SA (6) Sexto

Enrique Jemio Pgina 1

NDICE NDICE ................................................................................................................................................................................ 1 MECNICA DEL CUERPO RGIDO ................................................................................................................................ 3

CAPTULO 1: Cinemtica del cuerpo rgido ............................................................................................................. 5 1.1. Cuerpo rgido ................................................................................................................................................. 7 1.2. Movimiento de traslacin de un cuerpo rgido. ............................................................................................. 7 1.3. Movimiento de rotacin de un cuerpo rgido. ................................................................................................ 7 1.4. Anlisis mediante el cir para el movimiento plano de un cuerpo rgido, ....................................................... 8

CAPTULO 2: Dinmica del cuerpo rgido .............................................................................................................. 13 2.1. Masa, inercia y momento de inercia. ........................................................................................................... 15 2.2. Momento de inercia. .................................................................................................................................... 16 2.3. Rotacin y traslacin del cuerpo rgido ....................................................................................................... 16 2.4. Mtodo de la energa. .................................................................................................................................. 19 2.5. Cantidad de movimiento angular. ................................................................................................................ 21

TEORA DE CAMPOS Y ELECTRODINMICA. ......................................................................................................... 25 CAPTULO 3: Campos estticos .............................................................................................................................. 27

3.1. Vemos creemos y explicamos. .................................................................................................................... 29 3.2. Campo. ........................................................................................................................................................ 29 3.3. Quines los generan? ................................................................................................................................. 30 3.4. La masa y la carga elctrica. ........................................................................................................................ 30 3.5. Cuerpos conductores y aislantes. ................................................................................................................. 32 3.6. Cmo se pueden cargar elctricamente los cuerpos? ................................................................................. 32

CAPTULO 4: Las fuerzas en los campos. ............................................................................................................... 35 4.1. La ley de la inversa al cuadrado. ................................................................................................................. 37 4.2. Fuerza gravitatoria. ...................................................................................................................................... 37 4.3. Fuerza elctrica. ........................................................................................................................................... 40 4.4. Fuerza magntica entre imanes permanentes. .............................................................................................. 44 4.5. Fuerza magntica entre cargas elctricas en movimiento. ........................................................................... 47

CAPTULO 5: La intensidad de los campos. ............................................................................................................ 51 5.1. Lneas de fuerza. .......................................................................................................................................... 53 5.2. Intensidad del campo gravitatorio. .............................................................................................................. 54 5.3. Intensidad del campo elctrico. ................................................................................................................... 56 5.4. Intensidad del campo magntico. ................................................................................................................ 58 5.5. Campo magntico de cargas elctricas en movimiento. .............................................................................. 60 5.6. Corriente elctrica y magnetismo. ............................................................................................................... 61 5.7. Intensidad del campo magntico y la geometra de la corriente elctrica. ................................................... 64

CAPTULO 6: Movimiento en el campo gravitatorio .............................................................................................. 69 6.1. Energa potencial gravitatoria. ..................................................................................................................... 71 6.2. Consideraciones energticas. ....................................................................................................................... 71 6.3. El movimiento de satlites y planetas. ......................................................................................................... 73

CAPTULO 7: Movimiento en el campo elctrico. .................................................................................................. 77 7.1. Un concepto previo, diferencia de potencial elctrico (ddp-e). ................................................................... 79 7.2. Placas paralelas con carga opuesta. ............................................................................................................. 81

CAPTULO 8: Conexin de capacitores. .................................................................................................................. 85 8.1. Qu es un capacitor? .................................................................................................................................. 87 8.2. Capacitancia. ............................................................................................................................................... 87 8.3. Conexin de capacitores en serie. ................................................................................................................ 87 8.4. Conexin de capacitores en paralelo. .......................................................................................................... 88 8.5. Energa de un capacitor. .............................................................................................................................. 88

CAPTULO 9: Ley de Ohm. ..................................................................................................................................... 93 9.1. V vs. i 95 9.2. Ley de OHM. ............................................................................................................................................... 95 9.3. El material, el largo y la seccin de los conductores. .................................................................................. 96 9.4. Dividiendo V y conservando i. .................................................................................................................... 98

NDICE


9.5. Dividiendo i y conservando V. .................................................................................................................. 101 CAPTULO 10: Las leyes de kirchhoff. ................................................................................................................... 105

10.1. Kirchhoff ................................................................................................................................................... 107 10.2. Ley circuital de Kirchhoff. ........................................................................................................................ 107 10.3. Ley de nodos de Kirchhoff. ....................................................................................................................... 109 10.4. Circuitos con capacitores. ......................................................................................................................... 111

CAPTULO 11: Introduccin a la electrnica .......................................................................................................... 115 11.1. Semiconductores. ...................................................................................................................................... 117 11.2. Semiconductor tipo n ................................................................................................................................ 117 11.3. Semiconductor tipo p ................................................................................................................................ 117 11.4. Unin n p o diodo semiconductor. ......................................................................................................... 118 11.5. Cmo funciona un diodo? ....................................................................................................................... 118

FSICA MODERNA. ...................................................................................................................................................... 123 CAPTULO 12: Relatividad. .................................................................................................................................... 125

12.1. Una dosis clsica ....................................................................................................................................... 127 12.2. Relatividad del tiempo y de la velocidad. ................................................................................................. 127 12.3. El experimento de Michelson y Morley .................................................................................................... 132 12.4. Los postulados de Einstein. ....................................................................................................................... 132 12.5. Transformadas de Lorentz. ........................................................................................................................ 137 12.6. El clculo de velocidades relativas ............................................................................................................ 138 12.7. Masa y energa. ......................................................................................................................................... 141

CAPTULO 13: Planck y einstein. ........................................................................................................................... 145 13.1. Radiacin trmica. ..................................................................................................................................... 147 13.2. Alrededor de una parrillada. ...................................................................................................................... 147 13.3. Ley del desplazamiento de Wien. .............................................................................................................. 148 13.4. Ley de Stefan-Boltzmann .......................................................................................................................... 148 13.5. Las temperaturas y radios de las estrellas. ................................................................................................. 149 13.6. Ley de Rayleigh - Jeans. ........................................................................................................................... 150 13.7. Teora de Planck. ....................................................................................................................................... 150 13.8. Otra controversia. ...................................................................................................................................... 152 13.9. Frecuencia y longitud de onda................................................................................................................... 152

ANEXOS ......................................................................................................................................................................... 155


MECNICA DEL CUERPO RGIDO

Captulos Temas.

Cinemtica del cuerpo rgido

Cuerpo rgido Movimiento de traslacin de un cuerpo rgido. Movimiento de rotacin de un cuerpo rgido. Anlisis mediante el cir para el movimiento plano de un cuerpo

rgido,

Dinmica del cuerpo rgido

Masa, inercia y momento de inercia. Momento de inercia. Rotacin y traslacin del cuerpo rgido Mtodo de la energa. Cantidad de movimiento angular.


CAPTULO 1:CINEMTICA DEL CUERPO RGIDO

Contenido Orientaciones metodolgicas Cuerpo rgido Diferenciar el tratamiento terico de una partcula y de

un cuerpo rgido Movimiento de traslacin de un cuerpo rgido.

Diferenciar el movimiento de traslacin pura de los otros posibles.

Movimiento de rotacin de un cuerpo rgido.

Diferenciar el movimiento de rotacin pura, de los otros posibles.

Anlisis mediante el cir para el movimiento plano de un cuerpo rgido.

Identificar las restricciones geomtricas y fsicas de los sistemas en movimiento.

Identificar el centro instantneo de rotacin. Resolver los problemas de movimiento de cuerpos

rgidos por el mtodo vectorial y del centro instantneo de rotacin.



1.1. CUERPO RGIDO Recordemos que la partcula es la representacin de cualquier cuerpo mediante un punto, es decir, la partcula es un punto material. El cuerpo rgido no podemos representarlo mediante un punto, porque las dimensiones que tiene nos interesan en el anlisis del movimiento. Una definicin fsica de cuerpo rgido sera: En un cuerpo slido o rgido, la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece constante durante todo el movimiento.

1.2. MOVIMIENTO DE TRASLACIN DE UN CUERPO RGIDO. Observemos las rectas AB de los siguientes cuerpos: La camioneta que va en una carretera horizontal tiene un movimiento de traslacin pura, observemos lo que sucede con la lnea AB pintada en la camioneta. De la misma manera, la manivela horizontal del mecanismo de la figura tiene un movimiento de traslacin pura, observemos lo que sucede con la lnea AB dibujada en dicha manivela. Si nuestras observaciones fueron correctas, habremos concluido que la recta AB permanece paralela en todo el trayecto del cuerpo que se mueve, por lo tanto podemos definir el movimiento de traslacin pura como: Durante el movimiento de traslacin, una recta perteneciente al cuerpo, permanece paralela a s misma durante todo el trayecto. Otra forma de expresar el movimiento de traslacin sera: "Durante el movimiento de traslacin todos los puntos del cuerpo describen trayectorias iguales y en cada instante, consecuencia lgica, poseen velocidades y aceleraciones iguales en mdulo y direccin. Si todos los puntos de un cuerpo rgido no tuvieran la misma velocidad, esto implicara que algunos puntos se moveran ms rpido que otros y por consiguiente, la distancia entre dos puntos del cuerpo rgido variara; contradiccin!, pues en un cuerpo rgido la distancia entre dos puntos no cambia.

1.3. MOVIMIENTO DE ROTACIN DE UN CUERPO RGIDO.

Una rueda que gira alrededor de un punto o un automvil que da una curva, son ejemplos de movimientos de rotacin. Podemos decir que un cuerpo rgido tiene movimiento de rotacin cuando todos los puntos del cuerpo se mueven en trayectorias circulares alrededor de un eje fijo; ste eje puede estar en el cuerpo o fuera de l. Por ejemplo, los puntos de un automvil que da una curva en una carretera, siguen trayectorias circulares alrededor de un eje que se encuentra en el centro de la curva de la carretera y no en el auto. Al abrir o cerrar una puerta, todos los puntos de la puerta siguen trayectorias circulares cuyo centro se encuentra en el eje, que es el borde de la puerta donde estn conectadas las bisagras. Un disco compacto que gira cuando lo escuchamos, tiene un movimiento de rotacin porque todos sus puntos tienen trayectorias circulares respecto al centro del disco.

