

func

ione

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2x –

3

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= –

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x ) + 1

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tiene

un

a as

ínto

ta

horiz

onta

l en

y

= –

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su

reco

rrid

o es

(–3

; +∞

).La

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es

asín

tota

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grá

fico

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. S

u ba

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s m

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que

1,

por

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l es

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por

–2,

el g

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o se

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y la

fun

ción

es

decr

ecie

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. En

cons

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ncia

, Rec

g =

(–∞

; 1).

25 14

–1367

4–2

–4

y

x0

2

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gx()

24

–1

–2

–43

4–2

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y

x0

2

fx()

gx()

–31

Para

re

cord

ar

83

© S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

15.9

13

Func

ione

s lo

garít

mic

as

La in

vers

a de

una

func

ión

expo

nenc

ial d

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x) =

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nció

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func

ión

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rítm

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ción

loga

rítm

ica

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la

func

ión

expo

nenc

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un

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real

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tinto

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1.

El g

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0;

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l grá

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Adem

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unci

ón e

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cre

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25 14

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1.

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2.

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la s

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−−

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−=

=

+

+ +

+

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05

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23

23

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g

,lo

g

log

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()

()

x x

x

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x0

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∞),

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–1367

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24

–1

–2

–43

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fx()

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–31

84

Más actividades

33 Analiza la expresión de cada función exponencial y determina su imagen, la ecuación de la asín-tota, su ordenada al origen y si se trata de una función creciente o decreciente.

a. f xx

( ) =

−23

5 c. h x x( ) ,= ⋅ −3 2 0 5

b. g x x( ) = +4 1 d. j x x( ) ( ) ,= − +2 0 7 10

34 Representa las funciones del ejercicio anterior y verifica si se cumple lo que anticipaste. Puedes usar GeoGebra.

35 Escribe una expresión del tipo f(x) = ax + c para la cual:

a. Rec f = (4; ∞) y sea creciente.

b. Rec f = (4; ∞) y sea decreciente.

c. Su asíntota sea y = –5 y sea decreciente.

36 En la actividad anterior, ¿cuántas expresiones puedes escribir en cada ítem? Si hay más de una, explica por qué y qué características tienen todas.

37 La ordenada al origen de una función del tipo f(x) = ax + c es 8; además, f(1) = 10. Halla el valor de a y c, y reescribe la expresión.

38 Escribe la expresión de una función de la forma f(x) = k ax + c cuya imagen incluya todos los nú-meros menores que 1. ¿Puede ser esta una fun-ción creciente? ¿Y decreciente?

39 Esteban dice que si la expresión de una función es de la forma f(x) = k ax + c y la función es cre-ciente, entonces a es mayor que 1. ¿Siempre se cumple esto? ¿Por qué?

40 Se estima que en un bosque hay 8 000 m3 de ma-dera y que esa cantidad aumenta 3,2% por año.

a. ¿Cuánta madera se espera tener en 8 años?

b. No se permite la explotación del bosque hasta que la cantidad de madera supere los 20 000 m3. ¿Cuánto tiempo habrá que espe-rar para comenzar a talar?

41 Una colonia de ranas está en un proceso de ex-tinción. El gráfico muestra la cantidad de ejempla-res que aún quedan vivos por mes.

80

40

Tiempo

(meses)

160

120

200

1 2

Ranas vivas

3 54 60

a. ¿Cuántas ranas había inicialmente?

b. ¿Qué porcentaje de ranas se muere cada mes?

c. Escribe una expresión del tipo R(t)= k at con la que se pueda calcular la cantidad de ranas vivas que hay cada mes.

42 Una colonia de iguanas se reproduce de acuerdo

con la fórmula I( ) ,te t

=+ −

2001 19 0 2

, donde I es la

cantidad de iguanas en función del tiempo medi-do en meses.

a. ¿Cuántas iguanas hay inicialmente?

b. ¿Cuál es el valor límite de iguanas que la colo-nia no podrá sobrepasar?

c. ¿Cuántas iguanas se espera tener al año de comenzada la reproducción?

43 Representa en el mismo sistema cartesiano las funciones f y g dadas por f(x) = 10x y g(x) = log x (puedes usar el GeoGebra). ¿Respecto de qué recta son simétricas sus gráficos? Escribe sus diferencias y similitudes.

44 Escribe la expresión de una función del tipo

f(x) = loga (x + c) para cada caso.

a. Dom f = (–2, ∞) y f(6) = –3.

b. Dom f = (6, ∞) y f(15) = 2.

c. Dom f = (–1, ∞) y f(0,5) = –1.

45 Analiza la expresión de cada función y determina su dominio, la ecuación de su asíntota, sus raíces y si se trata de una función creciente o decreciente.

a. f(x) = log7 (x – 9)

b. g(x) = log0,2 (x + 4)

c. h(x) = ln (x – 11) © S

antilla

na S

.A. P

rohib

ida s

u f

oto

copia

. Ley

15.9

13

40 Se depositan $ 30 000 en un banco que ofrece un interés del 12% anual. Al finalizar cada año, los intereses acumulados pasan a formar parte del capital.

a. Si no se efectúa ningún retiro de dinero, ¿cuán-to habrá a los 8 años de realizado el depósito?

b. Planteá una fórmula que permita calcular el dine-ro que habrá en el banco, en función del tiempo (en años), si no se realizan extracciones.

c. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir hasta que el depósito inicial se triplique?

39 A partir del gráfico de la función f dada por f(x) =  log1,7 (x + 1,5) estima el valor de x para el que:

a. f(x) = –1 c. f(x) = 5

b. f(x) = 2,5 d. f(x) = 6,5

Para representar puedes usar el GeoGebra, luego resuélvelas analíticamente.

40 Resuelve gráfica y analíticamente las siguientes ecuaciones:

a. 32x = 81 c. 3x + 1 – 2 = 4

b. 3x – 1 = 7 d. 3 · 3x – 2 = 5

85

Autoevaluación

1 Analizando cada expresión completa el cuadro sobre cada función.

¿Creciente o decreciente?

Asíntota Dominio RecorridoOrdenada al origen

Cero o raíz

f(x)= 0,7x – 4

g(x)= 9,2x + 8

h(x)= log7 (x + 2)

2 En el gráfico se representó una función del tipo f(x) = loga (x – k).

a. Determina el valor de a y de k, y reescribe su expresión. b. Indica el dominio, el recorrido, la raíz y la asíntota de la

función.c. A partir del gráfico, estimá el valor de x para que f(x) = –2.

3 Una colonia de monos se reproduce de acuerdo con una función exponencial y el número de sus ha-bitantes aumenta un 8% cada año. Hoy se realizó un conteo y se determinó que hay 200 ejemplares.

a. ¿Cuántos monos habrá dentro de 5 años, sin considerar ninguna muerte?b. ¿Cuánto tiempo habrá pasado cuando haya más de 1000 ejemplares?

2

–3

1

–4

4

–1

3

–2

2 3 5 7 9 116 108 12

y

x0

f x( )

1 4

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