Santillana Matematica Basico

Secundaria 3 Matemáticas33Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

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DISTRIBUCIÓN GRATUITAPROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 3 santillana integra1 1Matematicas 3 santillana integra1 1 5/16/08 7:02:41 PM5/16/08 7:02:41 PM

Querido alumno (a) de secundaria:

Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia.Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA

Escuela Grupo

Nombre del alumno (a)

English 3 Santillana Integral co2 2English 3 Santillana Integral co2 2 5/16/08 1:10:01 PM5/16/08 1:10:01 PM

Matemáticas33

El libro Matemáticas 3 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

con la dirección de Clemente Merodio López.

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas,Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo

Mate 3 sugere B1.indd 1Mate 3 sugere B1.indd 1 5/16/08 9:30:22 AM5/16/08 9:30:22 AM

Matemáticas33Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,


3

Matematicas 3 integral cov.indd 1 4/9/08 4:51:22 PM

Luis Briseño AguirreGuadalupe Carrasco LiceaMaría del Pilar Martínez TéllezÓscar Alfredo Palmas VelascoFrancisco Struck ChávezJulieta del Carmen Verdugo Díaz

D. R. © 2008 Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas, Francisco Struck, Julieta del Carmen VerdugoD. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-2226-1Primera edición actualizada: junio, 2008

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

El libro Matemáticas 3. Santillana Integral fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo Trujano MendozaCoordinación editorial: Roxana Martín-Lunas RodríguezRevisión técnica: Valentín Cruz y Enrique VegaCorrección de estilo: Eduardo Mendoza TelloDiseño de portada: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones de personajes de portada: Teresa MartínezDiseño de interiores: Carlos Vela TurcottCoordinación de Diseño: José Francisco Ibarra MezaCoordinación de Iconografía: Germán Gómez LópezIlustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela TurcottFotografía: Corel Stock Photo, Benjamín Trujano Becerril y Archivo SantillanaDiagramación: Héctor Ovando Jarquín

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Diseño: José Francisco Ibarra MezaCoordinación de Iconografía: Germán Gómez LópezDigitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales NeriaFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Santillana Integral son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

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Primera reimpresión: febrero, 2009

>PRESENTACIÓNÓPRESENTACIÓN>PRESENTACIÓNPRESENTACIÓN

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 3 propone a los estudian-tes de tercer grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, pro-poner soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y com-

pañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de proble-mas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para

llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estu-diantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglome-

rado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tra-dicional en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemáti-ca, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la forma-

ción del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver

problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como en-tes pensantes, creadores y transformadores.

3Presentación


> ESTRUCTURA DE TU LIBROESTRUCTURA DE TU LIBRO> ESTRUCTURA DE TU LIBROS UC U U O

Matemáticas 1

Bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarro-llarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico ypensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la informa-ción. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una uni-dad y no como una materia fragmentada.

Para comenzar

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que inclui-rá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes e indica el inicio de la actividad tres de esa lección. Cada lección puede tener de tres a seis partes. Cada parte consta de una a tres páginas, el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

Lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas cla-ves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 310.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una apli-cación que se ha resaltado por su utilidad o importan-cia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

El pantógrafo es un aparato que se utiliza para copiar dibujos o figuras demanera amplia o reducida. Tiene cuatro varillas articuladas que pueden fijar-rrse en varias posiciones. El extremo de una de ellas se fija en la mesa de traba-jo y con una punta se recorre el contorno de la figura que se desea copiar. Un lápiz o pluma en el otro extremo dibuja el dibujo ampliado o reducido. Con-sigue un pantógrafo y úsalo para hacer ampliaciones o reducciones de tus di-bujos.

Veamos cómo funciona un pantógrafo. En la siguiente figura, OP’ es paralelaa AM, AP es paralela a A’P’ y P es el punto medio de OP’. Observa el triángulo OA’P’ y utiliza el teorema de Tales para ver que OA mide la mitad de OA’.

Marcamos con azul las partes de la figura correspondientes a las varillas del pantógrafo. El punto O representa el punto fijo en la mesa; el punto A indicala posición inicial de la punta del pantógrafo, que se moverá sobre una figura.El punto A’ indica la posición inicial del lápiz que describirá la nueva figura.

A

A’

M

P’

P

O

... necesitas recordar:

1. Cómo trazar rectas paralelas.2. Cuándo dos triángulos son semejantes.

• Determinación del teorema de Tales mediante construcciones con seg-mentos.

• Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

Pie de foto

un plano cartesiano y grafica las siguientes ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x – 1.

8. Dibuja la gráfica de la ecuación y = x2.

9. Copia y completa la tabla de valores de y = 2x2 – 7x77 – 3

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6y 6 -9

Dibuja la gráfica de la ecuación.

10. Se lanzan 3 volados sucesivos y se van anotandolos resultados.a) ¿El resultado que se obtiene en el primer vola-

do afecta la probabilidad de que en el segun-do salga sol? ¿Y el resultado de los dos primerosvolados afecta la probabilidad de que en el ter-rrcero salga sol?

b) Calcula la probabilidad de los siguientes even-tos:A: Salen sólo solesB: Salen sólo águilas

c) ¿Pueden ocurrir los eventos A y B simultánea-mente?

d) Calcula la probabilidad de obtener tres resul-tados iguales.

Las figuras geométricas más simples son los triángulos.Quizá por su simpleza, los triángulos han fascinado a matemáticos, artistas y arquitectos. Este “triángulo im-posible” se ha hecho posible ¿te imaginas cómo?

En la delegación Iztacalco, de la Ciudad de México, hay una estructura que parece un “triángulo imposible”, laconstrucción de esta obra pertenece al escultor Enrique Espinosa Fernández.Analiza la fotografía ¿es realmente posible construir triángulos así, o será un truco fotográfico?

En realidad es un tru-co “escultórico” como podrás observar en la si-guiente foto del “trián-gulo”.

Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques cada uno compuesto de varias lecciones, cada una con su número por bloque. Esta distribución responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada.

Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

Enlace

Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que con-firmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

4 Matemáticas 1


Estructura del libro

La emigración de mexicanos hacia Estados Unidos

En demografía se le llama migración al desplazamiento de personas de un lu-gar a otro para cambiar su residencia. También se suelen incluir los desplaza-mientos de personas que durante ciertas épocas del año se trasladan a regionesdonde trabajan algún tiempo y luego regresan a su lugar de origen, aun cuandoen estos casos no hay un cambio permanente en la residencia; a esta última se le llama migración circular.La emigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista dellugar que éstas abandonan; la inmigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista del lugar al que llegan a residir o a trabajar.

Aunque los movimientos migratorios pueden darse dentro de un país o dentro de un estado (usualmente del campo a las ciudades), en México y otros paísesde América Latina el mayor flujo migratorio que se presenta es hacia Estados Unidos. En nuestro país este flujo es favorecido porque compartimos con los ve-cinos del norte una frontera de más de tres mil kilómetros.La pérdida de población en nuestro país por la emigración a Estados Unidos ha sido sistemática desde la década de 1960 y su efecto es cada vez más notable: se estima que en la década de 1980 fue de 2.1 a 2.6 millones de mexicanos, en lade 1990 fue de alrededor de 3.3 millones, y en los primeros 4 años de este siglo los emigrantes a ese país ya sumaban alrededor de 1.6 millones.

En el punto de encuentro del bloque 2 establecimos que,para determinar el área de una figura, los griegos cons-truían –con regla y compás– un cuadrado con la mismaárea que la figura. A este proceso le llamaban cuadrar lafigura o encontrar la cuadratura de la figura.Dijimos que los griegos encontraron la forma de cuadrar cualquier polígono, pero en aquella ocasión sólo te mos-traremos cómo lo hacían para rectángulos y triángulos.Ahora analizaremos el método que usaban para cuadrar cualquier polígono.

• Traza un triángulo rectángulo ABC con el ángulo recec-to en B, traza la altura por B y llama D al pie de la la al-tura, tal como lo hicimos en el punto de encuentrtro delbloque 2.

Sabemos que los triángulos ABC, ADB y BDC son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales, enparticular, en los triángulos ABC y ADB

ABAC

ADAB

= o sea:

(AB(( )2 =AC AD (1)

Esto, geométricamente significa que el cuaddrado cons-truido sobre el cateto AB es igual, en área, al rerectánguloformado por el segmento AD y la hipotenusa ACC.

Haciendo lo mismo pera los triángulos ABCC yy ADADC pode-mos concluir que

(BCC))22 = AC DC (2)

o, dicho de oe otra forma: el cuadrado construido sobre elcateto BCBC, tiene la misma área que el rectángulo formadopor elel segmento DC y la hipotenusa AC.

1) y (2) Tenemos que:Sumando las ecuaciones (1(AB(( )2 + (BC)2 = AC(AD(( + + DC)(AB(( )2 + (BC)2 = (AC(( )2.

emos observar que:Juntando las figuras pode

La suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa.

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2.

A C

B

O

A C

B

O

AA C

B

A C

BB

Para terminar

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

MatemáTICas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan va-liosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones preci-sas para que realice el trabajo mecánico.

Punto de encuentro

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores.

4. Copia la figura en tu cuaderno y completa el triángulo A’B’C’, sabiendoque A’B’C’ es homotético a ABC con razón de homotecia 3. Indica el cen-tro de homotecia.

5. Copia la figura en tu cuaderno y complétala, sabiendo que el triánguloA’B’C’ es homotético al triángulo ABC. Indica el centro y la razón de ho-motecia.

6. La ilustración que aparece al principio de la lección muestra un conjun-to de matrioshkas, artesanía tradicional rusa. Elige de la foto dos de ellasy encuentra el centro y la razón de homotecia entre ellas.

B

A

C

A’

B

B’

A

C

A’

Una nueva actitud

En esta sección mostramos que las Matemáticas se apli-can a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utili-zan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

Al final de tu libro se encuentran cuatro anexos:

Glosario. Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su signifi-cado.Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el docente contiene las referencias utilizadas para la elaboración de este libro.Búsqueda de información en Internet. Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales rele-vantes para tu curso.Programa de la asignatura. Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estu-dio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación de los contenidos con respecto al programa.

5


> CONTENIDOS

6 Matemáticas 1

• Significado y uso de las operaciones

Operaciones combinadas

• Formas geométricas Figuras planas Rectas y ángulos• Medida Estimar, medir y calcular

• Representación de la información Gráficas

Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

BLOQUE 1 14

LECCIÓN 1 TRIÁNGULOS Y CUADRÁNGULOS 17

Aplicación de los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas.

LECCIÓN 2 TODO Y POR PARTES 25 Simplificación de cálculos con expresiones algebraicas

tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorización de expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2

LECCIÓN 3 ¿QUÉ TAN RÁPIDO? 35 Análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno

que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

LECCIÓN 4 ÁNGULOS 43 Determinación de la relación que existe entre un ángulo

inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

LECCIÓN 5 REBANADAS Y CORONAS 55 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales así

como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

LECCIÓN 6 TANGENTES Y SECANTES 63 Determinación, mediante construcciones, de las posiciones

relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias entre sí.

Caracterización de la recta secante y la tangente a una circunferencia.

LECCIÓN 7 SACÁNDOLE JUGO A LA INFORMACIÓN 71

Diseño de un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elección de la forma más adecuada para presentar, organizar y representar la información en forma tabular o gráfica.

MatemáTICas 90Punto de encuentro 92Una nueva actitud 94


7Contenido


• Significado y uso de las literales Ecuaciones

• Formas geométricas Semejanza

• Análisis de la información Porcentajes Noción de probabilidad



EJE

• Significado y uso de las literales Relación funcional Ecuaciones

• Formas geométricas Semejanza• Transformaciones Movimientos en el plano


EJE


BLOQUE 2 98

LECCIÓN 1 DE CUADRÁTICAS Y CÚBICAS 101 Uso de ecuaciones no lineales para modelar situaciones

y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando factorización.

LECCIÓN 2 ¿SON O SE PARECEN? 111

Construcción de figuras semejantes y comparación de las medidas de los ángulos y de los lados.

Determinación de los criterios de semejanza de triángulos.

Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos.

Aplicación de la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

LECCIÓN 3 USO E INTERPRETACIÓN DE ÍNDICES 125

Uso e interpretación del índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.

LECCIÓN 4 SIMULANDO 137

Uso de la simulación para resolver situaciones probabilísticas.


BLOQUE 3 158

LECCIÓN 1 TALES POR CUALES 161

Determinación del teorema de Tales mediante construcciones con segmentos.

Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

LECCIÓN 2 GRANDE Y PEQUEÑO 171

Determinación de los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que −1.

Determinación de las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura.

Comprobación de que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.


8 Matemáticas 1

LECCIÓN 3 UNA DEPENDE DE LA OTRA 183

Reconocimiento de la presencia de cantidades que varían una en función de la otra en diferentes situaciones y fenómenos de la Física, la Biología, la Economía y otras disciplinas y la representación de la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

Interpretación, construcción y uso de gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

Interpretación y elaboración de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

LECCIÓN 4 PARA UN LADO Y PARA EL OTRO 195

Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

Interpretación, construcción y uso de gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

Establecimiento de la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.


BLOQUE 4 218

LECCIÓN 1 HABLEMOS DE PITÁGORAS 221

Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

LECCIÓN 2 UN VISTAZO A LA TRIGONOMETRÍA 231

Reconocimiento y determinación de las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados.

Cálculo de medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolución de problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

LECCIÓN 3 UNA TRAS OTRA 243

Determinación de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.



• Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas

• Medida Estimar, medir y calcular



EJE




9Contenido

LECCIÓN 4 POCOS O MUCHOS 253 Interpretación y comparación de las representaciones

gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

Análisis de la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.


BLOQUE 5 268

LECCIÓN 1 GIRAR Y GIRAR 271 Anticipación de las características de los cuerpos que se

generan al girar o trasladar figuras.

Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

Anticipación y reconocimiento de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto.