Consolidacin terica. 1) Diga si los siguientes enunciados son falsos o

verdaderos: 2) Durante la traslacin de un cuerpo rgido

algunas de las partculas del cuerpo tienen

trayectorias paralelas 3) Todos los movimientos de traslacin son

rectilneos. 4) En la traslacin curvilnea de un cuerpo rgido

las trayectorias de las partculas del cuerpo son



curvas paralelas. 5) El movimiento de traslacin de un cuerpo

rgido se puede describir a travs de un punto del cuerpo.

6) Diga si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:

7) Si el eje de giro est fuera del cuerpo, todas las partculas del cuerpo tienen velocidad y aceleracin.

8) S el eje de giro est dentro del cuerpo, todas las partculas del cuerpo tienen velocidad y aceleracin.

9) Todas las partculas de un cuerpo rgido que tiene movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo, tienen un solo centro.

10)La rueda de un automvil en marcha tiene un movimiento de rotacin

11)Los puntos del cuerpo rgido que se encuentran en el eje de rotacin cuando ste est dentro del cuerpo rgido, no tienen ni velocidad ni aceleracin.

12)El movimiento de rotacin se puede analizar

con las ecuaciones de la cinemtica del movimiento circular de las partculas. Consolidacin prctica.

13)En el mecanismo de la figura, el motor M mueve la rueda 1 de. 90 [cm] de dimetro que se encuentra conectada mediante un eje a la rueda 2 que tiene 1.5 [m] de dimetro; la polea del motor tiene 25 [cm] de dimetro y parte del reposo acelerando a razn de 1.

14)Calcular la velocidad que alcanzan los puntos de la periferia de la rueda 3 de 60 [cm] de dimetro.

15)Calcular la aceleracin total que tiene un punto exterior de la rueda 3 luego de 20 [s] de haber arrancado el motor.

1.4. ANLISIS MEDIANTE EL CIR PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RGIDO,

Analicemos el caso de una rueda que gira sin trasladarse al rededor; de su centro tal como indica la figura. La velocidad de dos puntos A y B relacionadas con el punto C ser: Vemos que la velocidad de los puntos A y B son proporcionales a y a la distancia entre el punto en cuestin y el punto C cuya velocidad es

cero. Adems, la velocidad de estos puntos es perpendicular tanto a como al radio o distancia. Aprovechemos stas propiedades para analizar un cuerpo rgido cualquiera que tenga movimiento de rotacin y traslacin, en este cuerpo elijamos un

punto A y dibujemos su vector velocidad luego tracemos una recta perpendicular a sta velocidad, qu podemos concluir?, correcto, que algn punto de esa recta tiene velocidad cero por qu? Si elegimos otro punto B y hacemos lo mismo, es decir, dibujamos su vector velocidad y una recta perpendicular a este vector, concluiremos lo mismo "algn punto de sta recta tiene velocidad cero, pero, cmo hacemos concordar ste resultado con el anterior? La nica solucin es que el punto donde se interceptan las rectas es el punto que tiene velocidad cero y a ese punto lo conoceremos como Centro Instantneo de Rotacin (CIR). En otras palabras, el CIR es un punto dentro o fuera de un cuerpo rgido cuya velocidad en un instante dado es cero, por lo tanto podemos afirmar que en ese instante es como si todo el cuerpo rgido estuviera girando alrededor del CIR. Qu sucede si las velocidades son paralelas? Bueno el CIR est en la recta perpendicular a dichas velocidades y como stas velocidades son proporcionales tanto a la velocidad angular (que es la misma

M

2

31



para todos los puntos del cuerpo rgido)y en esencia al radio, podemos unir las puntas de los vectores velocidad y la interseccin de ambas rectas ser el CIR, tal como lo muestra la figura; aunque no se detalla en la figura, podemos imaginar a los vectores velocidad decrecer, de acuerdo al radio, hasta que se hacen cero (en el CIR) y luego crecer pero en sentido contrario. Las ecuaciones de la velocidad que podemos plantear son: Estas ecuaciones podemos escribirlas escalarmente: Ahora las combinamos de la siguiente manera:

EJEMPLO 1. La escalera de la figura tiene 3 [m] de longitud y cuando el ngulo con el piso es de 30, la escalera resbala. Si la velocidad del punto que est en contacto con el piso es de 5 , calcular la velocidad angular de la escalera y la velocidad con que se mueve el punto que est en contacto con la pared, use el mtodo del CIR. S O LU C I N Empezamos dibujando dos vectores velocidad; teniendo en cuenta las restricciones geomtricas alas que est sometida la escalera, tenemos que la velocidad del punto A es horizontal y hacia la derecha y la del punto B vertical hacia abajo. Una vez determinados dos de los vectores velocidad trazamos las correspondientes perpendiculares a cada uno de estos vectores velocidad y la interseccin de estas ser el CIR, ahora tendremos: 53 sin#30& 3 cos#30& Con la primera igualdad calculamos y con la segunda la . 3.33 *+,- . 8.66 1-

EJEMPLO 2. La rueda A de 20 [cm] de radio gira en sentido horario a razn de 180 [rpm], el brazo AB gira en sentido antihorario a razn de 120 [rpm]. Calcular la velocidad angular de la rueda B que tiene 10 [cm] de radio y no resbala (no patina) sobre la rueda A. S O LU C I N En el dibujo mostramos los vectores velocidad correspondientes al brazo AB que slo tiene un movimiento de rotacin, la velocidad del punto A es cero, por lo tanto es el CIR de este elemento, entonces:

B

A



120 4156 171568607-8 297+,81748 49 *+,- . 49#0.3& 1.29 1- De la misma manera podemos determinar la velocidad del punto C de la rueda A, el CIR para este elemento es tambin el punto A porque su velocidad es cero, por lo tanto: 180 4156 171568607-8 297+,81748 69 *+,- . 69#0.2& 1.29 1- El CIR de la rueda B lo determinamos mediante el criterio de velocidades paralelas y luego obtenemos: 1.290.1 < = 1.29= Con esta ltima relacin primero calculamos x y nos da x = 0.05 [m], es decir, el CIR se encuentra 5 [cm] debajo del punto B, con esto podemos calcular la velocidad angular de la rueda B. 249 *+,- . 7207?18

Consolidacin terica. 1) Qu significa CIR y cul es su definicin

fsica? 2) Cmo podemos determinar el CIR para un

cuerpo rgido si conocemos dos direcciones de sus velocidades?

3) Podemos afirmar que si un punto del cuerpo rgido tiene velocidad cero, ese punto ser el CIR? Por qu?

4) Cul es la ecuacin que nos permite relacionar la velocidad de un punto con la velocidad angular del cuerpo rgido y el CIR?

5) [rpm] es una unidad de frecuencia o de velocidad angular? Consolidacin prctica.

6) El soporte (camisa) exterior de un rodamiento est fijo. La flecha tiene un dimetro D = 10 [cm] y el dimetro de los perdigones del rodamiento es de 10[mm]; si la velocidad vr de las esferas del rodamiento respecto al soporte

es de 10 , calcular la velocidad angular de la flecha necesaria para que las esferas no deslicen.

7)Una pelota de tenis de 65 [mm] de dimetro, cuando es lanzada con una velocidad de 50 ,

gira como indica la figura a razn de 31.4 . calcular las velocidades mxima y

vC

A

vB vC

BCIR



mnima de los puntos sobre la superficie de la esfera.

8) Por un plano inclinado desliza hacia abajo un bloque A que se conecta con el bloque B mediante un rbol con pivotes (Pivote, extremo de toda barra o rbol (eje que sirve para transmitir o recibir el movimiento de las mquinas)giratorio) en los bloques. Si la velocidad del bloque A es de 2 , calcular la velocidad del bloque B y del rbol

9) El mecanismo de la figura consiste de dos barras rgidas AB y BC de 2.4 [m] de longitud cada una, la barra AB gira alrededor del pivote A mientras que el pivote C se mueve dentro de una gua vertical. Calcular la velocidad del pivote C y la velocidad angular de la barra BC cuando = 20 y AB gire a razn de 0.8 en sentido antihorario.

10)Un elemento hidrulico E, es capaz de mover los cuatro elementos de la figura que estn articulados por los pivotes A, B, C y D. Calcular la velocidad del punto C si los puntos D y B se separan con una velocidad de 1.5 uno respecto al otro (esto significa que la velocidad de los puntos es de 0.75 )

11)Calcular la velocidad del pivote B en el instante en que BC est en posicin horizontal y la barra CD gire a 200 [rpm] en sentido horario.

1) En la figura calcular la velocidad angular de la rueda B de 3 [cm] de dimetro que gira sin resbalar sobre la parte interior del soporte de 20 [cm] de dimetro. El brazo AB gira a razn de 180 [rpm] en sentido horario.

2) Calcular la velocidad del pistn C si la velocidad angular del cigeal AB de 15 [cm] de largo se mantiene en 3000 [rpm] y = 30

3) La rueda A (la de abajo) de 8 [cm] de radio gira a 200 [rpm] en sentido antihorario. Calcular la velocidad



angular de la rueda B (la de arriba) si la velocidad angular del brazo AB de 12 [cm] de longitud es de 50 [rpm] en sentido horario.

4) Las pistas A y B de la figura se mueven con velocidades de 1.5 hacia la izquierda y de 2 hacia la derecha respectivamente. Los rodillos tienen un dimetro de 1 [cm] y no deslizan con las pistas; calcular la velocidad del punto 1 y la ubicacin de un punto del

rodillo que tenga una velocidad nula (velocidad cero).

5) Un automvil tiene ruedas de 60 [cm] de dimetro y se mueve a una velocidad de 80 @A , si las ruedas tienen una velocidad angular de 300 [rpm], calcular la velocidad mxima de un punto en el borde de la rueda y el punto en la rueda que tenga una velocidad de cero.


CAPTULO 2:DINMICA DEL CUERPO RGIDO

Contenido Orientaciones metodolgicas Masa, inercia y momento de inercia.

Diferenciar el tratamiento terico de una partcula y de un cuerpo rgido.

