MATEMÁTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN · Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales 81...

MATEMÁTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “Dr. Federico Rivero Palacio”

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ADMINISTRACIÓN

MATEMÁTICA PARA LA ADMINISTRACIÓN

Primer Trayecto – Primer y Segundo Trimestre

horas

Trabajo Acompañado 3

Trabajo Independiente 3

Horas por semana 6

Material elaborado por:

Márquez Zambrano, Luisa

2

Índice

pp.

Objetivos y contenidos de la unidad curricular iii

Introducción vi

Instrucciones Generales vii

Conceptos básicos viii

UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. INTERÉS COMPUESTO 1

▪ Definición de interés simple. 2

▪ Formas de calcular el interés simple. 3

▪ Definición de Interés compuesto. 5

▪ Formas de calcular el interés compuesto.

▪ Tasa de interés nominal, efectiva, efectiva anual, equivalentes. 7

▪ Ecuaciones Valor. 7

▪ Anualidad. 10

▪ Descuento simple y compuesto. 11

▪ Rentas constantes. 18

▪ Rentas variables en progresión aritmética y geométrica. 30

▪ Amortizaciones. 32

UNIDAD 2. CRITERIOS DECISORIOS 33

▪ Períodos de Recuperación (PERE). 34

▪ Tasa promedio de Retorno (TPR). 34

▪ Tasa de interés de oportunidad (TIO) 36

▪ Valor Presente Neto (VPN). 37

▪ Tasa interna de Retorno (TIR). 38

▪ Costo anual equivalente (CAUE) 40

▪ Evaluación económica y comparación 43

UNIDAD 3. EVALUACIÓN ECONÓMICA Y COMPARACIÓN DE

ALTERNATIVAS QUE PRODUCEN DIFERENTES SERVICIOS 46

▪ Clasificación de proyectos 47

▪ Valores Netos 48

▪ Evaluación de inversiones con igual vida económica y mutuamente excluyentes 49

▪ Evaluación de Inversiones con diferente vida económica y mutuamente excluyentes 50

▪ Evaluación de Inversiones independientes. 50

▪ Evaluación de Inversiones complementarias. 51

▪ Evaluaciones especiales. 51

3

UNIDAD 4. FUNCIONES ALGEBRÁICAS 54

▪ Funciones 57

▪ Tipos de funciones 60

▪ Representación gráfica de las funciones 60

▪ Oferta y demanda lineales. 65

▪ Curvas de oferta y de demanda no lineales 67

▪ Equilibrio de mercado 70

▪ Curva de transformación del producto 71 UNIDAD 5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 74

▪ Funciones exponenciales 75

▪ Características y gráficas de las funciones exponenciales. 75

▪ Funciones logarítmicas. 79

▪ Características de las funciones logarítmicas. 79

▪ Gráficas de las funciones logarítmicas 80

▪ Aplicación de las funciones exponenciales al cálculo de interés. 78

▪ Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales 81

UNIDAD 6. APLICACIONES DE LA DERIVADA 83

▪ Reglas para la derivación de funciones exponenciales 84

▪ Reglas para la derivación de funciones exponenciales 84

▪ Optimización de funciones 84

▪ Costos de producción 88

UNIDAD 7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL 88

▪ La integral indefinida 89

▪ La integral definida 92 CONTENIDOS DE REPASO 95 Ejercicios Bibliografía 100

4

Objetivos y Contenidos de la Unidad Curricular

Matemática para la Administración

El presente curso se estructura en siete unidades, las cuales permitirán el logro de

cuatro objetivos cuyo eje central es la aplicación de las matemáticas a la

resolución de problemas administrativos, para ello, cada una de las unidades

programáticas de este material contempla la presentación teórica de los

contenidos. A continuación se presentan los objetivos de la asignatura y los

contenidos de cada unidad de trabajo.

Objetivos:

1. Aplicación del proceso y sistemas administrativos, en las áreas de finanzas,

producción, recursos humanos y mercadeo, bajo las premisas de las nuevas

tendencias administrativas.

2. Aplicar los conceptos de tasa promedio de variación así como el concepto de tasa

instantánea de variación, en la resolución de problemas.

3. Aplicar los conceptos y técnicas de derivación en la resolución de problemas en el

campo de la Administración y Gestión.

4. Aplicar los conocimientos necesarios para el estudio y resolución de los problemas

que plantean las operaciones financieras que realizan las personas físicas y

jurídicas en los mercados financieros con los activos e instrumentos financieros.

Estas técnicas y métodos se explican desde una óptica eminentemente

simplificada y práctica, prescindiendo de planteamientos matemáticos generales y

teóricos que revisten mayor complejidad.

Contenidos:

UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. INTERÉS COMPUESTO

▪ Definición de interés simple.

▪ Formas de calcular el interés simple.

▪ Definición de Interés Compuesto.

▪ Procesos de Capitalización.


▪ Tasa de interés nominal, efectiva, efectiva anual, equivalentes.

▪ Ecuaciones Valor.

▪ Descuento simple y compuesto.

▪ Rentas Constantes.

5

▪ Rentas variables en progresión aritmética y geométrica.

▪ Amortizaciones.

UNIDAD 2. CRITERIOS DECISORIOS.

▪ Períodos de Recuperación (PERE).

▪ Tasa promedio de Retorno (TPR).

▪ Valor Presente Neto (VPN).

▪ Tasa interna de Retorno (TIR).

▪ Evaluación económica y comparación: - Alternativas que producen el mismo servicio y tienen igual vida

económica (criterios del Costo Presente, Equivalente (CPE), Costo Anual Equivalente (CAE), Costo Futuro).

▪ Equivalente (CFE), Tasa Interna de Retorno Incremental (TIRI): - Alternativas que producen el mismo servicio y tienen diferente

vida económica (modelo de reemplazo en idénticas condiciones, modelo de reducción de la vida económica de las alternativas más extensas, modelo de extensión de la vida económica de las alternativas mas cortas, modelo de reemplazo en condiciones reales).

UNIDAD 3. EVALUACIÓN ECONÓMICA Y COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS QUE PRODUCEN DIFERENTES SERVICIOS.

▪ Evaluación de Inversiones con igual vida económica y mutuamente excluyentes (análisis de factibilidad: VPN, Valor Anual Neto VAN, Valor Futuro Neto VFN, TIR, Valor Futuro de Flujos de Caja, Tasa Promedio de Crecimiento del Patrimonio TPCP, Análisis de Oportunidad: VPN, VAN, VFN, TIRI, VFFC, TPCPI).

▪ Evaluación de Inversiones con diferente vida económica y mutuamente excluyentes (análisis de factibilidad: VPN, VAN, VFN, TIR, VFFC, TPCP. Análisis incremental: VPN, VFFC, TPCPI).

▪ Evaluación de Inversiones independientes.

▪ Evaluación de Inversiones complementarias.

▪ Evaluaciones especiales: Reemplazo de equipos, ciclo óptimo de operación, Comprar vs Arrendar vs Mantener. Leasing o Arrendamiento Financiero.

UNIDAD 4. FUNCIONES ALGEBRAICAS. APLICACIONES

▪ Funciones

▪ Tipos de funciones

▪ Representación gráfica de las funciones

▪ Oferta y demanda lineales.

▪ Curvas de oferta y de demanda no lineales

▪ Equilibrio de mercado

▪ Curva de transformación del producto

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UNIDAD 5. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

▪ Funciones exponenciales

▪ Características y gráficas de las funciones exponenciales.

▪ Funciones logarítmicas.

▪ Características de las funciones logarítmicas.

▪ Gráficas de las funciones logarítmicas

▪ Aplicación de las funciones exponenciales al cálculo de interés.

▪ Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales

UNIDAD 6. APLICACIONES DE LA DERIVADA

▪ Reglas para la derivación de funciones exponenciales

▪ Reglas para la derivación de funciones exponenciales

▪ Optimización de funciones Costos de producción

UNIDAD 7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

▪ La integral indefinida

▪ La integral definida

7

Instrucciones Generales

En este material encontrarás una presentación resumida de los contenidos de la

unidad curricular Matemática Aplicada a la Administración. Las unidades de

aprendizaje están conformadas por dos bloques temáticos, las unidades 1,2 y 3

contentivas de las matemáticas financieras; y las unidades 4,5,6,y 7 de las

matemáticas aplicadas a la administración, este material te acompañará en tu

proceso de formación. Sin embargo, no puedes pasar por alto la realización de

investigaciones y arqueo bibliográfico, para ello cuentas con una bibliografía

recomendada en el programa de esta unidad curricular.

A lo largo del material te encontrarás con Pedro y Lucia

dos chicos con amplios conocimientos en matemática que te brindarán algunos

datos relevantes relacionados con los contenidos de cada unidad.

Las nomenclaturas matemáticas utilizadas en este material son:

+ Suma

- Resta

* Multiplicación

/ División

= igual

≠ Diferente

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Introducción

El vocablo ―Administración‖ puede ser definido de diversas formas, sin embargo,

se puede afirmar que generalmente lo asociamos al proceso mediante el cual se

organiza y coordina el trabajo de una empresa con el propósito de cumplir

objetivos de manera eficiente. Es decir, hacer lo correcto correctamente. Y una

forma de hacer bien las labores necesarias para una empresa es a través de la

toma de decisiones, un proceso que se inicia cuando se detecta un problema o

necesidad organizacional y se determina que es ineludible resolverlo ¿Cómo?

Generando diversas alternativas de solución y evaluándolas para seleccionar la

más acertada.

Como consecuencia de esto surge la aplicación de las matemáticas a la

administración, no es nuevo que los números guardan una estrecha relación con

el proceso de gerencia de una empresa, ello se debe a la necesidad de saber si

las operaciones que se realizarán dejarán beneficios; una forma efectiva de

predecir si las acciones a tomar serán productivas es a través de los cálculos

matemáticos, estos permiten estimar ganancias, gastos, inversiones, etc. En la

actualidad la aplicación de procedimientos matemáticos para la resolución de

conflictos organizacionales se denomina Investigación de Operaciones, que como

su nombre lo indica, consiste en hacer investigación sobre las actividades de una

organización por medio de la formulación de un modelo matemático. Aunada a la

Investigación de Operaciones se haya la Evaluación de Proyectos de Inversión la

cual amerita la aplicación de diversos propuestos matemáticos con el propósito de

determinar el mejor camino a seguir por una empresa. Por ello la importancia de

esta unidad curricular que permitirá el logro de competencias de cálculo para la

resolución de problemas administrativos.

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Conceptos Básicos

Capitalización: Es aquella entidad financiera mediante la cual los intereses devengados en

un período, se transforman en capital el período siguiente. Capital inicial o principal: Es la cantidad que se presta durante un tiempo determinado

para producir un interés. Contraprestación: Prestación o servicio que debe una parte contratante como

compensación por lo que ha recibido o debe recibir. Egresos: Las inversiones de la organización. Ingresos: Beneficios económicos que recibe una organización. Inversión: Es la asignación de recursos a los diferentes escenarios de una organización,

cuyos efectos son duraderos en el tiempo y muchas veces con resultados irreversibles.

Operación financiera: es la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo.

Período (n): Es la frecuencia con la cual se aplica la tasa de interés y se indica normalmente con una unidad de tiempo: Mes, año, día, etc.

Prestación: Acción y efecto de prestar, ya sea un servicio en las obligaciones de hacer, o dinero en las obligaciones económicas.

Proyecto: Es todo programa de desarrollo, compuesto por una serie de actividades, con objetivos claros. Por lo tanto, proyecto es toda actividad encaminada a lograr objetivos y metas de forma eficaz y eficiente.

Renta: Es el nombre que se le da al pago periódico que se hace. Valor anual (A): Trata de establecer la cantidad de dinero que se debe recibir, pagar o

sobrar al final de todos y cada uno de los “n” períodos del proyecto para que la alternativa o proyecto satisfaga la condición de factibilidad.

Valor presente o actual (P): Busca determinar la cantidad de dinero que se debe recibir, pagar o sobrar en la posición “0” para que la alternativa o proyecto cumpla la condición de factible.

Valor futuro (F): Busca precisar la cantidad de dinero que se debe recibir, pagar o sobrar en la posición “n” para que la alternativa o proyecto cumpla la condición de factible.

Tasa: Es el valor del interés, expresado en porcentaje. Tiempo: Es el número de períodos (años, meses, días, etc.), que permanece prestado o

invertido el capital

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UNIDAD I IIINNNTTTEEERRRÉÉÉSSS SSSIIIMMMPPPLLLEEE EEE IIINNNTTTEEERRRÉÉÉSSS CCCOOOMMMPPPUUUEEESSSTTTOOO

Aquí encontrarás ▪ Definición de interés simple.

▪ Formas de calcular el interés simple.

▪ Definición de Interés Compuesto.

▪ Procesos de Capitalización.


▪ Tasa de interés nominal, efectiva, efectiva anual, equivalentes.

▪ Ecuaciones Valor.

▪ Descuento simple y compuesto.

▪ Rentas Constantes.

▪ Rentas variables en progresión aritmética y geométrica.

▪ Amortizaciones.

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UUUNNNIIIDDDAAADDD III... IIINNNTTTEEERRRÉÉÉSSS SSSIIIMMMPPPLLLEEE EEE IIINNNTTTEEERRRÉÉÉSSS CCCOOOMMMPPPUUUEEESSSTTTOOO

El interés es la renta que se paga o se recibe por el uso del dinero durante un tiempo determinado; ¿qué se quiere decir con esto? que el uso del dinero no es gratis, como tampoco lo es el uso de cualquier otro activo o servicio. Si utilizamos la energía eléctrica debemos pagar por ella, por lo tanto, si empleamos el capital de otra persona o si otra persona utiliza el nuestro, ese uso genera una renta que también podemos llamar interés. Esto se aprecia con facilidad en las cuentas bancarias, en las que la mayoría de las veces se deposita el dinero para que devengue un interés. ¿Cómo? El banco utiliza el dinero depositado por los ahorristas para otorgar créditos a terceros, realizar inversiones, etc. y por ese uso paga a cada uno de sus cuentas habientes un porcentaje sobre el monto de dinero que le han confiado, a ese porcentaje se le conoce como tasa de interés. El interés varía de acuerdo al tiempo que dure la utilización del dinero. La unidad de tiempo para el cálculo de los intereses es el año. Por eso es común escuchar frases como ―tienes dos años para pagar‖ o ―el préstamo se cancela en cuatro años‖. Sin embargo, el pago de los intereses se realiza por períodos, que es el intervalo de tiempo en que se liquida la tasa de interés. Los períodos más utilizados son: Año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena y día. Para comprender mejor los conceptos de tiempo o período se presenta el siguiente ejemplo:

José abrió una cuenta de ahorros el 1 de noviembre con Bs. 180.000, la

tasa de interés que ofrece el banco es del 12% anual (Tiempo), pero los

dividendos o intereses serán pagados mensualmente (Período). José desea

saber cuánto dinero tendrá en su cuenta para final de mes.

180.000 * 12%(Tasa de interés)= 180.000 * 0,12=21.600Bs

Bs. 21.600 /3601 días (Tiempo=año=360 días)=Bs. 60

Bs. 60 * 30 días (período, en este caso es un mes, treinta días)= BS.

1.800,00

José el 30 de noviembre tendrá Bs 180.000 (capital)+1.800

(intereses)= Bs.181.800,00

Existen varias clases de interés, los más comunes son el interés simple y el interés

compuesto, la diferencia entre ellos es la renta que generan, la cual puede ser mayor o

menor de acuerdo al caso.

1 *Nota: A pesar de que los años duran 365 días, las operaciones bancarias se calculan sobre la base de 360

días

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Interés Simple

Definición

Se denomina interés simple aquel en el cual los intereses devengados no ganan intereses en el período siguiente, ya que no son agregados al capital para el nuevo cálculo de la siguiente renta. Una consecuencia importante del interés simple es que los intereses generados en cada uno de los períodos son iguales, ya que indiferentemente del tiempo que dure la operación los intereses siempre se calculan sobre el capital inicial.

Forma de Calcular el Interés Simple

El interés simple se utiliza para operaciones con vencimientos cercanos o de ―corto plazo‖. Repasemos sus elementos fundamentales:

Co = Capital inicial n = número de períodos que dura la operación. i = Tipo de interés anual, el rendimiento que se obtiene por el dinero invertido en un período, generalmente un año. I = Interés total, la suma de los intereses de cada año o de cada período. Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.

I = I1 + I2 + I3 + … + In En régimen de Capitalización Simple, el Interés total es la suma de los intereses de cada período y estos se calculan de la siguiente manera:

I1 = Co * i para el primer período

I2 = Co * i para el segundo período

I3 = Co * i para el tercer período

In = Co * i para el n período

Por lo tanto I = Co * i + Co * i + Co * i + … + Co * i Siendo n los sumandos o períodos tenemos que I = Co * i * n y Cn = Co ( 1 + (i *n) ) Ejemplo:

Se invierten hoy Bs. 3.000.000,00 a una tasa de interés simple del 2%

mensual dentro de ocho meses tendremos un total acumulado de

I= 3.000.000 x 2% x 8 = 3.000.000 x 0,02 x 8= 480.000

Cn= 3.000.000 (1+ (0,02 * 8))= 3.000.000 x 1,16= 3.480.000

Existe una gran variedad de problemas relacionados con el interés simple, en los cuales se puede requerir el cálculo del período o del tipo o tasa de interés, a continuación se presentan las formulas para su cálculo:

Tipo o tasa de interés: i = I / Co * n Período: n = I / Co * i

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Utilizando los datos del ejemplo anterior, reemplacemos los valores en

las fórmulas

Tipo de interés: i= I/Co*n= 480.000 / 3.000.000*8= 480.000/ 24.000.000=

0,02

Por lo tanto la tasa de interés es 0,02 lo que es igual a decir el 2%

Período: n = I / Co * i = 480.000/ 3.000.000*2= 480.000/6.000.000=

0,08*100= 8

El tiempo de la operación es de 8 meses. Ecuaciones de Valor: En oportunidades es necesario comparar un conjunto de pagos con otro, o bien, cambiar un conjunto de obligaciones de diversos montos pagaderos en diferentes fechas, por otro conjunto de obligaciones con vencimientos distintos. Una ecuación de valor, es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada fecha focal o fecha de evaluación.

Veamos el siguiente ejemplo: El señor Pérez firmó dos documentos: Uno por

Bs. 500.000 a pagar en un año, y otro por Bs. 1.000.000 a pagar en tres

años. En un nuevo arreglo, convino en pagar Bs. 750.000 ahora y el resto

dentro de cuatro años. Si se considera como fecha focal el año cuatro,

¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del cuarto año suponiendo un

rendimiento del 5% anual?

El valor acumulado del Sr. Pérez, al final del cuarto año asciende a:

500.000[1+(0.05)3] + 1.000.000 [1+(0.05)1]

500.000[1+(0.15)] + 1.000.000 [1+(0.05)]

El valor acumulado de los pagos del Sr. Pérez, al final del cuarto año

asciende a:

750(1+(0,05)4) + x

Es decir:

750 (1+0,20) + x

Debido a que existe igualdad entre dos pagos (2) y las deudas (1), es

posible obtener la siguiente ecuación, llamada ecuación de valor:

750(1,20) + x = 500.000(1+0,15) + 1.000.000 (1 + 0.05)

Despejando la incógnita obtendremos:

x = 500.000(1,15) + 1.000.000(1,05) – 750(1,20)

x = 575.000 + 1.050.000 – 900.000

x = 725.000

(1)

(2)

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Por lo tanto el Sr. Pérez deberá pagar Bs. 725.000,00 al final del cuarto

año.

Interés Compuesto

Definición

El interés compuesto es aquel que capitaliza los intereses devengados en el período inmediatamente anterior, y así sucesivamente en cada uno de los períodos siguientes. En el interés compuesto o capitalización compuesta los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada período de tiempo; esto es lo que hemos escuchado con los créditos indexados por la compra de vivienda y es el tipo de capitalización que nos beneficia en las cuentas de ahorros cada mes los intereses que nos pagan son sumados al capital.

Cálculo del Interés Compuesto

Para calcular el interés compuesto debemos tener presente que los intereses son acumulativos por lo tanto varían en cada período, observemos el siguiente ejemplo: Si hoy se depositan Bs. 50.000,00 en una cuenta de ahorros que paga un interés trimestral del 6% en un año ¿cuál será el capital final?:

TRIMESTRE INTERESES TOTAL EN BS

1 50.000 X 6%=3.000 53.000

2 53.000 X 6%= 3.180 56.180

3 56.180 X 6%= 3.370,80 59.550,80

4 59.550,80 X 6%= 3.573,04 63.123,84

Al culminar el año en la cuenta de ahorros habrán Bs. 63.123,84, en este ejemplo se aprecia que los intereses en cada trimestre se calculan según el capital acumulado hasta el momento y esos intereses se suman al capital para formar parte del capital base del período siguiente. Revisemos ahora los elementos fundamentales para el cálculo de la capitalización compuesta: Co = Capital inicial n = número de períodos (años generalmente) que dura la operación. i = Tipo de interés anual I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período. Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses. En los problemas administrativos sobre capitalización compuesta podemos requerir cualquiera de estos elementos, para ello se presentan las fórmulas para su cálculo: Capital final Cn = Co ( 1 + i )n Intereses totales I = Co [ ( 1 + i )n - 1 ]

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Tipo de interés Ejemplos:

1. Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 bolívares al

cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n

? = C( 1 + i )n

C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6

El capital final es de 1 763 194 bolívares.

2. El capital inicial fue de 800 000 bolívares. Calcular la tasa de

interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000

bolívares para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279

bolívares:

Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n = 4

2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4

Despejamos la fórmula de capital final y nos queda

1 + i = 1,1199999

i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999 0,12

La tasa de interés ha sido del 12 %. Diagrama de Flujos de Caja En todas las operaciones intervienen dos clases de valores a lo largo del tiempo, los ingresos y los egresos relacionados con dicha operación, se llama flujo de caja a la secuencia que representa esos valores, en otras palabras, el flujo de caja son las secuencias de entrada y salida de capitales durante el tiempo que dura la operación financiera. Con el propósito de visualizar esta operación suelen representarse tales valores sobre un segmento de recta que tenga como longitud el tiempo que dure la operación medido en períodos. En esta representación gráfica se le conoce como diagrama de flujo de caja o diagrama de tiempo-valor. En estos diagramas se representa con una flecha hacia arriba los ingresos y con una flecha hacia abajo los egresos. Ejemplo:

Si hacemos una inversión (egreso) hoy por valor de Bs. 10.000 y recibimos

unos ingresos de Bs. 4.000 dentro de 4 meses y de Bs. 8.000 dentro de 10

meses, el diagrama de flujo será:

1 2 3 4 4.000

10.000

8.000

10 meses

. . .

Ingresos

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Estos diagramas de flujo de caja los podrás realizar para visualizar el desplazamiento del capital de cualquier operación financiera, ello te permitirá en muchos casos tener una mejor apreciación de lo que ocurre u ocurrirá con el dinero de una inversión, egreso, etc. Ecuaciones de Valor Una ecuación de valor, como ya se había mencionado, es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de obligaciones a determinada fecha, es igual a la suma de los valores a esa misma fecha de otro conjunto de obligaciones. En el caso de las ecuaciones de valor para problemas en los que intervenga el interés compuesto, se puede escoger cualquier fecha focal o de evaluación para todas las obligaciones, ya que no influye en los resultados.

Ejemplo: El señor Sánchez debe 2.500.000 pagaderos en 5 años, y 2.800.000

pagaderos en 3 años. Si abona 2.600.000 al final del primer año, ¿Cuánto

deberá al final de 3 años si el dinero trabaja a una tasa de interés

efectiva del 10% anual?

2.600.000 (1+0,10)2 + x = 2.800.000 + 2.500.000 (1+0,10)-2

2.600.000 (1,210000) + x = 2.800.000 + 2.500.000 (0,8264463)

3.146.000 + x = 2.800.000 + 2.066.120

x = 2.800.000 + 2.066.120 – 3.146.000

x = 1.720.120

Por lo tanto, al final de los tres años, el Sr. Sánchez deberá pagar Bs.

1.720.120 Tasa Efectiva: La tasa efectiva es aquella tasa que se calcula para un período determinado y que puede cubrir períodos intermedios. La tasa de interés efectiva se identifica porque solamente aparece la parte numérica seguida del período de capitalización, por ejemplo, se dice: Una tasa de interés del 4% mensual, del 9% trimestral, etc. La interpretación que podemos dar es que si invertimos un millón de bolívares a una tasa del 5% mensual en el primer mes tendremos: 1.000.000(1+5%)= 1.000.000(1+0,05)= 1.000.000*1,05= 1.050.000 En el segundo mes: 1.000.000(1,05)

2 = 1.000.000*1,10= 1.100.000.

Es decir la tasa del 5% se aplica cada mes al capital existente al final del mes anterior y así obtendremos los intereses reales o efectivos en ese mes.

Tasa Nominal:

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La tasa nominal es aquella que se da para un año, esta debe ser convertida en efectiva, para que se pueda aplicar en la fórmula del interés, es decir, es la tasa de interés que es expresada anualmente y capitaliza varias veces al año, por esta razón, la tasa nominal no expresa exactamente los intereses devengados al año, a diferencia de la tasa efectiva que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final de un período. La mayor parte de las operaciones financieras se realizan con tasa nominal para expresar el interés que debe pagarse o cobrarse, esto significa que para realizar los cálculos de la operación financiera, lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa nominal a la tasa efectiva de cada período de capitalización. Para hacernos referencia a la tasa nominal empleamos expresiones como: 38% nominal capitalizable trimestralmente, 38% nominal trimestral, 38% capitalizable trimestralmente, entre otros. La relación que existe entre una tasa nominal j% capitalizable m veces al año y la tasa i% efectiva en cada uno de los m períodos es la siguiente: i=j/m

Supongamos que invertimos Bs. 1.000.000 en una entidad que paga el 48%

por trimestre vencido. Si el tiempo es de un año, al final del año

obtendremos:

m

ji i=48%/4= 12%

Ahora aplicamos la formula para la tasa de interés efectiva para saber el

total acumulado al transcurrir los cuatro trimestres del año:

1.000.000*(1+0,12)4= 1.000.000*1,124=1.000.000*1,57=1.570.000 Tasas de Interés Equivalentes: Capitalización Simple: Se consideran equivalentes aquellos tipos de interés que referidos a distinta unidad de tiempo, pero aplicados a un mismo capital durante un mismo período producen el mismo capital final. Hasta el momento nos hemos estado refiriendo a un interés anual. Los períodos de capitalización que hemos tomado también han sido anuales. Sin embargo todos sabemos que las operaciones comerciales no tienen porque hacer referencia a un número exacto de años. Es más, en muchas operaciones la duración es inferior al año. Por ello el tipo de interés tampoco tiene por que ser anual. La transformación del tipo de interés para adaptarlo al período de capitalización se hace mediante el Cálculo del interés Equivalente. Revisemos los elementos del interés equivalente

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i = Tipo de interés anual im = Tipo de interés anual de un período fraccionario. m = Número de veces que está incluido im en el i (es decir, el número de períodos en que dividimos el año). Tendremos que: i = m x im im = i / m Por lo tanto im es un interés proporcional al i anual, es decir que los tipos de interés equivalentes son proporcionales. Ejemplo

¿Cuál es el Tipo de interés anual equivalente al 2% trimestral?