Determinación de la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

LECCIÓN 2 VOLUMEN Y MÁS VOLUMEN 281 Elaboración de las fórmulas para calcular el volumen de

cilindros y conos. Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos.

Cálculo de datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

LECCIÓN 3 ¿CAJAS CON BRAZOS? 287 Interpretación, elaboración y uso de gráficas de caja-brazos

de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

LECCIÓN 4 DE TODO UN POCO 297 Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática

o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

MatemáTICas 302Punto de encuentro 304Una nueva actitud 306Glosario 310Bibliografía 312Búsqueda de información en Internet 314Programa de la asignatura 315

• Significado y uso de las literales Ecuaciones

• Formas geométricas Cuerpos geométricos• Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular

• Representación de la información Medidas de tendencia central y

dispersión


EJE




> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?

10 Matemáticas 1

> ENLACE

1. a) Usa una regla y un compás para construir en tu cuaderno un triángulo que tenga como lados a los siguientes seg-mentos.

Compara tu triángulo con el de tus demás compañeros. ¿Todos los triángulos que obtu-vieron son congruentes? ¿Por qué?

b) Ahora construye un triángulo que tenga a los segmentos a y b como lados adyacentes y al ángulo � como el ángulo comprendido por ellos.

¿Se puede construir más de un triángulo con estos datos? ¿Por qué?

c) Construye un triángulo que tenga al segmento c como uno de sus lados, de modo que los ángulos � y � sean los ángulos adyacentes al lado c.

¿Cuántos triángulos diferentes puedes cons-truir con estos datos? ¿Por qué?

d) Construye un triángulo que tenga a �, � y � como sus ángulos interiores.

¿Cuántos triángulos con estas características puedes construir?Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

a

b

c

a

b

�

c�

�

��

�


Enlace 11

2. El perímetro del rectángulo de la figura es de 50 cm. Escribe una ecuación que represente al perímetro y resuélvela.

3. El perímetro de un rectángulo mide 30 metros. Si su largo se disminuye en 3 metros y su ancho se aumenta 2 metros, el rectángulo se vuelve un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Usa una literal para representar el largo del rectángulo y otra para representar el ancho y escribe una ecuación que describa la condición: “El perímetro del rectángulo mide 30 metros”. Simplifica la ecuación lo más que se pueda.

Usando las mismas literales escribe una expresión algebraica para la condición: “el largo del rectángulo se disminu-ye 3 metros”, y otra para la condición: “el ancho del rectángulo se aumenta en 2 metros”.

¿Cuál ecuación representa el hecho de que las nuevas dimensiones forman un cuadrado?

Despeja una de las incógnitas en la primera ecuación y sustitúyela en la segunda. ¿Cuántas incógnitas tiene la nue-va ecuación?

Resuelve la última ecuación y encuentra las dimensiones del rectángulo. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

4. Construye el siguiente triángulo en una cartulina. ¿Cuánto miden los ángulos �, � y �? ¿Puedes cubrir el plano con esta figura? ¿Por qué?

(2x – 1) cm

x cm

�

�

�

36°

36° 36°

15 cm

Desde la época de los griegos –creadores de la Geometría-, se acostumbra denotar a los ángulos mediante letras griegas. � (alfa), � (beta) y � (gama) son las tres primeras letras del alfabeto griego.


12 Matemáticas 1

> ENLACE

Realiza 10 copias del triángulo y recórtalas por la línea punteada. Con dos de las piezas forma distintos polígonos,

como los siguientes:

¿Puedes cubrir el plano con estas nuevas piezas? ¿Por qué? Discute tus respuestas con tus demás compañeros.

5. Encuentra los valores de los ángulos I a VII que se forman al cortar dos rectas paralelas con una transversal. Argu-menta tus respuestas.

III

III

VIV

VIIVI

33°


13Enlace

6. Dibuja un plano cartesiano y grafica las siguientes ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x – 1.

8. Dibuja la gráfica de la ecuación y = x2.

9. Copia y completa la tabla de valores de y = 2x2 – 7x – 3

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6y 6 -9

Dibuja la gráfica de la ecuación.

10. Se lanzan 3 volados sucesivos y se van anotando los resultados. a) ¿El resultado que se obtiene en el primer vola-

do afecta la probabilidad de que en el segun-do salga sol? ¿Y el resultado de los dos primeros volados afecta la probabilidad de que en el ter-cero salga sol?

b) Calcula la probabilidad de los siguientes even-tos:

A: Salen sólo soles B: Salen sólo águilasc) ¿Pueden ocurrir los eventos A y B simultánea-

mente?d) Calcula la probabilidad de obtener tres resul-

tados iguales.


14

>BLOQUE 1


15

Efectuar o simplificar cálculos con expresio-nes algebraicas tales como:

(x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a).

Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

Aplicar los criterios de congruencia de trián-gulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circun-ferencia y entre circunferencias.

Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

Determinar la relación entre un ángulo ins-crito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de secto-res circulares y de la corona.

Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pen-diente de la recta que lo representa.

Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabu-lar o gráfica más adecuada para presentar la in-formación.


Forma, espacio y medida Manejo de la información

EJE 2EJE 1 EJE 3

> Lo que aprenderás en este bloque

¿Arte o Geometría?

Los artistas modernos juegan con las figuras geométri-cas, las combinan, las sobreponen, las iluminan y prácti-camente les dan vida.

Usualmente se identifica lo abstracto con lo frío y lo in-humano, con aquello que se piensa pero no se siente.También se identifica lo abstracto con la ciencia, y se piensa a las matemáticas como la más abstracta de las ciencias.

La capacidad de abstraer, sin embargo, es la más huma-na de las capacidades, la que más nos distingue de los animales.

La abstracción no es alejarse de la realidad, por el contrario; en la ciencia, la abstracción es tratar de entender la realidad

para poder sentirla concientemente; en el arte, el llamado arte abstracto, es el intento de expresar lo más profundo del ser humano, eso que uno no puede expresar con palabras, ni con retratos, ni con paisajes.


16 Bloque 1

>PARA COMENZAR... necesitas recordar:

1. Cómo se copia un ángulo, con regla y compás.2. Qué significa que dos figuras sean congruentes y cuáles son los criterios

de congruencia de triángulos. 3. Cuáles son las propiedades de los ángulos entre paralelas.4. Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un triángulo. 5. Cuanto vale la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

> En esta lección, abordarás el tema de:

• Aplicación de los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas.


17Lección 1 > Triángulos y cuadrángulos

>1º1> Triángulos y cuadrángulos

>>111ººº>1º

Josefina observó a unos campesinos que construían un salón para la escuela de la comunidad. Los campesinos usaron dos cuerdas del mismo tamaño anu-dadas en sus puntos medios, extendieron las cuerdas y clavaron estacas en los cuatro extremos; luego colocaron vigas de madera uniendo las cuatro estacas. Reproduce en tu cuaderno la construcción que hicieron los campesinos y comprueba que la figura que se obtiene es un rectángulo.

Reúnanse en equipo y cada quien, usando un compás y una regla sin graduar, reproduzca en su cuaderno el triángulo de la siguiente figura, copiando las longitudes de los tres lados.

Usando un compás y una regla sin graduar reproduce en tu cuaderno el trián-gulo de la siguiente figura, copiando dos de sus lados y el ángulo comprendi-do entre ellos.

Usando un compás y una regla sin graduar reproduce en tu cuaderno el trián-gulo de la siguiente figura, copiando uno de sus lados y los dos ángulos adya-centes a él.

Discute con tus compañeros de equipo la relación que existe entre los criterios de congruencia de triángulos y la actividad que acabas de realizar.Compartan sus conclusiones del equipo con las del resto del grupo.

Observa que para copiar un triángulo basta conocer: • los tres lados (LLL),• dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL),• un lado y los ángulos adyacentes a él (ALA).

Actividad colectiva

A

A

A

B

C

C

B

B

C


>2º

18 Bloque 1

Para reproducir en tu cuaderno el siguiente cuadrilátero traza una de las diagonales y luego copia los dos triángulos en los que la diagonal divide al cuadrilátero, usando los criterios de congruencia de triángulos.

Mide los lados de los siguientes cuadriláteros:

¿Mide el lado AB lo mismo en los tres cuadriláteros? ¿Y los lados BC, CD y DA? ¿Son congruentes los cuadriláteros? Dos figuras planas son congruentes si una de ellas puede ser transformada en la otra por medio de una rotación, una traslación o una reflexión. Una manera práctica de comprobar que dos figuras son congruentes es recor-tarlas y verificar que, al sobreponerlas, coinciden.Si quieres copiar un cuadrilátero ¿basta conocer las medidas de los cuatro la-dos? Discute tu respuesta con el resto del grupo.

Se dice que un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º.

Actividad individual

C

DA

B


Cuadrilátero convexos Cuadrilátero no convexos

B

C

A

DA

D

B

C

C

B

AD



Construye, con tus compañeros de equipo, un cuadrilátero convexo que ten-ga como lados a los segmentos AB, BC y DA de la siguiente ilustración. El án-gulo comprendido entre los lados AB y BC debe medir 40°.

Comparen el cuadrilátero de su equipo con los de los demás equipos. ¿Son todos congruentes? Traza la diagonal AC del cuadrilátero ¿Hay más de un triángulo con lados AB, BC y un ángulo de 40º entre ellos? ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único? ¿Hay más de un triángulo con lados AC, CD y DA? ¿Cuál criterio de con-gruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

Para determinar si dos cuadriláteros son congruentes, basta trazar una dia-gonal y analizar la congruencia de los triángulos en que la diagonal divi-de al cuadrilátero.

Construye con tu equipo un cuadrilátero convexo que tenga como lados a los segmentos AB, BC, CD de la siguiente figura. El ángulo en el vértice B debe medir 30º y el ángulo en el vértice C, 50º.

Comparen el cuadrilátero de su equipo con los de los demás equipos. ¿Son to-dos congruentes? Traza la diagonal BD del cuadrilátero. ¿Hay más de un triángulo con lados BC, CD y un ángulo de 50º comprendido entre ellos? ¿Cuál criterio de con-gruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único? ¿Hay más de un triángulo con lados AB, BD y DA? ¿Cuál criterio de con-gruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

Actividad colectiva

C D

Actividad colectiva

BA

B C

D A

BA

B C

C D


>3º

20 Bloque 1

Actividad individual Traza dos segmentos de recta que se corten en un punto O. Con centro en O traza una circunferencia y llama A, B, C y D a los puntos donde la circun-ferencia corta a los segmentos de recta.

Une los puntos A, B, C y D para formar un cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadri-látero obtuviste? Compara tu respuesta con la de tus demás compañeros.¿Qué puedes decir de los triángulos ABO y CDO? ¿Son equilateros, isósceles o escalenos? ¿Son congruentes? ¿Por qué?¿Son paralelos los lados AB y CD del cuadrilátero? ¿Por qué?¿Qué puedes decir de los triángulos AOD y BOC? ¿Son paralelos los lados AD y BC? ¿Por qué?

¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Son iguales los cua-tro ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Cuánto mide cada uno de ellos? ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD?Compara tus resultados con los del resto del grupo.

Traza un par de segmentos de recta que se corten en un punto O. Sobre uno de ellos traza con tu compás un par de puntos A y C que se encuentren a la misma distancia de O. Cambia la abertura del compás y sobre el otro segmento señala un par de puntos B y D que se encuentren a la misma distancia de O.


A

C

DO

B

O

O

A B

D C

A B

D C



Une los puntos A, B, C y D para formar un cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadri-látero obtuviste? Compara tu respuesta con la de tus demás compañeros.

¿Qué puedes decir de los triángulos ABO y CDO? ¿Son congruentes? ¿Por qué?¿Son iguales los ángulos DCA y CAB? ¿Por qué?¿Son paralelos los lados AB y CD?Qué puedes decir de los triángulos AOD y BOC? ¿Son congruentes? ¿Por qué?¿Son iguales los ángulos DAC y ACB? ¿Por qué? ¿Son paralelos los lados AD y BC? ¿Por qué?¿Qué puedes decir de los ángulos opuestos del cuadrilátero? ¿Por qué?¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD? ¿Qué puedes decir de las diagonales del cuadrilátero?Compara tus respuestas con las de tus compañeros del grupo.

Traza un par de segmentos de recta AC y BD, de distintos tamaños, que se corten perpendicular-mente en sus puntos medios. Llama O al punto donde se cortan.

¿Qué puedes decir del cuadrilátero ABCD? ¿Qué puedes decir de los triángulos AOB, BOC, COD y DOA? ¿Son paralelos los lados opuestos el cua-drilátero? ¿Miden lo mismo los cuatro lados? ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD? Compara tu res-puesta con las de tus compañeros.

Traza un par de segmentos de recta AC y BD del mismo tamaño, que se cor-ten perpendicularmente en sus puntos medios. Llama O al punto donde se cortan.

¿Qué puedes decir del cuadrilátero ABCD? ¿Qué puedes comentar de los triángulos AOB, BOC, COD y DOA? ¿Son paralelos los lados opuestos el cuadrilátero? ¿Miden lo mismo los cuatro lados? ¿Cómo son los ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD? Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

Analiza la construcción narrada al inicio de esta lección y argumenta por qué se obtiene un rectángulo.

A

B

DO

C



C

C


A

B

D

O

A D

B

O


>4º

22 Bloque 1

1. Las diagonales de un cuadrilátero ABCD se cortan en el punto O for-mando un ángulo de 50º. El segmento OA mide 3 cm, el OB mide 5 cm, el OC mide 4 cm y el segmento OD mide 2 cm. Construye el cuadriláte-ro ABCD y usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.

2. Construye un cuadrilátero ABCD en el que el lado AB mida 5 cm, el lado BC mida 7 cm, el ángulo en el vértice A mida 70º, el ángulo en el vérti-ce B mida 110º y el ángulo en el vértice C mida 120º. Usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.