Momento de inercia. Relacionar el concepto de masa con el de momento de Inercia.

Rotacin y traslacin del cuerpo rgido.

Identificar las fuerzas que rigen el movimiento de un cuerpo rgido y graficarlas en el DCL.

Escribir las ecuaciones de movimiento del cuerpo rgido.

Mtodo de la energa. Definir, identificar y aplicar la energa cintica de rotacin de un

cuerpo rgido. Resolver problemas de cuerpos rgidos empleando los mtodos de

energa.

Cantidad de movimiento angular.

Ampliar el concepto de cantidad de movimiento angular de una partcula al cuerpo rgido.

Definir, identificar y aplicar la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido.

Resolver problemas de cuerpos rgidos empleando los mtodos de conservacin de la cantidad de movimiento angular.



2.1. MASA, INERCIA Y MOMENTO DE INERCIA. Segn la primera ley de Newton, para empezar a mover un cuerpo debemos superar su inercia, la cual est relacionada con la masa (la masa es la medida del nivel de inercia).Esto para el movimiento rectilneo o de traslacin, pero qu sucede con el movimiento de rotacin? Evidentemente, para poner en movimiento de rotacin a un cuerpo debemos superar su inercia, entonces, cul es la diferencia? Veamos la figura, para rotar la barra en sentido contrario a las manecillas del reloj, debemos ejercer una fuerza, supongamos en el extremo de la barra y el movimiento empieza, con qu velocidad se mueve el cuerpo?, con qu aceleracin? Es aqu donde empiezan nuestras dificultades porque cada punto del cuerpo tiene diferente velocidad y diferente aceleracin dependiendo de la distancia al eje de giro a la que se encuentre. Tate, tate! Existen dos elementos comunes a todos los puntos del cuerpo rgido, correcto!, la velocidad angular () y la aceleracin angular (), stos elementos comunes nos ayudarn a definir la inercia rotacional. Acordmonos de la dinmica de partculas, entonces, tomemos una pequea partcula de nuestro cuerpo rgido (mD) a una distancia del eje de giro, tal como indica la figura, para que sta partcula gire en sentido antihorario, es necesario que en el eje tangencial acte una fuerza total a la que llamaremos EFGFHIFJK , entonces por la segunda ley newton en este eje tendremos:EFGFHIFJK mD+L Si sta ecuacin multiplicamos por el brazo de giro r obtenemos: ELLL mD+L Donde EFGFHIFJK es el torque total que acta sobre la i simapartcula y +L , podemos escribir como +L; entonces: MLLL mDNO Todo esto es para una solo partcula, si queremos obtener una expresin para todas las partculas del cuerpo rgido tendremos que sumar desde la primera partcula hasta la ensima, es decir:

PMLLLQRQS TPmDN

DQUDQS V O

Por qu sale del smbolo de sumatoria? El primer miembro de sta ecuacin es el torque total sobre el cuerpo rgido la cantidad que est escrita entre corchetes es una sumatoria algo ms compleja a la que denominaremos momento de inercia y simbolizaremos como I, por lo tanto: M LL IO Esta es la segunda ley de Newton para los movimientos giratorios de un cuerpo rgido y la interpretamos como: El momento total de las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido en torno a un eje, es igual al producto del momento de inercia del cuerpo respecto a dicho eje por la aceleracin angular del cuerpo



2.2. MOMENTO DE INERCIA. Analicemos un poco ms sta frmula:

I PmDNDQUDQS Supongamos que cuatro masas iguales estn sujetas por alambres de masa despreciable formando un cuadrado de 10 [cm] de lado, calculemos el momento de

inercia de ste conjunto si el sistema gira en un plano horizontal alrededor de un eje que pasa por a) el centro de las masas, b) una de las masas. a) Como la figura es un cuadrado, la distancia de cada masa al eje de giro, ser la mitad del dimetro, es decir: 12X10N Y 10N 527[18 7.0717[18 Por lo tanto el momento de inercia ser: \ 1SSN Y1NNN Y1]]N Y1^^N 41N 41_0.052`N 0.0217ab1N8

b) En este caso las distancias al eje de giro no son iguales y tendremos: \ 1#0&N Y1#0.1&N Y1#0.1&N Y1_0.12`N \ 0.0417ab1N8 Como primera conclusin podemos sacar que el momento de inercia depende del eje de giro. Una segunda conclusin es que el momento de inercia es aditivo, es decir, se calcula sumando el momento de inercia de cada una de las partculas. Entonces

cmo calculamos el momento de inercia de un rgido, si sabemos que tiene un nmero infinito de partculas? Existe una tcnica matemtica denominada clculo integral, que escapa al propsito del presente texto, mediante la cual se pueden calcular los momentos de inercia para infinitas partculas o, lo que es lo mismo, para cuerpos rgidos. Segn dicha tcnica, se calcularon los momentos de inercia que se indican en el anexo del texto.

2.3. ROTACIN Y TRASLACIN DEL CUERPO RGIDO La segunda ley de Newton para el caso de un movimiento de traslacin de una partcula est dada por ELL 1+, en el caso de un cuerpo rgido debemos tener en cuenta que la aceleracin de las infinitas partculas por la que est compuesto el cuerpo son diferentes, por lo tanto, debemos considerar en la aplicacin de esta ecuacin el punto representativo del cuerpo rgido, es decir su centro de masa, esto nos exige escribir la ecuacin como: ELL 1+c Junto con la ecuacin de torques, nos permiten resolver la dinmica del cuerpo rgido.

EJEMPLO 3. Como el primer ejemplo consideraremos la mquina de Atwood de la figura, supongamos las masas m1, m2 y mp de los bloques y de la polea respectivamente, por otra parte consideraremos que la polea tiene un radio R, que no presenta friccin y que m1< m2. Deseamos calcular la aceleracin de los bloques y las tensiones en las cuerdas. SO LU C I N Dibujamos los DCL de cada bloque y de la polea, de ah obtenemos las siguientes ecuaciones:

m1 m2

mp



T1 m1 g = m1 a m2 g T2 = m2 a T2 R T1 R = I

Debemos tener en cuenta que las tensiones son diferentes porque la polea rota alrededor de su eje, por lo tanto la T2 tiene que ser mayor que T1, esto crear un torque resultante en la polea que la har rotar y est dado por la tercera ecuacin. Si ambas tensiones fueran iguales, la polea no rotara y estaramos considerando a la polea como una partcula ideal (sin masa y sin rotacin). Para relacionar stas ecuaciones debemos considerar que la aceleracin tangencial de la polea es la que se transmite mediante la cuerda, es decir que ser la misma que tengan los bloques por lo tanto tenemos que:

a = R Por otra parte, el momento de inercia de la polea lo sacamos de la tabla y tendremos: \ 121deN #fN < fS&e 121deNOfN < fS 121d + Reemplazando las tensiones y despejando la aceleracin obtenemos: 1Nb < 1N+ < 1Sb < 1S+ 121d+ 1Nb < 1Sb 121d+ Y 1S+ Y1N+ + 1N



7) La polea de la figura tiene un radio de 50 [cm] y una masa de 25 [kg], puede rotar respecto al eje horizontal sin friccin. Una cuerda enrollada alrededor de la polea permite bajar verticalmente al bloque de 10 [kg]. Calcular: a) La aceleracin angular de

la polea. b) La aceleracin del bloque. c) La tensin en la cuerda.

8) Calcular la aceleracin del sistema de la figura, si el radio de la polea es de 10 [cm], su masa de 1.5 [kg], la masa de los bloques es de 5[kg] del que cuelga y de 10[kg] del que est sobre la mesaconsidere que el coeficiente de friccin cintica entre el bloque y la mesa es de 0.5.

9) Un carrete cilndrico tiene dos ruedas delgadas de 5[cm] de radio, unidas por una garganta de 3[cm] de radio, la masa de cada disco es de 500[g] y la de la garganta es de 200 [g]. Si se enrolla una cuerda en la garganta y luego se la jala horizontalmente con una fuerza de 2 [N], calcular la aceleracin del centro de masa del carrete.

10)En el cilindro que est sobre la mesa, tal como se muestra en la figura, se enrolla una cuerda que pasa por una polea y del otro extremo cuelga un bloque, considerando que la masa del cilindro es de 2 [kg], su radio de 25 [cm], la masa de la polea de 800 [g], su radio de 5 [cm] y la masa del bloque de 1 [kg], calcular:

a) La aceleracin del bloque. b) La aceleracin angular del cilindro. c) La tensin en la cuerda. d) El coeficiente de roce mnimo para que

exista rodadura pura entre el cilindro y la mesa.

11)En la figura se muestra dos discos unidos por un eje y en los cuales se enrolla cuerdas que en sus extremos libres sostienen bloque.Si consideramos que la masa de la rueda mayor es de 500 [g] y su radio de 8 [cm], de donde cuelga el bloque de 600 [g] de masa, y la rueda menor de 300 [g], con un radio de 6 [cm] y de la cual pende el bloque de 500 [g]. Calcular: a) La aceleracin de los bloques. b) La aceleracin angular de las ruedas. c) La tensin en las cuerdas.

12)Los discos de la figura tienen la misma masa de 3 [kg] y el mismo radio de 3.267 [cm]. El disco superior puede rotar libremente a lo largo del eje y el disco inferior se deja caer. Calcular: a) La aceleracin del centro de masa del

disco inferior. b) La tensin en la cuerda. c) La aceleracin angular del disco superior.