I= m x im, si es el número de veces que esta el período, que en

este caso es un trimestre, en un año, decimos que:

i = 4 x 2% (En un año hay 4 trimestres) de este modo I = 8%

Capitalización Compuesta: Ya vimos para la capitalización simple que tipos equivalentes son aquellos que aplicados a un capital inicial determinado producen el mismo capital final durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentes períodos de capitalización. También vimos que para la capitalización simple los tipos proporcionales son equivalentes, pues bien, en el caso del interés compuesto no es así. Si llamamos m a la frecuencia de capitalización, es decir, el número de veces que durante un período de tiempo se capitalizan los intereses producidos tendremos que para un año: m = 2 Cuando se capitalicen los intereses semestralmente m = 3 Cuando se capitalicen los intereses cuatrimestralmente m = 4 Cuando se capitalicen los intereses trimestralmente Hagámonos el siguiente razonamiento: Un bolívar invertido durante un año al tipo de interés i nos dará como resultado un capital final de (1 + i). Ese mismo bolívar invertido durante el mismo período pero con una frecuencia de capitalización m al tipo im, nos dará un capital final de (1+im)m. Para que el tipo i sea equivalente a i m, los capitales finales por definición han de ser iguales, por lo que: ( 1 + i ) = (1 + i m)m Podemos por tanto conocer: - El tipo de interés anual en función del fraccionado i = (1 + i m)m - 1 El tipo de interés efectivo para un período fraccionado en función del anual. i m = ( 1 + i ) - 1 Como resumen: J m = m * i m ( 1 + i ) = ( 1 + i m )m

19

Anualidad Se denomina anualidad a los pagos iguales y periódicos, estos pagos pueden ser ingresos o egresos de una empresa; el nombre anualidad indica la periodicidad, sin embargo, no necesariamente tiene que ser anual, los períodos pueden ser días, semanas, quincenas, meses, etc. Revisemos los elementos que participan el cálculo de las anualidades: P = valor presente F = valor futuro A = valor de cada período n = número de pagos periódicos i = tasa de interés Para una anualidad puede suceder que el período de capitalización de la tasa de interés coincida o no con el período de pago, cuando no coincidan los períodos de pago se establece una conversión de equivalencia. A pesar de la diversidad de anualidades ahondaremos en las principales o más utilizadas: Anualidad Vencida Se denomina anualidad vencida aquella en la que el pago se hace al final del período, como por ejemplo el salario mensual de un empleado. En este tipo de anualidades podemos determinar tanto el valor presente como el valor futuro, para ello se utilizan las siguientes ecuaciones: Valor Futuro: En una anualidad vencida de n pagos de valor A cada uno, con una tasa de interés i% por período se trata de hallar una expresión que mida el valor futuro de una serie uniforme. Valor Presente: El valor presente calcula sobre la base del valor futuro los pagos que de deben realizar al momento. Hay que afirmar que los valores futuros y presentes son equivalentes, con la diferencia de que el futuro representa el último pago y el presente, como su nombre lo indica los presentes o de cada período. Anualidad Anticipada

Valor Futuro

(1+i)t - 1

F= A ------------

i

Valor Presente

1 - (1 +i)n

P= A -------------

i

20

Se llama anualidad anticipada aquella en que los pagos se realizan al principio del período, por ejemplo las cuotas fijas periódicas del pago de un seguro, o el pago de los servicios que se realizan los primeros días de cada mes Anualidad Diferida La anualidad diferida es en la que el primer pago se realiza algunos períodos después de iniciada la operación financiera, el ejemplo más reciente son los créditos otorgados por el Estado a las cooperativas, las cuales tienen varios meses de gracia antes de comenzar a cancelar la primera cuota. Este tipo de casos puede plantearse de la siguiente manera: Una anualidad de n pagos iguales de valor A cada uno, debiendo efectuar el primer pago dentro de k períodos con una tasa de interés i% por período, corresponderá una anualidad diferida de k períodos. Observemos el siguiente diagrama para comprender mejor esta operación. Para el cálculo del valor presente y futuro de cualquier tipo de anualidades no se requieren diversas formulas, sino adecuar las formulas de valor presente y futuro mostradas en las anualidades vencidas a la situación que se esté analizando, considerando los elementos que intervengan en la operación que se quiera calcular, por ejemplo sustituir n por k cuando los períodos son diferidos. Anualidad con Tasa Anticipada Otro de los casos utilizados para la amortización de una deuda es aquel en que se pacta una tasa anticipada, pero el deudor paga el total cada período, excepto en el punto inicial, cantidades iguales que existan del abono a capital más los intereses anticipados por el saldo pendiente en ese momento. Este punto será ampliado en el siguiente apartado denominado ―Descuento‖.

Descuento Es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio o pagares, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha de vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento.

La fórmula para el cálculo del descuento es D =Mdt donde:

M = Monto d = tasa de descuento t = tiempo

k

P K

k-

1

k+1 …

-------------------------------- A

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La tasa de descuento es la razón del pago por el uso del dinero devuelto al liquidar la operación, por lo tanto, el descuento es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de cambio u otra promesa de pago, cuando cobramos la misma antes de su vencimiento. Descuento Simple La aplastante lógica de la imaginación nace de la libertad de las partes implicadas en una operación financiera para establecer variaciones en los elementos que necesariamente la conforman. Una de sus más claras manifestaciones es la existencia de la posibilidad de cobrar los intereses ―por adelantado‖, en el momento de inicio del período de Capitalización. Matemáticamente, se trata de la operación inversa a la capitalización simple. Entendemos por interés anticipado (o de descuento), aquella operación financiera consistente en la sustitución de un Capital futuro por otro con vencimiento presente. Debemos insistir en que el tipo de interés (en la capitalización) y el tipo de interés anticipado (en el descuento) no son iguales. Responden al mismo principio financiero (valoración de capitales en el tiempo) pero difieren en cuanto al momento del tiempo en que se hacen líquidos. (Para dejarlo más claro: uno al final y otro al principio del período). Con un Tipo de Interés del 10% no es lo mismo recibir 0.1 bolívar por cada bolívar invertido al principio que al final del período de que se trate. Sea ia el tipo de interés unitario anticipado para un capital prestado de 10 bolívares; la cantidad recibida por el prestatario será 10 - ia, y devolverá el valor del capital prestado al final de un año de 10 bolívares. 0 <---------------------------------------------------------------> 1 año 10-ia bolívares 10 bolívares Anticipación de Intereses Denominemos de forma genérica Cn al capital prestado, que es nominal del préstamo ya que es la cuantía que se devuelve al final del período de tiempo pactado n, y Co a la cantidad recibida por el prestatario en el momento de concertar la operación, es decir, el efectivo del préstamo que se recibe. Sean Cn = nominal (N) de la operación cuyo cobro se desea anticipar Co = efectivo (E) que cobramos anticipadamente. D = descuento total, D = Cn - Co i = interés n = Período de tiempo entre el cobro y el vencimiento de la operación que se descuente. ia = Interés de descuento o anticipado

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Co = Cn - Cn * ia * n Co = Cn ( 1 - ia * n ) 0 <---------------------------------------------------------------> 1 año Co = Cn ( 1 - ia * n ) Cn Para obtener la relación entre el Tipo de interés i (pospagable, rentabilidad), y el Tipo de interés de descuento o anticipado ia sustituimos el valor de Co en la fórmula de Capitalización simple. Cn = Co ( 1 + i * n) operando Cn = Cn ( 1 + ia * n) ( 1 + i * n ) Despejando i

i = ia / (1 - ia * n )

Despejando ia queda, ni

iia

1

Cálculo del Valor Actual Dado que Cn = Co (1 + i * n) despejando Co del capital final tenemos que:

Co = Cn / (1 + i * n) El descuento es por tanto reversible. Si descontamos un capital Cn durante un tiempo n a un Tipo i de interés obtendremos un valor actual Co. Y si este capital descontado Co lo invertimos durante ese mismo período n y al mismo Tipo de interés i nos producirá el mismo capital final Cn. Cálculo del Descuento. I = Co * i *n como ya hemos visto anteriormente. De la misma manera los intereses del efectivo durante el período n de tiempo que resta hasta su vencimiento será lo que denominemos como el descuento D, donde

Di = Co * i * n Evidentemente desconocemos Co (ya que, recordemos, estamos descontando Cn el Capital final o nominal). Por ello pondremos el valor del descuento Di en función de Cn y para ello no hay más que sustituir el valor Co en el Descuento. De este modo: Co = Cn / (1 + i * n) y nos queda de esta manera:

Di = Cn * i * n / (1 + i * n)

En el punto anterior hemos visto que, matemáticamente, el descuento

simple es la operación inversa a la de capitalización simple. Esto es,

aquella operación financiera consistente en la sustitución de un capital

futuro por otro con vencimiento presente. En la práctica habitual estas

operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de anticipar los

cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos acudiendo a los

intermediarios financieros. Los intermediarios financieros cobran una

cantidad en concepto de intereses que se descuentan sobre el capital a

vencimiento de la operación de que se trate.

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Ejemplo:

Si quisiéramos calcular el Descuento que se aplicará sobre un pagaré de

100.000 bolívares nominal con vencimiento a 90 días, si el que recibe del

título pide un 5% anual deberíamos hacer lo siguiente:

Di = ( 100.000 x ( 5% x ( 90/365 ))) / ( 1 + ( 5% x ( 90/365 ) ) ) =

1.218 bolívares

Descuento Compuesto

Para sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente utilizaremos el descuento compuesto, que no es sino la operación inversa a la capitalización compuesta. Los elementos que debemos considerar para estas operaciones son los siguientes: Cn = Flujo Nominal o cantidad al vencimiento. Co = Efectivo o cantidad presente. D = Descuento total, la diferencia entre el nominal y el efectivo. Los intereses I. n = El período de tiempo transcurrido entre el momento de efectivo y el vencimiento. d = Tipo de descuento, es el tipo de interés anual que se aplica sobre el valor nominal, en función del plazo de la operación, para obtener el efectivo de la compra. i = Tipo de interés anual. Si quisiéramos por ejemplo, cobrar anticipadamente un capital cuyo vencimiento se da dentro de un número determinado de años, la cantidad que recibiríamos sería el valor actual o valor presente del mismo, ya se obtenga éste por aplicación del tipo de interés i o ya por el descuento d. En el caso de que aplicáramos el tipo de interés i el descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Matemático Real o Racional y si aplicáramos el tanto de descuento del descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Comercial. Descuento Comercial Llamamos descuento comercial a los intereses que genera el capital nominal desde el momento de liquidación de efectivo hasta su propio vencimiento. Por tanto, el cálculo de los intereses se hace sobre el nominal. Descuento Racional. Llamamos así a los intereses que genera el efectivo desde su pago hasta el vencimiento del nominal. Por lo tanto el cálculo de los intereses se hará en este caso sobre el efectivo.

A modo de repaso hagamos las siguientes consideraciones: Los Intereses son los rendimientos que produce un capital invertido durante un período de tiempo. Estos son equitativos al volumen del capital, a la duración o vencimiento de la inversión y al tipo de interés. La característica fundamental que define la capitalización simple es que los intereses que se generan a lo largo de un período de tiempo no se agregan al capital para el cálculo de los intereses del siguiente período. Como consecuencia de esto los intereses generados en cada uno de los períodos iguales son iguales. Es decir, que la Ley de capitalización simple no es Acumulativa. Además se utiliza para operaciones de ―corto

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Cálculo del Descuento. En este caso se trata de intereses calculados sobre el efectivo teniendo en cuenta el tiempo que falta hasta su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo D = Cn – Co. Dado que ya conocemos el valor de Cn = Co ( 1 + i )n si sustituimos nos queda: D = Co ( 1 + i )n – Co D = Co [ ( 1 + i )n - 1 ] El valor del descuento total es igual al del valor del interés total. Si lo que queremos es calcular el descuento total en función del valor nominal Cn teniendo en cuenta que Co = Cn / (1 + i )n sustituimos el valor en la fórmula anterior y tenemos que:

11

1

n

ni

i

CnD

D = Cn [ 1- ( 1 + i )-n ] Cálculo del valor actual. Tenemos un capital nominal Cn al que se le aplica un tipo de descuento d. El valor actual Co será por lo tanto: 0 ------ 1 ------ 2 ------------------------ n-2 ------ n-1 ------ n <<<< <<<< <<<<<<<<<<<<<< <<<<<< <<<<<< Co C1 C2 Cn-2 Cn-1 Cn El valor del capital disponible al final del año n es Cn El valor del capital disponible al final del año n- 1 es: Cn-1 = Cn - Cn * d = Cn ( 1 – d ) El valor del capital disponible al final del año n-2 es: Cn-2 = Cn-1 - Cn-1 * d = Cn-1 ( 1 – d ) = Cn (1 -d) (1 -d) Cn-2 = Cn-1 ( 1 - d )2 El valor del capital disponible al final del año n-3 es: Cn-3 = Cn-2 - Cn-2 * d = Cn-2 ( 1 – d ) = Cn ( 1 – d )2 ( 1 – d ) Cn-3 = Cn ( 1 - d )3 Y así, el valor del capital en el origen Co será: Co = Cn ( 1 - d )n Cálculo del Descuento.

Se trata de los intereses calculados sobre el nominal en función del tiempo que falta hasta su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo.

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D = Cn – Co. Como ya conocemos el valor de Co: Co = Cn ( 1 – d )n Sustituyendo D = Cn - Cn ( 1 – d )n D = Cn [ 1 - ( 1 – d )n ] Cálculo del Valor Nominal. También en este caso partimos de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejando el nominal Cn tenemos que:

nd

CoCn

1

Para los cálculos del tipo de descuento partimos de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejamos d, si lo que deseamos obtener el cálculo del tiempo despejamos n en la misma fórmula Bases de Cálculo Ya hemos visto en alguna ocasión que los tipos de interés se expresan normalmente como tasas anuales. Sin embargo, es necesario establecer un criterio consensuado para definir un año a efectos de cálculo de intereses (año financiero). A nadie se le puede escapar que el impacto de tomar meses de 30 o 31 o 28 días puede ser importante, así como el hecho de que 12 meses de 30 días harían un año de 360 y en la realidad son de 365 y no siempre ya que los hay de 366. Para salvar este problema existen varios convenios o usos de mercado que denominaremos bases de cálculo. A continuación se enumeran las bases de cálculo comúnmente aceptadas. Base Actual / 365 Base Actual / 360 Base 30 / 360 Base 365 / 365 Base Actual / Actual La duración de un año financiero no tiene por que ser la misma que la de un año natural, y además variará según el criterio empleado. La base de cálculo viene definida por dos términos fundamentales a la hora de realizar operaciones financieras. Por un lado el numerador indica el criterio que se emplea para calcular diferencia de días entre dos fechas, y por otro el denominador define el número de días que componen el año financiero. Base Actual / 365 Esta convención o base de cálculo considera que los años financieros son de 365 días naturales. Por lo tanto cada día contribuye con un sumando igual a 1 / 365. La consecuencia inmediata es que el número de años entre dos fechas dadas es igual a la diferencia de días naturales entre ambas dividida por 365.

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Ejemplo

Para calcular el número de años entre el 10 de enero de 1.999 y el 10 de

Junio de 1.999 haremos la siguiente operación:

151 / 365 = 0.4137 Base Actual / 360 En esta base de cálculo se considera que los años financieros son de 360 días naturales. Cada día contribuye con un sumando igual a 1 / 360. Por tanto, el número de años entre dos fechas dadas es igual a la diferencia de días naturales entre ambas dividida por 360. Ejemplo



151 / 360 = 0.4194 Base 30 / 360 Esta convención tiene la siguiente característica: considera que los años financieros están compuestos por 12 meses de 30 días cada uno. Y esto es lo importante, independientemente de los días reales que tenga cada mes. Ejemplo



(20 + 30 + 30 + 30 + 30 + 10 ) / 360 = 0.4167

Base 365 / 365 Su particularidad reside en que considera que los años financieros son de 365 días pero eliminando el 29 de febrero cuando el año sea bisiesto. Cada día contribuye con un sumando igual a 1 / 365, salvo el 29 de febrero que no contribuye en ningún caso. Base Actual/ Actual Para esta convención de cálculo si el año al que pertenece cada día es no bisiesto, entonces contribuye como 1 / 365. Si se diera la circunstancia de que sí pertenece a un año bisiesto contribuye como 1 / 366. Ejemplo:

El número de años entre el 10 de enero de 1.992 y el 10 de abril de 1.992

será

91 / 366 = 0.2486

y el número de años entre el 10 de Diciembre de 1.991 y el 10 de enero de

1992 será

(21 / 365) + (10 / 366) = 0. 08486

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Rentas Una renta es una sucesión de capitales, con vencimientos o disponibilidades dentro de un intervalo temporal dividido en períodos. Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de un capital único tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo, hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, etc. En todas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora. Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea de desplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas «fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez. Definición La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: • Existencia de varios capitales, al menos dos. • Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea). Los elementos que conforman a la renta son los siguientes: Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta. Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital. Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta. Término: cada uno de los capitales que componen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta. Las rentas cumplen las siguientes propiedades: a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta de Bs. 200.000, mensual, durante 5 años, es el doble del de una renta de Bs. 100.000, mensual, por el mismo período. b) Adición de rentas: una renta se puede descomponer en varias sub-rentas, siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas igual al de la renta, por ejemplo: un contrato de alquiler de 5 años, se descompone en cinco contratos anuales. Las rentas, según la cuantía de los capitales, pueden clasificarse en: Rentas Constantes: cuando todos los capitales son iguales.

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Rentas Variables: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir: - En progresión geométrica. - En progresión aritmética. Rentas Constantes Las rentas constantes son en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales. Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:

▪ Renta temporal pospagable

▪ Renta temporal prepagable

▪ Renta perpetua pospagable

▪ Renta perpetua prepagable

▪ Renta diferida

▪ Renta anticipada Renta Temporal Pospagable Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-período, por ejemplo un contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes. Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada período es de 1 bolívar (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" períodos) de importes de 1 bolívar.

Período 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (bolívares) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d )-t

que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d )t Vamos a ir descontando cada importe:

Período Importe Importe descontado

1 1 1 / ( 1 + i )

2 1 1 / ( 1 + i )2

3 1 1 / ( 1 + i )3

..... ..... .....

n-2 1 1 / ( 1 + i )n-2

n-1 1 1 / ( 1 + i )n-1

n 1 1 / ( 1 + i )n

29

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

i

iAo

n

11

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1

bolívar, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16

luego, Ao = 0,6461/0,16

luego, Ao = 4,0386 bolívares.

Luego el valor actual de esta renta es 4,04

bolívares.

Una nota importante es que el plazo, tipo de interés e importes deben de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral. Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:

Cf = Co * ( 1 + i) t Veamos el ejemplo:

Período Importe Importe capitalizado

1 1 1 * ( 1 + i )n-1

2 1 1 * ( 1 + i )n-2

3 1 1 * ( 1 + i )n-3

..... ..... .....

..... ..... .....

n-2 1 1 * ( 1 + i )2

n-1 1 1 * ( 1 + i )1

n 1 1

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

i

iSf

n11

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1

bolívar, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)n - 1) / i

luego, Sf = ((1 + 0,16)7 - 1) / 0,16

luego, Sf = 1,8262/0,16

30

luego, Sf = 11,4139 bolívares.

Luego el valor final de esta renta es 11,4

bolívares.

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:

Sf = Ao (1 + i)n

Veamos si se cumple en el ejemplo:

Hemos visto que Ao = 4,0386 bolívares.

y que Sf = 11,4139 bolívares.

Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)7

Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262

Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relación

Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veamos como se valora una renta de importes constantes. Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las rentas: la proporcionalidad. Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor capital será también "x veces" superior, por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C veces" mayor que el de una renta unitaria. El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de valor "C" será:

Vo = C * Ao Por lo que:

i

iCVo

n11

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable

de 200.000 bolívares, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%:

Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)-n)/ i)

luego, Vo = 200.000 * ( (1 - (1 + 0,12)-5)/0,12)

luego, Vo = 200.000 * 3,60477

luego, Vo = 720.955 bolívares.

El valor actual de esta renta es 720.955

bolívares.

Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de una renta unitaria Vn = C * Sf Por lo que: Vn = C * (((1 + i)n - 1) / i)

31

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo

anterior

Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)n - 1) / i)

luego, Vn = 200.000 * ( ((1 + 0,12)5 - 1) / 0,12)

luego, Vn = 200.000 * 6,3528

luego, Vn = 1.270.569 bolívares.

Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 bolívares

Renta Constante Temporal Prepagable La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-período, por ejemplo, un contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes. Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 bolívar en cada período) Período 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n Importe (bolívares) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto . 1 1 1 2 1 1 / ( 1 + i ) 3 1 1 / ( 1 + i )2 ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )n-3 n-1 1 1 / ( 1 + i )n-2

n 1 1 / ( 1 + i )n-1 La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

i

i) (1 - (11

-n

iAo

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1

peseta, durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)-n)/ i)

luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)-4) / 0,16)

32

luego, Ao = 1,16 * 2,7982


Luego el valor actual de esta renta es 3,246 bolívares. En este caso el plazo, el tipo de interés y los importes tienen que ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una renta pospagable:

Äo = (1 + i) * Ao Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era pospagable:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)-4)/ 0,16


Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao

Luego, Äo = 1,16 * 2,7983

Luego, Äo = 3,246 bolívares. (Coincide con el valor que habíamos

calculado)por lo tanto se cumple la relación. Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria: Período, Importe e Importe capitalizado 1 1 1 * ( 1 + i )n 2 1 1 * ( 1 + i )n-1

3 1 1 * ( 1 + i )n-2

..... ..... ..... n-2 1 1 * ( 1 + i )3

n-1 1 1 * ( 1 + i )2

n 1 1 * ( 1 + i ) Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

i

iiSf

n11

1

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo

anterior:

Aplicamos la fórmula Sf = (1 + i) * (((1 + i)n - 1) / i)

luego, Sf = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16)4 - 1) / 0,16)

luego, Sf = 1,16 * 5,0664

luego, Sf = 5,877 bolívares.

Luego el valor final de esta renta es 5,877 bolívares.

33

La relación entre Sf y el valor final de una renta pospagable Sf es la siguiente: S¨f = (1 + i) * Sf (Realizar la misma comprobación que hemos realizado con el valor inicial) Por otra parte, la relación entre el valor inicial Aö y su valor final S¨f es: S¨f = (1 + i)n * Äo Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:

Hemos visto que Ao = 3,246 bolívares.

y que Sf = 5,877 bolívares.

Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (i+0,16)4

Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106

Luego 5,877 = 5,877

Se cumple la relación Una vez que vimos cómo se valora una renta unitaria, valoraremos una renta de importes constantes. El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será:

Vo = C * Äo Por lo que:

i

iiCVo

n11

1

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral

prepagable de 500.000 bolívares, durante 5 años, con un tipo de interés

anual del 12%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base

semestral

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)2

Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)2

Luego, i2 = 5,83%

Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la

fórmula del valor actual, Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)-n)/ i2)

luego, Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)-10)/0,0583)

"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base

semestral).

luego, Vo = 3.926.151 bolívares.

El valor actual de esta renta es de 3.926.151 bolívares.

Para calcular el valor final "Vn"

Vn = C * S¨f Por lo que:

34

iiCVn

n )1)11((*)1(*

Ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:

Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)n - 1) / i2)

luego, Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)10 - 1) / 0,0583)

luego, Vn = 500.000 * 13,8384


Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 bolívares.

Renta Perpetua Constante La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales, por ejemplo un título de deuda pública a perpetuidad de tipo fijo. Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperíodo) o prepagables (se originan al principio de los subperíodos). A) Rentas Perpetuas Pospagables Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:

Período 1 2 3 4 5 ..... ..... ..... ..... .....

Importe (bolívares) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe:


1 1 1 / ( 1 + i )

2 1 1 / ( 1 + i )2

3 1 1 / ( 1 + i )3

4 1 1 / ( 1 + i )4

5 1 1 / ( 1 + i )5

n 1 1 / ( 1 + i )n

La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

APo = 1 / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual

pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula APo = 1 / i

35

luego, APo = 1 / 0,16

luego, APo = 6,25 bolívares.

Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:

Vo = C * APo = C / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua

semestral pospagable de 1.000.000 bolívares., con un tipo de interés

anual del 10%:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la

base semestral

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2

Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2

Luego, i2 = 4,88%

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i

luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488


En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan). B) Rentas Perpetuas Prepagables Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo.


1 1 1

2 1 1 / ( 1 + i )

3 1 1 / ( 1 + i )2

4 1 1 / ( 1 + i )3

5 1 1 / ( 1 + i )4

..... 1 1 / ( 1 + i )^....

Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:i

iAPo

)1(

Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1

bolívar, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i

luego, ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16

36

luego, ÄPo = 7,25 bolívares.

Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:

i

iCAPCVo o

1

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua

semestral prepagable de 1.000.000 bolívares., con un tipo de interés

anual del 10%:

Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo = C * (1

+ i) / i

luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488


La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente:

ÄPo = (1 + i) * APo Renta Diferida y Anticipada La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta. Por ejemplo calcular hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a ejecutar dentro de 6 meses. La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta. Por ejemplo, calcular hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses. En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el cálculo del valor inicial, ya que el valor final coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto). En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta. Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado: Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable). Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca. Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta. A) Renta Diferida Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" períodos. A diferencia con los modelos que hemos

37

analizado, en la renta diferida hay que descontar cada importe "d" períodos adicionales. Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Período Importe descontado

Importe descontado

(Renta normal) (Renta diferida)

1 1 / ( 1 + i ) 1 / ( 1 + i )1+d

2 1 / ( 1 + i )2 1 / ( 1 + i )2+d

3 1 / ( 1 + i )3 1 / ( 1 + i )3+d

..... ..... .....

n-2 1 / ( 1 + i )n-2 1 / ( 1 + i )n-2+d

n-1 1 / ( 1 + i )n-1 1 / ( 1 + i )n-1+d

n 1 / ( 1 + i )n 1 / ( 1 + i )n+d

Luego, el valor actual sería el siguiente:

Renta normal Renta diferida

Valor actual Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos supuestos:

Tipo de renta Renta normal Renta diferida

Temporal pospagable

Ao = (1 - (1 + i)-n)/i d/Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)-n)/ i)

Temporal prepagable

Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)-n)/ i) d/Äo = (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)-n)/i)

Perpetua pospagable

APo = 1 / i d/APo = (1+i)-d / i

Perpetua prepagable

ÄPo = (1 + i) / i d/ÄPo = (1+i)-d+1 / i

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable

de 300.000 bolívares, con un tipo de interés anual del 16%, y que se

encuentra diferida 2 años:

Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo

luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16

38


Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de

1.000.000 bolívares, durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%,

y que se encuentra diferida 3 años:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base

semestral

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2

luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2

luego, i2 = 3,92%

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/Äo

luego, Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^

-n)/i2)

luego, Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1

* ((1 - (1,0392)^-14)/0,0392)

(los períodos van expresados en semestres)

luego, Vo = 1.000.000*0,825*10,619 = 8.760.783 bolívares

B) Renta Anticipada Mencionamos anteriormente que en las rentas anticipadas lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo. Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurre "k" períodos, la diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales, los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" períodos adicionales. Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Período Importe capitalizado Importe capitalizado

(Renta normal) (Renta anticipada)

1 1 * ( 1 + i )n-1 1 * ( 1 + i )n-1+k

2 1 * ( 1 + i )n-2 1 * ( 1 + i )n-2+k

3 1 * ( 1 + i )n-3 1 * ( 1 + i )n-3+k

..... ..... .....

n-2 1 * ( 1 + i )2 1 * ( 1 + i )2+k

n-1 1 * ( 1 + i )1 1 * ( 1 + i )1+k

n 1 1 * ( 1 + i )k

Luego, el valor final sería el siguiente:

Renta normal Renta anticipada

Valor final Sf = ((1 + i)^n - 1) / i k/Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)n - 1) / i)

Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable:

39

Renta normal Renta anticipada

Valor final S¨f = (1 + i) * (((1 + i)n - 1) / i) k/S¨f = (1 + i)1+k * (((1 + i)n - 1)/i)

La modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final.

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de

500.000 bolívares, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual

del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años:

Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf

luego, Vn = C * (1 + i)k*(((1 + i)n - 1) / i)

luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)4 * (((1,12)6 -

1)/0,12)

luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152


Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de

150.000 bolívares. Durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%,

y que se encuentra anticipada 2 años y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la

base trimestral

Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)4

luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)4

luego, i4 = 2,874%

Aplicamos ahora la fórmula de valor final, Vn = C * k/S¨f

luego, Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)n - 1)/i)

luego, Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)20 -1 )/ 0,02874)

(los períodos van expresados en trimestres)

luego, Vn = 150.000*1,3657*26,5286


Rentas Variables Las rentas variables son en las que los términos no son constantes. Pueden haber rentas variables pueden haber de tantas formas distintas como imaginemos que pueden variar sus términos. En la práctica suelen utilizarse como métodos de variación las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Rentas Variables con Progresión Geométrica Llamamos renta variable con progresión geométrica a aquella en la que cada pago periódico es igual al anterior incrementado o disminuido en un mismo porcentaje. Observemos las siguientes series de valores:

40

a) 5.000, 5.500, 6.050, 6.655, … b) 8.000, 6.400, 5.120, 4.096, …

En la primera, la progresión es creciente o porcentual positiva, la variación en cada cuota es del 10%, mientras que en la segunda la variación es porcentual negativa o decreciente del 20%. Las rentas variables con progresión geométrica pueden ser vencidas, anticipadas, diferidas o perpetuas. En esta clase de series se emplean las siguientes notaciones:

F: Valor futuro P: Valor presente A: Valor del primer pago n: Número de pagos i: Tasa de interés por períodos k: Tasa de incrementos por períodos Progresión Geométrica Creciente Vencida En las progresiones crecientes con gradiente geométrico podemos hallar tanto el valor presente o actual como el valor futuro. Este tipo de progresión se caracteriza con expresiones como la siguiente: En una serie de pagos por período vencido, en la que el primer pago tiene un valor A y cada uno de los pagos siguientes es igual al del período anterior aumentado en un porcentaje de k%, y en la tasa de interés es del i% por período, cuál será el n-esimo pago.

F= nA (1+i)n-t El valor futuro al final del período t será notada como Ft, y el valor futuro final + 1 se presentará como Ft+1. A continuación se presentan las ecuaciones para el cálculo del valor futuro

F= nA (1+ i)n-t nn

t kiki

AF

11

Ejemplo:

Un empleado comienza a trabajar en enero con un salario mensual de Bs.

220.000, y decide depositar cada año el sueldo de diciembre en una cuenta

de ahorro que paga un interés del 29% anual. Suponiendo que ajustan el

salario cada año en el 25%, ¿cuánto tendrá acumulado en la cuenta de

ahorros al cumplir 10 años en el trabajo?

En este ejercicio el depósito es una progresión geométrica creciente en

la que A = 220.000; n = 10 depósitos; i = 29% anual; k = 25%

41

Aplicamos la formula nnki

ki

AF

111

Ft = 220.000 [(1,29)10 – (1,25)10] = Bs. 18.964.761

0,29-0,25 El valor presente (P) de las rentas geométricas vencidas se halla de una forma parecida al valor futuro quedando la ecuación P= A 1 – 1+k n

i-k 1+i Y en el caso de que i = k utilizamos la siguiente ecuación:

i

nAP

1

Rentas Variables con Progresión Aritmética Se denomina progresión aritmética a una serie de pagos periódicos y uniformes, en los cuales cada pago es igual al del período anterior más un incremento acordado o fijo. Por ejemplo pagar una deuda en cuotas trimestrales de Bs. 3.000.000,00; Bs. 3.500.000,00; Bs. 4.000.000,00; Bs. 4.500.000,00 y así sucesivamente durante tres años, observemos que el incremento en cada cuota es constante. Este tipo de renta puede ser creciente o decreciente, es decir, si el incremento es positivo aumenta progresivamente, pero si negativo, disminuye. En esta clase de pago se emplea la siguiente notación: F: Valor futuro P: Valor presente A: Valor del primer pago n: Número de pagos i: Tasa de interés por períodos k: Tasa de incrementos por períodos Al igual que a las anualidades, en las rentas variables de gradiente aritmético podemos obtener valor futuro y presente tanto a las rentas crecientes como a las decrecientes.

Amortización La amortización es el proceso mediante el cual se paga una obligación o deuda, junto con sus intereses, en una serie de pagos y en un tiempo determinado. Un ejemplo muy común de las amortizaciones son los pagos que realizamos cuando invertimos en una casa, un automóvil, un electrodoméstico, etc. Sin embargo, para

42

realizar estos pagos existen varios sistemas, todos equivalentes desde el punto de vista financiero. Un sistema puede ser las cuotas mensuales iguales, esto correspondería a una anualidad (ya estudiada en apartados anteriores), otro sistema corresponde a cuotas mensuales que asciendan o desciendan progresivamente, esto sería una renta variable con progresión aritmética. Se puede aplicar también un sistema en el que las cuotas mensuales aumentan en una cuota constante, es decir, una renta variable con progresión geométrica. La amortización de capital se puede realizar en períodos diferentes a la mensualidad, y también con los intereses pagados por plazo vencido o por plazo anticipado. El deudor puede preferir un sistema u otro dependiendo de su disponibilidad de recursos, o de las ventajas que le dejan las tasas de interés y sus diferentes modos de aplicación.

UNIDAD II CCCRRRIIITTTEEERRRIIIOOOSSS DDDEEECCCIIISSSOOORRRIIIOOOSSS

Aquí encontrarás: ▪ Períodos de Recuperación (PERE).

▪ Tasa promedio de Retorno (TPR).

▪ Valor Presente Neto (VPN).

▪ Tasa interna de Retorno (TIR).

▪ Evaluación económica y comparación: - Alternativas que producen el mismo servicio y

tienen igual vida económica (criterios del Costo Presente, Equivalente (CPE), Costo Anual Equivalente (CAE), Costo Futuro).

▪ Equivalente (CFE), Tasa Interna de Retorno Incremental (TIRI):

- Alternativas que producen el mismo servicio y tienen diferente vida económica (modelo de reemplazo en idénticas condiciones, modelo de

43

UUUNNNIIIDDDAAADDD IIIIII... CCCrrriiittteeerrriiiooosss DDDeeeccciiisssooorrriiiooosss

El objetivo fundamental de toda evaluación económica de proyectos es determinar la factibilidad económica de cada inversión y, en el caso de que existan varios proyectos, ordenarlos de acuerdo a su rentabilidad. Para lograr esto existen criterios decisorios que permiten realizar los análisis de cada alternativa de inversión. A continuación se presenta una muestra de los criterios de uso más común.

Período de Recuperación o Payback Este método calcula el número de años precisos para recobrar la salida inicial. Su interés radica solamente en el tiempo de recuperación de la misma, por tanto su criterio de decisión se basa en elegir el proyecto que recupere la inversión inicial en menor tiempo. Para calcular el payback, cuando los flujos de efectivo son iguales, podemos aplicar la siguiente fórmula:

Payback Inversión inicial

Flujo de efectivo anual

Ejemplo: Se tiene un proyecto con inversión inicial de Bs. 20.000 que se

espera produzca rendimientos anuales de Bs. 4.000 (flujos de efectivos).

¿Cuál sería su período de recuperación o payback?

Payback años 20,000

4,0005

Cuando los flujos netos de efectivo no son iguales, el payback se calcula acumulándolos hasta que la suma sea igual al desembolso inicial.

Tasa Promedio de Retorno La tasa promedio de retorno es la renta de descuento que iguala el valor actual de los egresos con el valor futuro de los ingresos previstos. Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte. Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera a la tasa de corte, se le acepta; en caso contrario, se le rechaza. Indicador de la rentabilidad de un proyecto. Se define como el valor de la tasa de actualización que iguala entre sí las corrientes temporales de ingresos y costos. Es pues el umbral por encima y por debajo del cual las tasas de descuento utilizadas para el cálculo del valor neto actualizado, hacen que este valor sea negativo o positivo. Es un método que relaciona el flujo promedio anual de efectivo y la inversión inicial expresando una

44

tasa de rendimiento promedio del proyecto. El criterio de elección en este caso, será de aquel proyecto con mayor tasa de rendimiento. La fórmula para calcular la tasa promedio de retorno o TPR es la siguiente:

TPR

flujo de efectivo

número de años (n)

Inversión inicial

t=1

n

En la que: t = períodos de tiempo que van desde 1 hasta n

Ejemplo: Se tiene una propuesta de inversión que requiere de una salida

inicial de Bs. 13.000 y los rendimientos esperados o flujos de efectivo

para la misma son los siguientes:

AÑO FLUJO DE EFECTIVO

1 2.000

2 4.000

3 3.000

4 3.000

5 1.000

TPR

2 000 4 000 3 000 3 000 1 0005

10 000

2 600

10 00026

, , , , ,

,

,

,.

Por lo tanto la tasa promedio de rendimiento esperada para el proyecto es

del 26%, ésta puede ser comparada y seleccionada sobre otras alternativas

que produzcan rendimientos inferiores a este.

Los problemas que se presentan con este método se pueden ilustrar con los siguientes tres ejemplos:

Caso A Proyecto 1 Proyecto 2

Inversión

inicial

1,000 1,000

AÑO Flujos de efectivo

1 1,000 1,000

2 1,000

45

3 1,000

4 1,000

5 1,000

TPR 100 % 100 %

Caso B Proyecto 1 Proyecto 2

Inversión

inicial

10,000 10,000


1 10,000 5,000

2 5,000

3 5,000

4 5,000

5 5,000

TPR 100 % 50 %

Caso C Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3

Inversión

inicial

10,000 10,000 10,000


1 2,500 1,000 4,000

2 2,500 2,000 3,000

3 2,500 3,000 2,000

4 2,500 4,000 1,000

TPR 25 % 25 % 25 %

En el caso A, la tasa promedio de rendimiento es la misma para ambos proyectos, por lo que ambas alternativas serían indiferentes en su elección. Sin embargo, es evidente que el proyecto 2 debería ser favorito considerando que la recuperación es mayor al sumar todos los flujos de efectivo, sin embargo, el hecho de establecer un promedio anual genera este resultado. Por otra parte en el caso B, el proyecto 1 es favorito sobre el proyecto 2 al tener una TPR superior, lo cual también se debe al establecimiento de un promedio anual para la evaluación de los mismos. Por último, en el caso C, los tres proyectos de acuerdo con TPR serían indiferentes en su elección, pero es conveniente señalar que la recuperación más pronta de cantidades de efectivo permiten a la gerencia la inversión de los mismos en posibles alternativas de rendimientos superiores, con lo cual, la alternativa 3 sería favorita con respecto a la 1 y a la 2. El TPR es un criterio decisorio sencillo en su aplicación, sin embargo posee una desventaja, no considerar el valor del dinero en el tiempo, y que supone beneficios invariables al establecer un promedio

46

Tasa de Interés de Oportunidad (TIO) Para comprender fácilmente este criterio analizaremos algunos ejemplos de la TIO. Suponga que una persona acostumbra a realizar inversiones en las cuales le pagan en promedio el 45% efectivo anual de intereses, entonces se dice que la Tasa de Interés de Oportunidad para esta persona equivaldría a ese mismo 45% efectivo anual. Otro caso se daría cuando un comerciante compra mercancías y al venderlas obtiene una ganancia neta del 6% en un mes, en consecuencia para este comerciante la TIO es de 6% efectivo mensual. Ahora veremos como es aplicable esta tasa en la evaluación de proyectos de inversión organizacionales. Ejemplo

Un señor realiza transporte escolar a 15 estudiantes, el valor mensual

del servicio es de Bs. 10.000 por niño; los costos del servicio

(mantenimiento del carro, gasolina y otros) llegan a 50.000 por mes, cuál

es la utilidad neta:

15 X 10.000 - 50.000 = 100.000

Si invierte Bs. 4.000.000 en repuestos para el vehículo, su tasa de

oportunidad será:

TIO = 100.000=0.025

4.000.000

2.5% efectivo mensual

En consecuencia, la TIO es una tasa que varía de una persona a otra y más aún, para la misma persona, varía de tiempo en tiempo. Cuando un proyecto puede realizarse de diferentes formas, decimos que tiene alternativas que compiten.

Valor Presente Neto (VPN) El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es muy fácil de aplicar y la segunda porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a bolívares de hoy, y así puede verse con facilidad si los ingresos son mayores que los egresos. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una pérdida a una cierta tasa de interés o por el contrario si el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente. La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparación igual número de años, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común múltiplo de los años de cada alternativa La aceptación o rechazo de una

inversión depende directamente

de la tasa de interés que se utilice

47

Por lo general el VPN disminuye a medida que aumenta la tasa de interés. Por esta razón un mismo proyecto puede variar significativamente al cambiar las tasas de interés, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso. Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda que se calcule con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, inflación u otros gastos que no se tengan previstos. Ejemplo:

A un señor, se le presenta la oportunidad de invertir Bs. 800.000 en la

compra de mercancía, la cual espera vender al final de un año en Bs.

1.200.000. Si la TIO es del 30%. ¿Es aconsejable el negocio?

Una forma de analizar este proyecto es situar en una línea de tiempo los

ingresos y egresos y trasladarlos posteriormente al valor presente,

utilizando una tasa de interés del 30%.

Si se utiliza el signo negativo para los egresos y el signo positivo para

los ingresos se tiene:

VPN = - 800.000 + 1.200.000 (1.3)-1

VPN = 123.07

Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, lo más recomendable sería aceptar el proyecto, pero se debe tener en cuenta que este es solo el análisis matemático y que también existen otros factores que pueden influir en la decisión: como el riesgo inherente al proyecto, el entorno social o a la misma naturaleza que circunda el proyecto.

Tasa Interna de Rentabilidad o de Retorno (TIR) Generalmente conocido por la notación TIR, es el tipo de descuento que hace que el VPN (valor presente neto) sea igual a cero, es decir, el tipo de descuento que iguala el valor actual de los flujos de entrada (positivos) con el flujo de salida inicial y otros flujos negativos actualizados de un proyecto de inversión. En el análisis de inversiones, para que un proyecto se considere rentable, su TIR debe ser superior al capital empleado. Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la

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cual se cumplan las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión.

Ejemplo

Una lancha produce por su uso Bs. 100.000 mensuales, al final de cada mes

durante un año; pasado este tiempo la lancha podrá ser vendida en Bs.

800.000. Si el precio de compra es de Bs. 1.500.000, hallar la Tasa

Interna de Retorno (TIR).

Para calcular la TIR se debe plantear una ecuación de valor en el punto

cero.

-1.500.000 + 100.000 a12¬i + 800.000 (1 + i)-1 = 0

La forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es escoger dos valores para i no muy lejanos, de forma tal que, al hacer los cálculos con uno de ellos, el valor de la función sea positivo y con el otro sea negativo. Este método es conocido como interpolación.

Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero.

A - Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la

ecuación de valor.

-1.500.000 + 100.000 a12¬3% + 800.000 (1 +0.03)-1 = 56.504

B- Ahora se toma una tasa de interés más alta para buscar un valor

negativo y aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se

reemplaza con en la ecuación de valor

-1.500.000 + 100.000 a12¬4% + 800.000 (1 +0.04)-1 = -61.815

Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los

rangos del 3% y el 4%, se realiza entonces la interpolación matemática

para hallar el valor que se busca.

A- Si el 3% produce un valor del Bs. 56.504 y el 4% uno de - 61.815 la

tasa de interés para cero se hallaría así:

La Tasa Interna de Retorno es aquélla tasa que está

ganando un interés sobre el saldo no recuperado de la

inversión en cualquier momento de la duración del

proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del

proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus

características.

¡Recuerda!

49

B- Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan:

3 - 4 = 56.504 - (- 61.815)

3 - i 56.504 - 0 C- se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este

caso sería i = 3.464%, que representaría la tasa efectiva mensual de

retorno.

La tasa interna de retorno es una de las herramientas más empleadas para la evaluación de proyectos de inversión, tanto que en muchas organizaciones las alternativas que no tienen este cálculo no son consideradas. Los criterios para la calificación de las alternativas son:

Si TIR > i0, el proyecto se acepta Si TIR < i0, el proyecto se rechaza Si TIR = i0, es indiferente aceptarlo o rechazarlo.

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) El CAUE es un criterio que requiere la conversión de todos los ingresos y egresos, en una serie uniforme de desembolsos. Obviamente, si el CAUE es positivo, es porque los ingresos son mayores que los egresos y por lo tanto, el proyecto puede realizarse; pero, si por el contrario el CAUE es negativo, el proyecto debe ser rechazado porque los ingresos son menores que los egresos. A continuación se presenta la aplicación de la metodología del Costo Anual Uniforme Equivalente en la evaluación de proyectos de inversión. Ejemplo

Una máquina cuesta Bs. 600.000, tiene una vida útil de 5 años y un valor

de salvamento de Bs.100.000; el costo anual de operación es de alrededor

de Bs. 5.000 y se estima que producirá unos ingresos anuales del orden de

Bs. 200.000. Determinar si la compra de la máquina es aconsejable,

cuanto se utiliza una tasa de:

a) 25%

b) 15%

Utilizando las convenciones indicadas al inicio de este artículo, aplica

en el ejemplo así:

C= Bs. 600.000

S= Bs. 100.000

k= 5 años

CAO= 5.000

Ingresos Anuales (IA) para los Años 1 a 5 Bs. 200.000

a) Utilizando i = 25%, se tiene:

50

Los Bs. 600.000 se reparten en una serie uniforme de pagos, que se

efectuarán al final de cada uno de los 5 años que dura el proyecto y cada

pago tendrá un valor de:

600.000

a¬5 25%

Por otra parte, los Bs. 100.000 del valor del salvamento se repartirán en

5 pagos que se efectuarían al final de cada año y tendrían un valor de:

100.000

S¬5 25%

El CAUE puede calcularse así:

CAUE = 100.000+ 200.000 - 600.000 -5.000= Bs.-15.923

S¬525% a¬5 25%

Se puede apreciar que al evaluar el proyecto usando una tasa del 25% no

es aconsejable para la empresa realizar esta inversión.

b) Usando i= 15%, se tiene:

CAUE = 100.000+ 200.000 - 600.000 - 5.000= $30.843

S¬515% a¬5 15% En esta evaluación se puede apreciar que el proyecto sí es aconsejable. Existen mayores posibilidades de llevar a cabo un proyecto cuando la evaluación se efectúa a una tasa de interés baja. Como consecuencia de lo anterior, es importante determinar una tasa correcta para hacer los cálculos; algunos expertos proponen el uso de la tasa promedio y hay otros que opinan que debe ser la Tasa de Interés de Oportunidad Calculo de La Tasa Interna de Retorno, Por El Método CAUE Cuando se utiliza el Valor Presente Neto (VPN) para calcular la TIR debe hacerse tomando en cuenta el mínimo común múltiplo de los años de vida útil de cada alternativa. Sin embargo, cuando se hace uso del CAUE, solo es necesario tomar en cuenta un ciclo de vida da cada alternativa, pues lo que importa en este caso es el costo de un año; esto puede hacer que en ocasiones sea de más fácil aplicación.

El Costo Anual Unitario equivalente se utiliza en estos casos como soporte de las decisiones financieras

51

Ejemplo

Una fábrica necesita adquirir una máquina, la Tasa Interna de retorno

(TIR) es del 25%. las alternativas de inversión se presentan a

continuación:

A B

Costo Inicial (C) $200.000 $180.000

Costo Anual de Operación

(CAO) $11.000 $10.500

Valor de Salvamento (S) $20.000 $20.000

Vida Útil (K) 6 años 4 años

¿Cual de las dos alternativas es más viable?

1. CAUEA = - 200.000 - 11.000 + 20.000

a6¬i S6¬i

2. CAUEB = - 180.000 - 10.500 + 20.000

a4¬i S4¬i 3. Se resta la altenativa A y la B

CAUEA - CAUEB = - 200.000 + 20.000 + - 180.000 + 20.000 - 11.000 - 10.500 = 0 a6¬i S6¬i a4¬i S4¬i

4. Por interpolación matemática, se busca la tasa con la cual se cumplen

las condiciones impuestas en la ecuación anterior. Interpolando entre el

25% y el 30% se tiene:

De donde se obtiene la Tasa de Interés i = 26.27%

Esto significa que el excedente de inversión

200.000 - 180.000 = 20.000

Queda rentando el 26.27%, que es superior a la TIO; en consecuencia es

aconsejable invertir en la máquina A. Si se hubiera obtenido un valor

inferior al 25% entonces se hubiera recomendado la máquina B.

Evaluación Económica y Comparación Alternativas que Producen el Mismo Servicio y Tienen Igual Vida Económica

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Se indican con este nombre a todas las situaciones en las que las alternativas generan exactamente los mismos beneficios, estas situaciones se caracterizan porque el valor total de los beneficios obtenidos son exactamente iguales en cada período, por ello la mayoría de las veces no se cuantifican los beneficios en términos monetarios. Pero como además poseen la misma vida económica, es decir, que tanto el servicio y la vida de duración es igual en varias alternativas, el criterio decisorio en estas situaciones será la minimización de costos equivalentes, los cuales pueden ser presentes, anuales y futuros. Para este cálculo debemos emplear la tasa promedio de oportunidad (Tasa mínima de Retorno) Cuando usemos la tasa de retorno incremental como método decisorio, primero debemos realizar el análisis incremental entre dos alternativas, elaborar un nuevo diagrama de costos o ingresos, y en base a este determinar la tasa de retorno incremental si ella es mayor que la tasa mínima de retorno, aceptamos el proyecto con mayor inversión inicial, pero si por el contrario es menor que la tasa mínima de retorno se acepta con menor inversión inicial. Costo Presente Equivalente (CPE): Consiste en desplazar todos los egresos e ingresos al punto 0. Recordando que en una ecuación de costos los egresos son positivos y los ingresos son negativos. Costo Anual Equivalente (CAE): Consiste en determina al costo periódico equivalente a los distintos ingresos o egresos. Costo Futuro Equivalente (CFE): Consiste en determinar al final de a vida de servicio el costo equivalente de los ingresos y los egresos generados por cada alternativa. Alternativas que Producen El Mismo Servicio y Tienen Diferente Vida Económica Al comparar alternativas de diferente vida el primer inconveniente es la duración, y si nos hacemos la pregunta: ¿Dan las alternativas la misma prestación cuando operan en períodos diferentes? La respuesta obvia es NO. Por lo tanto, hay

Para evaluar alternativas que producen el

mismo servicio y con la misma vida económica, podemos usar: Costo Equivalente

(Anual, presente y futuro)

Recuerda

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necesidad de hacer algunas suposiciones o de emplear algunos modelos que nos permitan igualar los servicios de alternativas que poseen diferente vida económica, o sea, que nos permitan igualar la cantidad total de servicio. Si no se garantiza igualdad en la cantidad y calidad del servicio por unidad de tiempo y por la misma cantidad de tiempo, sería comparar las alternativas empleando el criterio de minimización de costos, (recordemos que ello significa calcular los costos equivalentes presentes, anuales y futuros y verificar que alternativa tiene el menor costo) pues esta sólo es aplicable cuando los beneficios son exactamente iguales. De tal forma que para evaluar alternativas con diferente vida económica debemos desarrollar un procedimiento de igualación del período de servicio. Esta igualación lógicamente debe realizarse usando como criterio rector la vida del proyecto para la cual se han diseñado las alternativas con ese propósito. Una vez que la igualación de la vida se ha logrado, las nuevas alternativas son de igual servicio, de igual vida y mutuamente excluyentes. Se aplican los mismos tres criterios decisorios ya estudiados: CPE, CAE y CFE para hacer la toma de decisión. Existen varios modelos de ajuste, será tarea del analista decidir cual es el que mejor aplica a cada circunstancia, por lo que es importante esforzarse en realizar la mejor selección del modelo de ajuste. Los cuatro modelos básicos son:

▪ Modelo de reemplazo en idénticas condiciones.