3. La diagonal AC de un cuadrilátero mide 10 cm, el lado AB mide 6 cm, el lado BC mide 5 cm, el lado CD, 4 cm y el lado DA, 7 cm.Construye el cuadrilátero ABCD y usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.

4. Argumenta, usando congruencia de triángulos, que si ABCD es un para-lelogramo (es decir, los pares de lados opuestos son paralelos), entonces los ángulos DAB y BCD son iguales. ¿Qué puedes decir de los ángulos CDA y ABC? ¿Qué relación hay entre los ángulos BAD y ADC?

5. Demuestra, usando congruencia de triángulos, que si ABCD es un para-lelogramo, entonces las longitudes de los lados opuestos son iguales.

A

B

D

C

A

B

D

C



Torito

En la siguiente figura se cumple que:• Los ángulos en A y en B son iguales.• Los segmentos OA y OB miden lo mismo.• OA es perpendicular a OE y OB es perpendicular a OD.

Demuestra quea) El triángulo AHB es isósceles.b) Los segmentos FH y CH miden lo mismo.c) Los triángulos AOD y BOE son congruentes.d) Los triángulos FEH y CDH son congruentes.

A

B

C

D

E

F

O H

>PARA TERMINAR


24 Bloque 1


1. Cómo se suman y cómo se multiplican números con signo.


• Transformación de expresiones algebraicas en otras equivalentes.


25Lección 2 > Todo y por partes

>1º2> Todo y por partes

Si se sabe que el área del rectángulo de la ilustración es 24 cm2, ¿cuál es el valor de x?

Discute tus respuestas con tus compañeros.

Escribe una expresión algebraica que represente el área de cada uno de los si-guientes rectángulos:

Ahora escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo amarillo y otra para el rectángulo verde de la figura 1. Compara estas expresio-nes con la que escribiste antes. ¿Qué relación hay entre estas tres expresiones?

Haz lo mismo para las figuras 2 y 3.Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.

1x

x – 1


2

4

3

6x

x

a b

c

Figura 1

Figura 2

Figura 3


26 Bloque 1

Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo verde. ¿Cuánto mide su base?

Ahora escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángu-lo azul y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo verde en térmi-nos de las áreas de los otros dos rectángulos (el azul y el bicolor).

Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo amari-llo siguiente. ¿Cuánto mide su base?

Escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo verde y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo amarillo en términos de las áreas de los otros dos rectángulos (el verde y el bicolor).Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.

Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo azul. ¿Cuánto mide su base?

b

a

8

b

c

a

x

2

10

Actividad colectiva



Escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo rojo y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo azul en términos de las áreas de los dos rectángulos.

Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.

Si los siguientes rectángulos tienen áreas ab y ac, respectivamente, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo formado con la unión de ellos dos?

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que resulta de quitarle el rectán-gulo de área ab al rectángulo de área ac?

Si a, b y c son tres cantidades, entonces

a(b + c) = ab + aca(b − c) = ab − ac

Copia las siguientes igualdades en tu cuaderno y llena los espacios en blanco:

3(b + ) = 3b + 15 a( + 2) = 5a +

a(10 − ) = 10a – 7 6( − 5) = 42 –

36 + = 9(4 + c) 16 – 8 = 2( − )

a

a

b

aca


c

b

ac


28 Bloque 1

Calcula, con tus compañeros de equipo, el área del siguiente rectángulo:

Calcula con tu equipo el área de los cuatro rectán-gulos en los que está dividido. ¿Coincide el área del rectángulo más grande con la suma de los cuatro rec-tángulos que lo componen?

Ahora escriban una expresión algebraica para el área del siguiente rectángulo:

Expresen el área de los cuatro rec-tángulos en los que está dividido el rectángulo mayor. Escriban el área del rectángulo mayor en términos de las áreas de los cuatro rectángu-los que lo componen.Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

Escriban una expresión algebraica que represente el área del rectángulo ABCD:

Igual que en los casos anteriores, representen el área del rectángulo ABCD en términos de las áreas de los cuatro rectángulos en los que está dividido. Comparen su respuesta con las de los otros equipos.

Expresen el área del rectángulo ABCD como suma de las áreas de los rectán-gulos ABGE y EGCD.Expresen el área del rectángulo ABCD como suma de las áreas de los rectán-gulos AFHD y FBCH.Comparen sus respuestas con las del resto del equipo.

Si a, b, c y d son cantidades cualesquiera, entonces:(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd

¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo formado con la unión de cua-tro rectángulos de áreas xz, xw, yz, yw? Haz un esquema del rectángulo. Com-para tu respuesta con las de tus compañeros.

>2º

1

3

4 2

2

3b

a

A F B

D H C

E G

b

a

c d

Actividad colectiva



>3º Con base en lo aprendido hasta ahora y con ayuda de la siguiente ilustra-

ción escribe el desarrollo del producto (x + a)(x + b).

Compara tu respuesta con las de tus compañeros de equipo.¿Cuánto deben valer los números a y b de la siguiente figura para que la ex-presión x2 + 7x + 12 represente el área del rectángulo?

Discutan sus respuestas con los otros equipos.

Ahora con tu equipo analiza la siguiente figura y, con base en tus observacio-nes, desarrolla la expresión (a + b)2.

Comparen su respuesta con las de los demás equipos.

Actividad colectiva

a

x

x b

x

x b

a

Actividad colectiva

a

b

a b


30 Bloque 1

¿Cuál es el valor del número a en la siguiente figura, si el área del cuadrado es x2 + 10x + 25?

Comparen su respuesta con las del resto del grupo.¿Cuánto mide la altura de los rectángulos azules de la siguiente ilustración? ¿Cuál es el área del rectángulo formado por los dos rectángulos azules? Re-presenta esta área de dos formas diferentes.

Con base en la figura anterior comprueba que:(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bdDiscutan sus argumentos con los demás equipos.

¿Cuánto mide la base del rectángulo ABCD? ¿Cuánto mide su altura? ¿Cuál es su área?

a

x

x a

Actividad colectiva

ba

d

c

Actividad colectiva

A B

D C

a

x a

x



Escriban una expresión algebraica que represente el área de la figura formada por la unión de los rectángulos amarillo y rojo de la siguiente ilustración.¿Tienen la misma área el rectángulo ABCD de la ilustración anterior y esta nueva figura?

Expresen el área de la figura formada por la unión de los rectángulos amari-llo y rojo como la resta de las áreas de dos cuadrados. Comparen su respues-ta con la de sus compañeros.

Un binomiobinomio es una expresión algebraica con dos sumandos. Las expresio-nes: a + b, x + 3, 5x – 4, ax – b, 3x3y6z5 + 18w7 son binomios.Dos binomios de la forma x + a, x – a se llaman binomios conjugadosbinomios conjugados.Aplicando la regla para multiplicar binomios que descubriste más arriba:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

a una pareja de binomios conjugados, se obtiene:

(x + a)(x – a) = x2 – a2

Si aplicas esa misma regla a un par de binomios con un término común binomios con un término común obtienes:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Y si la aplicas a un par de binomios iguales obtienes el binomio al cuadradobinomio al cuadrado:

(x + a)(x + a) = (x + a)2 = x2 + 2ax + a2

A estos tres casos particulares de productos de binomios se les conoce como productos notablesproductos notables.Un trinomiotrinomio es una expresión algebraica con tres sumandos.Expresiones como x2 + (a + b)x + ab o x2 + 2ax + a2 son ejemplos de trino-mios.Al proceso de multiplicar dos o más binomios se le conoce como desarro-desarro-llo del producto de binomiosllo del producto de binomios. Al proceso inverso, es decir, al proceso de ex-presar una suma de monomios como producto de dos o más binomios se le conoce como factorizaciónfactorización.

A B

D C

a

a

x a

x


32 Bloque 1

>4ºDesarrolla los siguientes productos de binomios y discute con tus compañeros las diferencias que observes.

(x + 2)(x + 3) (x + 2)(x − 3) (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x − 3)

Haz lo mismo con los siguientes productos:

(5 + y)(4 + y) (5 + y)(4 − y) (5 − y)(4 + y) (4 − y)(4 − y)

Y ahora con los siguientes:

(x + a)(x + b) (x + a)(x − b) (x − a)(x + b) (x − a)(x − b)

Desarrolla los siguientes productos de binomios:

(−x + 3)(−x + 5) (−x + 3)(−x − 5) (2x + 1)(2x + 3)

(3x + 4)(2x + 3) (3x + 4)(2x − 3) (−4x + 2)(3x − 3)


Recuerda que a – w = a + (−w).

Calculen el producto 22 × 18 como el producto de la pareja de binomios con-jugados (20 + 2)(20 – 2)Usando un procedimiento análogo, realicen los siguientes productos:101 × 99 31 × 49 42 × 58 105 × 95Compara tus resultados con los de otros equipos.

En tu cuaderno, factoriza los siguientes trinomios llenando los espacios en blanco:

x2 + (a + b)x + ab = (x + )(x + ) x2 + 7x + 12 = (x + )(x + )

x2 + 8x + 15 = (x + )(x + ) x2 + 5x + 6 = (x + )(x + )Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

Factoricen en equipo el siguiente trinomio:x2 + 2x – 8

¿Qué par de números multiplicados entre sí dan −8 y sumados dan 2?Factoricen los siguientes trinomios:x2 − 7x + 10 x2 − 2x − 8 x2 + 5x − 14Si el término independiente del trinomio tiene signo positivo ¿qué signos pue-den tener los dos números que buscas? ¿Y si tiene signo negativo? Discutan sus respuestas con sus compañeros del grupo.

Factoriza el siguiente trinomio:x2 + 2ax + a2

Ahora factoricen los siguientes:x2 + 6x + 9 x2 + 2x + 1 x2 − 4x + 4Discutan sus respuestas con sus compañeros del grupo.

Factoriza el siguiente binomio:x2 – a2

Y ahora los siguientes:x2 − 9 x2 − 1 x2 − 25Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.




Actividad colectiva

Actividad colectiva

Actividad colectiva


>PARA TERMINAR


>5º1. Desarrolla los siguientes productos de binomios: (x + 5) (a + 3) (2a + 3)(2a + 4) (−x + 1)(x + 1)

(z + 6)(2z – 4) (y – 2)(y + 5) (x + y)(z + 5)

(x − 2)(−x + 2)

2. Desarrolla los siguientes binomios cuadrados:

(2a − 3)2 (−w + 4)2 (2z + 3y)2 (x − 5)2

3. En tu cuaderno llena los espacios en blanco para que sean ciertas las siguien-tes igualdades:

( + 2)2 = y2 + y + 4 x2 – 9 = (x + )(x − )

( + )2 = x2 + 6xy + (5z + )2 = + + y2

4. Calcula los siguientes productos expresándolos como producto de bino-mios conjugados:

109 � 91 32 � 48 55 � 45

5. Realiza las siguientes operaciones, expresando la diferencia de números cuadrados como producto de binomios conjugados:

252 � 152 162 � 142 642 � 362

6. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

x2 – 16 y2 + 4y + 4 y2 + 5y + 4 a2 + 5a + 6

w2 – 3w – 40 w2 + 3w – 40 z4 – y2 −x2 + y2

7. En cada uno de los siguientes casos encuentra el sumando que falta para que el trinomio represente un binomio al cuadrado:

x2 + 4x + y2 – 6y + (2b)2 + 16b +

Torito

Con ayuda de la siguiente ilustración, desarrolla la expresión: (a + b)3

a

b

b

a

bb

a

a

b

a


34 Bloque 1


1. Qué son la abscisa y la ordenada de un punto y cómo se localizan puntos en el plano cartesiano.

2. Qué es la razón entre dos magnitudes.


• Análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.


35Lección 3 > ¿Qué tan rápido?

>1º3> ¿Qué tan rápido?

En la siguiente gráfica se representa el precio del tanque de 20 kilogramos de gas LP en tres meses consecutivos de un año.

¿Cuánto se incrementó el precio del tanque entre el primero y el segundo mes? ¿Y entre el segundo y el tercero? ¿Cuánto costaría el tanque en el cuarto mes si se mantuviera el mismo incre-mento?Si el precio del tanque se incrementara en 60 centavos a partir del cuarto mes, ¿cuánto costaría el tanque en el quinto mes? ¿Cómo se vería reflejado en la gráfica este incremento del precio?Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.

¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo equilátero de lado 1? ¿Y el de lado 3? ¿Y el de lado 7?

Sobre una hoja cuadriculada traza los ejes cartesianos y localiza los puntos (L, P), donde L es la longitud del lado del triángulo y P es el perímetro corres-pondiente. ¿Están alineados estos tres puntos?

¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo equilátero de lado x? ¿El punto de coordenadas (x, P(x)) está sobre la recta que contiene a los demás?

Actividad colectiva

190.4

190.2

190.0

189.8

189.6

189.4

189.2

189.0

188.8

188.6

188.4 1 2 3

Meses



36 Bloque 1

Cuando escribimos P(x) estamos señalando el hecho de que el perímetro de-pende de la longitud del lado x. Por ejemplo, en el caso de los triángulos equi-láteros P(x) = 3x

¿Cuál es la razón entre el perímetro del triángulo y la longitud del lado?

Discute tus respuestas con tus demás compañeros.

Recuerda que una razón es la comparación de dos cantidades por medio de una división.

¿Cuánto mide el perímetro de un cuadrado de lado 1? ¿Y el de lado 2? ¿Cuán-to mide el perímetro de un cuadrado de lado �? ¿Y el de lado x? Los puntos de coordenadas (L, P(L)) ¿están sobre una línea recta? ¿Todos los puntos de coor-denadas (x, 4x) están sobre esa recta?

Calcula la razón P(L)/L.

Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.

¿Cuánto mide el perímetro de un pentágono regular de lado x? ¿Cuál es la ra-zón entre el perímetro del pentágono y el lado? ¿Están alineados los puntos de coordenadas (x, P(x)) para cualquier valor de x?