2.4. MTODO DE LA ENERGA. Analicemos la energa cintica de un cuerpo rgido en rotacin pura, por ejemplo una rueda sujeta en su eje y que gira con una velocidad angular constante o variable; segn la definicin de energa cintica tenemos: k 12 1 N Ac empiezan nuestras dificultades, qu velocidad vamos a tomar como la velocidad del cuerpo rgido?, la pregunta la formulo porque cada punto (partcula) del cuerpo rgido tiene una velocidad diferente, recordemos que segn la ecuacin = la velocidad depende de la distancia a la que se encuentra del centro de rotacin, por lo tanto habr una infinidad de velocidades para las partculas que componen el cuerpo rgido; cmo solucionamos ste problema? Una opcin es la tomada en secciones anteriores, elegimos una partcula i sima cualquiera de masa 1que se encuentre a una distancia del centro de rotacin y que tiene una velocidad = por qu no colocamos i? Con ste razonamiento la energa cintica de la i sima partcula del cuerpo rgido ser: k = 12 1N La energa cintica de todo el cuerpo rgido ser:

k LR = P k QRQS = P12 1N

QRQS = P

12 1NNQRQS

Factorizando los trminos comunes tenemos:

k LR = 12 nP 1NQRQS o N

La cantidad entre corchetes es lo que ya definimos como momento de inercia (I), por lo tanto la energa cintica rotacional (k ) ser: k = 12 \N Si adems de rotar, el cuerpo rgido tambin se traslada, tendr ambas energas la cintica de rotacin y la cintica de traslacin, la primera est dada por la anterior ecuacin y la segunda estar referida a la velocidad del centro de masa, es decir: k LL = 12 1 cN + 12 \cN

EJEMPLO 4. La llanta de un vehculo puede considerarse como un disco uniforme de 15 [kg] de masa y de 0.35 [m] de radio. Calcular la energa cintica total de la rueda si la velocidad del vehculo es de 108 @A . S O LU C I N La velocidad angular de la rueda la calculamos mediante la relacin: = e = 300.35 = 85.71 *+,- . El momento de inercia de un disco slido es:

v2

v1

v3

vi ri

mi

Eje de giro



\c 12 1 eN = 12 #15.35&N = 0.92 7ab 1N8 Por lo tanto la energa cintica total ser: k = 12 1 cN + 12 \cN k = 12 #15&N + 12 #0.92U.71&N k = 10125 7q8 Esta energa es grande debido a la traslacin y rotacin del disco, el 33.33 % de la energa cintica total corresponde a la rotacin.

EJEMPLO 5. Una barra de 30 [kg] se libera desde el reposo en el instante en que el resorte no est estirado, la longitud de la barra es de 1 [m] y la constante elstica del resorte es de 350 r. Calcular las velocidades del punto A y C en el instante en que la barra golpe con el piso, qu velocidad tiene en ese momento el punto B? Considere que la pared y el piso no presentan friccin. SO LU C I N Empecemos respondiendo la ltima pregunta, en el momento en que la barra golpe el piso, el punto B tendr una velocidad de cero, por lo tanto se constituir en el centro instantneo de rotacin. Esto nos permite calcular las velocidades de los puntos A y C mediante las ecuaciones = s, y = N, donde s es la longitud de la barra; por lo tanto nuestro objetivo ahora es calcular la velocidad angular de la barra. Como no existen fuerzas de roce, podemos utilizar la conservacin de la energa mecnica. En el instante inicial no hay energa cintica (la barra se libera del reposo), tampoco hay energa potencial elstica porque el resorte no est estirado pero si hay energa potencial gravitatoria porque el centro de masa de la barra se encuentra a cierta altura sobre el piso, es decir: kt = kd = 1 b c En el instante final no hay energa potencial gravitatoria pero s hay energa potencial elstica y energa cintica es decir: kv = k + kd = 12 1 cN + 12 \cN + 12 a =N Igualando las expresiones tenemos: 1 b c = 12 1 cN + 12 \cN + 12 a =N Reemplazando y teniendo en cuenta que c = = N,\c =SSN 1 sN,c = N sin#45&,= = s sin#45&, tenemos: 1b s2 sin#45& = 12 1 w s2xN + 12 112 1sNN + 12 a#s sin#45&&N Esta ecuacin nos permite calcular la velocidad angular de la barra. = 1.81 *+,- . Por lo tanto:

1[m]

45 B

C

A

A BC

vA

vB



1.81 1- y 0.91 1-

Consolidacin terica. 1) Si un cuerpo rgido tiene movimiento de

traslacin Qu energas cinticas podemos asociarle?

2) Si un cuerpo rgido tiene movimiento de rotacin Qu energas cinticas podemos asociarle?

3) Si un cuerpo rgido tiene movimiento de traslacin y rotacin Qu energas cinticas podemos asociarle?

4) Cul es la definicin fsica y matemtica de la energa cintica de rotacin? Cul es la unidad de medida de esta energa en el SI?

5) Cmo debemos considerar la energa potencial gravitatoria de un cuerpo rgido? Consolidacin prctica.

6) Una barra delgada de 10 [kg] y 1 [m] de longitud, se encuentra en posicin vertical articulada por uno de sus extremos, empieza a girar desde el reposo sin friccin en su articulacin. Calcular la velocidad del extremo no articulado de la barra cuando esta se encuentre en posicin horizontal.

7) Resuelva el problema anterior cuando la barra forme un ngulo de 30 sobre la horizontal.

8) Resolver el ejemplo 3 para cuando la barra

forme un ngulo de 15 sobre la horizontal. 9) Un disco slido de 14 [kg] y de 2.5 [cm] de

radio se libera desde el reposo en la cspide de un plano inclinado 30 sobre la horizontal, llega a la base despus de descender 1.5 [m]. Calcular la velocidad del centro del disco cuando llega a la base del plano inclinado

10)Resuelva el problema anterior para el caso de una esfera slida y para una esfera hueca con la misma masa y el mismo radio.

11)Una rueda de bicicleta de 1.2 [kg] tiene un radio de 70 [cm] y sus radios tienen una masa despreciable. Si parte del reposo y se mueve con una aceleracin angular de 3 , cul ser su energa cintica luego de 4 [s] de su partida?

12)Suponga que cada rueda de una auto de 1000 [kg] tiene una masa de 15 [kg], un radio de 0.4 [m] y un momento de inercia de 0.6 [kg m2] respecto a su centro de masa. Construya una grfica de la energa cintica de las cuatro ruedas en funcin de la velocidad del vehculo, para velocidades de 20, 60, 80 y 100 @A .

2.5. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR. Una partcula que se mueva en una recta con velocidad v, tiene una cierta cantidad de movimiento lineal dada por la combinacin del nivel de inercia que lleva (masa) y la velocidad con que se mueve? 1. Si la partcula estuviera movindose en un crculo, no podramos hablar de una cantidad de movimiento lineal, sino de una cantidad de movimiento angular, que se ver afectada por el radio de su trayectoria, pues a mayor radio la partcula desarrollar mayor velocidad (tendr mayor cantidad de movimiento lineal) si desea dar la vuelta en el mismo tiempo. Por esta razn, definimos la cantidad de movimiento angular como: z ? 1 1 N1

z PzQRQS P#N1 &QRQS nPN1

QRQS o \

El punto de referencia para el clculo del momento angular debe ser el mismo para el clculo del momento de inercia.

EJEMPLO 6.

v2

v1

v3

vi ri

mi

Eje de giro



Una barra delgada y uniforme de 1.5 [m] de largo tiene una masa de 8 [kg]. Si la barra se hace girar alrededor de su centro a razn de 6 , calcular su cantidad de movimiento angular. SO LU C I N Aplicamos directamente la ecuacin deducida: zc \c Reemplazamos el momento de inercia correspondiente y tenemos: zc 112 1sN 112 #8.5&N#6& 9 {ab1N- |

EJEMPLO 7. Una bala de 800 [g] de masa es dispara con una velocidad de 600 contra un cilindro slido de 2 [kg] de masa que inicialmente est en reposo. El cilindro tiene un radio de 8 [cm] y est sujeto a un eje, tal como se muestra en la figura; la direccin en que se mueva la bala es perpendicular al eje y se encuentra a una distancia de 3 [cm] sobre el centro. Calcular la velocidad angular del sistema considerando que la bala se queda prcticamente en la superficie del cilindro y que el eje no ofrece resistencia alguna al movimiento. SO LU C I N Considerando al cilindro y la bala como todo el sistema, vemos que no hay torques en este sistema, por lo tanto podemos usar la conservacin de la cantidad de movimiento angular. La cantidad de movimiento inicial del sistema ser slo la de la bala porque el cilindro inicialmente no se mueve, es decir: z ,1}t En direccin del eje del cilindro y en sentido de las manecillas del reloj. La cantidad de movimiento angular final tendr la misma direccin y sentido, que la bala al ingresar a la superficie del cilindro, por lo tanto, el sistema deber girar en el sentido y la direccin de las manecillas del reloj (era lo esperado verdad?), por lo tanto tenemos: zv \ El momento de inercia es la del cilindro y de la bala incrustada en su superficie evaluado con referencia al eje de giro, es decir: zv w121eN Y1}eNx Como existe conservacin en la cantidad de movimiento angular, tenemos: ,1}t w121eN Y1}eNx Despejando la velocidad angular tenemos: ,1}teN g121 Y1}h 1250 *

+,- . 11936.627?18 EJEMPLO 8.

s



Dos discos slidos A y B se encuentran montados sobre un eje horizontal que no presenta friccin; el disco A de 10 [kg] y de 25 [cm] de dimetro gira a razn de 3000 [rpm], el disco B no est girando y tiene una masa de 7 [kg] y un dimetro de 18 [cm]. El disco B, mediante un mecanismo externo, se une al disco A y puesto que sus superficies presentan un alto coeficiente de roce esttico, ambos discos llegan a girar juntos. Calcular la velocidad angular con que giran ambos discos y el porcentaje de prdida de energa cintica. S O LU C I N Considerando los dos discos como todo el sistema, vemos que no hay torques externos en este sistema, por lo tanto podemos usar la conservacin de la cantidad de movimiento angular. La cantidad de movimiento inicial del sistema ser slo la del disco A porque el disco B inicialmente no se mueve, es decir: zt \t En direccin del eje y en sentido de las manecillas del reloj. La cantidad del movimiento angular final tendr la misma direccin y sentido indicadas, por lo tanto tenemos: zv \~v El momento de inercia del disco A y de ambos discos es: \ 121eN\~ 121eN Y 121eN 12 #1eN Y1eN& zv 12 #1eN Y1eN&v Como existe conservacin en la cantidad de movimiento angular, tenemos: 121eNt 12 #1eN Y1eN&v Despejando la velocidad angular final obtenemos: v 1eNt1eN Y1eN 11 Y11 eeNt 230.51 *