▪ Modelo de reducción de la vida económica de las alternativas más extensas.

▪ Modelo de extensión de la vida económica de las alternativas más cortas.

▪ Modelo de reemplazo en condiciones reales

Reemplazo en Idénticas Condiciones Este modelo presume que todas las alternativas en consideración se repiten indefinidamente, con una estructura de egresos y de ingresos exactamente igual. Esto significa que si hoy compramos una computadora por Bs. 1.000.000 y dura 5 años, al final de los 5 años compraremos otra computadora por el mismo precio, y así sucesivamente. Este modelo no es nada realista, debido a que supone que no haya inflación, ni mejoras tecnológicas que aumenten el precio del equipo. Para aplicar este modelo de forma eficiente debemos hallar un múltiplo común de las vidas económicas de las alternativas y compararlas por cualquiera de los métodos ya indicados (CPE, CAE, CFE), considerando como período de estudio el mínimo común múltiplo de las vidas económicas. Para explicarlo con un ejemplo concreto, podemos decir que si se analizaran dos alternativas con vidas de 3 y 8 años, el mínimo común múltiplo es 24, entonces sobre 24 años de servicio se realizan los cálculos.

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Reducción de la Vida Económica de las Alternativas más Extensas Este modelo consiste en que el proyecto para el cual se van a estudiar las distintas alternativas, tiene una duración menor o igual a la vida económica de ellas. El procedimiento que se debe seguir es reducir la vida de las alternativas a la vida económica del proyecto, modificando el valor del mercado de las alternativas, si es necesario. Una vez hecha la reducción, estamos en el caso de igual vida económica y aplicamos cualquiera de nuestros tres criterios. Extensión de la Vida Económica de las Alternativas más Cortas Este modelo parte de la premisa de que el proyecto para el cual se van a estudiar las distintas alternativas tiene una mayor duración que la vida económica de ellas. El procedimiento que se emplea es evaluar los costos adicionales requeridos para lograr extender la vida económica de la alternativa más corta para que opere durante la vida del proyecto, incluyendo las posibles modificaciones en el valor de mercado. Reemplazo en Condiciones Reales Este modelo consiste en suponer que habrá un reemplazo de los equipos o unidades pero no con base en los valores de hoy, sino que se maneja estimando los costos futuros de adquisición, operación, mantenimiento y los valores de mercado de cada alternativa, hasta lograr que las vidas económicas se ajusten a la vida del proyecto y así haya igualdad total de servicios. Este modelo ha venido adquiriendo mucho auge debido a que en una economía tan dinámica como la nuestra, de cambios continuos en los precios, es uno de los modelos más aplicables. El procedimiento que se sigue es determinar los flujos reales que se darán en cada uno de los ciclos de reemplazo, hasta cubrir exactamente la vida del proyecto. Observemos que hay una diferencia contundente con el primer modelo trabajado, reemplazo en idénticas condiciones. Una vez cumplido este proceso, las alternativas quedan reducidas a igual vida económica y podemos usar cualquiera de los criterios decisorios.

UNIDAD III EEEvvvaaallluuuaaaccciiióóónnn EEEcccooonnnóóómmmiiicccaaa yyy CCCooommmpppaaarrraaaccciiióóónnn dddeee AAAlllttteeerrrnnnaaatttiiivvvaaasss qqquuueee

PPPrrroooddduuuccceeennn DDDiiifffeeerrreeennnttteeesss SSSeeerrrvvviiiccciiiooosss

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Aquí encontrarás:

▪ Evaluación de Inversiones con igual vida económica y mutuamente excluyentes (análisis de factibilidad: VPN, Valor Anual Neto VAN, Valor Futuro Neto VFN, TIR, Valor Futuro de Flujos de Caja, Tasa Promedio de Crecimiento del Patrimonio TPCP, Análisis de Oportunidad: VPN, VAN, VFN, TIRI, VFFC, TPCPI).

▪ Evaluación de Inversiones con diferente vida económica y mutuamente excluyentes (análisis de factibilidad: VPN, VAN, VFN, TIR, VFFC, TPCP. Análisis incremental: VPN, VFFC, TPCPI).

▪ Evaluación de Inversiones independientes.

▪ Evaluación de Inversiones complementarias.

▪ Evaluaciones especiales: Reemplazo de equipos, ciclo óptimo de operación, Comprar vs Arrendar vs Mantener. Leasing o Arrendamiento Financiero.

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UUUNNNIIIDDDAAADDD IIIIIIIII... EEEvvvaaallluuuaaaccciiióóónnn EEEcccooonnnóóómmmiiicccaaa yyy CCCooommmpppaaarrraaaccciiióóónnn dddeee

AAAlllttteeerrrnnnaaatttiiivvvaaasss qqquuueee PPPrrroooddduuuccceeennn DDDiiifffeeerrreeennnttteeesss SSSeeerrrvvviiiccciiiooosss El análisis económico o análisis costo-beneficio proporciona a la gerencia una visión de los costos y riesgos asociados con alternativas de inversión. La evaluación económica es el análisis económico de un proyecto de inversión, ya que ella amerita realizar una estimación, lo más exacta posible, de todos los ingresos y egresos asociados al proyecto para determinar si los beneficios que generará son capaces de recuperar las inversiones realizadas en él o no, y generar un retorno mínimo, dentro de un parámetro de riesgo dado.

Características de una Decisión de Inversión:

1. Involucra sumas importantes de dinero 2. Se comprometen reparticiones futuras de fondos. 3. Los resultados continúan sobre un período largo de tiempo 4. Usualmente la decisión es irreversible. 5. Depende de pronósticos.

Clasificación de Proyectos

Las decisiones de inversión se pueden clasificar de acuerdo a la relación de los proyectos en:

▪ Mutuamente excluyentes

▪ Independientes

▪ Complementarias Las inversiones son mutuamente excluyentes cuando la realización de una de ellas, indistintamente de la disponibilidad financiera de recursos, impide totalmente llevar cabo cualquier otra. Aquí se busca la mejor opción de todas. Las inversiones son independientes cuando, habiendo los recursos económicos, podemos invertir y realizar todas o varias inversiones, ya que la puesta en marcha de una no afecta ni excluye a ninguna otra, con esta opción buscamos la mejor combinación de alternativas. Las inversiones son complementarias cuando la realización de simultánea de varias de ellas se complementa o mejora los resultados que se lograrían si se realizaran de forma separada cada una. Este tipo de inversiones buscan un conjunto de alternativas complementarias.

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Valores Netos La ecuación fundamental de los valores netos parte de la premisa de que los valores presentes, anuales y futuros de los ingresos, considerando el interés y el momento en el cual ocurren, es igual a los valores presentes, anuales y futuros de los egresos, considerando el interés y el momento en el cual ocurren.

∑n V[P,A,F] Ii,j = ∑

n V[P,A,F] Ei,j

j=0 j=0

En la ecuación la existencia de un valor i origina la igualdad entre los valores presentes, anuales y futuros de los ingresos y los egresos, considerando la posición de ellos y el valor del dinero en el tiempo representado por el interés. Los valores netos miden la diferencia que existe entre los ingresos y egresos de un proyecto, si los valores netos son positivos el proyecto será factible y si son negativos no lo será. .

Los valores netos nos permiten: Recuperar contablemente los egresos,

cubrir una rentabilidad anual igual a la tasa mínima sobre el capital no amortizado,

Dejar un excedente adicional de magnitud igual al valor , y en la posición del valor neto,

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Evaluación Económica de Inversiones con Igual Vida Económica y Mutuamente Excluyentes Cuando estamos en presencia de proyectos mutuamente excluyentes y con igual vida económica podemos utilizar los siguientes criterios decisorios para la toma de decisión: En las alternativas mutuamente excluyentes se trata de determinar la mejor alternativa desde el punto de vista económico, sin embargo como tienen igual vida económica, no hay problema al comparar los valores presentes, anuales o futuros netos, debido a que estos están referidos a los mismos períodos y serán fácilmente comparables. El proyecto de inversión óptimo en casos de igual vida económica y mutuamente excluyente es aquel que presenta el máximo valor neto positivo, existen además criterios decisorios con reinversión, los cuales a diferencia de los valores netos y la tasa de retorno incluyen el efecto de reinversión, estos son dos: El valor futuro de los flujos de caja y la tasa de crecimiento de patrimonio. El Valor futuro de los flujos VFFC de caja se fundamenta en el hecho de que si cada proyecto o alternativa dispone de los mismos recursos iniciales al término del ciclo económico de análisis disponga de mayores recursos es, indiscutiblemente, el mejor proyecto o alternativa. El VFFC consiste en considerar que todos los flujos (ingresos) de cada alternativa y la diferencia existente entre la disponibilidad total del dinero en todos y cada uno de los períodos, y las inversiones realizadas en cada período, son reinvertidos a la tasa mínima de retorno fuera del proyecto. Estos datos nos permitirán determinar la factibilidad de cada inversión analizada individualmente y seleccionar la alternativa que con los mismos recursos maximice la riqueza futura.

Análisis Individual

Análisis Incremental

▪ Valor presente neto

▪ Valor anual neto

▪ Valor futuro neto

▪ Tasa de retorno

▪ Valor futuro de los flujos de caja

▪ Tasa de crecimiento de patrimonio

▪ Valor presente neto

▪ Valor anual neto

▪ Valor futuro neto

▪ Tasa de retorno incremental

▪ Valor futuro de los flujos de caja

▪ Tasa de crecimiento incremental

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La Tasa de Crecimiento del Patrimonio TCP consiste en calcular el desarrollo del sistema proyecto-inversión de fondos, pero no medido en dinero como el VFFC, sino en porcentajes y sin partir de la base de igualdad de recursos. Este criterio nos permite determinar la factibilidad de cada inversión analizada individualmente, y mediante el análisis incremental seleccionar la mejor inversión. Una inversión (individual o incremental) sólo es factible si y solo si la tasa de incremento de patrimonio es mayor a la tasa de retorno.

Evaluación Económica de Inversiones con Diferente Vida Económica y Mutuamente Excluyentes Analizar proyectos que poseen vidas económicas diferentes, es una situación muy frecuente, y por la característica de ser mutuamente excluyentes, el trabajo está orientado a decidir cual inversión realizar. Hay que resaltar que por ser alternativas de diferentes servicios, los ingresos en general son diferentes períodos a períodos, esto origina que los cuatro modelos de ajustes presentados en la unidad anterior2 no sean aplicables aquí, ya que la naturaleza de estas alternativas origina que sean oportunidades no repetibles. Para este tipo de alternativas debemos analizar manteniendo sus propias vidas económicas, es decir, sin intentar buscar una igualación de ellas, pues generalmente los proyectos no están vinculados a una vida de proyecto, aquí las alternativas son muy diferentes y esto establece sus ciclos de análisis, empleando los mismos criterios decisorios de las que tienen igual vida económica, con la única salvedad que en el análisis incremental no se calcula el VFN.

Evaluación de Inversiones Independientes Las inversiones independientes son aquellas en las cuales la ejecución de una no impide la realización de otra u otras. La diferencia con las mutuamente excluyentes, es que este tipo de evaluación busca la combinación factible óptima, mientras que en las mutuamente excluyentes sólo se busca la alternativa factible optima. Una técnica para realizar evaluaciones independientes cuando los números de proyectos son pocos se denomina la enumeración exhaustiva, la cual consiste en:

1. Identificar los proyectos que individualmente son factibles en términos económicos.

2. Establecer combinaciones entre los proyectos factibles individualmente determinados en el paso 1.

3. Determinar cuales combinaciones definidas en el paso 2 son factibles en términos de las restricciones.

2 Modelo de reemplazo en idénticas condiciones, Modelo de reducción de la vida económica de las alternativas más

extensas, Modelo de extensión de la vida económica de las alternativas más cortas y Modelo de reemplazo en condiciones reales.

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4. Para todas las combinaciones halladas en el paso 3 calcular el VPN 5. Seleccionar como combinación optima la que genere mayor valor presente

neto.

Evaluación de Inversiones Complementarias Las inversiones complementarias, como se indicó antes, corresponden a situaciones en las que se presenta el fenómeno de sinergismo (positivo o negativo), o sea, que la solución de hacer una combinación de alternativas es diferente a sumar los resultados del proyecto. En las alternativas complementarias el análisis individual presenta ciertas diferencias que hay que atender:

▪ Si una alternativa es factible en el análisis individual, pasa al análisis incremental

▪ Si una alternativa no es factible en el análisis individual y no tiene acción de complementariedad, se descarta antes de iniciar el análisis incremental.

▪ Si una alternativa X es no factible en el análisis individual pero es complementaria con la alternativa Y, es necesario definir la acción de complementariedad en ingresos y egresos y calcular un indicador global para el paquete X + Y.

Evaluaciones Especiales Reemplazo de Equipos Toda organización en algún momento llega a enfrentar la decisión del reemplazo de alguno de sus equipos, ya sea por deterioro, por incapacidad para el trabajo, costos de mantenimientos muy altos, obsolescencia tecnológica, etc. En algunos casos la decisión es fácil, cuando se daña totalmente, o pierde sus capacidades operativas hay que comprar un nuevo equipo. En otros casos las decisiones son más difíciles debido a que los equipos siguen cumpliendo su labor, por esto hay que hacer un análisis financiero de lo que representa para la empresa invertir en nuevos equipos. Entre estos conceptos de análisis encontramos: Costos Muertos: Es aquel que ocurrió en el pasado y que no puede ser alterado por una situación presente o futura, Por ejemplo, si compramos un camión por Bs. 30.000.000 y mañana sufrimos un accidente que deteriora completamente el camión, debemos considerar si lo arreglamos o si lo vendemos y compramos uno nuevo. Los treinta millones de bolívares son un costo muerto, ya están cancelados y no habrá ninguna acción que logre devolvernos esa plata. Valor del Mercado: Es la cantidad por la cual puede venderse el equipo en el mercado actual. Período de Análisis: En general, tanto en equipo actual como el equipo nuevo presentan el mismo servicio, pero sus períodos de existencia o de vida son diferentes, esto convierte al análisis en una inversión con diferentes vida

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económica por lo que tomamos la decisión empleando los modelos vistos para este tipo de proyectos. Efecto tributario: Hay necesidad de considerar las ventajas y desventaja que causen en cuanto a: efectos tributarios, el mantener o sustituir el equipo actual. Debe tenerse en cuenta los intereses y pagos de capital, etc. para cada alternativa al final del año. Comprar Vs Arrendar Vs Mantener Una situación muy común en la actualidad para una organización es aquella que se presenta al analizar si se debe mantener el equipo actual, reemplazarlo por uno de nuestra propiedad o arrendar uno. Arrendar, implica adquirir el derecho a usar una propiedad por un tiempo, a un cierto costo, sin el beneficio de ser propietario. En general, este costo de arrendamiento cubre la posible pérdida del valor del bien en alquiler y un rendimiento económico sobre el capital invertido en dicho bien. Cuando los bienes son depreciables, es decir, que disminuye su valor a través del tiempo, son financiados a menor costo económico, a través de préstamos y no a través de arrendamientos, puesto que los intereses cargados en arrendamientos son mayores que los de préstamos, ya que la organización no está acumulando activos y las deducciones por efectos tributarios son más beneficiosas. Si los bienes son no depreciables es ventajoso arrendar, puesto que permite más libertad de fondos y genera beneficios tributarios que no existen en el caso de adquisición. En general se arrienda si:

▪ Los equipos están sujetos a una alta obsolescencia tecnológica, lo que origina una pérdida muy rápida de su valor.

▪ Se estima que los equipos requieren de mantenimientos muy frecuentes y costosos.

▪ Se requiere de la generación de líneas de crédito.

▪ Existe el riesgo de que la vida del proyecto sea muy corta y el equipo pierda valor notablemente.

En general, se compra si:

▪ Se plantea continuar con la operación por un período muy extenso.

▪ Se pretende evitar los costos del arrendamiento.

▪ Se pretende beneficiarse de la revalorización del bien. En la evaluación económica de este tipo de alternativas es necesario tener presente los siguientes aspectos:

▪ Evaluar las alternativas con base al mismo servicio.

▪ Considerar los efector tributarios relacionados con cada una de las alternativas.

▪ Incluir el valor del dinero en el tiempo.

▪ No incluir costos muertos sino costos reales.

▪ Incluir deducciones diferidas.

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▪ Recordar que alquilar es una forma más de financiación. Leasing o Arrendamiento Financiero Esta técnica es aquel contrato en virtud del cual una sociedad de arrendamiento, siguiendo las indicaciones y deseos de sus arrendatarios, se compromete a poner a su disposición exclusiva la maquinaria específica que éste ha elegido previamente, contra el pago de unas tasas de arrendamiento mutuamente convenidas. El total de estas tasas superan su precio de compra, pero fraccionadas a lo largo de un tiempo que generalmente coincide con la vida económica y fiscal del bien y durante el cual el contrato es irrevocable, siendo todos los riesgos y gastos de cuenta del arrendatario. Al finalizar dicho período, el arrendatario puede concertar un nuevo contrato de arrendamiento, comprar el bien por un valor residual prefija o devolverlo al arrendador. Este sistema ha sido exitoso porque permite disponer de equipos modernos y siempre actualizados sin movilizar capital de la organización. Los riesgos de obsolescencia y desuso son compartidos entre el arrendador y el arrendatario, entre otras. El cálculo de las cuotas mensuales de arrendamiento es muy sencillo y depende sólo del valor inicial del equipo (P), de la fracción de valor original por el cual se compra el equipo al final del contrato (k), del período de contratación (n), de la tasa de interés que busque la empresa arrendadora (i) y de las modalidades de pago.

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UNIDAD IV FFFuuunnnccciiiooonnneeesss AAAlllgggeeebbbrrraaaiiicccaaasss... AAApppllliiicccaaaccciiiooonnneeesss

Esta unidad contiene

▪ Funciones

▪ Tipos de funciones

▪ Representación gráfica de las funciones

▪ Oferta y demanda lineales. Equilibrio de mercado

▪ Función de consumo

▪ Curvas de oferta y de demanda no lineales

▪ Curva de transformación del producto

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UUUNNNIIIDDDAAADDD IIIVVV... FFFuuunnnccciiiooonnneeesss AAAlllgggeeebbbrrraaaiiicccaaasss... AAApppllliiicccaaaccciiiooonnneeesss

Funciones Una función es una relación entre dos conjuntos, sin embargo, para poder llamar a una relación función debe cumplir con ciertas características particulares. Una relación es función cuando en dos conjuntos cualesquiera denominados A y B, todo elemento de A se relaciona con un elemento de B. La imagen anterior muestra dos conjuntos: el de los niños y el de las niñas. Las líneas que unen al conjunto A con el conjunto B, o sea a cada niño con una niña, indica la relación que existe entre ambos conjuntos. Apreciemos que solo un elemento de A se relaciona con un elemento de B, esto es una función. Sin embargo también puede ser función cuando un elemento de B se relaciona con dos de A, pues dos elementos del conjunto de partida pueden relacionarse con el mismo elemento del conjunto de llegada. Observemos que la primera componente de la relación, los elementos del conjunto A, son diferentes, ambos niños tienen relación con algún elemento de B, no importa que sea la misma niña, aunque sea injusto que la otra niña se quede sin pareja.

Las funciones exigen que todo elemento del conjunto de partida,

o sea, del conjunto A, se relacione con algún elemento del

conjunto de llegada B, pero además que un mismo elemento de A

no puede relacionarse con dos de B, es decir, no puede haber

pares relacionados con la misma primera componente.

A = Varones B = Hembras

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Las funciones se suelen denotar con letras minúsculas tales como: f, g, h, i, j, etc. De tal manera que cuando estamos en presencia de una relación que cumple con las condiciones de función debemos llamarla función y la escribimos así: f: A B

Esto se lee: ―f es una función de A a B‖, o también podemos decir de A hacia B, o de A en B. Los pares ordenados que resultan de una función se denominan grafos. En la expresión de funciones se utilizan la siguiente simbología matemática:

Símbolo Nombre Se lee

{ , } delimitadores de conjunto el conjunto de ...

{ :}{ | } notación constructora de conjuntos el conjunto de los elementos ... tales que ...

∅ conjunto vacío conjunto vacío

∈

∉

membresía de conjuntos en; está en; es elemento de; es miembro de;

pertenece a

⊆⊂ subconjunto es subconjunto de

∪ unión conjunto-teorética la unión de ... y ...; unió

∩ intersección conjunto-teorética la intersección de ... y ...; intersección

\ complemento conjunto-teorético menos; sin

()[]{ } aplicación de función;

agrupamiento aplicación de función; agrupamiento

∑ sumatoria Suma desde … hasta

f:X→Y mapeo funcional de ... a …

Vamos a determinar cual de las siguientes relaciones son funciones y cuáles no y por qué, sean los conjuntos: A = [0,2,4,6,8,10] B = [1,3,5,7,9] De los cuales se desprenden las siguientes relaciones R,S y T, todas de A a B, cuyos grafos son los siguientes: R = [(0,3) (2,1) (4,7) (6,5) (8,9) (10,7)] S = [(0,1) (6,3) (4,7) (2,3) (8,9) (10,1) (6,5) (4,1)] T = [(4,1) (0,5) (10,7) (6,9) (2,5)] Si nos apegamos al concepto previamente dado podemos afirmar que: el grafo R es una función porque todos los elementos de A tienen una pareja en B y no existen dos pares que comiencen con el mismo elemento de A, observemos que hay dos pares que tienen como segundo componente el 7, ello no afecta por que lo que no se puede repetir es el primer componente en dos pares. Los grafos S y T no son funciones debido a que en ambos existen dos pares con el mismo primer elemento. La función es en esencia un dispositivo de entrada-salida. Se proporciona una entrada a una regla matemática que la trasforma en una salida específica, es decir, que asigna a cada valor de entrada un y sólo un valor de salida. Las funciones poseen conjuntos de partida y de llegada que se denominan dominio y

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Subconjunto

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Uni%C3%B3n_conjunto-teor%C3%A9tica&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Intersecci%C3%B3n_conjunto-teor%C3%A9tica&action=edit

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Complemento_conjunto-teor%C3%A9tico&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n

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f: x y

rango. El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada. El rango de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida. El mapeo es el nombre que suele darse a la asignación de los valores de salida a los correspondientes valores de entrada, es decir a la función, en este caso empleamos la notación anteriormente presentada: Esto representa el mapeo el conjunto de los valores de entrada x en e conjunto de valores de salida y, aplicando la regla de mapeo f

Tipos de Funciones Las funciones pueden clasificarse atendiendo a sus características estructurales, a continuación se presentan las funciones más comunes. Funciones Algebraicas:

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f(x)=k. En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

Función Constante: Una función constante tiene la forma general Donde a0 es real. Por ejemplo, la función es una función constante. Cualquiera que sea el valor de x, el rango tiene un solo valor de 20. Es decir:

y = f(x) = a0

y = f(x) = 20

f(-10) = 20

f(1.000) = 20

f(a + b) = 20

67

Como observaremos en la siguiente imagen, en el caso de las funciones constantes, a cada valor del dominio le corresponde el mismo valor del rango. Un ejemplo de función constante en administración es el ingreso marginal, este es el ingreso adicional obtenido con la venta de una unidad más de un producto o servicio. Si cada unidad de un producto se vende al mismo precio, el ingreso marginal siempre es igual al precio. Por ejemplo, si un producto se vende 7.000 bolívares por unidad, la función de ingreso marginal (IM) puede expresarse como a función constante IM= f(x) =7.000. Donde IM es igual al ingreso marginal y x al número de unidades vendidas del producto. Funciones Lineales Una función tiene la forma general Donde a0 y a1 son reales. Por ejemplo, la función es una función lineal con a0 = 15 y a1= -2 El ejemplo de una función lineal en administración es la definición del costo total (dinero que sale de una organización) a partir de dos componentes: costo total variable y costo total fijo. Esos dos componentes han de sumarse para determinar el costo total. De tal forma, si deseamos saber el costo de comprar y operar una computadora para una cooperativa estamos en presencia de una función lineal del costo total y dicha función se expresa así:

C(x) = 0,5x + 750.000 Esta función de costo representa los costos totales variables mediante el término 0,5x y los costos fijos mediante el término 750.000. Funciones Cuadráticas:

y = f(x) = a1x +a0

y = f(x) = -2x + 15

DOMINIO RANGO

68

Una función cuadrática tiene como estructura general Donde a2, a1 y a0 son reales y a2 ≠ 0. La función y = f(x) = 3x

2 – 20x + 100

Es una función cuadrática y en ella a2=3, a1 = -20 y a0 = 100. La función

2)(

2xxfy

Es una función cuadrática con a0 = a1 = 0 y a2 = - ½ .

Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el ejex y un cuarto para el intercepto con el ejey. La función de demanda es una relación matemática que expresa la forma en que la cantidad de la demanda de un producto varía según el precio en que se venda, esta es una función cuadrática. La función de demanda de un producto determinado es: O bien qd= p

2 – 70p + 1.225

Donde qd es el número de unidades demandadas y p es el precio, si sustituimos los datos con la ecuación de la función cuadrática y = a2x

2 + a1x + a0, en la que a2

=1, a1= -70 y a0= 1.225, la cantidad de demanda del producto si se vende a Bs. 10 será: f(1000)= (10)2 – 70(10) + 1225 f(1000)= 100– 700+1.225 f(1000)= 625 unidades y a un precio de Bs. 30 f(30)= (30)2 – 70(30) + 1225 f(30)= 900– 2.100+1.225 f(30)= 25 unidades

Funciones Polinomiales

y = a2x2

+ a1x + a0

Al generalizar estos tres tipos de funciones

(constantes, lineales y cuadráticas), se usaron los

coeficientes con subíndices a0, a1 y a2 , pero pudieron

haberse utilizado los literales a, b y c, o cualquier

otro conjunto de literales.

qd= f (p)

69

Cada una de las funciones anteriores constituye un ejemplo de una función polinomial. Una función polinomial de n grados tiene la forma general Donde an, an-1, . . . a1y a0 son reales y an ≠ 0. El exponente de cada x debe ser un elemento entero negativo y el grado del polinomio es la potencia (exponente) más alta en la función. La función Es una función polinomial de quinto grado con a0 = a1= a2 = a3 = a4 = 0 y a5 =1. Las funciones constantes, lineales y cuadráticas son funciones polinomiales de grado 0,1 y 2 respectivamente. Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).

Funciones Racionales ¿Qué ocurre cuando una función polinomial se divide entre otra? Se forma una función racional. Una función racional tiene la forma general:

)(

)()(

hh

xgxfy

En la que g y h son funciones polinomiales. Las funciones racionales se llaman así por su estructura de razón. La función

1025

2)(

3

xx

sxfy

Este es un ejemplo de función racional.

Representación Gráfica de las Funciones Existen tres diagramas para representar las funciones, son los siguientes: Diagrama de Venn

Matriz

y = f(x) = anxn

+ an-1xn-1

+ . . . + a1x + a0

y = f(0) = x5

A B 1

2

3

4

2

4 9

6

8

70

f 2 4 6 8 9

1 1 0 0 0 0

2 0 0 0 0 1

3 0 0 1 0 0

4 0 0 0 1 0

Gráfico Cartesiano

El sistema de coordenadas rectangulares es el gráfico más empleado para representar una función, para ello se requiere el trazado de una línea horizontal y de una vertical. Ambas son rectas numéricas y se intersecan en sus respectivos puntos cero.

Las coordenadas rectangulares o gráfico cartesiano es un sistema de referencia que como ya mencionamos está formado por dos líneas que se cortan en ángulo recto. Se localiza un punto en el plano así determinado, considerando su distancia algebraica (con signo) desde cada una de ellas, Las líneas a partir de las cuales se miden las distancias son los ejes coordenados, o simplemente ejes. El punto de intersección de los ejes es el origen de coordenadas. Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro áreas o regiones llamadas cuadrantes, los cuales se numeran según el sentido contrario a las manecillas del reloj. La línea horizontal se denomina eje x, y la vertical el eje y. La elección del sentido positivo o negativo es cuestión de conveniencia, pero suele considerarse el lado derecho al eje y como el positivo, y el lado izquierdo como el lado de los negativos, como se muestra a continuación. En las coordenadas rectangulares llamaremos abscisa o coordenada x a la coordenada que indica su distancia dirigida hacia la derecha o a la izquierda del eje y; la ordenada o coordenada y es la coordenada que da su distancia hacia arriba o hacia debajo de eje x. La posición de un punto se indica expresando sus coordenadas entre paréntesis en el orden x,y

Puntos de Corte de una Función con los Ejes Coordenados

x

y

+, +

+, -

-, +

-, -

71

Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados.

Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve el sistema:

Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve el sistema:

Ejemplo

Punto de corte con el eje y :

Puntos de corte con el eje x :

Resolvemos la ecuación

Prueba de la Línea Vertical

-2 -1 1 2

2

1

-1

-2

Valores

x y

0 2

1 0

2 0

-1/2 0

72

Por la definición de función, a cada elemento del dominio debe corresponder un y solo un elemento en el rango (recorrido). Gracias a esta propiedad se puede hacer una simple comprobación grafica para determinar si un gráfico representa a una función matemática. Si se traza una línea vertical por cualquier valor del dominio, intersecará la gráfica de la función en un solo punto, si por el contrario, la línea toca la curva en más de un punto la curva no es la gráfica de una función. Observemos el siguiente ejemplo:

Definiciones

Dominio, Dom(f) Conjunto de valores x para los que

existe la función.

La función no existe cuando el denominador es

0, por tanto : Dom(f)=R - {1}

Discontinuidades Valores del Dom(f) para los que la

función es discontinua

Para x = 1 la función es discontinua, porque el

límite cuando x tiende a 1 es infinito y la

función no existe en x = 1

Asíntotas

verticales ; x=a

No es una función

y

x

Aquí tienes este resumen sobre representación gráfica de funciones

73

Asíntotas

horizontales ; y=a

Asíntotas oblicuas

; rectas de

ecuación : y=mx+b

Puntos de corte

con el eje OX

Son las soluciones de la ecuación :

f(x)=0

Puntos de corte

con el eje OY

Valores que toma la función cuando

x=0 x = 0 ; y=0

Máximos y

mínimos relativos

Soluciones de la ecuación : f'(x)=0.

Cada caso se estudiará según el

apartado siguiente.

Regiones de

crecimiento o

decrecimiento de

la función. Con

esta información

se determina de

qué tipo son los

puntos en los que

la derivada se

hace 0.

Las regiones se determinan sobre el

eje OX, entre los valores para los

que la derivada es 0 o no existe.

Representación

gráfica

Se utiliza toda la información que

proporciona la tabla

74

Antes de continuar, repasemos el concepto

de función lineal

Oferta y Demanda Lineal. Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. La cantidad de x de cualquier artículo que será adquirida por los consumidores depende del precio en el que esté disponible un artículo. La relación que especifica la cantidad de un artículo determina que los consumidores están dispuestos a comprar. A varios niveles de precios se denomina ley de la demanda. Por otra parte una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina ley de oferta.

La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos. Una función lineal tiene la forma general

Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

Ejemplo: Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria

de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)

Donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.

75

Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

Podemos observar: 1. Es función creciente 2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 3. D (f) = R0

+

I (f) =

La función lineal de la demanda es una relación matemática que expresa la forma en que la cantidad de demanda de un producto varía según el precio que tenga. La relación entre las dos variables (cantidad de la demanda y precio por unidad) suele ser inversa. En casi todos los productos, una disminución del precio origina un aumento en la demanda y viceversa. La demanda de productos o servicios que se consideran indispensables tiene a variar menos con cambios leves de precio. Aunque la mayor parte de las funciones de demanda son no lineales, se dan casos en que la relación de la demanda es una función lineal o puede aproximarse por medio de ella. La función lineal de la oferta puede ser expresada así:

Cantidad de demanda = f(precio por unidad)

La función lineal de la oferta relaciona el precio del mercado con las cantidades que los dotadores están dispuestos a producir y vender. El alcance de estas funciones es lo que se introduce en el mercado, depende del precio que el público consumidor esté dispuesto a pagar. En contraste con la naturaleza inversa del precio y de la demanda en las funciones de demanda, la cantidad o volumen que los productores están dispuestos a ofrecer suele cambiar directamente con el precio del mercado. En igualdad de circunstancias, cuanto más aumente el precio de mercado, más querrá producir y vender el productor. Y cuanto menor sea el precio que el público esté dispuesto a pagar, menos incentivos habrá para

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producir y vender. La función lineal de a oferta puede ser percibida de la siguiente forma: Cantidad de la oferta = f(precio demarcado)

Curva de la Demanda y de la Oferta

En cualquier mercado llegarán los demandantes tratando de obtener la mayor cantidad de bienes o servicios al precio más bajo posible. Así se configura la demanda. Utilizaremos como ejemplo el mercado del maíz de un país imaginario.

Los consumidores estarán dispuestos a comprar más maíz si el precio es bajo que si el precio es alto. Supongamos que si el precio del maíz fuese, digamos, de 8 mil bolívares la tonelada, los consumidores de ese país estarían dispuestos a consumir 2 millones de toneladas al año. Si el precio de la tonelada bajase a 5 mil bolívares, se podría comprar más, por ejemplo, 4 millones al año. Si bajase aún más, a 3 mil bolívares el consumo aumentaría a 7 millones. Por último, si llegase a 2 mil euros se adquirirían hasta 10 millones de toneladas. Las cuatro posibilidades descritas, señaladas con las letras F, G, H e I, están resumidas en el cuadro adjunto en el que P significa precio de la tonelada de trigo en miles de euros y Q la cantidad que sería demandada anualmente en millones de quintales.

Demanda de Maíz

P Q

F 8 2

G 5 4

H 3 7

Repasemos:

La función de demanda fd para cualquier producto, es la función que nos da el

número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los

consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o

cuadrática.

fd = mp + n con m<0 o bien fd = ap2 + bp + c, con a<0.

La función de oferta fo , para cualquier producto, es la función que nos da el

número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del

precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.

fo = kp + v con k>0 o bien fo = dp2 + ep + f, con d>0.

El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se

fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan. El

precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio".

77

I 2 10

Si el precio del maíz fuese alguna cantidad intermedia no descrita en el cuadro, por ejemplo, 6 o 7 mil bolívares, es evidente que la cantidad demandada estaría entre 2 y 4 millones. Para tener una idea más clara de cual será la cantidad demandada para precios intermedios a los descritos se pueden representar las situaciones conocidas como puntos en un eje de coordenadas y unirlos mediante una línea curva. La curva resultante se llama curva de demanda.

La forma de la curva que hemos representado, con su pendiente decreciente y su curvatura convexa hacia el origen, es típica de las curvas de demanda de todos los bienes y servicios. Cada bien tendrá su curva de demanda característica, más o menos inclinada, más o menos convexa. Además, la posición de la curva, más alta, más baja, desplazada hacia la izquierda o hacia la derecha, dependerá de la mayor o menor renta que perciban los consumidores, de los gustos y las modas y de los precios de otros bienes relacionados. En cualquier caso todas las curvas de demanda serán decrecientes ya que ello es consecuencia de la ley universal de que a precios más bajos los consumidores demandarán más cantidad del producto.

Los aumentos en la renta de los consumidores suscitarán desplazamientos hacia la derecha de la curva de demanda ya que, a igual precio la cantidad demandada será mayor. Igual ocurrirá con un cambio positivo en los gustos o la moda. Variaciones en los importes de bienes relacionados también provocarán desplazamientos de la curva de demanda; por ejemplo, el abaratamiento de la yuca provocará un desplazamiento hacia la izquierda de la demanda de papas. De todas formas veamos que el abaratamiento del propio producto no produce desplazamiento de la curva ya que la curva está indicando precisamente las cantidades demandadas a cualquier precio.

Veamos ahora los argumentos de los oferentes y cómo se configura la curva de oferta. Su reacción a los precios será la opuesta: si los precios del maíz son altos se producirá mucho maíz, pero si los precios bajan, los agricultores destinarán sus tierras al cultivo de otros cereales y la cantidad de maíz que llegará al mercado será menor.

78

En el ejemplo anterior están descritas las situaciones J, K, L y M con los precios que les corresponden y las cantidades que se ofrecerían en cada caso. Esos datos han sido ubicados en el gráfico así como una curva de oferta típica. Cada producto tiene su curva de oferta característica que puede ser también más o menos inclinada, más o menos cóncava y estará situada más hacia la derecha o hacia la izquierda. En la forma y posición influirán el precio de otros bienes, el precio de los factores de producción que se requieran para fabricar ese bien, el estado de la técnica y los objetivos estratégicos de las empresas productoras. La forma de la curva de oferta de todos los bienes y servicios normales es siempre creciente como consecuencia de que los precios más altos permiten obtener más beneficios. Siempre habrá más productores dispuestos a producir más maíz cuando el precio de éste suba. Habitualmente la curva de oferta es convexa hacia el eje de abcisas y cóncava hacia el de ordenadas. Si disminuye el precio de los factores productivos o avanza el conocimiento y la tecnología, o mejoran las expectativas empresariales, la curva de oferta se desplazará hacia la derecha, es decir, al mismo precio, para todos los precios, se producirá más cantidad. Sin embargo, las variaciones en el precio del producto no provocan desplazamiento de la curva ya que la curva está indicando

OFERTA DE MAÍZ

P Q

J 8 9

K 5 8

L 3 7

M 2 5

Cada bien tendrá su curva de demanda característica, más o menos inclinada, más o menos convexa. Además, la posición de la curva, más alta, más baja, desplazada hacia la izquierda o hacia la derecha, dependerá de varios factores:

▪ Los precios de los factores productivos

▪ La tecnología

▪ Las expectativas o previsiones sobre el futuro

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precisamente las cantidades ofrecidas a cualquier precio. Si los factores mencionados son constantes, entonces la curva de oferta no se moverá y podremos medir fielmente el efecto de las variaciones en los precios sobre las cantidades ofrecidas, que se representarán mediante movimientos a lo largo de la curva.

El Equilibrio del Mercado Habrá una situación de equilibrio entre la oferta y la demanda: cuando a los precios de mercado, cuando todos los consumidores puedan adquirir las cantidades que deseen y los oferentes consigan vender todas las existencias. Observemos la siguiente tabla que contiene un ejemplo con el mercado del maíz que hemos venido trabajando, en la cual: P= Producción D= Demanda O= Oferta

EL EQUILIBRIO EN EL MERCADO DE MAÍZ

P D O situación tendencia precios

tendencia producción

8 2 9 excedentes bajar disminuir

5 4 8 excedentes bajar disminuir

3 7 7 equilibrio equilibrio equilibrio

2 10 5 escasez subir aumentar

El precio y la cantidad de producto que se intercambiará realmente en el mercado queda determinado automáticamente como consecuencia de la forma de las curvas de oferta y demanda del producto. Si el precio es muy alto, los productores estarán ofreciendo mucho más producto del que demandan los consumidores por lo que se encontrarán con excedentes, cantidades que no pueden vender, por lo que reducirán sus producciones y bajarán los precios. Por el contrario, si el precio resulta ser demasiado bajo, las cantidades demandadas serán mayores que las ofrecidas por lo que se producirá escasez. Algunos consumidores estarán dispuestos a pagar más dinero por ese bien. El precio y la cantidad producida aumentarán. Si el precio fuese de 8 mil bolívares el quintal, los agricultores producirían 9 millones de quintales, los consumidores sólo demandarían 2 millones por lo que se acumularían unos excedentes de 7 (9 menos 2) millones de quintales. Sin duda el precio tenderá a bajar y en la temporada siguiente se habrá cultivado mucho menos maíz. En el caso opuesto, cuando el precio es de 2 mil bolívares el quintal, se habrían producido 5 millones de quintales mientras que la cantidad demandada es mucho mayor, 10 millones. Se produciría escasez, tendencia a subir los

http://www.eumed.net/cursecon/3/movimientosoferta.htm

http://www.eumed.net/cursecon/3/movimientosoferta.htm

80

precios y a que los agricultores aumentasen su producción. En el caso de que el precio fuese de 3 mil bolívares, las cantidades ofrecidas y demandadas serían idénticas, tanto los productores como los consumidores estarían satisfechos y no habría ninguna razón para cambiar las cantidades producidas ni el precio.

Modelo de la Curva de Transformación Cuando se presenta una escasez de los recursos, es necesario elegir la distribución de los recursos de acuerdo con las necesidades y los gustos y preferencias. Por esta razón se presenta el modelo de la curva de transformación o frontera de posibilidades de producción. Un modelo es una representación simplificada de la realidad y su comportamiento. Para poder construir el modelo es necesario formular algunos supuestos, dado que la realidad es normalmente muy compleja. Supuestos del modelo de la curva de transformación:

▪ La sociedad produce dos bienes o canastas de bienes.

▪ La economía es autarquíca, es decir, es una economía que produce para su propia subsistencia.

▪ La curva se traza por unidad de tiempo.

▪ La tecnología está dada y es la mejor.

▪ Los factores de producción están dados.

▪ Los factores de producción son versátiles, pero no son igualmente productivos en actividades distintas.

▪ Hay pleno empleo de factores.

▪ Los individuos actúan racionalmente. La curva de transformación o frontera de posibilidades de producción se puede definir como el conjunto de las distintas combinaciones alternativas máximas de dos bienes o servicios que se podrían producir en un período determinado cuando se tiene disponibilidad de factores y tecnología limitados.

Por ejemplo, suponga una economía que puede dedicarse a la producción de

café o de camisas, de acuerdo con los siguientes datos, donde las

Para repasar… En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad depende sólo de la cantidad demandada y de la oferta, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por sí mismo, de modo que la cantidad demandada por los consumidores se iguale a la cantidad que los productores están dispuestos a ofrecer.

http://www.auladeeconomia.com/glosario.htm#factoresdeproduccion

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cantidades de café están dadas en miles de sacos por mes y las de camisas

en miles de unidades:

Cantidades por unidad

de tiempo

Café Camisas

A 15 0

B 14 1

C 12 2

D 9 3

E 5 4

F 0 5

Gráficamente se observa que la curva de transformación es cóncava hacia

abajo:

Es de gran importancia destacar algunas conclusiones que se obtienen con este modelo, las cuales son:

La curva ilustra el problema de la escasez, y de ese modo explica el problema económico. Si no existiera escasez, entonces no existiría una frontera o límite máximo.

Ejemplifica el costo de oportunidad: esto ya que la escasez obliga a la necesidad de elección, y de ahí que la obtención de mayor producción de un bien requiere de la reducción en la producción (pérdida de oportunidad) de uno o más de otros bienes. El costo de oportunidad de una determinada acción es el valor de la mejor alternativa sacrificada. En el caso del ejemplo, si la economía se encuentra en el punto A y desea trasladarse al punto B, entonces el costo de oportunidad es de 1, ya que sacrifica una

82

unidad de café por obtener una de camisas. Al pasar de B a C sacrifica dos unidades de café y obtiene otra de camisas, por tanto el costo de oportunidad es 2.

Ley del costo de oportunidad creciente: la mayor obtención de un bien en cantidades iguales requiere renunciar a cantidades mayores del bien alternativo. Esto ocurre porque los recursos no son igualmente productivos en actividades distintas. En la gráfica se ilustra al costo de oportunidad (C.O.) de trasladarse del punto A al B, luego del B al C, y así sucesivamente hasta llegar al F:

Todos los puntos de la curva son igualmente eficientes (hay pleno empleo de factores y se emplea la mejor tecnología disponible), todo depende de la combinación que se desee realizar. Cualquier punto al interior de la frontera significa que los recursos no son empleados plenamente o son empleados en forma ineficaz. Por ejemplo en la siguiente gráfica los punto M y N son igualmente eficientes, pero el punto Q no, ya que se está produciendo menos del máximo, tanto de café como de camisas.

Los puntos más arriba de la curva son deseables, pero inalcanzables de acuerdo con las condiciones presentes. En la misma gráfica del punto anterior el punto P es inalcanzable con los recursos que la economía tiene en este momento. La expansión de la frontera ocurre cuando aumenta la dotación de los recursos (acumulación del capital, aumento en la fuerza de trabajo, mejoras en la tecnología) o también incrementos en la productividad de éstos, lo cual da como resultado el crecimiento económico, permitiendo alcanzar puntos que anteriormente no habría sido posible alcanzar. También es posible que la curva se

83

desplace hacia la izquierda, lo cual sería posible ante un fuerte desastre natural, una guerra o cualquier situación que reduzca la capacidad máxima de producción de la economía.

84

UNIDAD V

FFFuuunnnccciiiooonnneeesss EEExxxpppooonnneeennnccciiiaaallleeesss yyy LLLooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss

Esta unidad contiene

▪ Funciones exponenciales y logarítmicas

▪ Características y gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

▪ Aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas al cálculo de interés.

▪ Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales

85

Amigo, antes de iniciarte en el tema de funciones

exponenciales y logarítmicas recuerda repasar

los temas de polinomios y derivadas incluidos en

el último apartado de este material.

UUUNNNIIIDDDAAADDD VVV... FFFuuunnnccciiiooonnneeesss EEExxxpppooonnneeennnccciiiaaallleeesss yyy LLLooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss

Funciones Exponenciales Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es constante, un número mayor y diferente a, es decir, a > 0 y a ≠ 0, y el exponente la variable x. Prestemos atención al siguiente ejemplo: Un cooperativista produce 2 camisas cada 15 minutos. ¿Cuántas camisas se producen en un día? Minutos: 15, 30, 45, 60, ... Camisas: 2... 4... 8... 16..... 2x.,

siendo x los intervalos de 15 minutos:..24 = 16 en una hora, 28 = 256 en dos horas,... 224·4 =

296 = 7,9·1028. ¡en un día!

Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa. Observa la siguiente escena que representa la función exponencial y = ax. Inicialmente el valor de a es 2. Observa los valores que va tomando "y" si se van variando los de x.

Características y Gráficas de las Funciones Exponenciales Observemos los siguientes gráficos:

1) f(x) = 2x 2) f(x) = (2-1)x = 2-x

Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

0

2

4

6

8

10

-5 0 50

2

4

6

8

10

-5 0 5

86

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes: 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El límite de y = ax cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es,

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes: 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El límite de y = a-x cuando x aumenta indefinidamente se aproxima a cero, esto es,

Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si 8 = 2x, ¿cuál es el valor de x? _________; si 100 = 10x. ¿cuál es el valor de x? __________. Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes. Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax. Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x". Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al

exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5

es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De

manera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25.

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. Propiedades de los logaritmos comunes: Para a > 1. 1) loga 1 = 0 2) loga a = 1 3) loga (u v) = loga u + loga v

5) loga (u

n) = n loga u

87

6) loga M = loga N, entonces M = N Función Exponencial Natural:

Hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e donde e = 2.718281828. La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural. La gráfica de esta función es:

0

5

10

15

20

25

-5 0 5

f(x) = ex

Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos. Siendo e un número entre 2 y 3, esto es, 2<e<3 entonces la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x. Ver ilustración de la gráfica arriba a la derecha.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1.

Logaritmo Natural:

También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x=loge y = ln. El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular: 1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u 4) ln e = 1 5) ln 1 = 0 Aplicación de las Funciones Exponenciales al Cálculo de Interés

0

5

10

15

20

25

30

-5 0 5

88

Las funciones exponenciales tienen una aplicación en los procesos de crecimiento y en los procesos de deterioro (decaimiento). Entre los ejemplo del primer tipo podemos señalar la valuación de activos, la inflación, el crecimiento de la tasa en que se usan determinados recursos y el crecimiento del producto nacional bruto. Los ejemplos de los procesos de decrecimiento incluyen el valor decreciente de ciertos activos como la maquinaria, la disminución del poder adquisitivo de los consumidores y el deterioro de la eficiencia de una máquina a medida que envejece. Cuando un proceso de crecimiento se caracteriza por un incremento porcentual constante de valor, se le da el nombre de proceso de crecimiento exponencial. Cuando un proceso de declinación se caracteriza por una disminución porcentual constante de valor, recibe el nombre de decaimiento exponencial. Aunque las funciones exponenciales de crecimiento y decaimiento suelen expresarse en función del tiempo, la variable independiente puede presentar otro elemento que no sea el tiempo. Prescindiendo de la naturaleza de la variable independiente, el efecto es que incrementos iguales en la variable independiente producen cambios porcentuales constantes (aumentos o disminuciones) en el valor de la variable dependiente. En el cálculo del interés compuesto la ecuación:

Puede emplearse para determinar la cantidad de S que aumentará una inversión de P cantidad de dinero, si recibe interés de i% por periodo compuesto para n períodos de interés compuesto. Suponiendo que se reinviertan los intereses acumulados, S se llama interés compuesto y P recibe el nombre de capital. Si se considera S una función de n, puede pensarse que la ecuación antes presentada tiene la forma Esto significa que: S = f(n) O bien S = abmn Donde a = P, b = 1+i y m = 1 Supongamos que P = 1.000.000 y que i= 8% por año. La ecuación se convierte en

S = P(1+i)n

y = f(x) = abmx

S = (1.000.000) (1 + 0,08)n

S = (1.000.000) (1,08)n

89

Cuando es interés compuesto de capitalización continua, si la capitalización ocurre más de una vez al año, puede reformularse la ecuación En …

Donde i es la tasa de interés anual, m es el número de períodos de capitalización por año y t es el número de años. El producto mt indica el número de períodos de capitalización a lo largo de t años.

Funciones Logarítmicas Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx. La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.

Características de las Funciones Logarítmicas

Propiedades de las Funciones Logarítmicas Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces: 1) logb 1 = 0 2) logb b = 1 3) logb b

x = x

S = P(1+i)n

mt

S = P i + _i_

m

Antes de comerme mi helado tengo que decirles que para calcular el valor de (1+i)n existen tablas de

derivadas que evalúan esta expresión, pero también el valor que representa se obtiene con las

funciones especiales de muchas calculadoras.

90

4) logb MN = logb M + logb N

5) log log logb b b

M

NM N

6) logb M

p = p logb M

7) logb M = logb N si y sólo si M = N

Logaritmos Comunes y Naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notación: Logaritmo común: log x = log10 x Logaritmo natural: ln x = loge x El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:

1 1

2 1 0

3

4

5

) ln

) ln

) ln( ) ln ln

) ln ln ln

) ln ln

e

uv u v

u

vu v

u n un

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

Gráficas de Funciones Logarítmicas Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo:

91

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

y = 2x y = log2 x Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

Derivadas de Las Funciones Logarítmicas y Exponenciales Ahora veremos cómo se calculan las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales. La derivada de y = ln x Esta es la función logaritmo natural (el logaritmo de base e). Utilizando los límites recientemente estudiados podemos calcular su derivada mediante la definición. Tenemos: y¢ = (ln x)¢

= (Usando la propiedad del logaritmo de un cociente)

= (Usando la propiedad del logaritmo de una potencia)

= (según el último de los límites vistos anteriormente)

= (porque ln ez = z para cualquier z)

92

Es decir la derivada de ln x es : La derivada de y = ex

Usemos la regla de la cadena para calcular esta derivada. Puesto que ln x y ex son mutuamente inversas entonces tenemos que ln ex = x, derivando a ambos lados tenemos (ln ex)' = (x)' = 1, Pero por la regla de la cadena tenemos que

(ln ex)' = y por lo tanto

En otras palabras, la derivada de ex es la misma ex: La Derivada de las Funciones Logarítmica y Exponencial en cualquier Base Utilizando las relaciones entre las funciones logarítmica y exponencial natural con las de otras bases y las reglas de derivación podemos obtener la derivada de las funciones logarítmicas y exponenciales en cualquier base. En la siguiente tabla se indican estas derivadas.

Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales

93

Aquí encontrarás: Reglas para la derivación. Derivación de funciones

exponenciales. Derivación de funciones logarítmicas. Optimización de funciones. Costos de producción.

UNIDAD VI AAApppllliiicccaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa DDDeeerrriiivvvaaadddaaa

94

UUUNNNIIIDDDAAADDD VVVIII... AAApppllliiicccaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa DDDeeerrriiivvvaaadddaaa

Reglas para la Derivación de Funciones Exponenciales:

Derivadas de las funciones logarítmicas A. Reglas para la derivada de funciones logaritmo natural

B. Reglas para la derivada de funciones logaritmo común

C. Derivación logarítmica A veces resulta favorable utilizar logaritmos para derivar otras funciones mediante el proceso de derivación logarítmica. La derivación logarítmica consiste de cuatro pasos, estos son: 1) Tomar los logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación y simplificar. 2) Usar derivación implícita. 3) Resolver para la derivada de y respecto a x. 4) Sustituir para y. La derivación logarítmica se usa para derivar: una función con muchos factores, y para una función con base y exponente ambas funciones de x. Optimización de funciones. Problemas de Máximos y Mínimos Hallar máximos y mínimos de funciones es un problema que se plantea frecuentemente. A continuación damos los pasos a seguir para resolver problemas en los que hay que optimizar (maximizar o minimizar) una función:

95

▪ Realizar un esquema que nos permita tener una idea global del problema. Por ejemplo algún dibujo si el problema es de tipo geométrico.

▪ Identificar la función que se debe optimizar y determinar su expresión analítica.

▪ Utilizar los datos del problema para relacionar las variables que aparecen en la función, si es que hay más de una, hasta conseguir que la función dependa sólo de una variable.

▪ Optimizar la función, es decir, hallar los máximos o mínimos de ésta y comprobar que la solución es válida en el contexto del problema.

Costos de Producción. Una empresa que pretenda producir con la máxima eficacia económica posible, para lograr el nivel de producción de máxima eficacia económica y máxima ganancia, debe tomar en consideración que la ganancia total de una empresa depende de la relación entre los costos de producción y el ingreso total alcanzado. El precio de venta del producto determinará los ingresos de la empresa. Por lo tanto, los costos e ingresos resultan ser dos elementos fundamentales para decidir el nivel de producción de máxima ganancia. Por otra parte, un empresa o cooperativa para lograr producir tiene necesariamente que incurrir en una serie de gastos, directa o indirectamente, relacionados con el proceso productivo, en cuanto a la movilización de los factores de producción tierra, capital y trabajo. La planta, el equipo de producción, la materia prima, etc. componen los elementos fundamentales del costo de producción de una empresa. De esta manera, el nivel de producción de máxima eficacia económica que es en última instancia el fin que persigue todo empresario, dependerá del uso de los factores de producción dentro de los límites de la capacidad productiva de la empresa. Componentes del Costo. El costo de producción de una empresa puede subdividirse en los siguientes elementos: alquileres, salarios, la depreciación de los bienes de capital (maquinaría y equipo, etc.), el costo de la materia prima, los intereses sobre el capital de operaciones, seguros, contribuciones y otros gastos. Los diferentes tipos de costos pueden agruparse en dos categorías: costos fijos y costos variables. Costos Fijos. Los costos fijos son aquellos que necesariamente tienen que hacerse para poder iniciar las operaciones de la empresa. Se definen como costos porque en el plazo corto e intermedio se mantienen constantes a los diferentes niveles de producción. Como ejemplo de estos costos fijos se identifican: Los alquileres, los intereses, las primas de seguro, la depreciación de la maquinaria y el equipo y las

http://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/cofi/cofi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/cofi/cofi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/rega/rega.shtml#ga

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE

http://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/costosbanc/costosbanc.shtml#MATER


http://www.monografias.com/trabajos11/salartp/salartp.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/depreciacion-fiscal/depreciacion-fiscal.shtml#DEPRE

http://www.monografias.com/trabajos16/configuraciones-productivas/configuraciones-productivas.shtml




http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/rega/rega.shtml#ga


http://www.monografias.com/trabajos5/segu/segu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/depreciacion-fiscal/depreciacion-fiscal.shtml#DEPRE

96

contribuciones sobre la propiedad. El costo fijo total se mantendrá constante a los diferentes niveles de producción mientras la empresa se desenvuelva dentro de los límites de su capacidad productiva inicial. La empresa comienza las operaciones con una capacidad productiva que estará determinada por la planta, el equipo, la maquinaria inicial y el factor gerencial. Estos son los elementos esenciales de los costos fijos al comienzo de las operaciones. Hay que dejar claro, que los costos fijos pueden llegar a aumentar, obviamente si la empresa decide aumentar su capacidad productiva, cosa que normalmente se logra a largo plazo, por esta razón, el concepto costo fijo debe entenderse en términos de aquellos costos que se mantienen constantes dentro de un período de tiempo relativamente corto. Costos Variables. Los costos variables son aquellos que varían al variar el volumen de producción. El costo variable total se mueve en la misma dirección del nivel de producción. El costo de la materia prima y el costo de la mano de obra son los elementos más importantes del costo variable. La decisión de aumentar el nivel de producción significa el uso de más materia prima, más servicios, etc., por lo que el costo variable total tiende a aumentar la producción. Los costos variables son pues, aquellos que varían al variar la producción. Otros Refinamientos. El vocabulario económico maneja cuatro conceptos de costos, derivados del concepto costo total, de gran importancia para el estudio de la teoría. Estos conceptos son el costo promedio total (CPT) el costo variable promedio (CVP) el costo fijo promedio (CFP) y el costo marginal (CMg). Cada uno de estos conceptos presenta una relación económica muy importante para el análisis del problema de la determinación del nivel de producción de máxima ventaja económica para el empresario o cooperativistas, por lo cual se recomienda familiarizarse con la abreviatura convencional, aceptada por los economistas. A) Costo Marginal (CMg) El costo marginal (CMg) permite observar los cambios ocurridos en el costo total de producción al emplear unidades adicionales de los factores variables de producción. El costo marginal es, por tanto una medida del costo adicional incurrido como consecuencia de un aumento en el volumen de producción. El costo marginal se define como el costo adicional incurrido como consecuencia de producir una unidad adicional del producto. Si al aumentar el volumen de producción en una unidad el costo total aumenta, el aumento absoluto en el costo total se toma como resultado del aumento absoluto en la producción. De ahí que aritméticamente, el costo marginal es el resultado de dividir el cambio absoluto en costo total entre el cambio absoluto en producción.

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml




http://www.monografias.com/trabajos6/meti/meti.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml



http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml#ANALIT



http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml

97

B) Costo Promedio Total (CPT) Indica el costo de producir una unidad del producto para cada nivel de producción, obteniendo la combinación más eficaz de los factores de producción, se obtiene matemáticamente dividiendo el costo total entre el número de unidades producidas a cada nivel de producción. C) Costo Fijo Promedio (CFP) Indica que el costo fijo por unidad se reduce a medida que aumentamos la producción, al distribuir un valor fijo entre un número mayor de unidades producidas, el costo fijo por unidad tiene que reducirse. D) Costo Variable Promedio (CVP). Indica que en el punto más bajo de la curva el productor alcanza el nivel de producción de máxima eficacia productiva de los factores variables y cuando esta asciende señala la reducción de eficacia productiva que tiene lugar al aumentar la producción mediante el empleo de unidades adicionales de los factores variables, mientras se mantiene fija la capacidad productiva de la empresa.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

98

UNIDAD VII AAApppllliiicccaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa IIInnnttteeegggrrraaalll

Los contenidos de nuestra última unidad son:

▪ La integral indefinida

▪ La integral definida

99

UUUNNNIIIDDDAAADDD VVVIIIIII... AAApppllliiicccaaaccciiióóónnn dddeee lllaaa IIInnnttteeegggrrraaalll

Reglas para la Integración de Funciones Exponenciales:

Reglas para la Integración de Funciones Logarítmicas

cuduu

u

cuduu

cxdxx

ln'

)3

ln1

)2

ln1

)1

Se usan las barras de valor absoluto ya que el dominio de una función logaritmo son los números reales positivos. En particular,

= 2 ln (x) + c = ln (x2) + c En este ejemplo, no son necesarias las barras de valor absoluto ya que x2 no puede ser negativo.

Integral Indefinida

Se conoce como integral indefinida al conjunto de todas las primitivas de la

función f. Se representa por la expresión Se lee integral de f diferencial de x. Al símbolo que inicia la expresión (y que tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y a lo que le sigue integrando.

.

Dada una función y=f(x), se busca

otra función F cuya derivada sea f.

Es decir F'(x)=f(x). A esta función

F se le llama función primitiva de la

función f

100

La integral es el proceso contrario a la derivación. De tal forma que considerando el concepto anterior decimos que dada una función f(x), se trata de calcular otra F(x) tal que F'(x)=f(x). Por ejemplo: la derivada de y=5x es y'=5, la derivada de y=5x+3 es y'=5, la derivada de y=5x-2 es

y'=5.

Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte. Como ya dijimos, el conjunto de todas las primitivas de una función se denomina integral indefinida, y se representa:

. En nuestro ejemplo, en donde dx indica cual es la variable (en este caso sólo existe una posible) y c es la constante. Propiedades.

1. La integral de la derivada de una función es la función. 2. La integral de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales de las funciones:

3. La integral del producto de dos funciones es el producto de las integrales de las funciones:

4. La integral del producto de una constante por una función es el producto de la cte por la integral de la función:

Un dato curioso es que cualquier

tabla de derivadas leída al

contrario se convierte en una tabla

de integrales

101

Tipos De Integrales. Tipo Potencial

siendo n<>-1

Ejemplos:

si en vez de ser x es una función de x:

Ejemplo: En el caso de ser n=-1, tenemos una integral de tipo logarítmico. Tipo Exponencial.

y en el caso de tratarse de una función:

Ejemplos: Tipo Logarítmico. Es el caso comentado en las de tipo potencial cuando n=-1.

Ejemplos:

Tipo Seno.

Tipo Coseno.

Tipo Tangente.

102

y por lo tanto: Tipo Cotangente.

Tipo Arcoseno.

Tipo Arcotangente

Integral Definida

La integral definida surge ante la necesidad de formalizar el concepto de área. En geometría se han deducido fórmulas que permiten calcular el área de figuras planas tales como triángulos, rectángulos, cuadrados, etc. Sin embargo, cuando se trata de calcular áreas de figuras un poco más complicadas, el proceso no es tan sencillo como aplicar una fórmula previamente deducida.

Sea f una función definida en ba, , la integral definida de j entre a y b, denotada

por b

adxxf )( , está dada por

xfdxxf i

n

i

ix

b

a

)(lim)(1

0

Teorema:

Si f es continua en ba, , entonces f es integrable en ba,

103

Área:

Si f es continua en ba, y f(x)0 bax , , entonces el área A de la región R bajo

la gráfica de f entre a y b esta dada por:

b

adxxfA )(

Funciones Primitivas Sean dos funciones f(x) y F(x), tales que : F'(x)=f(x) , es decir la derivada de F(x), es f(x). A cualquier función F(x)+k, donde k es una constante, se la llama función primitiva de f(x). Por ejemplo si f(x)=x, la función primitiva será cualquier función de la forma:

Vamos a intentar mostrar la relación, sorprendente, que existe entre una función f(x) y su función primitiva F(x). Diferencial de una función en un punto Sea una función derivable y=f(x), incrementando el valor de x, en una cantidad a la que denominamos x , se produce una variación en el valor de la función e la que

llamamos y como se expresa en el siguiente gráfico:

Se define diferencia de y, como dxxfxxfdy )´()´(

Cuando dx es suficientemente pequeño se podría afirmar que ydy

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tderivadas.htm#funcionderivada

104

Por definición (siendo y=x ; f´(x)=1) es xdx

Relación entre una función y su primitiva

Tomemos una función sencilla y=x, cuya primitiva es 2

2xy

La suma dxxfdxxfdxxfdxxf n )()()()( 321

En la parte izquierda de la gráfica (función derivada) representa un área y en la parte derecha (función primitiva) representa una longitud, numéricamente ambos valores son iguales. Cuando dx tiende a cero, el límite de la suma, si existe, se llama integral definida de f(x) entre los puntos x=a y x=b.

Este límite, cuando existe, coincide con el área de la zona comprendida entre la gráfica de la función f(x), el eje XX y las rectas x=a y x=b, como se puede apreciar en la parte izquierda de la figura o con la longitud del segmento dada por F(b)-F(a) como se aprecia en la parte derecha. Es decir :

Siendo F(x)una función primitiva de f(x).

105

Contenidos de Repaso

En esta sección sólo encontrarás tres temas fundamentales:

Derivadas Límites Polinomios

106

Repasos de los Contenidos Básicos En este apartado encontrarás un repaso de algunos contenidos que son

importantes para afianzar tu proceso de aprendizaje de esta unidad curricular.

Aquí se te presenta un resumen de cada uno de esos temas fundamentales.

Derivadas3

Uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial es la derivada de una función. La derivada es la pendiente de la recta tangente que corta a una función en un punto determinado:

Cada punto de una función tiene su recta tangente siempre y cuando en ese punto se verifiquen los postulados de continuidad. ¿Cómo calcular la pendiente en ese punto? Primero aclaremos que si bien una función puede ser continua en el punto que se analiza no implica que el punto sea derivable. Un punto debe tener solamente una sola pendiente para considerarlo derivable. Tomemos dos puntos cualesquiera de una función; ambos poseen coordenadas, que en este caso llamaremos (x1 , f(x1)) y (x2 , f(x2)). A medida que x2 va tomando valores cada vez más cercanos a x1, lo mismo ocurre con f(x2) que se va acercando a f(x1). El proceso acerca a la recta, que pasa por ambos puntos, a la

posición de la recta tangente (corta en un solo punto). El proceso de acercamiento se estudia en base a límites y permite encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto determinado. La "separación" que hay entre las coordenadas de x podemos calcularlas "restándolas", o sea, sacando su diferencia. Es así que x2 – x1 = Dx El D (delta) representa la diferencia entre las coordenadas, así

que se lo denomina "diferencial", en este caso es el diferencial x. Del mismo modo, la diferencia entre las segundas coordenadas serán llamadas D f(x), diferencial f(x) (o directamente Dy). 3 Extraído de http://www.soko.com.ar/

http://soko.com.ar/matem/matematica/Continuidad.htm

107

Como x2 – x1 = Dx, podemos despejar x2 = x1 + Dx. Así que f(x2) puede escribirse como: f(x + Dx). Escribimos la definición de derivada como un límite donde Dx es cada vez más pequeña, tiende a cero.

Límites4 Imagínate que tienes una pesadilla (por tanto estudiar matemática) en la que te encuentras cerca de una puerta de salida. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta de que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a abrirla. Corres tratando de llegar, pero, siempre hay espacio entre tu mano y el picaporte de la puerta, no importa cuanto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite". Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es infinito, podemos encontrar entre dos números consecutivos, infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 8 y 9, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 8,5 que está entre 8 y 9 8 .... 8,5 ..... 9 Ahora busquemos un número entre 8 y 8,5 (podemos tomar 8,3 que está entre 8 y 8,5) 8 ...... 8,3 ..... 8,5 Ahora busquemos un número entre 8 y 8,3 (podemos tomar 8,1 que está entre 8 y 8,3) 8 ....... 8,1 ...... 8,3 Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "8" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "8" es el límite que no podemos tocar. Cuando nos acercamos desde valores mayores a 8, se dice que nos "acercamos por la derecha". Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda". El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 8 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 8 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 9 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta. En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "la cuenta" de 4 (que es nuestro límite).

x y = 8 + x

– 0,1 7,9

– 0,01 7,99

– 0,001 7,999

– 0,0001 7,9999

Por izquierda Por derecha

x y = 8 + x

0,1 8,1

0,01 8,01

0,001 8,001

0,0001 8,0001

4 Extraído de http://soko.com.ar/matem/matematica/Limite.htm

http://soko.com.ar/matem/matematica/funcion_lineal.htm

108

El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 8. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo. Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x 0" e "y tiende a ocho" se escribe como "y 8". Ya estamos un poco más cerca de poder leer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite. Veamos el siguiente ejemplo en el cual el límite es 4

No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.

Polinomios Cuando un número real a se multiplica por si mismo a ese producto lo denotamos mediante la expresión a*a, o bien aa. Si el mismo número por sí mismo 5 veces el producto se expresa aaaaa, sin embargo podemos plantearlo de una forma abreviada: a*a = a2

a*a*a*a*a = a5 De tal forma que si n es un número positivo y a un número real cualquiera an = a*a*…an El término an puede expresarse con palabras como ―a elevada a la n-esima potencia‖ done a es la base y n el exponente Pero si n es un entero positivo y a≠0 a-1 = 1 Ejemplo: 2(-3) = 1 = 1 an 23 8 Y si a0=1, ejemplo 100 = 1 Leyes de los Exponentes Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:

1.

109

2.

3.

4.

5. .

6.

7. Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

8. Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, . Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

9. . 10. Si 0< a < b ,se tiene:

. Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número

real tal que . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

110

Ejercicios

Seleccionados por

Prof. Carlos Dekash

En este apartado contarás con una selección de ejercicios para que refuerces y apliques los conocimientos que adquiriste en las páginas anteriores.

111

Ingresos mensuales Una vendedora gana un salario base de Bs. 600.000 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le

toma 1 hora y media realizar ventas por un valor de Bs. 100.000 ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de Bs. 2.000.000? Solución Supóngase que trabaja x horas por mes. Cada 3/2 hora, efectúa ventas por Bs. 100.000, de modo que cada hora promedia dos terceras partes, es decir, Bs. (200.000/3) en ventas (¿Por qué?). Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión promedio por hora es

3

000.20. Por lo tanto, en x horas ganará una comisión de (

3

000.20)x bolívares.

Agregando su salario base, obtenemos un ingreso mensual total de 600.000 +

x

3

000.20

Esto debe ser igual a 2.000.000, de modo que obtenemos la ecuación

000.000.23

000.20000.600 x

Resolviéndola obtenemos las ecuaciones siguientes.

x

3

000.20 = 2.000.000 – 600.000 = 1.400.000

210)000.400.1(000.20

3x

La vendedora deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado. Utilidades Tomemos los bolívares como potencia de mil. Un comerciante de ganado compró 1000 reses a Bs. 150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%? Solución Tomaremos la potencia de mil, para simplificar los números referente a bolívares; se entiende que si escribimos Bs. 150 Nos referimos a Bs.150 mil. Si escribimos 10.000 nos referimos a 10 millones, es decir 10.000 x 1.000. Al final de los cálculos multiplicaremos por mil para obtener el monto real. Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 25% del precio de costo, que es el 25% de Bs. 150, o bien Bs. 37.50. En 400 reses, su ganancia fue de Bs. 37.50 X 400 = Bs. 15,000. Sea x bolívares el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es 150x y su ganancia por las restantes

600 es 600(x - 150) bolívares. Por tanto su ganancia total por la venta completa es 15,000 + 600( 150x ) bolívares.

112

Esta ganancia deberá ser el 30% del precio que él pagó por las 1000 reses, es decir, el 30% de Bs. 150,000. Esto es igual a Bs. [(3/10)(150,000)], o bien Bs. 45,000. Así, obtenemos la ecuación 15,000 + 600(x - 150) = 45,000. Ahora resolvemos. 15,000 + 600x - 90,000 = 45,000 600x = 45,000 - 15,000 + 90,000 = 120,000

200600

000.120x

Ahora multiplicamos por 1.000 para obtener el valor real. El comerciante debe vender las restantes reses a Bs. 200.000 cada una para lograr una ganancia del 30%. Inversiones La señora Silva va a invertir Bs. 70,000.000. Ella quiere recibir un ingreso anual de Bs. 5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga Bs. 5.000.000? Solución Sea la cantidad invertida en bonos del gobierno x bolívares. Entonces la cantidad invertida en bonos hipotecarios es (70,000.000 —x) bolívares. El ingreso recibido por los bonos gubernamentales al 6% es de -^ x bolívares. El ingreso percibido por los bonos hipotecarios al 8,5% es

)000.000.70(1000

85)000.000.70(

100

5.8xx

Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de Bs. 5.000.000,

000.000.5)000.000.70(1000

85

100

6 xx

Multiplicamos ambos lados por 1000 y despejamos x. 60x + 85(70,000.000 - x) = 5.000.000.000 60x + 5.950.000.000 – 85X = 5.000.000.000 -25x = 5.000.000.000 – 5.950.000.000 = -950.000.000

000.000.3825

000.000.950

x

En consecuencia, la señora Silva debería invertir Bs. 38.000.000 en bonos del gobierno y los restantes Bs. 32.000.000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso invirtiendo una proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incrementaría su riesgo. Problema de mezclas Una compañía vitivinícola requiere producir 10.000 litros de jerez encabezando vino blanco, que tiene un contenido de alcohol del 10%, con

113

brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado. Solución: Sean x litros de brandy usados en la producción de 10,000 litros de jerez. Luego, el volumen de vino blanco usado deberá ser de (10,000 — x) litros. Puesto que el brandy contiene 35% de alcohol, la cantidad de alcohol en x litros de brandy es (35/100)x de manera similar, el vino contiene 10% de alcohol, de modo que (10,000 - x) litros de vino contienen (1/10)(10.000 — x) litros de alcohol. Por lo tanto la cantidad total de alcohol en la mezcla será de (35/100)x + (1/10)(10,000 - x) litros La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10,000 litros deberían contener (15/100)(10,000) = 1500 litros de alcohol. Por lo tanto, tenemos la ecuación (35/100)x + (1/10)(10.000 - x) = 1500. Resolviendo obtenemos las igualdades siguientes. (35/100)x + 1000 – (1/10)x = 1500 (35/100)x – (1/10)x = 1500 - 1000 = 500 35x – 10x = 50.000 25.x = 50.000

000.225

000.50x

En consecuencia, deben mezclarse 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino. Determinación del precio de renta de departamentos Juan es Propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de Bs.180.000 al mes. Al subir el alquiler, algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de Bs. 5.000, 1 habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que debería cobrar con el fin de obtener un ingreso total de Bs. 11.475.000. Solución Sean n el número de incrementos de Bs. 5.000 bolívares. Entonces, el incremento en el alquiler por habitación es de 5.000n bolívares, lo cual significa que el alquiler por habitación es de (180.000 + 5.000n) bolívares. El número de habitaciones no alquiladas será entonces n, de modo que el número de las alquiladas será de 60 — n. El total de alquiler que recibirá es igual a (alquiler por habitación) x (número de habitaciones alquiladas). Por tanto,

114

11.475.000 = (180.000 + 5.000n)(60 - n) o bien 11.475.000 = 5.000(36 + n)(60 - n). Dividiendo ambos lados entre 5.000, obtenemos 2295 = (36 + n)(60 - n)

= 2242160 nn En consecuencia, n2 - 24n + 135 = 0 (n - 9)(n - 15) = 0. Así n = 9 ó 15. De aquí, el alquiler debería fijarse en 180.000 + 5.000n, lo cual es 180.000 + 45.000 = Bs. 225.000 ó 180.000 + 75.000 = Bs. 255.000 En el primer caso, 9 de las habitaciones estarán vacantes y 51 alquiladas, que producirán un ingreso de Bs. 225.000 cada una. En el segundo caso en el que el alquiler es Bs. 255.000, 15 habitaciones quedarán vacantes y sólo 45 alquiladas, pero la ganancia total será la misma. El ingreso de un negocio para un periodo determinado de operación es el nombre dado al ingreso total en tal periodo. La utilidad es igual a este ingreso menos el costo de operación en el periodo en cuestión. Escribimos esto como Utilidad = Ingresos - Costos U = I — C Decisión sobre fijación de precios La cámara de comercio del huevo del estado Aragua sabe por experiencia que si fija en p bolívares la docena de huevo, el número de docenas de huevo vendidas a la semana será de x millones, donde p = 2— x. Su ingreso semanal total sería entonces I = xp = x(2 — x) millones de bolívares. El costo industrial de producir x millones de docenas de huevo por semana está dado por C = 0.25 + 0.5x millones de bolívares. ¿Qué precio del huevo debería fijar la cámara de comercio para asegurar una utilidad semanal de 0.25 millones de bolívares? Solución La utilidad está dada por la ecuación siguiente. U = I - C U = x(2 - x) - (0.25 + 0.5x) U= -x2 + 1.5x - 0.25 Igualando esto a 0.25, obtenemos la ecuación -x2 + 1.5x - 0.25 = 0.25 o bien x2 - 1.5x + 0.5 =0. Utilizando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces

a

acbbx

2

42

)1)(2(

)5.0)(1(4)5.1()5.1( 2 x

115

2

225.2)5.1( x

)5.05.1(2

1x x = 1 o bien x = 0.5

Ahora p = 2 - x. De modo que cuando x = 1, tenemos que p = 1 y si x = 0.5, p = 1.5. En consecuencia, la cámara de comercio tiene a su elección dos políticas: fijar en Bs.1 la docena, en cuyo caso las ventas serían de 1 millón por docena o puede fijarlo en Bs.1.50 la docena, en el cual las ventas serían de 0.5 millones de docenas por semana. En ambos casos las utilidades de la industria serán de Bs.0.25 millones a la semana. Inversiones Una corporación desea reservar una suma de Bs.1 millón a inversiones con cierto interés y usarla más tarde para pagar dos emisiones de bonos que se habrán vencido. Un año después de que la suma fue invertida por primera vez, Bs.250.000 serán requeridos para la primera inversión; 1 año más tarde, se necesitarán Bs.900.000 para la segunda emisión. Determine la tasa de interés necesaria con el fin de que la inversión sea suficiente para cubrir ambos pagos. Solución Sea la tasa de interés del R por ciento anual. Cuando se invierte con esta tasa, el valor de la inversión después de 1 año es

1001)1(

1001

Rmillón

RP Millones de bolívares

Para ese momento 0.25 millones son retirados; al inicio del segundo año, la cantidad invertida es (en millones);

10075.025.0

1001' RR

P

Después del segundo año, el valor de la inversión es

1001

10075.0

1001' RRR

P

Esta debe ser la cantidad (0.9 millones) necesaria para pagar la segunda emisión de bonos. Por tanto, llegamos a la ecuación

9.0100

1100

75.0

RR

Así,

116

9.0100100

75.175.0

2

RR

Multiplicando ambos lados por 1002 eliminamos las fracciones y obtenemos: 7500 + 175R + R2 = 9000 O bien R2 + 175R – 1500 = 0 Despejando R nos queda:

)1(2

)1500)(1(4175175 2 R

6000306251752

1R

366251752

1R

4.1911752

1R

R = 8.2 o bien R = -183.2 Es claro que, la segunda solución no tiene sentido práctico. De modo que la inversión debe ganar un 8.2% Anual que proporciona los fondos necesarios para pagar la emisión de bonos. Análisis Marginal La derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía en la construcción de lo que denominamos tasas marginales. Empezaremos considerando el ejemplo del costo marginal. Costo marginal Suponga que el fabricante de cierto artículo descubre que a fin de producir x de estos artículos a la semana, el costo total en bolívares está dado por C = 200.000+ 30x2. Por ejemplo, si se producen 100 artículos a la semana, el costo está dado por C = 200.000

+ 30(100)2 = 500.000. El costo promedio por artículo al producir 100 artículos es 100000.500

= Bs.5000. Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción de 100 a (100 + x ) unidades por semana, en donde x representa el incremento en la producción semanal. El costo es C + C = 200.000 + 30(100 + x )2

117

= 200.000 + 30[10,000 + 200.000 x +

( x )2]

= 500.000 + 6000 x + 30( x )2.