Compara la gráfica de la actividad anterior con las de esta actividad. ¿Cuáles son sus diferencias y semejanzas? Discute tus observaciones con el resto del grupo.

¿Cómo es la gráfica (longitud, perímetro) para los hexágonos regulares? Si consideras un polígono regular de n lados ¿cuál es la expresión algebraica que representa su perímetro? ¿Cómo es la gráfica de la relación (lado, perímetro)?

Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.




>2ºActividad colectiva

Un vehículo se desplaza a rapidez constante de 0.5 km/min. ¿Qué distancia habrá recorrido después de media hora de viaje? ¿Y después de 1 hora? Ubica en un sistema de coordenadas cartesianas los puntos (t, d), donde t represen-ta el tiempo transcurrido y d la distancia recorrida y traza la recta que contie-ne a estos puntos.

Usa una escala como la de la siguiente ilustración:

¿Qué distancia recorrió el vehículo entre el minuto 20 y el minuto 50? ¿Y en-tre el 50 y el 80?

km80

70

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 min


38 Bloque 1

Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y llena los datos que faltan.

Entre el minuto ... y el minuto ...El tiempo

transcurridoes de ... minutos

La distancia recorrida es de ... km

La razón distancia entre tiempo es de ...

km/min

0 10

0 40

0 20

10 50

15 85

35 85

20 60

0 x

t1 t2

Haz un análisis semejante cuando el vehículo viaja a 1.2 km/min y a 0.8 km/min, llenando una tabla como la anterior para cada caso. Discute tus observa-ciones con tus compañeros.¿Hay alguna relación entre la inclinación de la recta y la velocidad del vehícu-lo? ¿Hay alguna relación entre la velocidad del vehículo y la razón distancia entre tiempo? ¿Hay alguna relación entre la inclinación de la recta y la razón distancia entre tiempo?

Discute tus respuestas con el resto del grupo.

La razón entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido es la veloci-dad promedio en el intervalo de tiempo.

vp = dt

Si un objeto se mueve a velocidad constante, la velocidad promedio coinci-de con la velocidad constante. En este caso, la distancia se expresa como:

d = vpt



>3º La bomba automática de un tinaco se prende cuando éste tiene 100 litros

de agua; si la bomba lleva al tinaco 50 litros de agua por minuto y el tinaco tie-ne capacidad para 800 litros de agua, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?¿Cuánta agua tiene el tinaco después de 1 minuto? ¿Y después de 2 minutos? Grafica en un sistema de ejes coordenados los puntos (t, l), donde t representa el tiempo y l los litros y traza la recta que pasa por ellos. Usa una escala como la de la siguiente figura:

¿Cuántos litros entraron al tinaco entre el minuto 2 y el minuto 7? ¿Y entre el minuto 5 y el minuto 10?Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y llena los datos que faltan.



La cantidad de agua vertida en el tinaco es

de ... litros

La razón “cantidad de agua vertida” entre

“tiempo transcurrido” es de ... l/min

0 2

0 7

3 10

2 11

4 13

0 x

t1 t2

¿Cómo se refleja en la gráfica el hecho de que el tinaco ya tuviera 100 litros al momento de prenderse la bomba?

Encuentra una fórmula que exprese la cantidad de litros que tiene el tinaco, en función del tiempo transcurrido. ¿Cómo se refleja en esta fórmula el hecho de que el tinaco ya tuviera 100 litros al momento de prenderse la bomba? ¿Qué relación hay entre la rapidez de llenado del tinaco y la razón “litros de agua vertidos” entre “tiempo transcurrido”? Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.

Litros800

700

600

500

400

300

200

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Minutos



40 Bloque 1

Cuando el tinaco de la actividad anterior está lleno, se abre una llave de la cual salen 20 l/min. ¿Cuánto tiempo tarda en prenderse la bomba?¿Cuántos litros han salido a los 10 minutos? ¿Cuánto queda en el tinaco? ¿Cuánto queda en el tinaco a los x minutos?Haz una gráfica minutos-litros de agua en el tinaco, usando la escala de la ac-tividad anterior. Grafica sólo los primeros 15 minutos.¿Qué diferencia tiene esta gráfica con las de las actividades anteriores?Copia la tabla en tu cuaderno y llena los datos que faltan.



La cantidad de agua que sale del tinaco es

de ... litros

La razón “cantidad de agua que sale” entre “tiempo

transcurrido” es de ... l/min

0 5

2 7

3 10

5 12

4 13

0 x

t1 t2

¿Cómo se refleja en la gráfica el hecho de que el tinaco tuviera 800 litros al momento de comenzar a vaciarse?

Encuentra una fórmula que exprese la cantidad de litros que tiene el tinaco, en función del tiempo transcurrido. ¿Cómo se refleja en esta fórmula el he-cho de que el tinaco tuviera 800 litros al momento de comenzar a vaciarse?¿Qué relación hay entre la rapidez de vaciado del tinaco y la razón “litros de agua que salen” entre “tiempo transcurrido”? Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.

Cuando la representación gráfica de la relación entre dos variables es una línea recta se dice que entre las variables existe una relación linealrelación lineal.La razón entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas se llama pendiente de la recta. Es decir, si los puntos de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) están sobre la recta, entonces

pendiente de la recta = y2 – y1

x2 – x1

Es decir, la pendiente de la recta es la razón de cambio entre los incremen-tos de las dos variables que modelan el fenómeno lineal.

Actividad colectiva


>PARA TERMINARPARA TERMINAR>PARA TERMINARPARA TERMINAR


>4º1. En la siguiente gráfica se

muestra el costo de un viaje en dos taxis distintos:

¿Cuánto costará un viaje de

10 km en el taxi 1? ¿Y en el taxi 2?

¿Cuál es el costo por kiló-metro en cada taxi?

Explica a qué se debe la di-ferencia de costos.

2. Si la base de un triángulo mide 8cm y su altura mide 2 cm ¿cuál es su área? ¿Y si la altura mide 4 cm?

¿Cuánto aumenta el área por cada centímetro de incremento de la altura? ¿Cuál es la razón de cambio del área respecto a la altura?

Grafica la relación en la que varía el área del triángulo con respecto a la altura.

3. El área de un triángulo mide 12 cm2. Si la base del triángulo mide 2 cm ¿cuánto mide su altura? ¿Y si la base mide 4 cm?

Grafica las parejas de puntos (base, altura) para distintos valores de la base. ¿Es constante la razón de cambio? ¿La gráfica es una recta?

4. En la figura de la derecha R representa un reflector instalado en el sue-lo. A 3 metros de R se encuentra un objeto que mide 2 metros de altura. ¿Cuánto mide la sombra del objeto si la distancia de la pantalla al reflec-tor es de 5 metros? ¿Y si está a 7 metros?

Grafica los puntos de coordenadas (distancia, sombra) para distintos valo-res de la distancia. . ¿Es constante la razón de cambio? ¿La gráfica es una recta?

5. Un tinaco de 1500 litros se surte de dos llaves. De la llave A sale el agua a razón de 20 litros por minuto y de la llave B sale el agua a razón de 15 li-tros por minuto.

Si sólo se abre la llave A ¿Cuántos litros habrán caído al tinaco después de 10 minutos? ¿Y después de media hora? Grafica las parejas de puntos (tiempo, litros de agua en el tinaco). ¿Es constante la razón de cambio? ¿La gráfica es una recta?

Torito

Una cisterna de 10000 litros tiene dos llaves de entrada. Con la primera llave se llena en 3 horas y con la segunda se llena en 4 horas.¿Cuánto tiempo tarda en llenarse si se abren las dos llaves a la vez?

R

sombra

2 cm

3 cm

Costodelviaje

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Kilómetros

Taxi 1

Taxi 2


42 Bloque 1


1. Qué significa que dos ángulos sean suplementarios.2. Cuál es la suma de los ángulos interiores de un triángulo.3. Cuál es la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.4. Qué propiedades tienen los ángulos formados por una recta que corta a dos rectas paralelas.5. Qué es una cuerda y qué es un diámetro de una circunferencia.


• Determinación de la relación que existe entre un ángulo inscrito y un án-gulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.


43Lección 4 > Ángulos

>1º4> Ángulos

¿Cuál de las dos jugadoras de fútbol tiene mayor ángulo de tiro, la que está en la posición A o la que está en B?

En tu cuaderno traza un segmento AB de cualquier longitud. Toma una tar-jeta de cartón y colócala de tal forma que dos de sus lados adyacentes pasen por los puntos A y B, como se muestra en la figura. Sobre el cuaderno marca con tu lápiz el punto P1 definido por la esquina de la tarjeta.

Mueve la tarjeta y señala un nuevo punto P2.

Repite esta operación junto con tu equipo al menos 15 veces. ¿Qué observan? ¿Los puntos que trazaron parecen estar sobre alguna figura conocida? ¿Cuál?Discute las observaciones de tu equipo con los demás equipos del grupo.

A

B

Actividad colectiva

A

P1

B

A

P2

P1

B


44 Bloque 1

Traza una circunferencia y uno de sus diámetros AB. Escoge un punto P so-bre la circunferencia.

Une P con A y con B. ¿Cuánto crees que mida el ángulo APB? Discute tu con-jetura con tus compañeros.¿Depende la medida de este ángulo del tamaño de la circunferencia? ¿Depen-de la medida de este ángulo del punto P que elegiste? Discute tus respuestas con tus compañeros.Une P con el centro O.

¿Por qué se puede afirmar que el triángulo OPA es isósceles? ¿Por qué son iguales los ángulos OPA y OAP? Llama � a la medida de estos dos ángulos.¿Qué tipo de triángulo es OPB? ¿Cómo son los ángulos OBP y OPB? Llama � a la medida de estos dos ángulos.¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores del triángulo APB? ¿Cuánto suman los ángulos � y �?

Compara tu resultado con los de tus compañeros del grupo.

Si el lado AB de un triángulo es diámetro de una circunferencia y el vér-tice opuesto a dicho lado está sobre la circunferencia, entonces el triángu-lo es rectángulo.


B

P

A

B

P

B

P

O

O

A

��

�

�O

A

A

BC

O



>2º Reúnanse en equipo y que cada quien recorte una tarjeta por una de sus

esquinas formando un ángulo cualquiera, como se muestra en la siguiente ilustración:

¿Qué relación hay entre los ángulos � y �? ¿Por qué? Observa que los lados de la tarjeta son paralelos.

En tu cuaderno traza un segmento AB y coloca la tarjeta recortada de modo que los dos lados adyacentes al ángulo � toquen a los extremos A y B del segmento.

Sobre el cuaderno señala el punto P1 defini-do por la esquina recortada de la tarjeta.

Mueve la tarjeta y señala otro punto P2, en la parte de arriba del segmento.

P1

A B

P1 P2

A B

�

�

�


46 Bloque 1

Repite esta operación al menos 15 veces. ¿Los puntos que trazaste parecen es-tar sobre alguna figura conocida? ¿Cuál?

Discute las observaciones de tu equipo con los demás compañeros del grupo.

En el mismo equipo, que cada quien repita la actividad anterior, sobre el mis-mo segmento AB, pero usando ahora la esquina que forma el ángulo � de la tarjeta y marcando los puntos en la parte de abajo del segmento.

Señalen al menos 5 puntos en sus cuadernos.

¿Los puntos que trazaron parecen completar la figura que conjeturaron?Discutan las observaciones de su equipo con los demás compañeros del grupo.

Actividad colectiva

Q1

A B

Q1Q2

A B

�

�



>3º Toda cuerda divide a la circunferencia en dos arcos de circunferenciacircunferencia.

Traza una circunferencia y señala una cuerda AB. En uno de los arcos de la circunferencia señala tres puntos P1, P2 y P3. En el otro arco señala otros tres puntos Q1, Q2 y Q3. Une cada uno de estos puntos con los extremos A y B de la cuerda.

Mide los ángulos AP1B, AP2B y AP3B y los ángulos AQ1B, AQ2B y AQ3B.¿Qué puedes decir de los tres primeros? ¿Y de los otros tres? ¿Qué relación hay entre los primeros y los segundos?Formula una conjetura y discútela con tus compañeros.

Traza una circunferencia con centro en O y del radio que quieras; dibuja una cuerda AB. Señala un punto P cualquiera en el arco mayor de la circunferen-cia. Une O con A y con B y también P con A y B.Mide los ángulos que se forman en O y en P.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y formula una conjetura.

A

B

Q2

Q1

Q3

P1P2

P3

A

B

P

A

B

O

O

O




48 Bloque 1

Traza una circunferencia con centro en O y del radio que quieras; dibuja una cuerda AB. Señala un punto Q cualquiera en el arco menor de la circunferen-cia. Une O con A y con B y también Q con A y B.Mide los ángulos indicados en la siguiente figura.

¿Sigue siendo válida la conjetura que formulaste en la actividad anterior? Dis-cute tu respuesta con el resto del grupo.

Al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia se le llama ángulo ángulo inscritoinscrito en la circunferencia.

Al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia se le llama ángulo centralángulo central.

Tanto los ángulos inscritos como los ángulos centrales definen un arco de circunferencia. En tal caso se dice que el ángulo subtiendesubtiende al arco de cir-cunferencia.

Hasta este momento has formulado varias conjeturas sobre el comporta-miento de los ángulos en la circunferencia. Sin embargo aún no tienes la certeza de que tus conjeturas sean ciertas.

En Matemáticas no basta observar muchos casos particulares para verifi-car la validez de una conjetura, es necesario dar argumentos válidos en to-dos los casos. En las siguientes actividades te guiaremos en el desarrollo de esos argumentos generales para que verifiques si tus conjeturas son co-rrectas.

O

A

P

B

O

A

P

B

O

A

B

O

A

B

O


Q

A

B

Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo central Ángulo central

Arco deCircunferencia



>4º Traza un triángulo cualquiera y prolonga uno de sus lados.

¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores � + � + �? ¿Cuánto vale la suma de los ángulos � y �? Expresa � en términos de � y �.Comenta tus respuestas con tus compañeros.

Traza una circunferencia y una cuerda AB; verifica que tu figura sea distinta a las de tus compañeros de equipo. Al elegir un punto C sobre el arco mayor de la circunferencia y trazar el triángulo ABC, el centro de la circunferencia puede quedar dentro del triángulo, sobre uno de sus lados o fuera de él.

Escoge el punto C de manera que el centro quede dentro del triángulo. Une los vértices del triángulo con el centro de la circunferencia. Prolonga el seg-mento que une C con O hasta la cuerda AB; llama D al punto de corte.

¿Por qué se puede asegurar que los triángulos AOC y BOC son isósceles? Llama � a los ángulos iguales del triángulo AOC y � a los ángulos iguales del triángulo BOC. ¿Cuánto mide el ángulo AOD en términos del ángulo �? Ob-serva que el ángulo AOD es ángulo externo del triángulo AOC.


A

C

B

�

�

�

Actividad colectiva

AA A

BB

B

C

C

D

A

B

C

�

O O O

O

C


50 Bloque 1

¿Cuánto mide el ángulo BOD en términos del ángulo �?¿Qué relación hay entre el ángulo inscrito ACB y el ángulo central AOB? Comenta tus respuestas con tus compañeros del equipo. ¿Depende la conclu-sión de la elección de los puntos A, B y C?Construye nuevamente una circunferencia con una cuerda AB y elige un punto C sobre el arco mayor de la circunferencia, de modo que el centro O quede sobre uno de los lados del triángulo ABC, digamos AC. Traza el seg-mento AOB.

¿Cómo es el triángulo BOC? Llama � a sus ángulos iguales. ¿Cuánto mide el ángulo central AOB en términos de �? ¿Qué relación hay entre el ángulo inscrito ACB y el ángulo central AOB? Discute tus respuestas con tus demás compañeros.Construye nuevamente una circunferencia con una cuerda AB y elige un pun-to C sobre el arco mayor de la circunferencia, de modo que el centro O quede fuera del triángulo ABC. Traza los segmentos OA, OB y el diámetro DC.

¿Cómo es el triángulo BOC? Llama � a los ángulos iguales del triángulo BOC. ¿Por qué se puede asegurar que el ángulo BOD mide 2�?

A

D

B

C

A

D

B

C

A

B

C

O

O

O�

�

2�



¿Cómo es el triángulo AOC? Llama � a sus ángulos iguales. ¿Por qué se puede asegurar que el ángulo AOD mide 2�?

Calcula el valor del ángulo inscrito ACB res-tando el ángulo ACO al ángulo BCO. Aho-ra calcula el ángulo central BOA restando el ángulo AOD al ángulo BOD.¿Qué relación hay entre el ángulo inscrito y el ángulo central?

Todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del ángulo cen-tral que subtiende el mismo arco. En consecuencia, todos los ángulos que subtienden el mismo arco miden lo mismo.

Construye una circunferencia con una cuerda AB y elige un punto D sobre el arco menor de la circunferencia. Traza el diámetro CD y une los puntos A, B, C y D.

¿Cuánto mide el ángulo DAC? Observa que el diámetro DC es lado del triángulo ADC. ¿Cuán-to mide el ángulo DBC? ¿Cuánto suman los án-gulos internos de cualquier cuadrilátero?

Con base en los elementos de la siguiente figu-ra, argumenta por qué son ciertas las afirmacio-nes que se enuncian a continuación:

� + � = 180°2(� +�) = 2� + 2� = 360°

2� + � = 360°� = 2�

¿Con esto se comprueban tus otras conjeturas? Discute tus argumentos con tus compañeros.

Si AB es una cuerda de la circunferencia, C es un punto sobre el arco ma-yor y D es un punto sobre el arco menor, entonces los ángulos ACB y ADB son suplementarios.

Actividad colectiva

A

DB

C

A

DB

C

O

O

O

A

D

B

C

�

2��

2�

�

�

�


52 Bloque 1

>5º 1. Si los vértices A, B, C y D de un cuadrilátero están sobre una circunfe-

rencia, se dice que el cuadrilátero ABCD es cíclico. Argumenta por qué, en todo cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos son suplementarios.

2. Construye una circunferencia y traza dos cuerdas AB y CD que se corten en un punto P. Argumenta por qué los ángulos interiores de los triángulos APD y CPB miden lo mismo.

3. ¿Cuánto suman los ángulos �1 y ABC en la siguiente figura? ¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos �2 y ABC? ¿Por qué? ¿Qué puedes afirmar respecto a los ángulos �1 y �2? Haciendo un análisis semejante, comprueba que los ángulos �1 y �2 son

iguales.

4. ¿Cuánto miden los ángulos centrales de un pentágono regular? Argumen-ta tu respuesta.

5. ¿Cuánto miden los ángulos de los picos de la estrella pentagonal? Argu-menta tu respuesta.

A

D

B

P

C

AD

B

C

�2

�2

�1

�1 O



>PARA TERMINAR6. ¿Cuánto miden los ángulos centrales de un eptágono regular? Argumen-

ta tu respuesta.

7. ¿Cuánto miden los ángulos de los picos de los dos eptágonos estrellados de la siguiente figura? Argumenta tu respuesta.

Torito

Si �, � y � son los ángulos marcados en la siguiente figura y O es el centro de la circunferencia, argumenta por qué: � = � + � .

�

�

�

O


54 Bloque 1


1. Cómo se calculan el perímetro y el área de un círculo.


• Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.


55Lección 5 > Rebanadas y coronas

>1º5> Rebanadas y coronas

Javier y Ana están diseñando una jardinera como la de la siguiente ilustra-ción; una parte irá cubierta con pasto y la otra con arena. Como el pasto es más caro, Javier dice que resulta más barato poner arena en la región amari-lla y pasto en la azul. Ana dice que la región amarilla tiene menor área que la azul y que, por tanto, conviene colocarlos al revés. ¿Tú qué opinas?Discute tu respuesta con tus compañeros.


¿Cuánto mide la longitud de la cuarta parte de una circunferencia de radio 1? ¿Por qué?¿Cuánto mide la longitud de las tres cuartas partes de una circunferencia de radio 1? Por qué?

Discute tus resultados con tus compañeros.

r

r

2r



56 Bloque 1

¿Qué parte de la circunferencia representa el arco determinado por un ángu-lo central de 72º? ¿Cuánto mide el arco de circunferencia de radio 1 abarcado por un ángulo central de 72º? ¿Por qué?

¿Cuánto mide el arco de circunferencia de radio 1 abarcado por un ángulo central de 144º? ¿Por qué?¿Cuánto mide el arco de una circunferencia de radio 1 abarcado por un ángu-lo central de 1º? ¿Por qué?¿Cuánto mide el arco de una circunferencia de radio 1 abarcado por un ángu-lo central de �º? ¿Por qué?


Reúnanse en equipo y respondan las siguientes preguntas.

¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia de un círculo de radio 3? ¿Cuánto mide la longitud de la mitad de una circunferencia de radio 3?¿Por qué?

¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia de un círculo de radio 5? ¿Cuánto mide la longitud de la cuarta parte de una circunferencia de radio 5? Argumenten su respuesta.

¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia de un círculo de radio 4? ¿Cuánto mide la longitud de las dos terceras partes de una circunferencia de radio 4? Argumenten su respuesta.

¿Cuánto mide el arco de circunferencia de radio 6 abarcado por un ángulo central de 40º? ¿Por qué?

¿Cuánto mide el arco de una circunferencia de radio r abarcado por un ángu-lo de 1º? ¿Por qué?¿Cuánto mide el arco de una circunferencia de radio r abarcado por un ángu-lo de �º? ¿Por qué?

Discutan las respuestas de tu equipo con otros compañeros del grupo.

La longitud C del arco de una circunferencialongitud C del arco de una circunferencia de radio r abarcado por un ángulo central de �� grados se obtiene resolviendo la siguiente igualdad de razones:

C

2 � r=

�

360°

Es decir,

C = 2� � r

360º

Actividad colectiva


>2º


¿Cuánto mide el área de un círculo de radio 1? ¿Cuál es el área de un semi-círculo de radio 1? ¿Cuál es el área de un cuarto de círculo de radio 1? ¿Cuál es el área de las dos terceras partes de un círculo de radio 1? Argumenta tus respuestas.¿Cuál es el área del sector circular de radio 1 definido por un ángulo central de 45º?

¿Cuál es el área del sector circular de radio 1 definido por un ángulo central de 1º? ¿Por qué?¿Cuál es el área del sector circular de radio 1 definido por un ángulo central de �º? ¿Por qué?


¿Cuánto mide el área del círculo de radio 2? ¿Cuál es el área de un semicírcu-lo de radio 2?¿Cuánto mide el área del círculo de radio 5? ¿Cuál es el área de la tercera par-te de un círculo de radio 5?¿Cuánto mide el área del círculo de radio 15? ¿Cuál es el área de las dos quin-tas partes de un círculo de radio 15?¿Cuánto mide el área de un círculo de radio 7? ¿Cuál es el área del sector cir-cular de radio 7 definido por un ángulo central de 60º?¿Cuánto mide el área de un círculo de radio r? ¿Cuál es el área del sector cir-cular de radio r definido por un ángulo central de 1º? ¿Por qué?¿Cuál es el área del sector circular de radio r definido por un ángulo central de �º? ¿Por qué?


El área A de un sector circular área A de un sector circular de radio r definido por un ángulo central de � grados se obtiene resolviendo la siguiente igualdad de razones:

A

� r2 =

�

360°

Es decir:A =

� � r2

360º

45°1

Actividad colectiva


58 Bloque 1

Calcula el área de la región amarilla de la siguiente figura, donde R = 6 y r = 3. A estas regiones se les conoce como coronas.

Una región comprendida entre dos circunferencias con el mismo centro (como la región amarilla de la figura) se conoce como coronacorona.

Calcula el área del sector de corona de la siguiente ilustración. El ángulo cen-tral mide 120º y los radios miden 4 y 5 unidades, respectivamente.

Mide esta rondana y calcula el área.

Compara tu respuesta con las respuestas de tus compañeros de equipo.

R

r


120°4 5


>3º


34 π

El círculo de la siguiente figura tiene radio 6 y la longitud del arco señalado

mide 34 π. ¿Cuánto mide el ángulo central �? ¿Cuál es el área del sector cir-

cular determinado por �? ¿Cuánto mide el ángulo interior �?

Resuelve el problema con tus compañeros de equipo y compartan sus argu-mentos con el resto del grupo.

El sector circular de la siguiente figura tiene un área de 2π y el radio del círculo es 4. ¿Cuánto mide el ángulo central �? ¿Cuál es la longitud del arco?


El círculo de la siguiente figura tiene radio 6 y la longitud del arco señalado mide 4π. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito �?


6

�

�

4

�

4�

Actividad colectiva

Actividad colectiva

Actividad colectiva

�


60 Bloque 1

>4º 1. Calcula el perímetro de la siguiente figura. El radio del sector circular

es de 3 unidades y el ángulo central mide 80º.

2. Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura. El radio del círculo interior mide 2 unidades y 4 el radio del círculo exterior.

3. Calcula el área de la siguiente figura. Los radios de los sectores circulares miden 1, 1.5, 2, 2.5, 3 y 3.5, respectivamente.

4. Calcula el área de la siguiente figura. El ancho de cada franja mide 1.



>PARA TERMINAR5. El sector circular de la siguiente figura tiene área 5π y el radio del círculo

mide 5. ¿Cuánto mide el ángulo �?

6. Los puntos A, B, C, D, E, F, G, H e I son los vértices de un eneágono re-gular inscrito en un círculo. Encuentra las medidas de los ángulos ABC, ABE, ABH y ABI. ¿Cuánto mide el ángulo ADG?

Torito

En la siguiente figura se muestra un esquema de una pista olímpica de atletismo. Verifica que la longitud del primer carril (perímetro interno de la figura) es de 400 metros. Si cada uno de los seis carriles mide 1.22 metros de ancho ¿cuál es la longitud de cada uno? ¿Cuánto mide el área de la pista?

36.8

84.39

36.8

�

5�

5

A

I

B

C D

E

F

G

H


62 Bloque 1


1. Qué significa que dos rectas sean perpendiculares y cómo se construye una perpendicular a una recta dada, por un punto fuera de ella.

2. Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un triángulo.3. Cómo son los triángulos inscritos en una circunferencia, uno de cuyos la-

dos es diámetro de la circunferencia.4. Cuáles son los criterios de congruencia de triángulos.5. Qué propiedades tienen los triángulos isósceles.

> En esta lección, abordarás los temas de:

• Determinación, mediante construcciones, de las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias entre sí.

• Caracterización de la recta secante y la recta tangente a una circunferencia.


63Lección 6 > Tangentes y secantes

P

>1º6> Tangentes y secantes

Dada una circunferencia y un punto P sobre ella, construye una recta que pase por P y no toque a la circunferencia en ningún otro punto.

¿Cómo garantizas que la recta construida no corte a la circunferencia?

Discute tus argumentos con el resto el grupo.

Traza dos circunferencias que se corten, como en la siguiente ilustración.

Llama A y B a los puntos donde se cortan y únelos. Une también los centros de las circunferencias. Llama R al punto donde se cortan las dos rectas. Argu-menta por qué son perpendiculares este par de rectas.

Discute tus argumentos con tus compañeros.

Repite la construcción para distintos pares de circunferencias.

O

P

A

B

O

PR



64 Bloque 1

La perpendicularidad del par de rectas ¿depende del radio de las circunferencias? Discute tu respuesta con tus compañeros del grupo.

Traza una circunferencia y una recta que la corte en los puntos A y B, como en la siguiente ilustración:

Encuentra el punto medio M del segmento AB y únelo con el centro O. ¿Son perpendiculares las rectas AB y OM? ¿Por qué? Discute tu respuesta con tus compañeros del grupo.