+,- . La energa inicial del sistema se debe slo a la rotacin del disco A. k 12 \tN 12 w121eNxtN 141eNtN La energa final del sistema se debe a la rotacin conjunta de ambos discos, es decir: kv 12 \~vN 1212 #1eN Y1eN&vN kv 14 #1eN Y1eN&vN La prdida de energa cintica ser: k kv < k 14 #1eN Y1eN&vN < 141eNtN k 14 1eN_vN 0 5464 5+ 5?4s5[+ Para colocar un satlite en rbita circular son necesarias dos etapas, la primera es el lanzamiento con cierta velocidad para que alcance la altura deseada con una velocidad nula, una vez arriba empieza la segunda etapa un motor impulsa la nave dndole una velocidad horizontal (perpendicular al radio) necesaria para que mantenga la rbita circular. Analicemos la primera etapa, el satlite es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre y alcanza la altura h deseada con una velocidad nula, por la conservacin de la energa tenemos. 12 1tN 1 1t = 12 1vN 1 1v 12 1tN 1 1e = 12 1# 0N& 1 1e + 12 1tN = 1 1 w 1e + 1ex tN = 2 1 we e e#e + & x = 2 1 w e#e + &x Con este procedimiento calculamos la velocidad de lanzamiento desde la superficie de la tierra para que alcance la altura h. Una vez que el satlite est a la altura deseada, la segunda fase es impulsarlo, es decir, darle una velocidad perpendicular al radio para que pueda tener una rbita circular cuyo radio

TEORA DE CAMPOS Y ELECTRODINMICA.


sea r = R + h, este impulso calculamos con la siguiente relacin. E 1 1N Como esta fuerza ser perpendicular a la velocidad orbital podemos escribir: 1 + = 1 1#e + &N }Ne + = 1#e + &N } = 1e + El periodo de rotacin del satlite podemos calcular mediante:

f = 2 9 = 2 9}e + =2 9#e + &} = 2 9#e + &

]/NX 1

Si reemplazamos la velocidad orbital en la ecuacin de la energa mecnica obtenemos sin mucha dificultad que la energa mecnica para un satlite en rbita circular est dada por: k = 1 12 Esta energa es negativa porque corresponde a un estado ligado, es decir a una rbita cerrada. Los resultados obtenidos para las rbitas circulares son tambin aplicables a las rbitas elpticas, simplemente reemplazamos el radio de la rbita circular por el valor del semi eje mayor de la rbita elptica, es decir: 5+ [5[s+ 5+ 4s?5[+

} = 1f = 2 9 ]/NX 1 k = 1 12

} = 1+f = 2 9 +]/NX 1 k = 1 12 +

EJEMPLO 34. Se desea poner en rbita circular a un satlite de 450 [kg] de masa de tal manera que parezca estar siempre encima de uno; cul deber ser tanto su velocidad de lanzamiento como su velocidad orbital?, cul ser la energa mecnica del satlite en esta rbita?, Cunta energa se consumi para su lanzamiento? SO LU C I N . Para que el satlite parezca estar siempre sobre uno, tendr que tener el mismo periodo que el de rotacin de la tierra, 24 [h], por lo tanto:

f = 2 9 ]/NX 1 = fN 14 9N = 4.22 10718

} = 1 = 3.07 10] 1- La velocidad de lanzamiento ser:

R = 2 1 w 1e 1 x = 1.03 10^ 1-

Movimiento en el campo gravitatorio


Para la energa mecnica orbital tenemos: k



Sol. 16)Un cometa de 1.2 * 1030 [kg] se mueve en una

rbita elptica alrededor del sol, su distancia hacia el sol vara entre 0.5 [UA] y 50 [UA],

calcular el periodo de rotacin del cometa, su excentricidad y sus velocidades tanto en el afelio como en el perihelio.


CAPTULO 7:MOVIMIENTO EN EL CAMPO ELCTRICO.

Contenido Orientaciones metodolgicas

Un concepto previo, diferencia de potencial elctrico (ddp-e).

Definir fsica y matemticamente la diferencia de potencial entre dos puntos tanto en campos gravitacionales como en campos elctricos.

Diferenciar entre cuerpos generadores de ddp y cuerpos testigos de la ddp o sumergidos en l.

Relacionar conceptos mecnicos de trabajo y energa con los de la teora de campos.

Placas paralelas con carga opuesta.

Establecer a la intensidad de campo y la ddp como las magnitudes que definen el comportamiento fsico de los campos.

Resolver los problemas pertinentes a ste captulo.

Movimiento en el campo elctrico.


7.1. UN CONCEPTO PREVIO, DIFERENCIA DE POTENCIAL ELCTRICO (DDP-E).

Definimos la diferencia de potencial elctrico como la energa potencial elctrica distribuida entre la carga elctrica de un cuerpo que sirve de testigo o que se mueve o est sumergida dentro de un campo elctrico.

= kd Esta ecuacin la podemos escribir como: kd =

6,4 kd 4- s+ 464b+ ?46[5+s 4s[5[+ 14,5,+ 46 qs4 [q]4- s+ [+b+ ,4 ?4+ [s[+,+ ,46 ,4s [+1? 4s[5[ 14,5,+ 46 [] 4- s+ ,5446[5+ ,4 ?46[5+s 4s[5[ La unidad de medida del potencial elctrico ser = [ ] = r @ . Esta unidad recibe el nombre especial de voltio, por lo tanto 78 @ Mediante algunas transformaciones matemticas podemos llegar a la conclusin que el potencial elctrico generado por una carga Q est dado por: a kd = a Adems de una ntima relacin entre el campo elctrico y la diferencia de potencial elctrico, dada por: = k cos_k, ` En esta ecuacin establecemos la relacin entre la variacin del potencial elctrico (V) y la intensidad del campo elctrico (E) Tambin podemos expresar la diferencia de potencial en funcin del trabajo, el trabajo necesario para mover una carga elctrica de prueba desde un punto A hasta un punto B ser igual a: # < &

EJEMPLO 36. Calcular el trabajo necesario para mover una carga elctrica de - 8 [C] desde una posicin de 50 [cm] a otra de 250 [cm] medidos a partir de la carga de 120 [C]. S O LU C I N . En este caso la carga que genera el campo elctrico es la de 120 [C] y la carga de prueba que se mueve dentro del campo es la de 8 [C], por lo tanto tendremos: # < & como a tenemos: wa < a x a w 1 < 1x 9 10 120 10#8 10& w 10.5 12.5x



valor ser consecuentemente negativo. Tambin podemos interpretar este trabajo negativo como un trabajo externo positivo que se necesita para poder separar a las cargas elctricas.

EJEMPLO 37. Calcular la energa necesaria para formar el sistema de cargas de la figura, considere que todas las cargas son iguales a 6 [C] y son opuestas en signo las diametralmente opuestas, el lado del cuadrado que forman es de 10 [cm]. S O LU C I N Recordemos que la energa es igual al trabajo



a) Acercarlas a 20 [cm]. b) Alejarlas hasta 1.4 [m]

7) Calcular la energa necesaria para configurar cuatro cargas elctricas iguales a 8 [mC] en los vrtices de un cuadrado de 5 [cm] de arista, tres de las cargas son positivas y una negativa.

8) Calcular la distancia a la que una carga elctrica genera un potencial de 200 [V] y un campo elctrico de 100 r

9) Calcular el potencial elctrico de un dipolo elctrico con 15 [C] de carga, separacin de 0.5 [cm] y a una distancia de 2 [m] del dipolo.

10)Dos cargas elctricas de 4 [C] y 6 [C] se encuentran separadas por 20 [cm], calcular el o los puntos sobre la recta que las une en los que el potencial elctrico se anula.

11)Una carga elctrica de 3 [C] es movida desde el punto A hasta otro B dentro de un campo elctrico, si el trabajo realizado es de 9 * 10-3 [J], calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B; si elegimos el potencial del punto A como 0 [V] cul es el potencial del punto B?

12)Una esfera de 2 [g] de masa y cargada con 2 [C] se mueve debido a la presencia de un campo elctrico desde un punto A donde el potencial elctrico es de 100 [V] hasta otro punto B donde el potencial es nulo. Cul es la velocidad de la esfera en el punto A si al llegar al punto B su velocidad es de 0.4 ?

13)Dentro de una vlvula termoelctrica, los electrones son emitidos desde el ctodo (placa negativa) y acelerados hacia el nodo (placa positiva), entre ambas placas existe una distancia de 3 [cm] y una diferencia de potencial de 300 [V], cul es la fuerza ejercida sobre el electrn?

14)Una partcula alfa es el tomo de helio sin sus dos electrones (por lo tanto tiene una carga elctrica +2e) y una masa 7000 veces mayor que el positrn que es una partcula que tiene una carga +e y una masa de 9.11 * 10-31 [kg]. Cuando el positrn est a 10-10 [m] de la partcula alfa se aleja de ella (debida a la repulsin elctrica) con una velocidad de 3 * 106 [m/s] cul ser la velocidad del positrn cuando se haya alejado hasta una distancia de 2 *10-10 [m] de la partcula alfa? Cul ser la velocidad del positrn cuando est muy lejos de la partcula alfa (infinito)?

15)Dos cargas elctricas +3 [nC] y -3 [nC] estn separadas por 3 [cm]; una partcula de polvo de 5 * 10-9 [kg] de masa y con una carga elctrica de 2 [nC] est a 1 [cm] de la carga positiva y sobre el segmento que une las dos cargas. Si la partcula parte del reposo con qu velocidad llegar a 1 [cm] de la carga negativa sobre el mismo segmento?

16)Siguiendo el modelo atmico de Bohr cul ser la energa mecnica con la que el electrn orbita al ncleo atmico si su radio orbital es de 5.29 * 10-11 [m].