Por consiguiente, el costo extra determinado por la producción de los artículos adi-cionales es C = (C + C) - C = 500.000 + 6000 x + 30( x )2 –

500.000 = 6000 x + 30(Ax)2.

En consecuencia, el costo promedio por artículo de las unidades extras es

x

C

= 6000+ 30 x

Por ejemplo, si la producción crece de 100 a 150 artículos por semana (de modo que

x = 50), se sigue que el costo promedio de los 50 artículos adicionales es igual a

6000 + 30(50) = Bs.7.500 por cada uno. Si el incremento es de 100 a 110 (de modo que x = 10), el costo promedio extra de los 10 artículos es igual a Bs.6.300 por ca-

da uno. Definimos el costo marginal como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, podemos pensar del costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. En el ejemplo anterior,

Costo marginal = x

Clímx

0 = 6000)306000(

0

xlím

x

En el caso de una función de costo general C(x) que represente el costo de producir una cantidad x de cierto artículo, el costo marginal se define en forma similar por

Costo marginal = x

Clímx

0 =

x

xCxxClímx

)()(

0

Es claro que el costo marginal no es otra cosa que la derivada de la función de costo con respecto a la cantidad producida.

Costo marginal = x

C

118

El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida. Ejemplo 1 Costo marginal El caso de la función de costo C(x) = 0.001x3 – 0.3x2 + 40x + 1000 determine el costo marginal como una función de x. Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por x = 50, x = 100 y x = 150. Solución Deseamos evaluar C’(x). La función dada C(x) es una combinación de potencias de x y así puede derivarse por medio de la fórmula para las potencias que se presentó en la última sección. Obtenemos

C’(x) = )1000403.0001.0( 23

xxx

x

= 0.001 (3x2) - 0.3(2x) + 40(1) + 0 = 0.003 x2 - 0.6.x + 40. Esta función, el costo marginal, da el costo promedio por artículo de crecimiento de la producción por una pequeña cantidad dado que ya se han producido x artículos. Cuando se han producido 50 unidades, el costo marginal de los artículos extra está dado por C’(50) = (0.003)(5O)2 - (0.6)(50) + 40 = 7.5 - 30 + 40 = 17.5. Si x = 100, el costo marginal es C’(100) = (0.003)(100)2 - (0.6)(100) + 40 = 30 - 60 + 40 = 10. Cuando x = 150, el costo marginal está dado por C’(150) = (0.003)(150)2 - (0.6)(150) + 40 = 67.5 - 90 + 40 = 17.5. Informalmente podemos decir que el costo de producir el artículo número 51 es de Bs.17.50, el artículo número 101 tiene un costo de Bs.10 y el artículo

119

número 151 cuesta Bs.17.50. (Afirmaciones como ésta no son lo bastante precisas, dado que la derivada de la tasa de un incremento infinitesimalmente pequeño en la producción, no da un incremento unitario.) En el ejemplo 1, observamos que el costo marginal decrece a medida que la producción se incrementa de 50 a 100 unidades y luego se incrementa de nuevo cuando la producción aumenta de 100 a 150. En la figura 8 aparece la gráfica de C’(x) como una función de x.

Este tipo de comportamiento es bastante frecuente en el costo marginal. Cuando la producción x aumenta a partir de valores pequeños, el costo marginal decrece (esto es, baja el costo promedio del pequeño incremento siguiente en la producción). La razón de esto estriba en las economías de escala, que provocan que la fabricación de pequeñas cantidades de bienes sea relativamente más cara" que la producción de grandes cantidades. Sin embargo, cuando x se hace muy grande, los costos empiezan a aumentar a medida que la capacidad de las unidades de producción existentes llegan a gastarse y empieza a ser necesario invertir en una nueva planta o maquinaria o pagar horas extras a los trabajadores, etc. Esto causa un eventual aumento en el costo marginal. Así que, por lo regular, el costo marginal primero decrece al aumentar la producción y luego se incrementa de nuevo. Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C(x) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total, C(x), dividido entre el número de artículos producidos.

Esto es muy diferente del costo marginal, que está dado por la derivada C'(x). El costo marginal representa el costo promedio por unidad adicional de un pequeño incremento en la producción. El costo promedio por lo regular se

denota por )(xC .

EJEMPLO 2 En el caso de la función de costo C(x) = 1000 + 10x + 0.1lx2, el costo marginal es C'(x) = 10 + 0.2x. El costo promedio de producir x artículos es

120

)(xC = xxx

xC1.010

1000)(

Estas dos funciones son bastante distintas. Ingreso y Utilidad Marginales Ahora consideramos los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios de una empresa. Si R(x) denota el ingreso en bolívares por la venta de x artículos, defi-nimos el ingreso marginal como la derivada R'(x).

Si el numero de artículos vendidos se incrementa de x a x + x , entonces existe un

incremento correspondiente en el ingreso dado por R = Nuevo ingreso - Ingreso original = R(x + x) - R(x). El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido se obtiene divi-diendo AR entre el número de artículos adicionales, lo que da R/ x. El valor límite de este promedio cuando x -> O da el ingreso marginal. Así pues, el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Esto es, la tasa con la que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas. Ejemplo 3 Ingreso marginal Si la función de ingreso está dada por

201.010)( xxxR

En donde x es el número de artículos vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x = 200. Solución Necesitamos evaluar R'(x). Dado que R(x) es una combinación de potencias de x, podemos usar la fórmula para las potencias, obteniendo el resultado

R'(x) = )01.010( 2xxx

= 10(1) - (0.01)(2x) = 10 - 0.02x.

Esto nos da el ingreso marginal cuando se vende un número arbitrario x de artículos.

121

Si x = 200, obtenemos un ingreso marginal de

R' (200) = 10 - (0.02)(200) = 10 - 4 = 6. Así que, cuando se venden 200 artículos, cualquier incremento pequeño en las ventas provoca un aumento en los ingresos de Bs.6 por artículo. La función de ingreso puede escribirse en la forma R(x) = xp, en donde p es el precio por artículo y x es el número de artículos vendidos. Vimos que en muchos casos existe una relación entre x y p caracterizada por la ecuación de demanda. Mientras más artículos pueda vender la empresa, más bajo puede fijar el precio, entre más alto se fije el precio, en general, menor será el volumen de las ventas. Ejemplo 4 Ingreso marginal Determine el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación de demanda es x = 1000 – 100p Solución En primer término debemos escribir la ecuación de demanda en tal forma que expresamos a p como una función de x. 100p = 1000 - x p = 10 - 0.01x Así, la función de ingreso está dada por

R(x) = xp = x(10 - 0.01x)= 10x – 0.01x2. Observemos que esta función de ingreso es la misma que la del ejemplo anterior, de modo que podemos usar el resultado del ingreso marginal:

R'(x) = 10 - 0.02x. Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por

R' (300) = 10 - (0.02)(300) = 10 - 6 = 4. La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x artículos y si la función de costo es C(x) al producirse esos mismos x artículos, entonces la utilidad U(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por

U(x) = R(x)- C(x). La derivada U'(x) se denomina la utilidad marginal. Representa la utilidad adicional por artículo si la producción sufre un pequeño incremento.

122

Ejemplo 5 Utilidad margina La ecuación de demanda de cierto artículo es

p + 0.1x = 80 y la función de costo es

C(x) = 5000 + 20x. Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades. Solución La función de ingreso está dada por

R(x) = xp = x(80 - 0.1x) = 80x - 0.1x2.

Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x artículos está dada por

U(x) = R(x) - C(x) = (80x - 0.1x2) - (5000 + 20x)

U(x) = 60x - 0. 1x2 - 5000. La utilidad marginal es la derivada U' (x). Dado que U(x) es una combinación de po-tencias, usamos la fórmula de las potencias a fin de calcular su derivada.

U'(x) = )50001.060( 2

xx

x

U'(x) = 60 - 0.2x Si x = 150, obtenemos P'(x) = 60 - (0.2)(150) = 30. Así pues, cuando se producen 150 artículos, la utilidad marginal, esto es, la utilidad extra por artículo adicional cuando la producción se incrementa en una pequeña cantidad es Bs.30. Cuando x = 400, la utilidad marginal es P'(400) = 60 - (0.2)(400) = -20. En consecuencia, si se producen 400 unidades, un pequeño incremento en la producción da cómo resultado una pérdida (esto es, una utilidad negativa) de Bs.20 por unidad adicional. La utilización de las tasas marginales es amplia en los negocios y economía. Además de los ejemplos anteriores de costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal, tiene otras aplicaciones. Algunos de ellos se resumen a continuación. Modelos de costo lineal En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que

123

enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses sobre préstamos y salarios de administración. Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costos variables. El costo total está dado por Costo total = Costos variables + Costos fijos. Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los costos variables totales al producir x unidades de artículos son de mx bolívares. Si los cos-tos fijos son de b bolívares, se desprende que el costo total yc (en bolívares) de producir x unidades está dado por Costo total = Costos totales variables + Costos fijos. yc = mx + b. (1) La ecuación (1) es un ejemplo de un modelo de costo lineal. La gráfica de la ecuación (1) es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable por unidad y cuya ordenada al origen da los costos fijos. Ejemplo 1 Modelo de Costo Lineal El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de Bs.500 y los costos fijos por día son de Bs.300.000 Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica. Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día. (a) Si yc representa el costo (en bolívares) de procesar x kilos de granos de café por día, se sigue que de acuerdo al modelo lineal, tenemos Solución yc = mx + b en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo. En nuestro caso, m = 500 Bolívares y b = Bs.300.000 Por tanto yc = 500x + 300.000 (2) Con el objeto de dibujar la gráfica de la ecuación (2), primero encontramos dos pun-tos sobre ella.

124

Tomamos la escala del eje Y en miles de bolívares Haciendo x = 0 en la ecuación (2), tenemos que y = 300 (miles); haciendo x = 200 en la ecuación (2), tenemos que yc = 500(200) + 300 = 400 (miles). De modo que dos puntos que satisfacen la ecuación de costo (2) son (0, 300) y (200,400). Graneando estos dos puntos y uniéndolos mediante una línea recta, obtenemos la gráfica que aparece en la figura arriba. Nótese que la porción relevante de la gráfica está situada por completo en el primer cuadrante porque x y yc no pueden ser cantidades negativas. Sustituyendo x = 1000 en la ecuación (2), obtenemos yc =500(1000) + 300.000 = 800.000 En consecuencia, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de Bs.800.000 Ejemplo 2 Modelo de Costo El costo de fabricar 10 máquinas de coser al día es de Bs.350.000, mientras que cuesta Bs.600.000 producir 20 adornos del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total yc de producir x adornos navideños al día y dibuje su gráfica. De nuevo escogemos el eje Y en miles de bolívares. Solución Se nos han dado los puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica de un modelo de costo lineal. La pendiente de la línea que une estos dos puntos es

125

2510

250

1020

350600

m

Usando la fórmula punto-pendiente, advertimos que la ecuación requerida de la línea recta (del modelo de costo lineal) con pendiente m = 25 y que pasa por el punto (10, 350) es

)( 11 xxmyy

25025)10(2535 xxyc

es decir,

10025 xyc (3)

La gráfica de la ecuación (3) en este caso no es una línea recta continua porque x no puede tomar valores fraccionarios al representar el número de máquinas de coser producidas. La variable x sólo puede tomar valores enteros 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . Los valores correspondientes de yc se dan en la tabla siguiente.

Gráfica

126

Análisis Del Punto De Equilibrio

Si el costo total yc de producción excede al de los ingresos iy obtenidos por las ven-

tas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan a los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos ob-tenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se de nomina punto de equilibrio. Ejemplo 3 Análisis del punto de equilibrio Para un fabricante de relojes, el costo C de mano de obra y de los materiales por reloj es de Bs.15 mil y los costos fijos son de Bs.2.000.000 al día. Si vende cada reloj a Bs.20 mil, ¿cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio? Solución Sea x el número de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x relojes es yc = Costos variables totales + Costos fijos = 15x + 2.000 (en miles de bolívares) Dado que cada reloj se vende a Bs.20 mil, el ingreso y¡ obtenido por vender x relojes es

iy = 20x (en miles de bolívares)

El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir, 20X = 15x + 2.000 Obtenemos que 5x = 2000 o x = 400 De modo que deberá producir y vender al día 400 relojes para garantizar que no haya ni utilidades ni pérdidas. La figura siguiente da una interpretación gráfica del punto de

equilibrio. Cuando x < 400, el costo yc excede a los ingresos iy y hay pérdidas.

Cuando x > 400, los ingresos iy exceden los costos yc de modo que se obtiene una

utilidad.

127

Obsérvese que gráficamente, el punto de equilibrio corresponde a la intersec-ción de las dos líneas rectas. Una de las líneas tiene la ecuación .y = 15x + 2000, la que corresponde al costo de producción, y la otra tiene la ecuación y = 20JC, la que correspondí a los ingresos. Ejemplo 4 Análisis del punto de equilibrio Supóngase que el costo total diario (en bolívares) de producir x sillas está dado por yc = 2.5x + 300 (en miles) Si cada silla se vende a Bs.4000, ¿cuál es el punto de equilibrio? Si el precio de venta se incrementa a Bs.5 por silla, ¿cuál es elnuevo punto de equilibrio? Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿qué precio deberá fijarse con el objeto de garantizar que no haya pérdidas? Solución El costo está dado por yc = 2.5x + 300 (a) Si cada silla se vende a Bs.4.000, el ingreso (en bolívares) obtenido por la venta de x sillas es

xyi 4

128

En el punto de equilibrio tenemos que yc = yi, es decir, 4x = 2.5x + 300. Así, 1.5x = 300 o x = 200. El punto de equilibrio está en 200 sillas. (b) Si el precio de venta se incrementa a Bs.5.000 por silla, el ingreso en este caso es

xyi 5

En el punto de equilibrio yc = yi, de modo que 5x = 2.5x + 300. En consecuencia, 2.5x = 300 o x = 120. Con el nuevo precio de venta, el punto de equilibrio es de 120 sillas. Sea p bolívares el precio fijado a cada silla. Entonces los ingresos obtenidos por la venta de 150 sillas es yi = 150p y el costo de producir 150 sillas es yc = 2.5(150) + 300. Con objeto de garantizar una situación de equilibrio debemos tener que yc = yi es decir, 150p = 675 o p = 4.50 (en miles de bolívares) Por tanto, el precio fijado a cada silla debe ser Bs.4.500 con el fin de garantizar que no haya ganancias ni pérdidas (en el peor de los casos) si al menos se venden al día 150 sillas. Ejemplo 5 Análisis no lineal del punto de equilibrio Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a Bs.2.000 cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción están dados en bolívares por yc-= 1000 + 1300x + 100x2. (en miles de bolívares) Determine el nivel de producción en que la compañía no obtiene utilidades ni pérdi-das (punto de equilibrio). Solución Los ingresos por vender x miles de cajas a Bs.2000 cada una están dados por

xyi 2000

Con el objeto de quedar en el punto de equilibrio, los ingresos deben ser iguales a los costos; de modo que

129

1000 + 1300x + l00x2 = 2000x Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 100 y pasando todos los términos a la izquierda, tenemos que x2 - 7x.+ 10 = 0. Si factorizamos esta expresión, obtenemos (X - 2)(x - 5) = 0 y así x = 2 y x = 5. Por lo tanto, encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema. La compañía puede decidir fabricar 2000 cajas a la semana (x = 2), con ingresos y costos iguales a Bs.4000.000 O puede fabricar 5000 cajas a la semana (x = 5), cuando los ingresos y los costos estén otra vez en un equilibrio de Bs.10.000.000 En este ejemplo es conveniente considerar las utilidades de la compañía. La utilidad mensual U está dada por los ingresos menos los costos.

ci yyU

= 200x - (1000 + 1300X + 100X2)

= -1000 + 700.x – 100x2

= -100(X - 2)(X - 5) Cuando x = 2 ó 5, la utilidad es cero y éstos son los puntos de equilibrio. Cuando 2 < x < 5, tenemos que x - 2 > 0 y x – 5 < 0. Dado que el producto contiene dos signos negativos, U es positiva en este caso. En consecuencia, la compañía obtiene una utilidad positiva cuando 2 < x < 5; es decir, cuando fabrica y vende entre 2000 y 5000 cajas a la semana. Oferta Y Demanda Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo que será adquirida por los consumidores depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores están dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de la demanda. La ley más simple es una relación del tipo p = mx + b (1) en donde p es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama la curva de demanda. Obsérvese que se ha expresado en

130

términos de x. Estos nos permite calcular el nivel de precio en que cierta cantidad x puede .venderse. Es un hecho perfectamente conocido que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda por el artículo disminuye, porque menos consumidores, podrán adquirirlo, mientras que si el precio por unidad disminuye (es decir, el artículo se abarata) la demanda se incrementará. En otras palabras, la pendiente n, de la relación de demanda de la ecuación (1) es negativa. De modo que la gráfica de la ecuación tiene una inclinación que baja hacia la derecha, como se aprecia en la parte (a) de la figura. Puesto que el precio por unidad y la cantidad x demandada no son números negativos, la gráfica de la ecuación (1) sólo debe dibujarse en el primer cuadrante. La cantidad de un artículo determinado que sus proveedores están dispuestos a ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo. Una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta. La gráfica de una ecuación de la oferta (o ley de la oferta) se conoce; como curva de la oferta. En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos, si pueden ponerle un precio alto, y con una cantidad más pequeña de artículos si el precio obtenido es más bajo.

(b) En otras palabras, la oferta aumenta al subir el precio. Una curva de demanda lineal típica aparece en la parte (b) de la figura. El precio p, corresponde a un precio bajo del cual los proveedores no ofrecerán el artículo. Ejemplo 1 Demanda Un comerciante puede vender 20 rasuraduras eléctricas a! día al precio de Bs.25 mil cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de 20 mil a cada rasuradora eléctrica. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. Solución

131

Considerando la cantidad x demandada como la abscisa (o coordenada x) y el precio p por unidad como la ordenada (o coordenada y) los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas (Tomando el eje Y en miles de bolívares) x = 20, p = 25 y x = 30, p = 20. De modo que los puntos son (20, 25) y (30, 20). Dado que la ecuación de demanda es lineal, está dada por la ecuación de una línea recta que pasa pon los puntos (20, 25) y (30, 20). La pendiente de la línea que une estos puntos es

5.010

5

2030

1520

m

Por la fórmula punto-pendiente, la ecuación de la línea que pasa por (20, 25) con pendiente m=0.5 es y - yi = m(x – xi) dado que y = p, tenemos que p - 25 = -0.5(X - 20) p = -0.5x + 35 (en miles de bolívares) que es la ecuación de demanda requerida. (Véase la figura adjunta)

Punto De Equilibrio Del Mercado Si el precio de cierto artículo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirán, mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no lo venderán. En un mercado competitivo, cuando el precio por unidad depende sólo de la cantidad demandada y de la oferta, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por sí mismo, de modo que la cantidad demandada por los consumidores iguale la cantidad que los con-

132

sumidores están dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio del mercado ocurre en un precio cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de intersección de las curvas de la oferta y la demanda. (Véase la fig. abajo)

Algebraicamente, el precio de equilibrio del mercado op y la cantidad de equilibrio

x0 se determina resolviendo las ecuaciones de la oferta y la demanda Si-multáneamente para p y x. Nótese que el precio y la cantidad de equilibrio sólo tienen sentido cuando no son negativas.

Ejemplo 1 Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la oferta y la demanda siguientes. D: p = 25 - 2x (2) O: p = 3x + 5 (3) Solución Igualando los dos valores de p en las ecuaciones (2) y (3), tenemos que 3x + 5 = 25 - 2x. Fácilmente se ve que la solución es x = 4. Sustituyendo x = 4 en la ecuación (2), re-sulta p = 25 - 8 = 17. En consecuencia, el precio de equilibrio es 17 y la cantidad de equilibrio es de 4 uni-dades. Las gráficas de las curvas de la oferta y la demanda aparecen en la figura 28.

133

Ejemplo 2 Si las ecuaciones de la demanda y la oferta son, respectivamente, D. 3p + 5x = 22 (4) O: 2p - 3x = 2 (5) determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado. Solución Las ecuaciones (4) y (5) forman un sistema de ecuaciones lineales en las variables x y p. Resolvamos este sistema por el método de eliminación. Multiplicando ambos la-dos de la ecuación (4) por 3 y los dos miembros de la ecuación (5) por 5, obtenemos 9p + 15X = 66 10p – 15x = 10. Enseguida sumamos estas dos ecuaciones y simplificamos. 9p + 15x + 10p – 15x = 6 6 + 1 0 19p = 76 Así que, p = 4. Sustituyendo este valor de p en la ecuación (4), obtenemos 3(4) + 5x = 22. Por lo tanto, x = 2. El punto de equilibrio del mercado ocurre cuando p = 4 y x = 2. Como la mayoría de las relaciones lineales en economía, las ecuaciones lineales de demanda y oferta dan una representación aproximada de las relaciones exactas entre precio y cantidad, y surgen casos en que tales aproximaciones lineales no son adecuadas. La determinación del punto de equilibrio del

134

mercado cuando la ecuación de demanda o la ecuación de la oferta (o ambas) no son lineales, pueden requerir cálculos muy complicados. Ejemplo 3 Punto de equilibrio del mercado La demanda para los bienes producidos

por una industria están dados por la ecuación 16922 xp , en donde p es el

precio y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p = x + 7. ¿Cuáles son el precio y la cantidad del punto de equilibrio? Solución El precio y la cantidad del punto de equilibrio son los valores positivos de p y x que satisfacen a la vez las ecuaciones de la oferta y la demanda. p2 + x2 = 169 (6) p = x + 7 (7) Sustituyendo el valor de p de la ecuación (7) en la ecuación (6) y simplificando, resulta (x + 7)2 + x2 = 169 2x2 + 14x + 49 = 169 x2 + 7x - 60 = 0 Factorizando, encontramos que (x + 12)(x - 5) = 0 lo cual da x = - 12 ó 5. El valor negativo de x es inadmisible, de modo que x = 5. Sustituyendo x = 5 en la ecuación (7), obtenemos p = 5 + 7 = 12. En consecuencia, el precio de equilibrio es 12 y la cantidad de equilibrio es 5. Impuestos Especiales Y Punto De Equilibrio Del Mercado Con frecuencia, el gobierno grava con impuestos adicionales ciertos artículos con el propósito de obtener más ingresos o dar más subsidios a los productores para que hagan accesibles estos artículos a los consumidores a precios razonables. Consideraremos el efecto de un impuesto adicional o subsidio sobre el punto de equilibrio del mercado con las suposiciones siguientes. La cantidad demandada por los consumidores sólo depende del precio; es decir, que la ecuación de la demanda no cambia. La cantidad ofrecida por los proveedores está determinada por el precio recibido por ellos. El precio recibido por el proveedor es igual al precio pagado por el consumidor menos la cantidad gravada. Si p denota el precio aceptado por unidad por

135

el proveedor y si con t denotamos el impuesto por unidad, entonces la cantidad pagada por unidad por el consumidor es p1 = p + t. Ejemplo 4 Subsidio Y Punto De Equilibrio Del Mercado La ley de la demanda para cierto

artículo es 5p + 2x = 200 y la ley de la oferta es p = 54 x + 10.

Determine el precio y cantidad de equilibrio. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de 6 por unidad. Determine el incremento en el precio y la disminución en la cantidad demandada. ¿Qué subsidio provocará que la cantidad demandada se incremente en 2 unidades? Solución Las ecuaciones de demanda y de oferta son las siguientes D: 5p + 2x = 200 (8)

O: p = 54 x+10 .(9)

Sustituyendo el valor de p de la ecuación (9) en la ecuación (8) y simplificando obtenemos las ecuaciones

5(54 + 10) + 2x = 200

4x + 50 + 2x = 200 6x = 150 Por tanto, de la ecuación (9),

p = 54 (25) + 10 = 20 + 10 = 30.