Una recta que corta a una circunferencia en dos puntos se llama secante secante a la circunferencia.


B

OA

O

P

O

P

O P




Traza una recta m cualquiera y un punto P fuera de ella. Construye la per-pendicular a m por P y llama T al punto de intersección de las rectas.

Sobre la recta m elige un punto A, distinto de T, y con centro en P traza la cir-cunferencia de radio PA.

Concluye a partir de esto que T es el punto de la recta m más cercano a P. Ahora traza la circunferencia de radio PT.

¿Hay algún punto en la recta m, distinto de T, que esté también sobre la cir-cunferencia? ¿Por qué? Discute tu respuesta con tus demás compañeros.

A la recta que toca a la circunferencia en un solo punto T se le llama recta recta tangentetangente a la circunferencia en el punto T.

La recta tangente a la circunferencia en el punto T es perpendicular al ra-dio PT.

T

P

T

P

A

T

P

m

m


66 Bloque 1

Traza una circunferencia y elige un punto T sobre ella. Construye la recta tan-gente a la circunferencia en el punto T. Compara tu construcción con la que hiciste al principio de esta lección.

Traza una circunferencia y elige un punto P fuera de ella.

Une los puntos O y P y encuentra el punto medio entre ellos, llámalo M. Tra-za la circunferencia de radio MP con centro en M. Llama A y B a los puntos donde se cortan las dos circunferencias.

Traza la recta que pasa por A y P y el radio OA.

Argumenta por qué el ángulo OAP es recto. Discute tus argumentos con tus compañeros.


Actividad colectiva

P

O

PA

B

M

O

PA

B

O

M



>3º Repite la construcción de la actividad anterior y une los puntos A y B. Lla-

ma Q al punto donde se cortan los segmentos AB y OP, � al ángulo OPA, � al ángulo AOP y � al ángulo QAP.

Observa que los ángulos OAP y AQP son rectos. Analiza el triángulo AQP y determina cuánto vale la suma � + �. Concluye, a partir de esto, que � = �. ¿Qué relación guardan el ángulo � y el ángulo central AOB? El ángulo formado por una secante AB a una circunferencia y la tangen-te a la circunferencia en A se conoce como ángulo semiinscritoángulo semiinscrito en la cir-cunferencia.

El ángulo semiinscrito mide la mitad del ángulo central AOB.

Construye las dos tangentes a una circunferencia con centro O, desde un punto P fuera de ella. Llama A y B a los puntos de tangencia. Une el centro de la circunferencia con A y B y traza la cuerda AB.

Recuerda que el segmento OP es mediatriz de la cuerda AB y por tanto AM = MB. Con esta información argumenta por qué son congruentes los triángulos AMP y BMP. ¿Qué puedes decir de los segmentos PA y PB? Discute tus res-puestas con tus compañeros.

Si las rectas PA y PB son tangentes a una circunferencia, los segmentos PA y PB miden lo mismo.

Actividad colectiva

P

A

B

QO

�

�

�

Actividad colectiva

P

B

A

M

O


68 Bloque 1

>4º 1. Dada la recta t y un punto O fuera de ella, traza una circunferencia con

centro en O y tangente a la recta t. Llama P al punto de tangencia.

Elige un punto cualquiera Q sobre la recta OP y construye otra circunferencia con centro en Q tan-gente a la recta t. ¿Cuántas circunferencias con esta propiedad puedes construir?

2. Construye cuatro rectas tangentes a una circunferencia, de modo que for-men un cuadrilátero, como en la siguiente figura:

¿Cómo son las distancias AP y AS? ¿Y las distancias BP y BQ? ¿Qué sabes de las distancias CQ y CR? ¿Y de las dis-tancias DR y DS?Utiliza esta información para mostrar que AB + CD = BC + AD.

3. Si las rectas AP y BP son tangentes a la circunfe-rencia de la derecha, ¿qué tipo de triángulo es ABP? ¿Por qué?

¿Cuánto mide el ángulo central AOB? ¿Y el ángulo semiinscrito PAB? ¿Cuánto mide el ángulo �?

4. Las circunferencias de la ilustración de la de-recha son tangentes en el punto x y las rectas PA, PX y PB son tangen-tes a las circunferencias. Muestra que AP = PB

P

C

D

S Q

R

AB

70°

�

O

t

B

A

x

P

O

A

C B

P



>PARA TERMINAR5. Las circunferencias de la siguiente ilustración son tangentes en el punto x.

Las rectas AB y MX son tangentes comunes a las dos circunferencias. Muestra que AM = MB

6. En la siguiente figura las rectas AU, AV y BC son tangentes comunes a ambas circunferencias. Muestra que: AB + BY = AC + CY

Torito

En la siguiente ilustración, la recta roja es tangente a la circunferencia ¿cuál es la relación entre los ángulos � y �?

B

M

Ax

B

Q

CV

Y

U

A

P

x

�

�


70 Bloque 1


1. Cómo se construyen y cómo se interpretan gráficas de líneas, de barras y circulares.

2. Cómo se calculan y cómo se interpretan la media, la mediana y la moda de una colección de datos.


• Diseño de un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elección de la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.


71Lección 7 > Sacándole jugo a la información

>1º7> Sacándole jugo a la información

En las siguientes gráficas se brinda información sobre la población de la Re-pública Mexicana en 2005 y sobre los niveles de educación de ciertos sectores de la población adulta. Analiza las gráficas.

Gráfica 1-A

Gráfica 2-A

Población por grupos de edad y sexo. República Mexicana2005

Cantidad de personas

Hombres Mujeres

De 55 y más años 6,064,9345,390,972

4,758,0364,347,869

6,886,8736,242,920

8,485,6107,551,691

9,824,3049,249,691

10,578,82010,885,030

De 45 a 54 años

De 35 a 44 años

De 25 a 34 años

De 15 a 24 años

De 5 a 14 años

Porcentaje de la población de 35 a 44 años de edadpor sexo y nivel máximo de estudios, 2005

Sin primaria Primaria Secundaria Media Superior Superior

17.7%

21.6% 22.8%24.8%

29.1%30.4%

15.4%

11.4%

15.0%11.8%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0

Hombres Mujeres


72 Bloque 1

Gráfica 3-A

Porcentaje de la población masculina de 55 a 64 años de edad por nivel máximo de estudios. 2005

Sin Primaria Secundaria

Media Superior primaria superior

50.00%

45.00%

40.00%

35.00%

30.00%

25.00%

20.00%

15.00%

10.00%

5.00%

0.00%

Sin Primaria Secundaria

Media Superior primaria superior

47.20%

24.80%

11.90%

5.70%

10.40%

Porcentaje de la población femenina de 55 a 64 años de edad por nivel máximo de estudios. 2005

60.00%

50.00%

40.00%

30.00%

20.00%

10.00%

0.00%

Gráfica 4-A

54.10%

25.50%

12.50%

3.50% 4.40%



Contesta con tus compañeros de equipo lo siguiente:¿En qué grupo de edad hay más hombres que mujeres?¿En qué grupo de edad la diferencia entre hombres y mujeres es mayor?

¿Aproximadamente cuántos hombres de 35 a 44 años de edad llegaron hasta educación media superior? ¿Cuántas mujeres de la misma edad alcanzaron ese nivel máximo de estudios? ¿Qué hay más, hombres o mujeres de 35 a 44 años que llegaron hasta educación media superior?

Entre las personas de 55 a 64 años de edad, ¿en qué nivel de estudios es ma-yor la diferencia entre hombres y mujeres? Discutan a qué creen que se deba la diferencia observada en ese nivel y escriban sus conclusiones.

Con la información que aparece en las gráficas ¿se puede conocer el núme-ro aproximado de mujeres entre 55 y 64 años que llegaron hasta la educación media superior? ¿Por qué?

Actividad colectiva


74 Bloque 1

Junto con tus compañeros de equipo realiza una encuesta a 10 personas de entre 35 y 44 años de edad sobre su nivel máximo de estudios.

Reúnan los datos de todos los equipos y elaboren las tablas o gráficas que con-sideren más adecuadas para representar esta información.

¿Hay coincidencias entre los datos que obtuvieron con los que se dan en esta lección? ¿Por qué creen que suceda eso?

Discutan por qué es importante la educación para la persona que estudia, para la comunidad en la que vive y para el país.Escriban las principales conclusiones de esta discusión.

Biblioteca Central. Ciudad Universitaria. Universidad Nacional Autónoma de México. Ciudad de México.

Actividad colectiva



>2º Lee con tu equipo el siguiente texto:

La epidemia del SIDA en el mundo

A finales de 2002, el Programa de la Organización de la Naciones Unidas para la Prevención del SIDA (ONUSIDA), estimaba que en el mundo exis-tían 42 millones de personas viviendo con el Virus de Inmunodeficien-cia Humana (VIH), de los cuales 19.2 millones eran mujeres mayores de 14 años y 3.2 millones eran personas menores de 15 años.Durante 2002, aproximadamente 14 000 personas se infectaron diaria-mente con el VIH dando un total de 5 millones de personas infectadas a lo largo de ese año. De ellas, el 38.7% eran mujeres mayores de 14 años y el 19.4% niños y adolescentes menores de 15 años.Aproximadamente el 50% de las nuevas infecciones por VIH producidas en el 2002, se presentaron en jóvenes de entre 10 y 24 años de edad. El SIDA causó 3.1 millones de muertes en ese año y más de la mitad de ellas ocurrieron en mujeres y niños, como se muestra en la siguiente tabla:

Muertes por SIDA en 2002

Grupo Porcentaje

Hombres de 15 años y más 44%

Mujeres de 15 años y más 40%

Menores de 15 años 16%

Total 100%

De acuerdo con el reporte sobre la salud mundial elaborado por la Or-ganización Mundial de la Salud (OMS), el SIDA es responsable del 5.2% de las muertes que ocurren en todo el mundo, constituyendo la cuarta causa de defunción.

Con información de “Resumen mundial de la epidemia del VIH/SIDA”ONUSIDA/OMS-2002

Investiguen: ¿Qué es el Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH) y el Síndrome de In-munodeficiencia Adquirida (SIDA)?¿Cuál es la diferencia entre estar infectado de VIH y padecer SIDA?¿Cómo se transmite el VIH?

Actividad colectiva


76 Bloque 1

Copien las siguientes tablas en el cuaderno y llenen los datos que faltan usan-do la información del texto que acaban de leer.

Tabla 1-B: Muertes por SIDA en 2002

Grupo Porcentaje Personas

Hombres de 15 años y más 44%

Mujeres de 15 años y más 40%

Menores de 15 años 16%

Total 100% 3 100 000

Tabla 2-B: Total de personas viviendo con VIH a finales de 2002


Hombres de 15 años y más

Mujeres de 15 años y más

Menores de 15 años

Total

Tabla 3-B: Personas infectadas de VIH durante 2002


Hombres de 15 años y más

Mujeres de 15 años y más

Menores de 15 años

Total

Discutan qué tipo de gráficas les parecen más adecuadas para representar la información de estas tablas, argumenten sus respuestas y construyan esas grá-ficas.



Analiza con tu equipo la siguiente tabla:Tabla 1-C: Casos de SIDA por año de diagnóstico. México 1983-2005

Año Casos de SIDA* Año Casos de SIDA*

1983 64 1995 5514

1984 194 1996 5866

1985 367 1997 6043

1986 705 1998 6605

1987 1604 1999 8720

1988 2199 2000 8450

1989 2836 2001 8261

1990 3716 2002 8061

1991 3873 2003 6243

1992 4339 2004 5002

1993 4491 2005 4382

1994 5040 1983-2005 102575

Fuente: SSA, Registro nacional de casos de SIDA*Incluye extranjeros en tránsito por México.

¿Cuál es el promedio anual de casos de SIDA en el período 1983-2005?¿Cuál es el promedio anual en el período 1995-2005? ¿Y en el período 2000-2005?

Discute con tus compañeros de equipo qué conclusiones se pueden sacar de los promedios anteriores.

¿Cuál es el año en el que más casos de SIDA se diagnosticaron? ¿Cuál es el año en el que hubo menos casos?

Elaboren una gráfica de líneas con la información de la Tabla 1-C.

Copien la siguiente tabla en el cuaderno y llenen los datos que faltan.

Tabla 2-C: Casos nuevos y acumulados de SIDA por grupos de edad. Méxi-co 1983-2005

GrupoCasos diagnosticados en 2005 Casos acumulados 1983-2005

Número Porcentaje Número PorcentajeMenores de 15 años 101 2495Hombres de 15 años y más 3389 83064Mujeres de 15 años y más 890 16003Edad desconocida 2 1013Total

Fuente: SSA, Registro nacional de casos de SIDA

Actividad colectiva


78 Bloque 1

Usando los porcentajes de los casos acumulados de 1983 a 2005, elaboren una gráfica de barras.

Copien la siguiente tabla en el cuaderno y llenen los datos que faltan.

Tabla 3-C: Casos nuevos y acumulados de SIDA según categoría de transmi-sión. México 1983-2005

Categoría de Casos diagnosticados en 2005 Casos acumulados 1983-2005

Transmisión Número Porcentaje Número Porcentaje

Transmisión sexual 4140 58707

Transmisión sanguínea 84 3361

Transmisión perinatal 97 1430

Transmisión sexual y sanguínea 8 226

Se desconoce 53 38849

Total

Fuente: SSA, Registro nacional de casos de SIDA.

Usando los porcentajes de los casos acumulados de la tabla 3-C, elaboren una gráfica de barras.

Investiguen:¿Cómo se da la transmisión perinatal del SIDA?¿En qué circunstancias puede ocurrir la transmisión sanguínea?¿Qué instituciones hay en tu comunidad que apliquen la prueba para la de-tección del VIH?