7.2. PLACAS PARALELAS CON CARGA OPUESTA. Dos placas planas y paralelas, cargadas elctricamente y con la misma carga son capaces de almacenar en su interior un campo elctrico uniforme dado por k donde q es la carga elctrica de cada placa, A es el rea de cada placa y t es la constante de permitividad del medio que est entre ambas placas, cuando haya algn material entre las placas tendremos k = i. Usando la relacin = k cos_k, `, podemos expresar el campo elctrico entre placas paralelas como = k d, donde d es la distancia entre las dos placas, por lo tanto, para el campo elctrico confinado entre dos placas tenemos: k = t = k d = , t Una carga elctrica de prueba dentro de este campo elctrico se mover con una aceleracin dada por la ecuacin: E k ,6,4 E = 1 + Dependiendo del ngulo que forme la velocidad inicial con la direccin del campo elctrico el

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

E



movimiento de la carga de prueba ser rectilneo o parablico. EJEMPLO 38.

Un electrn es lanzado perpendicularmente a la placa positiva y desde ella con una velocidad de 4 * 106 [m/s], la distancia entre las placas paralelas es de 8 [cm] y entre ellas hay una diferencia de potencial de 50 [V]. Calcular la distancia de mximo acercamiento del electrn hacia la placa negativa. SO LU C I N . El electrn tiene carga negativa, por lo tanto es atrado por la placa positiva y repelido por la negativa, pero se le da un impulso que le obliga a moverse hacia la placa negativa desacelerndose, una vez que su velocidad sea cero caer hacia la placa positiva, lo que nos piden es el mximo acercamiento hacia la placa negativa, eso podemos calcular mediante: N tN Y 2+==



a) Vertical y hacia arriba. b) Vertical y hacia abajo. c) Horizontal a la derecha. d) Horizontal a la izquierda.

18)La unidad que hemos usado para el campo elctrico es [N/C], demuestre que tambin se puede medir en [V/m].

19)Si dos placas planas y paralelas se separan ms de lo que estn, el campo elctrico entre ambas placas aumenta o disminuye?, qu sucede con el campo elctrico si las placas se juntan ms?

20)Si dos placas planas y paralelas se separan ms de lo que estn, la diferencia de potencial elctrico entre ambas placas aumenta o disminuye?, qu sucede con la diferencia de potencial elctrico si las placas se juntan ms?

21)Qu direccin y sentido tiene la aceleracin respecto al campo elctrico donde se mueve una carga elctrica de prueba?

22)Si una carga elctrica entra a un campo elctrico uniforme movindose inicialmente en direccin perpendicular al campo, la trayectoria que describe, ser una recta, un crculo una parbola o una elipse?

23)Qu tipo de trayectoria tendr una carga elctrica de prueba que se mueve inicialmente en direccin paralela o antiparalela al campo elctrico? Consolidacin prctica.

24)Calcular el campo elctrico y la diferencia de potencial elctrico entre las placas de un sistema de placas paralelas rectangulares de 2 [cm] por 5 [cm] separadas por 3 [cm] y cargadas cada una con 8 [C] si entre ellas hay: a) El vaco. b) Mica. c) Vidrio.

25)Dos placas planas paralelas y circulares estn separadas por una distancia de 2 [cm] y entre ellas generan una diferencia de potencial de 80 [V] cuando la carga que acumulan es de 25 [C], cul es el radio de las placas si entre

ellas se hace el vaco? Cul es el campo elctrico entre las placas? cmo cambian estos resultados si entre las placas se inserta mica?

26)Calcular el campo elctrico y la diferencia de potencial que existe entre dos placas planas y paralelas cargadas una positivamente y la otra negativamente, la densidad de carga de cada una es de 12 [nC] y la separacin entre ambas es de 3 [cm].

27)Dos placas cargadas elctricamente generan un campo elctrico horizontal dirigido de

izquierda a derecha, la placa derecha es negativa y la izquierda es positiva. Determinar la velocidad mnima con que deber ser lanzada la carga positiva de 0.04 [C] desde la placa negativa para que llegue a la otra placa, la separacin entre

las placas es de 20 [cm] y la intensidad del campo elctrico es de 4 * 105 r.

28)Dos placas paralelas con la misma carga pero de signo contrario tienen una densidad superficial de carga de 0.9 generan un campo elctrico donde se mueve una carga de 0.2 [nC] y de 0.08 [mg] partiendo desde la placa negativa con una velocidad de 400 y formando un ngulo de 30 con la placa, calcular: a) La intensidad del campo elctrico. b) La aceleracin a la que est sometida la

carga. c) La separacin mnima entre las placas

para que la partcula cargada pueda volver a la placa negativa.

d) El tiempo que le toma retornar al la placa negativa.

e) La distancia que avanza a lo largo de la placa negativa.


CAPTULO 8:CONEXIN DE CAPACITORES.

Contenido Orientaciones metodolgicas Qu es un capacitor? Definir con sus propias palabras lo que es un capacitor.

Capacitancia. Diferenciar entre el capacitor y la capacitancia, identificar las

unidades de medida de la capacitancia y su relacin matemtica. Analizar fsica y matemticamente el capacitor plano.

Conexin de capacitores en serie. Reconocer las conexiones en serie de dos o ms capacitores.

Conexin de capacitores en paralelo.

Reconocer las conexiones en paralelo y las mixtas de dos o ms capacitores.

Energa de un capacitor.

Asociar la energa de un capacitor a la energa mecnica de un resorte.


Conexin de capacitores.


8.1. QU ES UN CAPACITOR? El capacitor es el elemento que usamos en los circuitos para poder almacenar campo elctrico, el capacitor ms comn es el de placas planas y paralelas conocido como capacitor plano; la caracterstica principal de un capacitor es que tiene sus dos conductores cargados igualmente pero opuestos, de tal manera que se pueda generar un campo elctrico entre los dos conductores, para aumentar la capacidad de los capacitores se coloca entre ambos conductores un material dielctrico.

8.2. CAPACITANCIA. Tal como vimos, la diferencia de potencial entre dos placas planas y paralelas (capacitor plano) est expresada por i La capacitancia de un condensador la definimos como el cociente entre las cargas del capacitor y la diferencia de potencial entre las placas, es decir: ?s+6 t, t La unidad de medida de la capacitancia de un condensador en el sistema internacional es el Faradio, que simbolizamos con [F] y, de acuerdo a la ecuacin que la define ser 7E8 , que en unidades fundamentales del SI ser @. Tal como podemos observar en la figura, la diferencia de potencial entre las placas de un condensador est proporcionada por una batera cuyo smbolo en los circuitos es de dos rayas paralelas una ms corta que la otra y el smbolo para el capacitor es de dos rayas iguales y paralelas.

8.3. CONEXIN DE CAPACITORES EN SERIE. Si conectamos mediante cables conductores dos o ms capacitores, decimos que la conexin es en serie si la placa negativa de un capacitor est conectada con la placa positiva del siguiente capacitor o viceversa, otra forma de reconocer una conexin en serie es que a todos los capacitores conectados los unes un solo conductor, es decir, el conductor no se sub divide al conectar un capacitor con otro. Si la batera carga una placa del primer capacitor con una carga negativa, por induccin la otra placa se cargar positivamente, es decir, expulsar electrones por el conductor hacia la otra placa del siguiente capacitor cargndolo, de esta manera, negativamente, as sucesivamente hasta que la ltima placa del ltimo capacitor expulse los electrones hacia la batera. La carga pasa de un capacitor a otro por un solo conductor, es decir, no hay dnde se pierda o se gane carga elctrica por lo tanto todos los capacitores conectados en serie tendrn la misma carga elctrica en sus placas, lo que vara es el potencial, el que proporciona la batera se debe distribuir entre todos los capacitores conectados en serie de tal manera que la suma de la diferencia de potencial entre las placas de cada capacitor sea igual a la diferencia de potencial de la batera.

PQRQS 4-,4[5 S Y N Y ] De la ecuacin de capacidad despejamos la diferencia de potencial y tenemos: S Y N Y ] * 1S Y 1N Y 1]. 1S Y 1N Y 1]

C

V

+ Q

- Q E

d

S

C1

V

C3 C2

V1 V2 V3 + Q + Q + Q

- Q - Q - Q

C

V

- Q + Q



El primer miembro de esta ecuacin podemos asociar a un capacitor supuesto que sea el total. 1L = 1S + 1N + 1] Si todos los capacitores estn con algn dielctrico tendremos: 1L = 1SS Y 1NN Y 1]] Para n capacitores en serie tendremos: 1L = P 1

QRQS

1L = P 1QRQS

8.4. CONEXIN DE CAPACITORES EN PARALELO. Si conectamos mediante cables conductores dos o ms capacitores, decimos que la conexin es en paralelo si la placa negativa de cada capacitor est conectada el borne negativo de la batera y el borne positivo de la batera est conectada a cada una de las otras placas de cada capacitor, para que suceda esto es necesario que el conductor se divida o se ramifique creando dos o ms nudos; son en estos nudos donde la carga se divide pero como cada capacitor est conectado directamente a la batera entonces la diferencia de potencial entre las placas de cada uno ser siempre la misma. Como la cantidad total de carga que sale de la batera debe distribuirse entre los capacitores que estn conectados en paralelo tenemos: PQRQS 4- ,4[5 = S + N + ]

De la ecuacin de capacidad despejamos la carga elctrica y tenemos: = S + N + ] = [S + N + ]] = S + N + ] El primer miembro de esta ecuacin podemos asociar a un capacitor supuesto que sea el total. L = S + N + ] Si todos los capacitores estn con algn dielctrico tendremos: L = SS Y NN Y ]] Para n capacitores en serie tendremos:

L PQRQS L = P QRQS

8.5. ENERGA DE UN CAPACITOR. El que un capacitor almacene campo elctrico ya es bueno pero cunto de eso puedo usar? En otras palabras cunta energa puede darme un capacitor? Esto no es complicado, la energa que puede proporcionar un capacitor es la misma que la que se necesita para formarlo, es decir, necesitamos cierta cantidad de energa para poder cargar las placas conductoras, para mover cada carga elctrica desde la batera (que es la que proporciona la diferencia de potencial) hasta la placa conductora, toda esa energa que gastamos en el proceso es la misma que nos podr dar posteriormente el capacitor y cunto vale? La energa potencial elctrica almacenada en un capacitor la podemos asociar a la energa potencial elstica almacenada en un resorte y su ecuacin ser: kd 12 N Podemos usar la relacin de la capacidad = y reemplazar la capacidad o el potencial elctrico

C1

V

C3

C2

V

V

V

+ Q1

+ Q2

+ Q3

- Q1

- Q2

- Q3



paro obtener estas otras ecuaciones alternativas. kd 12 N = 12 = 12 N Al igual que en los casos anteriores, para condensadores que tienen dielctricos deber multiplicarse la capacidad por la constante de permitividad relativa o tambin llamada constante dielctrica.