En consecuencia, el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio después del gra-vamen son p = 30 y x = 25. Cuando se fija un impuesto de 6 por unidad, sea p1, el precio del mercado. De este precio p1 pagado por el consumidor, 6 van al gobierno, de modo que el pro-veedor obtiene p1 - 6. El precio aceptado por el proveedor aún está dado por la ecuación de la oferta, ecuación (9); asi

106 154

1 xp

en donde x1 es la cantidad ofrecida en el nuevo punto de equilibrio. Por tanto,

16154

1 xp (10)

136

Dado que la ecuación de demanda permanece inalterada, usamos la ecuación (8), cambiando (x, p) por (x1 , p1) 5 p1 + 2 x1 = 200 (11) Sustituyendo el valor de p1 de la ecuación (10) en la ecuación (11), tenemos que

2002)16(5 1154 xx

La solución está dada por x1 = 20. Por tanto, de la ecuación (10), p1 = 54 (20) + 16 =

32. Así, el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de 6 por unidad, son p1 = 32 y x1 = 20. El incremento en el precio es p1 — p = 32 — 30 = 2 y la disminución en la cantidad demandada es x1 — xx = 25 — 20 = 5. Sea t el subsidio por unidad para elevar el punto de equilibrio de la demanda de 25 a x2 = 25 + 2 = 27. Entonces la ecuación de la oferta conforme a un subsidio de t unidades está dada por p2 = 5X2 + 10 - t. (12) (En este caso, p2 = p — t, en donde p2 es el precio del mercado y p es el precio recibido por los proveedores.) La ecuación de la demanda, ecuación (8), permanece sin cambio, y haciendo que p2 y x2 tomen el lugar de p y x, respectivamente, nos da 5p2 + 2x2 = 200. (13) Dado que x2 = 27, sustituimos este valor en la ecuación (13). 5p2 + 54 = 200

Por lo tanto, p2 = 5

146 = 29.2. Sustituyendo ahora p2 = 29.2 y x2 = 27 en la ecuación

(12), obtenemos

29.2 = 54 (27) + 10 - t.

En consecuencia, t = 21.6 + 10 - 29.2 = 2.4. Un subsidio de 2.4 por unidad incre-mentará la demanda en 2 unidades. Ejemplo 5 Costo De Instalación De Una Línea Telefónica Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos situados en orillas opuestas de un río en puntos A y B. El ancho del río es de 1 kilómetro y B está situado 2 kilómetros río abajo de A. Tiene un costo de

137

c bolívares por kilómetro tender la línea por tierra y 2c bolívares por kilómetro bajo el agua. La línea telefónica deberá seguir la orilla del río empezando en A una distancia x (en kilómetros) y luego cruzar el río diagonalmente en línea recta hacia B. De-termine el costo total de la línea como función de x.

Solución La figura ilustra este problema. La línea telefónica se extiende de A a C, una distancia x a lo largo de la orilla y luego diagonalmente de C a B. El costo del segmento A C es cx mientras que el costo de CB es 2c(CB). El costo total (llamémosle y) está dado por y = ex + 2c (CB). Con objeto de terminar el problema, debemos expresar CB en términos de x. Aplica-mos el teorema de Pitágoras al triángulo BCD . BC2 = BD2 + CD2 Pero BD = 1 (el ancho del río) y CD = AD - AC = 2 - X. Por lo tanto BC2 = 12 + (2 - x)2 = 1 + (4 - 4x + x2) = x2 - 4x + 5. En consecuencia, el costo está dado por

542 2 xxccxy

Esta es la expresión requerida, que da y como función de x. En los ejemplos anteriores, hemos estado interesados en funciones que están definidas por una sola expresión algebraica para todos los valores de la variable in-dependiente. Algunas veces sucede que debemos usar funciones que están definidas por más de una expresión. Ejemplo 6 Función de costo de la electricidad La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de 100 bolívares por unidad para las primeras 50 unidades y a Bs. 30 por

138

unidad para cantidades que excedan las 50 unidades. Determine la función c(x) que da el costo de usar x unidades de electricidad. Solución Si x 50, cada unidad tiene un costo de Bs.100, de modo que el costo total de x unidades es de 100x bolívares. Así que, c(x) = 100x para x 50. Cuando x = 50, obtenemos c(50) = 5000: el costo de las primeras 50 unidades es igual a 5000. Si x > 50, el costo total es igual al de las primeras 50 unidades (esto es, 5000) más el costo del resto de las unidades usadas. El número de estas unidades que sobrepasan a 50 es x - 50, y

cuestan Bs.30 cada una, por lo que el costo total es de 30(x - 50) bolívares. Así que, la tarifa total cuando x > 50 es c(x) = 5000 + 30(x - 50) = 5000 + 30x - 1500 = 3500 + 30x. Podemos escribir c(x) en la forma

503350

50100)(

xsix

xsixxc

La gráfica de y = c(x) se aprecia en la figura anterir. Obsérvese cómo cambia la naturaleza de la gráfica en x = 50, en donde una fórmula toma el lugar de la otra. Ejemplo 7 Considere la función siguiente

44

404)(

xsix

xsixxf

139

El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales no negativos. En el caso de que 0 x 4, la función está definida por la expresión algebraica f(x) = 4 — x, mientras que si x > 4, está definida por la expresión f(x) =

4x . Algunos valores de f(x) se dan en la tabla abajo y la gráfica de esta función

aparece en la figura siguiente. Consta de dos segmentos: Si x está entre 0 y 4, la gráfica está formada por el segmento de línea recta con ecuación y = 4 — x. Para x > 4, la función es como aparece en la gráfica. TABLA x 0 2 4 5 8 13 y = f(x) 4 2 0 1 2 3 Gráfica

Funciones Cuadráticas Y Parábolas Una función de la forma f(x) = ax 2 + bx + c ( 0a ) con a, b y c constantes, se denomina función cuadrática. El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de una función cuadrática es una curva denominada parábola. La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo

caso obtenemos 2)( axxf . Las gráficas comunes de esta función en los casos en

que a es positiva o negativa aparecen en la figura abajo. El punto más bajo de la grá-fica cuando a > 0 ocurre en el origen, mientras que este mismo es el punto más alto si a < 0. En cualquiera de los dos casos, el punto se denomina vértice de la parábola. La función cuadrática general f(x) = ax2 + bx + c tiene una gráfica idéntica en forma y tamaño a la correspondiente a y = ax2; la única diferencia es que el vértice de f(x) = ax2 + bx + c está trasladado afuera del origen.

140

TEOREMA 1 La gráfica de la función f(x) = ax2 + bx + c ( 0a ) es una parábola

que se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Su vértice (que es el punto más bajo si a > 0 y el punto más alto si a < 0) es el punto con coordenadas

a

bx

2 y

a

bacy

4

4 2

(b)

Gráficas características de la función cuadrática y = ax2 + bx + c se advierten en la figura anterior Observaciones 1. Si b = c = O, la función cuadrática se reduce a f(x) = ax2. Las coordenadas del vértice dadas en el teorema 1 se reducen a x = y = 0, que es consistente con nuestras afirmaciones anteriores. La coordenada y del vértice también puede encontrarse sustituyendo el valor x = -b/2a en la ecuación y = ax2 + bx + c de la parábola. Con frecuencia esto es más conveniente que usar la fórmula para y dada en el teorema 1. La manera más fácil de probar el teorema 1 es utilizando el método de completar el cuadrado. No lo probaremos aquí. Ejemplo 1 Bosqueje la parábola y = 2x2 - 4x + 7 y encuentre su vértice.

141

Solución Comparando la ecuación y = 2x2 - 4x + 7 con la función cuadrática estándar y = ax2 + bx + c tenemos que a = 2, b = — 4 y c = 7. La coordenada x del vértice es

a

bx

2 = 1

)2(2

4

Con objeto de encontrar la coordenada y del vértice, lo más sencillo es sustituir x = 1 en la ecuación de la parábola dada. y = 2(1)2 - 4(1) + 7 = 5 De modo que el vértice está en el punto (1, 5). En forma alternativa, podríamos usar la fórmula dada en el teorema 1.

a

bacy

4

4 2 =

)2(4

)4()7)(2(4 2 = 5

8

1656

Dado que a = 2 > 0, la parábola se abre hacia arriba; esto es, el vértice (1, 5) es el punto más bajo de la parábola. La gráfica de esta parábola puede bosquejarse graficando algunos puntos (x, y) situados sobre ella. Los valores de y que corresponden a los valores escogidos de x aparecen en la tabla anterior. Graficando estos puntos y uniéndolos por una curva suave, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura de abajo. (Obsérvese que la gráfica de este ejemplo corta el eje y en el punto (0, 7) pero que no corta al eje x en ningún punto. A menudo es útil al dibujar la gráfica de alguna función dada encontrar los puntos en que su gráfica corta los ejes de coordenadas.) Como establecimos antes, el vértice de la parábola representa el punto más bajo cuando a > 0 o el punto más alto si a < 0. Se sigue, por tanto, que en el caso de que a > 0, la función f(x) = ax2 + bx + c toma su valor mínimo en el vértice de la parábola correspondiente. Esto es, f(x) es mínimo cuando x = —b/2a. Por otro lado, cuando

142

a < 0, la función f(x) = ax2 + bx + c toma su valor máximo si x = —b/2a. Estos valores más grandes y más pequeños de f(x) = ax2 + bx + c pueden obtenerse sustituyendo x = -b/2a en f(x). Problemas en que se nos pide determinar los valores máximos y mínimos de ciertas funciones aparecen con frecuencia en las aplicaciones. Los estudiaremos con detalle más adelante Sin embargo, algunos de estos problemas pueden resolverse apelando a las propiedades de las parábolas. Los ejemplos siguientes pertenecen a esta categoría.

Ejemplo 2 Cercado Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse? Solución Denotemos los lados del terreno con x y y, como se indica en la figura anterior, con el lado y paralelo a la cerca ya existente. Se sigue que la longitud de la nueva cerca es 2x + y, que debe ser igual a los 200 metros disponibles. 2x + y = 200 El área encerrada es A = xy. Pero y = 200 — 2x, de modo que

143

A = x(200 - 2x) = 200x - 2x2. (1) Comparando la expresión anterior con f(x) = ax2 + bx + c, advertimos que A es una función cuadrática de x, con a = -2, b = 200 y c = 0. Por tanto, dado que a < 0, la función cuadrática tiene un máximo en el vértice, esto es, cuando

50)2(2

200

2

a

bx

el valor máximo de A se obtiene sustituyendo x = 50 en la ecuación (1). A = 200(50) - 2(502) = 10,000 - 5,000 = 5,000 El área máxima que puede encerrarse es de 5000 metros cuadrados. Las dimensiones de esta área máxima son x = 50 y y = 100 metros. (Recuerde que y = 200 — 2x.) Ejemplo 3 Decisiones sobre fijación de precios La demanda mensual, x, de cierto artículo al precio de p bolívares por unidad está dada por la relación x = 1350 - 45p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de Bs.5 mil por unidad y los costos fijos son de Bs.2000000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual? Solución El costo total C (en bolívares) de producir x unidades al mes es C = Costos variables + Costos fijos C = 5000x + 2000000. La demanda x está dada por x = 1350 - 45p. Sustituyendo este valor de x en C, resulta que C = 5000(1350 - 45p) + 2000000 C = 8750000 - 225000p. El ingreso I (en bolívares) obtenido por vender x unidades a p bolívares por unidad es

144

/ = (Alquiler por unidad) (Número de unidades alquiladas) I = px = p(1350 – 45P) I = 1350p – 45p2. La utilidad U (en bolívares) está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo. U= I – C U = -45p2 + 1350p - (8750000 - 225000p) U = -45 p2 + 226350p – 8750000 La utilidad U es una función cuadrática de p. Puesto que a = - 45 < 0, la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso, tenemos que a = -45, b = 226350 y c = -8750000. El vértice de la parábola está dado por

2515)45(2

226350

2

a

bp

En consecuencia un precio de p = 2515 bolívares por unidad debe fijarse al consumidor con el propósito de obtener una máxima utilidad. La utilidad máxima será dada por U= -45(2515)2 + 226350(2515) – 8750000 U = 275.885.125 La Utilidad es de Bs. 275.885.125 al mes. Ejemplo 4 Decisiones sobre fijación de alquileres El señor Almeida es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. Él puede alquilarlas todas si fija un alquiler mensual de Bs.200000 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de alquiler de Bs.5000, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de

145

habitaciones vacías. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total?- ¿Cuál es este ingreso máximo? Solución Sea x el número de unidades vacías. El número de departamentos alquilados es entonces 60 — x y el alquiler mensual por habitación es (200000 + 5000x) bolívares. Si I denota el ingreso mensual total (en bolívares), se sigue que R = (Renta por unidad)(Número de unidades rentadas) R = (200000 + 5000x)(60 - x)

120000001000005000 2 xxR El ingreso mensual total R es una función cuadrática de x con a = -5000, b= 100000, y c = 12,000.000 La gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo (dado que a < 0) y su vértice es el punto máximo. El vértice está dado por

10)5000(2

100000

2

a

bx

En consecuencia, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. El al-quiler por habitación es entonces de (200000 + 5000x) bolívares ó Bs.250000y el ingreso total es de Bs.12,500.000 al mes. Logaritmos y Exponenciales. Ejemplo 1 Crecimiento de la población La población del planeta al inicio de 1976 era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. ¿Cuál será la población en el año 2007, su-poniendo que la tasa de crecimiento no se modifica? Solución Cuando una población crece al 2% anual, esto significa que su tamaño en cualquier instante es 1.02 veces lo que fue un año antes. Así, al inicio de 1977, la población era (1.02) x 4 mil millones. Más aún, al inicio de 1978, era (1.02) veces la población al iniciar el año 1977, esto es, (1.02)2 X 4 mil millones. Continuamos encontrando la población en una forma similar, multiplicando por un factor de 1.02 por cada año que pasa. La población al inicio del año 2007, es decir, después de 30 años, será de (1.02)30 X 4 mil millones o,

146

7.245 millones. Ejemplo 2 Crecimiento de una población La población de cierta ciudad al instante t (medido en años) está dada por

tePtP 03.0

0)( 0P =1.5 millones

¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por año? Solución Después de n años, la población es

nn ePiP 03.0

00 )1(

nn ei 03.0)1(

1 + i = 03.0e = 1.0305

i = 0.0305. Por tanto, dado que i = R/100, R = 100(0.0305) = 3.05. La población crece al 3.05% al año. Ejemplo 3 Crecimiento del PNB La población de cierta nación en desarrollo crece al 3% anual. ¿Cuánto debe incrementarse por año el producto nacional bruto si el ingreso per cápita debe duplicarse en 20 años? Solución

Denotemos a la población actual por 0P . Por tanto, dado que la población se

incrementa por un factor de (1.03) cada año, el tamaño de la población después de n años será P = P0(1.03)n. Sea I0 el producto nacional bruto (PNB). El ingreso per cápita actual se obtiene divi-diendo esta cantidad I0 entre el tamaño de la población, de modo que es igual a

00 / PI

Si el PNB se incrementa a un R por ciento anual, cambiará por un factor de 1 + i por cada año, en donde i = R/100. Por tanto, después de n años, el PNB está dado por

147

niII )1(0

El ingreso per cápita después de n años es por lo tanto

n

n

ni

P

I

P

iI

P

I

03.1

1

)03.1(

)1(

0

0

0

0

Deseamos calcular el valor de R para el cual el ingreso per cápita cuando n = 20 es igual a dos veces su valor actual, Io/P0. En consecuencia, tenemos la ecuación

0

0

20

0

0 203.1

1

P

Ii

P

I

P

I

Se sigue que

203.1

120

i

de modo que 1 + i = (1.03)(21/20) = (1.03)(0.0353) = 1.066. Así que i = 0.066 y R = 100i = 6.6. En consecuencia el PNB tendría que incrementarse al ritmo de un 6.6% anual si ha de lograrse la meta fijada. Aplicaciones De Los Logaritmos Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos es en la resolución de ciertos tipos de ecuaciones en que la incógnita aparece como un exponente. Consideremos los ejemplos siguientes. Ejemplo 4 Crecimiento de la población En 1980, la población de cierta ciudad era de 2 millones de habitantes y estaba creciendo a una tasa del 5% anual. ¿Cuándo rebasará la población la marca de los 5 millones, suponiendo que la tasa de crecimiento es constante? Solución A una tasa de crecimiento del 5%, la población se multiplica por un factor de 1.05 cada año. Después de n años, a partir de 1980, el nivel de la población es 2(1.05)n millones Buscamos el valor de n para el cual este nivel sea de 5 millones, de modo que tenemos 2(1.05)n = 5 o (1.05)n = 2.5.

148

Observe que en esta ecuación, la cantidad desconocida n aparece como exponente. Podemos resolverla tomando logaritmos en ambos lados. No importa qué base usemos, pero es más conveniente la de los logaritmos comunes. Obtenemos log (1.05)" = log 2.5 o bien, usando la propiedad de los logaritmos, nlog 1.05 = log 2.5 Por tanto

0212.0

3979.0

05,1log

5,2logn

n = 18.8 En consecuencia, le lleva 18.8 años a la población alcanzar los 5 millones. Este nivel se alcanzará durante 1998. Ejemplo 5 Inversiones La suma de Bs.100000 se invierte a un interés compuesto anual del 6%. ¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a Bs.150000? Solución A un interés del 6% anual, la inversión crece por un factor de 1.06 cada año. Por tanto, después de n años, el valor es 100000(1.06)". Igualando esto a 150000, obtenemos la ecuación siguiente con incógnita n: 100000(1.06)" = 150000 o (1.06)" = 1.5. Tomamos logaritmos en ambos lados y simplificamos. log (1.06)" = n log (1.06) = log (1.5)

96.60253.0

1761.0

)06.1log(

)5.1log(n

En consecuencia, le lleva 7 años a la inversión incrementar su valor a Bs.150000. Estos dos ejemplos nos han conducido a una ecuación del tipo ax = b en donde a y b son dos constantes positivas y x es la incógnita. Tal ecuación siempre puede resolverse tomando logaritmos en ambos lados.

149

log (ax) = x log a = log b de modo que

a

bx

log

log

En principio, no hay diferencia entre problemas en que intervienen funciones expo-nenciales crecientes (a > 1) y aquellos con exponenciales decrecientes (a < 1). El ejemplo siguiente trata de una función exponencial que decrece. Ejemplo 6 Bebidas y conducción de automóviles Poco después de consumir una dosis sustancial de whisky, el nivel de alcohol en la sangre de una persona sube a un nivel de 0.3 miligramos por mililitro (mg/ml). De ahí en adelante, este nivel decrece de acuerdo con la fórmula (0.3)(0.5)t, en donde t es el tiempo medido en horas a partir del instante en que se alcanza el nivel más alto. ¿Cuánto tendrá que esperar esa persona para que pueda conducir legalmente su automóvil? (En su localidad, el límite legal es de 0.08 mg/ml de alcohol en la sangre.) Solución Deseamos encontrar el valor de t que satisfaga: (0.3)(0.5)t = 0.08. Esto es, Esto es,

267.03.0

08.05,0

t

Tomando logaritmos, obtenemos log (0.5)t = t log (0.5) = log (0.267) de modo que,

91.1)3010.0(

)5735.0(

)5.0log(

)267.0log(

t

La lleva por lo tanto 1.91 horas alcanzar la aptitud legal para conducir. Otra aplicación es al valor presente de un ingreso futuro o una deuda futura. Supongamos que, dedicándose a cierta actividad comercial, una persona espera recibir cierta cantidad de dinero, P, después de n años. Este ingreso futuro P es menos valioso comparado con un ingreso de la misma cantidad recibido actualmente dado que si la persona recibiera P ahora, podría invertirlo a algún interés y tendría más valor que P después de n años. Nos interesa encontrar la suma Q que, si la recibiera ahora y la invirtiera n años, tendría igual valor que el ingreso futuro P que la persona recibiría.

150

Supongamos que la tasa de interés que podría obtener es del R por ciento. Por tanto, después de n años, la suma Q se habría incrementado a Q(1+ i)", en donde i = R/100. Igualando esto a P, obtenemos la ecuación Q(1 + i)" = P o bien

n

niP

i

PQ

)1(

)1(

Llamaremos a Q el valor presente del futuro ingreso P. Al calcular el valor presente, es necesario efectuar alguna suposición acerca de la tasa de interés R que se obtendrá en los n años. En tal circunstancia, R se denomina tasa de interés y decimos que se encuentra el valor actual de los ingresos futuros P. Ejemplo 7 Decisión sobre ventas de bienes inmuebles Un comerciante de bienes inmuebles posee una propiedad que podría vender por Bs.100.000.000. También, podría conservar la propiedad durante 5 años. Durante este tiempo, gastaría Bs.100.000.000 en mejorarla; y la vendería entonces en Bs.300,000.000. Suponga que el costo de las mejoras sería gastado en una sola exhibición al término de 3 años y debería tomarse prestado del banco a un interés del 12% anual. Si se supone que la tasa de interés es del 10%, calcule el valor presente de esta segunda alternativa y decida entonces cuál de las dos posibilidades representa la mejor estrategia para el comerciante. Solución Consideremos en primer término el dinero que debería tomar prestado con objeto de mejorar la propiedad. El interés debe pagarse al 12% por un periodo de 2 años, de modo que cuando la propiedad se venda, este préstamo se habrá incrementado a Bs.100.000.000(1.12)2 = Bs.125,440.000 Los ingresos netos de la venta, después de liquidar este préstamo, serán de Bs.300.000.000 – Bs.125.440.000 = Bs.174.560.000 Este ingreso lo recibirá dentro de 5 años, a una tasa de interés del 10%, obtenemos un valor presente de Bs.174.560.000(1.1)-5 = Bs.108.400.000 Dado que el valor presente de una venta inmediata es de sólo Bs.100.000.000, es mejor conservar y mejorar la propiedad para venderla dentro de 5 años. Observe la forma en que pueden realizarse decisiones entre estrategias comerciales alternativas comparando sus valores presentes.

151

Ejemplo 8 Crecimiento de una población La población de cierta nación en desarrollo está dada en millones de habitantes por la fórmula

teP 02.015 en donde t es el tiempo medido en años desde 1970. ¿Cuándo alcanzará la población los 25 millones, suponiendo que esta fórmula mantiene su validez? Solución Haciendo P = 25, obtenemos la ecuación

te 02.01525 o bien

667.115

2502.0 te

De nuevo, tenemos una ecuación en la cual la incógnita aparece como exponente y podemos despejar t tomando logaritmos en ambos lados. Sin embargo, dado que la exponencial tiene base e, es más fácil tomar logaritmos naturales, puesto que e002' = 1.667 es lo mismo que 0.02t = ln 1.667. En consecuencia t = (ln 1.667)/0.02 = 0.5108/0.02 = 25.5. Por lo tanto, la población tarda 25.5 años en alcanzar los 25 millones, lo que ocurrirá a mediados de 1995. Productividad Marginal Considere que un fabricante tiene una cantidad fija de disponibilidad de capacidad de producción pero con un número variable de empleados. Denotemos con u la cantidad de mano de obra empleada (por ejemplo, u podría ser el número de horas-hombre a la semana de los empleados de la industria) y sea x la cantidad de producción (por ejemplo, el número total de artículos producidos a la semana). Entonces x es función de u y podemos escribir x = f(u). Si la cantidad de mano de obra u sufre un incremento u, la producción * se incrementa a x + x en donde, como de costumbre, el incremento en la producción está dado por

)()( ufuufx

La razón

u

ufuuf

u

x

)()(

152

Proporciona la producción adicional promedio por unidad extra de mano de obra correspondiente al incremento u. Si ahora hacemos que u tienda a cero, esta ra-zón se aproxima a la derivada dx/du, que se denomina productividad de mano de obra marginal. Así

Productividad marginal = u

ufuuf

u

x

du

dx

xx

)()(limlim

00

De modo que la productividad de mano de obra marginal mide el incremento en la producción por unidad de mano de obra adicional, por ejemplo, por hora-hombre adicional, cuando se realiza un pequeño incremento en la cantidad de mano de obra empleada. Está dada por la derivada f'(u). Producción Marginal Suponga que un inversionista se enfrenta con el problema de saber cuánto capital debe invertir en un negocio o en una empresa financiera. Si se invierte una cantidad S, el inversionista obtendrá cierto rendimiento en la forma de ingresos de, digamos, Y bolívares por año. En general, la producción y será una función del capital S inver-tido: Y = f(S). En un caso característico, si S es pequeña, la producción también será pequeña o aun cero, puesto que la empresa no dispondrá del capital suficiente a fin de operar con eficiencia. A medida que S aumenta, la eficiencia de operación mejora y la producción crece rápidamente. Sin embargo, cuando S se hace muy grande, la eficiencia puede otra vez deteriorarse si los demás recursos necesarios para la ope-ración, tales como la mano de obra e insumos, no puede crecer lo suficiente a fin de mantener el ritmo del capital extra. En consecuencia, en el caso de grandes capitales S, la producción Y puede descender de nuevo a medida que S continúa su crecimiento. La producción marginal se define como la derivada dY/dS. Se obtiene como el valor límite de Y/ S y representa la producción por bolívar adicional invertido cuando se realiza un pequeño incremento en el capital. Tasa de Impuesto Marginal Sea T la cantidad de impuestos pagados por un individuo o por una corporación cuando el ingreso es /. Así, podemos escribir T = f(I). Si todas las demás variables permanecen fijas, un incremento I en / provoca un aumento en T dado por T = /(/ + I) — f(I). La razón AT/ I representa la fracción del incremento del ingreso que se pierde en forma de impuestos. Si hacemos que I tienda a cero, esta razón se aproxima a la derivada dT/dl, la cual se denomina la tasa de impuestos marginal. Representa la proporción de un incremento infinitamente pequeño en el ingreso que debe pagarse en forma de impuesto. La tasa de impuestos marginal está determinada por las escalas graduadas de impuestos. Los individuos con ingresos muy bajos no pagan impuestos, y por debajo de cierto nivel de ingreso la tasa marginal es cero. A medida que el ingreso aumenta, la tasa de impuestos marginal aumenta hasta que alcanza un nivel máximo igual a la proporción máxima que puede pagarse de acuerdo con la escala.

153

Bibliografía

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Ciencias Sociales. Mc Graw Hill. GALLO, C. (2000) Matemáticas para Estudiantes de Administración y

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Santa Fé de Bogotá JAGUAN, A. (1991) Matemáticas Financieras. Venediciones. Caracas LINCOYAN, P.(1997) Matemáticas Financieras. Mac Graw Hill. Santa Fé de

Bogotá. VARELA, R. (1991) Evaluación Económica de Decisiones. Grupo Editorial

Norma. Caracas. Páginas Webs: http://www.geocities.com/ggabriell/micro-material.htm

http://www.auladeeconomia.com/

http://soko.com.ar/matem/matematica/Limite.htm

http://www.eumed.net/

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