Discute con tus compañeros de grupo las siguientes cuestiones:¿Qué tan grave es el problema de la transmisión del VIH y las muertes por SIDA en nuestro país?¿Hay suficiente información acerca de este problema entre tus conocidos?¿Qué medidas preventivas se deben tomar para evitar el contagio del VIH?¿Puede una persona infectada con el VIH estudiar o trabajar entre personas no infectadas?¿Cómo se debe tratar a una persona infectada con el VIH?

Escriban las principales conclusiones de esta discusión.

Actividad colectiva

Actividad colectiva



>3º Esta actividad se realiza por parejas.

Un estudiante debe sostener una regla graduada como se indica en la fotografía. El otro estudiante colocará sus dedos sobre el cero sin tocar la regla.

El primer estudiante deja caer la regla en cualquier momento sin avisarle a su compañero. El segundo estudiante cierra los dedos tan rápido como pue-da para sujetar la regla.

Se registra la distancia que alcanza a caer la regla, es decir, el número o la di-visión de la regla en la que es sujetada por el segundo estudiante.

Repitan el experimento 20 veces intercambiando los papeles de los dos estu-diantes del equipo. Escriban en el pizarrón los resultados obtenidos por todos los equipos.

Construyan una tabla de frecuencias y calculen las medidas de tendencia cen-tral de la colección de datos. Expliquen qué información aporta cada una de las cantidades calculadas.

Discutan qué tipo de gráfica consideran adecuada para representar estos da-tos y dibújenla.

Actividad colectiva


80 Bloque 1

Cada miembro del equipo aplique la siguiente encuesta a cuando menos 10 estudiantes de la secundaria:

Reúnan la información de las encuestas realizadas por todos los miembros del equipo y discutan cómo organizarla.

Elaboren las tablas y gráficas que consideren más adecuadas para presentar esa información.

Comparen las tablas y gráficas elaboradas por todos los equipos del grupo y discutan en cuáles de ellas es más fácil detectar las principales características de la información obtenida a través de las encuestas.

1. ¿Cuál es el deporte que más te gusta?

2. ¿Practicas ese deporte en la escuela? SI NO

3. ¿Qué tan frecuentemente practicas tu deporte favorito (dentro o fuera de la escuela)?

Menos de una vez por semana Una o dos veces por semana

Tres o cuatro veces por semana Más de 4 veces por semana 4. ¿Acostumbras ver en televisión ese deporte? SI NO 5. Indica con una cruz si practican o practicaron ese deporte las siguientes personas:

Mamá o papá

Hermanas o hermanos

Otros familiares

Actividad colectiva



Se desea saber qué tanto las personas de la colonia o comunidad de los inte-grantes del equipo están cotidianamente al tanto de las noticias, por qué me-dio lo hacen (periódicos y revistas, radio o televisión), qué tipo de noticias les interesan más (deportivas, políticas, sociales o de espectáculos). También se quiere determinar si las respuestas anteriores varían según la edad y el sexo de las personas.

Diseñen una encuesta para obtener la información necesaria. Discutan cómo formular las preguntas de manera que todas ellas sean claras y fáciles de responder. Analicen en qué preguntas es conveniente que la encuesta contenga respuestas de opción múltiple y en cuáles dejar espacio para cualquier respuesta posible.

Asegúrense de que su encuesta les permitirá reunir toda la información que se requiere para los propósitos de esta actividad.

Comparen la encuesta diseñada en su equipo con las de sus compañeros de grupo y discutan cuáles son las mejores formulaciones. Como resultado de esta discusión, acuerden una encuesta única para ser aplicada por todos los estudiantes del grupo.

Cada miembro del equipo aplique la encuesta a cuando menos 10 personas mayores de 12 años. Puede tratarse de familiares, vecinos o amigos.

Después, reúnan la información de las encuestas realizadas por los miembros del equipo y elaboren las tablas y gráficas que consideren más adecuadas para presentar esa información.

Comparen sus tablas y gráficas con las elaboradas por los demás equipos y dis-cutan qué conclusiones que se pueden desprender de esa información.




82 Bloque 1

Las instituciones bancarias ofrecen distintas tasas de interés a los ahorradores, dependiendo del tipo de inversión que realicen. La siguiente gráfica presenta la información sobre el interés anual que obtuvieron los ahorradores en cierto tipo de cuentas bancarias durante los años 2005 y 2006:

Gráfica 1-DAdicionalmente, el banco cobra una comisión anual por el manejo de las cuentas. En la siguiente gráfica se muestra el porcentaje anual de aumento de esas comisiones:

Gráfica 2-D

¿Cuál era el porcentaje de interés en 2005? ¿Y en 2006? ¿Cuánto aumentó ese porcentaje? ¿Más o menos cuánto cobró el banco por comisión en 2005? ¿Y en 2006? ¿De cuánto fue el incremento?¿Por qué la primera de estas gráficas da la impresión de un aumento grande y en la segunda parece que el aumento fue pequeño?

Con los datos de la gráfica 1-D dibuja otra gráfica usando la escala 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en el eje vertical correspondiente al porcentaje. ¿Se ve del mismo tama-ño el aumento del interés?Con los datos de la gráfica 2-D dibuja otra gráfica usando la escala 0, 5, 10, 15, 20, . . . , 90, 95 y 100 en el eje correspondiente al porcentaje de la comisión. ¿El aumento se ve más grande o más chico que en la gráfica 2–D?Discute con tus compañeros de grupo el efecto que puede tener un cambio de escala en la impresión visual de una gráfica.

Porcentaje anual de interés en cuentas de ahorro

2005

Porc

enta

je

2006

4.20

4.15

4.10

4.05

4.00

3.95

3.90

3.85

3.80

3.75

Porcentaje anual por manejo de cuentas de ahorro

2005

Porc

enta

je

2006

100

80

60

40

20

0


Fuente: Población escolar UNAM: estadísticas. Dirección General de planeación-UNAM, 2004.


1. Analiza la siguiente información acerca de la población escolar en la Universidad Nacional Autónoma de México:

Gráfica 1-ETabla 1-E. Población escolar de la UNAM. 1980-2003

Año Alumnos

1980 271151

1981 274337

1982 273270

1983 272041

1984 271194

1985 272724

1986 273237

1987 269237

1988 270190

1989 270912

1990 277345

1991 271485

1992 269418

1993 269479

1994 263082

1995 264978

1996 266576

1997 267681

1998 270633

1999 268867

2000 254685

2001 244710

2002 250508

2003 250395

>5º


84 Bloque 1

Tabla 2-E. Población escolar del bachillerato de la UNAM por subsistema. 1980-2003

Año Escuela Nacional Preparatoria

Colegio de Ciencias y

HumanidadesTotal

1980 45269 75085 120354

1981 45427 74703 120130

1982 46646 73638 120284

1983 47103 73009 120112

1984 47475 72811 120286

1985 48738 72087 120825

1986 48706 71537 120243

1987 46049 71796 117845

1988 47631 72969 120600

1989 46520 72794 119314

1990 47889 73923 121812

1991 46980 74912 121892

1992 47827 71523 119350

1993 47697 67619 115316

1994 47139 60911 108050

1995 48875 60017 108892

1996 47794 58765 106559

1997 48320 56094 104414

1998 47405 55093 102498

1999 47719 53343 101062

2000 44728 54793 99521

2001 43329 50936 94265

2002 44375 51347 95722

2003 45265 53539 98804

Fuente: Población escolar UNAM: estadísticas. Dirección General de planeación-UNAM, 2004.

Con los datos de las tablas 1-E y 2-E, elabora las gráficas que consideres con-venientes para que se aprecien las tendencias a lo largo del tiempo en los da-tos que brinda cada tabla.



2. En una encuesta se preguntó con qué regularidad las personas leen el pe-riódico en una ciudad y se obtuvieron los siguientes resultados:

Respuesta Porcentaje

Todos los días 32%

Una vez por semana 25%

Una vez al mes 15%

Alguna vez al año 18%

Nunca ¿?

No contestó 0.4%

a) ¿Qué tanto por ciento de personas respondieron “nunca”?b) Si las personas que no contestaron fueron 6, ¿cuántas personas fueron

encuestadas?c) Haz una gráfica con la información anterior.

Escuela Nacional Preparatoria No. 2, Erasmo Castellanos Quinto, Universidad Nacional Autónoma de México. Ciudad de México.


86 Bloque 1

3. Analiza la siguiente información.

Tabla 1-F: Población por entidad federativa según sexo. 2005

Entidad Federativa Total Hombres Mujeres

República Mexicana 103 263 388 50 249 955 53 013 433

Aguascalientes 1 065 416 515 364 550 052Baja California 2 844 469 1 431 789 1 412 680Baja California Sur 512 170 261 288 250 882Campeche 754 730 373 457 381 273Coahuila de Zaragoza 2 495 200 1 236 880 1 258 320Colima 567 996 280 005 287 991Chiapas 4 293 459 2 108 830 2 184 629Chihuahua 3 241 444 1 610 275 1 631 169Distrito Federal 8 720 916 4 171 683 4 549 233Durango 1 509 117 738 095 771 022Guanajuato 4 893 812 2 329 136 2 564 676Guerrero 3 115 202 1 499 453 1 615 749Hidalgo 2 345 514 1 125 188 1 220 326Jalisco 6 752 113 3 278 822 3 473 291México 14 007 495 6 832 822 7 174 673Michoacán de Ocampo 3 966 073 1 892 377 2 073 696Morelos 1 612 899 775 311 837 588Nayarit 949 684 469 204 480 480Nuevo León 4 199 292 2 090 673 2 108 619Oaxaca 3 506 821 1 674 855 1 831 966Puebla 5 383 133 2 578 664 2 804 469Querétaro Arteaga 1 598 139 772 759 825 380Quintana Roo 1 135 309 574 837 560 472San Luis Potosí 2 410 414 1 167 308 1 243 106Sinaloa 2 608 442 1 294 617 1 313 825Sonora 2 394 861 1 198 154 1 196 707Tabasco 1 989 969 977 785 1 012 184Tamaulipas 3 024 238 1 493 573 1 530 665Tlaxcala 1 068 207 517 477 550 730Veracruz de Ignacio de la Llave 7 110 214 3 423 379 3 686 835Yucatán 1 818 948 896 562 922 386Zacatecas 1 367 692 659 333 708 359

Fuente: INEGI, Conteo de población y vivienda. 2005



Gráfica 1-F

a) Construye las gráficas que consideres convenientes con los datos de la ta-bla 1-F.

b) ¿Cuál es la entidad en la que la diferencia entre la cantidad de hombres y mujeres es mayor? ¿Y la entidad donde es menor?

c) ¿Cuál es la diferencia en la entidad donde vives?d) Escribe una explicación de la tendencia que muestra la gráfica 1-F en cuan-

to a la distribución de la población en localidades grandes o pequeñas.e) ¿Qué porcentaje de personas vivían en poblaciones de cuando menos

2500 habitantes en el 2005?

Distribución porcentual de la población según tamañode localidad

Menos de 2500 habitantes 2500 y más habitantes

90.0%

80.0%

70.0%

60.0%

50.0%

40.0%

30.0%

20.0%

10.0%

0.0%

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2005


88 Bloque 1

4. Aplica la siguiente encuesta a 20 estudiantes de tu escuela:

1. Grado que cursas:

1° de secundaria 2° de secundaria 3° de secundaria

2. Sexo:

Hombre Mujer

3. ¿Cómo haces el recorrido de tu casa a la escuela?

Caminando En camión o autobús

En bicicleta En auto particular

En motocicleta De otra manera 4. Al salir de la escuela, ¿cómo haces el recorrido de regreso a tu casa?

Caminando En camión o autobús

En bicicleta En auto particular

En motocicleta De otra manera

5. ¿Cuánto tiempo inviertes en ir de tu casa a la escuela y de regreso?

Menos de 15 minutos Entre 16 y 30 minutos

Entre 31 y 60 minutos Más de una hora 6. ¿Cuánto dinero gastas a la semana en el transporte entre tu casa y la escuela?

Nada Entre 1 y 10 pesos

Entre 10.50 y 20 pesos Entre 20.50 y 30 pesos

Entre 30.50 y 40 pesos Más de 40 pesos

7. ¿En alguno de los dos recorridos usualmente te acompaña algún miembro de tu familia?

SI NO



>PARA TERMINARElabora las tablas y gráficas que consideres más adecuadas para presentar la información recabada con la encuesta.

Torito

En una encuesta acerca de la práctica de deportes, se obtuvo la siguiente información:58 personas practican fútbol; 57 practican básquetbol; 50 practican voleibol; 25 practican fút-bol y básquetbol; 22 practican básquetbol y voleibol; 20 personas practican fútbol y voleibol; 10 personas practican fútbol, básquetbol y voleibol, y 12 personas no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?


90 Bloque 1

MatemáTICas

> Uso de tecnología

a) En una hoja de Cabri traza una circunferencia y con la herramienta PUNTO SOBRE OBJETO ubica cuatro puntos sobre la circunferencia:

Usando la herramienta ETIQUETA llama a los puntos A, B, C y D.

Con la herramienta SEGMENTO une A con C, C con D,D con B y B con A, formando un cuadrilátero:

Mueve los cuatro puntos y observa lo que sucede en el cuadrilátero no convexo ABCD.

¿Cómo son los ángulos BAC y BDC? ¿Por qué? ¿Cómo son los ángulos ABD y ACD? ¿Por qué? Discute tu respuesta con tus compañeros del grupo.

b) En una hoja nueva de Cabri construye una circun-ferencia y coloca un punto sobre esta circunferencia; lla-ma P al punto. Ahora traza el radio que une al punto P con el centro. Con la herramienta RECTA PERPENDICULAR traza la perpendicular al radio por el punto P:

¿Qué propiedades tiene esta recta?Localiza otro punto Q sobre la circunferencia y traza la perpendicular al radio que pasa por Q.