EJEMPLO 40. Tres capacitores al vaco estn conectados como indica la figura, si los capacitores valen C1 = 8 [F], C2 = 4 [F], C3 = 2 [F] y la ddp proporcionada por la batera es de 80 [V] calcular la carga, la ddp entre las placas y la energa almacenada en cada capacitor. S O LU C I N . Estos problemas no son nada difciles pero es conveniente ir paso a paso y ser ordenados, por eso nos vamos a ayudar de grficos y una tabla. Primero resolvemos C2 y C3 que estn conectados en paralelo, el resultado de esto llamaremos Cp1 y en el dibujo sustituye a ambos capacitores, su valor es: dS = N + ] = 4 + 2 = 6[E] Ahora en el circuito nos han quedado solo dos capacitores que estn conectados en serie, los reemplazaremos con Ct que ser la capacitancia total cuyo valor lo calculamos mediante: 1L = 1S + 1dS = 18 + 16 = 724 L = 247 [E] = 3.43[E] Ahora vayamos llenando la tabla para eso nos ayudamos de los circuitos simplificados, empezamos con el ltimo dibujo, tenemos la capacidad 247 [F] y el potencial pues es el mismo que el de la batera 80

[V], con estos datos calculamos Q y E mediante = y kd = SN N. Continuamos retrocediendo y en el grfico anterior tenemos dos capacitores y escribimos sus valores en la tabla; Como estn en serie la carga que tena el anterior capacitor = SNt ser la carga de ambos y anotamos en nuestra tabla; con = calculamos la cada de potencial en cada capacitor y tambin la energa con la anterior ecuacin, debemos notar que la suma de los dos potenciales nos da el de la batera porque este potencial se distribuye a ambos capacitores. Notemos que hasta aqu ya tenemos resuelto lo de C1 ahora pasemos al primer circuito, donde aparece C2 y C3 en reemplazo de Cp1, los datos de estos capacitores son conocidos y los anotamos en la tabla como la conexin es en paralelo entonces el potencial de ambos capacitores es el mismo que tena su reemplazo y los copiamos en la tabla, el resto de la tabla completamos con las ecuaciones conocidas. Con esto tenemos resuelto todo el circuito.

EJEMPLO 41.

C [F] Q [C] V [V] kd [J] 247

19207 80

768007

8 19207 240

7 117551

25

6 19207 320

7 112849

18

4 12807 320

7 112849

27

2 6407 320

7 102400

49

C1

C2

C3

V C1 Cp1

V

Ct

V



Un capacitor ha sido fabricado con dos capas al vaco y tres dielctricos tal como se indica en la figura, calcular la energa que puede almacenar cuando la carga de las placas es de 8 [C], considere que la superficie de las placas del capacitor es de 50 [cm2] y que la distancia de separacin entre las placas es de 16.1 [cm] SO LU C I N . El condensador que tenemos que resolver es plano y est compuesto de varios materiales, lo ms aconsejable en este caso es ir separndolos uno por uno y representarlos en un circuito como si fuesen varios capacitores, empezamos de la placa superior e inmediatamente debajo de ella tenemos una capa al vaco, esa representar un condensador, debajo de esta capa hay dos materiales la mica y el vidrio, esto deber ser representado por dos condensadores conectados directamente al de arriba, pero an mas debajo del de vidrio hay otro condensador con plstico luego este se une con la mica para conectarse con otro condensador al vaco, todo lo descrito est representado en el circuito de la figura. Ahora tenemos ms clara la figura, el condensador de vidrio y el de plstico estn en serie, el resultado de ambos est en paralelo con el de mica y el resultado de estos en serie con los dos al vaco, por lo tanto empezamos a resolver; primero calcularemos el valor de cada capacitancia con la ecuacin del condensador de caras planas y paralelas. S t, t15,

5t, N t, 5.4t

2610, 9t2,

] t, 7t 2310,

35t3, ^ t, 2.3t

2310, 23t6, S

Serie S S tN Paralelo N N Y S ^SNS Serie L S t^]S 0.5137?E8 El capacitor tiene una capacitancia total de 0.513 [pF], la energa que podr almacenar la calculamos con: kd 12N 62.347q8

15 d

15 d 310 d

310 d

Mica

Vaco

Vaco

Pltico

Vidrio

C1

C2 C3

C5

C4

C1

C2 Ce1

C5



Consolidacin terica. 1) Por qu un capacitor puede almacenar

energa elctrica entre sus capas? 2) Defina fsica y matemticamente la

capacitancia. 3) Deducir la ecuacin para el clculo de la

capacitancia de un condensador plano. 4) Describa los procesos fsicos que intervienen

en una conexin en paralelo y en serie de dos o ms capacitores.

5) Cul es el sentido fsico de un capacitor equivalente en un circuito de varios capacitores?

6) Haga una deduccin matemtica detallada para el clculo de capacitancias equivalentes en circuitos en serie y en paralelo. Consolidacin prctica.

7) Considere los siguientes capacitores al vaco con valores de: C1 = 1 [F], C2 = 2 [F], C3 = 3 [F], C4 = 4 [F], C5 = 6 [F], C6 = 8 [F], C7 = 10 [F], V = 100 [V] y calcule la carga, la ddp y la energa almacenada en cada uno de los capacitores de los siguientes circuitos.

8) Un capacitor de 2 [F] es cargado mediante una batera de 200 [V], luego se lo desconecta de la batera y se lo conecta paralelamente a otro capacitor de 3 [F] totalmente descargado, cul es la ddp entre las terminales del sistema?

9) Dos capacitores al vaco estn conectados independientemente a bateras de 300 [V] y 100 [V], luego que se han cargado se los saca y se los conecta en paralelo, al medir la ddp entre las terminales de la asociacin se verifica que da una lectura de 250 [V]. Determinar la relacin que existe entre las capacidades de los capacitores.

10)Un capacitor est construido con varios dielctricos, tal como indica la figura, calcular la energa que puede almacenar el capacitor cuando se lo conecte a una ddp de 250 [V]. Considere que el rea del capacitor es de 24 [cm2], la separacin de las placas es de 5 [mm] y que los dielctricos son er1 = plstico, er2 = vidrio, er3 = agua, er4 = goma, er5 = alcohol, er6 = mica y er7= papel.

V

C5

C4 C3

C2

C1

V

C7C2

C1

V C7

C6

C5C4

C3

C2C1

V

C7 C5

C4

C2

C1

V

C6

C5

C3


CAPTULO 9:LEY DE OHM.

Contenido Orientaciones metodolgicas V vs. I Indicar las limitantes que presenta la ley de Ohm.

Ley de OHM. Establecer fsica y matemticamente la ley de Ohm para

conductores hmicos. Analizar fsica y matemticamente el efecto Joule en las

resistencias. El material, el largo y la seccin de los conductores.

Identificar las variables que determinan la resistencia de un conductor.

Dividiendo V y conservando i. Reconocer las conexiones en serie de dos o ms resistores.

Dividiendo i y conservando V.

Reconocer las conexiones en paralelo y las mixtas de dos o ms resistores.

Asociar la energa disipada por una resistencia a la energa mecnica de friccin proporcional a la velocidad.


Ley de Ohm.


9.1. V VS. I Consideremos un circuito en el que tenemos una batera variable conectada a un elemento elctrico y dos medidores, uno para medir la intensidad de corriente (Ampermetro) y otro para medir la diferencia de potencial en el elemento elctrico (Voltmetro) en la figura vemos que el ampermetro se conecta en serie con el elemento y el voltmetro se conecta en paralelo con el elemento. Con este circuito podemos obtener datos experimentales variando el potencial de la batera y leyendo la intensidad de corriente y la ddp que llegan al elemento elctrico, la tabla que presentamos nos da once lecturas aplicadas a dos elementos diferentes con las que construimos las grficas mostradas.

V [V] 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 Elemento 1 i [A] 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 27.00 30.00 Elemento 2 i [A] 1.00 1.44 2.07 2.97 4.27 6.14 8.83 12.69 18.25 26.23 37.71

Estas dos grficas nos muestran que no todos los elementos elctricos se comportan de la misma manera frente a una ddp, al primero se denomina elemento lineal y al segundo elemento no lineal, en este captulo nos concentraremos en los elementos lineales, es decir, aquellos cuya representacin grfica de la ddp versus la intensidad de corriente es una recta.

9.2. LEY DE OHM. Los elementos elctricos lineales tambin son llamados elementos hmicos o simplemente resistencias ya que fue Ohm, en su trabajo acerca de las corrientes galvnicas, el que public la dependencia entre la ddp y la intensidad de corriente para ciertos conductores llamando resistencia a la pendiente de la recta en la grfica V vs. i. Se la llama resistencia porque mide la resistencia que ofrecen los conductores al paso de las cargas libres a lo largo del conductor, los tomos, las molculas y las impurezas que contiene el conductor son los que impiden que los electrones libres del conductor se muevan libremente disminuyendo la corriente elctrica. Simbolizando la resistencia con la letra R tenemos entonces: e 5 5e La unidad de medida de la resistencia en el SI es el Ohm y se simboliza mediante la letra griega omega mayscula 78 . En la ecuacin, i es la corriente elctrica que atraviesa la resistencia que en el SI est medida en Amperios [A], V es la ddp entre los extremos de la resistencia que normalmente se la conoce como cada de potencial ya que al ser circulada por la corriente i en el sentido mostrado



en la figura, VA > VB, en el SI se mide en Voltios [V] por lo tanto: e < 5 Como la resistencia se opone al movimiento de las partculas cargadas en su interior, fundamentalmente por la fuerza de roce y las mltiples colisiones que estas cargas tienen con los tomos, molculas, impurezas, etc. generando de esta manera energa calorfica o energa disipativa (debido a fuerzas disipativas) cuyo trabajo ser donde q es la carga que se mueve dentro del campo generado por una batera generando una corriente dada por 5 reemplazando esta ecuacin tenemos 5 5 5# < &. No perdemos generalidad al suponer que VB = 0. 5 Ayudados de la ley de Ohm tambin podemos expresar esta relacin como:

5 5Ne Ne Otro concepto que debemos recordar de mecnica es el de potencia, definida como la rapidez con que se realiza un trabajo, es decir, el cociente entre el trabajo y el tiempo, pasando el tiempo a dividir en las anteriores ecuaciones tenemos para la potencia: 5 5Ne Ne Debemos verificar que estas relaciones nos dan como resultado dimensional el watt [W] que es la unidad de medida de la potencia. Aqu demostraremos una unidad de trabajo muy usada en la cotidianidad por las empresas que venden energa elctrica, se trata del kilowatt hora. Kilowatt [kW] significa simplemente 1000 [W], es decir, 1 [kW] = 1000 [W], pero esta es una unidad de potencia, entonces recordemos que trabajo = (potencia) * (tiempo) si multiplicamos esta unidad de potencia, el [kW], por la unidad de tiempo, el [s], obtenemos una unidad de trabajo que ser [kW s] y al convertir los segundos a horas (1[h] = 3600 [s]) obtenemos el [kW h] como nueva unidad de medida del trabajo cuya equivalencia con el Joule ser: 1 [kW h] = 1000 [W h] = 1000 * 3600 [W s] = 3 600 000 [J] = 3.6 * 106 [J]

Otra unidad muy usada para el trabajo es la calora cuya equivalencia es 1 [cal] = 4.18 [J]. En los circuitos, la resistencia se representa con el smbolo mostrado en la figura. El efecto Joule.

9.3. EL MATERIAL, EL LARGO Y LA SECCIN DE LOS CONDUCTORES. Hagamos un experimento muy sencillo dividido en tres partes, en cada una de ellas variamos un parmetro y mantenemos constantes los otros dos parmetros de los que mencionamos en el subttulo. i) Dos conductores de diferente material pero de igual longitud e igual seccin, si en los extremos de cada uno de ellos conectamos la misma ddp, al medir la intensidad de corriente observaremos que por cada uno de ellos circula una corriente diferente, esto nos indica que ambos materiales poseen una resistencia diferente, o, que la resistencia de los conductores depende del material del que estn hechos, esta

dependencia de la resistencia con el material fue tomada como directamente proporcional y simbolizada con la letra griega rho . ii) Ahora tomaremos dos conductores del mismo material y la misma seccin transversal pero de diferente longitud, al aplicar la misma ddp en ambos conductores veremos que tambin por ellos circulan corrientes diferentes y las conclusiones son similares, ambos tienen diferente resistencia o en esencia la resistencia depende de la longitud de los conductores, de tal manera que a mayor longitud

V

i

Ley de Ohm.


se obtena una mayor resistencia, es decir, la longitud era directamente proporcional a la longitud. iii) Finalmente hagamos el anlisis para conductores del mismo material, de igual longitud pero de secciones diferentes, procedemos de igual manera, aplicamos a ambos la misma ddp y medimos la intensidad de corriente, de igual manera nos dar lecturas diferentes para cada conductor, por lo tanto concluimos que la resistencia tambin depende de la seccin del conductor,

de tal manera que a menor seccin corresponda menor resistencia, es decir, la seccin era inversamente proporcional a la resistencia. Como conclusin de estos tres experimentos podemos decir que la resistencia de un conductor depende de su longitud (l), su seccin transversal (S) y del material del que est fabricado que lo representaremos mediante una constante rho () que ser la resistividad del material cuyos valores presentamos en la tabla, la unidad de medida de esta constante es 107m8, la primera es ms usada pero para conversiones necesitamos de la segunda, la tabla est dada en [ m]. La ecuacin matemtica para la resistividad del conductor estar dada por: e s

EJEMPLO 42. Tenemos cuatro variables para analizar en los circuitos con resistencias, la intensidad de corriente que pasa por la resistencia, la potencia que disipa (el trabajo por unidad de tiempo), la cada de potencial entre sus extremos y la resistencia del resistor en funcin de sus caractersticas fsicas, normalmente dos de estas variables nos presentan las caractersticas tecnolgicas de los aparatos domsticos, por ejemplo, en un foco podemos leer la potencia que suministra (100 [W]) y la ddp que puede soportar (220[V]), a partir de estos dos datos determinar las otras dos variables. La compaa ELFEC cobra Bs. 0.62 por cada [kW h], calcular cunto consume el foco en un mes de 30 das si en promedio el foco est encendido 5 [h] por da. S O LU C I N . Con la ley de Joule podemos realizar ambos clculos, veamos: 5 Ne Con la primera identidad podemos calcular la intensidad de corriente que puede circular por la resistencia, con la ltima podemos calcular la resistencia del foco. 5 1007822078 0.4578 e N #22078&N10078 48478 El clculo del costo lo evaluamos mediante la relacin de trabajo.

Material [ m] Aluminio 2.8 * 10-8 Cobre 1.7 * 10-8 Hierro 10 * 10-8 Nquel 6.8 * 10-8 Plata 1.6 * 10-8

V

i

V

i



100785 * u,+. 307,+8 17a81000780.627-817au8 9.307-8 EJEMPLO 43.

Deseamos conducir electricidad a travs de un conductor de 300 [m] de largo y seccin transversal de 3 [mm2]; se aplica una ddp de 200 [V] entre sus extremos y la corriente que circula es de 8 [A], calcular la resistividad del material. SO LU C I N . En la ecuacin e tenemos la longitud y la seccin pero no tenemos la resistencia del material, esto podemos evaluar mediante la ley de Ohm V = i R, es decir: e 5 20078878 2578 e s es 25783711N8300718 171810007118N 2.5 107m8

Consolidacin terica. 1) Bibliografa de George Ohm. 2) Escriba la ecuacin que define la resistencia y

explique el significado fsico de cada uno de los trminos en la ecuacin.

3) Por qu la ddp entre los extremos de una resistencia se denomina cada de potencial?

4) Dibuje por lo menos 3 resistencias en diferentes posiciones y con corrientes elctricas en diferentes sentidos, en cada dibujo identifique el extremo de la resistencia que se encuentra a mayor potencial y el que est a menor potencial.

5) Hacer una demostracin de las tres ecuaciones de trabajo expresadas en la parte terica.

6) Haga una demostracin completa y justificada de la equivalencia entre [kW h] y [J]. Consolidacin prctica.

7) Las instrucciones de la resistencia de una

ducha domiciliara indican que soporta una ddp de 220 [V] y genera una potencia de 5400 [W], cul es la resistencia y la intensidad de corriente que circula por el conductor?, si el material de la resistencia es aluminio de 1.2 [mm2] de seccin transversal, cul es la longitud del conductor?, cunto costar un bao de 20 [min]?

8) Dos conductores, uno de cobre y el otro de hierro, tienen la misma longitud y estn sometidos a la misma ddp, calcular la relacin entre los radios de sus secciones transversales para que por ellos circule la misma intensidad de corriente.

9) Ser posible que una resistencia de 20 [] diseada para dar 80 [W] de potencia se pueda conectar a una ddp de 100[V]?

9.4. DIVIDIENDO V Y CONSERVANDO I. Una resistencia funciona con 4 [V] y puede disipar 2 [W], se dispone de una batera de 12 [V] para conectar la resistencia cmo podemos evitar que la resistencia se queme? Si la batera nos proporciona 12 [V] y solo requerimos de 4 [V] para hacer funcionar nuestro resistor, es necesario disear una cada de potencial de 8 [V] cmo? con otra resistencia que cumpla la ley de Ohm, es decir, 8 [V] = i R, pero qu corriente circular por este resistor? Pues hagamos que circule la misma corriente que circula por el anterior resistor, eso lo calculamos con 2 [W] = i 4 [V], es decir, i = 0.5 [A], entonces la resistencia buscada ser 78t.78 = 16 []; la potencia que genere esta nueva resistencia ser P = 0.5 [A] 8 [V] = 4 [W], es decir, que la batera debe ser capaz de proporcionar 6

Ley de Ohm.


[W] de potencia para alimentar las dos resistencias lo que significa que la corriente que atraviese la batera debe ser 6 [W] = i 12 [V], i = 0.5 [A], la misma corriente que circula por las resistencias, esto significa que batera y resistencias deben ser conectadas mediante un solo conductor para que la corriente no tenga por donde dividirse. Esta conexin en la que el potencial de la batera se divide en los resistores y la intensidad de corriente se mantiene se llama conexin en serie, dibujemos el circuito y analicemos algebraicamente desde otro punto de vista. Como todos los elementos estn conectados mediante un solo conductor, la intensidad de corriente es la misma en los tres elementos porque no hay por dnde se pierda o gane ms cargas conductoras de las que proporciona la batera. El potencial entregado por la batera debe ser absorbido por las resistencias, en ambas resistencias existe una cada de potencial que las llamaremos V1 y V2 respectivamente, por lo tanto: V = V1 + V2, aplicando la ley de Ohm en cada resistencia tenemos V = i R1 + i R2 = i (R1 + R2) = i Req donde:

e eS Y eN e PeQRQS La resistencia equivalente para un circuito de resistencias conectadas en serie es igual a la suma de cada una de las resistencias que intervienen. Resolviendo para i tenemos 5 por lo tanto la cada de potencial en cada resistencia ser: S 5eS eS Y eN eS eSeS Y eN yN 5eN eS Y eN eN eNeS Y eN En general tendremos: 5e e e ee Como vemos la cada de potencial ser menor al potencial de la batera porque una de las resistencias siempre ser menor a la suma del total de resistencias, pero si sumamos las cada de potencial sern igual a la ddp de la batera. La potencia que genera cada resistor ser:

Ne w ee xNe eNNeN e eeN N

Si sumamos todas las potencias disipadas por las resistencias del circuito nos dar la potencia entregada por la batera. En este captulo consideraremos conductores perfectos (los cables que interconectan los diferentes elementos del circuito), es decir conductores que no poseen ninguna resistencia y que dejan circular la corriente libremente sin disipar energa.

EJEMPLO 44. En el divisor de voltaje mostrado en la figura

SA (6) Sexto

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