Señala otros cuatro puntos sobre la circunferencia, llá-malos R, S, T y U, respectivamente y construye las per-pendiculares a los radios que pasan por esos puntos:


91MatemáTiCas

MatemáTICas

Con la herramienta PUNTOS DE INTERSECCIÓN señala los puntos donde se cortan las tangentes por P y Q, por Q y R, etc. Llama a estos puntos A, B, C, D, E y F.

Con la herramienta SEGMENTO une A con B, B con C,C con D, D con E, E con F y F con A y con la herramienta OCULTAR/MOSTRAR oculta las rectas tangentes:

Con ayuda de la herramienta DISTANCIA Y LONGITUD mide las longitudes de los segmentos que acabas de construir (con ayuda del cursor mueve los números que aparecen para que puedas distinguirlos con claridad).

Usando la herramienta CALCULAR suma las longitudes de los segmentos AB, CD y EF. Con el cursor mueve el resultado a una esquina de la pantalla:

Haz lo mismo para los segmentos BC, DE y FA.

Ahora mueve sobre la circunferencia los puntos P, Q, R, S, T y U y observa lo que sucede:

Formula una conjetura sobre este comportamiento y discútela con tus compañeros del grupo.¿Por qué sucede esto? Comparte tus argumentos con tus compañeros.


92 Bloque 1

>PUNTO DE ENCUENTROEn este bloque viste que si un objeto se mueve a rapidez constante, la gráfica que relaciona el tiempo transcurrido con la distancia recorrida por el objeto es una línea recta; y que la velocidad a la que se mueve el objeto está relacionada con la pendiente o inclinación de la recta.

Pero los objetos casi nunca se mueven con una rapidez constante; los vehí-culos, por ejemplo, frenan y aceleran constantemente de modo que la gráfi-ca tiempo-distancia no es una recta. Analiza la siguiente gráfica tiempo-dis-tancia y di en cuál de los intervalos se-ñalados el vehículo va más rápido (es decir, en cuál intervalo recorrió más distancia) y en cuál va más lento (es de-cir, en cuál recorrió menos distancia).

Un ejemplo muy conocido de movi-miento que no lleva rapidez constante, es la caída libre, es decir, el movimiento que describe un objeto que se deja caer desde cierta altura.

Arquímedes (287-212 a.n.e.) pensaba que los objetos más pesados caen más rápido que los más ligeros. Galileo (1564-1642) demostró que si el aire no presentara re-sistencia, todos los cuerpos caerían con la misma rapidez.

Como tú mismo habrás observado, con-forme pasa el tiempo el objeto en caída

libre va más rápido. Durante el primer segundo de caída, recorre de modo aproximado 5 metros; en el segundo segundo recorre aproximadamente 15 metros; en el tercero recorre de manera aproximada 25 metros; en el cuarto segundo recorre aproximadamente 35 metros; en el quinto 45 y así de manera sucesiva. De modo que cada segundo recorre más o menos 10 metros más que en el segundo anterior.

Haciendo mediciones, Galileo llegó a la conclusión de que la distancia recorrida por un objeto en caída libre es directa-

mente proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. En la gráfica anterior puedes ver que la distancia recorrida por el

objeto es 5 veces el cuadrado del tiempo transcurrido (en realidad la constante de proporcionalidad es .2

9 81 ). Es decir:

d(t) = . t2

9 81 2

Distancia

Tiempo

25

20

15

10

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

1 2 3 4 5

125

80

45

20

5


93Punto de encuentro

>PUNTO DE ENCUENTRO

80

45

205

1 2 3 4 5

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y llena los espacios en blanco usando los datos aproximados del párrafo anterior:

Entre el segundo ... y el segundo ...El tiempo

transcurrido es de ... segundos

La distancia recorrida es de ... m

La razón distancia entre tiempo es de

... m/s

0 11 22 33 44 5t t + 1

Como podrás observar, la razón distancia/tiempo no es constante.

La velocidad promedio se calcula como el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido:

Vp = t td t d t

2 1

2 1

--] ]g g

Por ejemplo, la velocidad promedio entre los segundos 2 y 3 es:

s sd d

3 23 2

--] ]g g = s

m m1

45 20- = 25 m/sY la velocidad promedio entre los segundos 3 y 7 es:

7s s

d d7 3

3--] ]g g = s

m m245 454- = 50 m/s

Usando la expresión aproximada d(t) = 5t2, escribe la rapidez pro-medio entre los instantes t1 y t2. Factoriza la constante en el numerador y expresa la diferencia de cuadrados como un producto de binomios; simplifica el cociente cancelando los binomios iguales.

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y, con ayuda de tu calculadora, encuentra los datos que se piden:

Entre el tiempo... Y el tiempo... La velocidad promedio es de ... m/s

4 54 4.54 4.34 4.14 4.054 4.01

Si consideras intervalos de tiempo muy pequeños, la rapidez prome-dio en ese intervalo se parece a la rapidez instantánea. Observa la si-guiente gráfica:A medida que la longitud de los intervalos de tiempo se va haciendo más pequeña, las secantes se van pareciendo cada vez más a la recta tangente por el punto de coordenadas (4, 80). Las pendientes de las secantes corresponden a las rapi-deces promedio en el intervalo mientras que la pendiente de la recta tangente representa la rapidez instantánea en el tiempo t = 4.

125

Distancia

Tiempo

(t4, d(t4))

(t3, d(t3))

(t2, d(t2))

(t1, d(t1))

(t, d(t))


94 Bloque 1

>UNA NUEVA ACTITUDLa emigración de mexicanos hacia Estados Unidos

En demografía se le llama migración al desplazamiento de personas de un lu-gar a otro para cambiar su residencia. También se suelen incluir los desplaza-mientos de personas que durante ciertas épocas del año se trasladan a regiones donde trabajan algún tiempo y luego regresan a su lugar de origen, aun cuando en estos casos no hay un cambio permanente en la residencia; a esta última se le llama migración circular.La emigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista del lugar que éstas abandonan; la inmigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista del lugar al que llegan a residir o a trabajar.

Aunque los movimientos migratorios pueden darse dentro de un país o dentro de un estado (usualmente del campo a las ciudades), en México y otros países de América Latina el mayor flujo migratorio que se presenta es hacia Estados Uni-dos de América. En nuestro país este flujo es favorecido porque compartimos con los vecinos del norte una frontera de más de tres mil kilómetros.

La pérdida de población en nuestro país por la emigración a Estados Unidos ha sido sistemática desde la década de 1960 y su efecto es cada vez más notable: se estima que en la década de 1980 fue de 2.1 a 2.6 millones de mexicanos, en la de 1990 fue de alrededor de 3.3 millones, y en los primeros 4 años de este siglo los emigrantes a ese país ya sumaban alrededor de 1.6 millones.


95Una nueva actitud

Tabla A: Indicadores sobre migración a Estados Unidos por entidad federativa. Año 2000.

Entidad federativa Total de hogaresPorcentaje de hogares que

reciben remesas

Porcentaje de hogares con emigrantes en E.U. del

quinquenio* anterior

Porcentaje de hogares

con migrantes circulares del

quinquenio anterior

Porcentaje de hogares con migrantes de retorno del quinquenio

anterior

Total nacional 22 639 808 4.35 4.14 0.94 0.85

Aguascalientes 207 327 6.69 6.66 2.74 1.46 Baja California 613 602 4.02 2.38 0.35 2.28 Baja California Sur 107 536 1.08 1.03 0.57 0.63 Campeche 163 451 1.02 0.88 0.15 0.10 Coahuila 555 793 3.38 2.23 0.81 0.68 Colima 136 926 7.34 5.62 1.37 2.10 Chiapas 832 111 0.76 0.79 0.11 0.07 Chihuahua 767 679 4.32 3.70 1.04 1.27 Distrito Federal 2 203 741 1.72 1.60 0.44 0.32 Durango 331 242 9.70 7.31 1.82 1.57 Guanajuato 990 602 9.20 9.55 2.18 1.60 Guerrero 677 731 7.86 6.79 0.84 1.09 Hidalgo 507 225 5.06 7.14 1.61 0.88 Jalisco 1 457 326 7.70 6.53 1.78 1.68 México 2 978 023 2.11 2.63 0.56 0.33 Michoacán 893 671 11.37 10.37 2.82 2.31 Morelos 376 140 6.44 7.46 1.27 1.13 Nayarit 222 714 9.64 6.82 2.03 2.03 Nuevo León 925 493 2.46 1.91 0.65 0.58 Oaxaca 762 517 4.13 4.76 0.56 0.72 Puebla 1 098 409 3.28 4.02 0.54 0.66 Querétaro 311 896 3.71 4.81 1.42 0.68 Quintana Roo 219 671 0.99 0.71 0.19 0.25 San Luis Potosí 509 582 8.20 7.43 1.29 1.15 Sinaloa 586 245 4.60 3.58 0.89 0.61 Sonora 539 528 3.16 1.59 0.32 0.87 Tabasco 426 653 0.64 0.58 0.15 0.04 Tamaulipas 690 067 3.64 3.02 0.61 0.75 Tlaxcala 203 259 2.24 2.70 0.49 0.37 Veracruz 1 649 332 2.74 3.20 0.49 0.22 Yucatán 387 434 1.41 1.02 0.22 0.23 Zacatecas 306 882 13.03 12.18 3.31 2.55

Fuente: Consejo Nacional de Población (CONAPO).* Quinquenio o lustro: período equivalente a 5 años


96 Bloque 1

Este flujo migratorio ha dado lugar a la conformación de una comunidad de ori-gen mexicano en el vecino país que en 2003 ascendía a 26.7 millones de personas, de las cuales 9.9 millones correspondían a la población nacida en México y cerca de 16.8 millones a la nacida en Estados Unidos de ascendencia mexicana. Lo anterior ha conducido a que se cierren cada vez más las posibilidades de una emigración legal, lo que a su vez ha alentado la migración indocumentada. Ésta consiste en pasar al país vecino por alguna parte en la que no haya revisión de documentos para lo cual se requiere atravesar el desierto o el río Bravo, con grandes riesgos para quienes emprenden esta aventura, y luego eludir a la patru-lla fronteriza de aquel país.

Fuente: Secretaría de Relaciones Exteriores (SRE). México.

Gráfica 1

A partir de 1994 el gobierno de Estados Unidos ha impulsado diversas políticas para tratar de frenar este flujo de personas, por ejemplo, la militarización de la frontera, la promulgación de leyes que eliminan prestaciones sociales para los tra-bajadores que sean migrantes indocumentados y sus familias, y la construcción de un gran muro a lo largo de toda la frontera de México–Estados Unidos.

Fuente: Consejo Nacional de Población (CONAPO).

Gráfica 2

Muchos de los migrantes mexicanos que logran establecerse en Estados Uni-dos, envían dinero a sus familiares del otro lado de la frontera. Tales remesas

Muertes de migrantes en la frontera Méx ic o-E s tados U nidos

329 358

491

387

0

100

200

300

400

500

600

1998 1999 2000 2001

A ño

F lujo de poblac ión mex ic ana devuelta por la patrulla fronteriz a de E s tados U nidos

545 850

785 220 689 312

486 658 481 643

--- 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000

1998-1999 1999-2000 2000-2001 2001-2002 2002-2003

A ño (de jul io a jul io)


97Una nueva actitud

>UNA NUEVA ACTITUDhan contribuido al sostenimiento de muchas familias mexicanas y al crecimien-to económico de las regiones en las que su monto y número es mayor.

Los migrantes mexicanos aspiran a mejorar sus condiciones de vida por me-dio de un trabajo remunerado en dólares. Los migrantes indocumentados que logran asentarse en el país vecino, usualmente son empleados en trabajos duros, mal paga-dos (en términos de los salarios de Estados Unidos) y en los cuales con frecuencia hay graves riesgos para la salud. Si cientos de miles de personas al año siguen viajando a ese país a pesar de todas las dificultades y riesgos, es por-que ahí hay empleadores que los contratan, ya sea por-que les resulta más rentable contratar a estos trabajadores o porque no hay trabajadores nativos disponibles para las labores que realizan los indocumentados.

Por otro lado, la migración pone de manifiesto que en nuestro país no se logra satisfacer el requerimiento de empleos estables y bien remunerados necesario para quienes nacimos aquí. También pueden observarse otros factores que impulsan este flujo migratorio, como los diferenciales salariales para las mismas ocupa-ciones, la tradición de ir al norte entre los jóvenes de muy diversas comunidades del occidente de la República y las redes sociales que facilitan el viaje y la per-manencia de los migrantes en territorio estadounidense.Analiza la tabla A y calcula el número de hogares de la entidad federativa en la que vives en los cuales hubo migrantes hacia Estados Unidos en el quinquenio 1995-2000, incluyendo la migración circular.Calcula cuántos hogares de nuestro país recibieron remesas de personas que emigraron a Estados Unidos en ese mismo quinquenio.

Observa en la gráfica 3 las unidades del eje vertical. ¿De cuántos millones de dólares fue el monto de las remesas recibidas en México en el año 2000?

¿En qué año fue mayor el número de muertes de migrantes en la frontera, regis-tradas por la Secretaría de Relaciones Exteriores?¿Cuál es el promedio anual de mexicanos regresados por la patrulla fronteriza de Estados Unidos en los años fiscales de 1998 a 2002?

Investiga quiénes son los “polleros” o “coyotes” y cuáles son los abusos más fre-cuentes que cometen en contra de quienes desean pasar al otro lado de la fron-tera sin documentos.Investiga qué tipo de violaciones a los derechos humanos han sufrido y sufren nuestros compatriotas en Estados Unidos.

Discute con tus compañeros de grupo lo que hayas investigado.

Monto total de las remes as rec ibidas en Méx ic o, 1992-2002

---

5 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 5 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

2 5 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

3 5 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0

Monto total 1 393 736 1 443 734 2 089 953 2 430 921 3 776 727 3 631 432

1992 1994 1996 1998 2000 2002

Gráfica 3

Mile

s de

dóla

res


Secundaria 3 Matemáticas33Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,


Mat

emát

icas

33

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